Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về các đại số nguyên tố và nửa nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức đa thức

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

111
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về các đại số nguyên tố và nửa nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức đa thức bao gồm những nội dung về một số đại số đặc biệt (đại số nửa nguyên thủy, đại số nguyên thủy, đại số nguyên tố, đại số nửa nguyên tố, đại số thỏa mãn đồng nhất thức); các PI đại số nửa nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức đa thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về các đại số nguyên tố và nửa nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức đa thức

1 BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM TP. HOÀ CHÍ MINH --------------------------------- TRÖÔNG HUY HOAØNG VEÀ CAÙC ÑAÏI SOÁ NGUYEÂN TOÁ VAØ NÖÛA NGUYEÂN TOÁ THOÛA MAÕN ÑOÀNG NHAÁT THÖÙC ÑA THÖÙC Chuyeân ngaønh: Ñaïi soá vaø lí thuyeát soá Maõ soá : 60. 46. 05 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC: PGS.TS BUØI TÖÔØNG TRÍ Thaønh phoá Hoà Chí Minh – 2007
2 LÔØI CAÛM ÔN Lôøi ñaàu tieân, toâi xin gôûi loøng bieát ôn saâu saéc nhaát ñeán PGS-TS Buøi Töôøng Trí, ngöôøi thaày ñaõ taän tình höôùng daãn toâi hoaøn thaønh luaän vaên naøy. Xin chaân thaønh caûm ôn caùc Thaày: TS Traàn Huyeân, PGS-TS Mî Vinh Quang, PGS- TS Buøi Xuaân Haûi ñaõ trang bò cho toâi nhöõng kieán thöùc voâ cuøng quí baùo trong suoát quaù trình hoïc taäp. Cuoái cuøng, xin caûm ôn caùc Thaày Coâ khoa Toaùn – Tin cuûa Tröôøng ÑHSP ñaõ cung caáp cho toâi nhöõng taøi lieäu caàn thieát, caûm ôn caùc Thaày Coâ cuûa phoøng Khoa Hoïc Coâng Ngheä Sau Ñaïi Hoïc, caùc baïn beø, ñoàng nghieäp ñaõ chaân tình ñoäng vieân, giuùp ñôõ vaø taïo ñieàu kieän thuaän lôïi cho toâi trong suoát quaù trình hoïc taäp vaø trong quaù trình thöïc hieän luaän vaên naøy. Thaønh phoá Hoà Chí Minh – naêm 2007 Hoïc vieân Cao hoïc khoùa 15 Tröông Huy Hoaøng
3 MUÏC LUÏC MÔÛ ÑAÀU HEÄ THOÁNG KÍ HIEÄU Chöông 1: CAÙC KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN VEÀ MOÄT SOÁ ÑAÏI SOÁ ÑAËC BIEÄT 1.1. Toùm taét nhöõng kieán thöùc cô sôû……………………………….….…..…...…………………..1 1.2. Moät soá ñaïi soá ñaëc bieät ………………………………………………………….…….……………….8 1.2.1. Ñaïi soá nöûa nguyeân thuûy ………………………………………….….….……………….8 1.2.2. Ñaïi soá nguyeân thuûy ………………………………………………..………….…………….8 1.2.3. Ñaïi soá nguyeân toá …………………………………….……………………….…….………..12 1.2.4. Ñaïi soá nöûa nguyeân toá …………………………………….…….…………….………….14 1.2.5. Ñaïi soá thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc ….…………..………………………….…….18 Chöông 2: CAÙC PI – ÑAÏI SOÁ NÖÛA NGUYEÂN TOÁ THOÛA MAÕN ÑOÀNG NHAÁT THÖÙC ÑA THÖÙC 2.1. Ñaïi soá nguyeân toá thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc thöïc söï………………..………26 2.2. Caùc keát quaû cuûa Posner …………………………………………………….……………………..39 2.3. Ví duï .…………………………………………………………………………………………….………………..41 KEÁT LUAÄN…………………………………………………………………………………………………………………….………43 TAØI LIEÄU THAM KHAÛO……………………………………………………………………………………………….44
4 MÔÛ ÑAÀU 1. Lí do choïn ñeà taøi: Posner – Rowen ñaõ chöùng minh raèng, moät PI – ñaïi soá nguyeân toá treân moät tröôøng coù theå nhuùng vaøo moät ñaïi soá ñôn höõu haïn chieàu treân taâm cuûa noù nhö laø thöù töï phaûi vaø traùi trong ñaïi soá. Amitsur ñaõ khaùi quaùt ñieàu naøy cho nhöõng ñaïi soá treân vaønh, oâng ñaõ söû duïng ñònh lí Goldie ñeå laøm cô sôû cho nhöõng keát quaû cuûa mình. Rowen laø ngöôøi coù coâng khoâng nhoû trong vieäc laøm saùng toû vaán ñeà treân. OÂng ñaõ chæ ra moät hình aûnh roõ neùt veà vaønh thöông, trong ñoù taâm cuûa vaønh thöông laø tröôøng caùc thöông cuûa taâm cuûa vaønh nguyeân toá. Vaán ñeà treân ñaõ thu huùt raát nhieàu söï quan taâm cuûa caùc nhaø toaùn hoïc treân theá giôùi, trong ñoù coù Small, Martindale… Vaø taát caû ñeàu söû duïng ña thöùc cuûa Formanek. Maëc duø coøn haïn cheá nhieàu veà chuyeân moân neân khaø naêng bao quaùt kieán thöùc chöa ñuû lôùn nhöng khi nghieân cöùu vaán ñeà treân baûn thaân toâi cuõng chòu moät söùc haáp daãn nhaát ñònh. Choïn ñeà naøy giuùp chuùng toâi taäp laøm quen vôùi caùc phöông phaùp nghieân cöùu Toaùn hoïc ñöông ñaïi. Treân heát laø nhaèm phaùt trieån tö duy cuûa baûn thaân. 2. Muïc ñích nghieân cöùu: Chuùng ta bieát raèng, moät ñaïi soá laø nöûa nguyeân toá khi vaø chæ khi noù laø tích tröïc tieáp con cuûa caùc ñaïi soá nguyeân toá, moät ñaïi soá laø nöûa nguyeân thuûy khi vaø chæ khi noù laø tích tröïc tieáp con cuûa caùc ñaïi soá nguyeân thuûy (theo Kaplansky, neáu ñaïi soá nguyeân thuûy laø PI seõ trôû thaønh ñaïi soá ñôn). Caâu hoûi töï nhieân ñöôïc ñaët ra laø, lieäu keát quaû cuûa Posner – Rowen veà caùc PI – ñaïi soá coù theå môû roäng ra cho lôùp caùc PI – ñaïi soá nöûa nguyeân toá hay khoâng? Noùi moät caùch chính xaùc hôn, lieäu moät PI – ñaïi soá nöûa nguyeân toá treân moät tröôøng coù theå nhuùng nhö thöù töï traùi (phaûi) vaøo moät PI – ñaïi
5 soá nöûa nguyeân thuûy hay khoâng? Trong quyeån PI – Algebras An Introduction cuûa Nathan Jacobson (taøi lieäu tham khaûo soá 3 – tieáng Anh), taùc giaû noùi raèng, coù nhöõng thí duï chöùng minh raèng keát quaû cuûa Posner – Rowen khoâng theå môû roäng ra cho lôùp caùc PI – ñaïi soá nöûa nguyeân toá, tuy nhieân oâng khoâng chæ ra thí duï cuï theå naøo. Muïc ñích chính cuûa luaän vaên cuûa chuùng toâi laø ñi xaây döïng moät thí duï nhö vaäy. 3. Phöông phaùp nghieân cöùu: Trong luaän vaên naøy chuùng toâi khoâng trình baøy caùch xaây döïng ña thöùc cuûa Formanek maø chæ trình baøy caùc keát quaû cuûa Posner vaø Rowen ñoái vôùi caùc PI – ñaïi soá nguyeân toá thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc thöïc söï . Vôùi löu yù raèng, ñeå ñi ñeán nhöõng keát quaû cuûa mình Posner vaø Rowen cuõng söû duïng ña thöùc cuûa Formanek. Hôn nöõa, ñeå hoaøn thieän thí duï maø chuùng toâi ñöa ra, chuùng toâi ñaõ boå sung vaø chöùng minh meänh ñeà 1.2.4 veà tính ñaày höõu tæ cuûa moät ñaïi soá. 4. Caáu truùc luaän vaên: Luaän vaên bao goàm hai chöông. Chöông 1 chuùng toâi trình baøy caùc kieán thöùc cô baûn veà lí thuyeát caùc vaønh khoâng giao hoaùn vaø lí thuyeát caùc PI – vaønh. Chöông 2 chuùng toâi ñi saâu vaøo nghieân cöùu veà ñaïi soá nguyeân toá vaø nöûa nguyeân toá thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc thöïc söï, trong ñoù chuùng toâi trình baøy raát roõ caùc keát quaû cuûa Posner veà caùc PI – ñaïi soá nguyeân toá. Cuoái cuøng, chuùng toâi xaây döïng moät thí duï chöùng toû raèng keát quaû cuûa Posner – Rowen khoâng theå môû roäng cho lôùp caùc PI – ñaïi soá nöûa nguyeân toá.
6 HEÄ THOÁNG KÍ HIEÄU : Taäp caùc soá töï nhieân : Tröôøng soá höõu tæ annAM: Taäp nhöõng phaàn töû trong A linh hoùa M A(M): { a ∈ A Ma = 0, M laø A – modun baát khaû qui} E(M ) : Taäp nhöõng töï ñoàng caáu treân M C(M): Giao hoaùn töû cuûa A treân M rad(A) hoaëc J(A): Radical Jacobson cuûa vaønh A sgnπ : Daáu cuûa pheùp theá π lnA: nil radical döôùi cuûa A Un(A): upper nil radical cuûa A L(A): Levitzki nil radical cuûa A K{X}: Ñaïi soá caùc ña thöùc aán x treân K Degf: Baäc cuûa ña thöùc f deg xi f : Baäc cuûa ña thöùc f theo moät bieán xi ht(f): Chieàu cao cuûa ña thöùc f Δ ij f : Toaùn töû sai phaân cuûa f CΔ F .: Taâm taäp cuûa F trong Δ MS : Ñòa phöông hoùa cuûa M taïi S [A : C] : Soá chieàu cuûa khoâng gian A treân tröôøng C Δm Taäp taát caû caùc ma traän vuoâng caáp m treân Δ
7 CHÖÔNG 1: CAÙC KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN VEÀ MOÄT SOÁ VAØNH ÑAËC BIEÄT Trong chöông naøy, chuùng toâi trình baøy caùc khaùi nieäm vaø moät soá keát quaû cô baûn ñöôïc söû duïng ñeán trong luaän vaên. Vieäc chöùng minh caùc keát quaû khaù ñôn giaûn neân haàu heát seõ ñöôïc toùm taét hoaëc ñöôïc thoâng qua. 1.1 TOÙM TAÉT NHÖÕNG KIEÁN THÖÙC CÔ SÔÛ Tröôùc tieân, chuùng toâi nhaéc laïi caùc khaùi nieäm vaø moät soá keát quaû cô baûn, caàn thieát ñeå laøm cô sôû xaây döïng caùc ñaïi soá, nhö laø: ñaïi soá nguyeân thuûy, ñaïi soá nöûa nguyeân thuûy, ñaïi soá nguyeân toá vaø ñaïi soá nöûa nguyeân toá. Trong phaàn naøy, chuùng toâi kí hieäu A laø vaønh khoâng giao hoaùn, M laø A – modun thay cho M laø A – modun phaûi. ¾ Ñònh nghóa 1.1.1: • Nhoùm coäng aben M ñöôïc goïi laø modun treân vaønh A (hay M laø A – modun) neáu toàn taïi aùnh xaï: M × A → M , (m, a) ma vaø ∀m, n ∈ M , ∀a, b ∈ A caùc ñieàu kieän sau luoân ñöôïc thoûa maõn: a) m(a + b) = ma + mb, b) (m + n)a = ma + na, c) m(ab) = (ma)b, d) Neáu A coù ñôn vò thì m1 = m. • A laø ñaïi soá treân vaønh giao hoaùn coù ñôn vò K khi vaø chæ khi A laø vaønh, A laø modun treân K, vaø ∀a,b ∈ A , ∀k ∈ K thì k(ab) = (ka)b = a(kb). • Cho M laø moät A –modun. Khi ñoù, taäp hôïp caùc phaàn töû cuûa A maø linh hoaù toaøn boä M ñöôïc kí hieäu laø annAM = { a ∈ A / Ma = 0 }.
8 ¾ Ñònh nghóa 1.1.2: • M ñöôïc goïi laø A – modun trung thaønh ⇔ (Ma = 0, a ∈ A ⇒ a = 0). • M ñöôïc goïi laø A – modun baát khaû qui ⇔ MA ≠ 0 vaø M chæ coù ñuùng 2 modun con laø 0 vaø chính M. ¾ Meänh ñeà 1.1.3: Cho M laø moät A –modun. Caùc khaúng ñònh sau ñaây laø töông ñöông: i) M laø A –modun baát khaû qui. ii) M = xA, ∀x ,0 ≠ x ∈ M . iii) M ≅ A/ ρ , trong ñoù ρ laø ideal phaûi toái ñaïi, chính qui trong A. ( ρ laø ideal phaûi chính qui trong A ⇔ ∃a ∈ A sao cho ∀x ∈ A thì x − ax ∈ρ ). Baây giôø, cho M laø A – modun baát khaû qui. Vôùi a ∈ A ta ñònh nghóa: Ta : M → M, mTa = ma .Khi ñoù Ta laø töï ñoàng caáu nhoùm coäng treân M. Ñaët E ( M ) = {ϕ : M → M / ϕ laø töï ñoàng caáu} . Trong E(M) ta ñònh nghóa pheùp coäng vaø pheùp nhaân nhö sau: ∀φ, ϕ∈ E ( M ), ∀m ∈ M thì m(φ + ϕ) = mφ + mϕ, m(φϕ) = (mφ)ϕ . Khi ñoù E(M) laø moät vaønh. Goïi caùi giao hoaùn töû cuûa A treân M laø C ( M ) = {ϕ∈ E ( M )/ ϕTa = Taϕ, ∀a ∈ A} . Khi ⎧ϕ − ϕ2 ∈ C ( M ) ñoù, ∀ϕ1 , ϕ2 ∈ C ( M ) ⇒ ⎨ 1 . Suy ra C(M) laø vaønh con cuûa E(M). Ta coù ⎩ϕ1.ϕ2 ∈ C ( M ) tröôøng hôïp ñaëc bieät sau ñaây: ¾ Boå ñeà 1.1.4 :(Boå ñeà Schur) Neáu M laø A – modun baát khaû qui thì C(M) laø moät theå. Chöùng minh: Ñeå chöùng minh boå ñeà ta chæ vieäc chöùng minh moïi phaàn töû θ ≠ 0 trong C(M)
9 ñeàu khaû nghòch trong C(M). Thaät vaäy, laáy 0 ≠ θ∈ C ( M ) , ñaët W = M θ . Suy ra ∀a ∈ A , Wa = WTa = ( M θ)Ta = ( MTa )θ , maø ( MTa )θ ⊂ M θ = W ⇒ W laø modun con cuûa M. Vì θ ≠ 0 vaø M laø A – modun baát khaû qui neân W = M θ = M . Suy ra θ laø toaøn caáu töø M → M vaø Kerθ laø con thöïc söï cuûa M ( do θ ≠ 0 ). Do ñoù Kerθ = 0 . Suy ra θ laø ñaúng caáu. Vì vaäy ∃θ−1 laø nghòch ñaûo cuûa θ ( θ−1 ∈ E ( M ) ). Hôn nöõa, vì θ coù khaû nghòch laø θ−1 ∈ E ( M ) neân töø ñaúng thöùc θTa = Ta θ ta suy ra Ta θ−1 = θ−1Ta , hay θ−1 ∈ C ( M ) . ª ¾ Ñònh nghóa 1.1.5: • Radical Jacobson cuûa vaønh A, ñöôïc kí hieäu laø rad(A) hoaëc J(A), laø taäp hôïp taát caû nhöõng phaàn töû cuûa A maø linh hoùa ñöôïc moïi A - modun baát khaû qui. • Neáu A khoâng coù modun baát khaû qui naøo thì ta qui öôùc J(A) = A. Khi ñoù ta noùi A laø vaønh radical. Nhaän xeùt: + Neáu ñaët A(M) = { a ∈ A Ma = 0, M laø A – modun baát khaû qui} thì theo ñònh nghóa ta coù: J ( A) = ∩ A( M ) . M − baát khaû qui + Neáu A laø vaønh coù ñôn vò thì A khoâng theå laø vaønh radical. ¾ Ñònh nghóa 1.1.6: • Moät phaàn töû a ∈ A ñöôïc goïi laø töïa chính qui phaûi neáu toàn taïi a’∈ A sao cho a + a’ + aa’ = 0. Khi ñoù a’ ñöôïc goïi laø töïa nghòch ñaûo phaûi cuûa a. Töông töï, a’ laø töïa nghòch ñaûo traùi cuûa a thì a’ + a + a’a = 0. • Moät ideal (moät phía hoaëc hai phía) cuûa A ñöôïc goïi laø töïa chính qui neáu moïi phaàn töû cuûa noù ñeàu töïa chính qui.
10 ¾ Boå ñeà 1.1.7: • A coù ñôn vò laø 1 thì a laø töïa chính qui phaûi ⇔ 1+ a khaû nghòch trong A. • rad(A) = { z / az laø töïa chính qui, ∀a ∈ A } = { z / za laø töïa chính qui, ∀a ∈ A } ¾ Meänh ñeà 1.1.8 : J(A) laø ideal phaûi toái ñaïi töïa chính qui phaûi duy nhaát cuûa A vaø chöùa taát caû caùc ideal phaûi töïa chính qui phaûi cuûa A. Ñeå laøm cô sôû cho vieäc xaây döïng vaønh caùc ña thöùc ñoàng nhaát thöùc, chuùng toâi nhaéc laïi moät soá khaùi nieäm vaø moät vaøi keát quaû sau ñaây: ¾ Ñònh nghóa 1.1.9: • Cho X laø vò nhoùm töï do sinh bôûi moät taäp ñeám ñöôïc caùc phaàn töû x1,x2,…. Khi ñoù X laø taäp 1, xi1 xi2 ...xir cuûa nhöõng ñôn thöùc khaùc nhau, trong ñoù: + xi1 xi2 ...xir = x j1 x j2 ...x js ⇔ i1 = j1 ,... + 1( xi1 xi2 ...xir ) = ( xi1 xi2 ...xir )1 = xi1 xi2 ...xir . + ( xi1 xi2 ...xir )( x j1 x j2 ...x js ) = xi1 xi2 ...xir x j1 x j2 ...x js . • Kí hieäu K{X} laø ñaïi soá cuûa X treân vaønh giao hoaùn coù ñôn vò K, khi ñoù K{X} ñöôïc goïi laø ñaïi soá töï do sinh bôûi taäp ñeám ñöôïc caùc phaàn töû xi, taäp caùc phaàn töû ñeám ñöôïc naøy goïi laø cô sôû cuûa K{X}. Khi ñoù X ñöôïc nhuùng vaøo K{X} vaø pheùp nhuùng X ⎯⎯ i → K{X} coù tính phoå duïng, nghóa laø: vôùi A laø moät K – ñaïi soá baát kì vaø aùnh xaï σ : X → A , töø taäp caùc bieán x1, x2, ... vaøo A thì luoân toàn taïi ñoàng caáu η : K{X} → A sao cho ηi = σ . • Neáu f ∈ K{X}, f ∈ K{x1 ,..., xm} - ñaïi soá con sinh bôûi taäp con höõu haïn {x1,…,xm} vôùi m naøo ñoù thì ta vieát f = f(x1,…,xm). Aûnh cuûa ña thöùc naøy qua η : K{X} → A
11 bieán xi ai ( 1 ≤ i < ∞ ) vieát laø f(a1,…,am), goïi laø giaù trò cuûa f taïi (a1,…,am). ¾ Ñònh nghóa 1.1.10: Cho ña thöùc f = f(x1,…,xm) ∈ K{X}. Khi ñoù: • Moät ñôn thöùc xi xi ...xi ñöôïc goïi laø coù maët trong f neáu noù coù heä soá khaùc 0 trong 1 2 r bieåu dieãn cuûa f döôùi daïng toång caùc ñôn thöùc. • f ñöôïc goïi laø tuyeán tính theo xi neáu moïi ñôn thöùc coù maët trong f ñeàu coù baäc nhaát theo bieán xi. Nhaän xeùt: + f laø ña tuyeán tính thì f coù daïng: f = ∑ α π1 ,...,πm xπ1 ...xπm vôùi α π1 ,...,πm ∈ K vaø π π chaïy khaép taát caû caùc hoaùn vò cuûa {1, 2, …, m}. + f laø ña tuyeán tính thì: f(x1,…,xj-1,xj + xm+1, xj+1,…, xm) = f(x1,…, xj,…, xm) + f(x1,…,xj-1, xm+1, xj+1,…, xm), f(x1,…,xj-1, β xj, xj+1,…, xm) = β f(x1,…, xj,…, xm). • f ñöôïc goïi laø thay phieân neáu f(x1,,xi-1,xi,xi+1,,xj-1,xi, xj+1,, xm) = 0, ∀i < j . Nhaän xeùt: Cho f laø ña tuyeán tính vaø thay phieân. Khi ñoù: f laø ñoàng nhaát thöùc cuûa A khi vaø chæ khi f(ui1,…,uim) = 0, vôùi moïi söï löïa choïn uij ñoâi moät khaùc nhau trong taäp caùc phaàn töû sinh {uij} cuûa A treân K. • Ña thöùc chuaån baäc k laø: Sk (x1, …, xk) = ∑ (sgnπ)x π π (1) ...xπ( k ) , toång naøy ñöôïc choïn treân toaøn nhoùm ñoái xöùng vaø coù (k!) ñôn thöùc. ¾ Ñònh nghóa 1.1.11 :( Baäc vaø chieàu cao cuûa ña thöùc) • Baäc cuûa ñôn thöùc ax n1 x n2 ...x nm ,(a ≠ 0) laø n1 + n2 + … + nm.
12 • Baäc cuûa f laø baäc lôùn nhaát cuûa caùc ñôn thöùc coù maët trong f, kí hieäu laø degf. • Baäc theo bieán xi cuûa f laø baäc cuûa f khi xem noù nhö laø moät ña thöùc theo moät bieán xi, kí hieäu laø deg x f . i • f ñöôïc goïi laø thuaàn nhaát theo xi neáu taát caû caùc ñôn thöùc cuûa noù coù cuøng moät baäc theo bieán xi. f laø hoaøn toaøn thuaàn nhaát neáu noù thuaàn nhaát theo moïi bieán xi. • f ñöôïc goïi laø troän ñeàu theo xi neáu xi coù maët trong moïi ñôn thöùc cuûa noù. f ñöôïc goïi laø troän ñeàu neáu f ñöôïc troän ñeàu theo moïi bieán xi coù maët trong f . • Chieàu cao cuûa moät ñôn thöùc ñöôïc tính baèng baäc cuûa ñôn thöùc ñoù tröø ñi soá caùc bieán xi coù maët trong ñôn thöùc ñoù. • Chieàu cao cuûa ña thöùc f laø chieàu cao lôùn nhaát cuûa caùc ñôn thöùc coù maët trong f, kí hieäu laø ht(f). Khi ñoù: f ña tuyeán tính ⇔ f troän ñeàu vaø ht(f) = 0. ¾ Ñònh nghóa 1.1.12: Cho A laø ñaïi soá treân K, G laø nhoùm con coäng cuûa nhoùm A. • f∈ K{X} ñöôïc goïi laø G – giaù trò ⇔ (∀ai ∈ A ⇒ f (a1 ,..., am ) ∈ G ) . • f = f(x1,…,xm) ∈ K{X} ñöôïc goïi laø ñoàng nhaát thöùc ñoái vôùi A khi vaø chæ khi f(a1,…,am) = 0, ∀ai ∈ A . Ví duï: 1) Neáu A laø vaønh giao hoaùn thì f(x1,x2) =[x1,x2] laø moät ñoàng nhaát thöùc cuûa A. 2) * Ñaïi soá A ñöôïc goïi laø haàu heát nil, coù baäc bò chaën ⇔ A coù daïng K.1 + N , trong ñoù N laø nil ideal vaø coù baäc bò chaën, nghóa laø ∀z ∈ N , ∃n ∈ : z n = 0 * Khi ñoù, ∀x , y ∈ A , neáu A laø haàu heát nil suy ra [x , y ] ∈ N , N coù baäc bò chaën ⇒ ∃n ∈ sao cho [ x , y ]n = 0 ⇒ A thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc f = [ x , y ]n .
13 3) * Neáu a ∈ M2 (K ) vaø tr(a) = 0 thì a2 laø ma traän voâ höôùng : ⎛p q ⎞ ⎛ p2 + rq 0 ⎞ Thaät vaäy, laáy a = ⎜ 2 ⎟⇒a =⎜ ⎟ - ma traän voâ höôùng ⎝ r −p⎠ ⎝ 0 p2 + rq ⎠ ⎛a b ⎞ ⎛a b2 ⎞ * Vôùi a, b ∈ M2 ( K ), a = ⎜ 1 1 ⎟ , b = ⎜ 2 ⎝ c1 d1 ⎠ ⎝ c2 d2 ⎟⎠ ⎛a a + bc A ⎞ ⎛a a + b c C ⎞ ⇒ ab = ⎜ 1 2 1 2 , ba = ⎜ 2 1 2 1 . ⎝ B c1b2 + d1d2 ⎟⎠ ⎝ D c2 b1 + d2 d1 ⎟⎠ ⎛bc − b c X ⎞ Khi ñoù ab − ba = ⎜ 1 2 2 1 , vôùi A, B, C, D, X, Y ∈ K , hay tr[a, b] ⎝ Y c1b2 − c2 b1 ⎟⎠ = 0, ∀a, b ∈ M2 ( K ) . Vaäy, ∀a, b ∈ M2 (K ) ta luoân coù tr[a,b] = 0 ⇒ [a, b]2 laø ma traän voâ höôùng. Do ñoù, vôùi a, b, c tuyø yù ∈ M2 ( K ) ta luoân coù [a,b]2c = c[a,b]2. Suy ra: f = f(x1,x2,x3) = (x1x2 – x2x1)2x3 – x3(x1x2 – x2x1)2 laø moät ñoàng nhaát thöùc ñoái vôùi M2(K). (ñaây laø ñoàng nhaát thöùc cuûa Wagner). ¾ Ñònh nghóa 1.1.13: Cho f = f(x1,…,xm) ∈ K{X}. Toaùn töû sai phaân Δ ijf trong K{X} ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: Δ ij f (x1,…, xm) = f(x1,…, xi-1, xi + xj, xi+1,…, xm) - f(x1,…, xi-1, xi, xi+1,…, xm) - f(x1,…, xi-1, xj, xi+1,…, xm), vôùi 1 ≤ i ≤ m . ¾ Ñònh nghóa 1.1.14: Ña thöùc f = f(x1,…,xm) ∈ K{X} ñöôïc goïi laø ña thöùc taâm cuûa ñaïi soá A neáu f khoâng laø ñoàng nhaát thöùc cuûa A nhöng [f(x1,…,xm),xm+1] laø ñoàng nhaát thöùc cuûa A. ¾ Ñònh nghóa 1.1.15: Ña thöùc f = f(x1,…,xm) ∈ K{X} ñöôïc goïi laø ñoàng nhaát thöùc thöïc söï ñoái vôùi A khi vaø
14 chæ khi f laø ñoàng nhaát thöùc cuûa A vaø toàn taïi heä soá cuûa f khoâng linh hoaù A. Nhaän xeùt: + Neáu K laø moät tröôøng thì f laø ñoàng nhaát thöùc thöïc söï khi vaø chæ khi f khaùc 0. + Ñoàng nhaát thöùc f coù heä töû 1 thì f laø ñoàng nhaát thöùc thöïc söï cho moïi ñaïi soá. 1.2 MOÄT SOÁ ÑAÏI SOÁ ÑAËC BIEÄT 1.2.1 Ñaïi soá nöûa nguyeân thuûy: ¾ Ñònh nghóa 1.2.1.1: Ñaïi soá A ñöôïc goïi laø ñaïi soá nöûa nguyeân thuûy neáu J(A) = 0. ¾ Meänh ñeà 1.2.1.2: Neáu A khoâng coù nil ideal khaùc 0 thì A[ λ ] laø nöûa nguyeân thuûy ¾ Meänh ñeà 1.2.1.3: Neáu A laø moät ñaïi soá thì A/J(A) luoân laø ñaïi soá nöûa nguyeân thuûy. ¾ Meänh ñeà 1.2.1.4: Neáu B laø ideal 2 phía cuûa ñaïi soá A thì J(B) = J(A) ∩ B. Heä quaû: Moïi ideal 2 phía cuûa ñaïi soá nöûa nguyeân thuûy ñeàu nöûa nguyeân thuûy. 1.2.2 Ñaïi soá nguyeân thuûy: ¾ Ñònh nghóa 1.2.2.1: Ñaïi soá A ñöôïc goïi laø nguyeân thuûy neáu A coù moät modun baát khaû qui trung thaønh. ¾ Meänh ñeà 1.2.2.2: Cho A laø moät ñaïi soá tuyø yù, M laø A – modun baát khaû qui. Khi ñoù, A(M) laø ideal 2
15 phía cuûa A vaø A/A(M) laø ñaïi soá nguyeân thuûy. ¾ Meänh ñeà 1.2.2.3: Neáu A laø ñaïi soá nguyeân thuûy thì J(A) = 0. Do ñoù, moïi ñaïi soá nguyeân thuûy ñeàu laø nöûa nguyeân thuûy. Nhaän xeùt: Vaønh nguyeân thuûy coù tính giao hoaùn laø moät tröôøng. Trong quaù trình nghieân cöùu ñeå thöïc hieän luaän vaên naøy, chuùng toâi caûm nhaän ñöôïc taàm aûnh höôûng cuûa ñònh lí daøy ñaëc ñoái vôùi vieäc chöùng minh caùc tính chaát cuûa vaønh caùc ña thöùc ñoàng nhaát thöùc laø khaù lôùn neân döôùi ñaây chuùng toâi seõ phaùt bieåu vaø chöùng minh laïi ñònh lí naøy theo caùch maø chuùng toâi cho laø deã tieáp nhaän nhaát. Ñoäc giaû coù theå tham khaûo pheùp chöùng minh ñònh lí naøy trong caùc luaän vaên cuûa nhöõng hoïc vieân cao hoïc nhöõng naêm tröôùc ñaây thuoäc ngaønh Ñaïi soá vaø lí thuyeát soá cuûa Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Thaønh Phoá Hoà Chí Minh hoaëc trong quyeån “Noncommutative rings” cuûa I. N. Herstein. Ñeå ñi ñeán ñònh lí naøy chuùng toâi nhaéc laïi moät vaøi yù sau: + Giaû söû R laø vaønh nguyeân thuûy, M laø R – modun baát khaû qui trung thaønh. Ñaët Δ = C(M) thì theo boå ñeà Shur, Δ laø moät theå.Khi ñoù, chuùng ta coù theå xem M laø khoâng gian vectô phaûi treân Δ , trong ñoù, mα, m ∈ M , α ∈ Δ laø taùc ñoäng cuûa phaàn töû thuoäc E(M) leân m. + Hoï x1, x2, …, xn trong M ñöôïc goïi laø ñoäc laäp tuyeán tính treân Δ ⇔ ( ∑ xi α i = 0, i =1,n ⇒ αi = 0, ∀i = 1, n, αi ∈ Δ) + R ñöôïc goïi laø taùc ñoäng daøy ñaëc leân M ⇔ ∀n , ∀ hoï x1, x2, …, xn trong M ñoäc laäp tuyeán tính treân Δ vaø ∀ y1, y2, …, yn ∈ M, ∃r ∈ R sao cho xir = yi, ∀i = 1, n .
16 Ñònh lí daøy ñaëc: Cho R laø vaønh nguyeân thuûy, M laø R – modun phaûi baát khaû qui trung thaønh. Neáu Δ = C(M) thì R laø vaønh daøy ñaëc nhöõng pheùp bieán ñoåi tuyeán tính cuûa M treân Δ . Chöùng minh: * Tröôùc tieân ta chöùng minh boå ñeà sau baèng qui naïp theo n: “ Neáu V laø khoâng gian vectô con cuûa R –modun baát khaû qui M, dimV = n höõu haïn thì ∀m ∈ M , m ∉ V , ∃r ∈ R sao cho Vr = (0) nhöng r ≠ 0 ”. Thaät vaäy • dimV = n = 0: Khi ñoù V = (0). Vì vaäy, ∀m ∈ M , m ∉ V thì m ≠ 0 vaø ∃r ∈ R, r ≠ 0 sao cho mr ≠ 0 ( do MR ≠ 0 ) vaø Vr = (0) (do V = (0)). • Giaû söû boå ñeà luoân ñuùng khi dimV < n. • Ta chöùng minh boå ñeà ñuùng khi dimV = n. Thaät vaäy, giaû söû V = V0 + w Δ ( trong ñoù dimV0 = dimV – 1 vaø w∉ V0 ). Theo giaû thieát qui naïp, ∀y ∉ V0 , y ∈ M thì toàn taïi r ∈ R : V0r = 0 nhöng yr ≠ 0 hay ∀y ∉ V0 , y ∈ M , ∃r ∈ A(V0 ) ( A(V0 ) = annAV0 ) sao cho yr ≠ 0. Ñieàu naøy töông ñöông vôùi: mA(V0 ) = 0 ⇒ m ∈ V0 ( do giaû thieát qui naïp), vôùi A(V0) = { x ∈ R / V0 x = 0} . Suy ra, neáu w ∉ V0 ⇒ wA(V0 ) ≠ (0) . Khi ñoù: r modun A (V 0 ) < R,(0) ≠ wA (V 0 ) ⊂ M vaø M laø R – modun baát khaû qui ⇒ wA(V0 ) = M . Duøng phaûn chöùng , giaû söû raèng ∃m ∈ M , m ∉ V ñeå cho ∀r ∈ R maø Vr = 0 thì mr = 0. Ta chöùng minh ñieàu naøy laø khoâng theå: τ: M → M Vì wA(V0) = M ⇒ ∀x ∈ M , ∃a ∈ A(V0 ) : x = wa . Xeùt . wa = x ma (a ∈ A(V0 )) Khi ñoù τ ñöôïc ñònh nghóa toát, vì neáu x = 0 ⇒ wa = 0 ⇒ a linh hoùa w vaø a linh hoùa V0 ⇒ a linh hoùa V hay Va = 0 ⇒ ma = 0.
17 Maët khaùc, τ∈ E ( M ) vaø hôn nöõa, neáu x = wa vôùi a ∈ A(V0) thì ∀r ∈ R (vì ar ∈ A(V0 ) ) ⇒ xr = (wa)r = w(ar ) ⇒ ( xr )τ = w(ar )τ = m(ar ) = (ma)r = ( xτ)r = x (τr ) ⇒ τ∈ Δ . Vì vaäy, ∀a ∈ A(V0 ) ⇒ ma = (wa)τ = (wτ)a ⇒ (m − wτ)a = 0, ∀a ∈ A(V0 ) . Ñieàu naøy ñuùng ∀a ∈ A(V0 ) neân suy ra, m − wτ∈ V0 hay m ∈ V0 + wτ , maø V0 + wτ ⊂ V0 + wΔ ⇒ m ∈ V ( maâu thuaãn vôùi m ∉ V ). Boå ñeà ñaõ ñöôïc chöùng minh. * Aùp duïng boå ñeà ñeå chöùng minh ñònh lí: Ta chöùng minh raèng: Neáu {vi }i =1,n laø moät hoï ñoäc laäp tuyeán tính treân M vaø {wi }i=1,n laø moät hoï tuøy yù treân M thì ∃r ∈ R : vir = wi , ∀i = 1, n : Xeùt Vi laø khoâng gian vectô sinh bôûi hoï caùc vectô ñoäc laäp tuyeán tính {vi } j ≠i . j =1,n dim Vi = n − 1⎫ ⎪ Khi ñoù ta coù: vi ∈ M ⎬ ⇒ ∃r ∈ R, r ≠ 0 : Vir ≠ 0, vir ≠ 0 . Vì M laø R – modun baát vi ∉ Vi ⎪ ⎭ khaû qui vaø virR ≠ 0 neân suy ra virR = M ⇒ ∀wi ∈ M , ∃si ∈ R : virsi = wi . Ñaët ti = rsi, roõ raøng Viti = (Vir)si = 0. Goïi t = t1 + t2 + . . .+ tn. Khi ñoù, vit = vi(t1 + t2 +. . .+ tn) = viti hay wi = vit, ∀i = 1, n . Suy ra R daøy ñaëc treân M ª 1.2.3 Ñaïi soá nguyeân toá: ¾ Ñònh nghóa 1.2.3.1: • Moät ideal P cuûa ñaïi soá A ñöôïc goïi laø ideal nguyeân toá neáu BC ⊂ P thì hoaëc B ⊂ P hoaëc C ⊂ P ( Vôùi B, C laø caùc ideal cuûa A). • Ñaïi soá A ñöôïc goïi laø nguyeân toá ⇔ ideal (0) cuûa A laø ideal nguyeân toá. Nghóa laø: BC = (0) ⇒ B = (0) hoaëc C = (0) ( Vôùi B, C laø caùc ideal cuûa A).
18 ¾ Meänh ñeà 1.2.3.2: Neáu A laø ñaïi soá nguyeân thuûy thì A laø ñaïi soá nguyeân toá. Chöùng minh: Vì A nguyeân thuûy neân toàn taïi M laø ideal baát khaû qui trung thaønh cuûa A. Neáu laáy B, C laø caùc ideal khaùc 0 trong A thì (BC)M = B(CM) = BM = M. Khi ñoù BC ≠ 0 hay A laø ñaïi soá nguyeân toá ª ¾ Boå ñeà 1.2.3.3: Caùc meänh ñeà sau ñaây töông ñöông: i) A laø ñaïi soá nguyeân toá. ⎡b = 0 ii) bAc = 0 ⇒ ⎢ ' ∀b, c ∈ A ⎣c = 0 iii) Linh hoùa töû beân traùi cuûa moät ideal traùi baát kì khaùc khoâng thì baèng 0. iv) Linh hoùa töû beân phaûi cuûa moät ideal phaûi baát kì khaùc khoâng thì baèng 0. Chöùng minh: i) ⇒ ii): Neáu bAc = 0 ⇒ AbAcA = 0 ⇒ (AbA)(AcA) = 0 ⇒ AbA =0 hoaëc AcA = 0. Laáy B laø ideal chính sinh bôûi b. Suy ra B 3 ⊆ AbA , maø AbA =0 neân B = 0 ⇒ b = 0. Töông töï, neáu AcA thì c = 0. ii) ⇒ iii): Giaû söû 0 ≠ I l A sao cho aI = 0. Ta chöùng minh a = 0. Thaät vaäy, laáy b∈ I , b ≠ 0 ⇒ Ab ⊂ I ⇒ aAb = 0 ⇒ a = 0 ( do ii) ). iii) ⇒ i): Laáy B, C A sao cho BC = 0. Giaû söû C ≠ 0 ⇒ B = 0 ( do iii)). Suy ra A nguyeân toá. Baèng caùch töông töï ta chöùng minh ñöôïc ii) ⇒ iv) ⇒ i). Vì vaäy boå ñeà ñöôïc chöùng minh ª
19 ¾ Tích tröïc tieáp con: Tích tröïc tieáp cuûa hoï caùc K – ñaïi soá { Aα }α∈I laø taäp hôïp ∏A α∈I α maø treân ∏A α∈I α ta ñònh nghóa pheùp coäng vaø pheùp nhaân nhö sau: (f + g)( λ ) = f( λ ) + g( λ ), (f.g) ( λ ) = f( λ ).g( λ ). Khi ñoù ∏A α∈I α cuøng voùi 2 pheùp toaùn treân laäp thaønh moät vaønh laø moät K – ñaïi soá. Ñaët πα laø pheùp chieáu ∏A α∈I α → Aα . Ñaïi soá A ñöôïc goïi laø tích tröïc tieáp con cuûa hoï caùc ñaïi soá { Aα }α∈I neáu toàn taïi ñôn caáu μ : A → ∏ Aα : Aμπα = Aα , ∀α ∈ I . α∈I Töø ñònh nghóa ta suy ra tröïc tieáp keát quaû sau ñaây: ¾ Meänh ñeà 1.2.3.4: Neáu ñaïi soá A laø tích tröïc tieáp con cuûa hoï caùc ñaïi soá { Aα } vaø Bα = Kerπ α / A (vôùi πα laø pheùp chieáu ∏A → Aα ) thì Aα ≅ A vaø ∩ Bα = ∅ . Ngöôïc laïi, neáu A α∈I α Bα α ∈I laø moät ñaïi soá baát kì, {Bα }α∈I laø hoï caùc ideal trong A sao cho ∩ Bα = ∅ thì A ñaúng α ∈I caáu vôùi tích tröïc tieáp con cuûa hoï caùc ñaïi soá Aα = A . Bα 1.2.4 Ñaïi soá nöûa nguyeân toá: ¾ Ñònh nghóa 1.2.4.1: Cho ñaïi soá A: • Phaàn töû a ∈ A ñöôïc goïi laø luõy linh neáu ∃m ∈ * sao cho am = 0. • Moät ideal cuûa A ñöôïc goïi laø nil neáu moïi phaàn töû cuûa noù ñeàu luõy linh. * • Ideal ρ cuûa vaønh A ñöôïc goïi laø ideal luõy linh neáu ∃m ∈ : a1.a2…am = 0
20 vôùi ai∈ρ, i = 1, m . Nghóa laø ∃m ∈ * sao cho ρm = 0 . • A ñöôïc goïi laø luõy linh ñòa phöông neáu moïi taäp con höõu haïn cuûa noù ñeàu sinh ra moät ñaïi soá con luõy linh. • A ñöôïc goïi laø luõy linh neáu ∃m ∈ * sao cho Am = 0. • A ñöôïc goïi laø nöûa nguyeân toá neáu noù khoâng coù ideal luõy linh khaùc 0. • Ideal B cuûa A ñöôïc goïi laø nöûa nguyeân toá neáu thöông A/B laø nöûa nguyeân toá. Nhaän xeùt: + Moïi ñaïi soá nguyeân toá ñeàu laø ñaïi soá nöûa nguyeân toá. + Moïi ideal luõy linh ñeàu laø luõy linh ñòa phöông vaø moïi ideal luõy linh ñòa phöông ñeàu laø nil ideal. ¾ Ñònh nghóa 1.2.4.2: Toång caùc ideal luõy linh cuûa ñaïi soá A khoâng nhaát thieát laø moät ideal luõy linh. Goïi toång naøy laø N(0), ta ñònh nghóa moät daõy sieâu haïn caùc ideal nhö sau: Vôùi N(0) ñöôïc chæ ra nhö theá, neáu α laø moät baûn soá naøo ñoù maø khoâng laø baûn soá giôùi haïn, α = β + 1, ta ñònh nghóa N( α ) laø ideal cuûa A sao cho N( α )/N( β ) laø toång cuûa taát caû nhöõng ideal luõy linh cuûa A/N( β ). Neáu α laø baûn soá giôùi haïn, nghóa laø khoâng coù baûn soá ñöùng ngay tröôùc noù, ta ñaët N( α ) = ∪ β α < N( β ) . Khi ñoù ta coù N( α ) ⊂ N( α ' ) neáu α < α ' vaø toàn taïi baûn soá ñaàu tieân τ sao cho N( τ ) =N( τ + 1 ). Ta goïi N( τ ) naøy laø nil radical döôùi cuûa A, kí hieäu laø lnA. ¾ Meänh ñeà 1.2.4.3: • Toàn taïi duy nhaát moät nil ideal toái ñaïi cuûa ñaïi soá A chöùa moïi nil ideal cuûa A. Nil ideal ñoù ñöôïc goïi laø upper nil radical cuûa A, kí hieäu laø Un(A).