Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tỷ lệ vàng và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:75

Thêm vào BST

Báo xấu

32
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong toán học và nghệ thuật, đại lượng được xem là tỉ số vàng hay tỉ lệ vàng nếu tỉ số giữa tổng của các đại lượng đó với đại lượng lớn hơn bằng tỉ số giữa đại lượng lớn hơn với đại lượng nhỏ hơn tức toàn thể và tất cả chỉ có một giá trị tương quan duy nhất bằng 1, 618033987 (con số vàng). Mời các bạn cùng tìm hiểu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tỷ lệ vàng và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ LINH TỈ LỆ VÀNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 10/2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ LINH TỈ LỆ VÀNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NGUYỄN DANH NAM Thái Nguyên, 10/2017
i Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu 2 1 Tỉ lệ vàng và dãy số Fibonacci 4 1.1 Tỉ lệ vàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Dãy số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Mối liên hệ giữa tỉ lệ vàng và dãy số Fibonacci . . . . . . 30 2 Ứng dụng của tỉ lệ vàng và sự liên hệ giữa tỉ lệ vàng với thực tiễn 33 2.1 Hình chữ nhật vàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Hình tam giác vàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Đường xoắn ốc vàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4 Một số ứng dụng của tỉ lệ vàng trong thực tiễn . . . . . 52 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo chính 72
ii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy tôi PGS.TS. Nguyễn Danh Nam, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, cho tôi những nhận xét quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Đào tạo, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Linh
2 Mở đầu √ 1+ 5 Tỉ lệ vàng là một số vô tỉ được xác định là . Nó đã được quan 2 tâm bởi các nhà toán học, vật lí học, triết học, kiến trúc sư, nghệ sĩ và thậm chí là các nhạc sĩ từ thời cổ đại. Euclide - nhà toán học đã từng nói đến tỉ lệ vàng trong tác phẩm bất hủ của ông mang tên "Cơ bản". Theo Euclide, điểm I trên đoạn AB được gọi là điểm chia đoạn AB theo tỉ lệ vàng (còn được gọi là AI AB AI AB điểm vàng) nếu thoả mãn: = . Đặt = = x, số x được IB AI IB AI gọi là tỉ lệ vàng và điểm I là điểm vàng của đoạn AB. Ở thời kỳ trung đại, có khá nhiều phát hiện về sự tồn tại của tỉ lệ vàng trong các hình tự nhiên như hình ngôi sao năm cánh, hình đa giác mười cạnh,... trong dãy số Fibonacci. Luca Pacioli (1445 - 1517) xác định tỉ lệ vàng là "tỉ lệ thần thánh" trong tác phẩm Proportione Divina. Ở thời kỳ hiện đại, Mark Bar (thế kỷ 20) sử dụng chữ cái Hy Lạp phi (ϕ) là kí hiệu của tỉ lệ vàng. Như vậy, ngoài tên tỉ lệ vàng nó còn được gọi là phần vàng, cắt vàng, tỉ lệ thần thánh và có giá trị là 1.61803. . . Một số vô tỉ không thể biểu diễn bằng một tỉ số hữu hạn số nguyên. Những con số này được tạo thành tập vô hạn và một số như π (tỉ số của chu vi với đường kính của một đường tròn) và e (cơ sở của logarit tự nhiên) nổi tiếng và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực. Tại sao tỉ lệ vàng lại thu hút được sự quan tâm sâu sắc và ứng dụng của √ nó là gì? a+ b Một số vô tỉ được thể hiện dưới dạng I = trong đó ϕ được c xác định bởi các giá trị a = 1, b = 5 và c = 2. Các số vô tỉ như a = 3, b = 3 và c = 3 có sự đối xứng hơn so với tỉ lệ vàng và một giá trị tương tự 1.57735. . . Tuy nhiên, tỉ lệ vàng chiếm hữu một số tính năng thú vị và tính chất quan trọng làm cho nó trở lên thu hút trong tập hợp số vô tỉ. Các nghệ sĩ và kiến trúc sư bắt đầu tính toán và xây dựng sao cho
3 các tác phẩm của họ xấp xỉ tỉ lệ vàng còn các nhà toán học đã nghiên cứu tỉ lệ vàng vì tính độc đáo cũng như các tính chất lí thú của nó. Qua nhiều năm, các nghệ sĩ và kiến trúc sư đã nỗ lực tìm kiếm mối quan hệ giữa tỉ lệ vàng với nghệ thuật, kiến trúc, sinh học, thực vật và các lĩnh vực khác. Những con số này được nổi bật nên trong một số công trình xây dựng hình học và có một số tính chất toán học thú vị. Từ đó dẫn đến sự yêu thích của những người đam mê đã gán những thuộc tính huyền bí đến số này và dẫn đến những cái tên như: giá trị trung bình vàng và tỉ lệ thần thánh. Về mặt nguyên lý thiết kế, tỉ lệ vàng là một trong những yếu tố quan trọng tạo nên tổng thể của một công trình kiến trúc đẹp, một không gian hài hòa hay một sản phẩm mỹ thuật có điểm nhấn sáng tạo. Trong toán học và nghệ thuật, đại lượng được xem là tỉ số vàng hay tỉ lệ vàng nếu tỉ số giữa tổng của các đại lượng đó với đại lượng lớn hơn bằng tỉ số giữa đại lượng lớn hơn với đại lượng nhỏ hơn tức toàn thể và tất cả chỉ có một giá trị tương quan duy nhất bằng 1, 618033987 (con số vàng). Tỉ số này đã được con người sử dụng hàng thế kỷ qua và tiếp tục có mặt trong các tác phẩm mỹ thuật, kiến trúc, điêu khắc cho đến ngày nay. Nó cũng xuất hiện trong các tỉ lệ trên cơ thể con người, sự biến động của thị trường chứng khoán và rất nhiều ảnh hưởng khác tới cuộc sống và vạn vật. Luận văn tìm hiểu về tỉ lệ vàng, một số ứng dụng của tỉ lệ vàng trong Toán học và liên hệ giữa toán học với thực tiễn. Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương trình bày nội dung của luận văn, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: "Tỉ lệ vàng và dãy số Fibonacci" trình bày định nghĩa của tỉ lệ vàng, dãy số Fibonacci và mối quan hệ giữa chúng. Các kiến thức cơ bản về tỉ lệ vàng, các kiến thức về dãy Fibonacci và mối quan hệ giữa tỉ lệ vàng và dãy Fibonacci. Chương 2: "Ứng dụng của tỉ lệ vàng và sự liên hệ giữa Toán học với thực tiễn" trình bày ứng dụng của tỉ lệ vàng trong hình học: hình chữ nhật vàng, hình tam giác vàng, đường xoắn ốc vàng và mối liên hệ của tỉ lệ vàng và dãy Fibonacci trong đời sống: tự nhiên, kiến trúc, hội hoạ và thiết kế đồ hoạ.
4 Chương 1 Tỉ lệ vàng và dãy số Fibonacci Chương này đưa ra các kiến thức cơ bản, tính chất và những biểu diễn khác nhau của tỉ lệ vàng. Các kiến thức về dãy Fibonacci và mối quan hệ giữa tỉ lệ vàng và dãy số Fibonacci. 1.1 Tỉ lệ vàng Nội dung được tham khảo chủ yếu ở tài liệu [1], [3] và [5]. Định nghĩa 1.1.1 Trong toán học, hai đại lượng được gọi là tỉ lệ vàng nếu tỉ số giữa tổng các đại lượng đó với đại lượng lớn hơn bằng tỉ số giữa đại lượng lớn hơn với đại lượng nhỏ hơn. Tỉ lệ vàng được kí hiệu bằng kí tự ϕ (phi) trong bảng chữ cái Hy Lạp. Dạng tổng quát của tỉ lệ vàng là: Hình 1.1 Cách chia AB trong tỉ lệ vàng suy rộng Giả sử một đoạn thẳng AB được chia thành hai đoạn AC và CB (Hình 1.1) sao cho n AB βAC a = (1.1) AC CB
5 trong đó a và β là số thực dương. βAC AB AC + CB CB Cho = x thì a = a =a 1+ CB AC AC AC β = a+ x aβ Như vậy, ta có a + = xn hoặc x xn+1 = ax + b (1.2) trong đó, aβ = b. Trong trường hợp đặc biệt cho n = 1 ta chia AB sao AB βAC cho a = , ta có: AC CB x2 − ax − b = 0 (1.3) Hoặc √ a+ a2 + 4b x1 = (1.4) 2 và √ a− a2 + 4b x2 = (1.5) 2 Ta gọi nghiệm dương của phương trình này là tổng quát hai tham số tỉ lệ vàng ϕ(a, b).  r  4b 1 1+ 2 a  ϕ(a, b) = a  +  2 2   Trong trường hợp b = 1, ta có: √ a a2 + 4b ϕa = ϕ(a, 1) = + 2 2 được gọi là tỉ lệ vàng tổng quát. Cho a = 1 ta có tỉ lệ vàng: √ 1+ 5 ϕ = ϕ1 = ϕ(1, 1) = 2
6 Hãy xem xét các tính chất của tỉ lệ vàng. Cho a = b ta có:  r  4 1 1+  a ϕ = a +  2 2   Đó là một cách giải cho phương trình x2 − ax − b = 0. Bây giờ có b thể xem xét các tính chất khác của tỉ lệ này, ta có: a + = ϕ. Khi ϕ √ tổng quát ϕ (với a = 1) giảm xuống đến tỉ lệ vàng lịch đó, tỉ lệ vàng 1+ 5 sử ϕ = có nhiều tính chất và ứng dụng trong nghệ thuật, kỹ 2 thuật, vật lí và toán học. Các tính chất tương tự có thể được thiết lập trong trường hợp tổng quát. Ví dụ: tổng quát ϕ có thể được thể hiện bằng chính số hạng của nó 1 như ϕ = a + . Nó có thể được mở rộng thành phân số hoặc nghiệm ϕ các phương trình lồng nhau và được gọi là phân số liên tục hay nghiệm lồng nhau. r √ q ϕ = 1 + 1 + 1 + ... v s u r √ u q ϕa = 1 + a 1 + a 1 + a 1 + a ... t s r √ q ϕ(a, b) = b+a b + a b + a ... Sử dụng mối quan hệ trong số hạng của chính nó ta nhận được các phân số liên tục của ϕ, ϕa , ϕ(a, b) tương ứng 1 ϕ= 1 1+ 1 1+ 1 + ... 1 ϕa = a + 1 a+ 1 a+ a + ...
7 b ϕ(a, b) = a + b a+ b a+ b a+ a + ... Stakhov và Rozin đưa ra một số kết quả từ n = 2 và a = b = 1, kết quả tương tự được xác minh với các giá trị khác nhau của a và b. Bằng cách sử dụng phân số liên tục trên có thể khái quát hóa trong ứng dụng nghệ thuật và kiến trúc. Đoạn thẳng AB trên có thể chia thành n phần và theo tỉ lệ kế tiếp một hệ phương trình sẽ được tạo ra sao cho a có giá trị n, (1.1) được mở rộng đến các tham số tỉ lệ để tạo ra một tỉ lệ vàng nhiều tham số. Ở đây, ta tập trung vào tham số tổng quát và các ứng dụng của tỉ lệ này. Nếu a = b trong (1.3) thì  r  4 1 1+  a ϕ(a, a) = a  +  2 2   Tỉ số tham số tổng quát duy nhất khác với ϕ(a, 1). Thật vậy, (1.2) có thể được xem như là hàm đặc trưng của phương trình khác nhau của n với các tham số a và b. Pn+2 (a, b) = aPn+1 (a, b) + bPn (a, b) có thể được khái quát thành một trường hợp nhiều tham số. p X Pn+p (a1 , a2 , ..., ap ) = ai Pn+p−i (a1 , a2 , ..., ap ), p = 2, 3, ... i=1 1.1.1 Các tính chất cơ bản của tỉ lệ vàng Nội dung được tham khảo chủ yếu ở tài liệu [3] và [5]. Tỉ lệ vàng xuất hiện trong một số mối quan hệ rất cơ bản liên quan đến số mà từ đó rất nhiều tính chất của tỉ lệ vàng được phát hiện. Một dãy số là một tổng của một dãy các biểu thức toán học. Trong đa số các trường hợp sử dụng, các biểu thức trong dãy có thể được xây dựng bằng các công thức hay thuật toán hay thậm chí bằng số ngẫu nhiên.
8 Một trong những phương pháp đơn giản để đưa ra một dãy số là sử dụng một hoặc nhiều giá trị và quan hệ đệ quy thích hợp. Một trong số các dãy số được biết đến là dãy số cộng. Điều này được tạo ra bởi quan hệ đệ quy. An+2 = An+1 + An (1.6) tức là, mỗi số hạng sau bằng với tổng của hai số hạng trước đó. Dãy này phụ thuộc vào hai giá trị gốc A0 và A1 . Ví dụ: A0 = 0 và A1 = 1, ta có dãy sau: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... (1.7) Dãy này có thể được mở rộng vô hạn bằng cách áp dụng quan hệ đệ quy. Nó cũng có thể được mở rộng đến các giá trị âm của chỉ số n bằng cách áp dụng một mối quan hệ đệ quy trên phương trình (1.6) với các giá trị cho trong (1.7) mang lại một dãy vô hạn theo cả hai chiều. ..., 34, −24, 13, −8, 5, −3, 2, −1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... (1.8) đây là một tính chất của dãy số cộng cụ thể. Dãy số nhân là một dãy có tỉ lệ giữa các số hạng là một hằng số. Một dãy số đơn giản được gọi là dãy số nhân khi nó được tạo bởi mối quan hệ đệ quy. An+1 = αAn (1.9) tức là, mỗi số hạng sau bằng với số hạng trước nhân với một hằng số thừa số . Dãy này có thể được tạo nên trên cơ sở một giá trị khởi đầu với giá trị hằng số thừa số. Ví dụ: A0 = 1 và α = 2, ta có dãy số luỹ thừa của 2 là: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, ... (1.10) Có thể mở rộng dãy này với giá trị âm của chỉ số 1 1 1 1 1 ..., , , , , , 1, 2, 4, ... (1.11) 32 16 8 4 2 So sánh dãy (1.8) và dãy (1.11), ta thấy khác biệt cơ bản giữa dãy số cộng và dãy số nhân. Tuy nhiên, những khác biệt này là kết quả của
9 sự lựa chọn đặc biệt của hằng số nhân trong dãy (1.9). Những lựa chọn khác nhau cho số lượng này có thể mang lại kết quả rất khác nhau. Một dãy có thể vừa là dãy số cộng vừa là dãy số nhân. Nghĩa là, số hạng sẽ thỏa mãn cả dãy (1.6) và dãy (1.9). Hai phương trình có thể kết hợp để đưa ra các quan hệ ràng buộc cho α. Từ dãy (1.9), ta có: An+2 = αAn+1 = α2 An (1.12) Từ dãy (1.6) và (1.12), ta có mối quan hệ: α2 An = αAn + An (1.13) Hoặc α2 − α − 1 = 0. (1.14) Phương trình này được gọi là phương trình bậc 2 Fibonacci và giải phương trình ta có hai nghiệm: √ 1+ 5 α1 = =ϕ (1.15) 2 √ 1− 5 1 α2 = =− (1.16) 2 ϕ Xây dựng một dãy số nhân sử dụng giá trị α1 là một hằng số thừa số và giá trị đầu là A0 = 1, ta được: 1, ϕ, ϕ2 , ϕ3 , ϕ4 , ϕ5 , ... (1.17) Mở rộng điều này, ta có các chỉ số âm: ..., ϕ−3 , ϕ−2 , ϕ−1 , 1, ϕ, ϕ2 , ϕ3 , ... (1.18) Sử dụng các giá trị đầu A0 = 1 và A1 = ϕ từ dãy (1.17) một dãy số cộng tương ứng có thể xây dựng bằng cách sử dụng mối quan hệ đệ quy của dãy (1.6). Cho chỉ số âm và chỉ số dương của dãy này là: −3ϕ + 5, 2ϕ − 3, −ϕ + 2, ϕ − 1, 1, ϕ, ϕ + 1, 2ϕ + 1, 3ϕ + 2, ... (1.19) Số hạng trong dãy số này giống như trong dãy số nhân (1.18). Số hạng này có thể tương ứng với một số quan hệ giữa lũy thừa ϕ và các
10 biểu thức tuyến tính trong ϕ. Một trong số các trường hợp này là: 2ϕ − 3 = ϕ−3 ; −ϕ + 2 = ϕ−2 ; ϕ − 1 = ϕ−1 ; 1 = 1; (1.20) ϕ = ϕ; ϕ + 1 = ϕ2 ; 2ϕ + 1 = ϕ3 . Luỹ thừa của tỉ lệ vàng có thể được thể hiện như bảng 1.1 Bảng 1.1 Một số hệ số và số mũ trong mối quan hệ cho bởi dãy 1.21 n an an−1 -8 -21 34 -7 13 -21 -6 -8 13 -5 5 -8 -4 -3 5 -3 2 -3 -2 -1 2 -1 1 -1 0 0 1 1 1 0 2 1 1 3 2 1 4 3 2 5 5 3 6 8 5 7 13 8 8 21 13 an ϕ + an−1 = ϕn . (1.21) trong đó, các hệ số an được đưa ra trong bảng 1.1 là An của dãy số cộng trong dãy (1.8).
11 Một dãy vừa là dãy số cộng vừa là dãy số nhân có thể được suy ra bằng cách sử dụng nghiệm khác của phương trình bậc 2 cho bởi α2 = −ϕ−1 = 1 − ϕ, ta có dãy sau: ..., ϕ−3 , ϕ2 , −, 1, ϕ2 , ϕ3 (1.22) Và dãy tương ứng dựa trên mối quan hệ đệ quy của phép cộng được tìm thấy: 2 1 1 1 1 2 3 ..., −3 − , 2 + , −1 − , 1, − , 1 − , 1 − , 2 − , ... (1.23) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Số hạng tương đương từ dãy (1.22) tới (1.23) cho phép tìm ra các quan hệ có dạng: an an+1 + = ϕn (1.24) ϕ trong đó, các hệ số lại là các số hạng trong cấp số cộng. Nó có thể chỉ ra bằng những biểu thức này là đại số tương đương với các biểu thức của phương trình bằng cách nhân cả hai vế của (1.24) với ϕ. Trình bày ở trên liên quan đến dãy số minh họa mối quan hệ của tỉ lệ vàng với một số tính chất cơ bản của số. Bổ sung tính chất của tỉ lệ vàng trong hình học. Trên thực tế, sự xuất hiện của tỉ lệ vàng trong hình học hấp dẫn các triết gia cổ đại và nguồn gốc của nó. Xét đoạn AB được chia bởi một điểm C như minh họa Hình 1.1, theo cách như vậy tỉ số của chiều dài của hai đoạn thẳng giống như tỉ số của chiều dài của đoạn dài hơn cho toàn bộ đoạn. Nếu chiều dài AC được đặt tuỳ ý bằng 1 và chiều dài của toàn bộ đoạn được gọi là x thì đoạn thẳng BC = x − 1 và tỉ số chiều dài có thể được biểu diễn bằng: x 1 = (1.25) 1 x−1 Hoặc x2 − x − 1 = 0 (1.26) Đây là phương trình Fibonacci có nghiệm được đưa ra trong số hạng −1 của tỉ lệ vàng bằng dãy (1.15) và (1.16) là ϕ và . Rõ ràng nó vừa có ϕ nghiệm âm vừa có nghiệm dương. Ngoài ra, tổng chiều dài của đường
12 có thể được đặt là 1 và đoạn AB có thể được gọi là x. Các tỉ lệ sau là: 1 x = (1.27) x 1−x Hoặc x2 + x − 1 = 0 (1.28) Phương trình bậc hai có nghiệm có thể được biểu diễn dưới dạng tỉ lệ vàng như sau: √ 5−1 1 x1 = = . (1.29) 2 ϕ và √ 5+1 x2 = − = −ϕ. (1.30) 2 Một lần nữa ta thấy chỉ có nghiệm dương có ý nghĩa và cho thấy tỉ lệ độ dài liên quan đến tỉ lệ vàng. Một số mối quan hệ toán học liên quan đến tỉ lệ vàng có thể được bắt nguồn bằng cách kết hợp của lũy thừa ϕ. Ví dụ: một kiểm tra đơn giản của các mối quan hệ trong dãy (1.20) và Bảng (1.1), cho ta các biểu thức liên quan đến cả lũy thừa dương và lũy thừa âm của tỉ lệ vàng. Khi đó: ϕn + (−1)n ϕ−n = Ln . (1.31) trong đó, Ln là một số nguyên lấy giá trị Ln = 1, 3, 4, 7, 11, 18, ... cho n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Đây là những con số được gọi là số Luscal. Biểu hiện này là một phần đáng kể vì nó cho thấy rằng tổng của hai số vô tỉ có thể bằng một số hữu tỉ. Một mối quan hệ thú vị liên quan đến tỉ lệ vàng có thể suy ra trực tiếp từ phương trình bậc hai Fibonacci dãy (1.14). Do đó, có thể viết ϕ như sau: p ϕ = 1 + ϕ. (1.32) Thay thế vế trái cho ϕ trong phần căn bậc hai bên phải cho q p ϕ = 1 + 1 + ϕ. (1.33)
13 Phương pháp này có thể được tiếp tục vô hạn lần để: s r √ q ϕ = 1 + 1 + 1 + 1 + ... (1.34) 1 Tương tự, cho biết nghiệm dương của phương trình (1.28) là . Biểu ϕ thức này có thể được sắp xếp lại và sự thay thế cho số hạng trong căn bậc hai thực hiện vô hạn lần để cho s r √ q 1 = 1 − 1 − 1 − 1 − ... (1.35) ϕ Biểu thức trong phương trình (1.35) cung cấp một cách để tính tỉ lệ vàng ở mức độ chính xác cao bằng máy tính. Tuy nhiên, nó ít tốn thời gian để tính ϕ trực tiếp trên cơ sở phương trình (1.15) bằng cách tính căn bậc hai của 5. Một căn bậc hai vô tỉ có thể được tính toán đến độ chính xác tùy ý bằng cách sử dụng kĩ thuật lặp đi lặp lại đơn giản. Để tính toán một căn bậc hai với độ chính xác của N chữ số yêu cầu một số phép tính số học cơ bản tỉ lệ với N 2 . Ban đầu việc sử dụng một máy tính để tính toán tỉ lệ vàng ϕ với độ chính xác đến chữ số thập phân 4599, yêu cầu này tốn khoảng 20 phút trên máy tính của IBM 1401. Bây giờ, tính toán này có thể được thực hiện trên một máy tính cá nhân IBM Pentium trong khoảng hai giây. Đơn giản, để xác định tính hợp lệ của các giá trị tính toán, một phương pháp là thay thế giá trị đã tính của ϕ thành công thức Fibonacci (phương trình (1.14)) và thực hiện các hoạt động đến số vị trí thập phân theo yêu cầu và cho thấy rằng nhận dạng được giữ lại. Một phương pháp tương tự là tính 1 toán nghịch đảo của ϕ và chỉ ra rằng = 1 − ϕ đạt độ chính xác yêu ϕ cầu. 1.1.2 Những dạng biểu diễn khác nhau của tỉ lệ vàng Nội dung được tham khảo chủ yếu ở tài liệu [3] và [5]. Ta nhắc lại rằng, tỉ lệ vàng ϕ là nghiệm dương của phương trình: x2 − x − 1 = 0. (1.36)
14 Ngoài ra ϕ thoả mãn một số hệ thức sau: 1. ϕ2 = ϕ + 1, 2. ϕ−1 = ϕ − 1 và Ψ−1 = Ψ − 1, 3. ϕ + Ψ = 1, 4. ϕ.Ψ = −1. trong đó, Ψ là nghiệm âm của (1.36) và giá trị của ϕ và Ψ được cho bởi √ √ 1+ 5 1− 5 ϕ= = 1.61803989... và Ψ = = −0.61803989... 2 2 a) Sự mở rộng thập phân của tỷ lệ vàng √ 1+ 5 Vì tỉ lệ vàng bằng là số vô tỉ. Điều này có nghĩa rằng ϕ là 2 số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Ta có ba mươi số thập phân đầu tiên là: ϕ = 1.61803398874989484820458683436... Trên thực tế, tính vô tỉ của ϕ được thể hiện ϕ−1 = ϕ − 1. Quy nạp, ta được: ϕ−n = an ϕ + bn , n = 1, 2, ... trong đó, an và bn là số nguyên. a Giả sử ϕ là số hữu tỉ, tức là ϕ = trong đó, a và b là số nguyên b dương. Từ phương trình trên ta thấy: bϕ−n = an a + bn b, n = 1, 2, ... b) Biểu thức của tỉ lệ vàng dưới dạng căn thức Mặc dù không có giá trị cụ thể cho chữ số n trong phần thập phân mở rộng của ϕ nhưng có những cách khác để thể hiện giá trị số của ϕ theo quy tắc. Nếu x > 0 thì phương trình (1.36) có thể được viết: √ x= 1+x
15 Từ đó gợi ý cho ta xây dựng dãy số (xn ) như sau: √ x1 = 1, xn+1 = 1 + xn , n = 1, 2, 3, ... Suy ra √ q x2 = 1+ 1 r √ q x3 = 1+ 1+ 1 Vì vậy, nếu dãy hội tụ thì ta có tỉ lệ vàng biểu diễn như là nghiệm căn bậc hai lồng nhau vô hạn của 1. s r √ q ϕ = 1 + 1 + 1 + 1 + ... Phép lặp có thể được minh họa theo hình học bằng cách vẽ các √ đường cong y = x và y = 1 + x mà cắt nhau tại tỉ lệ vàng như trong Hình 1.2. Đầu tiên, tại x1 = 1 và di chuyển đến điểm P trên đường cong √ √ y = 1 + x. Tọa độ của điểm P là 1 + x1 = x2 , tương tự với hoành độ của điểm Q là giao điểm của đường ngang qua P và đường cong y = x. Lặp đi lặp lại một cách tương tự ta có hình dưới đây: √ Hình 1.2 Dãy xn+1 = 1 + xn
16 Từ Hình 1.2, ta thấy lặp đi lặp lại sẽ dẫn đến sự hội tụ tới tỉ lệ vàng. Lưu ý, bất kì số nguyên dương nào cũng có thể gán cho x1 và có cùng một giới hạn. Ta chứng minh dãy số này hội tụ về ϕ. Ta có: |ϕ2 − x2n+1 | |ϕ2 − 1 − xn | |ϕ − xn+1 | = = |ϕ + xn+1 | |ϕ + xn+1 | |ϕ − xn | |ϕ − xn | = < = ϕ−1 |ϕ − xn |. |ϕ + xn+1 | ϕ Tương tự, ta có: |ϕ − xn+1 | < ϕ−1 |ϕ − xn | < ϕ−2 |ϕ − xn−1 | < ... < ϕ−n |ϕ − x1 |. Vì ϕ > 1 nên dãy số xn hội tụ đến ϕ. Từ phương trình (1.36), ta có: 1 = x − 1. x Với x > 0 r √ 1 x= 1+x= 2+ . x Do đó, ta có thể viết: √ v 1+ 5 u 1 ϕ= =u u2 + v 2 u u2 + s 1 u u u 1 u u 2+ √ u t t ... c) Biểu thức của tỉ lệ vàng dưới dạng phân số liên tục ϕ cũng có thể được mô tả như nghiệm dương của phương trình 1 x=1+ . x Bằng phương pháp giải tương tự như trên (b), ta có Hình 1.3.
17 1 1 Hình 1.3 Dãy xn+1 = 1 + ; x1 = 1; xn+1 = 1 + ; n = 1, 2, 3, ... x x Ta có dãy số sau: 1 x2 = 1 + 1 1 x3 = 1 + 1 1+ 1 Và cứ như vậy, điều này được minh họa trong Hình 1.3, cho ta biểu thức của tỉ lệ vàng như một phân số liên tục vô hạn bao gồm các số 1: 1 ϕ=1+ . 1 1+ 1 1+ 1 + ... Ta chứng minh dãy số này hội tụ về ϕ. Ta có: