Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:80

Thêm vào BST

Báo xấu

48
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong lịch sử phát triển của Số học, phương trình Pell được biết đến là một phương trình nổi tiếng trong dạng toán về phương trình nghiệm nguyên. Phương trình Pell được phát minh cách đây 1000 năm ở Ấn Độ cổ đại bởi Brahmaguta. Luận văn sẽ nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC .................................................. Nguyễn Thị Tuyết Mai XẤP XỈ DIOPHANTINE VÀ PHÂN SỐ LIÊN TỤC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PELL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC .................................................. Nguyễn Thị Tuyết Mai XẤP XỈ DIOPHANTINE VÀ PHÂN SỐ LIÊN TỤC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PELL Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN ĐÌNH BÌNH Thái Nguyên - 2017
i Mục lục LỜI CẢM ƠN iii MỞ ĐẦU i 1 PHƯƠNG TRÌNH PELL 1 1.1. Một số khái niệm và kết quả về phương trình Pell . . . . . . . 1 1.1.1. Phương trình Pell Loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Phương trình Pell Loại II . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3. Phương trình Pell với tham số n . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Phân số liên tục - Phân số liên tục tổng quát - Phân số liên tục đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Một trường hợp của phương trình Pell . . . . . . . . . 7 1.2.2. Phân số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3. Bài toán ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 XẤP XỈ DIOPHANTINE, MỞ RỘNG PHƯƠNG TRÌNH PELL VÀ ỨNG DỤNG 35 2.1. Chu kì của phân số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.1. Bổ đề chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.2. Chu kì phân số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2. Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục đơn giản . . . . . . . 46 √ 2.2.1. Phân số liên tục đơn giản của D . . . . . . . . . . . 46
ii 2.2.2. Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục đơn giản . . . . 50 2.3. Về một tiêu chuẩn cho sự tồn tại nghiệm của phương trình Pell 54 2.4. Một số mở rộng của xấp xỉ Diophantine . . . . . . . . . . . . 55 2.4.1. Tiêu chí vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4.2. Bất đẳng thức Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4.3. Bất đẳng thức Liouville bậc hai . . . . . . . . . . . . . 60 2.5. Một ứng dụng giải phương trình Pell âm . . . . . . . . . . . . 62 Tài liệu tham khảo 72
iii LỜI CẢM ƠN Được sự phân công của khoa Toán- Tin, trường Đại học Khoa Học Thái Nguyên và sự đồng ý của thầy giáo hướng dẫn TS. Nguyễn Đình Bình, tôi đã thực hiện đề tài "Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell". Để hoàn thành luận này, tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, khoa Toán - Tin và phòng đào tạo của trường Đại học Khoa Học Thái Nguyên. Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo đã tận tình hướng dẫn, giảng dạy trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và rèn luyện ở trường Đại học Khoa Học Thái Nguyên. Xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn TS. Nguyễn Đình Bình đã tận tình, chu đáo hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Dù rất bận rộn trong công việc, song thầy vẫn dành nhiều thời gian và tâm huyết hướng dẫn, động viên, khuyến khích tôi trong quá trình nghiên cứu đề tài. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn đến gia đình, bạn bè, những người không ngừng động viên, hỗ trợ tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu luận văn. Tôi xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày ... tháng ... năm ... Tác giả Nguyễn Thị Tuyết Mai
i MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong lịch sử phát triển của Số học, phương trình Pell được biết đến là một phương trình nổi tiếng trong dạng toán về phương trình nghiệm nguyên. Phương trình Pell được phát minh cách đây 1000 năm ở Ấn Độ cổ đại bởi Brahmaguta. Trong nhiều năm sau đó, các nhà toán học bắt đầu nghiên cứu tìm lời giải cho phương trình này. Đến năm 1770, Lagrange đã phát triển lí thuyết tổng quát về phương trình dựa trên phân số liên tục. Bên cạnh đó, các nhà toán học lớn như Legendre(1798), É. Borel(1903) cũng quan tâm nghiên cứu và có nhiều đóng góp cho việc hoàn thiện và phát triển phương trình Pell. Ngày nay rất nhiều tài liệu nghiên cứu sâu về phương trình Pell ra đời như: Computational aspects of number theory( H. Cohen, 2001), The higher arithmetic (H. Davenport, 2008), Solving the Pell equation (M.J.Jacobson, Jr and H.C.Williams, 2009) tham khảo trong tài liệu [4]. Tuy có rất nhiều công trình nghiên cứu về phương trình Pell cũng như phương trình nghiệm nguyên, song đó vẫn còn là một ẩn số thách thức các nhà toán học cũng như các bạn trẻ yêu thích môn toán. Có thể nói, phương trình Pell khá phong phú và đa dạng về lịch sử ra đời, định nghĩa, trong phương pháp giải và cả ứng dụng của nó trong Số học. Bản thân nó đóng góp nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán về Số học hay và khó. Nhiều bài toán về phương trình Pell qua các kì thi Olimpic toán quốc
ii tế, khu vực và trong nước ngày càng mới lạ thu hút sự quan tâm cũng như thách thức trí tuệ, sáng tạo của mỗi bạn trẻ. Và để giải nó không những cần nắm được lí thuyết mà còn cần các kĩ năng. Tuy nhiên hiện nay các bạn học sinh, đặc biệt là các bạn học sinh lớp chuyên, lớp chọn còn biết rất ít về dạng phương trình Pell. Đặc biệt, chúng ta có rất ít sách về phương trình Pell và ứng dụng của nó, chủ yếu là tham khảo các tài liệu, bài báo nước ngoài. Do vậy, dưới sự góp ý của thầy hướng dẫn TS. Nguyễn Đình Bình, tác giả chọn đề tài “Xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell”. Do phương trình Pell không còn là đề tài mới nên trong luận văn tác giả sẽ trình bày ngắn gọn các kết quả và ví dụ về phương trình Pell cơ bản, xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell. Đồng thời luận văn cũng phân tích mở rộng phương trình và ứng dụng của nó. Do thời gian có hạn và trình độ còn hạn chế nên luận văn chỉ dừng lại ở việc trình bày kết quả nghiên cứu về xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell, giới thiệu ứng dụng giải phương trình Pell âm. 2. Mục tiêu nghiên cứu của luận văn Mục tiêu của luận văn là nghiên cứu về phương trình Pell cơ bản, nghiên cứu xấp xỉ Diophantine, phân số liên tục trong giải phương trình Pell. Đồng thời luận văn cũng phân tích mở rộng của phương trình Pell và ứng ụng của nó. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu của luận văn là phương trình Pell. - Phạm vi nghiên cứu của luận văn là giới thiệu xấp xỉ Diophantine và phân số liên tục trong giải phương trình Pell, ứng dụng giải phương trình Pell âm.
iii 4. Phương pháp nghiên cứu - Đọc sách liên quan đến đề tài và tìm kiếm tài liệu. - Đọc, hiểu và dịch tài liệu từ tiếng Anh sang tiếng Việt. - Sử dụng phương pháp tổng quát để hệ thống và trình bày các kết quả chính trong các tài liệu tham khảo. 5. Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn chia thành 2 chương: - Chương 1 trình bày một số khái niệm và kết quả của phương trình Pell cơ bản, hệ thống lí thuyết về phân số liên tục. - Chương 2 trình bày về xấp xỉ Diophantine, phân số liên tục đơn giản trong giải phương trình Pell và ứng dụng trong giải phương trình Pell. Chương 2 là chương trọng tâm của luận văn.
1 Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH PELL Trong chương này tác giả sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả về phương trình Pell cơ bản, phân số liên tục. Đồng thời tác giả trình bày một số bài tập ứng dụng là các bài toán trong các kì thi học sinh giỏi các năm được chọn lọc. Nội dung chính được tham khảo từ các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4]. 1.1. Một số khái niệm và kết quả về phương trình Pell Trong mục này, tác giả sẽ đưa ra hệ thống các định nghĩa và định lí về công thức nghiệm của phương trình Pell cơ bản, cùng một số ví dụ có kèm lời giải cho từng loại phương trình Pell. Nội dung chính được tham khảo trong tài liệu [1], [3]. 1.1.1. Phương trình Pell Loại I Phương trình Pell loại I là phương trình có dạng: x2 − Dy 2 = 1, ( trong đó D là số nguyên dương). (1.1) Định lí 1.1. 1. Nếu D là số chính phương, D = m2 , m ∈ Z thì (1.1) không có nghiệm
2 nguyên dương. 2. Nếu D là số nguyên âm thì (1.1) không có nghiệm nguyên dương. 3. Phương trình (1.1) có nghiệm nguyên dương khi và chỉ khi D là số nguyên dương và không chính phương. Định lí 1.2. Giả sử (a, b) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình x2 −Dy 2 = 1 nghĩa là b là số nguyên bé nhất để 1 + Db2 là số chính phương. Xét dãy xn và yn cho bởi hệ thức truy hồi sau:  n+2 = 2axn+1 − xn , n = 0, 1, ... x = 1, x = a, x 0 1 (1.2) y = 0, y = b, y 0 1 = 2ay n+2 − y , n = 0, 1, ... n+1 n Khi đó (xn , yn ) là tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình Pell x2 − Dy 2 = 1. Định lí 1.3. Cho phương trình Pell x2 − Dy 2 = 1. Gọi r là chu kì biểu √ pk √ diễn phân số liên tục D, là phân số đơn giản thứ k của D. qk Nếu r chẵn thì tất cả các nghiệm của phương trình Pell là: x = pkr−1 , y = qkr−1 . Nếu r lẻ thì tất cả các nghiệm của phương trình Pell là: x = p2tr−1 , y = q2tr−1 , t ∈ N∗ . Lưu ý. Nếu r là số chẵn thì (pr−1 , qr−1 ) là nghiệm nhỏ nhất. Nếu r là số lẻ thì (p2r−1 , q2r−1 ) là nghiệm nhỏ nhất. Ví dụ 1.1. Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 − 7y 2 = 1. √ Lời giải. Ta có 7 = [2, 1, 1, 1, 4]. Chu kì r = 4 là số chẵn. Vậy ta có nghiệm nhỏ nhất là (8;3).
3 Vậy tất cả nghiệm nguyên dương của phương trình xác định theo công thức:  n+2 = 16xn+1 − xn , n = 0, 1, ... x = 1, x = 8, x 0 1 y = 0, y = 3, y 0 1 = 16y n+2 − y , n = 0, 1, ... n+1 n 1.1.2. Phương trình Pell Loại II Phương trình Pell loại II có dạng: x2 − Dy 2 = −1, (1.3) với D là số nguyên dương . Cũng giống như khi xét phương trình Pell loại I, ở đây ta chỉ quan tâm nghiệm nguyên dương của phương trình loại II. Định lí 1.4. Phương trình Pell loại II không có nghiệm nguyên dương khi D = m2 , m ∈ Z (khi D là số chính phương). Định lí 1.5. Phương trình Pell loại II không có nghiệm nguyên dương khi D có ước nguyên tố p = 4k + 3. Định lí 1.6. Nếu D là số nguyên tố thì phương trình Pell loại II có nghiệm nguyên dương khi và chỉ khi D không có dạng 4k + 3. Định lí 1.7. (Điều kiện để phương trình Pell loại II có nghiệm) Gọi (a, b) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell loại I liên kết với phương trình Pell loại II. Khi đó phương trình Pell loại II có nghiệm khi và chỉ khi hệ (I) sau:  a = x2 + Dy 2 (1.4) b = 2xy có nghiệm nguyên dương. Định lí 1.8. Công thức nghiệm của phương trình Pell loại II. Xét phương trình Pell loại II (1.3). Cùng với đó xét phương trình Pell loại I (1.1) liên kết với nó. Giả sử (a, b) là nghiệm nguyên bé nhất của (1.1). Xét hệ phương trình (I). Khi đó lấy hai phương trình trong hệ (I) trừ vế với vế
4 có nghiệm và (u, v) là nghiệm duy nhất của nó. Xét hai dãy số nguyên dương {xn }, {yn } sau đây:  x = u, x = u3 + 3Duv 2 , x 0 1 n+2 = 2axn+1 − xn , n = 0, 1, ... y = v, y = Dv 3 + 3u2 v, y = 2ay − y , n = 0, 1, ... 0 1 n+2 n+1 n Khi đó (xn , yn ) là ngiệm nguyên dương của phương trình Pell loại II. Định lí 1.9. Phương trình x2 − Dy 2 = −1 có nghiệm khi và chỉ khi chu √ kì r của biểu diễn phân số liên tục của D là số lẻ. Trong trường hợp ấy các nghiệm của nó là x = p(2tr−r−1) , y = q(2tr−r−1) với t = 1, 2, 3.... Ví dụ 1.2. Xét phương trình x2 − 34y 2 = −1. Lời giải. √ Ta có: 34 = [5; 1, 4, 1, 10]. Chu kỳ r = 4 là số chẵn. Vậy phương trình vô nghiệm. Ví dụ 1.3. Giải phương trình: x2 − 2y 2 = −1. Lời giải. Phương trình Pell loại (II) liên kết x2 − 2y 2 = 1. √ Ta có: 2 = [1; 2]. Có chu kỳ r = 1. Có nghiệm nhỏ nhất (3; 2). Xét hệ phương trình:  u2 + 2v 2 = 3 2uv = 2 Dễ dàng thấy (u, v) = (1; 1) là nghiệm dương bé nhất của nó. Theo công thức nghiệm ở định lí 1.8, thì phương trình Pell loại II x2 − 2y 2 = −1 có nghiệm là:  n+2 = 6xn+1 − xn ... x = 1; x = 7; x 0 1 y = 1; y = 5; y 0 1 n+2= 6y − y ... n+1 n 1.1.3. Phương trình Pell với tham số n Xét phương trình x2 − Dy 2 = n, ở đây D là số nguyên dương và không chính phương, còn n là số nguyên. Phương trình này gọi là phương trình Pell
5 với tham số n. Nếu n = 1 hoặc n = −1 thì ta có phương trình Pell loại I và loại II. Định lý 1.10. Xét phương trình Pell với tham số n: x2 − Dy 2 = n. (1.5) Phương trình (1.5) hoặc vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm. Vậy để tìm ra công thức tổng quát tất cả các nghiệm của phương trình Pell có tham số n ta có các định lí sau: Định lý 1.11. Xét phương trình Pell với tham số n (1.5). Gọi (x0 , y0 ) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của (1.5). Ta có: −na2 2 y0 ≤ max{nb ; }, D ở đây (a, b) là nghiệm bé nhất của phương trình Pell loại I (1.1) ứng với (1.5). Định lý 1.12. Xét phương trình Pell với tham số n (1.5). Giả sử (1.5) có nghiệm và (α1 , β1 ), (α2 , β2 ), ..., (αm , βm ) là tất cả các nghiệm của (1.5) thỏa mãn bất đẳng thức −na2 βi2 ≤ max{nb , 2 }. D Xét m dãy sau đây. Dãy thứ i : {xn,i , yn,i }, với i = 1, m được xác định như sau:   x = αi , y0,i = βi ,  0,i   xn+1,i = xn,i a + Dyn,i b,    y , i = x b + y a, n+1 n,i n.i ở đây (a, b) là nghiệm bé nhất của phương trình Pell loại I (1.1) ứng với (1.5). Khi đó các dãy nghiệm {xn,i ; yn,i } sẽ là tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình Pell với tham số n. Ví dụ 1.4. Giải phương trình Pell x2 − 5y 2 = −4. Lời giải.
6 Xét phương trình Pell với tham số n = −4 sau đây x2 − 5y 2 = −4. (i) Phương trình Pell loại I liên kết với nó có dạng: x2 − 5y 2 = 1. (ii) Phương trình (ii) có nghiệm nguyên dương nhỏ nhất là (a, b) = (9, 4). Khi đó: −na2 2 2 4.9 2 4.81 max{nb ; } = max{−4.4 ; }= . d 5 5 4.81 Số nguyên dương β lớn nhất thỏa mãn β 2 ≤ là β = 8. Xét phương trình 5 (i): Nếu y = 1 ⇒ x = 1; y = 2 ⇒ x = 4; y = 3; 4; 7; 8 thì (i) không dẫn đến x nguyên; y = 5 ⇒ x = 11. Như thế bằng cách thử trực tiếp nói trên, ta thấy có 3 nghiệm (1, 1); (4, 2); (11, 5) của phương trình (i) thỏa mãn điều kiện: −na2 β 2 ≤ max{nb2 ; } D Theo định lý 1.12, phương trình Pell ứng với n = −4 có 3 dãy nghiệm:   x = 1; y0,1 = 1; xn+1,1 = 9xn,1 + 20yn,1 ; yn+1,1 = 4xn,1 + 9yn,1  0,1   x0,2 = 4; y0,2 = 2; xn+1,2 = 9xn,2 + 20yn,2 ; yn+1,2 = 4xn,2 + 9yn,2    x = 11; y = 5; x 0,3 0,3 n+1,3 = 9x + 20y ; y n,3 n,3 = 4x + 9y n+1,3 n,3 n,3 Ba dãy này vét hết tất cả các nghiệm của phương trình (i). Kết luận: Tác giả đã trình bày một cách hệ thống khái niệm và một số kết quả của phương trình Pell cơ bản. Mỗi dạng của phương trình Pell, tác giả đã giới thiệu một vài ví dụ để làm sáng tỏ công thức nghiệm, từ đó ta có thể mở rộng các bài toán khó từ bài toán tìm nghiệm thông thường.
7 1.2. Phân số liên tục - Phân số liên tục tổng quát - Phân số liên tục đơn giản Trong mục này tác giả sẽ trình bày hệ thống về lí thuyết phân số liên tục, cụ thể hơn là phân số liên tục tổng quát, phân số liên tục đơn giản liên quan đến phương trình Pell. Nội dung chính được tham khảo trong tài liệu [4]. 1.2.1. Một trường hợp của phương trình Pell √ Cho D là một số nguyên dương không chính phương. D là số vô tỉ. Phương trình Diophantine có dạng: x2 − Dy 2 = ±1, (1.6) trong đó ẩn x, y ∈ Z được gọi là phương trình Pell. 1.2.1.1. Ví dụ về phân số liên tục đơn giản Ví dụ 1.5. Cho D = a2 b2 + 2b, ở đó a, b là các số nguyên dương. Một nghiệm của x2 − (a2 b2 + 2b)y 2 = 1, là cặp (x, y) = (a2 b + 1, a). √ Ta thấy dạng khai triển phân số liên tục đơn giản của D là p a2 b2 + 2b = [ab, a, 2ab]. Từ đó p 1 t= a2 b2 + 2b ⇔ t = ab + . 1 a+ t + ab Có thể xét ví dụ tương tự D = a + 2 (đặt b = 1) và D = b2 + 2b (đặt a = 1). 2 Cho a = 1 và b = c − 1, ta cũng được ví dụ D = c2 − 1.
8 Ví dụ 1.6. Đặt D = a2 b2 + b, ở đó a, b là các số nguyên dương. Một nghiệm của x2 − (a2 b2 + b)y 2 = 1, là cặp (x, y) = (a2 b + 1, 2a). √ Dạng khai triển phân số liên tục của D là p a2 b2 + b = [ab, 2a, 2ab]. √ 1 Từ đó t = a2 b2 + b ⇔ t = ab + . 1 2a + t + ab 2 Xét ví dụ tương tự D = b + b (đặt a = 1). Trường hợp b = 1, D = a2 + 1 là trường hợp đặc biệt. Một nghiệm nguyên của phương trình x2 − (a2 + 1)y 2 = −1, √ là (x, y) = (a, 1). Dạng khai triển phân số liên tục của D là p a2 + 1 = [a, 2a]. √ 1 Vậy t = a2 + 1 ⇔ t = a + . t+a Ví dụ 1.7. Cho a, b là hai số nguyên dương sao cho b2 + 1 chia 2ab + 1. Ví dụ b = 2 và a ≡ 1 (mod 5). Viết 2ab + 1 = k(b2 + 1) và đặt D = a2 + k. √ √ Dạng khai triển phân số liên tục của D là [a, b, b, 2a]. Suy ra t = D thỏa mãn 1 t=a+ = [a, b, b, a + t]. 1 b+ 1 b+ a+t Một nghiệm của phương trình x2 − Dy 2 = −1 là x = ab2 + a + b, y = b2 + 1. Trong trường hợp a = 1 và b = 2 (vì vậy k = 1), phân số liên tục có duy nhất chiều dài chu kì 1 : √ 5 = [1, 2].
9 Ba ví dụ trên đây là những trường hợp đặc biệt bởi O.Per-ron và liên quan đến các trường bậc hai thực dạng Richard - Degert. 1.2.1.2. Sự tồn tại của nghiệm nguyên Cho D là số nguyên dương không chính phương. Ta cần chứng minh rằng phương trình Pell (1.6) có một nghiệm không nhỏ (x, y) ∈ Z × Z, đó là một nghiệm 6= (±1, 0). Mệnh đề 1.1. Cho D là số nguyên dương không chính phương, tồn tại (x, y) ∈ Z2 với x > 0 và y > 0 sao cho x2 − Dy 2 = 1. Chứng minh. Bước đầu tiên của chứng minh là chỉ ra rằng tồn tại một số nguyên khác không k sao cho phương trình Pell x2 − Dy 2 = k có vô số nghiệm (x, y) ∈ Z × Z, liên hệ các nghiệm nguyên của phương trình Pell với xấp xỉ hữu tỷ x/y của √ D. √ Ta thấy D là số vô tỷ, ta suy ra có vô số (x, y) ∈ Z × Z với y > 0 (và do đó x > 0) thỏa mãn:
√ x
1