Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính lồi của metric Kobayashi trên đa tạp phức taut

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Thêm vào BST

Báo xấu

8
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu trình bày lại một cách chi tiết, rõ ràng kết quả nghiên cứu của Masashi Kobayashi về tính lồi của metric Royden – Kobayashi trên đa tạp phức taut. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính lồi của metric Kobayashi trên đa tạp phức taut

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ QUỲNH NGA TÍNH LỒI CỦA METRIC KOBAYASHI TRÊN ĐA TẠP PHỨC TAUT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ QUỲNH NGA TÍNH LỒI CỦA METRIC KOBAYASHI TRÊN ĐA TẠP PHỨC TAUT Ngành: Toán giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Tuyết Mai THÁI NGUYÊN - 2019
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Tính lồi của metric Kobayashi trên đa tạp phức taut" không có sự sao chép của người khác. Khi viết luận văn tôi có tham khảo một số tài liệu, tất cả đều có nguồn gốc rõ ràng và được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai. Nếu có vấn đề gì tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2019 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Quỳnh Nga Xác nhận Xác nhận của chủ nhiệm khoa Toán của người hướng dẫn TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai i
Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai. Cô đã dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn, trả lời những thắc mắc và giúp đỡ tôi hoàn thành bài luận văn này. Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới bố, mẹ và các thành viên trong gia đình đã luôn động viên, ủng hộ tôi trong suốt thời gian qua. Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong trường Đại học Sư Phạm Thái Nguyên đã luôn nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu, đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi hoàn thành chương trình học và bảo vệ luận văn. Bản thân tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên những thiếu sót chắc chắn khó tránh được. Tôi rất mong được thầy cô và các bạn đọc chỉ cho những thiếu sót đó. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Quỳnh Nga ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii LỜI MỞ ĐẦU 1 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2 1.1 Đa tạp phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Đa tạp phức taut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức taut . . . . . . . . 9 Chương 2 TÍNH LỒI CỦA METRIC KOBAYASHI TRÊN ĐA TẠP PHỨC TAUT 13 2.1 Metric Buseman – Kobayashi trên đa tạp phức taut . . . . . 13 2.2 Tính lồi của metric Buseman – Kobayashi trên đa tạp phức taut 17 KẾT LUẬN 32 Tài liệu tham khảo 33 iii
LỜI MỞ ĐẦU Từ việc nghiên cứu metric Royden – Kobayashi và khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức taut, Masashi Kobayashi đã chứng minh được rằng đạo hàm của khoảng cách Kobayashi bằng metric Buseman – Kobayashi. Cụ thể là định lý sau: Nếu M là một đa tạp phức taut thì DdM tồn tại và DdM = FbM . Nhờ kết quả này Masashi Kobayashi đã chứng minh được một điều kiện cần và đủ cho tính lồi của của metric Royden – Kobayashi trên đa tạp phức taut sau: Nếu M là một đa tạp phức taut thì FM là lồi nếu và chỉ nếu dM (q, q 0 ) lim =1 q,q 0 →p d∗M (q, q 0 ) 0 q6=q . Mục đích của luận văn này là nghiên cứu trình bày lại một cách chi tiết, rõ ràng kết quả nghiên cứu của Masashi Kobayashi về tính lồi của metric Royden – Kobayashi trên đa tạp phức taut. Với mục đích như trên, ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn gồm 2 chương. Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về đa tạp phức, đa tạp phức taut và khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức taut. Chương 2, chúng tôi trình bày một số kiến thức bổ sung, các bổ đề cơ sở và trình bày chi tiết, rõ ràng kết quả của Masashi Kobayashi về tính lồi của metric Royden – Kobayashi trên đa tạp phức taut. 1
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ sở về đa tạp phức, đa tạp phức taut và khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức. Các kiến thức này được tôi tham khảo trong tài liệu ([1]). 1.1 Đa tạp phức Định nghĩa Giả sử X là một không gian tô pô Hausdorff. Cặp (U, ϕ) được gọi là một bản đồ địa phương của X , trong đó U là tập mở trong X và ϕ : U → Cn là ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) ϕ(U ) là tập mở trong Cn . ii) ϕ : U → ϕ(U ) là một đồng phôi. Họ A = {(Ui , ϕi )}i∈I các bản đồ địa phương của X được gọi là một tập bản đồ giải tích (atlas) của X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) {Ui }i∈I là một phủ mở của X . ii) Với mọi Ui , Uj mà Ui ∩ Uj 6= ∅, ánh xạ ϕj ◦ ϕ−1 i : ϕi (Ui ∩ Uj ) → ϕj (Ui ∩ Uj ) là ánh xạ chỉnh hình. Xét họ các atlas trên X . Hai atlas A1 , A2 được gọi là tương đương nếu hợp A1 ∪ A2 là một atlas. Đây là một quan hệ tương đương trên tập các 2
atlas. Mỗi lớp tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức trên X , và cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được gọi là một đa tạp phức n chiều. Ví dụ 1.1. ([1]) Giả sử D là miền trong Cn . Khi đó, D là một đa tạp phức n chiều với bản đồ địa phương {(D.IdD )}. Ví dụ 1.2. ([1]) Đa tạp xạ ảnh Pn (C). Xét Ui = {[z0 : z1 : . . . : zn ] ∈ Pn (C) |zi 6= 0} với i = 0, 1, . . . , n. Rõ ràng {Ui }ni=1 là một phủ mở của Pn (C). Xét các đồng phôi ϕi : Ui → Cn : z0 zi−1 zi+1 zn [z0 : z1 : . . . : zn ] → , ... , , , ... , . zi zi zi zi Ta có zk ϕj ◦ ϕ−1 i : (z0 , . . . , zi−1 , zi+1 , . . . , zn ) → ; k = 0, . . . , m; zi = 1. zj k6=j Rõ ràng ϕj ◦ ϕ−1 n i là ánh xạ chỉnh hình. Vậy P (C) là một đa tạp phức n chiều và gọi là đa tạp xạ ảnh n chiều. Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức Định nghĩa 1.1. ([1]) Giả sử M, N là các đa tạp phức. Ánh xạ liên tục f : M → N được gọi là chỉnh hình trên M nếu với mọi bản đồ địa phương (U, ϕ) của M và mọi bản đồ địa phương (V,ψ) của N sao cho f (U ) ⊂ V thì ánh xạ ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ (U ) → ψ (V) là ánh xạ chỉnh hình. Định nghĩa trên tương đương với với mọi x ∈ M, y ∈ N , tồn tại hai bản đồ địa phương (U, ϕ) và (V,ψ) tại x và y tương ứng sao cho ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ (U ) → ψ (V) là ánh xạ chỉnh hình. 3
Định nghĩa 1.2. ([1]) Giả sử f : M → N là song ánh giữa các đa tạp phức. Nếu f và f −1 là các ánh xạ chỉnh hình thì f được gọi là ánh xạ song chỉnh hình giữa M và N . Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc của đa tạp phức Giả sử M là đa tạp phức m chiều và ∆ là đĩa đơn vị trong C. Giả sử (U, φ, ∆m là bản đồ địa phương quanh x, tức là U là một lân cận của x và φ : U → ∆ là ánh xạ song chỉnh hình. Đặt φ = (z 1 , ..., z m ). Khi đó, (z 1 , ..., z m ) là một hệ tọa độ chỉnh hình địa phương quang x. Đặt z α = xα + iy α , trong đó xα và y α là các giá trị thực. Khi đó, (x1 , ..., xm , y 1 , ..., y m là hệ tọa độ địa phương thực quanh x, ở đó M được xem như là đa tạp khả vi 2m chiều. Giả sử Tx M là không gian tiếp xúc của M tại x. Khi đó Tx M là không gian vector thực 2m chiều và ∂ ∂ ∂ ∂ , ..., , , ..., (1.1) ∂x1 ∂xm ∂y 1 ∂y m là một cơ sở của Tx M . Ký hiệu Tx M ⊗R C là phức hóa của Tx M . Khi đó, (1.1) cũng là một cơ sở của không gian vector phức Tx M ⊗R C. Đặt ∂ 1 ∂ ∂ = − i j , 1 ≤ j ≤ m. ∂z j 2 ∂xj ∂y Ta ký hiệu   m X ∂  Tx M = ξj ; ξj ∈ C .  j=1 ∂xj x  Khi đó Tx M là một không gian con tuyến tính phức m chiều của Tx M ⊗R C, mà độc lập với cách chọn hệ tọa độ chỉnh hình địa phương (z 1 , ..., z m ). Ta gọi Tx M là không gian tiếp xúc của đa tạp phức M tại x. Đặt [ TM = Tx M (hợp rời) x∈M 4
Ta định nghĩa phép chiếu π : T M → M bởi điều kiện π(Tx M ) = x. Khi đó T M có cấu trúc của đa tạp phức 2m chiều sao cho π là ánh xạ chỉnh hình. Cụ thể hơn, giả sử (z 1 , ..., z m ) là hệ tọa độ chỉnh hình địa phương xác định trên một tập con mở U của M . Khi đó ta có   m −1 X j ∂ j  π (U ) = ξ j ; x ∈ U, ξ ∈ C .  j=1 ∂x x  Ánh xạ m X ∂ ξ j ∈ π −1 (U ) 7→ (z 1 (x), ..., z m (x), ξ 1 , ..., ξ m ) ∈ C2m j=1 ∂xj x là một hệ tọa độ chỉnh hình địa phương của T M . Ta gọi T M là phân thớ tiếp xúc chỉnh hình của đa tạp phức M . Không gian phân thớ Ánh xạ liên tục π : E → X giữa các không gian Hausdorff được gọi là phân thớ K -vector bậc r nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) Với mỗi p ∈ X, Ep := π −1 (p) là K -không gian vector r chiều (Ep được gọi là thớ trên p); ii) Với mỗi p ∈ X , tồn tại lân cận U của p và một đồng phôi h : π −1 (U ) → U × K r thỏa mãn h(Ep ) ⊂ {p} × K r , và hp xác định phép hợp thành hp : Ep → {p} × K r → K r là một đẳng cấu K -không gian vector (cặp (U, h) được gọi là tầm thường hóa địa phương). Đối với một K -phân thớ vector π : E → X , E được gọi là không gian toàn thể, X được gọi là không gian đáy, và ta thường nói E là một phân thớ vector trên X . Ta còn ký hiệu phân thớ vector trên là (E, π, X). 5
Nếu E, X là các không gian phức và π là ánh xạ chỉnh hình toàn ánh, và phép đồng phôi h là ánh xạ song chỉnh hình thì phân thớ vector được gọi là phân thớ chỉnh hình. 1.2 Đa tạp phức taut Trước khi định nghĩa đa tạp phức taut, ta ký hiệu Ký hiệu 1.1. ∆ = {ζ ∈ C|, |ζ| < 1} Định nghĩa 1.3. ([2]) Cho X và Y là hai đa tạp phức. Một họ F các ánh xạ chỉnh hình từ X → Y được gọi là chuẩn tắc nếu mọi dãy trong F hoặc tồn tại dãy con hội tụ hoặc dãy con phân kì compact. Ký hiệu X ∗ là compact hóa bởi một điểm của X . Vì X là Hausdorff, compact địa phương, liên thông và đếm được thứ hai nên X ∗ là Hausdorff, compact địa phương, liên thông, đếm được thứ hai và compact hóa được. Đặc biệt, với mỗi đa tạp phức Y , không gian C 0 (Y, X ∗ ) là đếm được thứ hai, và một tập con của C 0 (Y, X ∗ ) là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu họ F ∪ {∞} ⊂ C 0 (Y, X ∗ ) là compact tương đối, ở đó ký hiệu ∞ là điểm tại vô cùng của X ∗ và bất kỳ ánh xạ hằng có giá trị ∞. Cho X, Y là hai đa tạp phức. Kí hiệu Hol(X, Y ) là tập các ánh xạ chỉnh hình từ đa tạp phức X vào đa tạp phức Y . Định nghĩa 1.4. ([2]) Đa tạp phức X là taut nếu Hol(∆, X) là họ chuẩn tắc. Vì Hol(∆, X) là đóng trong C 0 (∆, X) nên điều này tương đương với Hol(∆, X) ∪ {∞} ⊂ C 0 (∆, X ∗ ) là compact. Định lý 1.1. ([2]) Cho X là một đa tạp phức, d là một khoảng cách trên X tương thích với topo của nó. Giả sử Hol(∆, X) đồng liên tục với d. Khi 6
đó, Hol(Y, X) là đồng liên tục với mỗi đa tạp phức Y Chứng minh. Giả sử ngược lại tồn tại một đa tạp phức Y sao cho Hol(Y, X) không là đồng liên tục. Khi đó, tồn tại ε > 0, một điểm z0 ∈ Y và dãy zν ⊂ Y và fν ⊂ Hol(Y, X) sao cho zν → z0 và d(fν (zν ), fν (z0 ) ≥ ε với mọi ν ∈ N. Chọn hệ tọa độ địa phương thích hợp ta có thể giả sử Y là hình cầu đơn vị Euclide B trong Cn và chọn z0 = 0. Định nghĩa gν ∈ Hol(∆, X) bởi ζz1 gν (ζ) = fν . ||z1 || Khi đó, ||zν → 0 khi ν → ∞ và d(gν (||zν ), gν (0)) = d(fν (zν ), fν (z0 ) ≥ ε, với mọi ν ∈ N, và do đó Hol(∆, X) không là đồng liên tục, điều này dẫn đến mâu thuẫn. Vậy Hol(Y, X) là đồng liên tục. Bây giờ, ta giả sử tồn tại một đa tạp phức Y sao cho Hol(Y, X) không là chuẩn tắc. Khi đó, Hol(Y, X) ∪ {∞} không là một tập con compact trong C 0 (Y, X ∗ ). Vì nó là đồng liên tục tương ứng với d nên theo định lý Ascoli- Arzela, Hol(Y, X) ∪ {∞} không đóng trong C 0 (Y, X ∗ ). Đặc biệt, tồn tại một dãy {fν } ⊂ Hol(Y, X) hội tụ đến một ánh xạ f ∈ C 0 (Y, X ∗ ) trong C 0 (Y, X) hoặc đến ánh xạ hằng ∞, vì Hol(Y, X) đóng trong C 0 (Y, X). Tồn tại một điểm z0 ∈ Y sao cho f (z0 ) = ∞ và f không đồng nhất bằng ∞ trong bất kỳ lân cận nào của z0 . Do đó, chọn hệ tọa độ địa phương thích hợp, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử Y là hình cầu đơn vị B của Cn và z0 = 0. Vì f không đồng nhất bằng ∞, tồn tại z1 ∈ B sao cho f (z1 ) 6= ∞. Định nghĩa gν ∈ Hol(∆, X) và g ∈ C 0 (∆, X ∗ ) bởi ζz1 ζz1 gν (ζ) = fν và g(ζ) = f . ||z1 || ||z1 || 7
Khi đó, g không thuộc C 0 (∆, X) ∪ {∞} và gν → g khi ν → ∞. Điều đó có nghĩa là Hol(∆, X) ∪ {∞} không đóng trong C 0 (∆, X ∗ ), khi đó, Hol(∆, X) ∪ {∞} không compact trong C 0 (∆, X ∗ ) dẫn đến mâu thuẫn. Định lý được chứng minh. Từ định lí trên ta có hệ quả sau: Hệ quả 1.1. ([2]) Một diện Riemann là taut nếu và chỉ nếu nó là Hybebolic. Mệnh đề 1.1. ([2]) Mọi miền taut bị chặn D ⊂ Cn là giả lồi. Chứng minh. Cho họ F ⊂ Hol (∆, D)∩C 0 ∆, D là một họ của các ánh xạ liên tục chỉnh hình trên ∆ , sao cho ∪ ϕ (∂, ∆) là compact tương đối trên ϕ∈F D. Đặc biệt ∪ ϕ (∂, ∆) là bị chặn. Do đó theo nguyên lý cực đại ∪ ϕ ∆ ϕ∈F ϕ∈F n cũng bị chặn và do đó họ F là compact tương đối trong Hol (∆, C ). Đặc biệt vì ∪ ϕ (∂, ∆) ⊆ D không có dãy con nào trong dãy F phân kì ϕ∈F compact. Do D là taut nên F là compact tương đối trong Hol (∆, D). Và vì vậy F là taut trong C 0 (∆, D). Từ đó ta có ∪ ϕ ∆ ⊆ D và D là giả ϕ∈F lồi. Ta có bổ đề sau: Bổ đề 1.1. ([2]) i) Một đa tạp con đóng Y của một đa tạp taut X là đa tạp taut. ii) Tích của hai đa tạp taut là một đa tạp taut. Chứng minh. i) Vì Y là đa tạp con đóng trong đa tạp taut X nên Hol (∆, Y ) là đóng trong Hol (∆, X). Và X là đa tạp phức taut nên Hol (∆, X) là họ chuẩn tắc. Do đó Hol (∆, Y ) là họ chuẩn tắc. Theo định nghĩa Y là đa tạp phức taut. ii) Giả sử X1 , X2 là hai đa tạp taut. Kí hiệu: p1 : X1 × X2 → X1 8
p2 : X1 × X2 → X 2 là các phép chiếu lên thành phần thứ nhất và thành phần thứ hai của X1 × X2 . Khi đó, Hol (∆, X1 × X2 ) = Hol (∆, X1 ) × Hol (∆, X2 ) và dãy {ϕi } ⊂ Hol (∆, X1 × X2 ) là phân kì compact nếu và chỉ nếu ít nhất một trong những dãy {pj ◦ fi } ⊂ Hol (∆, Xj ) , j = 1; 2 là phân kì compact. Do đó ta có khẳng định ii). 1.3 Khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức taut Trước hết, chúng tôi giới thiệu giả khoảng cách Kobayashi. Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X . Hol(D, X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào X , được trang bị tô pô compact mở. Xét dãy các điểm p0 = x, p1 , ..., pk = y của X , dãy các điểm a1 , a2 , ..., ak của D và dãy cách ánh xạ f1 , ..., fk trong Hol(D, X) thỏa mãn fi (0) = pi−1 , fi (ai ) = pi , ∀i = 1, ..., k. Tập hợp α = {p0 , ..., pk , a1 , ..., ak , f1 , ..., fk } thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X . Ta định nghĩa ( k ) X dX (x, y) = inf ρD (0; ai ), α ∈ Ωx,y , α i=1 trong đó, Ωx,y là tập hợp tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X. 9
Khi đó, dX : X × X → R là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X . k P Tổng ρD (0; ai ) được gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình i=1 α. Định lý sau đây cho ta tính chất của khoảng cách Kobayashi. Định lý 1.2. ([2]) Nếu f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì f làm giảm khoảng cách Kobayashi, nghĩa là dX (x, y) ≥ dY (f (x) , f (y)) ∀x, y ∈ X. Hơn nữa, f là giả khoảng cách lớn nhất trên X thỏa mãn mọi ánh xạ chỉnh hình f : D → X là giảm khoảng cách. Chứng minh. Tính giảm khoảng cách của giả khoảng cách Kobaysashi là hiển nhiên, vì nếu α là dây chuyền chỉnh hình nối hai điểm x và y trong X thì f ◦ α cũng là dây chuyền chỉnh hình nối f (x) và f (y) trong Y . Bây giờ, ta chứng minh tính lớn nhất của giả khoảng cách Kobayashi. Lấy hai điểm x, y tùy ý trong X . Gọi α = {fi ∈ Hol(D, Z), ai ∈ D, i − 1, ..., k} là dây chuyền chỉnh hình nối x với y trong X . Giả sử d0 là giả khoảng cách trên X có tính chất giảm khoảng cách qua các ánh xạ chỉnh hình từ D tới X . Ta chứng minh dX ≥ d0 . Gọi pi ∈ X, i = 0, ..., k là các điểm thỏa mãn fi (0) = pi−1 , fi (ai ) = pi . Khi đó, vì số dây chuyền chỉnh hình nối x với y lớn hơn số dây nối f (x) với f (y) nên ta có k X k X 0 0 d (x, y) ≤ d (fi (0), fi (ai )) ≤ ρ(0, ai ). i=1 i=1 10
Theo định nghĩa giả khoảng cách Kobayashi ta có dX (x, y) ≥ dY (f (x) , f (y)) ∀x, y ∈ X. Vậy định lý được chứng minh. Định nghĩa 1.5. ([2]) Ta định nghĩa hàm d∗M trên M × M bởi d∗M (p, q) = inf {δ(a, b)|∃ f ∈ Hol(∆, M ), a, b ∈ ∆, f (a) = p, f (b) = q}, f trong đó ρ là khoảng cách Poincaré trên ∆. Nếu không có đĩa giải tích nào nối p với q thì ta đặt d∗M (p, q) = ∞. Lưu ý rằng d∗M (p, q) < ∞ nếu p đủ gần q . Tiếp theo với mỗi số nguyên dương l, ta đưa ra một hàm trên M × M như sau:   X`  (`) dM (p, q) = inf d∗M (pj , pj+1 )|p1 = p, p2,...., p` , p`+1 = q ∈ M .   j=1 Khi đó (`) dM (p, q) = lim dM (p, q) `→∞ được gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên M . Theo đinh nghĩa này, chúng ta dễ dàng thấy rằng (2) (`) d∗M (p, q) ≥ dM (p, q) ≥ ... ≥ dM (p, q) ≥ ... ≥ dM (p, q) với mọi p, q ∈ M . Lempert đã chỉ ra rằng d∗M (p, q) = dM (p, q) nếu M là một miền lồi. Định nghĩa 1.6. ([2]) Cho M là một đa tạp phức taut. Điểm p ∈ M được gọi là một điểm đơn Kobayashi nếu tồn tại một lân cận mở U của p sao cho dM (p, q) = d∗M (p, q) với mọi q ∈ U . 11
Ví dụ 1.3. ([2]) Vì nếu D là miền lồi trong Cm thì d∗D = dD nên mọi điểm của một miền lồi D trong Cm đều là điểm đơn Kobayashi. Với mỗi v ∈ Tp D, ta gọi F (v) là độ dài của v được định nghĩa bởi 1 0 F (v) = inf : f : ∆ → D chỉnh hình, f (0) = p, f (0) = λf v, λf > 0 . λ 12
Chương 2 TÍNH LỒI CỦA METRIC KOBAYASHI TRÊN ĐA TẠP PHỨC TAUT Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu metric Royden-Kobayashi và khoảng cách Kobayashi trên một đa tạp phức taut. Chúng ta chứng minh rằng đạo hàm của khoảng cách Kobayashi trùng với metric Busemann Kobayashi. Điều này cho chúng ta điều cần và đủ cho tính lồi của met- ric Royden-Kobaysshi. 2.1 Metric Buseman – Kobayashi trên đa tạp phức taut Chúng ta nhắc lại ký hiệu: ∆ = {ζ ∈ C|, |ζ| < 1} Hol(∆, M ) = f : ∆ → M |f là ánh xạ chỉnh hình . S. Kobayashi đã đưa ra một giả metric vi phân mới FbM trên M mà là hai lần đối ngẫu của M được xác định như sau: 13
Định nghĩa 2.1. ([2]) Cho M là một đa tạp phức m- chiều. Khi đó, d FM (ξ) = inf t > 0|∃ f ∈ Hol(∆, M ), sao cho tf∗ |ζ=0 = ξ dζ trong đó ξ ∈ Tp M là một véc tơ tiếp xúc chỉnh hình được gọi là giả metric Royden-Kobayashi trên M . Định nghĩa 2.2. ([2]) Cho FM là giả metric Royden-Kobayashi trên đa tạp phức M . Tập IFM (p) = {ξ ∈ Tp M |FM (ξ) < 1} được gọi là chỉ đồ của FM tại p. FM là nửa chuẩn tại p nếu và chỉ nếu chỉ đồ của nó tại p là một tập lồi. Định nghĩa 2.3. ([2]) Cho M là đa tạp phức. Với mọi ξ ∈ Tp M , n o −1 FM (ξ) = inf t > 0|t ξ ∈ IFM (p) , b b trong đó IbFM (p) là bao lồi của IFM (p) được gọi là giả metric Busemann- Kobayashi trên M . Nếu M là đa tạp phức taut thì FbM là một metric. Mệnh đề 2.1. ([2] Cho M là đa tạp phức. Giả metric Busemann-Kobayashi FbM trên M có các tính chất sau: (i) FbM là một nửa chuẩn tại mỗi p ∈ M ; (ii) FbM là nửa liên tục trên; (iii) Nếu FM là một chuẩn tại mỗi M ∈ M và liên tục trên T M thì FbM cũng là một chuẩn tại mỗi p ∈ M và cũng liên tục trên T M . Đặt FbM (υ) = 2FbM (ξ), trong đó ξ ∈ Tp M với υ = ξ + ξ . Vì vậy dạng tích phân của FbM được xác định tương tự như trên. S.Kobayashi chứng minh rằng dạng tích phân của FbM trùng với dạng tích phân của FM . Royden cũng đã chỉ ra rằng dạng tích phân của FM trùng với giả khoảng cách Kobayashi. 14
Mệnh đề sau đây cho ta các tính chất của giả metric Royden-Kobayashi trên đa tạp phức. Mệnh đề 2.2. ([2]) Cho FM là giả metric Royden - Kobayashi trên đa tạp phức M . Khi đó, FM có các tính chất sau: (i) FM (ξ) ≥ 0 với mỗi ξ ∈ Tp M ; (ii) FM (λξ) = |λ|FM (ξ) với mỗi λC; (iii) FM là nửa liên tục trên trên phân thớ tiếp xúc chỉnh hình Tp M , hơn nữa nếu M là taut, thì Hol(∆, M ) là họ chuẩn tắc; (iv) FM là liên tục trên T M ; (v) FM (ξ) = 0 nếu và chỉ nếu ξ = 0. Do đó chúng ta thấy rằng FM là một metric trên M , nếu M là đa tạp phức taut. Cho υ ∈ Tp M là véc tơ tiếp xúc thực. Khi đó, υ có thể viết được một cách duy nhất υ = ξ + ξ với ξ ∈ Tp M . Đặt FM (υ) = 2FM (ξ). Định nghĩa 2.4. ([2]) Cho FM là giả metric Royden-Kobayashi trên đa tạp phức M . Khi đó, FM cảm sinh một giả khoảng cách dM trên M như sau:  1   Z d dM (p, q) = inf FM c∗ dt  dt  0 trong đó c chạy trên tất cả các đường cong trơn từng khúc nối p với q . Giả khoảng cách dM này được gọi là dạng tích phân của FM . Vì điều kiện dM (p, q) = 0 không bắt buộc p = q nên trong trường hợp tổng quát, dM không phải là khoảng cách. Tuy nhiên, Royden đã chỉ ra rằng dM là khoảng cách nếu M là taut. Định nghĩa 2.5. ([2]) Cho FM là giả metric Royden-Kobayashi trên đa tạp phức M . FM được gọi là lồi tại p, nếu nó là nửa chuẩn tại p. 15