Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ứng dụng lí thuyết điểm bất động trong hình nón vào phương trình vi phân phi tuyến

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

84
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ứng dụng lí thuyết điểm bất động trong hình nón vào phương trình vi phân phi tuyến gồm có 3 chương trình bày về nón và các tính chất của nón, điểm bất động của ánh xạ đơn điệu, áp dụng phương pháp nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động trong không gian có thứ tự vào phương trình vi phân phi tuyến.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ứng dụng lí thuyết điểm bất động trong hình nón vào phương trình vi phân phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Ngọc Cường ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG HÌNH NÓN VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
Trang 2 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin kính gửi đến Thầy PGS. TS Lê Hoàn Hóa lời cảm ơn sâu sắc và chân thành nhất vì sự tận tình giúp đỡ và chỉ bảo của Thầy dành cho tôi trong suốt thời gian làm luận văn. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Quí Thầy Cô trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh và trường Đại học Quốc Tế đã tận tình giảng dạy và hướng dẫn tôi trong suốt khóa học. Tôi xin chân thành cảm ơn Quí Thầy Cô Phòng Khoa học Công nghệ và Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tôi xin kính gửi đến UBND tỉnh Tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu, Sở Nội vụ, Sở Giáo Dục và Đào Tạo Bà Rịa – Vũng Tàu , Ban Giám Hiệu trường THPT Ngô Quyền lời cảm ơn chân thành vì đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận tiện để tôi học tập và nghiên cứu. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Quí Thầy Cô trường THPT Ngô Quyền và đặc biệt là các Thầy trong Tổ Toán; các bạn học viên cao học Toán K19 đã luôn động viên, khuyến khích và giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và làm luận văn. Sau cùng tôi xin kính gửi đến gia đình tôi cùng những người thân tất cả tình cảm yêu thương nhất và lòng tri ơn sâu sắc nhất, nơi đã tạo cho tôi niềm tin và nghị lực và là chỗ dựa vững chắc nhất giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Trang 3 Vì kiến thức bản thân còn hạn chế nên luận văn sẽ khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự nhận xét và chỉ bảo của Quí Thầy Cô và sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp.
Trang 4 LỜI CAM ĐOAN Mặc dù trong quá trình làm luận văn này, tôi đã nghiên cứu, tìm hiểu và tham khảo ở sách vở, các bài báo toán học của các tác giả và luận văn của các khóa trước, tôi có sử dụng một số kết quả đã được chứng minh để hoàn thành luận văn của mình nhưng tôi xin cam đoan không sao chép các luận văn đã có và tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm với lời cam đoan của mình.
Trang 5 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ............................................................................................... 2 T 0 T 0 LỜI CAM ĐOAN ......................................................................................... 4 T 0 T 0 MỤC LỤC .................................................................................................... 5 T 0 T 0 MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 7 T 0 T 0 Chương 1. NÓN VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NÓN .................................. 8 T 0 T 0 1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón ...................................................................................... 8 T 0 T 0 1.2 Nón chuẩn............................................................................................................... 9 T 0 T 0 1.3 Nón chính qui ....................................................................................................... 10 T 0 T 0 1.4 Nón sinh ............................................................................................................... 10 T 0 T 0 1.5 Nón liên hợp ......................................................................................................... 12 T 0 T 0 Chương 2. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU .................... 13 T 0 T 0 2.1 Điểm bất động của ánh xạ tăng. ............................................................................. 13 T 0 T 0 2.2 Điểm bất động của ánh xạ giảm. ............................................................................ 20 T 0 T 0 2.3 Cặp điểm bất động của ánh xạ đơn điệu hỗn tạp. ................................................... 22 T 0 T 0 Chương 3. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI T 0 ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN .............................................. 25 T 0 3.1 Bất phương trình vi phân. ...................................................................................... 25 T 0 T 0 3.2 Tập hợp bất biến dòng. .......................................................................................... 32 T 0 T 0 3.3 Phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới. ........................................................... 37 T 0 T 0 3.4 Kỹ thuật lặp đơn điệu ............................................................................................ 42 T 0 T 0 3.5 Phương pháp tựa nghiệm trên, tựa nghiệm dưới. ................................................... 50 T 0 T 0
Trang 6 KẾT LUẬN ................................................................................................. 56 T 0 T 0 TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 57 T 0 T 0
Trang 7 MỞ ĐẦU Luận văn chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân dạng x′ = f ( t , x ) , x ( t0 ) = x0 (1) Trong đó E là không gian Banach, f ∈ C [ ¡ + × E , E ] và f ( t , x ) là hàm tựa đơn điệu không giảm theo x với mỗi t ∈ ¡ + liên quan đến nón K hoặc f ( t , x ) có tính chất tựa đơn điệu hỗn tạp. Nội dung luận văn sử dụng năm phương pháp chứng minh tồn tại nghiệm của phương trình (1). 1. Bất phương trình vi phân. 2. Tập hợp bất biến dòng. 3. Phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới. 4. Kỹ thuật lặp đơn điệu. 5. Phương pháp tựa nghiệm trên và tựa nghiệm dưới. Các phương pháp này thường được dùng chứng minh sự tồn tại điểm bất động trong không gian có thứ tự. Nội dung luận văn được trình bày lại trong tài liệu: Dajun Guo, V. lakshmikantham, Nonlinear Problems in Abstract Cones , Acadamic Press, INC, London 1988. Luận văn được trình bày thành ba chương. Chương I: Trình bày về nón và các tính chất của nón. Chương II: Trình bày về điểm bất động của ánh xạ đơn điệu. Chương III: Áp dụng phương pháp nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động trong không gian có thứ tự vào phương trình vi phân phi tuyến.
Trang 8 Chương 1. NÓN VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NÓN 1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón Định nghĩa 1.1.1 1/ Tập K trong không gian Banach thực E gọi là nón nếu: i) K là tập đóng ii) K + K ⊂ K , λ K ⊂ K ∀λ ≥ 0 iii) K ∩ ( − K ) ={θ } . 2/ Nếu K là nón thì thứ tự trong E sinh bởi K được định bởi: x ≤ y ⇔ y − x∈K . 3/ Nón K được gọi là có thể (solid) nếu nó có chứa điểm trong, tức 0 là K ≠ ∅ và y − x ∈ K thì ta viết x = y . 4/ Nón K ⊂ E được gọi là minihedral nếu sup { x, y} tồn tại với mọi cặp { x, y} bị chặn trên ( tức là ∃w ∈ E : x ≤ w, y ≤ w ). 5/ Nón K ⊂ E được gọi là strong minihedral nếu sup D tồn tại với mọi tập bị chặn D ⊂ E . Mệnh đề 1.1.1 Giả sử “ ≤ ” là thứ tự sinh bởi nón K. Khi đó: 1/ x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z , λ x ≤ λ y ∀z ∈ E , ∀λ ≥ 0 . 2/ xn ≤ yn ( n ∈ ¥ * ) , lim x= n x, lim y= n y ⇒ x ≤ y. n →∞ n →∞ 3/ Nếu { xn } là dãy tăng, hội tụ về x thì xn ≤ x ∀n ∈ ¥ * . Chứng minh: 1/ Suy ra từ tính chất ii) của định nghĩa nón. 2/ Ta có xn ≤ yn ⇒ yn − xn ∈ K
Trang 9 ⇒ lim ( yn − xn ) =y − x . n →∞ Do K là tập đóng nên ( y − x) ∈ K hay x ≤ y . 3/ Cho m → +∞ trong xn ≤ xn+ m , ta được điều phải chứng minh. 1.2 Nón chuẩn Định nghĩa 1.2.1 Nón K gọi là nón chuẩn nếu: ∃N > 0 : θ ≤ x ≤ y ⇒ x ≤ N y . Mệnh đề 1.2.1 Giả sử “ ≤ ” là thứ tự sinh bởi nón chuẩn K. Khi đó: 1/ Nếu u ≤ v thì đoạn u , v := { x ∈ E : u ≤ x ≤ v} bị chặn theo chuẩn. 2/ Nếu xn ≤ yn ≤ zn ( n ∈ ¥ * ) và= lim xn a= , lim zn a thì lim yn = a . n →∞ n →∞ n →∞ 3/ Nếu dãy { xn } đơn điệu, có dãy con hội tụ về a thì lim xn = a . n →∞ Chứng minh: 1/ ∀x ∈ u , v ⇒ θ ≤ x − u ≤ v − u ⇒ x−u ≤ N u −v ⇒ x ≤ u + N u−v . 2/ Ta có xn ≤ yn ≤ zn ( n ∈ ¥ * ) ⇒ θ ≤ yn − xn ≤ zn − xn ⇒ yn − xn ≤ N zn − xn → 0 . Ta lại có yn =xn + ( yn − xn ) ⇒ lim y= n lim ( xn + ( yn − xn )= ) a n →∞ n →∞ 3/ Ta coi dãy { xn } tăng và lim xn = a k →∞ k Vì xn ≤ xn ( n cố định, k đủ lớn) nên xn ≤ a ∀n ∈ ¥ * . k
Trang 10 ε Cho ε > 0 , chọn k0 để xn − a < ( N là hằng số nói trong định nghĩa nón k0 N chuẩn). ∀n ≥ nk0 ,θ ≤ a − xn ≤ a − xnk ⇒ a − xn ≤ N a − xnk < ε . Vậy lim xn = a . 0 0 n →∞ 1.3 Nón chính qui Định nghĩa 1.3.1 Nón K gọi là nón chính qui nếu mọi dãy tăng, bị chặn trên thì hội tụ. Mệnh đề 1.3.1 Nón chính qui là nón chuẩn. Chứng minh: Giả sử K là nón chính qui nhưng không là nón chuẩn. Khi đó ∀n ∈ ¥ *∃xn , yn : θ ≤ xn ≤ yn , xn > n 2 yn . xn yn 1 Đặt = un = , vn thì θ ≤ un ≤ vn , un= 1, vn < 2 . xn xn n ∞ ∞ Vì ∑ n =1 vn < ∞ nên tồn tại v := ∑ vn n =1 Dãy sn := u1 + u2 + ... + un tăng, bị chặn trên bởi v nên hội tụ Suy ra lim un= lim ( sn − sn−1 )= θ vô lý vì un = 1 . n →∞ n →∞ 1.4 Nón sinh Định nghĩa 1.4.1 Nón K gọi là nón sinh nếu E= K − K hay ∀x ∈ E ∃u , v ∈ K : x =u − v . Mệnh đề 1.4.1 Nếu K là nón sinh thì tồn tại số M > 0 sao cho ∀x ∈ E ∃u , v ∈ K : x =u − v, u ≤ M x , v ≤ M x .
Trang 11 Chứng minh: I. Đặt C = K ∩ B (θ ,1) − K ∩ B (θ ,1) , ta chứng minh ∃r > 0 : C ⊃ B (θ , r ) . ∞ Thật vậy: E = UnC (Do K là nón sinh) n =1 ⇒ ∃n0 , ∃G mở: n0 C ⊃ G (Do định lý Baire) Vì C lồi, đối xứng nên: 1 1 1 1 C ⊃ C− C⇒C ⊃ G− G (mở, chứa θ ) 2 2 2n0 2n0 ⇒ C ⊃ B (θ , r ) II. Ta chứng minh r 2 B⊂C ( B := B (θ ,1) ) . Lấy a ∈ 2r B . n 1 r + Ta sẽ xây dựng dãy { xn } thỏa: xn ∈ 2n C , a − ∑ k =1 xk < 2 n +1 . r 1 r 1 Thật vậy, vì n B ⊂ n C nên ∀y ∈ n B, ∀ε > 0∃x ∈ n C : y − x < ε . 2 2 2 2 r 1 r Ta có a ∈ B ⇒ ∃x1 ∈ C : a − x1 < 2 2 22 r 1 r a − x1 ∈ 2 B ⇒ ∃x2 ∈ 2 C : a − x1 − x2 < 3 ,… 2 2 2 1 1 + Vì xn ∈ n C nên ∃un , vn ∈ K : xn =un − vn , un , vn < n . 2 2 ∞ ∞ Đặt u = ∑= un , v 1 ∑v 1 n u − v, u , v ≤ 1 . Vậy a ∈ C . ta có a = III. Với mọi x ≠ θ , ta có: r x r r x . ∈ B ⇒ . u′ − v′ với u′, v′ ∈ K , u′ ≤ 1, v′ ≤ 1 = 2 x 2 2 x 2 ⇒ x = u − v, u , v ∈ K , u , v ≤ M . x , với M := r
Trang 12 Vậy mệnh đề được chứng minh. 1.5 Nón liên hợp Định nghĩa 1.5.1 Nếu K là nón, thì ta định nghĩa nón liên hợp của nón K là K *= {f ∈E * : f ( x ) ≥ 0∀x ∈ K } . Ta có: 1/ K * có hai tính chất sau: i) K * là tập đóng ii) K * + K * ⊂ K * , λ K * ⊂ K * ∀λ ≥ 0 . 2/ K * ∩ ( − K= * ) {θ } ⇔ K −= E* K E. Chứng minh: + ( ⇐ ) Xét f ∈ K * ∩ ( − K * ) có: x lim ( un − vn ) , un , vn ∈ K Với mọi x ∈ E , ta = n →∞ ( x ) lim ( f ( un ) − f ( vn ) ) nên f ( x ) ≥ 0 . ⇒ f= n →∞ Tương tự f ( − x ) ≥ 0 . Do đó f ( x ) = 0 . + ( ⇒ ) Giả sử tồn tại x0 ∈ K − K . Khi đó ∃f ∈ E * : f ( x0 ) < f ( y ) ∀y ∈ K − K (Do định lý tách tập lồi) Ta có f ( x0 ) < f ( tx ) ∀x ∈ K , ∀t > 0 . Cho t → ∞ ta có f ( x ) ≥ 0∀x ∈ K hay f ∈ K * . Tương tự − f ∈ K * . Do đó f = θ (mâu thuẫn)
Trang 13 Chương 2. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU 2.1 Điểm bất động của ánh xạ tăng. Cho K là nón trong không gian Banach thực E và “ ≤ ” là thứ tự sinh bởi nón K . Cho D là tập con của E. Định nghĩa 2.1.1 Một ánh xạ A : D → E được gọi là tăng nếu x1 ≤ x2 ( x1 , x2 ∈ D ) thì Ax1 ≤ Ax2 , A được gọi là tăng nghiêm ngặt nếu x1 < x2 ( x1 , x2 ∈ D ) thì Ax1 < Ax2 và A được gọi là tăng mạnh nếu x1 < x2 ( x1 , x2 ∈ D ) thì Ax1 = Ax2 0 trong trường hợp K ≠ ∅ . Tương tự, A được gọi là giảm nếu x1 ≤ x2 ( x1 , x2 ∈ D ) thì Ax1 ≥ Ax2 , A được gọi là giảm nghiêm ngặt nếu x1 < x2 ( x1 , x2 ∈ D ) thì Ax1 > Ax2 và A được gọi là giảm mạnh nếu x1 < x2 ( x1 , x2 ∈ D ) thì Ax1 ? Ax2 trong trường hợp 0 K ≠ ∅. Định nghĩa 2.1.2 Một ánh xạ A : D → E được gọi là hoàn toàn liên tục nếu nó liên tục và compact. Chú ý compact theo nghĩa tập con A ( S ) là compact tương đối với mỗi tập con bị chặn S ⊂ D . A được gọi là một k-tập hợp-co ( k ≥ 0 ) (k-set-contraction) nếu nó liên tục, bị chặn và γ ( A ( S ) ) ≤ k .γ ( S ) , với mỗi tập bị chặn S ⊂ D , trong đó γ ( S ) được xem là độ đo của tập không compact S .
Trang 14 Một ánh xạ A được gọi là cô đọng (condensing) nếu nó liên tục, bị chặn và γ ( A ( S ) ) < γ ( S ) , với mỗi tập bị chặn S ⊂ D , γ ( S ) > 0 .
Trang 15 Định lý 2.1.1 Cho u0 , v0 ∈ E , u0 < v0 và A : [u0 , v0 ] → E là một ánh xạ tăng sao cho: u0 ≤ Au0 , Av0 ≤ v0 (2.1.1) Giả sử một trong hai điều kiện sau được thỏa: ( H1 ) K là nón chuẩn và A là cô đọng; ( H 2 ) K là nón chính quy và A là nửa liên tục. Khi đó, A có một điểm bất động cực đại x∗ và một điểm bất động cực tiểu x* trong [u0 , v0 ] , hơn nữa x∗ = lim vn , x* = lim un (2.1.2) n →∞ n →∞ Trong đó vn = Avn−1 và un = Aun−1 ( n = 1, 2,3,...) , và u0 ≤ u1 ≤ ... ≤ un ≤ ... ≤ vn ≤ ... ≤ v1 ≤ v0 (2.1.3) Chứng minh: Do A là ánh xạ tăng, theo (2.1.1) thì (2.1.3) được thỏa. Bây giờ, ta chứng minh dãy {un } hội tụ về x∗ ∈ E và Ax∗ = x∗ . + Khi ( H1 ) được thỏa, tập S = {u0 , u1 , u2 ,...} bị chặn và = S A ( S ) ∪ {u0 } , do đó γ ( S ) = γ ( A ( S ) ) . Do A cô đọng nên ta có γ ( S ) = 0 , S là tập compact tương đối. Do đó có dãy con {un k } của dãy {u } sao cho x n nk → x∗ . Rõ ràng un ≤ x∗ ≤ vn ( n = 1, 2,3,...) Khi m > nk , ta có θ ≤ x∗ − um ≤ x∗ − un và do đó theo tính chất của nón chuẩn k K, ta có x∗ − um ≤ N x∗ − un , với N là hằng số trong định nghĩa nón chuẩn k K. Vậy lim um = x∗ . m →∞ Cho n → ∞ trong un = Aun−1 , ta được Ax∗ = x∗ . Do đó A liên tục .
Trang 16 + Khi ( H 2 ) được thỏa, dãy {un } hội tụ về x∗ ∈ E theo tính chất của nón chính qui K. Từ A nửa liên tục, un = Aun−1 hội tụ yếu về Ax∗ và do đó Ax∗ = x∗ . Một cách tương tự ta có thể chứng minh dãy {vn } hội tụ về x∗ ∈ E và Ax∗ = x∗ Cho x ∈ [u0 , v0 ] và Ax = x . Từ A là ánh xạ tăng và u0 ≤ x ≤ v0 dẫn đến Au0 ≤ Ax ≤ Av0 , nghĩa là u1 ≤ x ≤ v1 . Lý luận tương tự ta được u2 ≤ x ≤ v2 , …, và tổng quát, ta có un ≤ x ≤ vn , ( n = 1, 2,3,... ). Cho n → ∞ ta được x∗ ≤ x ≤ x∗ . Vậy định lý được chứng minh. Hệ quả 2.1.1 Cho điều kiện của định lý 2.1.1 được thỏa. Giả sử rằng A chỉ có một điểm bất động x ∈ [u0 , v0 ] . Khi đó, với mỗi x0 ∈ [u0 , v0 ] , dãy xn = Axn−1 ( n = 1, 2,3,...) hội tụ về x , nghĩa là xn − x → 0, ( n → ∞ ) . Chứng minh: Từ u0 ≤ x0 ≤ v0 và A là ánh xạ tăng, ta có un ≤ xn ≤ vn , n = (1, 2,3,...) . Theo giả thiết ta phải có x= ∗ ∗ x= x . Do đó từ xn = Axn−1 ( n = 1, 2,3,...) hội tụ về x và (2.1.2), tính chuẩn của nón K, và mệnh đề 1.2.1 thì xn → x . Định lý 2.1.2 Cho u0 , v0 ∈ E , u0 < v0 và A : [u0 , v0 ] → E là một ánh xạ tăng sao cho: u0 ≤ Au0 , Av0 ≤ v0 (2.1.1) Giả sử K là nón strongly minihedral. Khi đó, A có một điểm bất động cực đại x∗ và một điểm bất động cực tiểu x* trong [u0 , v0 ] . Chứng minh: Đặt D = { x ∈ E : u0 ≤ x ≤ v0 , Ax ≥ x} . Rõ ràng u0 ∈ D và v0 là một cận trên của D . Do tính strong minihedrality của K nên x∗ = sup D tồn tại.
Trang 17 Bây giờ, ta chứng minh x∗ là điểm bất động cực đại của A trong [u0 , v0 ] . Thật vậy, u0 ≤ x ≤ x∗ ≤ v0 , với mọi x ∈ D và do đó u0 ≤ Au0 ≤ Ax ≤ Ax∗ ≤ Av0 ≤ v0 Từ Ax ≥ x , ta có x ≤ Ax∗ với mọi x ∈ D . Từ định nghĩa cận trên bé nhất thì x∗ ≤ Ax∗ . Mặt khác từ x∗ ≤ Ax∗ ta có Ax∗ ≤ A ( Ax∗ ) . Ta suy ra Ax∗ ∈ D . Do đó Ax∗ ≤ x∗ . Vậy Ax∗ = x∗ . Nếu x là điểm bất động nào đó của A trong [u0 , v0 ] thì x ∈ D và x ≤ x∗ . Tính cực đại của x∗ được chứng minh xong. Tương tự, ta chứng minh được x∗ = inf D1 là điểm bất động cực tiểu của A trong [u0 , v0 ] , với D1 = { x ∈ E : u0 ≤ x ≤ v0 , Ax ≤ x} . Vậy định lý được chứng minh. Nhận xét Trong định lý 2.1.2 ta không giả thiết A là liên tục, nghĩa là không thể khẳng định các giới hạn trong (2.1.2) tồn tại. Định lý 2.1.3 Cho u0 , v0 ∈ E , u0 < v0 và A : [u0 , v0 ] → E là một ánh xạ tăng sao cho: u0 ≤ Au0 , Av0 ≤ v0 (2.1.1) Giả sử A ([u0 , v0 ]) là tập compact tương đối của E . Khi đó A có ít nhất một điểm bất động trong [u0 , v0 ] . Chứng minh: {x ∈ A ([u0 , v0 ]) : Ax ≥ x} . Ta có A ( Au0 ) ≥ Au0 , điều này dẫn đến Đặt F = Au0 ∈ F và do đó F ≠ ∅ . Từ E được sắp thứ tự riêng bởi nón K, F là tập con được sắp thứ tự riêng. Giả sử G là tập con được sắp thứ tự toàn phần của F. Do A ([u0 , v0 ]) là tập compact tương đối và G ⊂ F ⊂ A ([u0 , v0 ]) thì G là tập
Trang 18 compact tương đối nên G là tập tách được, nghĩa là tồn tại tập con đếm được =V { y1 , y2 , y3 ,...} ⊂ G , trù mật trong G. Do G là tập con được sắp thứ tự toàn phần của F dẫn đến tồn tại zn = sup { y1 , y2 , y3 ,..., yn } , ( n = 1, 2,3,...) và zn ∈ G . Khi đó, theo tính compact tương đối của G thì tồn tại dãy con { zn } của dãy i { zn } sao cho zni → z ∗ ∈ E . Từ z1 ≤ z2 ≤ ... ≤ zn ≤ ... Ta có yn ≤ zn ≤ z ∗ , ( n = 1, 2,3,...) (2.1.4) và z ∗ ∈ G ⊂ F ⊂ A ([u0 , v0 ]) ⊂ [u0 , v0 ] .Từ (2.1.4) ta được z ≤ z ∗ với mọi z ∈ G , và vì vậy z ≤ Az ≤ Az ∗ với mọi z ∈ G , điều này suy ra Az ∗ ∈ F . Do vậy Az ∗ là một cận trên của G trong F. Do đó, theo bổ đề Zorn thì F chứa phần tử cực đại x∗ . Từ Ax∗ ≥ x∗ ta suy ra A ( Ax∗ ) ≥ Ax∗ . Do đó ta có Ax∗ ∈ F . Theo tính cực đại của x∗ , ta có Ax∗ = x∗ . Vậy định lý được chứng minh. Hệ quả 2.1.2 Cho u0 , v0 ∈ E , u0 < v0 và A : [u0 , v0 ] → E là một ánh xạ tăng sao cho: u0 ≤ Au0 , Av0 ≤ v0 (2.1.1) Giả sử K là nón chuẩn, A là compact. Khi đó A có ít nhất một điểm bất động trong [u0 , v0 ] . Chứng minh: Do K là nón chuẩn, [u0 , v0 ] bị chặn. Do đó tập A ([u0 , v0 ]) là compact tương đối (Do A là compact). Theo định lý 2.1.3 ta có điều phải chứng minh. Định lý 2.1.4 Cho u0 , v0 ∈ E , u0 < v0 và A : [u0 , v0 ] → E là một ánh xạ tăng sao cho: u0 ≤ Au0 , Av0 ≤ v0 (2.1.1)
Trang 19 Giả sử K là minihedral và A ([u0 , v0 ]) là tập compact tương đối của E . Khi đó A có một điểm bất động cực đại x∗ và một điểm bất động cực tiểu x* trong [u0 , v0 ] . Chứng minh: {x ∈ A ([u0 , v0 ]) : Ax ≥ x} . Theo bổ đề Zorn và cách chứng minh Đặt F = trong định lý 2.1.3 thì F có điểm bất động cực đại x∗ và Ax∗ = x∗ . Ta còn phải chứng minh x∗ là điểm bất động cực đại của A trong [u0 , v0 ] . Thật vậy, giả sử x là điểm bất động nào đó của A trong [u0 , v0 ] , theo tính minihedrality của K, v = sup { x, x∗ } tồn tại. Do v ≥ x và v ≥ x∗ ta có x∗ . Do đó v ≤ Av , suy ra Av ≤ A ( Av ) và Av ∈ F . x và Av ≥ Ax∗ = Av ≥ Ax = Theo tính cực đại của x∗ ta có Av = x∗ nên x∗ ≥ x . Vậy x∗ là điểm bất động cực đại của A trong [u0 , v0 ] . Bằng cách tương tự, ta có thể chứng minh { x ∈ A ([u0 , v0 ]) : Ax ≤ x F1 = } chứa phần tử cực tiểu x* thỏa Ax∗ = x∗ và là điểm bất động cực tiểu của A trong [u0 , v0 ] . Hệ quả 2.1.3 Cho u0 , v0 ∈ E , u0 < v0 và A : [u0 , v0 ] → E là một ánh xạ tăng sao cho: u0 ≤ Au0 , Av0 ≤ v0 (2.1.1) Giả sử K là nón chuẩn và minihedral, A là compact. Khi đó A có một điểm bất động cực đại x∗ và một điểm bất động cực tiểu x* trong [u0 , v0 ] . Nhận xét Các định lý 2.1.3; 2.1.4 và các hệ quả 2.1.2; 2.1.3 không yêu cầu ánh xạ A liên tục, do đó chúng có bản chất khác định lý 2.1.1.
Trang 20 2.2 Điểm bất động của ánh xạ giảm. Định lý 2.2.1 Giả sử i/ K là nón chuẩn và A : K → K là ánh xạ giảm và cô đọng; ii/ Aθ > θ và A2θ > ε 0 Aθ , trong đó ε 0 > 0 , θ là phần tử không của E; (α α ( x ) > 0) và 0 < t < 1 , tồn= iii/ Với mỗi x ≥ α Aθ= tại η η ( x, t ) > 0 sao cho −1 A ( tx ) ≤ t (1 + η )  Ax (2.2.1) Khi đó, A có đúng một điểm bất động dương x∗ > 0 . Hơn nữa, xây dựng dãy xn = Axn−1 ( n = 1, 2,3,...) với mỗi giá trị đầu x0 ∈ K ta có: xn − x∗ → 0 ( n → ∞ ) (2.2.2) Chứng minh: Đặt u0 = θ , un = Aun−1 , ( n = 1, 2,3,...) (2.2.3) và do ánh xạ A giảm, ta dễ dàng chỉ ra rằng θ = u0 ≤ u2 ≤ ... ≤ u2 ≤ ... ≤ u2 n+1 ≤ ... ≤ u3 ≤ u1 = Aθ (2.2.4) u2 n = A2u2 n−1 , u2 n+1 = A2u2 n−1 , ( n = 1, 2,3,...) (2.2.5) và u2 n = Au2 n−1 , u2 n+1 = Au2 n , ( n = 1, 2,3,...) (2.2.6) Từ A2 : K → K là ánh xạ tăng, cô đọng và u0 ≤ A2u0 , A2u1 ≤ u1 , áp dụng định lý 2.1.1 ta suy ra u2n → z∗ , u2 n+1 → z ∗ , ( n → ∞ ) , A2 z∗ = z∗ , A2 z ∗ = z ∗ với z ∗ , z∗ tương ứng là các điểm bất động cực đại và cực tiểu của A2 trong [u0 , u1 ] . Lấy giới hạn trong (2.2.6), ta có z∗ = Az ∗ , z ∗ = Az∗ (2.2.7) Hiển nhiên θ < ε 0 Aθ ≤ A2θ = u2 ≤ u2 n ≤ z∗ ≤ z ∗ ≤ u2 n+1 ( n = 1, 2,3,...) (2.2.8)