Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về chuẩn lôgarit của ma trận

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương: Chương 1- Chuẩn lôgarit của ma trận; Chương 2 - Chuẩn lôgarit của cặp ma trận. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về chuẩn lôgarit của ma trận

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ LAN ANH VỀ CHUẨN LÔGARIT CỦA MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, tháng 5/2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ LAN ANH VỀ CHUẨN LÔGARIT CỦA MA TRẬN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THANH SƠN Thái Nguyên, tháng 5/2018
3 Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu 1 1 Chuẩn lôgarit của ma trận 3 1.1 Chuẩn của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Chuẩn của véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Chuẩn của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Chuẩn lôgarit của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Khái niệm chuẩn lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Một số tính chất của chuẩn lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Cận cho nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính . . . . . 16 1.3.2 Sai số của phương pháp Euler ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.3 Sai số của phương pháp Newton-Raphson . . . . . . . . . . . 22 2 Chuẩn lôgarit của cặp ma trận 25 2.1 Chuẩn lôgarit cho cặp ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2 Định nghĩa chuẩn của cặp ma trận . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.3 Chuẩn lôgarit của cặp ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
i 2.2 Chuẩn lôgarit cho toán tử tuyến tính vô hạn chiều . . . . . . . . . . . 40 2.3 Sự tăng của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46
ii Bảng ký hiệu kxkp chuẩn p kxk∞ chuẩn vô cùng kAkP chuẩn ma trận A trên P kA, BkV chuẩn của cặp ma trận A, B trên V h·, ·i tích vô hướng k · km b chuẩn véc tơ trên Rm Q> ma trận chuyển vị của ma trận Q µ(A) chuẩn lôgarit của ma trận A µP (A) chuẩn lôgarit của P AP −1 Rn×n không gian các ma trận vuông cỡ n × n exp hàm lũy thừa cơ số e B(x∗ ; r) hình cầu mở tâm x∗ , bán kính r σ(A, B) tập phổ của cặp ma trận ρ(A, B) bán kính phổ của cặp ma trận diag ma trận đường chéo Ir ma trận đơn vị cỡ r × r D+ đạo hàm bên phải bD A ma trận nghịch đảo Drazin của Ab
1 Mở đầu Khi nghiên cứu định lượng những phương trình vi phân tuyến tính và phương trình vi phân đại số, người ta quan tâm đến tính bị chặn của nghiệm của chúng. Rõ ràng, đại lượng này liên quan đến một độ đo nào đó của ma trận hệ số. Thông thường, việc đó làm ta liên tưởng đến một chuẩn của ma trận. Song chuẩn của ma trận là đại lượng không âm nên không cho ta những ước lượng chặt cho tính bị chặn của nghiệm. Việc giới thiệu và sử dụng khái niệm chuẩn lôgarit của ma trận sẽ giúp ta khắc phục điều đó. Không những vậy, nó còn được sử dụng trong nhiều đánh giá tính và phân tích tính hội tụ của một số phương pháp số giải phương trình vi phân. Mặc dù có tầm quan trọng như vậy, nhưng chuẩn lôgarit không được giới thiệu trong chương trình đại học và cao học. Chính vì lẽ đó, chúng tôi đã chọn đề tài “Về chuẩn lôgarit của ma trận” để làm luận văn thạc sĩ. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1. Chuẩn lôgarit của ma trận Trước tiên, chúng tôi nhắc lại khái niệm chuẩn thông thường của ma trận. Sau đó, chúng tôi trình bày chi tiết định nghĩa và nhiều tính chất phong phú của nó. Cuối cùng, Chương I được kết thúc bằng một số ứng dụng của chuẩn lôgarit của ma trận. Chương 2. Chuẩn lôgarit của cặp ma trận Chương này, chúng tôi trình bày khái niệm chuẩn lôgarit cho cặp ma trận (A, B) và các tính chất của chuẩn lôgarit của cặp ma trận. Khái niệm này còn được mở rộng cho cặp toán tử tuyến tính vô hạn chiều. Cuối cùng, chúng tôi nghiên cứu sự tăng của
2 nghiệm của hệ vi phân đại số có hệ số thay đổi. Luận văn kết thúc với phần kết luận và tài liệu tham khảo. Mặc dù đã rất nghiêm túc và cố gắng thực hiện luận văn này, nhưng luận văn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định. Kính mong sự góp ý của các thầy cô để luận văn này được hoàn chỉnh và ý nghĩa hơn. Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thanh Sơn. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác và nghiên cứu của bản thân. Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K10A; Nhà trường và các phòng chức năng của Trường, Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, ủng hộ và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu và học tập. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Lan Anh
3 Chương 1 Chuẩn lôgarit của ma trận Chương này sẽ trình bày khái niệm, phát biểu và chứng minh các tính chất cùng một số ứng dụng của chuẩn lôgarit. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [2–4, 7, 8]. Đáng chú ý, chúng tôi tự chứng minh rất nhiều tính chất mà các tài liệu chỉ liệt kê. 1.1 Chuẩn của ma trận Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày khái niệm chuẩn của ma trận. Trước tiên, chúng tôi sẽ nhắc lại khái niệm chuẩn trong không gian tuyến tính. Đây là những kiến thức đã được học trong chương trình giải tích hàm. Song khi trình bày ở đây, chúng tôi chọn nhấn mạnh đến khía cạnh tính toán nên trình bày nó trong không gian hữu hạn chiều. Khái niệm chuẩn của ma trận sau đó được trình bày dựa trên hai cách: chuẩn của toán tử tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều hoặc chuẩn của véc tơ. Để đảm bảo tính ngắn gọn, chứng minh cho các phát biểu được lược đi. Người đọc có thể tìm hiểu trong tài liệu được chúng tôi tham khảo [3]. 1.1.1 Chuẩn của véc tơ Chuẩn được sử dụng để tính toán các sai số trong phép tính ma trận, bởi vậy chúng ta cần hiểu làm thế nào để tính toán và vận dụng chúng. Định nghĩa 1.1.1. Chuẩn trong không gian tuyến tính Rn là một hàm k ·k : Rn −→ R,
4 thỏa mãn tất cả những tính chất sau đây: 1) kxk ≥ 0, và kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0; 2) kαxk = |α|kxk với bất kỳ vô hướng α; 3) kx + yk ≤ kxk + kyk. 1/p Ví dụ 1.1.2. Các chuẩn phổ biến là kxkp = p với 1 ≤ p < ∞ mà ta hay gọi P i |xi | là các chuẩn p, chuẩn kxk∞ = maxi |xi |, mà ta gọi là chuẩn ∞ hay chuẩn vô cực. Ta có thể chứng minh dễ dàng rằng, nếu kxk là chuẩn bất kỳ và C là ma trận không suy biến bất kỳ, thì kCxk cũng là một chuẩn. Bây giờ ta định nghĩa các tích vô hướng, khái quát hóa của tích vô hướng tiêu chuẩn i xi yi và phát sinh thường xuyên trong đại số tuyến tính. P Định nghĩa 1.1.3. Cho Rn là không gian tuyến tính thực. Hàm số h·, ·i : Rn ×Rn −→ R được gọi là một tích vô hướng nếu các tính chất sau được thỏa mãn: 1) hx, yi = hy, xi; 2) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi; 3) hαx, yi = αhx, yi với bất kỳ vô hướng α thực; 4) hx, xi ≥ 0, và hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0. Ví dụ 1.1.4. Trên R, hx, yi = y > x = là tích vô hướng. P i xi y i Định nghĩa 1.1.5. x và y là trực giao nếu hx, yi = 0. Một tính chất quan trọng của một tích vô hướng là nó thỏa mãn bất đẳng thức Cauchy-Schwartz. Điều này dẫn đến việc ta có thể chứng minh hx, xi là một chuẩn. p
5 Bổ đề 1.1.6. Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz. |hx, yi| ≤ p hx, xihy, yi. Bổ đề 1.1.7. p hx, xi là một chuẩn. Có một tương ứng 1 − 1 giữa các tích vô hướng và những ma trận đối xứng xác định dương được định nghĩa dưới đây. Những ma trận này xuất hiện thường xuyên trong ứng dụng. Định nghĩa 1.1.8. Một ma trận thực đối xứng A là xác định dương nếu x> Ax > 0 với mọi x 6= 0. Ta viết tắt đối xứng xác định dương là s.p.d. Bổ đề 1.1.9. Cho B = Rn và h·, ·i là một tích vô hướng. Thì có một ma trận A s.p.d cỡ n × n mà hx, yi = y > Ax. Ngược lại, nếu A là s.p.d thì y > Ax là một tích vô hướng. Hai bổ đề dưới đây cho phép so sánh các chuẩn khác nhau trên cùng một không gian hữu hạn chiều. Bổ đề 1.1.10. Cho k · kα và k · kβ là hai chuẩn trên Rn . Có các hằng số C1 , C2 > 0 mà, với mọi x, C1 kxkα ≤ kxkβ ≤ C2 kxkα . Ta cũng có thể nói rằng các chuẩn k · kα và k · kβ là tương đương với các hằng số C1 , C2 . Bổ đề 1.1.11. √ kxk2 ≤ kxk1 ≤ nkxk2 , √ kxk∞ ≤ kxk2 ≤ nkxk∞ , kxk∞ ≤ kxk1 ≤ nkxk∞ . 1.1.2 Chuẩn của ma trận Định nghĩa 1.1.12. k.k là một chuẩn ma trận trên ma trận cỡ m × n nếu nó là một ma trận vectơ trên không gian m.n chiều: 1) kAk ≥ 0, và kAk = 0 khi và chỉ khi A = 0;
6 2) kαAk = |α|kAk ; 3) kA + Bk ≤ kAk + kBk. 1/2 Ví dụ 1.1.13. maxij |aij | được gọi là chuẩn max và |aij |2 = kAkF được gọi là P chuẩn Frobenius. Định nghĩa dưới đây hữu ích cho việc chặn chuẩn của tích các ma trận. Định nghĩa 1.1.14. Cho k · km×n là một chuẩn ma trận trên ma trận m × n, k · kn×p là một chuẩn ma trận trên ma trận n × p. Các chuẩn này được gọi là tương thích nếu kABkm×p ≤ kAkm×n kBkn×p , ở đây A là ma trận m × n và B là ma trận n × p. Định nghĩa 1.1.15. Cho A là ma trận m × n, k · km b là một chuẩn vectơ trên R và m k · knb là một chuẩn vectơ trên Rn . Thì kAxkm kAkm bnb = max b x6=0 x∈Rn kxknb được gọi là chuẩn toán tử hay chuẩn cảm sinh. Bổ đề tiếp theo cung cấp một nguồn lớn các chuẩn ma trận, ta sẽ sử dụng chúng cho giới hạn sai số. Bổ đề 1.1.16. Một chuẩn toán tử là một chuẩn ma trận. Định nghĩa 1.1.17. Một ma trận thực Q vuông là trực giao nếu Q−1 = Q> . Bổ đề tiếp theo tóm tắt những tính chất chủ yếu của các chuẩn và các ma trận chúng ta đã giới thiệu. Bổ đề 1.1.18. 1. kAxk ≤ kAkkxk với một chuẩn vectơ và chuẩn toán tử của nó, hoặc 2− chuẩn vectơ và chuẩn ma trận Frobenius;
7 2. kABk ≤ kAkkBk với bất kỳ chuẩn toán tử hoặc chuẩn ma trận Frobenius. Nói cách khác chuẩn toán tử bất kỳ (hay chuẩn Frobenius) cùng đồng nhất với chính nó; 3. Chuẩn max và chuẩn Frobenius không là các chuẩn toán tử; 4. kQAZk = kAk nếu A và Z là trực giao hay đơn vị với chuẩn Frobenius và với chuẩn toán tử sinh bởi k · k2 . Đây chính là Định lý Pythagore; kAxk∞ P 5. kAk∞ ≡ maxx6=0 = maxi j |aij | = giá trị lớn nhất của tổng giá trị tuyệt kxk∞ đối các phần tử theo hàng; kAxk1 = kA> k∞ = maxj i |aij | = giá trị lớn nhất của tổng P 6. kAk1 ≡ maxx6=0 kxk1 giá trị tuyệt đối các phần tử theo cột; kAxk2 q 7. kAk2 ≡ maxx6=0 = λmax A> A , ở đây λmax biểu thị giá trị riêng lớn kxk2 nhất; 8. kAk2 = kA> k2 ; 9. kAk2 = maxi |λi (A)| nếu A là chuẩn tắc, tức là, AA> = A> A; 10. Nếu A là n × n, thì n−1/2 kAk2 ≤ kAk1 ≤ n1/2 kAk2 ; 11. Nếu A là n × n, thì n−1 kAk2 ≤ kAk∞ ≤ n1/2 kAk2 ; 12. Nếu A là n × n, thì n−1 kAk∞ ≤ kAk1 ≤ nkAk∞ ; 13. Nếu A là n × n, thì kAk1 ≤ kAkF ≤ n1/2 kAk2 .
8 1.2 Chuẩn lôgarit của ma trận 1.2.1 Khái niệm chuẩn lôgarit Mệnh đề 1.2.1. Giả sử k.k là một chuẩn ma trận bất kì, E, A là các ma trận cùng cỡ và kEk = 1. Khi đó giới hạn kE + hAk − 1 µ(A) = lim h→0+ h tồn tại hữu hạn. Chứng minh. Với h ∈ R, ta định nghĩa hàm số ϕ(h) := kE + hAk. Do chuẩn là một hàm liên tục nên dễ thấy ϕ là hàm liên tục theo h. Với mọi số thực h1 , h2 , ta có h1 + h2 1 1 ϕ = (E + h1 A) + (E + h2 A) 2 2 2 1 1 ≤ kE + h1 Ak + kE + h2 Ak 2 2 1 1 = ϕ(h1 ) + ϕ(h2 ). 2 2 Do đó, ϕ là một hàm lồi trên R. Từ tính chất của hàm lồi [1], ϕ luôn có đạo hàm phải hữu hạn tại mọi điểm. Nói riêng ϕ(h) − ϕ(0) ϕ0 (0+ ) = lim h→0+ h kE + hAk − kEk = lim+ h→0 h kE + hAk − 1 = lim+ = µ(A) h→0 h là tồn tại hữu hạn. Từ phát biểu trên, xét trường hợp riêng khi E là ma trận đơn vị, ta có định nghĩa chuẩn lôgarit.
9 Định nghĩa 1.2.2. Cho A là ma trận vuông thực cỡ n × n, k.k là một chuẩn ma trận trên không gian các ma trận vuông Rn×n . Khi đó, chuẩn lôgarit của ma trận A được ký hiệu là µ(A) và được định nghĩa là giới hạn kI + hAk − 1 µ(A) = lim . h→0+ h Nhận xét 1.2.3. Chuẩn lôgarit của ma trận không thỏa mãn các tiên đề của chuẩn, chẳng hạn, nó có thể là một số âm, hay µ(A) = 0 không dẫn đến A = 0. Tuy nhiên, tính chất có thể là số âm lại chính là một điểm lợi so với những chuẩn khác khi sử dụng chuẩn này để đánh giá tính bị chặn của nghiệm của phương trình vi phân. Ngoài ra, nó cũng có những tính chất phong phú khác mà ta sẽ cùng tìm hiểu trong mục tiếp theo. 1.2.2 Một số tính chất của chuẩn lôgarit Mệnh đề 1.2.4. Chuẩn lôgarit có các tính chất sau đây (i) µ(I) = 1, µ(−I) = −1, µ(0) = 0; (ii) µ(A + cI) = µ(A) + c, c ∈ R; (iii) µ(A + B) ≤ µ(A) + µ(B);   1 nếu α ≥ 0   (iv) µ(αA) = |α|µ(sgn(α)A), ∀ α ∈ R, trong đó sgn(α) = ;  −1  nếu α < 0 nói riêng, µ(αA) = αµ(A), ∀ α ≥ 0; (v) −kAk ≤ −µ(−A) ≤ µ(A) ≤ k(A)k; (vi) |µ(B) − µ(A)| ≤ max{|µ(B − A)|, |µ(A − B)|} ≤ kB − Ak;
10 (vii) Một giá trị riêng bất kì λ của A luôn thỏa mãn −µ(−A) ≤ Reλ(A) ≤ µ(A); (viii) Với mọi x ∈ Rn , kAxk ≥ max{−µ(−A), −µ(A)}kxk; (ix) Giả sử A là ma trận không suy biến. Khi đó 1 ≥ max{−µ(−A), −µ(A)}. kA−1 k Chứng minh. (i) Thật vậy, ta có kI + hIk − 1 (h + 1)kIk − 1 = = 1, h h kI + h(−I)k − 1 (1 − h)kIk − 1 −h = = = −1. h h h Ta có kI + h0k − 1 µ(0) = lim h→0+ h kIk − 1 = lim = 0. h→0+ h (ii) Thật vậy, ta nhận thấy h kI + h(A + cI)k − 1 kI + Ak − 1 = 1 + hc + c. h h 1 + hc Cho h → 0+ , khẳng định được chứng minh. (iii) Ta luôn có 1 1 kI + h(A + B)k − 1 = (I + 2hA) + (I + 2hB) − 1 2 2 1 1 ≤ (kI + 2hAk − 1) + (kI + 2hBk − 1). 2 2 Chia cả hai vế cho h > 0 rồi cho h → 0+ , ta suy ra (iii).
11 (iv) Với α > 0, Từ kI + h(αA)k − 1 kI + (hα)Ak − 1 = α, h hα với α > 1, cho h → ∞, ta suy ra µ(αA) = αµ(A). Trong trường hợp α = 0, µ(αA) = αµ(A) vì cùng bằng 0. Với α < 0, ta có kI + hαAk − 1 kI + h(−α)(−A)k − 1 = (−α). h h(−α) Cho h → 0+ , ta được µ(αA) = µ(−A)(−α). Kết hợp với chứng minh ở trên, ta suy ra µ(αA) = |α|µ(sgn(α)A). (v) Do µ(−A) ≤ kAk nên −µ(−A) ≥ −kAk. Để chứng minh −µ(−A) < µ(A), ta xét quan hệ 0 = kI + h(A − A)k − 1 1 = (k(I + 2hA) + I + 2h(−A)k − 2) 2 1 ≤ [(kI + 2hAk − 1) + (kI + 2h(−A)k − 1)] . 2 Chia cho h > 0 ta được kI + 2hAk − 1 kI + 2h(−A)k − 1 0≤ + . 2h 2h Cho h −→ 0+ , ta được 0 ≤ µ(A) + µ(−A) hay −µ(−A) ≤ µ(A). Ta chứng minh µ(A) ≤ kAk. Thật vậy, với h > 0, ta có
kI + hAk − 1
|kI + hAk − kIk| kI + hA − Ik khAk