Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tự tồn tại và tính liên thông của tập nghiệm đối với bài toán tựa cần bằng véctơ suy rộng

Chia sẻ: Tri Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn là trình bày một cách có hệ thống các kết quả trong công trình về sự tồn tại và tính liên thông của tập nghiệm đối với bài toán tựa cân bằng vecto suy rộng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tự tồn tại và tính liên thông của tập nghiệm đối với bài toán tựa cần bằng véctơ suy rộng

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM Nguy¹n Minh Hi·n SÜ TÇN TI V TNH LIN THÆNG CÕA TP NGHIM ÈI VÎI BI TON TÜA CN BNG VCTÌ SUY RËNG LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2019
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM Nguy¹n Minh Hi·n SÜ TÇN TI V TNH LIN THÆNG CÕA TP NGHIM ÈI VÎI BI TON TÜA CN BNG VCTÌ SUY RËNG Ng nh: To¡n gi£i t½ch M¢ sè: 8460102 LUN VN THC S TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc TS. BÒI TH HÒNG Th¡i Nguy¶n - 2019
Líi cam oan Tæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l trung thüc v khæng tròng l°p vîi · t i kh¡c. Nguçn t i li»u sû döng cho vi»c ho n th nh luªn v«n l nguçn t i li»u mð. C¡c thæng tin, t i li»u trong luªn v«n n y ¢ ÷ñc ghi rã nguçn gèc. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2019 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Nguy¹n Minh Hi·n X¡c nhªn X¡c nhªn cõa khoa chuy¶n mæn cõa ng÷íi h÷îng d¨n TS. Bòi Th¸ Hòng i
Líi c£m ìn Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi Th¦y gi¡o - Ti¸n s¾ Bòi Th¸ Hòng, ng÷íi ¢ trüc ti¸p h÷îng d¨n, gióp ï, ch¿ b£o tªn t¼nh, t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi gióp tæi ho n th nh luªn v«n n y. Tæi xin tr¥n trång c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, khoa To¡n còng to n thº c¡c th¦y cæ gi¡o Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Vi»n To¡n håc v Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H Nëi ¢ truy·n thö cho tæi nhúng ki¸n thùc quan trång, t¤o i·u ki»n thuªn lñi v cho tæi nhúng þ ki¸n âng gâp quþ b¡u trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n. Cuèi còng, tæi xin gûi líi c£m ìn gia ¼nh, b¤n b± ¢ quan t¥m gióp ï, ëng vi¶n tæi trong suèt qu¡ tr¼nh l m luªn v«n. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn! Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2019 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Nguy¹n Minh Hi·n ii
Möc löc Líi cam oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Líi c£m ìn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Danh möc c¡c kþ hi»u, c¡c chú vi¸t tt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Tªp lçi v mët sè t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Khæng gian lçi àa ph÷ìng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ a trà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. Mët sè t½nh ch§t cõa ¡nh x¤ a trà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.1. Nân trong khæng gian tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2. T½nh li¶n töc theo nân cõa ¡nh x¤ a trà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.3. T½nh lçi theo nân cõa ¡nh x¤ a trà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Ch÷ìng 2. Sü tçn t¤i v t½nh li¶n thæng cõa tªp nghi»m èi vîi b i to¡n tüa c¥n b¬ng v²ctì suy rëng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1. Mët sè ki¸n thùc mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Sü tçn t¤i nghi»m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3. T½nh li¶n thæng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 iii
Danh möc c¡c kþ hi»u, c¡c chú vi¸t tt R tªp c¡c sè thüc R+ tªp sè thüc khæng ¥m R− tªp sè thüc khæng d÷ìng Rn khæng gian v²ctì Euclide n− chi·u Rn+ tªp c¡c v²ctì khæng ¥m cõa Rn Rn− tªp c¡c v²ctì khæng d÷ìng cõa Rn f :X→Y ¡nh x¤ tø tªp X v o tªp Y A := B A ÷ñc ành ngh¾a b¬ng B ∅ tªp réng A⊆B A l tªp con cõa B A 6⊆ B A khæng l tªp con cõa B A∪B hñp cõa hai tªp hñp A v B dom F mi·n ành ngh¾a cõa ¡nh x¤ a trà F gph F ç thà cõa ¡nh x¤ a trà F iv
A∩B giao cõa hai tªp hñp A v B A\B hi»u cõa hai tªp hñp A v B A×B t½ch Descartes cõa hai tªp hñp A v B cl A bao âng tæpæ cõa tªp hñp A co A bao lçi cõa tªp hñp A int A ph¦n trong tæpæ cõa tªp hñp A conv A bao lçi cõa tªp hñp A 2 k¸t thóc chùng minh v
Mð ¦u B i to¡n c¥n b¬ng v²ctì câ nhi·u ùng döng quan trång trong vªt lþ, kinh t¸, khoa håc,... Lþ thuy¸t v· sü tçn t¤i cõa tªp nghi»m èi vîi b i to¡n c¥n b¬ng v²ctì ¢ ÷ñc r§t nhi·u nh to¡n håc nghi¶n cùu d÷îi gi£ thi¸t h m möc ti¶u l tüa lçi ho°c tüa lçi theo nân ([2], [3], [4]). N«m 2015, Han v Huang [4] nghi¶n cùu i·u ki»n v· sü tçn t¤i èi vîi tªp nghi»m húu hi»u y¸u v tªp nghi»m húu hi»u cõa b i to¡n c¥n b¬ng v²ctì suy rëng vîi gi£ thi¸t h m möc ti¶u lçi theo nân. N«m 2016, c¡c t¡c gi£ ¢ mð rëng k¸t qu£ tr¶n cho lîp b i to¡n tüa c¥n b¬ng v²ctì suy rëng [6]. Ngo i vi»c nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng v²ctì ng÷íi ta cán quan t¥m nghi¶n cùu t½nh ch§t cõa tªp nghi»m cõa b i to¡n n y. Trong sè c¡c t½nh ch§t cõa tªp nghi»m th¼ t½nh li¶n thæng câ vai trá r§t quan trång, v¼ nâ ÷ñc b£o to n khi chuyºn qua ¡nh x¤ li¶n töc. Ban ¦u, ng÷íi ta nghi¶n cùu t½nh li¶n thæng cõa tªp nghi»m húu hi»u y¸u li¶n quan ¸n ¡nh x¤ ìn trà tø khæng gian húu h¤n chi·u n y sang khæng gian húu h¤n chi·u kh¡c [4]. Sau â, c¡c b i to¡n n y ÷ñc mð rëng vîi khæng gian câ sè chi·u væ h¤n [8]. N«m 2016, Han v Huang [6] nghi¶n cùu t½nh li¶n thæng cõa tªp nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng v²ctì suy rëng. Sau â c¡c t¡c gi£ ¢ mð rëng k¸t qu£ tr¶n cho lîp b i to¡n tüa c¥n b¬ng v²ctì suy rëng [6]. Möc ½ch cõa luªn v«n nh¬m tr¼nh b y mët c¡ch h» thèng c¡c k¸t qu£ trong cæng tr¼nh [6] v· sü tçn t¤i v t½nh li¶n thæng cõa tªp nghi»m èi vîi b i to¡n tüa c¥n b¬ng v²ctì suy rëng. Luªn v«n gçm ph¦n mð ¦u, hai ch÷ìng nëi dung, ph¦n k¸t luªn v t i li»u tham kh£o. 1
Ch÷ìng 1 cõa luªn v«n tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· tªp lçi, khæng gian lçi, ¡nh x¤ a trà v mët sè t½nh ch§t cõa ¡nh x¤ a trà. Ch÷ìng 2 tr¼nh b y mët sè i·u ki»n õ cho sü tçn t¤i nghi»m húu hi»u m¤nh, nghi»m húu hi»u y¸u v nghi»m húu hi»u cõa b i to¡n tüa c¥n b¬ng v²ctì suy rëng. Hìn núa t½nh li¶n thæng cõa tªp nghi»m èi vîi b i to¡n tüa c¥n b¬ng v²ctì suy rëng công ÷ñc tr¼nh b y trong ch÷ìng n y. 2
Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Gi£i t½ch a trà ÷ñc h¼nh th nh tø nhúng n«m 30 cõa th¸ k 20 do ch½nh nhu c¦u cõa c¡c v§n · n£y sinh tø thüc ti¹n v cuëc sèng. Tø kho£ng 10 n«m trð l¤i ¥y vîi cæng cö gi£i t½ch a trà, c¡c ng nh to¡n håc nh÷ lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v ph÷ìng tr¼nh suy rëng, lþ thuy¸t tèi ÷u, lþ thuy¸t i·u khiºn, tèi ÷u a möc ti¶u, khoa håc qu£n lþ v to¡n kinh t¸, ... ph¡t triºn mët c¡ch m¤nh m³ v câ nhi·u ùng döng s¥u sc. Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v k¸t qu£ quen bi¸t v· gi£i t½ch a trà ÷ñc tr½ch ra tø cuèn s¡ch chuy¶n kh£o v· gi£i t½ch a trà [1]. C¡c k¸t qu£ cõa ch÷ìng n y l cì sð cho vi»c tr¼nh b y k¸t qu£ ch½nh cõa luªn v«n ð ch÷ìng 2. 1.1. Tªp lçi v mët sè t½nh ch§t ành ngh¾a 1.1.1. Gi£ sû X l khæng gian tuy¸n t½nh. Tªp A ⊆ X ÷ñc gåi l lçi n¸u vîi måi x1 , x2 ∈ A ta luæn câ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A vîi måi λ ∈ [0, 1]. Quy ÷îc. Tªp réng l tªp lçi. M»nh · 1.1.2. Gi£ sû Aα ⊆ X l c¡c tªp lçi vîi måi α ∈ I , vîi I l tªp ch¿ sè b§t k¼. Khi â tªp A = ∩ Aα lçi. α∈I 3
Chùng minh. L§y x, y ∈ A. Khi â x, y ∈ Aα , vîi måi α ∈ I . Do Aα l lçi vîi måi α ∈ I n¶n λx + (1 − λ)y ∈ Aα , vîi måi λ ∈ [0, 1], α ∈ I. Do â λx + (1 − λ)y ∈ A. Vªy A l tªp lçi. M»nh · 1.1.3. Gi£ sû Ai ⊆ X l tªp lçi v λi ∈ R (i = 1, 2, . . . , m). Khi â λ1 A1 + λ2 A2 + · · · + λm Am l tªp lçi. Chùng minh. °t A = λ1 A1 + λ2 A2 + · · · + λm Am . L§y x, y ∈ A, khi â tçn t¤i xi ∈ Ai , yi ∈ Ai , i = 1, 2, . . . , m sao cho x = λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λm xm , y = λ1 y1 + λ2 y2 + · · · + λm ym . Ta câ λx + (1 − λ)y = λ(λ1 x1 + · · · + λm xm ) + (1 − λ)(λ1 y1 + · · · + λm ym ) = λ1 [λx1 + (1 − λ)y1 ] + · · · + λm [λxm + (1 − λ)ym ]. Do Ai l tªp lçi n¶n λxi +(1−λ)yi ∈ Ai , vîi måi λ ∈ [0, 1], i ∈ {1, 2}, . . . , m. Suy ra λx + (1 − λ)y ∈ A, vîi måi λ ∈ [0, 1]. Vªy A l tªp lçi. ành ngh¾a 1.1.4. Gi£ sû X l khæng gian tuy¸n t½nh, A l mët tªp con cõa X . Khi â giao cõa t§t c£ c¡c tªp lçi chùa A ÷ñc gåi l bao lçi cõa tªp A v k½ hi»u l co A. Nhªn x²t. Tªp A lçi khi v ch¿ khi A chùa t§t c£ c¡c tê hñp lçi cõa c¡c ph¦n tû trong A. ành lþ 1.1.5. Gi£ sû A l tªp con cõa khæng gian tuy¸n t½nh X . Khi â co A tròng vîi tªp t§t c£ c¡c tê hñp lçi cõa tªp A, tùc l ( n n ) X X co A = αi xi : xi ∈ A, αi ≥ 0, αi = 1 . i=1 i=1 Chùng minh. Ta câ co A l tªp lçi. V¼ A ⊂ co A n¶n co A chùa t§t c£ c¡c tê hñp lçi cõa A. Hìn núa tªp t§t c£ c¡c tê hñp lçi cõa A l lçi v chùa A, do â nâ chùa co A (v¼ co A l tªp lçi nhä nh§t chùa A). Vªy co A tròng vîi tªp t§t c£ c¡c tê hñp lçi cõa A. 4
1.2. Khæng gian lçi àa ph÷ìng ành ngh¾a 1.2.1. Gi£ sû X l mët tªp hñp kh¡c réng. Hå τ nhúng tªp con cõa X ÷ñc gåi l mët tæpæ tr¶n X n¸u (i) Hai tªp ∅, X ·u thuëc hå τ ; (ii) τ k½n èi vîi ph²p giao húu h¤n, tùc l giao cõa mët sè húu h¤n tªp thuëc hå τ th¼ công thuëc hå τ ; (iii) τ k½n èi vîi ph²p hñp b§t k¼, tùc l hñp cõa mët sè húu h¤n hay væ h¤n tªp thuëc hå τ th¼ công thuëc hå τ . C°p (X, τ ) ÷ñc gåi l khæng gian tæpæ. C¡c ph¦n tû thuëc X ta gåi l iºm v c¡c tªp thuëc hå τ ÷ñc gåi l tªp mð. ành ngh¾a 1.2.2. Gi£ sû τ, τ 0 l c¡c tæpæ tr¶n X . N¸u τ ⊆ τ 0 , ta nâi tæpæ τ y¸u hìn (thæ hìn) tæpæ τ 0 hay tæpæ τ 0 m¤nh hìn (màn hìn) tæpæ τ . Tr÷íng hñp khæng câ quan h» â, ta nâi hai tæpæ khæng so s¡nh ÷ñc. ành ngh¾a 1.2.3. Cho khæng gian tæpæ (X, τ ) v A ⊆ X . (i) Tªp con U cõa khæng gian X ÷ñc gåi l l¥n cªn cõa A n¸u U l bao h m tªp mð chùa A; (ii) L¥n cªn cõa ph¦n tû x ∈ X l l¥n cªn cõa tªp con {x}. Hå t§t c£ c¡c l¥n cªn cõa mët iºm gåi l h» l¥n cªn cõa iºm â. ành ngh¾a 1.2.4. Khæng gian tæpæ (X, τ ) ÷ñc gåi l khæng gian Haus- dorff n¸u èi vîi hai iºm kh¡c nhau tòy þ x, y ∈ X luæn tçn t¤i c¡c l¥n cªn U cõa x, V cõa y sao cho U ∩ V = ∅. ành ngh¾a 1.2.5. Cho X l khæng gian v²ctì tr¶n tr÷íng K. (i) Mët tæpæ τ tr¶n X ÷ñc gåi l t÷ìng th½ch vîi c§u tróc ¤i sè cõa X n¸u c¡c ph²p to¡n cëng v nh¥n væ h÷îng l c¡c ¡nh x¤ li¶n töc. (ii) Mët khæng gian tæpæ tuy¸n t½nh hay khæng gian v²ctì tæpæ tr¶n tr÷íng K l mët c°p (X, τ ), trong â X l khæng gian v²ctì tr¶n tr÷íng K v τ l mët tæpæ t÷ìng th½ch vîi c§u tróc ¤i sè cõa X . 5
ành ngh¾a 1.2.6. Khæng gian tæpæ tuy¸n t½nh X ÷ñc gåi l khæng gian lçi àa ph÷ìng (v tæpæ cõa nâ l tæpæ lçi àa ph÷ìng), n¸u trong X câ mët cì sð l¥n cªn cõa gèc gçm to n tªp lçi. Hìn vªy, n¸u khæng gian lçi àa ph÷ìng X çng thíi l khæng gian Hausdorff th¼ X ÷ñc gåi l khæng gian lçi àa ph÷ìng Hausdorff. V½ dö 1.2.7. Khæng gian ành chu©n, khæng gian Hilbert l c¡c khæng gian lçi àa ph÷ìng Hausdorff. 1.3. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ a trà Gi£ sû X v Y l hai tªp hñp. K½ hi»u 2X l tªp t§t c£ c¡c tªp con cõa X. ành ngh¾a 1.3.1. Mët ¡nh x¤ a trà F tø X v o Y m ùng vîi méi ph¦n tû x ∈ X cho mët tªp con cõa Y , ÷ñc kþ hi»u F : X → 2Y . Thüc ch§t, méi ¡nh x¤ a trà F : X → 2Y ÷ñc °c tr÷ng bði mët tªp con cõa X × Y , k½ hi»u l gph F v ÷ñc x¡c ành bði gph F := (x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x) . Tªp hñp gph F ÷ñc gåi l ç thà cõa F . Mi·n ành ngh¾a cõa F , k½ hi»u dom F , x¡c ành bði dom F := x ∈ X : F (x) 6= ∅ . V½ dö 1.3.2. X²t ph÷ìng tr¼nh a thùc vîi h» sè thüc xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an = 0, Quy tc cho ùng méi v²ctì a = (a1 , a2 , ..., an ) ∈ Rn vîi tªp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh tr¶n, k½ hi»u bði F (a), cho ta mët ¡nh x¤ a trà F : Rn → 2C tø khæng gian Euclide Rn v o khæng gian phùc C. 6
ành ngh¾a 1.3.3. Cho X, Y l c¡c khæng gian tuy¸n t½nh v ¡nh x¤ a trà F : X → 2Y . Ta nâi r¬ng (i) F câ gi¡ trà lçi n¸u F (x) l tªp lçi trong Y , vîi måi x ∈ X; (ii) F l ¡nh x¤ lçi n¸u gph F l tªp lçi trong X × Y. ành ngh¾a 1.3.4. Cho X, Y l c¡c khæng gian tæpæ v F : X → 2Y l ¡nh x¤ a trà. Ta nâi r¬ng (i) F câ gi¡ trà âng n¸u F (x) l tªp âng trong Y , vîi måi x ∈ X ; (ii) F l ¡nh x¤ âng n¸u gph F l tªp âng trong X × Y ; (ii) F l ¡nh x¤ mð n¸u gph F l tªp mð trong X × Y ; (iii) F l ¡nh x¤ compact n¸u F (X) l tªp compact t÷ìng èi trong Y . M»nh · 1.3.5. Gi£ sû X, Y l c¡c khæng gian tæpæ tuy¸n t½nh v ¡nh x¤ a trà F : X → 2Y . Khi â (i) N¸u F l ¡nh x¤ âng th¼ F câ gi¡ trà âng; (ii) N¸u F l ¡nh x¤ mð th¼ F câ gi¡ trà mð; (iii) N¸u F l ¡nh x¤ lçi th¼ F câ gi¡ trà lçi; (iv) F l ¡nh x¤ lçi khi v ch¿ khi (1 − t)F (x) + tF (x0 ) ⊆ F ((1 − t)x + tx0 ) vîi måi x, x0 ∈ X v t ∈ [0, 1] . C¡c v½ dö d÷îi ¥y ch¿ ra r¬ng ¡nh x¤ a trà câ gi¡ trà lçi ch÷a chc l ¡nh x¤ lçi v ¡nh x¤ a trà câ gi¡ trà âng ch÷a chc l ¡nh x¤ âng. V½ dö 1.3.6. Cho ¡nh x¤ a trà F : N∗ → 2R ành ngh¾a nh÷ sau   co 1, 2, ..., n − 1 , n¸u n ≥ 2, F (n) =  {0}, n¸u n=1. Hiºn nhi¶n F l ¡nh x¤ a trà vîi gi¡ trà lçi. Tuy nhi¶n F khæng l ¡nh x¤ lçi. 7
V½ dö 1.3.7. X²t ¡nh x¤ a trà F : R → 2R x¡c ành bði   [0, 1], n¸u x = 0, F (x) =  R, trong tr÷íng hñp cán l¤i. Hiºn nhi¶n ¡nh x¤ F câ gi¡ trà âng. M°t kh¡c ta câ gph F = (x, y) ∈ R2 : y ∈ F (x) = ({0} × [0, 1]) ∪ (R\{0} × R) l tªp khæng âng trong R2 v nh÷ vªy F khæng l ¡nh x¤ âng. ành ngh¾a 1.3.8. Cho X, Y l c¡c khæng gian tæpæ. nh x¤ bao âng cõa F l ¡nh x¤ a trà cl F : X → 2Y m ç thà cõa nâ l bao âng cõa ç thà cõa ¡nh x¤ F , tùc l gph(cl F ) = cl(gph F ). ành ngh¾a 1.3.9. Gi£ sû F : X → 2Y l ¡nh x¤ a trà tø X v o Y . Ta gåi ¡nh x¤ ng÷ñc cõa F , kþ hi»u l F −1 : Y → 2X , ÷ñc x¡c ành bði F −1 (y) = x ∈ X : y ∈ F (x) , vîi y ∈ Y. Ta nâi F −1 l £nh ng÷ñc cõa F . Måi ¡nh x¤ a trà ·u câ ¡nh x¤ ng÷ñc, i·u n y khæng óng èi vîi ¡nh x¤ ìn trà. Ta công d¹ d ng kiºm tra ÷ñc måi ¡nh x¤ a trà câ £nh ng÷ñc t¤i méi iºm l mð ·u l ¡nh x¤ nûa li¶n töc d÷îi v i·u ng÷ñc l¤i khæng óng. 1.4. Mët sè t½nh ch§t cõa ¡nh x¤ a trà Trong ph¦n n y chóng tæi tr¼nh b y t½nh ch§t li¶n töc theo nân cõa ¡nh x¤ a trà v t½nh lçi theo nân cõa ¡nh x¤ a trà. C¡c kh¡i ni»m trong ph¦n n y l sü mð rëng cõa c¡c kh¡i ni»m v· t½nh li¶n töc, t½nh lçi cõa ¡nh x¤ a trà. Tr÷îc ti¶n, ta tr¼nh b y kh¡i ni»m nân trong khæng gian tuy¸n t½nh. 8
1.4.1. Nân trong khæng gian tuy¸n t½nh ành ngh¾a 1.4.1. Cho Y l khæng gian tuy¸n t½nh v C l mët tªp con khæng réng trong Y . Ta nâi r¬ng C l nân câ ¿nh t¤i gèc trong Y n¸u tc ∈ C , vîi måi c ∈ C v t > 0. N¸u C l nân câ ¿nh t¤i gèc th¼ C + x0 l nân câ ¿nh t¤i x0 . ành ngh¾a 1.4.2. Cho C l nân trong khæng gian tuy¸n t½nh Y . Ta nâi r¬ng (i) C l nân lçi n¸u C l tªp lçi; (ii) C l nân nhån n¸u l(C) = {0}, trong â l(C) = C ∩ (−C). Nân C gåi l âng n¸u C l tªp âng trong Y . Ta nâi C l nân lçi âng nhån n¸u C l nân lçi, âng v nhån. D÷îi ¥y l mët sè v½ dö v· nân trong khæng gian tuy¸n t½nh. V½ dö 1.4.3. 1. Cho Y l khæng gian tuy¸n t½nh. Khi â 0 , Y l c¡c nân trong Y v ta gåi chóng l c¡c nân t¦m th÷íng trong Y . 2. Cho khæng gian tuy¸n t½nh Rn . Khi â tªp Rn+ = x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : xi ≥ 0, i ∈ {1, 2, ..., n} l nân lçi âng nhån trong Rn v ta gåi l nân Orthant khæng ¥m trong Rn . 3. Gåi C[0, 1] l khæng gian tuy¸n t½nh c¡c h m sè x¡c ành v li¶n töc tr¶n o¤n [0, 1] vîi c¡c ph²p to¡n cëng v nh¥n væ h÷îng (x + y)(t) = x(t) + y(t), (λx)(t) = λx(t). Khi â tªp C+ [0, 1] = x ∈ C[0, 1] : x(t) ≥ 0 vîi måi t ∈ [0, 1] l nân lçi âng nhån trong C[0, 1]. 9
1.4.2. T½nh li¶n töc theo nân cõa ¡nh x¤ a trà Tr÷îc h¸t ta nhc l¤i kh¡i ni»m li¶n töc cõa ¡nh x¤ ìn trà giúa c¡c khæng gian tæpæ. ành ngh¾a 1.4.4. Mët ¡nh x¤ ìn trà f : X → Y tø khæng gian tæpæ X v o khæng gian tæpæ Y ÷ñc gåi l li¶n töc t¤i x0 ∈ X n¸u vîi måi tªp mð V trong Y chùa f (x0 ), tçn t¤i l¥n cªn mð U trong X chùa x0 sao cho f (U ) ⊆ V . Trong tr÷íng hñp F : X → 2Y l ¡nh x¤ a trà tø khæng gian tæpæ X v o khæng gian tæpæ Y , Berge ¢ ÷a ra kh¡i ni»m v· t½nh nûa li¶n töc tr¶n v nûa li¶n töc d÷îi cõa ¡nh x¤ a trà. ành ngh¾a 1.4.5. nh x¤ a trà F : X → 2Y ÷ñc gåi l nûa li¶n töc tr¶n (d÷îi) t¤i x0 n¸u vîi méi tªp mð V trong Y thäa m¢n F (x0 ) ⊆ V (t÷ìng ùng, F (x0 ) ∩ V 6= ∅), tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 trong X sao cho F (x) ⊆ V (t÷ìng ùng, F (x) ∩ V 6= ∅) vîi måi x ∈ U . Gi£ sû X, Y l hai khæng gian tæpæ tuy¸n t½nh v C l nân tr¶n Y. Ta nhc l¤i kh¡i ni»m li¶n töc theo nân cõa ¡nh x¤ a trà. Kh¡i ni»m n y l mð rëng kh¡i ni»m cõa Berge v· t½nh nûa li¶n töc tr¶n v nûa li¶n töc d÷îi cõa ¡nh x¤ a trà. ành ngh¾a 1.4.6. Cho ¡nh x¤ a trà F : X → 2Y . (i) F ÷ñc gåi l C - li¶n töc tr¶n (d÷îi) t¤i x ¯ ∈ dom F n¸u vîi méi l¥n cªn V cõa gèc trong Y , tçn t¤i l¥n cªn U cõa x ¯ trong X sao cho F (x) ⊆ F (¯ x) + V + C x) ⊆ F (x) + V − C, t÷ìng ùng) (F (¯ vîi måi x ∈ U ∩ dom F . (ii) N¸u F l C - li¶n töc tr¶n v C - li¶n töc d÷îi t¤i x ¯ çng thíi, th¼ ta nâi F l C - li¶n töc t¤i x ¯. 10
(iii) N¸u F l C - li¶n töc tr¶n, C - li¶n töc d÷îi v C - li¶n töc t¤i måi iºm trong dom F , ta nâi F l C - li¶n töc tr¶n, C - li¶n töc d÷îi v C - li¶n töc trong X . C¡c kh¡i ni»m nûa li¶n töc tr¶n v nûa li¶n töc d÷îi theo ngh¾a Berge l ho n to n kh¡c nhau. Do â kh¡i ni»m li¶n töc tr¶n theo nân v li¶n töc d÷îi theo nân công ho n to n kh¡c nhau. C¡c v½ dö d÷îi ¥y minh håa cho i·u kh¯ng ành â. V½ dö 1.4.7. Cho ¡nh x¤ a tràF : R → 2R x¡c ành bði cæng thùc  R, n¸u x = 0, F (x) =  {0}, n¸u x 6= 0. Khi â d¹ d ng kiºm tra ÷ñc ¡nh x¤ a trà F l nûa li¶n töc tr¶n t¤i x0 = 0, nh÷ng F khæng nûa li¶n töc d÷îi t¤i x0 = 0. V½ dö 1.4.8. Cho ¡nh x¤a trà F : R → 2R x¡c ành bði cæng thùc  {0}, n¸u x = 0, F (x) =  R, trong tr÷íng hñp cán l¤i. Khi â d¹ d ng kiºm tra ÷ñc ¡nh x¤ a trà F l nûa li¶n töc d÷îi t¤i x0 = 0, nh÷ng F khæng nûa li¶n töc tr¶n t¤i x0 = 0. M»nh · sau ÷a ra i·u ki»n c¦n v õ º ¡nh x¤ a trà li¶n töc theo nân. M»nh · 1.4.9. Gi£ sû X l khæng gian tæpæ, Y l khæng gian tæpæ tuy¸n t½nh vîi thù tü sinh bði nân lçi C v ¡nh x¤ a trà F : X → 2Y vîi F (x0 ) l tªp compact trong Y . Khi â (i) F l C - li¶n töc tr¶n t¤i x0 n¸u v ch¿ n¸u vîi måi tªp mð V , F (x0 ) ⊆ V + C ·u tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 sao cho F (x) ⊆ V + C, vîi måi x ∈ U ∩ dom F. (ii) F l C - li¶n töc d÷îi t¤i x0 n¸u v ch¿ n¸u vîi méi y ∈ F (x0 ) v l¥n cªn V cõa y , tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 sao cho F (x) ∩ (V + C) 6= ∅ vîi måi x ∈ U ∩ dom F . 11
(iii) F l C - li¶n töc d÷îi t¤i x0 n¸u v ch¿ n¸u vîi måi tªp mð G thäa m¢n F (x0 ) ∩ (G + C) 6= ∅, luæn tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 sao cho F (x) ∩ (G + C) 6= ∅ vîi måi x ∈ U ∩ dom F. Chùng minh. (i) Gi£ sû F l C - li¶n töc tr¶n t¤i x0 . L§y V l tªp mð trong Y sao cho F (x0 ) ⊆ V + C . V¼ F (x0 ) compact n¶n tçn t¤i l¥n cªn V0 cõa 0 sao cho F (x0 ) + V0 ⊆ V + C. V¼ F l C - li¶n töc tr¶n t¤i x0 n¶n tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 sao cho F (x) ⊆ F (x0 ) + V0 + C vîi måi x ∈ U ∩ dom F. Tø â suy ra F (x) ⊆ V + C + C = V + C vîi måi x ∈ U ∩ dom F. Ng÷ñc l¤i, l§y W l l¥n cªn mð b§t ký cõa 0 trong Y . °t V = F (x0 ) + W . Khi â V l tªp mð thäa m¢n F (x0 ) ⊆ V + C . Theo gi£ thi¸t, tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 trong X sao cho F (x) ⊆ V + C vîi måi x ∈ U ∩ dom F. Tø â suy ra F (x) ⊆ F (x0 ) + W + C vîi måi x ∈ U ∩ dom F. i·u n y chùng tä F l C - li¶n töc tr¶n t¤i x0 . (ii) Gi£ sû F l C - li¶n töc d÷îi t¤i x0 . L§y y ∈ F (x0 ) tòy þ v V l l¥n cªn cõa y b§t ký. °t W = y − V . Khi â W l l¥n cªn cõa 0 trong Y . V¼ F l C - li¶n töc d÷îi t¤i x0 n¶n tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 trong X sao cho F (x0 ) ⊆ F (x) + W − C vîi måi x ∈ U ∩ dom F. V¼ y ∈ F (x0 ) n¶n y ∈ F (x) + W − C . Ta câ thº vi¸t y = y ∗ + w − c, ð ¥y y ∗ ∈ F (x), w ∈ W v c ∈ C . Tø â k²o theo y ∗ = y − w + c ∈ V + C . i·u n y chùng tä y ∗ ∈ F (x) ∩ (V + C). Vªy F (x) ∩ (V + C) 6= ∅ vîi måi x ∈ U ∩ dom F. Ng÷ñc l¤i, gi£ sû V l l¥n cªn mð cõa 0 trong Y . Ta câ [ F (x0 ) ⊆ (y + V ). y∈F (x0 ) 12
V¼ F (x0 ) compact n¶n tçn t¤i y1 , y2 , ..., yn ∈ F (x0 ) sao cho n [ F (x0 ) ⊆ (yi + V ). i=1 Vîi i ∈ {1, 2, ..., n}, v¼ yi + V l l¥n cªn cõa yi ∈ F (x0 ) n¶n tçn t¤i l¥n cªn Ui cõa x0 sao cho F (x) ∩ (yi + V + C) 6= ∅ vîi måi x ∈ Ui ∩ dom F. °t U = ∩ni=1 Ui . Khi â U l l¥n cªn cõa x0 v F (x) ∩ (yi + V + C) 6= ∅ vîi måi x ∈ U ∩ dom F v i ∈ {1, 2, ..., n}. Ta chùng minh F (x0 ) ⊆ F (x) + V − C vîi måi x ∈ U ∩ dom F. Thªt vªy, l§y y0 ∈ F (x0 ) tòy þ. Tø â suy ra n [ y0 ∈ (yi + V ). i=1 Do vªy tçn t¤i i0 ∈ {1, 2, ..., n} v v ∈ V sao cho y0 = yi0 + v . M°t kh¡c bði F (x) ∩ (yi0 + V + C) 6= ∅ vîi måi x ∈ U ∩ dom F n¶n tçn t¤i y ∈ F (x) v v 0 ∈ V, c ∈ C sao cho y = yi0 + v 0 + c. Tø â suy ra y0 = y + v − v 0 − c ∈ F (x) + V − C . Vªy F (x0 ) ⊆ F (x) + V − C vîi måi x ∈ U ∩ dom F . Chùng tä F l C - li¶n töc d÷îi t¤i x0 . (iii) Gi£ sû F l C - li¶n töc d÷îi t¤i x0 . L§y G l tªp mð b§t ký thäa m¢n F (x0 ) ∩ (G + C) 6= ∅. Tø â suy ra tçn t¤i y0 ∈ F (x0 ) sao cho y0 = g + c, ð ¥y g ∈ G v c ∈ C . V¼ G l mð n¶n tçn t¤i l¥n cªn mð V cõa 0 sao cho g + V ⊆ G. Tø â suy ra g + c + V ⊆ G + C hay y0 + V ⊆ G + C . M°t kh¡c y0 + V l l¥n cªn cõa y0 n¶n theo (ii), tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 sao cho F (x) ∩ (y0 + V + C) 6= ∅ vîi måi x ∈ U ∩ dom F . i·u n y k²o theo F (x) ∩ (G + C) 6= ∅ vîi måi x ∈ U ∩ dom F. 13