Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tôpô Metric mở rộng của trái đất

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

65
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tôpô Metric mở rộng của trái đất tập trung tìm hiểu về Tôpô đĩa tiếp xúc Hyperbolic, Tôpô phân tầng, dạng của các lân cận tại biên, các tôpô được đơn giản hóa. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tôpô Metric mở rộng của trái đất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vương Hiển TÔPÔ METRIC MỞ RỘNG CỦA TRÁI ĐẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 i
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vương Hiển TÔPÔ METRIC MỞ RỘNG CỦA TRÁI ĐẤT Chuyên ngành : Hình học và Tôpô Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 ii
MỤC LỤC MỤC LỤC ........................................................................................................................ 1 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU .......................................................................................... 3 MỞ ĐẦU........................................................................................................................... 5 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................................... 8 1.1. Các khái niệm mở đầu về không gian tôpô ................................................................... 8 1.1.1. Không gian tôpô .......................................................................................................... 8 1.1.2. Cơ sở, tiền cơ sở của tôpô ........................................................................................... 8 1.1.3. Lân cận, cơ sở lân cận ................................................................................................. 9 1.1.4. Không gian tôpô con ................................................................................................... 9 1.1.5. Phần trong, bao đóng, biên .......................................................................................... 9 1.1.6. Điểm hội tụ và điểm cô lập ......................................................................................... 9 1.1.7. Ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng .................................................................. 10 1.1.8. Các tiên đề tách ......................................................................................................... 10 1.1.9. Các tiên đề đếm được ................................................................................................ 11 1.2. Không gian compact ..................................................................................................... 11 1.2.1. Không gian compact.................................................................................................. 11 1.2.2. Không gian compact đếm được................................................................................. 12 1.2.3. Không gian compact địa phương .............................................................................. 12 1.2.4. Ánh xạ đầy đủ ........................................................................................................... 12 1.2.5. Không gian Cech-đầy đủ ........................................................................................... 12 1.2.6. Không gian giả compact ............................................................................................ 12 1.3. Không gian mêtric, không gian mêtric hóa được ....................................................... 12 1.3.1. Không gian mêtric ..................................................................................................... 12 1.3.2. Không gian mêtric hóa được ..................................................................................... 13 1.3.3. Định lý phạm trù Baire .............................................................................................. 13 1.3.4. Định lý HANAI – MORITA – STONE .................................................................... 13  1.3.5. Phép biến đổi Mobius và một số tính chất .............................................................. 14 1.3.6. Tỷ số kép ................................................................................................................... 14 1.3.7. Metric hyperbolic ...................................................................................................... 15 1.4. Không gian paracompact .............................................................................................. 16 1
1.4.1. Không gian paracompact ........................................................................................... 16 1.4.2. Không gian paracompact đếm được .......................................................................... 16 1.4.3. Không gian Fréchet tại một điểm .............................................................................. 16 1.5. Không gian phân tầng ................................................................................................... 16 1.5.1. Định nghĩa ................................................................................................................. 16 1.5.2. M 1 - không gian, M 3 - không gian .......................................................................... 16 1.6. Không gian Nagata ........................................................................................................ 16 1.7. Hàm ceiling ..................................................................................................................... 17 1.8. Arbelos ............................................................................................................................ 17 CHƯƠNG 2: TÔPÔ METRIC MỞ RỘNG CỦA TRÁI ĐẤT ................................. 18 2.1. Tôpô đĩa tiếp xúc Hyperbolic........................................................................................ 18 2.2. Tôpô phân tầng .............................................................................................................. 21 2.3. Dạng của các lân cận tại biên........................................................................................ 27 2.4. Các tôpô được đơn giản hóa ......................................................................................... 32 KẾT LUẬN .................................................................................................................... 39 TÀI LIỆU KHAM KHẢO ............................................................................................ 41 2
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Kí hiệu Ý nghĩa clU ,U : Bao đóng của tập U. B ( x, r ) : Quả cầu mở tâm x , bán kính r. V ( x, s ) : Quả cầu cực hạn tại x kích thước s. ω : Tập chỉ số bao gồm các số tự nhiên. x : Họ các lân cận của x . g J : Hạn chế của hàm g lên cung J. 3
Trong lịch sử tồn tại và phát triển, nhân loại luôn luôn phải đương đầu với các tai họa thiên nhiên, như lũ lụt, hạn hán, bão tố, động đất, sóng thần, núi lửa… Trong các tai họa thiên nhiên đó, có lẽ động đất là tai họa khủng khiếp nhất, bởi vì chỉ trong vài giây đồng hồ cả một thành phố có thể bị sụp đổ hoàn toàn, cả một khu vực có thể bị sụt lún và đôi khi những dòng sông cũng bị đổi dòng do hậu quả của những trận động đất cực mạnh. Điều đáng sợ hơn là cho đến nay khoa học và kỹ thuật đương đại vẫn chưa dự báo chính xác thời điểm và địa điểm động đất sẽ xảy ra. Do đó, con người chưa có biện pháp phòng chống chủ động đối với từng trận động đất, cũng như trong phòng chống bão hay lũ lụt. Theo các kết quả thống kê tỉ mỉ của các nhà địa chấn, hằng năm trên toàn địa cầu xảy ra hơn 1 triệu trận động đất với các độ mạnh khác nhau, trong số đó có khoảng 100 ngàn động đất con người cảm nhận được, 100 trận động đất gây tác hại và chỉ 1 trận động đất gây thảm họa lớn, nghĩa là cứ nửa phút xảy ra một động đất. Có thể nói động đất yếu xảy ra ở mọi nơi trên địa cầu, vì lòng đất không lúc nào yên tĩnh. 4
MỞ ĐẦU Xuất phát từ những trận động đất, các nhà toán học trên thế giới trong đó có các nhà toán học Nhật Bản đã quan tâm nghiên cứu cơ chế các trận động đất đưa chúng vào trong mô hình toán học nhằm tìm ra nguyên nhân để khắc phục và giảm tối đa những thiệt hại do các trận động đất gây ra. Lấy ý tưởng từ những trận động đất nhà toán học người Nhật Akio Kato, Department of Mathematics; National Defense Acedemy đã nghiên cứu những cơn sóng địa chấn để khái quát quát hóa chúng thành mô hình toán học. Một trận động đất truyền bởi hai loại sóng: sóng khối và sóng bề mặt. Đầu tiên chúng lan truyền xuyên qua Trái Đất sau đó trên bề mặt Trái Đất. Tốc độ truyền của sóng khối có xu hướng tăng với độ sâu, sóng bề mặt tương đối chậm hơn sóng khối. Ý tưởng chúng ta đưa ra sóng khối lấy đường trắc địa của đĩa Poincaré  (đĩa mở đơn vị) với metric hyperbolic ρ để tôpô của phần trong Trái Đất cảm sinh bởi metric hyperbolic ρ . Mặt khác sóng bề mặt lan truyền trên đường tròn lớn của bề mặt Trái Đất, là đường tròn biên của tiết diện ngang của Trái Đất. Do đó, sóng bề mặt được đo bởi độ dài đường cong Euclide thông thường trên đường tròn biên. Vì vậy, chúng ta thấy rằng mô hình đơn giản hóa  của Trái Đất có một cấu trúc đa metric: metric hyperbolic ρ trên  và metric Euclide d trên đường cong biên S 1 = ∂ . Dĩ nhiên, metric Euclide được xác định không chỉ trên biên mà còn trên toàn bộ  . Chúng ta xác định cấu trúc của những tôpô mới tương ứng theo cả hai metric trên. Chúng ta muốn định nghĩa những tôpô mới trên đĩa đóng đơn vị  hoặc tiết diện ngang của trái đất mà trên đó có những tôpô đặc trưng dựa theo các hiện tượng trên. Dĩ nhiên, chúng ta phải đơn giản hóa tiết diện ngang của Trái Đất để loại bỏ những chi tiết địa chất. 5
Hình 1.1. Mô hình được đơn giản hóa của Trái Đất Luận văn của chúng tôi nhằm nghiên cứu một số phương pháp mà Akio Kato đã đưa ra về bốn tôpô mới của Trái Đất lấy ý tưởng từ sự truyền của những sóng địa chấn. Tất cả chúng là  và phân tầng, nhưng không metric hóa được, chúng không phải không không gian Lindelof gian Fréchet cũng không đơn liên. Chúng ta đơn giản hóa những tôpô này để có được ba tôpô địa phương co rút được, một trong số đó là đếm được thứ nhất. Nội dung của luận văn gồm hai chương: Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc nghiên cứu ở các phần sau, Chương 2 giới thiệu một số Tôpô metric mở rộng của Trái Đất và một số nhận xét, bổ đề, các tính chất quan trọng của chúng. Trong phần kết luận chúng ta sẽ trình bày một số nhận xét các kết quả trên và định hướng mở rộng cho luận văn. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh. Trong quá trình học tập và viết luận văn, lúc đầu chúng tôi còn bỡ ngỡ trong việc nghiên cứu luận văn nhưng thầy đã động viên và giúp đỡ chúng tôi rất nhiều từ việc nghiên cứu các bài báo khoa học, cách tìm tài liệu và bổ sung những kiến thức thiếu sót của chúng tôi. Nhờ sự tận tình chỉ dạy nghiên cứu khoa học của thầy không những giúp chúng tôi tự tin hơn trong việc hoàn thành luận văn mà còn giúp chúng tôi rất nhiều trong đời sống xã hội. Tôi xin bày tỏ lòng biết 6
ơn sâu sắc đến thầy. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô đã trực tiếp giảng dạy trên lớp Hình Học và Tôpô khóa 22 cùng quý thầy trong Tổ Hình Học, Khoa Toán – Tin Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp tiếp cận làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học. Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Tổ Chức Hành Chính, Phòng Khoa Học Công Nghệ và Sau đại học, Phòng Kế Hoạch – Tài Chính Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này. 7
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương 1 này, chúng ta sẽ đưa ra cơ sở lí thuyết nhằm phục vụ cho các chương tiếp theo. Các kiến thức chủ yếu trong chương này nhằm mục đích giới thiệu các khái niệm cơ bản trong các không gian tôpô, không gian metric hóa được và các kiến thức liên quan của luận văn. Hầu hết các kiến thức được đưa ra đều rất ngắn gọn, dễ hiểu để tiện việc theo dõi tiếp các phần sau. Để tìm hiểu thêm chi tiết, ta có thể tham khảo thêm trong các tài liệu [2], [3], [4], [6]. 1.1. Các khái niệm mở đầu về không gian tôpô 1.1.1. Không gian tôpô Một không gian tôpô là một cặp ( X ,τ ) bao gồm một tập hợp X và một họ τ các tập con của X thỏa các điều kiện sau: (τ 1 ) ∅ ∈τ và X ∈τ . (τ 2 ) Nếu U1 ∈τ và U 2 ∈τ thì U1 ∩ U 2 ∈τ . (τ 3 ) Nếu A ⊂ τ thì  A ∈τ . Tập X được gọi là một không gian, các phần tử của X được gọi là các điểm của không gian X, các tập con của X thuộc τ được gọi là các tập mở của X, họ τ các tập con mở của X được gọi là tôpô trên X. 1.1.2. Cơ sở, tiền cơ sở của tôpô  Giả sử ( X ,τ ) là một không gian tôpô. Một họ B ⊂ τ gọi là một cơ sở của không gian tôpô ( X ,τ ) nếu mọi tập con mở khác rỗng của X đều bằng hợp của một họ các tập thuộc B .  Một họ σ ⊂ τ gọi là một tiền cơ sở của không gian tôpô ( X ,τ ) nếu họ tất cả các giao hữu hạn các tập thuộc σ là một cơ sở của τ .  Một tôpô hoàn toàn được xác định khi biết một cơ sở hay tiền cơ sở của nó. 8
1.1.3. Lân cận, cơ sở lân cận  Cho X là không gian tôpô và x ∈ X . Tập con V của X được gọi là một lân cận của điểm x nếu tồn tại tập mở G sao cho x ∈ G ⊂ V . Nếu lân cận V của x là tập mở thì V gọi là lân cận mở của x.  Một họ  x các lân cận của x gọi là một cơ sở lân cận của x nếu mọi lân cận V của x đều tồn tại lân cận U ∈  x sao cho U ⊂ V . 1.1.4. Không gian tôpô con Cho ( X ,τ ) là một không gian tôpô và một tập A ⊂ X . Khi đó, họ τ A ={G ∩ A : G ∈τ } là một tôpô trên A, gọi là tôpô cảm sinh bởi tôpô τ trên X. Không gian ( A,τ A ) gọi là không gian tôpô con của không gian tôpô ( X ,τ ) . 1.1.5. Phần trong, bao đóng, biên  Cho không gian tôpô ( X ,τ ) và tập A ⊂ X , phần trong Ao của A là hợp của tất cả các tập mở bị chứa trong A, bao đóng A của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, và biên của A là ∂A = A − A . o  Một tập của các tập hợp được gọi là bảo toàn bao đóng nếu cho bất kỳ tập con, hợp của các bao đóng bằng bao đóng của các hợp.  Một tập A ⊂ X gọi là trù mật nếu A = X , hay A trù mật nếu mọi tập con mở của X chứa một điểm của A. ( ) o  Tập A ⊂ X gọi là không đâu trù mật nếu A = ∅. 1.1.6. Điểm hội tụ và điểm cô lập  Một điểm x ∈ X là một điểm hội tụ của A ⊂ X nếu x ∈ A \ { x} . Tập tất cả các điểm hội tụ của A gọi là tập có hướng của A, kí hiệu Ad .  Điểm thuộc tập A \ Ad gọi là điểm cô lập. Một điểm x là điểm cô lập của không gian X khi và chỉ khi tập { x} là tập mở, tức là { x} = X \ X \ { x} hay x ∉ X \ { x} . 9
1.1.7. Ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng  Cho ( X ,τ ) và (Y ,τ ') là hai không gian tôpô. Một ánh xạ f từ X tới Y gọi là liên tục tại x ∈ X nếu mọi lân cận V của f ( x ) trong Y đều tồn tại lân cận U của x trong X sao cho f (U ) ⊂ V , nghĩa là, f −1 (V ) là một lân cận của x.  Ánh xạ f gọi là mở nếu mọi tập mở G trong X, f ( G ) là tập mở trong Y.  Ánh xạ f gọi là đóng nếu mọi tập đóng G trong X, f ( G ) là tập đóng trong Y.  Ánh xạ f gọi là phép đồng phôi nếu f là một song ánh và f , f −1 đều là ánh xạ liên tục. 1.1.8. Các tiên đề tách T0 -không gian: Không gian tôpô X là T0 -không gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ x,y của tập X có một lân cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa x. T1 -không gian: Không gian tôpô X là T1 -không gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ x,y của tập X có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x. T2 -không gian ( hay không gian Hausdorff): Không gian tôpô X là T2 -không gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ x,y của tập X tồn tại lân cận U của x và một lân cận V của y sao cho U ∩ V =∅. T3 -không gian (Không gian chính quy): Không gian tôpô X có điều kiện chính quy nếu mọi x ∈ X , mọi tập con đóng  của X không chứa x , tồn tại các tập con mở U , V sao cho x ∈ U ,  ⊂ V ,U ∩ V =∅. Tương đương mọi x ∈ X , mọi lân cận V của x đều chứa một lân cận đóng của x nghĩa là tồn tại lân cận U của x sao cho x ∈U ⊂ U ⊂ V . 10
Không gian tôpô X là T3 -không gian nếu X là T1 -không gian và thỏa mãn điều kiện chính quy. T 1 -không gian (không gian hoàn toàn chính quy – không gian Tychonoff): Không gian 3 2 tôpô X là T 1 -không gian nếu X là T1 -không gian và với mỗi x ∈ X , mỗi tập con đóng 3 2 F của X không chứa x, tồn tại một hàm liên tục f : X → [0,1] sao cho f ( x) = 0 và f (F ) = 1. T4 -không gian (không gian chuẩn tắc): Không gian tôpô X là T4 -không gian nếu X là T1 -không gian và với hai tập con đóng A, B bất kỳ không giao nhau trong X , tồn tại các tập mở rời nhau U và V sao cho A ⊂ U , B ⊂ V và U ∩ V =∅. 1.1.9. Các tiên đề đếm được  Không gian tôpô X được gọi là thỏa tiên đề đếm được thứ nhất nếu mọi điểm x ∈ X đều có một cơ sở lân cận đếm được.  Không gian tôpô gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu tôpô của nó có một cơ sở đếm được.  Không gian chính quy mà mọi phủ mở trong nó đều có một phủ con đếm được thì gọi là  . Như vậy, một không gian chính quy thỏa tiên đề đếm được thứ hai là không gian Lindelof  . không gian Lindelof 1.2. Không gian compact 1.2.1. Không gian compact Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu X là không gian Hausdorff và mọi phủ mở của X có một phủ con hữu hạn, nghĩa là mọi phủ mở {U s }s⊂ S của không gian X tồn tại một tập hữu hạn {s1 , s2 ,..., sk } ⊂ S thỏa X = U s1 ∪ U s2 ∪ ... ∪ U sk . 11
1.2.2. Không gian compact đếm được Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact đếm được nếu X là một không gian Hausdorff và mọi phủ mở đếm được của X có một phủ con hữu hạn. 1.2.3. Không gian compact địa phương Một không gian tôpô X được gọi là một không gian compact địa phương nếu với mọi x ∈ X có một lân cận U của x thỏa U là một không gian con compact của X. Mọi không gian compact địa phương là không gian Tychonoff. 1.2.4. Ánh xạ đầy đủ Ánh xạ liên tục f : X → Y là đầy đủ nếu X là một không gian Hausdorff, f là ánh xạ đóng và tất cả các thớ f ( y ) là các tập con compact của X. −1 Đơn ánh f : X → Y xác định trên một không gian Hausdorff X là đầy đủ khi và chỉ khi nó là một ánh xạ đóng, tức là, f là một phép nhúng đồng phôi và tập f ( X ) đóng trong Y. 1.2.5. Không gian Cech-đầy đủ Một không gian Tychonoff được gọi là Cech-đầy đủ nếu nó là một Gδ -tập trong các compact hóa Hausdorff của nó. 1.2.6. Không gian giả compact Một không gian tôpô X gọi là không gian giả compact nếu X là một không gian Tychonoff và mọi hàm giá trị thực liên tục trên X đều bị chặn. 1.3. Không gian mêtric, không gian mêtric hóa được 1.3.1. Không gian mêtric Định nghĩa: Một không gian mêtric là một cặp ( X ,d ) gồm một tập X và một hàm d : X × X → [ 0, + ∞ ) thỏa mãn các điều kiện sau: (M1) d ( x, y ) = 0 khi và chỉ khi x=y, (M2) d ( x, y ) = d ( y, x ) với mọi x, y ∈ X , 12
(M3) d ( x, y ) + d ( y, z ) ≥ d ( x, z ) với mọi x, y , z ∈ X . Nhận xét: Tập X gọi là một không gian, các phần tử của X gọi là các điểm, hàm d gọi là mêtric trên tập X và số d ( x, y ) được gọi là khoảng cách giữa x và y. Nếu hàm d : X × X → [ 0, + ∞ ) thỏa điều kiện (M2), (M3) và điều kiện (M1’) d ( x, x) = 0 với mọi x ∈ X thì được gọi là một giả mêtric trên tập X. Với mọi không gian mêtric ( X , d ) , họ các tập mở theo mêtric d là một tôpô trên X. Tôpô này gọi là tôpô sinh bởi mêtric d . Không gian mêtric X luôn được coi là không gian tôpô với tôpô sinh bởi mêtric. 1.3.2. Không gian mêtric hóa được Không gian tôpô ( X ,τ ) gọi là không gian mêtric hóa được nếu X đồng phôi với một không gian mêtric (nghĩa là tồn tại một mêtric d trên tập X sao cho tôpô sinh bởi mêtric d trùng với tôpô τ của X ( τ = τ d ). Không gian ( X ,τ ) mêtric hóa con được nếu tồn tại một tôpô τ ' trên X sao cho τ ' ⊂ τ và ( X ,τ ') mêtric hóa được. 1.3.3. Định lý phạm trù Baire Trong không gian metric đầy X, giao của một họ đếm được những tập trù mật trong X là trù mật trong X. 1.3.4. Định lý HANAI – MORITA – STONE Với mọi ánh xạ đóng f : X → Y của không gian metric hóa được X lên một không gian Y các điều kiện sau là tương đương: ( i ) Không gian Y là metric hóa được. ( ii ) Không gian Y là đếm được thứ nhất. ( iii ) Với mọi y ∈ Y tập Fr f −1 ( y ) là tập compact. 13
 1.3.5. Phép biến đổi Mobius và một số tính chất Định nghĩa: Một phép biến đổi Mobius  là một hàm T : ∞ → ∞ az + b  T ( z) z= , ad − bc ≠ o (1) cz + d Tính chất:  Phép biến đổi (1) là ánh xạ bảo giác 1-1 của mặt phẳng phức.   Các phép biến đổi Mobius dưới tích các ánh xạ tạo thành một nhóm phép  biến đổi Mobius .   Phép biến đổi Mobius biến mọi đường tròn hoặc đường thẳng thành đường tròn hoặc đường thẳng.   Phép biến đổi Mobius T được xác định bởi 3 giá trị T (= Z i ) w= i, i 1, 2,3 .  Không mất tính tổng quát, phép biến đổi Mobius còn có dạng: z − z0 ( z ) µ. T= µ 1, z0 < 1 ,= (2) 1 − z0 . z Phép biến đổi (2) ánh xạ đường tròn đơn vị Γ lên chính nó, đĩa D lên chính nó. Chúng ta sẽ gọi hàm (2) là ánh xạ đĩa. 1.3.6. Tỷ số kép Cho 4 số phức z0 , z1 , z2 , z3 phân biệt, chúng ta định nghĩa tỷ số kép như sau: ( z2 − z0 ) .( z3 − z1 ) ( z0 z1 , z2 , z3 ) = ( z1 − z0 ) .( z3 − z2 ) Nhận xét:  Thay z1 , z2 hoặc z0 , z3 chúng ta có tỷ số kép nghịch đảo: ( z0 , z2 , z1 , z3 ) = ( z0 , z1 , z2 , z3 ) , −1 ( z3 , z1 , z2 , z0 ) = ( z0 , z1 , z2 , z3 ) . −1   Cho z1 , z2 , z3 phân biệt, chúng ta xác định một phép biến đổi Mobius T: 14
 z − z2   z3 − z1  =T ( z) (= z , z1 , z2 , z3 )  .   z − z1   z3 − z2    Với phép biến đổi Mobius T , ta có: . Zi Z1 Z2 Z3 T(Zi ) ∞ 0 1 1.3.7. Metric hyperbolic Trong mặt phẳng phức  , ta ký hiệu đĩa mở đơn vị  =∈ z  z
1.4. Không gian paracompact 1.4.1. Không gian paracompact Cho không gian tôpô X -Hausdorff. Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact nếu mỗi phủ mở của X có một cái mịn mở hữu hạn địa phương. 1.4.2. Không gian paracompact đếm được Cho không gian tôpô X -Hausdorff. Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact đếm được nếu mỗi phủ mở đếm được của X có một cái mịn mở hữu hạn địa phương. 1.4.3. Không gian Fréchet tại một điểm Một không gian Y được gọi là Fréchet tại một điểm y ∈ Y nếu khi A ⊆ Y và y ∈ clA , tồn tại một dãy hội tụ an trong A mà an → y . 1.5. Không gian phân tầng 1.5.1. Định nghĩa Một không gian Tôpô X là một không gian phân tầng nếu X là T1 và mỗi tập mở U ⊂ X , ∞ ta có thể gán một dãy {U n } của các tập con mở của X sao cho : n=1 (i ) U n ⊂ U , (ii)  ∞n=1U n =U , (iii ) U n ⊂ Vn với bất kỳ U ⊂ V . 1.5.2. M 1 - không gian, M 3 - không gian  M 1 -không gian là không gian chính quy với một cơ sở mở σ - bảo toàn bao đóng.  M 3 -không gian là không gian chính quy với một tựa cơ sở σ - bảo toàn bao đóng 1.6. Không gian Nagata Định nghĩa: Một không gian Nagata X là T1 − không gian sao cho với mỗi 16
∞ ∞ x ∈ X tồn tại dãy các lân cận của x , {U n ( x )}n=1 và {Sn ( x )}n=1 sao cho: ∞ (1) Với mỗi x ∈ X , {U n ( x )}n=1 là 1 cơ sở lân cận địa phương của x , ( 2 ) Với mọi x, y ∈ X , Sn ( x ) ∩ Sn ( y ) ≠ ∅ hàm ý x ∈ U n ( y ) . ∞ ∞ {U n ( x )}n 1 = Nhận xét: Cặp thứ tự = , {Sn ( x )}n 1 được gọi là 1 cấu trúc ∞ ∞ Nagata của X nếu và chỉ nếu với mỗi x , {U n ( x )}n=1 và {Sn ( x )}n=1 là các dãy lân cận của x thỏa mãn hai điều kiện trên. 1.7. Hàm ceiling Hàm ceiling được ký hiệu f ( x ) = x  hoặc f ( x ) = ceiling ( x ) là một hàm gán với x số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng x. 1.8. Arbelos Arbelos là một miền mặt phẳng được tạo bởi một nửa đường tròn đường kính bằng 1 với các nửa đường tròn đường kính lần lượt là r và 1 − r . Hình 1.2. Arbelos 17
CHƯƠNG 2: TÔPÔ METRIC MỞ RỘNG CỦA TRÁI ĐẤT Trong chương này của luận văn, chúng ta sẽ tìm hiểu một số cấu trúc của các tôpô bao gồm: Tôpô đĩa tiếp xúc Hyperbolic τ ρ , tôpô phân tầng τ , tôpô τ ( ctbl ) , tôpô τ ( fn ) và tôpô τ ( N ) . Trong phần 2.1 chúng ta giới thiệu Tôpô đĩa tiếp xúc Hyperbolic τ ρ , không gian ( X ,τ ) của  khả đối xứng và phân tầng, nhưng không phải chúng ta trong phần 2.2 là không gian Lindelof không gian Fréchet cũng không đơn liên. Chúng ta nghiên cứu cấu trúc của tôpô τ này trong phần 2.3 và sau đó trong phần 2.4 chúng ta sẽ hoàn thiện nó để có được ba tôpô địa phương co rút được, một trong số đó là đếm được thứ nhất.. 2.1. Tôpô đĩa tiếp xúc Hyperbolic Trong phần còn lại của luận văn này, chúng ta dùng ρ để chỉ metric hyperbolic, d là metric Euclide trên mặt phẳng phức .  =z ∈  z < 1 { } là đĩa mở đơn vị trong mặt phẳng phức  . X = =  ∪ S , S = ∂ là biên đường tròn đơn vị z =1. Cho bất kỳ hai điểm phân biệt z , w∈ nằm trên một đường trắc địa L (α , β ) sao cho L (α , β ) là một cung tròn mở trực giao với S tại hai điểm đầu mút α và β thuộc S. Khoảng cách hyperbolic ρ ( z , w ) được xác định như sau: ρ ( z , w ) = log (α , z , w, β )  w −α   z −α  Trong đó (α , z , w, β ) ký hiệu tỷ số kép     , tỷ số kép này là một số thực  w−β   z −β  dương do bốn điểm α , z, w và β trên đường tròn được xác định bởi đường trắc địa L (α , β ) . Một tính chất quan trọng của khoảng cách hyperbolic là nó bất biến dưới phép biến  đổi Mobius.  Như vậy, nếu một phép biến đổi Mobius biến đường trắc địa L (α , β ) thành đường kính L ( −1, +1) sao cho bốn điểm α , z , w và β biến đổi tương ứng −1 < r1 < r2 < +1 , thì khoảng cách ρ ( z , w ) có thể được tính như sau: 1 + r2 1 + r1 (*) ρ ( r1 , r2 )= log ( −1, r1 , r2 , +1) = log − log . 1 − r2 1 − r1 Nhận xét: 18