(cid:30)(cid:132)I H¯C TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N TR(cid:215)˝NG (cid:30)(cid:132)I H¯C S(cid:215) PH(cid:132)M
Khambay PHAVISAY
T‰nh hyperbolic (cid:31)ƒy cıa mi•n Hartogs
LU(cid:138)N V(cid:139)N TH(cid:132)C S(cid:158) TO(cid:129)N H¯C
TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N - 2015
(cid:30)(cid:132)I H¯C TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N TR(cid:215)˝NG (cid:30)(cid:132)I H¯C S(cid:215) PH(cid:132)M
Khambay PHAVISAY
T‰nh hyperbolic (cid:31)ƒy cıa mi•n Hartogs
Chuy¶n ng(cid:160)nh: To¡n gi£i t‰ch M¢ sŁ: 60.46.01.02
LU(cid:138)N V(cid:139)N TH(cid:132)C S(cid:158) TO(cid:129)N H¯C
Ng(cid:247)(cid:237)i h(cid:247)(cid:238)ng d¤n khoa h(cid:229)c: TS. Trƒn Hu» Minh
TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N - 2015
L(cid:237)i cam (cid:31)oan
B£n lu“n v«n n(cid:160)y s(cid:252) nghi¶n cøu (cid:31)ºc l“p cıa t(cid:230)i d(cid:247)(cid:238)i s(cid:252) h(cid:247)(cid:238)ng d¤n
cıa TS. Trƒn Hu» Minh, c¡c t(cid:160)i li»u tham kh£o trong lu“n v«n l(cid:160) trung
th(cid:252)c. Lu“n v«n ch(cid:247)a tłng (cid:31)(cid:247)æc c(cid:230)ng bŁ trong b§t cø c(cid:230)ng tr…nh n(cid:160)o.
H(cid:229)c vi¶n
Kham bay PHAVISAY
X¡c nh“n X¡c nh“n
cıa tr(cid:247)(cid:240)ng khoa To¡n cıa ng(cid:247)(cid:237)i h(cid:247)(cid:238)ng d¤n khoa h(cid:229)c
i
TS.Trƒn Hu» Minh
M(cid:246)c l(cid:246)c
L˝I N´I (cid:30)(cid:134)U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Ch(cid:247)(cid:236)ng 1. Ki‚n thøc chu'n b(cid:224) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. (cid:129)nh x⁄ ch¿nh h…nh [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. (cid:30)a t⁄p phøc [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Kh(cid:230)ng gian phøc [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi tr¶n kh(cid:230)ng gian phøc [1] . . . . . . . . 5
1.5. Kh(cid:230)ng gian phøc hyperbolic v(cid:160) kh(cid:230)ng gian phøc
hyperbolic (cid:31)ƒy [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6. Kh(cid:230)ng gian phøc taut [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7. H(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.8. H(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Ch(cid:247)(cid:236)ng 2. T‰nh hyperbolic (cid:31)ƒy cıa mi•n Hartogs. . . . . . . 11
K‚t lu“n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
ii
T(cid:160)i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
L˝I N´I (cid:30)(cid:134)U
Nghi¶n cøu t‰nh hyperbolic cıa c¡c kh(cid:230)ng gian phøc l(cid:160) mºt trong
nhœng b(cid:160)i to¡n c(cid:236) b£n nh§t cıa gi£i t‰ch phøc hyperbolic. Vi»c nghi¶n
cøu (cid:31)(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc ti‚n h(cid:160)nh d(cid:247)(cid:238)i nhi•u g(cid:226)c (cid:31)º kh¡c nhau, chflng h⁄n nh(cid:247)
t…m ki‚m nhœng (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng cho t‰nh hyperbolic cıa mºt kh(cid:230)ng gian phøc
t(cid:242)y (cid:254); kh£o s¡t t‰nh hyperbolic cıa nhœng l(cid:238)p kh(cid:230)ng gian phøc c(cid:246) th”;
øng d(cid:246)ng t‰nh hyperbolic cıa kh(cid:230)ng gian phøc v(cid:160)o nhœng l(cid:190)nh v(cid:252)c kh¡c
nhau cıa h…nh h(cid:229)c phøc v(cid:160) gi£i t‰ch phøc ... Trong nhœng n«m gƒn (cid:31)¥y,
vi»c nghi¶n cøu t‰nh hyperbolic cıa nhœng l(cid:238)p kh(cid:230)ng gian phøc c(cid:246) th”
c(cid:244)ng nh(cid:247) vi»c t…m hi”u nhœng l(cid:238)p kh(cid:230)ng gian phøc hyperbolic (cid:240) d⁄ng
t(cid:247)(cid:237)ng minh (cid:31)¢ thu h(cid:243)t (cid:31)(cid:247)æc s(cid:252) quan t¥m cıa nhi•u nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c. Mi•n
Hartogs thuºc v(cid:160)o sŁ nhœng l(cid:238)p kh(cid:230)ng gian phøc nh(cid:247) v“y.
Cho X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian phøc, ϕ : X → [−∞, ∞) l(cid:160) h(cid:160)m nßa
(cid:26)
li¶n t(cid:246)c tr¶n tr¶n X. Mi•n Hartogs Ωϕ(X) (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i
(cid:27) .
(z, w) ∈ X × C : |w| < e−ϕ(z) Ωϕ(X) =
R§t nhi•u t‰nh ch§t cıa mi•n Hartogs (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc t…m ra d(cid:247)(cid:238)i quan
(cid:31)i”m cıa gi£i t‰ch phøc hyperbolic. Lu“n v«n " T‰nh hyperbolic (cid:31)ƒy
cıa mi•n Hartogs " nh‹m tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ (cid:31)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)ı (cid:31)” mi•n Hartogs Ωϕ(X) l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy. V(cid:160) ch¿ ra mºt sŁ l(cid:238)p h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ϕ tr¶n X (cid:31)” Ωϕ(X) l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy. Nºi dung ch‰nh cıa lu“n v«n d(cid:252)a tr¶n k‚t qu£ cıa b(cid:160)i b¡o" Complete hyperbolicity of
Hartogs domains " cıa t¡c gi£ D.D. Thai v(cid:160) N.Q. Di»u.
Lu“n v«n g(cid:231)m 28 trang, trong (cid:31)(cid:226) c(cid:226) phƒn m(cid:240) (cid:31)ƒu, hai ch(cid:247)(cid:236)ng nºi
dung, phƒn k‚t lu“n v(cid:160) danh m(cid:246)c t(cid:160)i li»u tham kh£o.
Ch(cid:247)(cid:236)ng 1: Tr…nh b(cid:160)y tŒng quan v(cid:160) h» thŁng l⁄i c¡c kh¡i ni»m v(cid:160)
1
c¡c t‰nh ch§t cƒn thi‚t cho ch(cid:247)(cid:236)ng sau.
Ch(cid:247)(cid:236)ng 2: L(cid:160) nºi dung ch‰nh cıa lu“n v«n, tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ (cid:31)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)ı cho t‰nh hyperbolic (cid:31)ƒy cıa mi•n Hartogs Ωϕ(X) v(cid:160) ch¿ ra mºt sŁ l(cid:238)p h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ϕ tr¶n X sao cho mi•n Hartogs Ωϕ(X) l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy.
CuŁi c(cid:242)ng l(cid:160) phƒn k‚t lu“n tr…nh b(cid:160)y t(cid:226)m t›t c¡c k‚t qu£ (cid:31)(cid:247)æc
nghi¶n cøu trong lu“n v«n.
B£n lu“n v«n (cid:31)(cid:247)æc ho(cid:160)n th(cid:160)nh t⁄i Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c S(cid:247) ph⁄m - (cid:30)⁄i
h(cid:229)c Th¡i Nguy¶n d(cid:247)(cid:238)i s(cid:252) h(cid:247)(cid:238)ng d¤n t“n t…nh cıa TS Trƒn Hu» Minh.
Em xin b(cid:160)y t(cid:228) lÆng bi‚t (cid:236)n C(cid:230) v(cid:160) s(cid:252) h(cid:247)(cid:238)ng d¤n t“n t…nh, hi»u qu£ trong
qu¡ tr…nh nghi¶n cøu v(cid:160) ho(cid:160)n th(cid:160)nh lu“n v«n.
Em xin c£m (cid:236)n phÆng (cid:30)(cid:160)o t⁄o, Ban chı nhi»m khoa To¡n, c¡c
thƒy c(cid:230) gi¡o Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c S(cid:247) ph⁄m - (cid:30)⁄i h(cid:229)c Th¡i Nguy¶n, Vi»n
To¡n h(cid:229)c v(cid:160) Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c S(cid:247) ph⁄m H(cid:160) Nºi (cid:31)¢ gi£ng d⁄y v(cid:160) t⁄o m(cid:229)i
(cid:31)i•u ki»n thu“n læi cho em trong qu¡ tr…nh h(cid:229)c t“p, nghi¶n cøu khoa h(cid:229)c
v(cid:160) ho(cid:160)n th(cid:160)nh lu“n v«n.
Xin c£m (cid:236)n (cid:31)‚n c¡c b⁄n h(cid:229)c vi¶n l(cid:238)p cao h(cid:229)c to¡n K21 (cid:31)¢ lu(cid:230)n
(cid:31)ºng vi¶n, chia s· kh(cid:226) kh«n v(cid:160) gi(cid:243)p (cid:31)(cid:239) t(cid:230)i trong suŁt qu¡ tr…nh h(cid:229)c t“p
t⁄i tr(cid:247)(cid:237)ng.
CuŁi c(cid:242)ng, t(cid:230)i xin b(cid:160)y t(cid:228) lÆng bi‚t (cid:236)n s¥u s›c t(cid:238)i nhœng ng(cid:247)(cid:237)i th¥n
trong gia (cid:31)…nh cıa m…nh, nhœng ng(cid:247)(cid:237)i lu(cid:230)n (cid:31)ºng vi¶n, quan t¥m gi(cid:243)p
(cid:31)(cid:239) t(cid:230)i v(cid:160) lu(cid:230)n mong m(cid:228)i t(cid:230)i th(cid:160)nh c(cid:230)ng.
B£n lu“n v«n ch›c ch›n s‡ kh(cid:230)ng tr¡nh kh(cid:228)i nhœng khi‚m khuy‚t,
v… v“y em r§t mong nh“n (cid:31)(cid:247)æc nhœng (cid:31)(cid:226)ng g(cid:226)p (cid:254) ki‚n cıa c¡c thƒy c(cid:230)
gi¡o v(cid:160) c¡c b⁄n h(cid:229)c vi¶n (cid:31)” lu“n v«n n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc ho(cid:160)n ch¿nh h(cid:236)n.
Th¡i Nguy¶n, ng(cid:160)y ......th¡ng 4 n«m 2015
T¡c gi£ lu“n v«n
2
Kham bay PHAVISAY
Ch(cid:247)(cid:236)ng 1
Ki‚n thøc chu'n b(cid:224)
1.1. (cid:129)nh x⁄ ch¿nh h…nh [1]
Gi£ sß X l(cid:160) mºt t“p m(cid:240) trong Cn v(cid:160) f : X → C l(cid:160) mºt h(cid:160)m sŁ.
H(cid:160)m f (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) kh£ vi phøc t⁄i x0 ∈ X n‚u t(cid:231)n t⁄i ¡nh x⁄
tuy‚n t‰nh λ : Cn → C sao cho
= 0, lim|h|→0 |f (x0 + h) − f (x0) − λ(h)| |h|
i=1 |hi|2) 1 2 .
trong (cid:31)(cid:226) h = (h1, ..., hn) ∈ Cn v(cid:160) |h| = ((cid:80)n
H(cid:160)m f (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ch¿nh h…nh t⁄i x0 ∈ X n‚u f kh£ vi phøc trong
mºt l¥n c“n n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) cıa x0 v(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ch¿nh h…nh tr¶n X n‚u f ch¿nh
h…nh t⁄i m(cid:229)i (cid:31)i”m thuºc X.
Mºt ¡nh x⁄ f : X → Cm c(cid:226) th” vi‚t d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng f = (f1, ..., fm), trong (cid:31)(cid:226) fi = πi ◦ f : X → C, i = 1, ..., m l(cid:160) c¡c h(cid:160)m t(cid:229)a (cid:31)º. Khi (cid:31)(cid:226) f (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ch¿nh h…nh tr¶n X n‚u fi ch¿nh h…nh tr¶n X v(cid:238)i m(cid:229)i
i = 1, ..., m.
(cid:129)nh x⁄ f : X → f (X) ⊂ Cn (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) song ch¿nh h…nh n‚u f l(cid:160)
3
song ¡nh, ch¿nh h…nh v(cid:160) f −1 c(cid:244)ng l(cid:160) ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh.
1.2. (cid:30)a t⁄p phøc [1]
a) (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a
Gi£ sß X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) Hausdorff.
+ C(cid:176)p (U, ϕ) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mºt b£n (cid:31)(cid:231) (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng cıa X, trong (cid:31)(cid:226) U l(cid:160) t“p m(cid:240) trong X v(cid:160) ϕ : U → Cn l(cid:160) ¡nh x⁄, n‚u c¡c (cid:31)i•u ki»n sau
(cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n:
i) ϕ(U ) l(cid:160) t“p m(cid:240) trong Cn.
ii) ϕ : U → ϕ(U ) l(cid:160) mºt (cid:31)(cid:231)ng ph(cid:230)i.
+ H(cid:229) A = {(Ui, ϕi)}i∈I c¡c b£n (cid:31)(cid:231) (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng cıa X (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160)
mºt t“p b£n (cid:31)(cid:231) gi£i t‰ch (atlas) cıa X n‚u c¡c (cid:31)i•u ki»n sau (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a
m¢n
i) {Ui}i∈I l(cid:160) mºt phı m(cid:240) cıa X.
ii) V(cid:238)i m(cid:229)i Ui, Uj m(cid:160) Ui ∩ Uj (cid:54)= ∅, ¡nh x⁄
−1 : ϕi(Ui ∩ Uj) → ϕj(Ui ∩ Uj) l(cid:160) ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh.
ϕj ◦ ϕi
X†t h(cid:229) c¡c atlas tr¶n X. Hai atlas A1, A2 (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng
n‚u hæp A1 ∪ A2 l(cid:160) mºt atlas. (cid:30)¥y l(cid:160) mºt quan h» t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng tr¶n t“p
c¡c atlas. MØi l(cid:238)p t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng x¡c (cid:31)(cid:224)nh mºt c§u tr(cid:243)c kh£ vi phøc tr¶n
X, v(cid:160) X c(cid:242)ng v(cid:238)i c§u tr(cid:243)c kh£ vi phøc tr¶n n(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mºt (cid:31)a t⁄p
phøc n chi•u.
b) (cid:129)nh x⁄ ch¿nh h…nh giœa c¡c (cid:31)a t⁄p phøc
Gi£ sß M, N l(cid:160) c¡c (cid:31)a t⁄p phøc. (cid:129)nh x⁄ li¶n t(cid:246)c f : M → N (cid:31)(cid:247)æc
g(cid:229)i l(cid:160) ch¿nh h…nh tr¶n M n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i b£n (cid:31)(cid:231) (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng (U, ϕ) cıa M
v(cid:160) mºt b£n (cid:31)(cid:231) (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng (V, ψ) cıa N sao cho f (U ) ⊂ V th… ¡nh x⁄
4
ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ(U ) → ψ(V ) l(cid:160) ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh.
Hay t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng, v(cid:226)i m(cid:229)i x ∈ M, y ∈ N, t(cid:231)n t⁄i hai b£n (cid:31)(cid:231) (cid:31)(cid:224)a
ph(cid:247)(cid:236)ng (U, ϕ) v(cid:160) (V, ψ) t⁄i x v(cid:160) y t(cid:247)(cid:236)ng øng sao cho
ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ(U ) → ψ(V ) l(cid:160) ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh.
Gi£ sß f : M → N l(cid:160) song ¡nh giœa c¡c (cid:31)a t⁄p phøc. N‚u f v(cid:160) f −1 l(cid:160) c¡c ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh th… f (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ¡nh x⁄ song ch¿nh h…nh
giœa M v(cid:160) N .
1.3. Kh(cid:230)ng gian phøc [1]
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.3.1. Gi£ sß Z l(cid:160) (cid:31)a t⁄p phøc. Mºt kh(cid:230)ng gian phøc (cid:31)(cid:226)ng
X l(cid:160) mºt t“p con (cid:31)(cid:226)ng cıa Z m(cid:160) v• m(cid:176)t (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i
hœu h⁄n c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh gi£i t‰ch. Tøc l(cid:160), v(cid:238)i x0 ∈ X t(cid:231)n t⁄i l¥n c“n
m(cid:240) V cıa x trong Z v(cid:160) hœu h⁄n c¡c h(cid:160)m ch¿nh h…nh ϕ1, ..., ϕm tr¶n V
sao cho
X ∩ V = {x ∈ V |ϕi(x) = 0, i = 1, ..., m}.
Gi£ sß X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian con phøc trong (cid:31)a t⁄p phøc Z. H(cid:160)m f : X → C (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i ch¿nh h…nh n‚u v(cid:238)i mØi (cid:31)i”m x ∈ X t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n c“n U (x) ⊂ Z v(cid:160) mºt h(cid:160)m ch¿nh h…nh ˆf tr¶n U sao cho
ˆf |U ∩X ⇒ f |U ∩X.
Gi£ sß f : X → Y l(cid:160) ¡nh x⁄ giœa c¡c kh(cid:230)ng gian phøc X v(cid:160) Y . f
(cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ch¿nh h…nh n‚u v(cid:238)i mØi h(cid:160)m ch¿nh h…nh g tr¶n mºt t“p con m(cid:240) V cıa Y , h(cid:160)m hæp g ◦ f l(cid:160) h(cid:160)m ch¿nh h…nh tr¶n f −1(V ).
1.4. Gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi tr¶n kh(cid:230)ng gian phøc
[1]
(cid:30)(cid:176)t Hol(X, Y ) l(cid:160) kh(cid:230)ng gian c¡c ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh tł mºt kh(cid:230)ng
5
gian phøc X t(cid:238)i mºt kh(cid:230)ng gian phøc Y (cid:31)(cid:247)æc trang b(cid:224) t(cid:230)p(cid:230) compact
m(cid:240).
V(cid:238)i 0 < r < ∞, ta (cid:31)(cid:176)t Dr = {z ∈ C : |z| < r}; D1 = D.
Tr¶n (cid:31)(cid:190)a (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) m(cid:240) D, ta x†t kho£ng c¡ch Bergman - Poincar† cho
b(cid:240)i
∀ a ∈ D ; ρD(0, a) = (cid:96)n
1 + | |
ρD(z1, z2) = (cid:96)n , ∀ z1, z2 ∈ D.
| 1 − | 1 + |a| 1 − |a| z1 − z2 1 − z1z2 |z1 − z2| 1 − z1z2
Gi£ sß X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian phøc, p, q l(cid:160) hai (cid:31)i”m t(cid:242)y (cid:254) cıa X.
X†t d¢y (cid:31)i”m p0 = p, p1, ..., pk = q cıa X, d¢y (cid:31)i”m a1, a2, ..., ak cıa D
v(cid:160) d¢y c¡c ¡nh x⁄ f1, ..., fk trong Hol(D, X) th(cid:228)a m¢n
fi(0) = pi−1, fi(ai) = pi, ∀i = 1, ..., k.
Ta g(cid:229)i t“p hæp α = {p0, ..., pk, a1, ..., ak, f1, ..., fk} l(cid:160) mºt d¥y chuy•n
i=1 pD(0, ai).
(cid:27)
ch¿nh h…nh nŁi p v(cid:160) q trong X.
(cid:80)k
V(cid:238)i mØi d¥y chuy•n nh(cid:247) v“y, ta l“p tŒng (cid:80)k (cid:26)
i=1 pD(0, ai), α ∈ Ωp,q
, trong (cid:31)(cid:226) Ωp,q l(cid:160) (cid:30)(cid:176)t dX(p, q) = infα
t“p hæp t§t c£ c¡c d¥y chuy•n ch¿nh h…nh nŁi p v(cid:160) q trong X.
D„ th§y dX : X × X −→ R l(cid:160) mºt gi£ kho£ng c¡ch v(cid:160) g(cid:229)i l(cid:160) gi£
kho£ng c¡ch Kobayashi tr¶n kh(cid:230)ng gian phøc X.
Ta c(cid:226) th” d„ d(cid:160)ng chøng minh (cid:31)(cid:247)æc c¡c t‰nh ch§t sau (cid:31)¥y cıa dX:
i) dX l(cid:160) h(cid:160)m li¶n t(cid:246)c.
ii) N‚u f : X → Y l(cid:160) ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh giœa hai kh(cid:230)ng gian
phøc th… f l(cid:160)m gi£m kho£ng c¡ch (cid:31)Łi v(cid:238)i gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi,
ngh(cid:190)a l(cid:160)
6
∀ p, q ∈ X. dX(p, q) (cid:62) dY (f (p), f (q)),
iii) dD = ρD.
1.5. Kh(cid:230)ng gian phøc hyperbolic v(cid:160) kh(cid:230)ng gian phøc
hyperbolic (cid:31)ƒy [1]
1.5.1. Kh(cid:230)ng gian phøc hyperbolic
Kh(cid:230)ng gian phøc X (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) kh(cid:230)ng gian phøc hyperbolic n‚u
gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi dX l(cid:160) kho£ng c¡ch tr¶n X, tøc l(cid:160)
∀ p, q ∈ X. dX(p, q) = 0 ⇔ p = q,
N«m 1972, T. Barth [3] (cid:31)¢ chøng t(cid:228) r‹ng n‚u kh(cid:230)ng gian phøc X
l(cid:160) kh(cid:230)ng gian phøc hyperbolic th… t(cid:230)p(cid:230) sinh b(cid:240)i dX tr(cid:242)ng v(cid:238)i t(cid:230)p(cid:230) ban
(cid:31)ƒu cıa X.
Mºt sŁ t‰nh ch§t cıa kh(cid:230)ng gian phøc hyperbolic.
i) Kh(cid:230)ng gian con cıa mºt kh(cid:230)ng gian phøc hyperbolic l(cid:160) kh(cid:230)ng
gian phøc hyperbolic.
ii) ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) Eastwood) Gi£ sß π : X → Y l(cid:160) ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh
giœa c¡c kh(cid:230)ng gian phøc. Gi£ sß Y l(cid:160) hyperbolic v(cid:160) v(cid:238)i mØi (cid:31)i”m y ∈ Y c(cid:226) l¥n c“n U cıa y sao cho π−1(U ) l(cid:160) hyperbolic. Khi (cid:31)(cid:226) X l(cid:160) hyperbolic.
1.5.2. Kh(cid:230)ng gian phøc hyperbolic (cid:31)ƒy
Gi£ sß X l(cid:160) kh(cid:230)ng gian phøc v(cid:238)i kho£ng c¡ch d. D¢y {xn} ⊂ X
(cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) d¢y c(cid:236) b£n (hay d¢y C(cid:230)si) (cid:31)Łi v(cid:238)i kho£ng c¡ch d n‚u v(cid:238)i mØi
ε > 0, t(cid:231)n t⁄i n0 ∈ N sao cho v(cid:238)i m(cid:229)i m, n > n0, ta c(cid:226) d(xn, xm) < ε.
Kh(cid:230)ng gian phøc X (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) kh(cid:230)ng gian phøc hyperbolic (cid:31)ƒy
n‚u gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi dX l(cid:160) kho£ng c¡ch (cid:31)ƒy tr¶n X theo ngh(cid:190)a
mØi d¢y c(cid:236) b£n (cid:31)Łi v(cid:238)i dX (cid:31)•u hºi t(cid:246) trong X.
7
Ta c(cid:226) mºt sŁ t‰nh ch§t sau cıa kh(cid:230)ng gian phøc hyperbolic (cid:31)ƒy
i) Kh(cid:230)ng gian phøc hyperbolic X l(cid:160) (cid:31)ƒy khi v(cid:160) ch¿ khi m(cid:229)i h…nh
cƒu (cid:31)(cid:226)ng trong X (cid:31)•u compact.
ii) N‚u X l(cid:160) hyperbolic v(cid:160) compact, th… X l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy.
iii) Mºt kh(cid:230)ng gian con phøc (cid:31)(cid:226)ng cıa kh(cid:230)ng gian phøc hyper-
bolic (cid:31)ƒy l(cid:160) kh(cid:230)ng gian phøc hyperbolic (cid:31)ƒy.
iv) Gi£ sß π : X → Y l(cid:160) ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh giœa c¡c kh(cid:230)ng gian
phøc. Gi£ sß Y l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy v(cid:160) v(cid:238)i mØi y ∈ Y, t(cid:231)n t⁄i l¥n c“n U sao cho π−1(U ) l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy. Khi (cid:31)(cid:226) X l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy.
1.6. Kh(cid:230)ng gian phøc taut [1]
Gi£ sß X, Y l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng gian phøc
i=1 ⊂ Hol(Y, X) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ph¥n k(cid:253) compact n‚u v(cid:238)i mØi t“p compact K cıa Y , mØi t“p con compact K (cid:48) cıa X, t(cid:231)n t⁄i j0 ∈ N sao cho fj(K) ∩ K (cid:48) = φ v(cid:238)i m(cid:229)i j (cid:62) j0.
a) D¢y {fi}∞
b) H(cid:229) Hol(Y, X) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) chu'n t›c n‚u mØi d¢y {fi}∞ i=1 trong Hol(Y, X) chøa mºt d¢y con ho(cid:176)c l(cid:160) hºi t(cid:246) (cid:31)•u tr¶n mØi t“p con compact
cıa Y ho(cid:176)c l(cid:160) ph¥n k(cid:253) compact.
c) Kh(cid:230)ng gian phøc X (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) taut n‚u h(cid:229) Hol(Y, X) l(cid:160) chu'n
t›c v(cid:238)i mØi kh(cid:230)ng gian phøc Y.
T. Barth [3] (cid:31)¢ chøng minh (cid:31)(cid:247)æc : Kh(cid:230)ng gian phøc X l(cid:160) taut khi
v(cid:160) ch¿ khi h(cid:229) Hol(D, X) l(cid:160) chu'n t›c.
(cid:30)” ch¿ ra mŁi li¶n h» giœa t‰nh taut v(cid:160) t‰nh hyperbolic cıa mºt
kh(cid:230)ng gian phøc, P. Kiernam [6] (cid:31)¢ chøng t(cid:228) r‹ng n‚u kh(cid:230)ng gian phøc
X l(cid:160) taut th… X l(cid:160) hyperbolic v(cid:160) n‚u X l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy th… X l(cid:160) taut.
8
C¡c khflng (cid:31)(cid:224)nh ng(cid:247)æc l⁄i (cid:31)•u kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng.
1.7. H(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i [7]
a) Cho G l(cid:160) t“p con m(cid:240) trong Cm, u : G → R l(cid:160) mºt h(cid:160)m l(cid:238)p
j,k=1
= 0 C 2. H(cid:160)m u (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)i•u hÆa trong G n‚u ∆u := (cid:80)m ∂2u ∂zj∂ ¯zk
tr¶n G.
b) H(cid:160)m u : G → [−∞, ∞) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i trong mi•n
G n‚u u th(cid:228)a m¢n hai (cid:31)i•u ki»n sau:
i) u l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n trong G, tøc l(cid:160) t“p {z ∈ G | u(z) < s} l(cid:160)
t“p m(cid:240) v(cid:238)i mØi sŁ th(cid:252)c s.
ii) V(cid:238)i mØi t“p con m(cid:240) compact t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi Ω cıa G v(cid:160) m(cid:229)i h(cid:160)m h : Ω → R l(cid:160) (cid:31)i•u hÆa trong Ω v(cid:160) li¶n t(cid:246)c trong ¯Ω, ta c(cid:226) n‚u u ≤ h tr¶n ∂G th… u ≤ h tr¶n Ω.
Ta c(cid:226) ti¶u chu'n (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i sau:
(cid:30)” h(cid:160)m u nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n trong mi•n G l(cid:160) (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i trong
2π (cid:82)
G, cƒn v(cid:160) (cid:31)ı l(cid:160) v(cid:238)i m(cid:229)i (cid:31)i”m z ∈ D, ∃r0(z) > 0 sao cho
0
u(z) ≤ u(z + reit)dt, v(cid:238)i m(cid:229)i r < r0. 1 2π
1.8. H(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i [7]
H(cid:160)m ϕ : G → [−∞, ∞) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i trong mi•n
G ⊂ Cn n‚u
i) ϕ l(cid:160) h(cid:160)m nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n tr¶n G sao cho ϕ (cid:54)= −∞ tr¶n mØi
th(cid:160)nh phƒn li¶n th(cid:230)ng cıa G.
ii) V(cid:238)i mØi (cid:31)i”m a ∈ G, v(cid:238)i m(cid:229)i b ∈ C, h(cid:160)m λ (cid:55)→ ϕ(a + λb) l(cid:160) (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ho(cid:176)c (cid:31)(cid:231)ng nh§t b‹ng −∞ tr¶n mØi th(cid:160)nh phƒn li¶n th(cid:230)ng cıa t“p {λ ∈ C : a + λb ∈ G}.
9
(cid:30)Łi v(cid:238)i kh(cid:230)ng gian phøc , ta c(cid:226) (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a sau:
Gi£ sß X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian phøc. Mºt h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n
X l(cid:160) h(cid:160)m ϕ : X → [−∞, ∞) th(cid:228)a m¢n v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ X, t(cid:231)n t⁄i l¥n c“n U
cıa x sao cho c(cid:226) ¡nh x⁄ song ch¿nh h…nh h : U → V, v(cid:238)i V l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian con phøc (cid:31)(cid:226)ng cıa mºt mi•n G n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) trong Cn, v(cid:160) t(cid:231)n t⁄i mºt h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ˜ϕ : G → [−∞, ∞) sao cho ϕ|U = ˜ϕ0 h (xem [9]).
Ch(cid:243) (cid:254): i) (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a tr¶n kh(cid:230)ng ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o vi»c ch(cid:229)n b£n
(cid:31)(cid:231) (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng .
ii) Fornaess v(cid:160) Narasimhan (cid:31)¢ chøng minh (cid:31)(cid:247)æc k‚t qu£
sau (Xem [5]):
H(cid:160)m nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n ϕ : X → [−∞, ∞) tr¶n kh(cid:230)ng gian phøc X
l(cid:160) (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n X n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u ϕ◦ f l(cid:160) (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ho(cid:176)c
10
(cid:31)(cid:231)ng nh§t b‹ng −∞ tr¶n D v(cid:238)i m(cid:229)i f ∈ Hol(D, X).
Ch(cid:247)(cid:236)ng 2
T‰nh hyperbolic (cid:31)ƒy cıa mi•n Hartogs.
(cid:26)
(cid:27)
M(cid:246)c (cid:31)‰ch cıa ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y l(cid:160) nghi¶n cøu t‰nh hyperbolic (cid:31)ƒy cıa (z, w) ∈ X × C : |w| < e−ϕ(z) , c(cid:246) th” l(cid:160) ch¿ ra mi•n Hartogs Ωϕ(X) =
mºt l(cid:238)p c¡c h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ϕ m(cid:160) nh(cid:237) (cid:31)(cid:226) c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)a ra c¡c (cid:31)i•u
ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)ı (cid:31)Łi v(cid:238)i t‰nh hyperbolic (cid:31)ƒy cıa mi•n Ωϕ(X).
Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n, ta ch¿ ra mºt (cid:31)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)ı cho t‰nh hyperbolic
cıa mi•n Hartogs Ωϕ(X). Ta c(cid:226) m»nh (cid:31)• sau:
M»nh (cid:31)• 2.1.[11]. Gi£ sß X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian phøc, ϕ : X →
[−∞, ∞) l(cid:160) h(cid:160)m nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n tr¶n X. Khi (cid:31)(cid:226) Ωϕ(X) l(cid:160) hyperbolic
n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u X l(cid:160) hyperbolic v(cid:160) ϕ l(cid:160) b(cid:224) ch(cid:176)n (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng tr¶n X.
Chøng minh.
(cid:30)i•u ki»n cƒn: Gi£ sß Ωϕ(X) l(cid:160) hyperbolic. V… X (cid:31)flng c§u v(cid:238)i
kh(cid:230)ng gian con phøc (cid:31)(cid:226)ng {(x, 0); x ∈ X} cıa Ωϕ(X) n¶n X l(cid:160) hyper-
bolic. Ta s‡ chøng minh ϕ l(cid:160) b(cid:224) ch(cid:176)n (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng tr¶n X. Gi£ sß ng(cid:247)æc
l⁄i, ϕ kh(cid:230)ng b(cid:224) ch(cid:176)n (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng tr¶n X, th‚ th… t(cid:231)n t⁄i z0 ∈ X v(cid:160)
mºt d¢y {zk} hºi t(cid:246) t(cid:238)i z0 sao cho ϕ(zk) → −∞. CŁ (cid:31)(cid:224)nh mºt (cid:31)i”m
11
(z0, w0) ∈ Ωϕ(X), w0 (cid:54)= 0. Kh(cid:230)ng m§t tŒng qu¡t, ta c(cid:226) th” gi£ thi‚t r‹ng |w0| < e−ϕ(zk), ∀k (cid:62) 1.
Khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226):
dΩϕ(X)((z0, 0)(z0, w0)) ≤ dΩϕ(X)((z0, 0)(zk, 0))+
dΩϕ(X)((zk, 0)(zk, w0)) + dΩϕ(X)((zk, w0)(zo, w0)) ≤ dX(z0, zk) + dDk(0, w0) + dΩϕ(X)((zk, wo), (z0, w0)), ∀ k (cid:62) 1,
trong (cid:31)(cid:226) Dk = {z ∈ C : |z| < e−ϕ(zk)}. Cho k dƒn t(cid:238)i ∞, ta c(cid:226) dΩϕ(X)((z0, 0)(z0, w0)) = 0. (cid:30)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i t‰nh hyperbolic cıa Ωϕ(X). V“y ϕ l(cid:160) b(cid:224) ch(cid:176)n (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng tr¶n X.
(cid:30)i•u ki»n (cid:31)ı: Ta x†t ph†p chi‚u π : Ωϕ(X) → X x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i
π(z, w) = z. L§y U l(cid:160) mºt l¥n c“n hyperbolic cıa z0 trong X sao cho
R = infz∈U ϕ(z) > −∞.
Ta d„ th§y r‹ng π−1(U ) = Ωϕ(U ) ⊂ U × {w : |w| < e−R}, c(cid:244)ng l(cid:160) hyperbolic. Theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) Eastwood ([7], p.46), ta c(cid:226) (cid:31)i•u ph£i chøng
minh.
Gi£ sß X l(cid:160) kh(cid:230)ng gian phøc, ϕ : X → [−∞, ∞) l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u
hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n X. Ta c(cid:226) m»nh (cid:31)• sau:
M»nh (cid:31)• 2.2.[10]. N‚u Ωϕ(X) l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy th… X l(cid:160) hyperbolic
(cid:31)ƒy, ϕ li¶n t(cid:246)c v(cid:160) ϕ(x) (cid:54)= −∞ v(cid:238)i m(cid:229)i x.
Chøng minh
Gi£ sß Ωϕ(X) l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy . V… X (cid:31)flng c§u v(cid:238)i kh(cid:230)ng gian
con phøc (cid:31)(cid:226)ng {(x; 0); x ∈ X} cıa Ωϕ(X) n¶n X l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy .
Gi£ sß t(cid:231)n t⁄i x0 ∈ X sao cho ϕ(x0) = −∞. D„ th§y
{x0} × C ⊂ Ωϕ(X), tøc l(cid:160) Ωϕ(X) chøa (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng phøc. Do v“y m¥u thu¤n v(cid:238)i t‰nh hyperbolic cıa Ωϕ(X). V“y ϕ(X) (cid:54)= −∞ v(cid:238)i m(cid:229)i x.
Gi£ sß ϕ kh(cid:230)ng li¶n t(cid:246)c t⁄i (cid:31)i”m x0 ∈ X. Do ϕ l(cid:160) h(cid:160)m nßa li¶n
t(cid:246)c tr¶n n¶n ta t…m (cid:31)(cid:247)æc d¢y {zj} ⊂ X v(cid:160) sŁ th(cid:252)c r sao cho {zj} → z0
v(cid:160)
12
e−ϕ(z0) < r < e−ϕ(zJ ), ∀j ≥ 1 (1)
V(cid:238)i mØi j ≥ 1, ta (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh fj : D → Ωϕ(X)
x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i fj = (zj, rw), v(cid:238)i mØi w ∈ ∆.
V… Ωϕ(X) l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy n¶n Ωϕ(X) l(cid:160) taut.
Tł {fj(0)} → (z0, 0) ∈ Ωϕ(X) v(cid:160) tł t‰nh taut cıa Ωϕ(X), kh(cid:230)ng m§t
tŒng qu¡t ta c(cid:226) th” gi£ thi‚t d¢y {fj} hºi t(cid:246) (cid:31)•u t(cid:238)i ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh f
trong Hol(D; Ωϕ(X)), trong (cid:31)(cid:226) f ∈ Hol(D; Ωϕ(X)) (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i
∀w ∈ D f (w) = (z0, rw),
Tł (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) r.|w| < e−ϕ(z0), ∀w ∈ D.
Do v“y r ≤ e−ϕ(z0). (cid:30)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i (1).
V“y ϕ l(cid:160) h(cid:160)m li¶n t(cid:246)c tr¶n X. M»nh (cid:31)• (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.
Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp ϕ : X → [−∞, ∞) l(cid:160) mºt h(cid:160)m nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n
tr¶n X , ta c(cid:226) (cid:31)i•u ki»n cƒn cho t‰nh hyperbolic (cid:31)ƒy cıa mi•n Hartogs
Ωϕ(X) nh(cid:247) sau:
(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.[11]. Gi£ sß X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian phøc, ϕ : X → [−∞, ∞)
l(cid:160) h(cid:160)m nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n x¡c (cid:31)(cid:224)nh tr¶n X. N‚u Ωϕ(X) l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy,
th… X l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy v(cid:160) ϕ l(cid:160) mºt h(cid:160)m gi¡ tr(cid:224) th(cid:252)c, (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i
li¶n t(cid:246)c tr¶n X.
Chøng minh.
V… X l(cid:160) (cid:31)flng c§u v(cid:238)i mºt kh(cid:230)ng gian con phøc (cid:31)(cid:226)ng cıa Ωϕ(X)
n¶n X l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy . Theo M»nh (cid:31)• 2.1 ta c(cid:226) ϕ l(cid:160) h(cid:160)m gi¡ tr(cid:224) th(cid:252)c.
Ti‚p theo ta chøng minh ϕ l(cid:160) li¶n t(cid:246)c tr¶n X. Gi£ sß ϕ kh(cid:230)ng li¶n
t(cid:246)c tr¶n X th… t(cid:231)n t⁄i z0 ∈ X, mºt d¢y {zj}j(cid:62)1 ⊂ X v(cid:160) mºt h‹ng sŁ
r > 0 th(cid:228)a m¢n:
(2) {zj} → z0, e−ϕ(z0) < e−ϕ(zj), ∀ j ≥ 1.
V(cid:238)i mØi j ≥ 1, ta x¡c (cid:31)(cid:224)nh ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh fj : D → Ωϕ(X) x¡c
13
(cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i fj(w) = (zj, rw). Rª r(cid:160)ng {fj(0)} → (z0, 0) ∈ Ωϕ(X). V… X l(cid:160)
hyperbolic (cid:31)ƒy n¶n X l(cid:160) taut, b‹ng c¡ch l§y d¢y con ta c(cid:226) th” gi£ thi‚t
r‹ng d¢y {fj} hºi t(cid:246) (cid:31)•u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng tr¶n D t(cid:238)i mºt ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh
f ∈ Hol(D, Ωϕ(X)).
D„ th§y f (w) = (z0, rw). (cid:30)i•u n(cid:160)y cho ta r|w| < e−ϕ(z0), ∀ w ∈ D,
v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) r ≤ e−ϕ(z0).
(cid:30)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i (2). V“y ϕ l(cid:160) li¶n t(cid:246)c tr¶n X.
CuŁi c(cid:242)ng ta chøng minh ϕ l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n X. Theo
(cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) cıa Fornaess v(cid:160) Narasimhan (cid:31)(cid:247)æc n(cid:226)i (cid:240) tr¶n ta ch¿ cƒn chøng minh r‹ng ϕ ◦ g l(cid:160) (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i v(cid:238)i m(cid:229)i g ∈ Hol(D, X) ∩ ( ¯D, X). Ta
(cid:27)
x†t mi•n Hartogs nh(cid:247) sau: (cid:26) (z, w) : z ∈ D, |w| < e−(ϕ◦g) . Ωϕ◦g(D) =
Ta s‡ chøng minh r‹ng Ωϕ◦g(D) l(cid:160) gi£ l(cid:231)i. Gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i, s‡ t(cid:231)n t⁄i mºt d¢y {ϕj} trong Hol(D, Ωϕ◦g(D)) ∩ C( ¯D, Ωϕ◦g(D)) th(cid:228)a m¢n :
i) ϕn( ¯D) ⊂ Ωϕ◦g(D), ∀n ≥ 1.
ii) {ϕn} hºi t(cid:246) (cid:31)•u tr¶n ¯D (cid:31)‚n ϕ∗ sao cho ϕ∗(∂D) ⊂ Ωϕ◦g(D).
iii) ϕ∗(D) (cid:54)⊂ Ωϕ◦g(D).
(cid:30)(cid:176)t ψ(λ, w) = (g(λ), w), ∀(λ, w) ∈ D × C.
X†t d¢y c¡c ¡nh x⁄ { ˜ϕn} x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i ˜ϕn = ψ ◦ ϕn.
n≥1 ˜ϕn(∂D) ∪ (ψ ◦ ϕ∗)(∂D) ⊂⊂ Ωϕ(X).
Tł (i) v(cid:160) (ii) ta c(cid:226) (cid:83)
V… v“y, ta c(cid:226) th” t…m (cid:31)(cid:247)æc mºt t“p con m(cid:240) compact t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi n≥1 ˜ϕn(∂D) ∪ (ψ ◦ ϕ∗)(∂D). Do (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i n0 (cid:31)ı l(cid:238)n
U cıa Ωϕ(X) chøa (cid:83) v(cid:160) z0 ∈ D (cid:31)ı gƒn ∂D sao cho ˜ϕn(z0) ∈ U v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ n0. Ta (cid:31)(cid:176)t:
14
F = {f ∈ Hol(D, Ωϕ(X)) : f (z0) ∈ U }.
V… Ωϕ(X) l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy n¶n Ωϕ(X) l(cid:160) taut. Do v“y F l(cid:160) chu'n
t›c. V… kh(cid:230)ng c(cid:226) d¢y con trong F c(cid:226) th” l(cid:160) ph¥n k(cid:253) compact v(cid:160) ˜ϕn ∈ F, v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ n0 n¶n ta c(cid:226) ¡nh x⁄ gi(cid:238)i h⁄n ψ ◦ ϕ∗ thuºc F. (cid:30)(cid:176)c bi»t ψ ◦ ϕ∗ ¡nh x⁄ D v(cid:160)o Ωϕ(X), (cid:31)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i (iii). V… v“y Ωϕ◦g(D) l(cid:160)
gi£ l(cid:231)i. Suy ra ϕ ◦ g l(cid:160) (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i. (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.
(cid:30)” chøng minh k‚t qu£ ti‚p theo, ta nh›c l⁄i M»nh (cid:31)• sau:
M»nh (cid:31)• 2.4.([7], p55). Cho X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian phøc, a ∈ X v(cid:160)
c¡c sŁ d(cid:247)(cid:236)ng ρ, ε . Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i h‹ng sŁ c > 1 sao cho v(cid:238)i mØi δ > 0,
m(cid:229)i c(cid:176)p (cid:31)i”m (p, q) thuºc h…nh cƒu m(cid:240) U (a, ρ) = {b ∈ X : dX(a, b) < ρ}
c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)æc nŁi b(cid:240)i mºt d¥y chuy•n β c¡c (cid:31)(cid:190)a ch¿nh h…nh c(cid:226) (cid:31)º d(cid:160)i
l(β) < C(dX(p, q) + δ) n‹m trong U (a; 3ρ + ε).
(cid:30)(cid:176)t bi»t dU (a;3ρ+ε)(p, q) ≤ C.dX(p, q), ∀ p, q ∈ U (a; ρ).
Chøng minh.
L§y 0 < r < 1 l(cid:160) sŁ d(cid:247)(cid:236)ng x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i dD(0, r) = ε, v… v“y (cid:31)(cid:190)a Dr = {z ∈ C, |z| < r} b“c k‰nh r c(cid:226) b¡n k‰nh ε øng v(cid:238)i kho£ng c¡ch Poincar† dD . Ta ch(cid:229)n C th(cid:228)a m¢n dDr(0, x) ≤ C.dD(0, x) v(cid:238)i x ∈ D r 2 .
(cid:30)” chøng minh C th(cid:228)a m¢n y¶u cƒu , ta nŁi p, q ∈ U (a, ρ) b(cid:240)i mºt
d¥y chuy•n α c¡c (cid:31)(cid:190)a ch¿nh h…nh trong X c(cid:226) (cid:31)º d(cid:160)i l(α) < dX(p, q) + δ <
2ρ v(cid:238)i δ (cid:31)ı nh(cid:228).
V… (cid:31)º d(cid:160)i cıa li¶n k‚t |α| b† h(cid:236)n 2ρ n¶n |α| b(cid:224) ch(cid:176)n trong U (a, 3ρ).
L§y fi : D → X l(cid:160) (cid:31)(cid:190)a ch¿nh h…nh thø i cıa d¥y chuy•n α bi‚n ai, bi ∈ D
2. V…
pi−1 ∈ U (a, 3ρ) n¶n fi(Dr) ⊂ U (a, 3ρ + ε), v… v“y n‚u
th(cid:160)nh pi−1, pi ∈ X . Kh(cid:230)ng m§t tŒng qu¡t , ta c(cid:226) th” gi£ thi‚t ai = 0 v(cid:160) |bi| < r z ∈ Dr, th… dD(0, z) < ε v(cid:160) dX(pi−1, fi(z)) = dX(fi(0), fi(z)) < ε.
B‹ng c¡ch thu h(cid:181)p (cid:31)(cid:190)a ch¿nh h…nh fi : D → X tr¶n Dr, ta c(cid:226) d¥y
chuy•n β l(cid:160) d¥y chuy•n nŁi p v(cid:160) q n‹m trong U (a, 3ρ + ε) v(cid:160) l(β) ≤
15
C.l(α) < C.(dX(p, q) + δ).
V… δ t(cid:242)y (cid:254) n¶n ta c(cid:226) (cid:31)i•u ph£i chøng minh.
H» qu£ 2.5.[2]. Gi£ sß X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian phøc , a ∈ X, ρ > 0. Khi (cid:31)(cid:226)
t(cid:231)n t⁄i h‹ng sŁ C > 0 sao cho v(cid:238)i p, q ∈ U (a, ρ) = {b ∈ X : dX(a, b) < ρ}
ta c(cid:226) dU (a,4ρ)(p, q) ≤ C.dX(p, q).
(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.6.[11]. Gi£ sß X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian phøc hyperbolic, ϕ l(cid:160) mºt
h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i li¶n t(cid:246)c, gi¡ tr(cid:224) th(cid:252)c tr¶n X th(cid:228)a m¢n t‰nh ch§t
sau: V(cid:238)i mØi (cid:31)i”m bi¶n (z0, w0) cıa Ωϕ(X) v(cid:238)i z0 ∈ X, t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n
c“n V cıa z0 trong X v(cid:160) mºt ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh f tł Ωϕ(X) v(cid:160)o kh(cid:230)ng
gian hyperbolic (cid:31)ƒy Y sao cho d¢y f (zn, wn) kh(cid:230)ng l(cid:160) compact t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi
trong Y v(cid:238)i b§t k(cid:253) d¢y {(zn, wn)} hºi t(cid:246) t(cid:238)i (z, w). Khi (cid:31)(cid:226) Ωϕ(X) l(cid:160)
hyperbolic (cid:31)ƒy.
Chøng minh:
Theo M»nh (cid:31)• 2.1, Ωϕ(X) l(cid:160) hyperbolic. Ch(cid:243)ng ta ph£i chøng
minh r‹ng Ωϕ(X) l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy. Ta gi£ thi‚t r‹ng t(cid:231)n t⁄i mºt d¢y
Cauchy {pk}k≥1 = {(zk, wk)}k≥1 trong Ωϕ(X) sao cho {pk} kh(cid:230)ng hºi t(cid:246)
t(cid:238)i b§t k(cid:253) (cid:31)i”m n(cid:160)o trong Ωϕ(X). Theo t‰nh ch§t gi£m kho£ng c¡ch,
{zk} l(cid:160) mºt d¢y Cauchy trong X. V… X l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy n¶n d¢y n(cid:160)y
hºi t(cid:246) t(cid:238)i z0 ∈ X.
Gi£ sß U l(cid:160) mºt l¥n c“n compact t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi cıa z0 ∈ X.
B‹ng c¡ch l§y mºt d¢y con n‚u cƒn thi‚t , ta c(cid:226) th” gi£ thi‚t r‹ng
{zk}k≥1 ⊂ U .
Tł (cid:31)(cid:226) suy ra {(zk, wk)}k≥1 ⊂ U × ∆ ⊂ U × C, trong (cid:31)(cid:226) ∆ l(cid:160) (cid:31)(cid:190)a {w : |w| < e− inf z∈U ϕ(z)}. B‹ng c¡ch l§y mºt d¢y con n‚u cƒn thi‚t, ta c(cid:226)
th” gi£ sß r‹ng d¢y {pk}k≥1 hºi t(cid:246) t(cid:238)i (cid:31)i”m trong ∂(Ωϕ(X)).
16
Tł gi£ thi‚t, ta c(cid:226) th” l§y mºt l¥n c“n V cıa z0 trong X, mºt h(cid:160)m ch¿nh h…nh f trong π−1(V ) v(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian hyperbolic (cid:31)ƒy Y th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n (cid:31)¢ cho. L§y 0 < ρ < 1 5 inf{dX(z0, x) :∈ X\V }, v(cid:160) N
(cid:31)ı l(cid:238)n sao cho pn ∈ U(pN ,ρ) v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ N .
B‹ng c¡ch sß d(cid:246)ng t‰nh ch§t gi£m kho£ng c¡ch ta c(cid:226)
dX(z0, zn) ≤ ρ, ∀ n ≥ N.
Ta s‡ chøng minh U (pN , 4ρ) ⊂ π−1(V ). Th“t v“y, n‚u
th… dΩϕ(X)(pN , p) < 4ρ
dX(π(p), z0) ≤ dX(π(p), zN ) + dX(zN , z0)
≤ dΩϕ(X)(p, pN ) + ρ < 5ρ ≤ dX(z0, X\V ).
Do v“y π(p) ∈ V , ta (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)i•u cƒn chøng minh.
Theo H» qu£ 2.5 ta c(cid:226) C1, C2 > 0 th(cid:228)a m¢n:
dπ−1(V )(pn, pN ) ≥ dU (pN ,4ρ)(pn, pN )
≤ C1dΩϕ(X)(pn, pN ) < C2, ∀ n > N .
M(cid:176)t kh¡c, ta c(cid:226)
dπ−1(V )(pn, pN ) ≥ dY (f (pn), f (pN )), ∀ n > N.
V… Y l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy v(cid:160) d¢y {f (pn)} kh(cid:230)ng ph£i l(cid:160) compact
t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi trong Y, ta c(cid:226) m¥u thu¤n. V“y (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.
Tł (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) tr¶n, ta c(cid:226) ngay k‚t qu£ sau:
(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.7.[11]. Cho X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian phøc hyperbolic, ϕ l(cid:160) mºt
h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i li¶n t(cid:246)c, gi¡ tr(cid:224) th(cid:252)c tr¶n X th(cid:228)a m¢n t‰nh ch§t:
V(cid:238)i m(cid:229)i (cid:31)i”m bi¶n (z0, w0) cıa Ωϕ(X) m(cid:160) z0 ∈ X, t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n c“n
V cıa z0 trong X, mºt h(cid:160)m ch¿nh h…nh f tr¶n Ωϕ(V ) sao cho:
|f (z, w)| < 1, ∀ (z, w) ∈ Ωϕ(V )
lim(z,w)→(z0,w0) |f (z, w)| = 1.
17
Khi (cid:31)(cid:226) Ωϕ(X) l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy.
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.8.[11]. Gi£ sß X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian phøc, ϕ l(cid:160) h(cid:160)m nßa
li¶n t(cid:246)c tr¶n tr¶n X. Ta n(cid:226)i r‹ng ϕ c(cid:226) t‰nh ch§t (S) t⁄i mºt (cid:31)i”m a ∈ X
n‚u t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n c“n Ua cıa a trong X v(cid:160) mºt h(cid:160)m ch¿nh h…nh fa
tr¶n Ua th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n sau:
(i) ϕ(z) ≥ log |fa(z)|, ∀ z ∈ Ua,
(ii) ϕ(a) = log |fa(a)|.
Nh“n x†t.
Gi£ sß ϕ l(cid:160) tr¶n h(cid:160)m nßa (cid:31)(cid:247)æc li¶n t(cid:246)c tr¶n X. Gi£ thi‚t r‹ng ϕ
c(cid:226) t‰nh ch§t (S) t⁄i m(cid:229)i (cid:31)i”m cıa X, khi (cid:31)(cid:226) d„ ki”m tra ϕ ph£i l(cid:160) (cid:31)a
(cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n X. (cid:30)i•u ng(cid:247)æc l⁄i kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng.
BŒ (cid:31)• 2.9.[11]. Gi£ sß X l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy, ϕ l(cid:160) mºt h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa
d(cid:247)(cid:238)i li¶n t(cid:246)c, gi¡ tr(cid:224) th(cid:252)c tr¶n X. Gi£ thi‚t r‹ng ϕ c(cid:226) t‰nh ch§t (S) t⁄i
m(cid:229)i (cid:31)i”m cıa X. Khi (cid:31)(cid:226) Ωϕ(X) l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy.
Chøng minh.
L§y mºt (cid:31)i”m t(cid:242)y (cid:254) (z0, w0) ∈ ∂(Ωϕ(X)) v(cid:238)i z0 ∈ X. V… ϕ c(cid:226) t‰nh
ch§t (S) t⁄i z0 n¶n ta c(cid:226) th” l§y mºt l¥n c“n b† U cıa z0 v(cid:160) mºt h(cid:160)m
ch¿nh h…nh fz0 th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n (i) v(cid:160) (ii) trong (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.8. (cid:30)(cid:176)t: f (z, w) = wfz0(z), ∀(z, w) ∈ π−1(U ). Rª r(cid:160)ng f l(cid:160) ch¿nh h…nh tr¶n π−1(U ).
Ta c(cid:226): |f (z, w)| = |wfz0(z)| ≤ |weϕ(z)| < 1, ∀(z, w) ∈ π−1(U ).
Do |f (z0, w0)| = 1, theo (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.7 ta c(cid:226) (cid:31)i•u ph£i chøng minh.
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.10.[11]. Cho X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian phøc. Mºt h(cid:160)m ϕ :
X → [−∞, ∞) g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ng(cid:176)t tr¶n X n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i ¡nh x⁄ nh(cid:243)ng (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng j : X (cid:44)→ Ω ⊂ Cn, ϕ l(cid:160) h⁄n ch‚ (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng cıa mºt h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ng(cid:176)t ˜ϕ tr¶n Ω.
(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) sau (cid:31)¥y tr…nh b(cid:160)y (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı cho t‰nh hyperbolic (cid:31)ƒy
18
cıa mi•n Hartogs Ωϕ(X).
(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.11.[11]. Gi£ sß X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian hyperbolic (cid:31)ƒy. Gi£
thi‚t r‹ng ϕ l(cid:160) mºt h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ng(cid:176)t tr¶n X. Khi (cid:31)(cid:226) Ωϕ(X) l(cid:160)
hyperbolic (cid:31)ƒy.
Chøng minh.
Ta ch¿ cƒn chøng minh t⁄i mØi (cid:31)i”m a ∈ X, h(cid:160)m ϕ c(cid:226) t‰nh ch§t
(S). V… b(cid:160)i to¡n l(cid:160) (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng, ta c(cid:226) th” gi£ thi‚t r‹ng quanh (cid:31)i”m a, X l(cid:160) mºt t“p con gi£i t‰ch cıa mºt t“p m(cid:240) Y trong Cn. Do ϕ l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ng(cid:176)t tr¶n X n¶n t(cid:231)n t⁄i mºt h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ng(cid:176)t
˜ϕ tr¶n Y sao cho ˜ϕ|X = ϕ.
Ta (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a
j=1
2 ˜ϕ(a) + (cid:80)n
(cid:80)n
(a)(zj − aj)+ pa(z) = 1 ∂ ˜ϕ ∂zj
j,k=1
1 2
(a)(zj − aj)(zk − ak). ∂2 ˜ϕ ∂zj∂zk
(cid:26)
(cid:80)n
Tł (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) ˜ϕ(a) = Re(2pa(a)).
j=1
(cid:27)
(cid:80)n
˜ϕ(z) = ˜ϕ(a) + 2Re (a)(zj − aj) Ta x†t khai tri”n Taylor cıa ˜ϕ t⁄i a ∂ ˜ϕ ∂zj
j,k=1
(a)(zj − aj)(zk − ak) + 1 2
j,k=1
+ (cid:80)n (a)(zj − aj)(zk − ak) + o(|z − a|2) ∂2 ˜ϕ ∂zj, ∂zj ∂2 ˜ϕ ∂zj∂ ¯zk
j,k=1
(a)(zj − aj)(zk − ak) + o(|z − a|2). = 2Re(pa(z)) + (cid:80)n ∂2 ˜ϕ ∂zj∂ ¯zk
V… ϕ l(cid:160) (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ng(cid:176)t tr¶n Y , n¶n t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n c“n U
∀z ∈ U . cıa a sao cho ˜ϕ(z) ≥ Re(2pa(z)) = log |e2pa(z)|,
Tł (cid:31)(cid:226) suy ra ϕ c(cid:226) t‰nh ch§t (S) t⁄i a. Theo BŒ (cid:31)” 2.9 ta c(cid:226) (cid:31)i•u
19
cƒn chøng minh.
H» qu£ 2.12.[11]. Gi£ sß X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian hyperbolic (cid:31)ƒy, ϕ l(cid:160)
mºt h(cid:160)m li¶n t(cid:246)c c(cid:226) gi¡ tr(cid:224) th(cid:252)c tr¶n X. Gi£ thi‚t r‹ng v(cid:238)i m(cid:229)i (cid:31)i”m
z0 ∈ X, t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n c“n U cıa z0 sao cho
(3) ϕ(z) = supj≥1{cj log |fj(z)|}, ∀ z ∈ U,
trong (cid:31)(cid:226) {fj}j≥1 th(cid:228)a m¢n log |fj| > 0 tr¶n U v(cid:238)i m(cid:229)i j l(cid:160) mºt d¢y
c¡c h(cid:160)m ch¿nh h…nh tr¶n U v(cid:160) {cj}j≥1 l(cid:160) mºt d¢y c¡c sŁ d(cid:247)(cid:236)ng th(cid:228)a m¢n
0 < a < cj < b < ∞, ∀ j.
Khi (cid:31)(cid:226) Ωϕ(X) l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy.
Chøng minh.
Ta ch(cid:229)n mºt d¢y con {nj}j≥1 sao cho
ϕ(z0) = limj→∞ cnj log |fnj(z0)|.
V… ϕ l(cid:160) b(cid:224) ch(cid:176)n tr¶n U sau khi thu nh(cid:228) U , tł (3) ta c(cid:226)
a.(supj≥1 ||fnj||U ) ≤ supU ϕ < ∞.
V… v“y, b‹ng c¡ch l§y d¢y con v(cid:160) thu nh(cid:228) U lƒn thø hai, c(cid:226) th” ta
gi£ thi‚t r‹ng d¢y {fnj}j≥1 hºi t(cid:246) (cid:31)i•u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng tr¶n U t(cid:238)i mºt h(cid:160)m ch¿nh h…nh f . Do (cid:31)(cid:226) cj → c ≥ a > 0. Ta (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a
ϕ∗(z) = c log |f (z)|, ∀z ∈ U.
D„ ki”m tra (cid:31)(cid:247)æc ϕ∗(z0) = ϕ(z0) v(cid:160) ϕ∗(z) ≤ ϕ(z), ∀z ∈ U . V… v“y ϕ c(cid:226) t‰nh ch§t (S) t⁄i (cid:31)i”m z0. Theo BŒ (cid:31)• 2.9, ta (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)i•u cƒn chøng
minh.
Ta c(cid:226) th” ch¿ ra c(cid:226) h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i m(cid:160) kh(cid:230)ng c(cid:226) t‰nh ch§t
20
(S) t⁄i mºt (cid:31)i”m.
Nh“n x†t [11]
Gi£ sß X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian phøc, ϕ l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n
X. Gi£ sß r‹ng ϕ c(cid:226) t‰nh ch§t (S) t⁄i (cid:31)i”m z0 ∈ X,v(cid:160) ϕ(z0) (cid:54)= −∞, ta
s‡ chøng t(cid:228) r‹ng mi•n
X ∗ = (cid:8)(z, w) ∈ X × C : Re w + ϕ(z) < 0(cid:9)
th(cid:228)a m¢n: t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n c“n U cıa z0, mºt h(cid:160)m ch¿nh h…nh ψ tr¶n U m(cid:160) X ∗ ∩ {(z, ψ(z))|z ∈ U } = ∅, trong (cid:31)(cid:226) ψ(z0) = −ϕ(z0).
Th“t v“y, l§y mºt l¥n c“n U cıa z0 trong X (cid:31)ı b† sao cho U l(cid:160)
co r(cid:243)t (cid:31)(cid:247)æc X. V… ϕ(z0) (cid:54)= −∞ n¶n ta c(cid:226) fz0(z0) (cid:54)= 0, suy ra t(cid:231)n t⁄i mºt h(cid:160)m ch¿nh h…nh ψ tr¶n U th(cid:228)a m¢n:
ψ(z0) = −ϕ(z0), ∀z ∈ U. |fz0(z)eψ(z)| = 1
Ta ch(cid:243) (cid:254) r‹ng
ϕ(z) ≥ log |fz0(z)| = log |e−ψ(z)| = −Re ψ(z), ∀ z ∈ U,
v(cid:160) ψ(z0) = −ϕ(z0). V… v“y ta (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)i•u cƒn chøng minh
Theo v‰ d(cid:246) cıa Konn v(cid:160) Nirenberg ([12]) v(cid:160) tł nh“n x†t tr¶n, ta suy ra t(cid:231)n t⁄i mºt h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ; gi¡ tr(cid:224) th(cid:252)c tr¶n C2 sao cho ϕ kh(cid:230)ng c(cid:226) t‰nh ch§t (S) t⁄i 0.
M»nh (cid:31)• sau (cid:31)¥y chøng t(cid:228) r‹ng t(cid:231)n t⁄i mºt h(cid:160)m ϕ sao cho Ωϕ(X)
l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy nh(cid:247)ng ϕ kh(cid:230)ng c(cid:226) t‰nh ch§t (S) t⁄i mºt (cid:31)i”m. M»nh (cid:31)• 2.13.[11]. Gi£ sß X l(cid:160) mºt mi•n hyperbolic (cid:31)ƒy trong C chøa 0, l§y t > 0 sao cho cos(5π/7) < −1/t < −5/9. X¡c (cid:31)(cid:224)nh h(cid:160)m ϕ b(cid:240)i
ϕ(z) = |z|6 + t|z|2Re(z4).
21
Khi (cid:31)(cid:226) Ωϕ(X) l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy nh(cid:247)ng ϕ kh(cid:230)ng c(cid:226) t‰nh ch§t (S) t⁄i 0.
M»nh (cid:31)• n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc suy tr(cid:252)c ti‚p tł hai BŒ (cid:31)• sau :
BŒ (cid:31)• 2.14.[11]. Gi£ sß X l(cid:160) mºt mi•n hyperbolic (cid:31)ƒy trong C, ϕ l(cid:160) mºt h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n X. Gi£ thi‚t r‹ng t⁄i m(cid:229)i (cid:31)i”m z0 ∈ X, t(cid:231)n
t⁄i mºt sŁ t(cid:252) nhi¶n n ≥ 4, mºt l¥n c“n U cıa z0 sao cho ϕ l(cid:160) h(cid:160)m thuºc l(cid:238)p C n tr¶n U , v(cid:160) h(cid:236)n nœa t(cid:231)n t⁄i i, l sao cho 1 ≤ i ≤ l − 1 ≤ n − 1 v(cid:160)
∂l ϕ (4) ∂zl−i ∂ ¯z i (z0) (cid:54)= 0
Khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) Ωϕ(X) l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy.
Chøng minh
(5) L§y (z0, w0) ∈ ∂Ωϕ(X) sao cho z0 ∈ X v(cid:160) |w0eϕ(z0)| = 1.
V(cid:238)i r > 0 (cid:31)ı b†, ta x¡c (cid:31)(cid:224)nh
j=0 Pj(z − z0) + o(|z − z0|n), trong (cid:31)(cid:226) Pj l(cid:160) (cid:31)a thøc thuƒn nh§t cıa z, ¯z v(cid:160) c(cid:226) b“c j. Ta s‡ chøng minh Pl kh(cid:230)ng ph£i l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)i•u
Wz0, r = {(z, w) ∈ X × C : |z − z0| < r, |w| < e−ϕ(z)} ⊂ Ωϕ(X). X†t khai tri”n Taylor cıa ϕ trong mºt l¥n c“n (cid:31)ı b† cıa z0 ϕ(z) = (cid:80)n
m=0
hÆa. Ta vi‚t ∂lϕ Pl(z) = (cid:80)l ∂zl−m∂ ¯z m (z0)zl−m¯z m.
m=1 m(l − m)
Ta c(cid:226) ∂lϕ ∆Pl(z) = (cid:80)l−1 ∂zl−m∂ ¯z m (z0)zl−m−1¯z m−1.
Tł bi”u thøc n(cid:160)y cıa ∆Pl v(cid:160) (cid:31)i•u ki»n (4) suy ra Pl kh(cid:230)ng th” l(cid:160)
h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa.
V… v“y, ta c(cid:226) th” vi‚t l⁄i ϕ d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng sau:
(6) ϕ(z) = ψ(z) + Pk(z − z0) + o(|z − z0|k),
trong (cid:31)(cid:226) ψ l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa v(cid:160) k ∈ [1, n] l(cid:160) sŁ nguy¶n b† nh§t sao cho
22
Pk kh(cid:230)ng l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa.
L§y ˜ψ l(cid:160) mºt h(cid:160)m ch¿nh h…nh tr¶n mºt l¥n c“n cıa z0 th(cid:228)a m¢n:
Re( ˜ψ(z)) = ψ(z).
Ta vi‚t
|w2e2ϕ(z)| = |weψ(z)|2e2(ϕ(z)−ψ(z)) = |we ˜ψ(z)|2e2(ϕ(z)−ψ(z)).
(cid:40)
D(cid:242)ng ph†p (cid:31)Łi t(cid:229)a (cid:31)º
z(cid:48) = z − z0 w(cid:48) = we ˜ψ(z) − w0e ˜ψ(z0)
r = {(z(cid:48), w(cid:48)) : |z(cid:48)| < r, |w(cid:48) + w0e ˜ψ(z0)|2 |e2(ϕ(z(cid:48)+z0)−ψ(z(cid:48)+z0))| < 1}
(cid:1)+2 Re Pk(z(cid:48)) + |w(cid:48)|2
0
Khi (cid:31)(cid:226) Wz0,r s‡ (cid:31)(cid:247)æc bi‚n (cid:31)Łi th(cid:160)nh
W (cid:48) = {(z(cid:48), w(cid:48)) : |z(cid:48)| < r, |w(cid:48) + w0e ˜ψ(z0)|2 e2 Re Pk(z(cid:48))+o(|z(cid:48)|k) < 1} = (cid:8)(z(cid:48), w(cid:48)) : |z(cid:48)| < r, (1 + |w(cid:48)|2 + 2 Re(cid:0)w(cid:48) ¯w0 e− ˜ψ(z0)(cid:1)(cid:0)1 + 2 Re Pk(z(cid:48)) + o(|z(cid:48)|k)(cid:1)< 1(cid:9) = (cid:8)(z(cid:48), w(cid:48)) : |z(cid:48)| < r, 1 + |w(cid:48)|2 + 2 Re(cid:0)w(cid:48) ¯w− ˜ψ(z0) +4 Re Pk(z(cid:48))Re(cid:0)w(cid:48) ¯w0 e− ˜ψ(z0)(cid:1)+o(|z(cid:48)|k) < 1(cid:9) = (cid:8)(z(cid:48), w(cid:48)) : |z(cid:48)| < r, 2 Re Pk(z(cid:48))+2 Re(cid:0)w(cid:48) ¯w0 e− ˜ψ(z0)(cid:1)+o(|w(cid:48)|+|z(cid:48)|k) < 0(cid:9).
— (cid:31)¥y, dÆng thø hai c(cid:226) tł (6) v(cid:160) dÆng thø ba c(cid:226) tł (5) v(cid:160) tł khai
tri”n ex = 1 + x + o(x).
r b(cid:224) chøa trong mi•n
V… v“y v(cid:238)i r > 0, ε > 0 (cid:31)ı b†, W (cid:48)
Ωε = (cid:8)(z(cid:48), w(cid:48)) : |z(cid:48)| < r, Re w(cid:48) + Re Pk(z(cid:48)) < |ε|(|w(cid:48)| + |z(cid:48)|k)(cid:9).
(cid:129)p d(cid:246)ng (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n cıa Bedford v(cid:160) Taylor trong ([4], p559)
ch(cid:243)ng ta c(cid:226) mºt h(cid:160)m f ∈ Hol(Ωε) ∩ C( ¯Ωε) sao cho
f (0, 0) = 1 > |f (z(cid:48), w(cid:48))|, ∀(z(cid:48), w(cid:48)) ∈ Ωε.
Tł (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) 2.7 ta c(cid:226) Ωϕ(X) l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy. V“y bŒ (cid:31)• (cid:31)(cid:247)æc chøng
23
minh.
t < − 5
7 < − 1 θ0 ∈ (0, 2π) sao cho 1 + t. cos(4θ0) < 0, cos(mθ0) > 0.
BŒ (cid:31)• 2.15.[11]. Cho X l(cid:160) mºt mi•n hyperbolic (cid:31)ƒy trong C chøa 0, l§y t > 0 sao cho cos 5π 9. V(cid:238)i m(cid:229)i sŁ nguy¶n m ≥ 6, t(cid:231)n t⁄i
4 , m(2π−α)
4
4 − mα
Chøng minh:
2 n¶n ta c(cid:226) th” ch(cid:229)n θ(cid:48) ∈ (cid:0) 3π
2 , 6(2π−α)
4
< 5π V… cos(5π/7) < −1/t < −5/9 n¶n t(cid:231)n t⁄i α ∈ (π/2, 5π/7) sao cho cos α = −1/t. Ta s‡ ch¿ ra t(cid:231)n t⁄i θ(cid:48) ∈ (cid:0) mα (cid:1) th(cid:228)a m¢n: cos(θ(cid:48)) > 0. Th“t v“y, ta x†t hai tr(cid:247)(cid:237)ng hæp: n‚u m ≥ 7, ta c(cid:226) th” ch(cid:229)n 2 = 3(π−α) 4 > π, n‚u m = 6 th… v… 6(2π−α) (cid:31)(cid:247)æc θ(cid:48) v… m(2π−α) 4 − 3π 2 > 0 v(cid:160) (cid:1) th(cid:228)a m¢n cos(θ(cid:48)) > 0. m(2π−α) 4
B‹ng c¡ch ch(cid:229)n θ0 = θ(cid:48)/m ta c(cid:226) (cid:31)i•u ph£i chøng minh.
Chøng minh m»nh (cid:31)• 2.13.
V… −1/t < −5/9 n¶n ta c(cid:226)
∆ϕ(z) = 9|z|4 + 5t(z4 + ¯z 4)/2 ≥ 0, ∀z ∈ C.
V… v“y ϕ l(cid:160) h(cid:160)m gi£i t‰ch th(cid:252)c (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n C. Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng t⁄i m(cid:229)i (cid:31)i”m z0 ∈ C, (cid:31)i•u ki»n (2) l(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n (n(cid:226)i c¡ch kh¡c, t§t c£ (cid:31)⁄o h(cid:160)m r¶ng cıa ∆ϕ s‡ tri»t ti¶u t⁄i z0, v(cid:160) h(cid:160)m gi£i t‰ch th(cid:252)c ∆ϕ ph£i l(cid:160)
(cid:31)(cid:231)ng nh§t 0 tr¶n mºt l¥n c“n cıa z0, (cid:31)•u n(cid:160)y rª r(cid:160)ng l(cid:160) kh(cid:230)ng th”).
V… v“y t§t c£ c¡c gi£ thi‚t trong BŒ (cid:31)• 2.14 (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n, v(cid:160) do v“y
Ωϕ(X) l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy. Ta ch¿ cƒn chøng minh r‹ng ϕ kh(cid:230)ng c(cid:226) t‰nh
ch§t (S) t⁄i 0. Gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i, khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i mºt h(cid:160)m ch¿nh h…nh f
tr¶n (cid:31)(cid:190)a U chøa 0 sao cho
ϕ(z) ≥ log |f (z)|, ∀z ∈ U, 0 = log |f (0)|. (7)
Rª r(cid:160)ng ta c(cid:226) th” vi‚t f = eg tr¶n U , v… v“y (5) (cid:31)(cid:247)æc vi‚t l⁄i l(cid:160)
24
ϕ(z) ≥ Re(cid:0)g(z)(cid:1), ∀z ∈ U, Re g(0) = 0.
Gi£ sß ϕ < 0 tr¶n nßa (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng l = {reiπ/4 : r > 0}, g c(cid:226) th”
kh(cid:230)ng l(cid:160) h‹ng sŁ.
B‹ng c¡ch khai tri”n g v(cid:160)o chuØi Taylor ch(cid:243)ng ta (cid:31)⁄t (cid:31)(cid:247)æc
ϕ(z) ≥ Re(cid:0)azm + o(|z|m)(cid:1), a (cid:54)= 0, ∀z ∈ U. (8)
Qua mºt ph†p quay, ta c(cid:226) th” gi£ thi‚t r‹ng a = 1. V… v‚ tr¡i cıa
(8) c(cid:226) b“c b‹ng 6, n¶n tł (8) ta c(cid:226) th” k‚t lu“n r‹ng m ≥ 6. L§y θ0 l(cid:160)
mºt sŁ th(cid:228)a m¢n BŒ (cid:31)• 2.14. Khi (cid:31)(cid:226) tł c¡ch ch(cid:229)n cıa θ0, ta c(cid:226)
ϕ(z) < 0, ∀z ∈ l(cid:48) = {reiθ0 : r > 0}.
M(cid:176)t kh¡c, v… Re(zm) = rm cos(mθ0), ∀z ∈ l(cid:48), ch(cid:243)ng ta k‚t lu“n r‹ng v‚ ph£i cıa (8) l(cid:160) d(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i z ∈ l v(cid:160) (cid:31)ı gƒn 0. (cid:30)i•u n(cid:160)y l(cid:160) v(cid:230) l(cid:254).
Do v“y ϕ kh(cid:230)ng t‰nh ch§t (S) t⁄i 0.
25
M»nh (cid:31)• (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.
K‚t lu“n
Lu“n v«n (cid:31)¢ tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ (cid:31)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)ı cho t‰nh hyper-
bolic (cid:31)ƒy cıa mi•n Hartogs Ωϕ(X), c(cid:246) th” (cid:31)¢ chøng minh c¡c k‚t qu£
ch‰nh sau:
+) Gi£ sß X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian phøc, ϕ : X → [−∞, ∞) l(cid:160) h(cid:160)m
nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n x¡c (cid:31)(cid:224)nh tr¶n X. N‚u Ωϕ(X) l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy, th… X
l(cid:160) hyperbolic (cid:31)ƒy v(cid:160) ϕ l(cid:160) mºt h(cid:160)m gi¡ tr(cid:224) th(cid:252)c, (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i li¶n
t(cid:246)c tr¶n X.
+) Gi£ sß X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian phøc hyperbolic, ϕ l(cid:160) mºt h(cid:160)m
(cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i li¶n t(cid:246)c, gi¡ tr(cid:224) th(cid:252)c tr¶n X th(cid:228)a m¢n t‰nh ch§t sau:
V(cid:238)i mØi (cid:31)i”m bi¶n (z0, w0) cıa Ωϕ(X) v(cid:238)i z0 ∈ X, t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n c“n
V cıa z0 trong X v(cid:160) mºt ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh f tł Ωϕ(X) v(cid:160)o kh(cid:230)ng
gian hyperbolic (cid:31)ƒy Y sao cho d¢y f (zn, wn) kh(cid:230)ng l(cid:160) compact t(cid:247)(cid:236)ng
(cid:31)Łi trong Y v(cid:238)i b§t k(cid:253) d¢y {(zn, wn)} hºi t(cid:246) t(cid:238)i (z, w). Khi (cid:31)(cid:226) Ωϕ(X) l(cid:160)
hyperbolic (cid:31)ƒy.
+) Gi£ sß X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian hyperbolic (cid:31)ƒy. Gi£ thi‚t r‹ng ϕ
l(cid:160) mºt h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ng(cid:176)t tr¶n X. Khi (cid:31)(cid:226) Ωϕ(X) l(cid:160) hyperbolic
26
(cid:31)ƒy.
T(cid:160)i li»u tham kh£o
I. Ti‚ng Vi»t
[1]. Ph⁄m Vi»t (cid:30)øc (2005), M(cid:240) (cid:31)ƒu v• l(cid:254) thuy‚t c¡c kh(cid:230)ng gian
phøc hyperbolic, NXB (cid:30)⁄i h(cid:229)c S(cid:247) ph⁄m.
[2]. Ph⁄m Vi»t (cid:30)øc (2000), T‰nh hyperbolic (cid:31)ƒy v(cid:160) t‰nh nh(cid:243)ng
hyperbolic cıa kh(cid:230)ng gian phøc, lu“n ¡n ti‚n s(cid:190) to¡n h(cid:229)c H(cid:160) Nºi Vi»t
Nam .
II. Ti‚ng Anh.
[3]. Barth T.J (1972), The Kobayashi distance induces the stan-
dard topology, proc. Amer. Math. Soc, (35), pp.439-441.
[4]. Begford .E and Fornaess .J (1978), A construction of peak
function on weakly pseudoconvex domain, Ann. Math, (107), 555-568.
[5]. Fornaess .J and Narasimhan .R (1980), The Leri problem on
complex spaces with singularities, Ann. Math, (248), 47-72.
[6]. Kiernan .P (1970), On the relations between taut, tight and
hyperbolic manifolds, Bull. Amer. Math. Soc, (76), 49-51.
[7]. Kobayashi .S (1998), Hyperbolic complex spaces, V 318.
Grundlehren der mathematis chen Wissenschaften.
[8]. Lang .S, Introduction to complex Hyperbolic spaces, Springer
- Verlag, NY.
[9]. Peternell .Th (1994), Pseudoconvexity, the Leri problem and
vanishing theorems, Encyclopaedia of Math. Sciences, (74), 357-372.
[10]. Thai D.D and Duc P.V (2000), On the complex hyperbol-
27
icity and the tautnes of the Hartogs domains, Inter. Jour. Math, (11),
103 - 111.
[11]. Thai D.D anh Dieu N.Q (2003),Complete hyperboliccity of
Hartogs domains, Manuscripta math, (112), 171 - 181.
[12]. Sibony .N (1991), Some aspects of weakly pseudoconvex do-
28
mains. Proceedings of Symposia in Pure Math, (52), 199 - 231.
