Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vành và mô đun hầu Cohen-macaulay

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn được chia làm 2 chương: Chương 1 - Trình bày một số kiến thức chuẩn bị về môđun mở rộng, chuyển phẳng, chiều của vành và môđun; Chương 2 - Trình bày về vành và môđun hầu Cohen-Macaulay. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vành và mô đun hầu Cohen-macaulay

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THANH TÙNG VÀNH VÀ MÔĐUN HẦU COHEN-MACAULAY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THANH TÙNG VÀNH VÀ MÔĐUN HẦU COHEN-MACAULAY Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2019 i
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là không bị trùng lặp với các luận văn trước đây. Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn là các nguồn tài liệu mở. Các thông tin, tài liệu trong luận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc. Thái nguyên, tháng 5 năm 2019 Người viết Luận văn Phạm Thanh Tùng Xác nhận Xác nhận của trưởng khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học TS. Trần Nguyên An iii
Mục lục Trang bìa phụ i Lời cam đoan ii Mục lục iiiii Lời nói đầu 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Môđun mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Chuyển phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Chiều của vành và môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 2 Vành và môđun hầu Cohen- Macaulay 13 2.1 Độ sâu và môđun Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Vành và môđun Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Vành và môđun hầu Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Tính hầu Cohen-Macaulay của vành đa thức và vành các chuỗi lũy thừa hình thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Tính hầu Cohen-Macaulay qua đồng cấu phẳng . . . . . . . . . . . . 34 2.6 Tính chất (Cn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 ii iii
Lời nói đầu Vành và môđun Cohen-Macaulay là lớp vành và môđun quan trọng trong Đại số giao hoán, Hình học Đại số, Lý thuyết bất biến và Đại số tổ hợp. Có nhiều lớp vành và môđun là mở rộng (theo các khía cạnh khác nhau) của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu: vành và môđun Cohen-Macaulay suy rộng [13], vành và môđun Cohen-Macaulay dãy [12],... Một mở rộng khác của vành và môđun Cohen-Macaulay nảy sinh từ tính chất của độ sâu. Trong cuốn sách "Commutative Algebra" [8, (15.C), p.97], Matsumura đã chỉ ra depth(P, M ) = depth(PP , MP ), với mọi P ∈ Supp(M ). Tuy nhiên Mat- sumura đã đính chính trong cuốn sách "Commutative ring theory" [9, Exercise 136, p.132] (xem thêm [3, Lemma 18.1]) bằng yêu cầu chỉ ra ví dụ về vành và iđêan thỏa depth(P, M ) < depth(PP , MP ). Y. Han trong bài báo "D-rings", Acta Math. Sinica, 4, 1047–1052, 1998 [4], đã định nghĩa vành R thỏa mãn depth(P, R) = depth(PP , RP ), với mọi P ∈ Spec(R) mà ông gọi là "D-ring". M.C. Kang trong bài báo "Almost Cohen-Macaulay", Comm. Algebra, 29(2), 781-787, 2001 [6], đã định nghĩa tổng quát cho môđun và đổi tên thành môđun hầu Cohen-Macaulay. Định nghĩa của M. C. Kang như sau Cho R là một vành Noether giao hoán M 6= 0 là R-môđun hữu hạn sinh. Môđun M được gọi là hầu Cohen-Macaulay nếu depth(P, M ) = depth(PP , MP ), với mọi P ∈ Supp(M ). Vành R được gọi là hầu Cohen-Macaulay nếu nó là môđun hầu Cohen-Macaulay trên chính nó. Mục đích của luận văn là tìm hiểu về lớp vành và môđun hầu Cohen-Macaulay dựa trên 2 bài báo 1. M. C. Kang (2001), "Almost Cohen-Macaulay", Comm. Algebra, 29(2), 781- 787. 2. C. Ionescu (2015), "More properties of almost Cohen-Macaulay rings", J. 1
Comm. Algebra, 3, 363-372. Luận văn được chia làm 2 chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị về môđun mở rộng, chuyển phẳng, chiều của vành và môđun. Chương 2 trình bày về vành và môđun hầu Cohen-Macaulay. Để thấy được mối liên hệ với lớp vành và môđun Cohen-Macaulay trong chương này luận văn trình bày khá chi tiết một số kết quả về dãy chính quy, độ sâu và môđun Cohen-Macaulay. Tài liệu tham khảo chính của mục này là [2], [9]. Mục tiếp theo trình bày định nghĩa và một số tính chất cơ bản của vành và môđun hầu Cohen-Macaulay. Tính hầu Cohen-Macaulay khi chia cho một phần tử, của vành đa thức, vành các chuỗi lũy thừa hình thức, qua chuyển phẳng, đầy đủ hóa, đặc trưng tính hầu Cohen-Macaulay qua hệ tham số, qua điều kiện (Ck ), .... được trình bày ở các mục tiếp theo của chương. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Trần Nguyên An - giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tôi cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toán học và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Toán đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình. Thái nguyên, ngày 10 tháng 5 năm 2019 Người viết Luận văn Phạm Thanh Tùng 2
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong toàn bộ chương này ta luôn giả thiết R là một vành giao hoán. 1.1 Môđun mở rộng Để định nghĩa khái niệm môđun mở rộng, trước hết ta đưa ra khái niệm giải tự do của môđun. Định nghĩa 1.1.1. Cho M là một R-môđun. Một giải xạ ảnh (tự do) của M là một phức của các môđun xạ ảnh P• và ánh xạ π : P0 → M sao cho d2 d1 π . . . −−−→ P2 −−−→ P1 −−−→ P0 −−−→ M −−−→ 0 là một dãy khớp. Ví dụ 1.1.2. Xét Z2 như một Z-môđun. Khi đó một giải xạ ảnh của Z2 là j p ··· → 0 → Z → − Z→ − Z2 → 0 trong đó j là phép nhân 2 và p là phép chiếu tự nhiên. Mệnh đề 1.1.3. Mỗi môđun M có một giải tự do. Chứng minh. Chọn F0 là một R-môđun tự do sao cho có một toàn cấu α : F0 → M. Đặt S1 = Ker(F0 → M ) = Ker α. 3
Chọn F1 là một môđun tự do sao cho có một toàn cấu p1 : F1 → S1 . Đặt d1 = j1 p1 : F1 → F0 , trong đó j1 : S1 → F0 là phép nhúng tự nhiên.Vì p1 là toàn cấu nên Im d1 = j1 (p1 (F1 )) = j1 (Ker α) = Ker α. Tương tự như vậy ta tiếp tục đặt Si+1 = Ker(Fi → Si ). với Fi là các môđun tự do. Khi đó ta có thể viết quy nạp thành các dãy khớp 0 −−−→ S1 −−−→ F0 −−−→ M −−−→ 0, 0 −−−→ Si+1 −−−→ Fi −−−→ Si −−−→ 0 Đặt dãy khớp ngắn ở trên với nhau sao cho mỗi Si nối với một dãy khớp ngắn, ta có 0 0 S2 α ... F1 F0 M 0 d2 d1 S1 0 0 Từ đó ta có một giải tự do của M d2 d1 α · · · → F3 −→ F2 −→ F0 − → M → 0, trong đó mỗi Fi là một R-môđun. Hệ quả 1.1.4. Mỗi R-môđun M đều có một giải xạ ảnh. Định nghĩa 1.1.5. Cho M là R-môđun. Một giải nội xạ của M là một phức của các môđun nội xạ E• và ánh xạ i : M → E0 sao cho dãy i d0 d1 0 −−−→ M −−−→ E 0 −−−→ E 1 −−−→ E 2 −−−→ . . . là khớp. Ví dụ 1.1.6. Một giải nội xạ của Z-môđun Z là 0 → Z → Q → Q/Z → 0 → 0 → · · · 4
Định lý 1.1.7. Mọi R-môđun có thể nhúng vào một R-môđun nội xạ. Mệnh đề 1.1.8. Mỗi R-môđun có một giải nội xạ. Chứng minh. Thật vậy, cho M là R-môđun, theo Định lí 1.1.7 tồn tại R- môđun nội xạ E 0 và đơn cấu i : M → E i . Đặt C 1 = Coker(M ,→ E 0 ). Tiếp tục như vậy giả sử ta xây dựng được R- môđun C i . Tồn tại E i là R-môđun nội xạ và đơn cấu C i → E 0 . Đặt C i+1 = Coker(C i ,→ E i ). Ta có các dãy khớp sau 0 −−−→ M −−−→ E 0 −−−→ C 1 −−−→ 0 0 −−−→ C i −−−→ E i −−−→ C i+1 −−−→ 0 Sắp xếp lại các dãy khớp trên ta được 0 0 C2 i d0 d1 0 M E0 E1 ... C1 0 0 Do đó ta nhận được một giải nội xạ của M . Định nghĩa 1.1.9. Xét một giải xạ ảnh bất kì của R-môđun M d2 d1 π . . . −−−→ P2 −−−→ P1 −−−→ P0 −−−→ M −−−→ 0 Tác động hàm tử HomR (−, N ) vào giải trên ta được phức HomR (P• , N ) d∗ 0 1 d∗ 2 d∗ 0 −−−→ HomR (P0 , N ) −−−→ HomR (P1 , N ) −−−→ HomR (P2 , N ) −−−→ . . . trong đó d∗0 = 0. Ta định nghĩa Ker(d∗i+1 ) ExtiR (M, N ) = H i (HomR (P• , N )) = . Im(d∗i ) Mệnh đề 1.1.10. Định nghĩa ExtiR (M, N ) không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ ảnh của M . 5
Định nghĩa 1.1.11. Xét một giải nội xạ bất kì của R-môđun M i d0 d1 0 −−−→ N −−−→ E 0 −−−→ E 1 −−−→ E 2 −−−→ . . . Tác động HomR (M, −) ta có phức HomR (M, E • ) d−1 d0 d1 ∗ 0 −−− → HomR (M, E 0 ) −−− ∗ → HomR (M, E 1 ) −−− ∗ → HomR (M, E 2 ) −−−→ . . . trong đó d−1 ∗ = 0. Ta định nghĩa Ker(di∗ ) extiR (M, N ) = H i (HomR (M, E • )) = . Im(d∗i−1 ) Mệnh đề 1.1.12. Định nghĩa extiR (M, N ) không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của M . Mệnh đề 1.1.13. Ta có ExtiR (M, N ) ∼ = extiR (M, N ) với mọi i. Chú ý 1.1.14. Do ExtiR (M, N ) ∼ = extiR (M, N ) nên ta đồng nhất chúng và gọi là môđun mở rộng thứ i của M và N , kí hiệu ExtiR (M, N ). Mệnh đề 1.1.15. Cho dãy khớp của các R-môđun 0 → M 0 → M → M 00 → 0. Ta có dãy khớp dài của các môđun Ext 0 HomR (M 00 , N ) HomR (M, N ) HomR (M 0 , N ) δ1 Ext1R (M 00 , N ) ... Homn−1 0 R (M , N ) δn−1 ExtnR (M 00 , N ) ExtnR (M, N ) ExtnR (M 0 , N ) δn−1 Extn+1 00 R (M , N ) Extn+1 R (M, N ) Extn+1 0 R (M , N ) ... Mệnh đề 1.1.16. Cho một dãy khớp của các R-môđun, 0 → N 0 → N → N 00 → 0. 6
Ta có dãy khớp dài của các môđun Ext ... Extn−1 0 R (M, N ) Extn−1 R (M, N ) Homn−1 00 R (M, N ) δn−1 ExtnR (M, N 0 ) n ExtR (M, N ) ExtnR (M, N 00 ) δn Extn+1 0 R (M, N ) n+1 ExtR (M, N ) Extn+1 00 R (M, N ) ... Sau đây, ta nêu ra một số tính chất của môđun mở rộng. Mệnh đề 1.1.17. Cho M , N là các R-môđun. Khi đó: Ext0R (M, N ) ∼ = Hom(M, N ). Mệnh đề 1.1.18. Cho R là vành Noether, M, N là các R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó ExtiR (M, N ) cũng là các môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0. Mệnh đề 1.1.19. (Xem [10], Th. 7.16) Cho M, N là các môđun trên vành R và x x x là phần tử thuộc R. Xét ánh xạ ϕ : M −→ M (hoặc N −→ N ), khi đó tồn tại ánh x xạ cảm sinh ϕ∗ : ExtiR (M, N ) −→ ExtiR (M, N ). 1.2 Chuyển phẳng Cho M là R-môđun, kí hiệu A là dãy các R-môđun và R-đồng cấu fi fi+1 A : · · · → Ni −→ Ni+1 −−→ Ni+2 → · · · Ta cũng kí hiệu A ⊗R M hoặc đơn giản là A ⊗ M cho dãy cảm sinh sau A ⊗R M : · · · → Ni ⊗R M → Ni+1 ⊗R M → Ni+2 ⊗R M → · · · Định nghĩa 1.2.1. R-môđun M được gọi là môđun phẳng trên R hoặc R-phẳng nếu với mỗi dãy khớp A ta có dãy A ⊗R M là dãy khớp. Nếu mỗi dãy A là khớp khi và chỉ khi A ⊗R M là khớp thì M được gọi là môđun phẳng hoàn toàn trên R hoặc R-phẳng hoàn toàn. 7
Nhận xét 1.2.2. Vì dãy khớp dài A đều có thể chẻ ra thành các dãy khớp ngắn có dạng 0 → N1 → N2 → N3 → 0 nên để kiểm tra một môđun là phẳng ta chỉ cần xét dãy khớp ngắn. Do hàm tử tenxơ là khớp phải nên ta chỉ cần xét dãy khớp A : 0 → N1 → N2 và kiểm tra tính khớp của dãy A ⊗R M : 0 → N1 ⊗R M → N2 ⊗R M. Cho f : R → S là đồng cấu giữa các vành R và S . Khi đó S được gọi là R-đại số. Hơn nữa, S được xem như một R-môđun với phép nhân vô hướng cho bởi rr0 = f (r)r0 với mỗi r ∈ R, r0 ∈ S . Định nghĩa 1.2.3. Cho f : R → S là đồng cấu vành. (i) Nếu S là phẳng như một R-môđun thì f được gọi là đồng cấu phẳng và S được gọi là R-đại số phẳng. (ii) Nếu S là phẳng hoàn toàn như một R-môđun thì f được gọi là đồng cấu phẳng hoàn toàn và S được gọi là R-đại số phẳng hoàn toàn. Ví dụ 1.2.4. Vành các thương S −1 R là một R-phẳng. Thật vậy, ánh xạ tự nhiên f : R → S −1 R cho bởi r 7→ r/1 với mỗi r ∈ R là đồng cấu vành. Vì thế, S −1 R là R-đại số. Giả sử 0 → N1 → N2 là dãy khớp các R-môđun. Ta có dãy các R-môđun sau là khớp 0 → S −1 N1 → S −1 N2 . Vì N ⊗R S −1 R ∼ = S −1 N nên ta có dãy khớp 0 → N1 ⊗R S −1 R → N2 ⊗R S −1 R. Vậy S −1 R là R-đại số phẳng và f là đồng cấu phẳng. Mệnh đề 1.2.5. Cho S là R-đại số, M là S -môđun. Khi đó, (i) Nếu S là R-phẳng và M là S -phẳng thì M là R-phẳng. 8
(ii) Nếu S là R-phẳng hoàn toàn và M là S -phẳng hoàn toàn thì M là R-phẳng hoàn toàn. (iii) Nếu M là S -phẳng hoàn toàn và đồng thời là R-phẳng thì S là R- phẳng. (iv) Nếu M đồng thời là R và S -phẳng hoàn toàn thì S là R-phẳng hoàn toàn. Hệ quả 1.2.6. Cho R, R0 , R00 là các vành, f : R → R0 và g : R0 → R00 là các đồng cấu vành. Đặt h = g ◦ f : R → R00 . Khi đó (i) Nếu f, g là các đồng cấu phẳng thì h cũng là đồng cấu phẳng. (ii) Nếu f, g là các đồng cấu phẳng hoàn toàn thì h cũng là đồng cấu phẳng hoàn toàn. (iii) Nếu h là đồng cấu phẳng và g là đồng cấu phẳng hoàn toàn thì f là đồng cấu phẳng. Mệnh đề 1.2.7. Cho R0 là R-đại số, M là R-môđun. Khi đó, (i) Nếu M là R-phẳng thì M ⊗R R0 là R0 -phẳng. (ii) Nếu M là R-phẳng hoàn toàn thì M ⊗R R0 là R0 -phẳng hoàn toàn. Định lý 1.2.8. Cho M là một R-môđun. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (i) M là phẳng hoàn toàn trên R. (ii) M là R-phẳng và N ⊗R M 6= 0 với mọi R-môđun N khác 0. (iii) M là R-phẳng và mM 6= M với mọi iđêan cực đại m của R. 1.3 Chiều của vành và môđun Trong mục này ta tìm hiểu về chiều Krull của vành và môđun. Định nghĩa 1.3.1. Một dãy p0 ⊆ p1 ⊆ ... ⊆ pn các iđêan nguyên tố của R thỏa mãn điều kiện pi 6= pi+1 với mọi i được gọi là một dãy iđêan nguyên tố độ dài n của R. Chiều Krull của vành R là cận trên đúng của tất cả độ dài của dãy các iđêan nguyên tố trong R. Chiều Krull của R được kí hiệu là dim R. 9
Một vành giao hoán R được gọi là vành Noether nếu mọi dãy tăng các iđêan của R đều dừng. Chú ý rằng R là vành Noether nếu và chỉ nếu mọi iđêan của R là hữu hạn sinh. Một vành giao hoán R được gọi là vành Artin nếu mọi dãy giảm các iđêan của R đều dừng. Chú ý rằng nếu R là vành Artin thì R là vành Noether và mỗi iđêan nguyên tố của R đều là iđêan tối đại. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết nếu tồn tại một phần tử m ∈ M sao cho p = AnnR m. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR M. Chú ý rằng tập các iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnR M chính là tập các iđêan tối thiểu trong AssR M. Vì thế ta có công thức tính chiều qua chiều của các iđêan nguyên tố liên kết như sau. Bổ đề 1.3.2. dim M = dim R/ AnnR M = max{dim(R/p)|p ∈ AssR M }. Mệnh đề sau đây cho ta công thức tính chiều của vành đa thức (xem [9, Theorem 15.4]). Mệnh đề 1.3.3. dim R[X1 , . . . , Xn ] = n + dim R. ∞ nX o i Đặt R[[X]] = ai x | ai ∈ R, ∀i . Mỗi phần tử của R[[x]] được gọi là một i=0 chuỗi lũy thừa hình thức của biến X với hệ số trong R. Định nghĩa phép cộng X∞ X∞ X∞ X∞ ∞ X ∞ X i i i i j ai X + bi X = (ai + bi )X và phép nhân ai X bj X = ck X k , i=0 i=0 i=0 i=0 j=0 k=0 X trong đó ck = ai bj . Khi đó R[[X]] là một vành giao hoán Noether, được gọi i+j=k là vành các chuỗi lũy thừa hình thức của biến X trên R. Khi (R, m) là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất m thì R[[X]] cũng là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất ∞ o X n= ai X i ∈ R[[X]], a0 ∈ m . i=0 Vành chuỗi lũy thừa hình thức n biến X1 , . . . , Xn với hệ số trên R, kí hiệu là R[[X1 , . . . , Xn ]], được định nghĩa tương tự. Mệnh đề sau đây cho phép ta tính được chiều của vành các chuỗi lũy thừa hình thức (xem [9, Theorem 15.4]). 10
Mệnh đề 1.3.4. dim R[[X1 , . . . , Xn ]] = n + dim R. Ví dụ 1.3.5. (i) Tính chiều của vành Z[X, Y, Z]/I với I = (X 2 , Y ) ∩ (Z 3 ). Đặt R = Z[X, Y, Z]. Ta có dim R = 3 + dim Z = 4. Chú ý rằng AssR (R/I) = {(X, Y ), (Z)}. Suy ra dim(R/I) = max{dim(R/(X, Y )), dim(R/(Z))} = 3. (ii) Tinh chiều của vành R[[X, Y, Z, T ]]/J với J = (X, Y 2 , Z)∩(Y, Z 3 , T 5 ). Đặt R = R[[X, Y, Z, T ]]. Khi đó dim R = 4+dim R = 4. Ta có AssR (R/J) = {(X, Y, Z), (Y, Z, T )}. Suy ra dim(R/J) = max{dim R/(X, Y, Z), dim(R/(Y, Z, T )} = 1. Nhắc lại rằng một vành Noether R được gọi là vành địa phương nếu nó có duy nhất một iđêan tối đại. Từ nay đến hết tiết này, luôn giả thiết (R, m) là vành địa phương với m là iđêan tối đại duy nhất. Cho I là iđêan thực sự của R. Ta nói rằng √ I là iđêan nguyên sơ nếu ab ∈ I và a ∈ / I kéo theo b ∈ I với mọi a, b ∈ R. Chú ý √ rằng nếu I là iđêan nguyên sơ thì p = I là iđêan nguyên tố. Trong trường hợp này ta gọi I là iđêan p-nguyên sơ. Định lí sau đây cho ta 2 bất biến tương đương với chiều Krull của M . Định lý 1.3.6. ([Mat, Định lí 13.4]). Cho q là một iđêan m-nguyên sơ. Khi đó `R (M/qn M ) là một đa thức với hệ số hữu tỉ khi n đủ lớn và dim M = deg `R (M/qn M ) = δ(M ) (1.1) = inf{t|∃x1 , ..., xt ∈ m, `R (M/(x1 , ..., xt )M ) < ∞}. Vì R là vành Noether nên m là iđêan hữu hạn sinh. Do đó tồn tại hữu hạn phần tử x1 , ..., xt thuộc m sao cho m = (x1 , ..., xt )R. Vì `R (M/mM ) < ∞ nên ta suy ra `R (M/(x1 , ..., xt )M ) < ∞. Do đó theo Định lí 1.1.5 ta có dim M 6 t. Suy ra dim M < ∞. Do đó từ đây ta luôn giả thiết rằng dim M = d. Định nghĩa 1.3.7. Một hệ (x1 , ..., xd ) ⊆ m được gọi là một hệ tham số của M nếu `R (M/(x1 , ..., xd )M ) < ∞. Một hệ (x1 , ..., xr ) ⊆ m với r ≤ d được gọi là một phần hệ 11
tham số của M nếu tồn tại các phần tử xr+1 , ..., xd sao cho (x1 , ..., xd ) là một hệ tham số của M . Hệ quả 1.3.8. Giả sử r ≤ d. Khi đó dim(M/(x1 , ..., xr )M ) ≥ d−r với mọi x1 , ..., xr ∈ m. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x1 , ..., xr ) là một phần hệ tham số của M . Ví dụ 1.3.9. Với R = K[[X, Y, Z]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức 3 biến với hệ số trên một trường K , ta có dim R = 3, (X, Y 2 ) là phần hệ tham số của R vì (X, Y 2 , Z) là hệ tham số của R. Tuy nhiên (X 3 + Y 3 , X 2 − Y 2 ) không là phần hệ tham số của R vì dim(R/(X 3 + Y 3 , X 2 − Y 2 )R) = 2. 12
Chương 2 Vành và môđun hầu Cohen- Macaulay Trong toàn bộ chương này, ta giả thiết R là vành giao hoán Noether, M là R-môđun. 2.1 Độ sâu và môđun Cohen-Macaulay Cho M là một môđun trên vành R. Ta nói x ∈ R là một phần tử M -chính quy nếu xz = 0 với z ∈ M thì z = 0. Tức là x không là một ước của không trên M hay x phép nhân M −→ M là đơn cấu. Khi đó Dãy chính quy được định nghĩa như sau. Định nghĩa 2.1.1. Một dãy các phần x1 , ..., xn của R được gọi là M -dãy chính quy hay M -dãy nếu thỏa mãn các điều kiện sau (i) xi là M/(x1 , ..., xi−1 )M -chính quy với i = 1, ..., n, tức là với mỗi 1 ≤ i ≤ n, xi M/(x1 , ..., xi−1 )M −−→ M/(x1 , ..., xi−1 )M là một đơn ánh. (ii) M/(x1 , ..., xn )M 6= 0, tức là M 6= (x1 , ..., xn )M . Một dãy được gọi là M -dãy yếu nếu thỏa mãn điều kiện (i). Khi tất cả các xi nằm trong một iđêan I của R ta nói x1 , ..., xn là một M -dãy chính quy trong I . 13
Khi M = R thì x1 , ..., xn là R-dãy nếu và chỉ nếu (x1 , ..., xn ) là iđêan thực sự của R, và với mỗi i = 1, ..., n xi không phải ước của không trên R/(x1 , ..., xi−1 ). Giả sử R là một vành địa phương với iđêan cực đại m và M 6= 0 là R-môđun hữu hạn sinh. Nếu (x1 , ..., xn ) ⊆ m thì theo Bổ đề Nakayama ta có (ii) luôn thỏa mãn. Vậy (x1 , ..., xn ) là dãy chính quy nếu và chỉ nếu với mỗi 1 ≤ i ≤ n, xi là M/(x1 , ..., xi−1 )M -chính quy. Với mỗi R-môđun M ta kí hiệu ZDR (M ) = {a ∈ R | tồn tại 0 6= x ∈ M sao cho ax = 0} là tập các ước của 0 trên M . Khi vành cơ sở đã rõ ta kí hiệu tập này là ZD(M ). Ta có [ ZD(M ) = p. p∈AssR (M ) Bổ đề 2.1.2. Cho R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh. Nếu iđêan I ⊆ R gồm các ước không của M , thì tồn tại p ∈ Ass M , I ⊆ p. Chứng minh. Nếu I 6⊂ p với mọi p ∈ Ass M , thì theo định lý tránh nguyên tố tồn tại x ∈ I với x ∈ / p với mọi p ∈ Ass M . Ta có x là M -chính quy. Điều vô lý này chứng tỏ bổ đề được chứng minh. Từ trên ta dễ thấy đặc trưng sau của phần tử chính quy. Bổ đề 2.1.3. Cho R là vành Noether và M là R- môđun hữu hạn sinh, x ∈ R. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) x là phần tử M -chính quy; (ii) x ∈ / p, với mọi p ∈ Ass(M ). Ví dụ 2.1.4. Cho R là vành, đặt S := R[X1 , ..., Xn ] là vành đa thức n biến X1 , ..., Xn . Ta có đẳng cấu S/(X1 , ..., Xi−1 ) ∼ = R[Xi , ..., Xn ], mà Xi là R[Xi , ..., Xn ]-chính quy nên X1 , ..., Xn là S -dãy. Mệnh đề 2.1.5. Cho (x1 , ..., xn ) ⊆ R một M -dãy yếu. Giả sử ϕ : R → S là đồng cấu vành, N là S -môđun và R-môđun phẳng. Khi đó (x1 , ..., xn ) ⊆ R và (ϕ(x1 ), ..., ϕ(xn )) ⊆ S là (M ⊗R N )-dãy yếu. Nếu (x1 , ..., xn )(M ⊗R N ) 6= M ⊗R N , thì (x1 , ..., xn ) và (ϕ(x1 ), ..., ϕ(xn )) là (M ⊗R N )-dãy. 14
Chứng minh. Ta có ϕ(xi )(M ⊗R N ) = xi (M ⊗R N ) nên ta chỉ cần xét (x1 , ..., xn ). Phép nhân x1 : M → M là đơn ánh nên phép nhân x1 ⊗ N cũng là đơn ánh vì N là R-môđun phẳng. Lại có phép nhân bởi x1 ⊗ N là phép nhân bởi x1 trên M ⊗ N . Do đó x1 là phần tử (M ⊗ N )-chính quy. Tiếp theo ta có (M ⊗ N )/x1 (M ⊗ N ) ∼ = (M/x1 M ) ⊗ N . Trường hợp quan trọng của Mệnh đề 2.1.5 được trình bày trong bổ đề sau. Trước hết ta nhắc lại đầy đủ hóa của môđun. Một dãy (xn ) = (xn )n∈N ⊆ R được gọi là một dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho xn − xm ∈ mk với mọi n, m ≥ n0 . Dãy (xn ) ⊆ R được gọi là dãy không nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại số n0 sao cho xn ∈ mk với mọi n ≥ n0 . Ta trang bị quan hệ tương đương trên tập các dãy Cauchy như sau: Hai dãy Cauchy (xn ), (yn ) được gọi là tương đương nếu dãy (xn − yn ) là dãy không. Kí hiệu R b là tập các lớp tương đương. Chú ý rằng quy tắc cộng (xn ) + (yn ) = (xn + yn ) và quy tắc nhân (xn )(yn ) = (xn yn ) không phụ thuộc vào cách chọn các đại diện của các lớp tương đương. Vì thế nó là các phép toán trên R b và cùng với hai phép toán b làm thành một vành Noether địa phương với iđean tối đại duy nhất là mR. này, R b b vừa xây dựng được gọi là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R. Một dãy Vành R (zn ) ⊆ M được gọi là dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại n0 sao cho zn − zm ∈ mk M. Từ khái niệm dãy Cauchy như trên, tương tự ta định nghĩa được khái niệm môđun đầy đủ theo tôpô m-adic trên vành R b. Môđun b . Theo [9, Theorem 8.7, Theorem 8.8] R → R này được kí hiệu là M b là mở rộng b = M ⊗R phẳng và M b. Giả sử (R, m, k), là vành địa phương, ta ký hiệu k = R/m là trường thặng dư của R. Hệ quả 2.1.6. Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh và x1 , ..., xn là M -dãy. (i) Giả sử iđêan nguyên tố p ∈ Supp M chứa x1 , ..., xn . Khi đó x1 , ..., xn (như một dãy trong Rp ) là Mp -dãy. (ii) Giả sử R là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất m. Khi đó (x1 , ..., xn ) 15
(như một dãy trong R b) là M b -dãy. Chứng minh. Ta có R → Rp và R → R b là phẳng. Do đó (i) Theo giả thiết Mp 6= 0, và theo Bổ đề Nakayama suy ra Mp 6= pMp . Do đó (x1 , ..., xn )Mp 6= Mp . b =M ⊗R (ii) Chú ý M b là một R b- môđun hữu hạn sinh. Mệnh đề 2.1.7. Cho R là một vành, M là R-môđun và (x1 , ..., xn ) là M -dãy yếu. Khi đó dãy khớp R-môđun ϕ2 ϕ1 ϕ0 N2 → N1 → N0 → M → 0 (2.1) cảm sinh dãy khớp ϕ2 ϕ1 ϕ0 N2 /(x1 , ..., xn )N2 → N1 /(x1 , ..., xn )N1 → N0 /(x1 , ..., xn )N0 → M/x1 , ..., xn )M → 0. (2.2) Chứng minh. Bằng quy nạp ta chỉ cần chứng minh với n = 1, ký hiệu x thay cho x1 . Lấy tenxơ dãy (2.1) với R/(x) Vì tích tenxơ là hàm tử khớp bên phải nên ta chỉ cần thử lại tại N1 /xN1 . Ta có ϕ1 ϕ2 = 0 nên Im ϕ2 ⊆ Ker ϕ1 . Ký hiệu y cho y +xN1 , tương tự ký hiệu lớp thặng dư trong môđun thương tương ứng. Giả sử y ∈ Ker ϕ1 hay ϕ1 (y) = 0. Ta có 0 + xN0 = ϕ1 (y) = ϕ1 (y) = ϕ1 (y) + xN0 . Suy ra ϕ1 (y) = xz, z ∈ N0 . Kéo theo xz ∈ Im ϕ1 = Ker ϕ0 hay xϕ0 (z) = 0. Theo giả thiết x là M - chính quy nên ta có ϕ0 (z) = 0; do đó ∃y 0 ∈ N1 với z = ϕ1 (y 0 ). Tức là ϕ1 (y − xy 0 ) = 0. Vì vậy y − xy 0 ∈ Im ϕ2 và do đó y ∈ Im ϕ2 hay Ker ϕ1 ⊆ Im ϕ2 . Vậy mệnh đề được chứng minh. Mệnh đề 2.1.8. Cho R là vành và ϕm ϕ0 N• : ... → Nm → Nm−1 → ... → N0 → N−1 → 0 là dãy khớp của R-môđun. Nếu x1 , ..., xn là Ni -chính quy yếu với mọi i thì N• ⊗ R/(x1 , ..., xn ) cũng là dãy khớp. 16