LUẬN VAN THẠC SĨ ỨNG DỤNG QUÁ TRÌNH BÁN MARKOV VÀO MÔ HÌNH RỦI RO TRONG BẢO HIỂM

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Ngô Ngọc Minh

ỨNG DỤNG QUÁ TRÌNH BÁN MARKOV VÀO MÔ HÌNH RỦI RO TRONG BẢO HIỂM

Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TÔ ANH DŨNG

TP. Hồ Chí Minh - 2009

Lời cảm ơn

Đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học, Khoa Toán - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, Bộ môn Xác suất - Thống kê cùng tất cả Quý Thầy Cô đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này.

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình: TS. Tô Anh Dũng, Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP. HCM. Tôi cảm ơn thầy về những lời khuyên, gợi ý và sự hỗ trợ tận tình, chu đáo của thầy trong quá trình học tập và giúp tôi hoàn thành luận văn này.

Đồng thời, tôi cũng xin được gởi lời cảm ơn đến PGS. TS Nguyễn Bác Văn, TS. Dương Tôn Đảm. Các thầy đã trang bị cho tôi kiến thức, giúp tôi hiểu rõ hơn về xác suất, thống kê và ảnh hưởng sâu sắc đến con đường học tập, nghiên cứu khoa học của mình.

TP. HCM - Ngày 20 tháng 06 năm 2009 Tác giả Ngô Ngọc Minh

Lời mở đầu

Hầu hết ở các nước phát triển, vốn dự phòng ban đầu là một lượng nhỏ cố định được quy định bởi chính phủ và phụ thuộc vào sự luân chuyển vốn của công ty bảo hiểm.

Thật vậy, điều đó giúp bảo vệ khách hàng tránh tình trạng không may là công ty phải trả một lượng lớn tiền bồi thường trong một khoảng thời gian ngắn làm công ty mất khả năng chi trả (rủi ro). Vấn đề quản lý rủi ro trong bảo hiểm là một trong các vấn đề quan trọng nhất. Việc có một mô hình toán học giúp quản lí rủi ro là rất cần thiết cho các công ty bảo hiểm.

Jarrow Land và Turnbull chỉ ra rằng có thể giải quyết được vấn đề rủi ro trong tài chính và bảo hiểm bằng công cụ xích Markov. Sau đó nhiều bài báo đã chỉ ra rằng xích Markov có thể nảy sinh nhiều vấn đề. Cũng từ thời điểm này người ta nghĩ đến việc ứng dụng bán Markov vào rủi ro trong tài chính và bảo hiểm. Nguyên nhân là đối với xích Markov thời gian chuyển đổi giữa các trạng thái là rời rạc. Đây là lý do tại sao bán Markov được dùng tốt hơn xích Markov. Trong luận văn này tôi sẽ trình bày ứng dụng của quá trình bán Markov vào quản lý rủi ro trong bảo hiểm.

Mục lục

Lời cảm ơn 2

Lời mở đầu 3

Mục lục 4

1 Thuyết tái tạo

1.1 Mục đích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Định nghĩa chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Phương trình tái tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Sử dụng phép biến đổi Laplace 1.5.1 Phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Phép biến đổi Laplace Stieltjes (L-S) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Một ứng dụng đối với hàm tái tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Ứng dụng của đẳng thức Wald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Đẳng thức Wald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Chặn dưới của hàm tái tạo R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Dáng điệu tiệm cận của quá trình N(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Các thời điểm hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 Hàm phân phối của số lần hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Dáng điệu tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng . . . . . . . . . . . . . 1.10 Dạng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.1 Phương pháp cầu phương tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.2 Một vài công thức đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.3 Ví dụ thực tế về tai nạn ô tô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 3 7 14 14 16 17 18 18 19 20 23 23 24 26 30 35 35 37 39

2 Xích Markov

2.1 Tính Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Định nghĩa tính Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Định nghĩa xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Phân loại trạng thái xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Các trạng thái tuần hoàn và không tuần hoàn . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Các trạng thái ước lượng và không ước lượng được – Tính tối giản . 45 45 45 46 47 50 50 50

MỤC LỤC 5

51 54 55 56 60 63 65 65 68 2.3.3 Trạng thái nhất thời và hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Số lần chiếm giữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Tính xác suất hấp thu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Dáng điệu tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Một trường hợp trong bảo hiểm xã hội (Janssen (1966)) . . . . . . . . . . . 2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1 Thuật toán cho nghiên cứu xích Markov tiệm cận . . . . . . . . . . 2.9.2 Mẫu dữ liệu tối giản thực tế trong bảo hiểm xe . . . . . . . . . . . 2.9.3 Các ví dụ rút gọn được và không rút gọn được, dạng kết nối chính tắc. 72

3 Quá trình tái tạo Markov, bán Markov và bước ngẫu nhiên Markov

3.8.1 Dáng điệu tiệm cận của hàm tái tạo Markov

82 82 3.1 Quá trình (J-X) dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.2 Xích bán Markov và xích bán Markov mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.3 Các tính chất chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.4 Ví dụ về quá trình yêu cầu bồi thường trong bảo hiểm . . . . . . . . . . . 87 3.5 Quá trình tái tạo Markov, quá trình bán-Markov và quá trình đếm liên kết 88 3.6 Các hàm tái tạo Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.7 Phương trình tái tạo Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.8 Dáng điệu tiệm cận của MRP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 . . . . . . . . . . . . 92 3.9 Dáng điệu tiệm cận của SMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.9.1 Trường hợp tối giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.9.2 Trường hợp không tối giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.10 MRP trì hoãn và MRP dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.11 Trường hợp nghiên cứu về bảo hiểm xã hội . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.11.1 Mô hình bán Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11.2 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.12 Quá trình (J-X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.13 Các hàm của quá trình (J-X) 3.14 Các bước ngẫu nhiên cổ điển và lý thuyết rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.14.1 Các kí hiệu cơ bản trong bước ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . 103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.14.2 Sự phân loại các bước ngẫu nhiên 3.15 Các bước ngẫu nhiên bán Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.16 Phân phối cận trên đúng cho các bước ngẫu nhiên bán Markov . . . . . . . 107

4 Các Mô Hình Rủi Ro Trong Bảo Hiểm

109 4.1 Mô hình ngẫu nhiên cổ điển cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản . . . 109 4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2.1 Mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2.2 Phí bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2.3 Ba quá trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.2.4 Xác suất phá sản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.3.1 Mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.3.2 Xác suất phá sản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.3.3 Quản lí rủi ro bằng xác suất phá sản . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.3.4 Ước lượng Cramer

MỤC LỤC 6

4.4 Các mô hình khuyếch tán cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản

4.6 Xác suất phá sản của mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát

. . . . 123 4.4.1 Mô hình rủi ro khuyếch tán đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.4.2 Mô hình rủi ro ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.5.1 Mô hình rủi ro bán Markov (hay SMRM) . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.5.2 Mô hình rủi ro bán Markov tổng quát (hay GSMRM) . . . . . . . . 125 4.5.3 Quá trình đếm số yêu cầu bồi thường . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.5.4 Quá trình tiền bảo hiểm tích lũy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.5.5 Quá trình tiền đóng bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.5.6 Quá trình rủi ro và rủi ro của vốn dự trữ . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.5.7 Mô hình rủi ro bán-Markov dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 . . . . . . . . 132 4.6.1 Xác suất phá sản và không phá sản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.6.2 Sự thay đổi mức phí bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.6.3 Giải pháp tổng quát cho vấn đề tiệm cận xác suất rủi ro . . . . . . 134

Kết luận 137

Tài liệu tham khảo 138

Chương 1

Thuyết tái tạo

1.1 Mục đích

1) là một dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập và có cùng phân phối được ≥ Đặt (Xn, n xác định trên không gian xác suất (Ω, , P ). =

Ta xét vấn đề về độ tin cậy như sau: tại thời điểm 0, hệ được xét bắt đầu với một thành phần mới và sau đó nó bị hỏng tại thời điểm ngẫu nhiên T1. Tại thời điểm này, một thành phần mới khác lập tức được thay thế cho thành phần đầu tiên trong hệ, sau đó nó cũng bị hỏng tại thời điểm c và cứ tiếp tục quá trình như vậy. Tất cả các thành phần này đều cùng loại. 0) là các thời điểm thay thế liên tiếp, ta có Ta gọi (Tn, n ≥

(1.1) T0 = 0.

Tuổi thọ của các thành phần liên tiếp được đưa vào hệ cho bởi

Hình 1.1: Đồ thị của N (t)

1. (1.2) Tn−1, n Xn = Tn − ≥

1.2 Định nghĩa chính 2

Từ quan điểm toán tử, một đặc trưng quan trọng của hệ được xét tại thời điểm t là tổng số các thay thế xảy ra trong khoảng [0, t]. Lưu ý rằng ta không xét thành phần đầu tiên. Nếu N(t) là biến ngẫu nhiên ta vừa định nghĩa, với n 1 ta có: ≥ t. (1.3) N(t) > n 1 ⇔ − Tn ≤ 0), được thể hiện ở hình 1.1. ≥

Quá trình ngẫu nhiên (N(t), t Mômen cấp một của N(t) sẽ cho số lượng trung bình của sự thay thế trong (0, t]. Đặc biệt nếu tại thời điểm 0, người quản lý có đủ khả năng để thực hiện toàn bộ sự thay thế, số lượng thay thế trung bình sẽ là kì vọng E(N(t)). Dĩ nhiên, nhà quản lý phải dự trữ thêm để ngăn chặn sự gia tăng ngẫu nhiên. Vấn đề này sẽ được giải quyết trong mục 1.7. Lĩnh vực nghiên cứu xác suất của các quá trình này được gọi là thuyết tái tạo. Nó được sử dụng cho xác suất ứng dụng, một trong những chủ đề quan trọng để giải quyết một số vấn đề trong cuộc sống.

1.2 Định nghĩa chính

0), trong đó Định nghĩa 1.1. Dãy ngẫu nhiên (Tn, n ≥

(1.4) (1.5) 1 T0 = 0, Tn = X1 + . . . + Xn, n ≥

được gọi là dãy tái tạo hoặc quá trình tái tạo. 1 Các biến ngẫu nhiên Tn, n 0 được gọi là thời điểm tái tạo và biến ngẫu nhiên Xn, n ≥ ≥ được gọi là khoảng thời gian giữa hai lần chuyển đổi.

Ví dụ 1.1.

1) và thứ n. 1. Ta xét hệ thống hàng đợi của một dịch vụ, quá trình khách hàng đến và quá trình số lần phục vụ được áp dụng bởi luật FIFO, nghĩa là khách hàng nào tới trước sẽ được phục vụ trước. Trong nhiều mô hình của lý thuyết hàng đợi, quá trình đến được thừa nhận là một quá trình tái tạo. Trong trường hợp này, biến ngẫu nhiên Tn là thời gian đến của khách hàng thứ n, khi đó khách hàng số 0 thì sẽ được phục vụ tại thời điểm 0 và biến ngẫu nhiên Xn mô tả khoảng thời gian đến giữa khách hàng thứ (n −

≥

− 3. Trong lý thuyết đếm, ta xét các mẫu đến tại thời điểm Tn, n 2. Quá trình đến cũng được xét trong lý thuyết rủi ro. Ta xét một công ty bảo hiểm bắt đầu tại thời điểm 0 với số vốn ban đầu u(u 0). Khách hàng đóng phí bảo hiểm và công ty bảo hiểm phải trả tiền bồi thường khi khách hàng xảy ra tai nạn. Trong trường hợp này, biến ngẫu nhiên Tn mô tả yêu cầu bồi thường bảo hiểm thứ n và công ty sẽ bắt đầu xem xét chi trả tiền bồi thường với yêu cầu đầu tiên được gọi là yêu cầu bồi thường 1) và thứ n. 0, biến ngẫu nhiên Xn là “khoảng thời gian đến” giữa sự bồi thường thứ (n 0 với T0 = 0, biến ≥ ngẫu nhiên Xn thỏa các điều kiện của thời điểm đến giữa 2 lần chuyển đổi liên tục.

Định nghĩa 1.2. Với mỗi dãy tái tạo, ta có thể kết hợp các quá trình ngẫu nhiên sau có thời gian liên tục với các giá trị trong N :

(N(t), t 0) (1.6) ≥ khi đó t, n N(t) > n 1 N0. ⇔ − ∈ Tn ≤ Quá trình này được gọi là quá trình đếm kết hợp hoặc quá trình đếm tái tạo. N(t) mô tả tổng số tái tạo trong (0, t].

1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo 3

Định nghĩa 1.3. Hàm tái tạo được định nghĩa

H(t) = E(N(t)) (1.7)

trong đó kì vọng được quy định là hữu hạn.

1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo

Ta giả sử rằng các biến ngẫu nhiên được định nghĩa trên R có hàm phân phối F như vậy:

F (0) < 1. (1.8)

Nếu F (+ ) = 1 (1.9) ∞ ta sẽ có trường hợp thông thường của các biến ngẫu nhiên thực. Từ hệ thức 1.5, ta có:

P (N(t) > n 1) = F (n)(t), n 1 (1.10) − ≥

F (n) là tích chập n lần của hàm F với chính nó. Từ đó với n 1 ≥

P (N(t) = n) = P (N(t) > n 1) P (N(t) > n). (1.11) − −

Áp dụng hệ thức 1.10 ta có:

P (N(t) = n) = F (n)(t) F (n+1)(t), n 1. (1.12) − ≥

F (0) đựơc định nghĩa là phân phối Heaviside với giá trị tại thời điểm ban đầu

(1.13) F (0) = U0,

hệ thức 1.12 vẫn đúng cho n = 0, do đó

P (N(t) = 0) = 1 F (t). (1.14) −

Áp dụng bổ đề Stein, kết quả quan trọng sau được chứng minh.

Mệnh đề 1.4. Nếu F (0) < 1, với mọi t thì N(t) có mô men bậc bất kì.

∞

Đặc biệt, mệnh đề này có nghĩa là hàm tái tạo hữu hạn với mọi t hữu hạn. Do đó, ta có thể viết :

n F (n+1) F (n)(t) E(N(t)) = −

n=1 X (cid:3) F (2)(t) + 2F (2)(t) = F (t) − = F (t) + F (2)(t) + F (3)(t) +

2F (3)(t) + (1.15) (cid:2) − · · ·

· · ·

∞

vì thế sử dụng hệ thức 1.7:

n=1 X

H(t) = F (n)(t). (1.16)

1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo 4

Trong một vài trường hợp, nó hữu ích để xét tái tạo ban đầu và để định nghĩa biến ngẫu nhiên N 0(t) vào thời điểm t là tổng số tái tạo trong [0, t]. Rõ ràng, với mọi t 0: ≥ N 0(t) = N(t) + 1 (1.17)

do đó: E(N 0(t)) = H(t) + 1. (1.18)

Đặt R(t) = E(N 0(t)) (1.19)

∞

Theo hệ thức 1.18, 1.16 và 1.13 ta có:

n=0 X

F (n)(t). (1.20) R(t) =

Hiển nhiên ta có: (1.21)

R(t) = U0(t) + H(t). Sự phân loại của quá trình tái tạo dựa trên ba khái niệm: hồi quy, nhất thời và tuần hoàn.

Định nghĩa 1.5. với mọi n, ngược lại nó i) Một quá trình tái tạo (Tn,n 1) là hồi quy nếu Xn < ≥ ∞ được gọi là nhất thời. ii) Một quá trình tái tạo (Tn,n 1) là tuần hoàn với chu kì δ nếu các giá trị có thể có , và δ là số lớn ≥ 1 có dạng tập hợp đếm được 0, δ, 2δ, . . . } ≥ { của các biến ngẫu nhiên Xn, n nhất. Ngược lại, nếu không có δ nào dương thì quá trình tái tạo là không tuần hoàn.

Kết quả trực tiếp của định nghĩa này là đặc trưng của một kiểu quá trình tái tạo với sự trợ giúp của hàm phân phối F.

Mệnh đề 1.6. Một quá trình tái tạo của hàm phân phối F là ) = 1. ) < 1. ∞ i) Hồi quy khi và chỉ khi F ( ∞ ii) Nhất thời khi và chỉ khi F ( iii) Tuần hoàn với chu kì δ (δ > 0) khi và chỉ khi nếu F là hằng số nằm ngoài khoảng N. [nδ,(n + 1)δ), n N và tất cả các bước nhảy của nó xảy ra tại các điểm nδ, n ∈ ∈ Nếu t tiến đến + hệ thức 1.16 cho: ∞ + nếu F (+ ) = 1 ∞ ∞ F (+ ) (1.22) H(+ ) = nếu F (+ ) < 1. ∞ ∞ F (+ 1 ) ∞   − ∞ Hoặc tương đương với với hệ thức 1.20: 

+ nếu F (+ ) = 1 ∞ ∞ R(+ ) = (1.23) nếu F (+ ) < 1. ∞ 1 1 F (+ ) ∞   − ∞ Điều này sẽ được chứng minh ở định lí tiếp theo. 

Mệnh đề 1.7. Quá trình tái tạo của hàm phân phối F là hồi quy hay nhất thời phụ thuộc vào H(+ . Trong trường hợp cuối, ta có hoặc H(+ ) < + ) = + ∞ ∞ ∞ ∞ F (+ ) . hoặc H(+ ) = (1.24) R(+ ) = 1 1 F (+ ) ∞ F (+ ) 1 ∞ ∞ − ∞ ∞ −

1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo 5

Sự phân loại được trình bày ở trên sẽ rõ ràng hơn với khái niệm tuổi thọ của quá trình tái tạo.

1) là biến ngẫu nhiên L được ≥ Định nghĩa 1.8. Tuổi thọ của quá trình tái tạo (Tn, n định nghĩa: . (1.25) Tn : Tn < ∞} ). Ta L = sup { Vì thế, nếu L = `, có nghĩa là chỉ có một số lượng hữu hạn sự tái tạo trên [0, ∞ cũng định nghĩa một biến ngẫu nhiên N mới, nó là tổng số lượng tái tạo trên [0, L).

Định nghĩa 1.9. Tổng số lượng các tái tạo trong (0, ), có thể là vô hạn, được cho bởi

∞ . 0 N = sup N(t), t (1.26) } ≥

{ N = k Trong lý thuyết độ tin cậy, biến cố } {

có nghĩa là thành phần thứ (k + 1) được đưa vào hệ thống và sẽ có tuổi thọ là vô hạn. Phân phối xác suất của N được cho bởi công thức P (N = 0) = 1 F (+ ), (1.27)

− )(1 ∞ F (+ )) P (N = 1) = F (+ (1.28) ∞ − ∞ và tổng quát với k N : ∈

P (N = k) = (F (+ ))k(1 F (+ )). (1.29) ∞ ∞ −

Hiển nhiên nếu F (+ ) = 1, ta có ∞

. N = + (1.30) ∞

∞

Trong trường hợp quá trình tái tạo nhất thời, theo hệ thức 1.29 ta có:

k=1 X

E(N) = k[F (+ )]k(1 F (+ )). (1.31) ∞ ∞ −

∞

n=0 X

1 < 1 (hay 1 < x < 1) có thể viết dưới dạng chuỗi lũy thừa: với Như hàm số x 1 x | | − − 1 xn. = (1.32) x 1 −

∞

Với x 1, +1) và như vậy, lấy đạo hàm ta được ( − ∈

n=1 X

1 nxn−1. (1.33) (1 x)2 = −

∞

Viết hệ thức 1.31 dưới dạng

k=1 X

k[F (+ )]k−1 (1.34) E(N) = F (+ )(1 F (+ )). ∞ ∞ − ∞

theo 1.33 ta có: F (+ ) . E(N) = (1.35) ∞ F (+ ) 1 ∞ −

6 1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo

∞

Vì vậy, có thể tính được trung bình của tổng số các tái tạo một cách dễ dàng trong trường hợp nhất thời. Ta cũng có thể đưa ra hàm phân phối của L. Thực vậy, ta có:

n=0 X

(1.36) P (L t) = ). t, Xn+1 = + ≤ P (Tn ≤ ∞

∞

Với Tn và Xn+1 độc lập nhau ta suy ra :

n=1 X

P (L t) = 1 F (+ ) + (1.37) F (n)(t)(1 F (+ )). ≤ − ∞ ∞ −

Cuối cùng, theo đẳng thức 1.20:

(1.38) P (L t) = (1 F (+ ))R(t). ≤ − ∞

Để tính tuổi thọ trung bình của quá trình, ta sử dụng thủ thuật sau dựa trên tính độc 1, ta có thể viết: lập của các biến ngẫu nhiên Xn, n ≥

+∞

(1.39) E(L) = E(T1.I{T1<∞}) + E(L).E(I{T1<∞})

F (t) = F (+ ) (1.40) dt + E(L).F (+ ) F (+ ) − ∞ ∞ (cid:19) 1 Z0 (cid:18) ∞

+∞

vì thế

E(L) = (F (+ ) F (t))dt + E(L).F (+ ). (1.41) ∞ − ∞ Z0

+∞

Và cuối cùng

(F (+ ) F (t)) dt. (1.42) E(L) = 1 F (+ 1 ) ∞ − Z0 − ∞

Vì vậy, với quá trình tái tạo nhất thời, tuổi thọ luôn hữu hạn và có một giá trị trung bình hữu hạn được cho bởi hệ thức 1.42.

Ví dụ 1.2 (Quá trình Poisson). Trong lý thuyết hàng đợi và lý thuyết rủi ro đã được trình bày trong ví dụ 1.1, giả thiết cổ điển của quá trình đến là nó hình thành quá trình tái tạo mà ở đó biến ngẫu nhiên Xn thường có hàm phân phối được cho bởi

F (x) = (1.43) e−λx 0 1 nếu x < 0 nếu x 0 (cid:26) − ≥

với λ là một hằng số xác định dương. Với F (+ ) = 1 thì quá trình đến là một quá trình hồi quy. Theo 1.10, có thể có biểu ∞ thức giải tích của tích chập liên tục n lần. Thực vậy, ta có thể viết tiếp:

t

1.4 Phương trình tái tạo 7

0 Z t

F (2)(t) = λ e−λ(t−x))e−λxdx (1 (1.44) −

= λ (e−λx e−λt)dx (1.45) − Z0

= 1 (1.46) − = 1 e−λt λte−λt − e−λt(1 + λt) (1.47) −

n−1

và tổng quát:

k=0 X

. e−λt (1.48) F (n)(t) = 1 (λt)k k! −

n

n−1

Áp dụng kết quả 1.12 ta có:

k=0 X

k=0 X

∞

(λt)k e−λt . P (N(t) = n) = 1 1 + e−λt (1.49) (λt)k k! = e−λt (λt)n n! − k! −

∞

n=1 X = e−λt

(1.50) H(t) =

n=1 X ∞

(1.51)

n=1 X

. = e−λtλt (1.52) Với mọi t cố định, quá trình (N(t)) là quá trình Poisson của tham số λt. Giá trị của hàm tái tạo H theo hệ thức 1.16 và 1.15 ne−λt (λt)n n! (λt)n (n 1)! − (λt)n−1 (n 1)! −

hoặc H(t) = λt. (1.53)

Theo đó, trong quá trình tái tạo Poisson thì hàm tái tạo là tuyến tính. Ta sẽ thấy trong phần 1.5, một quá trình tái tạo có thể cũng được mô tả bởi hàm tái tạo của nó. Quá trình tái tạo Poisson là một quá trình có hàm tái tạo tuyến tính.

1.4 Phương trình tái tạo

Trở lại hệ thức 1.16 ta sử dụng tính liên đới của tích chập ta có:

H(t) = F (t) + F (2)(t) + F (3)(t) + · · · ](t) (1.54) · · · = F + F • = F (t) + F [F + F (2) + H(t). •

1.4 Phương trình tái tạo 8

t

Hệ thức này được gọi là phương trình tích phân của thuyết tái tạo, hoặc đơn giản là phương trình tái tạo. Nó được viết như sau:

H(t) = F (t) + F (t x)dH(x). (1.55) − Z0

t

Hoặc F H(t) = H F (t) (1.56) • • suy ra H(t) = F (t) + H F (t) hay •

H(t) = F (t) + H(t x)dF (x). (1.57) − Z0

t

Trong trường hợp riêng trong đó hàm mật độ f của F tồn tại thì phương trình tích phân cuối cùng trở thành:

H(t) = F (t) + H(t x)f (x)dx. (1.58) − Z0

∞

Trong trường hợp này, ta có thể áp dụng tính hội tụ trội cho 1.16 chỉ ra sự tồn tại của hàm mật độ h của H là:

n=1 X

h(t) = f [n](t) (1.59)

với

t

f [1](t) = f (t) (1.60)

f [2](t) = f (t x)f (x)dx (1.61) − Z0

t

...

f [n](t) = f [n−1](t x)f (x)dx. (1.62) − Z0

Từ hệ thức 1.58 hoặc 1.59 ta được phương trình tích phân cho h :

h(t) = f (t) + f h(t) (1.63) ⊗

t

với

f h(t) = f (t x)h(x)dx. (1.64) ⊗ − Z0

Hoặc f h(t) = h f (t), (1.65) ⊗ ⊗

1.4 Phương trình tái tạo 9

h(t) = f (t) + h f (t). (1.66) ⊗ Thực tế, phương trình tái tạo 1.55 là trường hợp riêng của một dạng phương trình tích phân: X(t) = G(t) + X F (t) (1.67) •

ở đó X là một hàm chưa biết, F và G là các hàm đo được bị chặn trên một khoảng hữu hạn và là tích chập. •

Phương trình tích phân đó được gọi là thuộc kiểu tái tạo. Khi G = F, ta được phương trình tái tạo. Các phương trình tích phân này đã được nghiên cứu từ lâu gồm các đóng góp của Lotka (1940), Feller (1941), Smith (1954), Cinlar (1969). Cinlar đưa ra hai mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.10 (Sự tồn tại và tính duy nhất). Phương trình tích phân của kiểu tái tạo 1.67 có duy nhất một nghiệm được cho bởi

X(t) = R G(t) (1.68) •

R được định nghĩa bởi hệ thức 1.20.

Chứng minh. 1. Sự tồn tại: Trong thành phần thứ hai của phương trình 1.67, ta thay X bởi biểu thức 1.68: G G(t) + R F (t). (1.69) • • Sử dụng tính chất giao hoán của tích chập ta có:

G G(t) + R F (t)) G(t). (1.70) F (t) = (U0(t) + R • • • •

Và bởi 1.21 G G(t) + R F (t) = R G(t). (1.71) • • • G(t) là một kết quả của phương trình kiểu tái tạo 1.67. • Vì vậy, hàm R 2. Tính duy nhất: Đặt X1 và X2 là hai nghiệm của phương trình 1.67, và Y được định nghĩa bởi: (1.72) X2 Y = X1 − Khi đó ta có Y = Y F (t) (1.73) •

Áp dụng phép quy nạp ta được:

Y = Y F (n) với mọi n > 0. (1.74) •

Hàm tái tạo R có thể được định nghĩa bởi chuỗi 1.20 hội tụ với mọi t dương, ta biết rằng: F (n)(t) = 0 với mọi t 0. (1.75) lim n ≥

Do đó Y F (n)(t) = 0 với mọi t 0 (1.76) lim n • ≥

Và với 1.74: Y (t) = 0 với mọi t 0. (1.77) ≥

1.4 Phương trình tái tạo 10

Nó cũng có thể dùng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận cho phép giải các kiểu phương trình tái tạo. Kết quả cơ bản là “định lí khóa tái tạo” đã được chứng minh bởi W.L Smith (1954), trên thực tế về mặt toán học nó tương đương với định lí Blackwell (1948), được trình bày ở đây bởi hệ quả 1.13. Kết quả của định lí khóa tái tạo áp dụng định lí Blackwell được tìm thấy ở Cinlar (1975b).

Mệnh đề 1.11 (Dáng điệu tiệm cận và định lí khóa tái tạo). i) Trong trường hợp nhất thời, ta có:

X(t) = R( )G( ) (1.78) lim t→∞ ∞ ∞

t

cho ta giới hạn G( ) = lim G(t) (1.79) ∞

∞

tồn tại. ii) Trường hợp hồi quy, ta có:

X(t) = G(x)dx, (1.80) lim t→∞ 1 m Z0

∞

với G Reiman khả tích trên [0, ) và giả sử: ∞

(1 F (x))dx. (1.81) m = E(Xn) = − Z0

Hệ quả 1.12. Trong trường hợp quá trình tái tạo hồi quy với phương sai hữu hạn σ2,ta có:

. R(t) = (1.82) lim t→∞ t m m2 + σ2 2m2 − (cid:18) (cid:19)

Chứng minh. Trong phương trình tích phân của kiểu tái tạo 1.67, ta chọn

. X(t) = R(t) (1.83) t m −

Ta sẽ tính hàm G, như vậy phương trình tích phân này có giá trị. Ta lấy:

t

X G(t) = X(t) F (t) (1.84) − •

R = R(t) F (t x)dx. (1.85) F (t) + 1 m − − t m − • Z0

0 ta có: Từ 1.21, với mọi t ≥

(1.86) R(t) = U0 + H(t)

1.4 Phương trình tái tạo 11

t

vì thế:

F F (t x)dx. (1.87) F (t) H(t) + G(t) = 1 + H(t) 1 m − − • t m − − Z0

t

Áp dụng phương trình tái tạo 1.55 và trong thành phần thứ hai của tích phân đặt x0 = t x ta được: −

F (x0)dx0. (1.88) + G(t) = 1 t m 1 m − Z0

t

Và như vậy:

(1 F (x))dx. (1.89) G(t) = 1 1 m − − Z0

∞

Từ

(1 F (x))dx, (1.90) m = − Z0

∞

ta suy ra:

G(t) = (1 F (x))dx. (1.91) 1 m − Zt

∞

∞

∞

Kết luận: Hàm G được đưa ra trong hệ thức cuối là hàm duy nhất cho phương trình tích phân kiểu tái tạo có nghiệm là hệ thức 1.83. Rõ ràng, hàm G là hàm đơn điệu không tăng trên [0, + ) và: ∞

∞

∞

dt. (1 F (x))dx (1.92) G(t)dt = 1 m   − Zt Z0 Z0   Dùng phép hoán đổi thứ tự tích phân (định lí Fubini). Ta được:

G(t)dt = x (1 F (x))dx. (1.93) 1 m − Z0 Z0

∞

và ta có:

σ2 + m2 = x2dF (x) (1.94)

∞

Z0

x2d(1 F (x)). (1.95) = − − Z0

1.4 Phương trình tái tạo 12

∞

lấy tích phân từng phần ta được:

σ2 + m2 = 2 x (1 F (x))dx. (1.96) − Z0

∞

Trở lại hệ thức 1.93, cuối cùng ta có:

. (1.97) G(t)dt = σ2 + m2 2m Z0

Như vậy hệ quả 1.12 là hệ quả trực tiếp của kết quả (ii) của mệnh đề 1.11.

Chú ý 1.1. 1) Từ kết quả 1.82, ta được một kết quả tương tự cho hàm tái tạo H. Thực vậy, từ hệ thức 1.21 ta biết rằng t 0. (1.98) R(t) = H(t) + U0(t), ≥

Áp dụng kết quả 1.82, ta được:

m2 + σ2 = 1 (1.99) H(t) lim t→∞ t m 2m2 − − (cid:19) (cid:18) hoặc σ2 m2 . = (1.100) H(t) lim t→∞ t m − 2m2 − (cid:19) (cid:18) 2) Hai kết quả 1.82 và 1.100 thường được viết theo các dạng sau:

m2 + σ2 + (1.101) R(t) = t m

2m2 + O(1) σ2 m2 + (1.102) H(t) = t m

2m2 + O(1) − trong đó O(1) là hàm của t xấp xỉ 0 khi t tiến đến vô cực.

Hệ quả 1.13. Trong trường hợp một quá trình tái tạo hồi quy với giá trị trung bình m hữu hạn ta có:

. = (1.103) lim t→∞ R(t) t 1 m

Hệ quả 1.14 (Định lí Blackwell). Trường hợp quá trình tái tạo hồi quy với m trung bình hữu hạn và với mỗi τ dương ta có:

. (1.104) (R(t) R(t τ )) = lim t→∞ τ m − −

Chứng minh. Ta xét phương trình kiểu tái tạo 1.67 với hàm G được định nghĩa như sau:

t τ 0 (1.105) G(t) = 1 τ ≤ ≤ τ < t , 0, (

1.4 Phương trình tái tạo 13

Trong đó τ là một số thực cố định dương. Từ định lí khóa tái tạo (mệnh đề 1.11, phần (ii)), ta biết rằng cách giải duy nhất đó được cho bởi mệnh đề 1.10:

∞

X(t) = R G(t) (1.106) • như vậy

X(t) = G(x)dx. (1.107) lim t→∞ 1 m Z0

Theo định nghĩa 1.105 của hàm G ta có

X(t) = R(t) R(t τ ) (1.108) 1 τ 1 τ − −

∞

và

G(x)dx = 1. (1.109)

Z0

Thay các kết quả của 1.108 và 1.109 vào hệ thức 1.107 ta được 1.104.

Chú ý 1.2.

t

1) Giải thích xác suất của hàm mật độ tái tạo. Đặt k(t)dt là xác suất có sự tái tạo trong khoảng thời gian (t, t + dt) và phải thỏa mãn hệ thức sau, hệ thức này có được bởi tham số xác suất đơn giản sử dụng tính độc lập của tuổi thọ liên tục:

f (x)k(t x)dt. (1.110) k(t)dt = f (t)dt + − Z0

Từ phần duy nhất nghiệm của mệnh đề 1.10, với mọi t 0 ta được: ≥ k(t) = h(t). (1.111)

Vì vậy, xác suất được định nghĩa ở trên được cho bởi h(t)dt và tổng quát hơn là bởi dH(t) với một sai số chính xác của O(dt). 2) Phương sai của N(t): Từ bổ đề Stein, ta biết rằng với mọi t thì N(t) có mô ment bậc bất kì. Đặt α2(t) là mô men có tâm bậc 2 của N(t) :

(1.112) α2(t) = E((N(t))2).

∞

Theo kết quả 1.12, tiếp theo ta có:

∞

k=1 X ∞

F ) F (v)(t) (1.113) α2(t) = k2(U0 − •

k=1 X ∞

k=1 X ∞

k2F (k+1)(t) (1.114) k2F (k)(t) = −

k=1 X

v=1 X

k2F (k)(t) (1.115) = 1)2F (v)(t) (v − −

∞

1.5 Sử dụng phép biến đổi Laplace 14

v=1 X ∞

= [v2 (v 1)2]F (v)(t) (1.116) − −

v=1 X ∞

∞

(2v 1)F (v)(t) = (1.117) −

v=1 X

v=1 X

= 2 1)F (v)(t)+ F (v)(t). (v (1.118) −

∞

∞

Bây giờ nếu ta tính H (2)(t) bởi trung bình của hệ thức:

v=1 X

v0=1 X

F (v0)(t) (1.119) H (2)(t) = F (v)(t) ! ! •

∞

khi đó ta dễ dàng thấy rằng:

v=1 X

H (2)(t) = 1)F (v)(t). (v (1.120) −

Sử dụng 1.16 và thay thế kết quả cuối cùng này vào 1.118, ta được:

α2(t) = H(t) + 2H (2)(t). (1.121)

Kết quả cuối cùng là:

V ar(N(t)) = H(t) + 2H (2)(t) (H(t))2. (1.122) −

1.5 Sử dụng phép biến đổi Laplace

1.5.1 Phép biến đổi Laplace

∞

∞ Để chỉ ra sự hữu ích của phép biến đổi Laplace trong việc giải phương trình tái tạo, ta giả sử rằng hàm phân phối F đặc trưng cho quá trình tái tạo hồi quy được xét có hàm mật độ là f . Ta dùng các kí hiệu tổng quát như sau: với bất kì hàm α nào trên [0, ), ˜α sẽ mô tả biến đổi Laplace của nó, với:

˜α(s) = e−sxα(x)dx, (= ˜`(α(x))). (1.123)

Z0

Với quy ước này và sử dụng tính chất của phép biến đổi Laplace

˜`(α β)(x)) = ˜α(s) ˜β(s) (1.124) ⊗ · từ phương trình tái tạo ta có:

˜h(s) = ˜f (s) + ˜h(s) ˜f (s). (1.125) · Theo biến đổi Laplace ta được:

˜f (s) . (1.126) ˜h(s) = ˜f (s) 1 − Sử dụng phép biến đổi Laplace ngược ta tìm được giá trị của h(t).

1.5 Sử dụng phép biến đổi Laplace 15

Chú ý 1.3. Từ phương trình đại số 1.125, ta suy ra được biểu thức hàm mật độ f như là hàm mật độ tái tạo h. Trong phép biến đổi Laplace, ta có:

˜h(s) . (1.127) ˜f(s) = ˜h(s) 1 −

Phép biến đổi Laplace ngược cho ta một hàm của h. Điều này dẫn đến kết quả quan trọng là mỗi quá trình tái tạo (nếu có) được đặc trưng bởi mật độ tái tạo của nó hoặc bởi hàm tái tạo của nó. Như vậy, có sự tương ứng một-một giữa hàm phân phối F của hàm tái tạo và hàm tái tạo H của nó.

Ví dụ 1.3 (Quá trình Poisson). Xét lại ví dụ 1.2. Từ hệ thức 1.43, ta được

x f (x) = λe−λx, 0. (1.128) ≥

∞

Trường hợp này ta có phép biến đổi Laplace ˜f :

e−(s+λ)xdx (1.129) ˜f(s) = λ

Z0

vì thế

. (1.130) ˜f (s) = λ s + λ

Theo đẳng thức 1.126 ta được:

. (1.131) ˜h(s) = λ s

Với mỗi hằng số K:

`(K) = (1.132) K s

và sử dụng tính duy nhất của phép biến đổi Laplace ngược ta suy ra:

h(t) = λ. (1.133)

t

Từ đó:

H(t) = h(x)dx (1.134)

Z0

Ta cũng có: H(t) = λt. (1.135)

Theo đó quá trình Poisson là duy nhất cho loại mà có hàm tái tạo tuyến tính. Kết quả này đã được trình bày trong ví dụ 1.2. Trong trường hợp này, các kết quả của hệ quả 1.13 và 1.14 là chính xác.

1.5 Sử dụng phép biến đổi Laplace 16

1.5.2 Phép biến đổi Laplace Stieltjes (L-S)

∞

Phép biến đổi L-S tổng quát hơn phép biến đổi Laplace. Thực vậy, cho hàm α xác định trên [0, ), ¯α là phép biến đổi L-S của nó và có dạng: ∞

¯α(s) = e−sxdα(x) (= ¯`(α(x))). (1.136)

Z0

Với một hàm α sao cho e−sxα(x) = 0 (1.137) lim x→∞

tích phân từng phần cho ta hệ thức giữa ˜α và ¯α :

¯α(s) = α(0) + s ˜α(s). (1.138) −

Hàm ¯` thỏa mãn tính chất sau:

¯`((α β)(x)) = ¯`(α(x)) ¯`(β(x)) (1.139) • ·

từ phương trình tái tạo 1.57 ta được:

¯H(s) = ¯F (s) + ¯H(s) ¯F (s). (1.140) ·

hoặc: ¯F (s) (1.141) ¯H(s) = ¯F (s) 1 −

hệ thức trên tương đương với hệ thức 1.126 nếu ta không thừa nhận sự tồn tại hàm mật độ của F . Hiển nhiên nếu tồn tại hàm mật độ thì từ 1.136 ta có:

¯F (s) = ˜f (s) (1.142)

¯H(s) = ˜h(s) (1.143)

và vì vậy cho nên các hệ thức 1.141 và 1.126 là đồng nhất.

∞

Ví dụ 1.4. Xét mô hình tất định với F = U1. Từ

¯F (s) = (1.144) e−sxdUl(x)

Z0 = e−s (1.145)

1.141 cho ta:

e−s ¯H(s) = (1.146)

k=1 X

e−s 1 + e−s + e−2s + (1.147) · · · 1 − = e−s ∞ (cid:1) (cid:0) e−ks. = (1.148)

1.5 Sử dụng phép biến đổi Laplace 17

∞

Nhưng

1 (x)

U (k) (1.149) e−sxdUk(x) = ¯`

Z0 (cid:17)o n(cid:16) = e−ks (1.150)

∞

ta có thể đảo ¯H để được:

1 (t).

k=1 X

U (k) H(t) = (1.151)

∞

Hoặc:

k=1 X

H(t) = (1.152) Uk(t).

1.5.3 Một ứng dụng đối với hàm tái tạo

Từ ví dụ 1.3, ta biết rằng H tuyến tính khi và chỉ khi quá trình tái tạo là Poisson:

e−λx, x H(t) = λt F (x) = 1 0. (1.153) ⇔ − ≥

Nếu nhân H(t) với hằng số µ thì hàm

(1.154) H1(t) = µλt

vẫn là một hàm tái tạo. Chính xác hơn, H1 tương ứng với hàm phân phối F1 cho bởi:

e−µλx. (1.155) F1(x) = 1

− Tổng quát hơn, Daley (1965) xét vấn đề là nhân một hàm tái tạo H với hằng số α nếu có thể, để mô tả đặc điểm cho một quá trình tái tạo mới. Ta có mệnh đề sau:

∞

Mệnh đề 1.15 (Daley (1965)). Nếu H là một hàm tái tạo, thì hàm αH với hằng số α thuộc [0, 1] vẫn là hàm tái tạo tương ứng với hàm phân phối Fα sau:

n=1 X

x α)n−1F (n)(x), 0. (1.156) (1 Fα(x) = α ≥ −

Chứng minh. Giả sử rằng Fα là hàm phân phối tương ứng với hàm tái tạo αH. Hệ thức 1.140 vẫn đúng cho αH nên ta có:

. (1.157) ¯Fα(s) = α ¯H(s) 1 + α ¯H(s)

Từ đó với 1.141: ¯F (s) ¯H(s) = (1.158) ¯F (s) 1 −

1.6 Ứng dụng của đẳng thức Wald 18

Ta có thể viết:

. . (1.159) ¯Fα(s) = α ¯F (s) ¯F (s) 1 1 + − 1 α ¯F (s) ¯F (s) 1 − hoặc:

. (1.160) ¯Fα(s) = α ¯F (s) (1 α) ¯F (s) 1 − − Giả sử rằng α < 1 ta được:

0 (1 α) ¯F (s) (1 α) < 1. (1.161) − − ≤

∞

n

≤ Như vậy ta có thể sử dụng dạng mở rộng của hàm số (1 x)−1 để mô tả ¯Fα(s): −

n=0 X

∞

n

. ¯F (s) α)n (1 (1.162) ¯Fα(s) = ¯F (s) − (cid:2) (cid:3) hoặc

n=0 X

∞

α)n−1 (1 (1.163) ¯F (s) ¯Fα(s) = α − (cid:2) (cid:3) hoặc 1.156 bởi phép nghịch đảo. Rõ ràng hàm Fα là một hàm không âm và không giảm xác định trên [0, α), như vậy:

n=0 X Bây giờ ta có thể nói rằng Fα là một hàm phân phối, và do đó hàm phân phối duy

α)n−1. (1 (1.164) Fα(x) = α lim x→∞ −

nhất có αH là một hàm tái tạo.

1.6 Ứng dụng của đẳng thức Wald

1.6.1 Đẳng thức Wald

Chúng ta đều biết rằng (1.165) E(Sn) = nm

với (1.166) Sn = X0 + . . . + Xn

và E(N(t)) = R(t). (1.167)

Bây giờ ta xét thời điểm của lần thay đổi đầu tiên sau thời gian t. Nó được cho bởi SN 0(t). Bổ đề Wald tính giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên này.

Mệnh đề 1.16 (Bổ đề Wald ).

(1.168) E(SN 0(t)) = mR(t).

1.6 Ứng dụng của đẳng thức Wald 19

n

Chứng minh. Từ các định nghĩa tổng quát, ta có thể viết: nếu N(t) = n thì ta có N 0(t) = n + 1 và do đó:

k=0 X

(1.169) SN 0(t) = Sn+1 = Xk+1I[Sn≤t

n

∞

như vậy trong trường hợp này: (1.170) t < Sn+1. Sn ≤ Vì vậy, khi không biết giá trị của N(t), ta có:

n=0 X

k=0 X

(1.171) SN 0(t) = Xk+1I[Sn≤t

k

∞

Hoán vị các tổng trên ta được

n=0 X

k

k=0 X ∞

(1.172) SN 0(t) = Xk+1I[Sn≤t

n=0 X

k=0 X ∞

(1.173) = Xk+1 I[Sn≤t

k=0 X

(1.174) = Xk+1I[Sk≤t].

∞

Các biến ngẫu nhiênXk+1và Sk độc lập, sử sụng định lí Lebesgue hội tụ đơn điệu ta có:

E = (1.175) SN 0(t) E (Xk+1) .E I[Sk≤t]

k=0 X ∞

(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)

k=0 X = mR(t)

mF (k)(t) (1.176) =

(1.177)

áp dụng kết quả 1.20.

Chú ý 1.4. Theo 1.17: N 0(t) = N(t) + 1 (1.178)

áp dụng hệ thức 1.21 ta có thể viết kết quả cho 1.168 như sau:

(1.179) E(SN (t)+1) = m[H(t) + 1].

1.6.2 Chặn dưới của hàm tái tạo R

Hệ quả 1.17. Với mọi t dương ta có

. (1.180) R(t) t m ≥

1.7 Dáng điệu tiệm cận của quá trình N(t) 20

Chứng minh. Theo định nghĩa N 0(t), ta có:

t (1.181) SN 0(t). ≤

Lấy kì vọng cho cả hai vế ta được:

E t . (1.182) SN 0(t) ≤ (cid:0) (cid:1) Hoặc từ mệnh đề 1.16 : t mR(t) (1.183) ≤ ta được bất đẳng thức 1.180.

Chú ý 1.5. Sau này, ta sẽ thấy rằng khái niệm quá trình tái tạo dừng sẽ dẫn đến chặn trên của R(t) cho một lớp lớn của các quá trình tái tạo.

1.7 Dáng điệu tiệm cận của quá trình N(t)

0) ≥ Phần này sẽ cho ta hai kết quả quan trọng có liên quan đến quá trình đếm (N(t), t kết hợp với quá trình tái tạo hồi quy được đặc trưng bởi hàm phân phối F.

Mệnh đề 1.18 (Luật mạnh số lớn). Nếu m < thì hầu như chắc chắn rằng:

. = (1.184) lim t→∞ N(t) t ∞ 1 m

Chứng minh. Với bất mẫu đường dẫn của một quá trình tái tạo, ta có:

t (1.185) SN (t)+1. SN (t) ≤ ≤

Theo đó: N(t) < . (1.186) t ≤ N(t) SN (t)+t N(t) SN (t)

Như một quá trình tái tạo hồi quy, ta sử dụng 1.30 để thấy rằng:

. N(t) = (1.187) lim t→∞ ∞

Với bởi giả thiết Xn độc lập và có cùng phân phối, ta sử dụng luật mạnh số lớn khi đó ta có:

= m. (1.188) lim n→∞ X1 + ... + Xn n

Hoặc

. = (1.189) lim n→∞ 1 m n Sn

, t > 0 là một dãy con của Hạng của , n > 0 , ta cũng có: n Sn N(t) SN (t) (cid:19) (cid:19) (cid:18)

. = (1.190) lim t→∞ (cid:18) 1 m N(t) SN (t)

1.7 Dáng điệu tiệm cận của quá trình N(t) 21

Và

. = (1.191) N(t) N(t) + 1 N(t) SN (t)+1 N(t) + 1 SN (t)+1

theo kết quả 1.187, lập luận tương tự ta cũng có:

= (1.192) lim t→∞ 1 m N(t) SN (t)+1

Như vậy kết quả của mệnh đề là do từ 1.188 và từ kết quả giới hạn cổ điển của dãy.

Mệnh đề 1.19 (Định lí giới hạn trung tâm). Nếu σ2 < , thì với mọi y R : ∞ ∈

N(t) y P = Φ(y), (1.193) − lim t→∞ t(cid:30)m σ2t(cid:30)m3 ≤ !

p trong đó Φ là hàm phân phối chuẩn.

0), khi đó: Chứng minh. Ta biết rằng các tuổi thọ X1, X2, ..., Xn, ... liên tiếp của quá trình tái tạo là độc lập cùng phân phối và có phương sai hữu hạn. Như vậy, ta có thể áp dụng định lí giới hạn trung tâm cổ điển cho dãy tổng riêng (Tn, n ≥

P y = Φ(y). (1.194) lim n→∞ nm Tn − σ√n ≤ (cid:18) (cid:19)

Theo định nghĩa 1.2 ta chuyển từ dãy Tn sang quá trình N(t):

P (N(t) t) (1.195)

. = P (1.196) n) = P (Tn ≤ ≥ nm Tn − nm t − σ√n σ√n ≤ (cid:18) (cid:19) Bây giờ ta cố định biến y và đặt n và t tiến ra + theo cách đó: ∞ t = y. (1.197) nm − σ√n lim t→∞ n→∞

như vậy t t nm m = (1.198) − σ√n √n σ σ√n −

Từ 1.197 cho ta:

. = + (1.199) t σ√n ∞ lim t→∞ n→∞

Tương tự vậy t nm t (1 nm(cid:30)t ) = (1.200) − σ√n − σ√n

một ứng dụng của kết quả 1.199 chỉ ra rằng lý thuyết giới hạn có vai trò quan trọng:

= 1. (1.201) nm t lim t→∞ n→∞

1.7 Dáng điệu tiệm cận của quá trình N(t) 22

Bây giờ ta xét sác suất của thành phần đầu tiên trong đẳng thức 1.195. Ta có:

n N(t) (1.202) P (N(t) n) = P − ≥ t(cid:30)m σ2t(cid:30)m3 ≥ t(cid:30)m − σ2t(cid:30)m3 !

p p trong đó

t nm n √m = (1.203) − σ√t t(cid:30)m − σ2t(cid:30)m3

t p . (1.204) = nm − σ√n nm t r

Nếu n và t , theo hệ thức 1.197 và 1.201 thì lượng bên trên sẽ tiến đến y: → ∞ → ∞ −

N(t) P P (N(t) n) (1.205) − lim t→∞ ≥ t(cid:30)m y σ2t(cid:30)m3 ≥ − !

= lim t→∞ n→∞ = Φ(y). (1.206) p

Kết quả cuối cùng có nghĩa là:

N(t) P y = 1 Φ( y) (1.207) − lim t→∞ − − t(cid:30)m σ2t(cid:30)m3 ≤ !

= Φ(y) (1.208) p

bởi tính chất của hàm phân phối chuẩn.

Chú ý 1.6. Từ mệnh đề 1.19, ta có xấp xỉ cho số lớn t như sau:

var(N(t) (1.209) σ2 m3 t ∼

là kết quả của sự rút gọn của 1.122.

Ví dụ 1.5 (Áp dụng cho lý thuyết thống kê). Vấn đề sau chỉ ra rằng mệnh đề 1.19 có thể dẫn đến các kết quả ứng dụng. Một thiết bị kĩ thuật có tuổi thọ ngẫu nhiên trung bình là m = 100 giờ và có độ lệch chuẩn là σ = 60 giờ. Với lý do an toàn, các thay thế phải được thực hiện liên tục không đựơc gián đoạn trong suốt 8000 giờ. Số lượng của các thiết bị được thay thế vào hệ tại thời điểm 0 để không có sự gián đoạn nào với xác suất 0.95 là bao nhiêu? Từ 1.193, ta có:

8000(cid:30)100 P 1.65 (1.210) − ∼= 0.95. N(8000) 60√8000(cid:30)1000000 ≤ (cid:18) (cid:19)

Hoặc

P (1.211) N(8000) 80 + 165.0.6.√0.008 ∼= 0.95. ≤ (cid:16) Như vậy, ta có (1.212) P (N(8000) (cid:17) 80 + 9) ∼= 0.95. ≤

1.8 Các thời điểm hồi quy 23

Do đó số lượng các thiết bị dự trữ tại thời điểm 0 ít nhất là 89. Ở đây con số 89 có thể tìm ra bằng cách tính toán như trên nhưng thường dùng quy

= 80, ta cộng thêm 10% an toàn ta có 88 gần với kết quả tối ưu trên. tắc tỉ số t(cid:30)µ = 8000 100

1.8 Các thời điểm hồi quy

1.8.1 Định nghĩa

0) được đặc trưng bởi hàm phân phối F của giá trị trung ≥ Xét quá trình tái tạo (Tn, n bình m. Tại thời điểm t dương, ta biết rằng tuổi thọ của XN (t)+1 hoặc XN (t) là:

t (1.213) SN (t)+1. SN (t) ≤

≤ Trong giới hạn của quá trình thay thế, thành phần chịu tác động tại thời điểm t có độ tuổi δ(t) cho bởi δ(t) = t (1.214) SN (t) − và thời gian mà thành phần này phải đợi đến khi bị hư hỏng là γ(t), được cho bởi:

t. (1.215) γ(t) = SN (t)+1 −

Hiển nhiên ta có tổng tuổi thọ của thành phần này là XN (t)+1 thõa :

(1.216) XN (t)+1 = δ(t) + γ(t).

Hình 1.2: Tuổi, tuổi thọ còn lại và thời gian tồn tạo

Ta sẽ sử dụng các thuật ngữ sau: biến ngẫu nhiên δ(t), γ(t) và XN (t)+1 được gọi là tuổi, tuổi thọ còn lại và thời gian tồn tại.

Các biến ngẫu nhiên này hay chính xác hơn là các quá trình ngẫu nhiên này thì có ích cho nhiều ứng dụng. Ví dụ, ta có thể tính toán được xác suất mà thiết bị bắt đầu hoạt động tại thời điểm t và không hư hỏng trong suốt khoảng thời gian [t, t + τ ], ta tính phải tính được xác suất sau: P (γ(t) > τ ). (1.217)

1.8 Các thời điểm hồi quy 24

1.8.2 Hàm phân phối của số lần hồi quy

Trước hết ta đưa ra hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên δ(t), γ(t) và XN (t)+1 với mọi t. Kế đến, ta sẽ nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của các hàm phân phối này tức là khi t tiến dần ra + . ∞

Mệnh đề 1.20 (Phân phối của tuổi (δ(t))). Nếu Fδ(t) là hàm phân phối tuổi δ(t) thì:

x t (1.218) Fδ(t)(x) = 1,

≥ 0) = 1 F (t), (1.219) Fδ(t)(x) Fδ(t)(t − − −

[1 F (t u)] dH(u). (1.220) Fδ(t) = − − Z[t−s,t]

Mệnh đề 1.21 (phân phối của tuổi thọ còn lại). Nếu Fγ(t) là hàm phân phối của γ(t), với mọi x dương ta có:

Hình 1.3: Phân tích biến cố tuổi thọ

[F (t u + x) F (t u)] dR(u). (1.221) Fγ(t)(x) = − − − Z[0,t]

Chú ý 1.7. Theo 1.21 chúng ta có thể viết

P (γ(t) x) = F (t + x) F (t) + [F (t u + x) F (t u)] dH(u). (1.222) ≤ − − − − Z[0,t]

− Chú ý 1.8. Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của Fγ(t), hệ thức 1.222 được sử dụng dưới F c trong tích phân 1.221 , trong một dạng khác. Dạng này có được do ta thay F bằng 1 đó F c(x) mô tả (1.223) F c(x) = P (Xn > x).

Ta có

P (γ(t) x) = F (t + x) F (t) + [F c(t u) F c(t u + x)] dH(u). (1.224) ≤ − − − − Z[0,t]

1.8 Các thời điểm hồi quy 25

t

Hoặc tương đương:

. P (γ(t) x) = F (t + x) F c(t u + x)dH(u) F (t) F c(t u)dH(u)  ≤ − −  − − − Z0 Z[0,t] 

 (1.225) Theo phương trình tái tạo 1.55, giới hạn trong ngoặc xấp xỉ bằng 0. Điều này cho kết quả sau:

P (γ(t) x) = F (t + x) u + x)dH(u). (1.226) F c(t − ≤ − Z[0,t]

Chú ý 1.9. (Kì vọng của γ(t)) Sử dụng kết quả 1.179 kết hợp với 1.215 ta được:

t. E (γ(t)) = m [H(t) + 1] (1.227) −

Kết quả này cho ta giá trị chính xác của kì vọng khi ta biết được H(t). Áp dụng kết quả 1.227 cho quá trình Poisson ta có:

E (γ(t)) = m (1.228)

là kết quả tự nhiên nếu ta nhớ “tính không nhớ” của phân phối mũ.

t

Mệnh đề 1.22 (Phân phối của thời gian tồn tại). Nếu FXN(t)+1 là hàm phân phối của thời gian tồn tại XN (t) thì ta có:

t−x R F (x)

0 R

t [F (x) F (t u)]dH(u) nếu x − ≤ (1.229) − t [F (x) F (t u)]dH(u) nếu x > t F (t) + − − −

Hình 1.4: Phân tích các biến cố thời gian tồn tại

FXN(t)+1(x) =   

x.

Giả sử x > t. Như vậy, thành phần chịu tác động tại thời điểm t vẫn là thành phần Chứng minh. Ta xét các biến cố XN (t)+1 ≤ đầu tiên. Trong trường hợp này, xác suất của biến cố được xét là F (x) F (t). −

1.8 Các thời điểm hồi quy 26

− ≤ x được cho bởi tích phân.

t

Một khả năng khác đó là tồn tại ít nhất một sự tái tạo trước hoặc tại thời điểm t. Nếu ta giả sử thành phần chịu tác động vào thời điểm t đã được đưa vào hệ thống trong khoảng thời gian từ u đến u + du, ta phải tính xác suất mà thành phần này có tuổi thọ u, x). Kết quả này kết hợp với chứng minh xác suất của hàm tái tạo cho trong khoảng (t ta tích phân của 1.229. Hiển nhiên, nếu x t thì nhất thiết sẽ có ít nhất một sự tái tạo trước hoặc tại thời điểm t và xác suất của biến cố XN (t)+1 ≤ Chú ý 1.10. Áp dụng hàm tái tạo R được xác định bởi hệ thức 1.20, ta có kết quả của 1.227 như sau

[F (x) F (t u)] dR(u). (1.230) FXN(t)+1(x) = − − Zt−x

Thừa nhận rằng hàm H và R bằng 0 với đối số có giá trị âm.

Hệ quả 1.23. Nếu F có đạo hàm là f thì FXN(t) cũng có đạo hàm là fXN(t)và :

(1.231) ≤ fXN(t) = f (x)[M(t) f (x)[M(t) M(t M(t x)] x)] + f (x) nếu x t nếu x > 1. (cid:26) − − − −

β(x)

Chứng minh. Hệ quả này là hệ quả đơn giản của công thức mà cho ta đạo hàm của hàm λ(x) theo x, được định nghĩa:

K(u, x)du (1.232) λ(x) =

β(x)

Zα(x)

λ0(x) = K(u, x)du + β0(x)K(β(x), x) α0(x)K(α(x), x). (1.233) ∂ ∂x − Zα(x)

1.8.3 Dáng điệu tiệm cận

Trong nhiều trường hợp thực tiễn, ta giả sử rằng quá trình tái tạo được quan sát sẽ tiếp diễn trong một thời gian dài, vì vậy với các điều kiện đúng để quan sát quá trình “cân bằng”, đó là trạng thái dừng khi t . → ∞ Mệnh đề tiếp theo cho ta dáng điệu tiệm cận của hàm phân phối Fδ(t), Fγ(t) và FXN(t)+1.

x

Mệnh đề 1.24. Nếu m hữu hạn thì với mọi x dương: (i)

[1 F (u)] du. (1.234) Fγ(t)(x) = lim t→∞ Fδ(t)(x) = lim t→∞ 1 m − Z0

x

(ii)

udF (u). (1.235) FX(t)+1(x) = lim t→∞ 1 m Z0

1.8 Các thời điểm hồi quy 27

Chứng minh. (i) Từ biểu đồ 1.2 ta có thể viết

P (δ(t) x) = P (γ(t x) x) (1.236) ≤ − ≤

hoặc (1.237) Fδ(t)(x) = Fγ(t−x)(x).

Với bất kì hàm g và x cố định ta có:

(t−x)→∞

g(x, t) = lim g(x, t) (1.238) lim t→∞

t

Vì thế, từ 1.236 ta suy ra Fδ(t) và Fγ(t) có cùng giới hạn. Từ 1.222 ta có:

F c(t u + x)dH(u) + F c(t + x). (1.239) P (γ(t) > x) = − Z0

Như 1.21 ta biết rằng

u R. (1.240) R(u) = U0(u) + H(u); ∈

t

Ta cũng có:

t

P (γ(t) > x) = F c(t u + x)dR(u) F c(t + x) + F c(t + x) (1.241) − − Z0

F c(t u + x)dR(u). (1.242) = − Z0

∞

Ta có thể sử dụng mệnh đề 1.11 để chỉ ra rằng

F c(z + x)dz. (1.243) P (γ(t) > x) = lim t→∞ 1 m Z0

∞

Thay biến u = z + x, ta được:

P (γ(t) > x) = F c(u)du. (1.244) lim t→∞ 1 m Zx

∞

Từ hệ thức 1.223 ta có: F F c = 1 (1.245) − khi đó:

P (γ(t) x) = 1 F c(u)] du. [1 (1.246) lim t→∞ 1 m ≤ − − Zx

1.8 Các thời điểm hồi quy 28

∞

với

m = [1 F (u)] du (1.247) − Z0

ta có điều cần chứng minh. (ii) Xét (1.248) ¯FXN(t)+1(x) = K(x, t).

Trong cách đặt điều kiện cho giá trị của X1(gọi là y), ta có

x, t } P = (1.249) y) XN (t)+1 > 1,X1 = y − 1 K(x, t 0 nếu y > max { nếu y t ≤ nơi khác.   (cid:0) (cid:1)

t

 Lấy kì vọng toán học cho cả hai thành phần ta được:

K (x, t y)dF (y). (1.250) K(x, t) = 1 F (max ) + − − x, t } { Z0

Áp dụng mệnh đề 1.10 ta có:

K(x, t) = (1 ) R(.)) (t). (1.251) F (max { x, . } • −

∞

Bây giờ, áp dụng kết quả 1.80 của mệnh đề 1.11 ta có dáng điệu tiệm cận của K(x, t) với t : → ∞

x, u [1 )] du. (1.252) K(x, t) = lim t→∞ 1 m F (max { − } Z0

x

∞

∞

Áp dụng tích phân từng phần và với khai triển sau đây, tích phân này được biến đổi thành:

∞

x, u [1 )] du = [1 F (x)] du + [1 F (u)] du (1.253) − F (max { − } − Zx Z0 Z0

x +

= [1 F (x)] x + [(1 F (u))u]∞ udF (u). (1.254) − − Zx

Với giá trị trung bình hữu hạn m cho ta:

[1 F (u)] u = 0 (1.255) lim t→∞ −

∞

∞

do đó, với hai số hạng đầu đối nhau, ta có:

x, u udF (u). (1.256) [1 )] du = F (max { − } Zx Z0

Vì vậy, kết quả 1.235 có được từ 1.252.

29 1.8 Các thời điểm hồi quy

Hệ quả 1.25. Nếu m hữu hạn thì : (i) Phân phối hữu hạn Fδ của Fδ(t) và Fγ(t) có hàm mật độ fδ được cho bởi

1 (1.257) − fδ(u) = F (u) m

(ii) Phân phối hữu hạn của FXN(t)+1 có mật độ phân phối:

(1.258) uf (u) m

hàm F có f là hàm mật độ.

t−y

Mệnh đề 1.26. (i) Với mọi t, x, y, y < t dương

F c (t u + x) dH(u) + F c(t + x). (1.259) P (γ(t) > x,δ(t) > y) = − Z0

∞

(ii) Nếu m hữu hạn thì

[1 F (u)] du. (1.260) P (γ(t) > x,δ(t) > y) = lim t→∞ 1 m − Zx+y

Hình 1.5: Phân tích các biến cố tuổi thọ và tuổi thọ còn lại

Chứng minh. (i) Biểu đồ bên dưới chỉ rõ sự tương đương của các biến cố

ω: γ(t, ω) > x, δ(t, ω) > y (1.261) { } và . ω: γ(t y) > x + y (1.262) { − } Do đó, P (γ(t) > x,δ(t) > y) = P (γ(t y) > x + y) . (1.263) −

1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng 30

Áp dụng hệ thức 1.222, ta được

P (γ(t) > x,δ(t) > y) = 1 F (t + x) [1 F (t u + x)] dH(u) (1.264) − − − − Z[0,t−y]

1.259 có được do kết hợp với: F. F c = 1 (1.265) − (ii) Từ tính chất giới hạn, ta có:

P (γ(t P (γ(t) > x + y) . (1.266) lim t→∞ y) > x + y) = lim t→∞ −

x+y

Một ứng dụng của 1.263 và kết quả 1.234 của mệnh đề 1.24 cho:

∞

P (γ(t) > x,δ(t) > y) = 1 [1 F (u)]du (1.267) lim t→∞ 1 m − − Z0

[1 F (u)du (1.268) = 1 m − Zx+y

∞

với

m = [1 F (u)] du. (1.269) − Z0

1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng

Khái niệm quá trình tái tạo dừng là một phần của quá trình tái tạo trì hoãn. Quá trình tái tạo trì hoãn A cũng là một quá trình tái tạo nhưng biến ngẫu nhiên đầu tiên X1 không cùng phân phối với các biến ngẫu nhiên khác dù chúng vẫn độc lập nhau. 1) là dãy các biến độc lập độc lập không âm, G là hàm Chính xác hơn, đặt (Xn, n ≥ phân phối của tất cả các biến ngẫu nhiên khác. 0), với Dãy tương ứng (Tn, n ≥ (1.270) T0 = 0,

(1.271) Tn = X1 + . . . + Xn

được gọi là dãy tái tạo trì hoãn hoặc quá trình tái tạo trì hoãn.

Rõ ràng, định nghĩa cổ điển của quá trình tái tạo có thể được mở rộng cho trường hợp quá trình tái tạo trì hoãn. Ví dụ nếu Hd(t) là hàm tái tạo của quá trình tái tạo trì hoãn và nếu đặt điều kiện là X1 = x, thì ta có:

(1.272) X1 = x) = 0 1 + H(t x) nếu x > t t nếu x Hd(t | (cid:26) − ≤

trong đó H là hàm tái tạo kết hợp với hàm phân phối F . Khi đó, với định nghĩa:

(1.273) X1) = E(N(t) X1) Hd(t | |

1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng 31

ta được:

(1.274) E(N(t)) = E(Hd(t, X1)) t

= [1 + H(t x)]dG(x). (1.275) − Z0

hoặc: G(t). (1.276) Hd = G(t) + H •

x

Vì thế nếu biết được hàm tái tạo H muốn tính Hd thì ta chỉ cần tính tích chập. Khái niệm quá trình tái tạo trì hoãn này đựơc trình bày bởi vì nó giải thích rằng nếu một quá trình tái tạo được khảo sát và nó đang hoạt động trong một khoảng thời gian dài thì biến đầu tiên X1 được khảo sát là tuổi thọ còn lại γ tại thời điểm bắt đầu của quá trình khảo sát. Ta có thể giả sử rằng hàm phân phối giới hạn của γ được cho bởi 1.234. 2 còn lại có hàm phân phối F . ≥ Hiển nhiên, các biến ngẫu nhiên Xn,n Như vậy ta có quá trình tái tạo trì hoãn riêng cho nó là

x G(x) = [1 F (u)]du; 0. (1.277) 1 m − ≥ Z0

Quá trình như vậy được gọi là quá trình tái tạo dừng. Hai kết quả chính, liên quan đến quá trình tái tạo dừng, có liên quan đến hàm tái tạo H và hàm phân phối tuổi thọ còn lại.

Mệnh đề 1.27. Với mỗi quá trình tái tạo dừng được đặc trưng bởi hàm phân phối (G, F ) với giá trị trung bình hữu hạn m cho f , với mọi t ta có:

(1.278) Hs(t) = t m

Hs là hàm tái tạo của quá trình tái tạo dừng.

Chứng minh. Nếu áp dụng phép biến đổi Laplace Stieltjes cho cả hai vế của 1.276 ta được:

(1.279) H d(s) = G(s) + H(s).G(s)

∞

với quy ước:

K(s) = e−sxdK(x). (1.280)

Z0

Từ phương trình tái tạo cổ điển 1.57 ta suy ra:

H(s) = F (s) + F (s).H(s) (1.281)

hoặc F (s) . H(s) = (1.282) 1 F (s) −

1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng 32

∞

Từ 1.277 và tính chất của phép biến đổi L-S, ta được:

∞

e−su [1 F (u)] du (1.283) G(s) = 1 m − Z0

. = e−suF (u)du (1.284) 1 m   1 s − Z0   Lấy tích phân từng phần ta có:

1 . (1.285) G(s) = − 1 m F (s) s

Thay H(s) và G(s) bằng 1.282 và 1.285 vào đẳng thức 1.279 ta được:

F (s) 1 . (1.286) 1 H(s) = − 1 m F (s) s − 1 F (s) (cid:21) (cid:20) − Hoặc sau khi rút gọn ta được:

. (1.287) Hs(s) = 1 m 1 s

∞

Ta biết rằng

. (1.288) e−sxdx = 1 s Z0

Như vậy, theo đó phép biến đổi Laplace Stieltjes ngược của 1.287 cho ta:

. (1.289) Hs(t) = t m

γs(t)(x) = 1

Mệnh đề 1.27 có ý nghĩa quan trọng. Thực vậy, giá trị Hs là tiệm cận đúng cho mọi quá trình tái tạo, nhưng ở đây với trường hợp quá trình tái tạo dừng, biểu thức tiệm cận này đúng với mọi t. Bây giờ, đặt γs(t) là tuổi thọ còn lại tại thời điểm t với quá trình tái tạo dừng và khi đó: F c (1.290) Fγs(x). − Mệnh đề 1.28. (i) Mỗi quá trình tái tạo dừng được đặc trưng bởi hàm phân phối (G, F ) có giá trị trung bình hữu hạn m cho F và với mọi t ta được:

P (γ(t) x) = G(t + x) [1 F (t + x (1.291) u)] dHd(u). ≤ − − − Z[0,t]

x

(ii) Hơn nữa, nếu quá trình tái tạo là dừng với mọi t thì :

[1 F (u)] du. (1.292) P (γ(t) x) = 1 m − ≤ Z0

1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng 33

Chứng minh. (i) Điều kiện cho giá trị của X1

(1.293) γs(t) = t X1) nếu t < X1 X1 nếu t (cid:26) X1 − γ(t − ≥

Từ đó, với t > x:

t

(1.294) P (X1 > y X1 > t) = G(y) G(t) 1 1 | − − và từ 1.293 ta suy ra:

P (γ(t y) > x) dG(y) (1.295) P (γs(t) > x) = [1 X1 > t) + − G(t)] P (X1 − t > x | −

Z0 t 1 = [1 G(t)] . + P (γ(t y) > x) dG(y). (1.296) G(t + x) G(t) − 1 − − Z0 −

t

Hoặc:

γ(t−y)(x)dG(y).

γs(t)(x) = 1

F c F c (1.297) G(t + x) + − Z0

γ(t). Hàm cuối này có được từ mệnh

γs(t) như một hàm của F c

Đẳng thức này biểu diễn F c

đề 1.21 và theo 1.222 có thể được viết lại dưới dạng:

γs(t)(x) = 1

F c u F (t + x) + [1 F (t x)] dH(u). (1.298) − − − − Z[0,t]

Để đơn giản ta viết: (1.299) 1 F (t + x) = F x(t). − Như vậy 1.298 có dạng:

γs(t)(x) = F x(t) + F x(t

F c u) H(t). (1.300) − •

Trở lại 1.297, ta được:

γs(t)(x) = 1

H F c G(t) (1.301) G(t + x) + F x • G(t) + F x • • −

γs(t)(x) = 1

hoặc F c [G + H G](t). (1.302) − G(t + x) + F x • • Sử dụng hàm tái tạo Hs và áp dụng hệ thức 1.276 thì 1.302 trở thành:

γs(t)(x) = 1

F c (1.303) Hd(t) − G(t + x) + F x •

t

đây là điều phải chứng minh. (ii) Với mệnh đề 1.27, trong trường hợp dừng, hệ thức 1.303 trở thành:

γs(t)(x) = 1

. F c (1.304) G(t + x) + u) ¯Fx(t du m − − Z0

1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng 34

t

Thay u0 = t u được: −

γs(t)(x) = 1

F c (1.305) G(t + x) + ¯Fx(u)du. 1 m − Z0

x+t

x+t

Với hàm G trong 1.277 ta có:

γs(t)(x) = 1

F c [1 F (u)]du + [1 F (u)]du. (1.306) 1 m 1 m − − − Zx Z0

x

Bởi tính chất cộng tính của tích phân liên quan đến miền tích phân nên ta có:

[1 F (u)] du (1.307) Fγs(t)(x) = 1 − − Z0

hoặc 1.292.

Phần (ii) trong mệnh đề 1.28 cho kết luận tương tự như định lí trước: trong trường hợp dừng, phân phối tiệm cận của tuổi thọ còn lại γ(t) là phân phối đúng với mọi t. Kết quả này đưa ra một số hệ quả quan trọng.

x

Hệ quả 1.29. Với mỗi quá trình tái tạo dừng và với mọi t ta có: (i)

δ(t)(x) =

F c [1 F (u)] du. (1.308) 1 m − Z0

∞

(ii)

P (γ(t) > x, δ(t) > y) = [1 F (u)] du. (1.309) 1 m − Zx+y

x

(iii)

P x = udF (u). (1.310) 1 m XN (t)+1 ≤ Z0 (cid:0)

(cid:1) Chứng minh. Kết quả (i) và (ii) trực tiếp có được từ các hệ thức 1.236 1.263 và kết quả 1.291 từ mệnh đề 1.28.

Với (iii) ta sử dụng hệ thức 1.216 với XN (t)+1 là tổng của hai biến ngẫu nhiên δ(t) và γ(t). Từ mệnh đề 1.28 và hệ thức 1.308, ta biết phân phối của biến ngẫu nhiên hai chiều (γ, δ) độc lập với t và do đó nó cũng đúng cho γ(t) + δ(t). Cho t > Xt, ta có: (1.311) XN (t)+1 = XN (t−X1)+1

vì vậy: . P (1.312) = P t > X1 t > X1 XN (t−X1)+1 ≤ x | XN (t)+1 ≤ x | (cid:1) (cid:1) (cid:0) (cid:0)

35 1.10 Dạng số

x

Cho t tiến ra + ta được: ∞

P x (1.313) [1 F (u)] du = 1 m − XN (t)+1 ≤ Z0 (cid:0) (cid:1)

ω : t > X1(ω) là tiệm cận của xác suất 1. Như vậy hàm phân phối của XN (t)+1 { vì biến cố } độc lập với t, kết quả 1.310 tương đương với 1.313.

Chú ý 1.11. Với biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ), ta có

y

x+y

x,Y P (X y) = 1 P (X > x) P (Y > y) + P (X > x,Y > y) . (1.314) ≤ ≤ − − Ta có thể ứng dụng kết quả cơ bản này vào hàm phân phối đồng thời của (γ(t), δ(t)), được cho bởi 1.309. Khi đó ta có:

0 x R

x x+y R

0 R

y R

[1 F (u)] du + F (u)] du nếu x > y [1 − − P (γ(t) x, δ(t) ≤ ≤ y [1 F (u)] du + F (u)] du nếu x [1 1 m 1 m 1 m 1 m − − ≤

(1.315) y) =   

1.10 Dạng số

Phương trình tái tạo 1.57 có thể được giải trực tiếp (như đã trình bày trong các phần trước) trong một số trường hợp đặc biệt hoặc được giải bằng phép biến đổi Laplace hay Laplace Stieltjes cho các trường hợp còn lại.

Bằng cách này, có thể giải phương trình tích phân 1.57 bằng phép giải tích. Nhưng trong phần lớn các ứng dụng thực tế phương trình giải được bằng mô hình thì không giải được bằng các phương pháp giải tích. Với các trường hợp này ta cần sử dụng phép xấp xỉ số để giải phương trình tái tạo tổng quát 1.57 trong khoảng thời gian horizon bị chặn.

Một cách để giải quyết vấn đề này là sử dụng phép biến đổi Laplace nhưng khi đó ta cần phép biến đổi Laplace ngược để có được nghiệm của phương trình, nhưng ta biết rằng phép biến đổi ngược này không ổn định về mặt số học. Vì vậy, cách tốt nhất để giải 1.57 là áp dụng phương pháp số cho phương trình tích phân mà không sử dụng phép biến đổi Laplace.

1.10.1 Phương pháp cầu phương tổng quát

kh

k

Ta thừa nhận hàm mật độ f của F tồn tại. Do đó ta phải giải phương trình tích phân được cho bởi 1.58. Công thức của phép cầu phương tổng quát được viết dưới dạng:

l=0 X

(1.316) wk,lf (lh) f (t)dt ∼= Z0

N, k, N Trong đó h là độ dài bước nhảy, k N, wk,l ∈ ≤

là các trọng số liên quan đến công thức phép cầu phương 1.316. Chúng là các hàm được tính giá trị tại cả điểm đầu và điểm cuối.

36 1.10 Dạng số

t Ngoài ra, N là số sao cho hk = t,hN = Y và 0 Y , Y mô tả độ dài thời gian ≤ ≤ horizon. Phương pháp cầu phương tổng quát có nghĩa là giá trị của trọng số wk,l phụ thuộc vào đa thức được sử dụng để xấp xỉ hàm lấy tích phân.

k

Áp dụng kết quả 1.316, ta có hệ thức xấp xỉ kết quả của 1.58 như sau:

l=0 X

lh)f (lh); k = 1, ..., N (1.317) ˆH(kh) = F (kh) + wk,l ˆH(kh −

w1,1 ˆH(0)f (h) + F (h) =

ˆH(h) −w1,0 ˆH(h)f (0) ˆH(2h) −w2,0 ˆH(2h)f (0)

.

w2,2 ˆH(0)f (2h) + F (2h) .

.

.

.

. . .

. . .

= −w2,3 ˆH(h)f (h) . . .

. · · ·

. =

ˆH(kh) −wk,0 ˆH(kh)f (0) −wk,1 ˆH((k − 1)h)f (h)

.

wk,k ˆH(0)f (kh) + F (kh) .

.

.

.

.

.

.

.

. . .

. . .

. . .

. . −wk,k−1 ˆH(h)f ((k − 1)h) . . .

(1.318)

trong đó ˆH là giá trị xấp xỉ của hàm H. Bằng cách này, hệ tuyến tính sau có:

Hệ 1.318 có nghiệm nếu

(1.319) = 0, k = 1, . . . , N. 1 wk,0f (0) − 6

Có một định lí được thiết lập bởi Baker (1977) đưa ra điều kiện rằng nếu h 0 thì → H H. → Trước khi đưa ra định lý 1.316 ta xét hai bổ đề với các số thực sau và được chứng minh

trong Baker (1977). b

r−1

Bổ đề 1.30. Nếu

i=0 X q−1

q A + B, r = q,q + 1, . . . ; 1 (1.320) ξi| | ≥ ξr| ≤ |

i=0 | P

ξ thì: trong đó A > 0, B > 0 và ξi| ≤

1. (Aξ + B)(1 + A)r−q,r = q,q + 1,...q (1.321) ≥ ξr| ≤ |

Bổ đề 1.31. Giả sử A = h ˆL 0 và ph = x 0 (1.322) ≤ ≥ thì q. e ˆLx nếu p (1.323) (1 + A)p−q ≥ ≤ Chú ý 1.12. Từ bổ đề 1.30 và 1.31 ta được:

Lrh. e b

Lx = b

h (1.324) Lξ + B (Aξ + B) (1 + A)r−q (Aξ + B) e ξr| ≤ | ≤ (cid:17) (cid:16) Định lý 1.32. Đặt b R F : [0, Y ] R, H : [0, Y ] (1.325) → → , N và q 1, ...,N N, như vậy Nh Y . ∈ { } ∈ ≤

1.10 Dạng số 37

Đặt H(kh), ξk(h) = ˆH(kh) (1.326) − k = 0,1,2, ..., N trong đó H(kh) là nghiệm của 1.57 và ˆH(kh) là nghiệm của 1.318 Nếu ta định nghĩa: ηk(h) = ξk(h) (1.327)

và

0≤u≤k≤N

< (1.328) | (cid:12) (cid:12) w = wN = max (cid:12) (cid:12) wku| h ∞

kh

k

thì

u=0 X tk(h)

uh)f (uh) (1.329) H(kh τ )f (τ )dτ tk(h) = wku ˆH(kh − − − Z0

(1.330) σk(h) =

n−1

σk(h) (1.331) (cid:12) τ (h) = τN (h) = max (cid:12) q≤k≤N (cid:12) (cid:12)

ξ(h) = ηu(h). (1.332)

u=0 X c1 với t

Hơn nữa, nếu ta thừa nhận f (t) [0, Y ] thì | | ≤

τ (h) + mhwN c1ξ(h) ∈ mc1wN kh 1−mhwN c1 , e k = q,q + 1, . . . , N (1.333) ηk(h) 1 ≤ mhwN c1 −

trong đó mhwN c1 < 1.

1.10.2 Một vài công thức đặc biệt

Trong phần này vài công thức của phương pháp số của phương trình tái tạo sẽ được trình bày. Công thức 1.317 sẽ liên quan đến công thức tổng quát riêng Newton-Cotes. Phương trình có được từ phép cầu phương Simpson là:

τ =1 X

−1

k 2 ˆH(kh) = F (kh) + ˆH(kh)f (0) + ˆH(kh (2τ 1)h)f ((2τ 1)h) h 3 4h 3 − − −

τ =1 X

k 2 ˆH(0)f (kh). (1.334) ˆH(kh 2τ h)f (2τ h) + + h 3 2h 3 −

k−1

Áp dụng công thức Bezout ta được:

τ =1 X

ˆH(kh τ h)f (τ h)+ ˆH(kh) = F (kh) + ˆH(kh)f (0) + h ˆH(0)f (kh). (1.335) h 2 h 2 −

1.10 Dạng số 38

k

Cuối cùng, áp dụng phương pháp phép cầu phương (công thức hình chữ nhật), ta được hai công thức khác: một cho ta giá trị hàm tích phân tại thời điểm ban đầu và thứ hai cho ta vào thời điểm cuối của khoảng thời gian được xét. Bằng cách này, ta được các hệ thức sau:

τ =1 X k−1

ˆH(kh) = F (kh) + h ˆH(kh τ h)f (τ h). (1.336) −

τ =0 X

ˆH(kh τ h)f (τ h). (1.337) ˆH(kh) = F (kh) + h −

k

Thay vi phân bởi trung bình của sai phân tương ứng cho ta kết quả sau:

τ =1 X k−1

ˆH(kh τ h)(F (τ h) F ((τ 1)h)), (1.338) ˆH(kh) ∼= F (kh) + − − −

τ =0 X

ˆH(kh τ h)(F ((τ + 1)h) F ((τ )h)). (1.339) ˆH(kh) ∼= F (kh) + − −

k

Trong 1.338 ta giả sử h = 1 thì:

τ =1 X

ˆH(k τ )(F (τ ) F (τ 1)). (1.340) ˆH(k) ∼= F (k) + − − −

Hơn nữa, đặt:

k

v(τ ) = (1.341) F (τ ) F (τ ) F (τ 1) nếu τ = 0 nếu τ > 0 (cid:26) − − ta được

τ =1 X đó là phương trình tái tạo với thời gian rời rạc xem Feller (1957 trang 330). Trong quyển sách của Freiberger và Grenander (1971), có xấp xỉ nghiệm số của quá trình tái tạo nhưng không có bất kì sự chứng minh nào về phương pháp này.

H(k) = F (k) + H(k τ )v(τ ) (1.342) −

Bây giờ ta đặt H là hàm tái tạo với thời gian liên tục và là các thời điểm tái tạo. Tn} { Nếu ta đặt:

n+1

n ≤

h (1.343) T h n = Tn h (cid:21) (cid:20) và t < T h N h(t) = n nếu T h (1.344)

k

thì hàm tái tạo với thời gian rời rạc liên quan được cho bởi:

τ =1 X

H h(kh) = F h(kh) + H h((k τ )h)vh(τ h). (1.345) −

n được xác định trong cùng không gian xác suất (Ω, F, P ) của Tn.

Quá trình tái tạo T h Cho w Ω, ta có kết quả sau. ∈

1.10 Dạng số 39

n hội tụ đến Tn với

Định lý 1.33. Quá trình T h w khi h 0. ∀ → Chứng minh. Theo các định nghĩa đã được nêu trong mục 1.10.2 và hệ thức 1.345 ta có:

P n. = n = P (N(t) = n) (1.346) ∀ N h(t) h→0 (cid:18) (cid:19)

Công thức 1.346 cho:

hcc −−→

(1.347) Tn. T h n h→0

a) Mô tả dữ liệu.

1.10.3 Ví dụ thực tế về tai nạn ô tô

Trong phần này phương trình tái tạo được ứng dụng cho dữ liệu thực trong thống kê bảo hiểm. Chúng ta hy vọng rằng quá trình tái tạo có thể được ứng dụng cho trường hợp tổng quát với dữ liệu từ quan sát thống kê. Trong trường hợp này ta sử dụng công thức được cho bởi hệ thức 1.342.

Ta áp dụng thuyết tái tạo cho trường hợp tai nạn xe. Trong một hợp đồng bảo hiểm xe mỗi lần người được bảo hiểm gặp tai nạn, công ty bảo hiểm sẽ trả tiền tổn thất cho họ. Điều đó có nghĩa là khi xe được bảo hiểm mang đi sữa chữa thì đó chính là được tái tạo. Tại thời điểm bắt đầu của hợp đồng thì thuyết tái tạo cũng được áp dụng. Ta có dữ liệu tai nạn thô của một công ty bảo hiểm được theo dõi trong 50 năm. Từ dữ liệu này ta có thể xây dựng hàm phân phối tăng dần với thời gian tái tạo rời rạc về tai nạn xe. Nói chung, ta có dữ liệu của 156.428 người mua bảo hiểm và trong số họ 22.395 người có ít nhất một lần bị tai nạn trong thời gian mua bảo hiểm. Trong hồ sơ không có dữ liệu liên quan đến ngày mua bảo hiểm.

Ta xây dựng hai vector. Vector thứ nhất đếm số lượng người được bảo hiểm mà lần thứ hai bị tai nạn trong vòng 1 năm, 2 năm,. . . kể từ lần đầu tiên. Vector thứ hai ta đếm số người được bảo hiểm bị tai nạn lần thứ ba trong 1 năm, 2 năm,. . . kể từ lần thứ 2.

Chính xác hơn, tại thời điểm ban đầu, ta đặt tất cả các phần tử của hai vector là 0. Ta thêm 1 tại phần tử thứ n của vector đầu tiên khi tai nạn lần thứ hai được xác định sau n −

1 và trước n năm kể từ lần tai nạn đầu tiên. Tương tự vậy, ta thêm 1 tại phần tử thứ n của vector thứ hai khi tai nạn lần thứ ba 1 và trước n năm kể từ tai nạn lần thứ hai. Cuối cùng, phần tử − được xác minh sau n thứ n của hai vector sẽ đưa ra số tai nạn trong suốt năm thứ n từ năm trước đó.

Kết quả thu được sẽ được trình bày trong bảng 1.1. Ví dụ, số 1.576 ở hàng thứ ba trong bảng mô tả số tai nạn lần thứ hai xảy ra sau hai năm và trước năm thứ ba kể từ tai nạn đầu tiên và tương tự số 226 mô tả số tai nạn lần thứ ba xảy ra sau hai năm và trước năm thứ ba sau tai nạn lần thứ hai.

Số năm 1-2 153 695 1 576 1 549 1344 1 2 3 4 5 2-3 88 126 226 224 172 1-2 + 2-3 241 821 1 802 1 773 1 516

1.10 Dạng số 40

176 138 107 86 69 61 33 21 15 16 7 3 4 3 2 1

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 Tổng 928 619 386 278 189 139 101 77 40 36 15 11 11 10 7 14 6 8 7 7 2 - 4 3 5 3 2 1 - 1 - 1 8228 1 104 757 493 364 258 200 134 98 55 52 22 14 15 13 9 15 6 8 7 7 2 - 4 3 5 3 2 1 - 1 - 1 9 806 1578

Bảng 1.1: Số tai nạn xảy ra trong một năm

Trong bảng 1.2 ta trình bày số lượng trung bình và phương sai hằng năm liên quan đến ba phân phối của bảng 1.1

Trung bình Phương sai 1-2 5.3453 10.8680 2-3 5.8676 11.7207 1-2 + 2-3 5.4293 11.0421

Bảng 1.2: Trung bình và phương sai hằng năm của các tai nạn

1.10 Dạng số 41

Trong bảng 1.3, ta trình bày phân phối thực nghiệm của ba vector trong bảng 1.1. Các kết quả trong cột có được là do chia mỗi ô cho tổng số tai nạn xảy ra trong vector (phần tử cuối cùng). Mặc dù giá trị trung bình và phương sai không bằng nhau nhưng biểu đồ có được từ bảng 1.3 có dạng giống như quá trình Poisson.

2-3 0.055767 0.079848 0.143219 0.141952 0.108999 0.111534 0.087452 0.067807 0.054499 0.043726 0.038657 0.020913 0.013308 0.009506 0.010139 0.004436 0.001901 0.0002535 0.001901 0.001267 0.000634

Năm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 1-2 + 2-3 0.02457679 0.08372425 0.183765042 0.180807669 0.154599225 0.112584132 0.077197634 0.050275342 0.037120131 0.026310422 0.020395676 0.013665103 0.009993881 0.005608811 0.005302876 0.002243524 0.001427697 0.001529676 0.001325719 0.000917805 0.001529676 0.00061187 0.000815827 0.000713849 0.000713849 0.000203957 0 0.000407914 0.000305935 0.000509892 0.000305935 0.000203957 0.000101978 0 0.000101978 0 0.000101978

1-2 0.018595 0.084468 0.191541 0.18826 0.163345 0.112786 0.075231 0.046913 0.033787 0.02297 0.016894 0.012275 0.009358 0.004861 0.004375 0.001823 0.001337 0.001337 0.001215 0.000851 0.001702 0.000729 0.000972 0.000851 0.000851 0.000243 0 0.000486 0.000365 0.000608 0.000365 0.000243 0.000122 0 0.000122 0 0.000122 Bảng 1.3: Phân phối tần số

Quan sát dữ liệu dẫn đến các vấn đề cần xem xét sau:

1.10 Dạng số 42

i) Cả ba phân phối đều có cùng dạng.

ii) Các phân phối này có dạng Poisson nhưng phương sai xấp xỉ gấp đôi giá trị trung bình.

iii) Giá trị trung bình và phương sai của hai cột đầu tiên trong bảng 1.1 là tương tự nhau.

a) Phân phối kết quả

Do đó, ta có thể nói rằng giả thiết tái tạo là chấp nhận được vì chúng đồng dạng và có cùng tham số của hai phân phối đầu tiên. Ta có thể giả sử rằng sau một tai nạn quá trình được tái tạo và chế độ của người được bảo hiểm là giống nhau. Để có được dữ liệu đáng tin cậy hơn ta gộp các phân phối thứ nhất và thứ hai lại với nhau ta sẽ có cột thứ ba cho mỗi bảng.

− −

Bây giờ ta xét tần số trong cột cuối cùng của bảng 1.3 như xác suất mà một tai nạn mới 1 và trước n năm kể từ tai nạn trước. Kết quả thứ n được xem như một xảy ra sau n ước lượng xác suất sẽ có một tai nạn sẽ xảy ra giữa năm n 1 và n, ít nhất là một tai nạn, như đã nói ở trên, ta không có dữ liệu liên quan đến dữ liệu của hợp đồng bảo hiểm đầu tiên.

Ta xét khoảng thời gian giữa hai lần xảy ra tai nạn. Các giá trị được nêu trong cột thứ hai là xác suất có điều kiện của biến cố có ít nhất một tai nạn như đã được trình bày trước đó. Áp dụng mô hình tái tạo ta cần xây dựng hàm phân phối cho xác suất có một tai nạn trong vòng n năm. Xác suất có ít nhất một tai nạn (được cho bởi dữ liệu thô) là ta chia số lượng người bị ít nhất một tai nạn (22.395) cho tổng số người có bảo hiểm (156.428).

Với 9.806 là số tai nạn xảy ra sau khi đã từng bị tai nạn. Ta định nghĩa các biến cố sau cho người được bảo hiểm:

A: biến cố có ít nhất hai tai nạn trong suốt thời gian khảo sát.

1 và trước năm thứ n kể từ tai − Bn: biến cố một tai nạn khác xảy ra sau năm thứ n nạn trước.

C: có ít nhất một tai nạn trong suốt thời gian kí hợp đồng (xác suất: 22.395/156.428 = 0,14316).

Ta hy vọng có thể ước lượng được các xác suất sau cho các tai nạn xảy ra liên tiếp. Dn: 1 và trước năm thứ n kể từ ngày kí hợp đồng bảo hiểm − có một tai nạn sau năm thứ n hoặc từ tai nạn trước đó. Phần tử thứ n trong cột thứ hai của bảng 1.3 bằng với cột thứ tư trong bảng 1.2 có giá trị như sau: (1.348) P [Bn/A] .

Nhưng ta quan tâm đến: P [Dn/C]

(1.349) Trong dữ liệu, như phần lý thuyết đã trình bày, ta không có ngày của hợp đồng bảo hiểm. Ta quan tâm đến xác suất P [Dn]. Theo giả thiết tái tạo ta có: P [Bn/A] ∼= P [Dn/C]. Khi đó với ý nghĩa của định lí Bayes, ta xây dựng lại xác suất ρ [Dn] để có xác suất của tai nạn đầu tiên sau một năm, hai năm,. . . Các kết quả này được trình bày trong cột thứ ba của bảng 1.4.

1.10 Dạng số 43

Năm Tần số có điều kiện

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 0.024577 0.083724 0.183765 0.180808 0.154599 0.112584 0.077198 0.050275 0.03712 0.02631 0.020396 0.013665 0.009994 0.005609 0.005303 0.002244 0.001428 0.00153 0.001326 0.000918 0.00153 0.000612 0.000816 0.000714 0.000714 0.000204 0 0.000408 0.000306 0.00051 0.000306 0.000204 0.000102 0 0.000102 0 0.000102 Tần số 0.003519 0.11986 0.026309 0.025885 0.022133 0.016118 0.011052 0.007198 0.005314 0.003767 0.00292 0.001956 0.001431 0.000803 0.000759 0.000321 0.000204 0.000219 0.00019 0.000131 0.000219 8.76E-05 0.000117 0.000102 0.000102 2.92E-05 0 5.84E-05 4.38E-05 7.38E-05 4.38E-05 2.92E-05 1.46E-05 0 1.46E-05 0 1.46E-05 Tần Số 0.003519 0.015505 0.041814 0.067699 0.089832 0.10595 0.117002 0.1242 0.129514 0.133281 0.136201 0.138157 0.139588 0.140391 0.14115 0.141471 0.141676 0.141895 0.142085 0.142216 0.142435 0.142523 0.142639 0.142742 0.142844 0.142873 0.142873 0.142931 0.142975 0.143048 0.143092 0.143121 0.143136 0.143136 0.14315 0.14315 0.143165 Số lượng trung bình 0.003519 0.01551738 0.14191078 0.06812506 0.09107341 0.10866922 0.12175334 0.13130704 0.13903198 0.14506757 0.15000748 0.15371498 0.15663962 0.15870604 0.16051876 0.16170875 0.16261899 0.16340732 0.16404851 0.16453603 0.16503802 0.16535298 0.16565263 0.16590744 0.16613383 0.16626641 0.16635287 0.16648298 0.16658543 0.16670596 0.16679003 0.16685396 0.16690042 0.16692826 0.16696609 0.16698588 0.16701685

Bảng 1.4: kết quả tái tạo của tai nạn

Trong cột thứ tư của bảng này, hàm phân phối tăng có được bởi các thành phần của cột thứ ba. Trong trường hợp này, thành phần thứ n mô tả xác suất xảy ra tai nạn đầu tiên trong vòng n năm. Các dữ liệu này mô tả hàm phân phối trong phương trình tái tạo với thời gian rời rạc để ước tính số lượng tai nạn trung bình của một người có bảo hiểm trong 1, 2, ..., n năm. Giải phương trình tái tạo với thời gian rời rạc (36) ta được kết quả

1.10 Dạng số 44

trình bày ở cột cuối cùng trong bảng 1.3.

Ở đây các kết quả cho ta số lượng tai nạn trung bình là thấp. Với dữ liệu được sử dụng là thực, được cung cấp bởi công ty bảo hiểm và hơn nữa đây là kết quả kết hợp với giá trị xác suất có ít nhất một tai nạn xảy ra trong suốt thời gian bảo hiểm, như ta đã nêu ở trên là 0,14316.

Chương 2

Xích Markov

2.1 Tính Markov

2.1.1 Định nghĩa tính Markov

Giả sử chúng ta nghiên cứu sự tiến triển theo thời gian của một hệ vật lí hoặc sinh thái nào đó (có thể là phân tử, hạt cơ bản, người hoặc một sinh vật nào đó,. . . ). Kí hiệu X(t) là vị trí của hệ tại thời điểm t. Tập hợp các vị trí có thể có của hệ được gọi là không gian trạng thái. Giả sử trước thời điểm s hệ ở trạng thái nào đó, còn ở thời điểm s hệ ở trạng thái i. Ta cần biết tại thời điểm t trong tương lai (t > s)hệ ở trạng thái j với xác suất bao nhiêu? Nếu xác suất này chỉ phụ thuộc vào s, t, i, j thì điều này có nghĩa là: sự tiến triển của hệ trong tương lai chỉ phụ thuộc vào hiện tại và độc lập với quá khứ. Đó là tính Markov. Hệ có tính chất này gọi là quá trình Markov.

Chẳng hạn, nếu gọi X(t) là dân số tại thời điểm t (trong tương lai), thì có thể xem X(t) chỉ phụ thuộc vào dân số hiện tại và độc lập với quá khứ. Nói chung, các hệ (sinh thái, vật lý hoặc cơ học,. . . ) không có trí nhớ hoặc sức ỳ, là những hệ có tính Markov.

Ta kí hiệu E là tập gồm các giá trị của X(t)và gọi E là không gian trạng thái của X(t). Nếu X(t)có tính Markov và E đánh số được (đếm được), thì X(t) được gọi là xích Markov. Thêm vào đó, nếu t = 0, 1, 2 . . . thì ta có khái niệm xích Markov với thời gian rời rạc, còn nếu t ) thì ta có khái niệm xích Markov với thời gian liên tục. [0; ∈ ∞ Về phương diện toán học, tính Markov được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 2.1 (Tính Markov). Ta nói rằng X(t) có tính Markov nếu:

= | X(t0) = i0, . . . , X(tn−1) = in−1, X(tn) = i } X(tn+1) = j P { = P X(tn+1) = j { X(tn) = i }

E. | với bất kì t0 < t1 < . . . < tn < tn+1 < . . . và i0, . . . , in−1, i, j ∈

Ta xem tn là hiện tại, tn+1 là tương lai, (t0, t1, . . . , tn−1) là quá khứ. Vì thế biểu thức trên chính là tính Markov của X(t). Đặt p(s, i, t, j) = P X(t) = j X(s) = i } { |

, (s < t). Đó là xác suất có điều kiện để hệ (hay quá trình) tại thời điểm sở trạng thái i, đến thời điểm t chuyển sang trạng thái j. Vì thế ta gọi p(s, i, t, j) là xác suất chuyển của hệ (hay quá trình). Nếu xác suất chuyển chỉ phụ thuộc vào (t s), tức là, p(s, i, t, j) = p(s + h, i, t + h, j), − thì ta nói hệ (hay quá trình) là thuần nhất theo thời gian.

46 2.1 Tính Markov

2.1.2 Các ví dụ

∞

Ví dụ 2.1. Cho ξ0, ξ1, . . . , ξn, . . . là dãy biến ngẫu nhiên (đại lượng ngẫu nhiên) rời rạc, độc lập, Ek là tập hợp các giá trị của ξk,Ek hữu hạn hay đếm được (k = 0, 1, . . . , n, . . .).

Đặt E = Ek, rõ ràng E là tập hợp không quá đếm được.

k=0 S

Khi đó, ta thấy

P = ξn+1 = j

ξ0 = i0, . . . , ξn−1 = in−1, ξn = i } = p(n, i, n + 1, j) | = P ξn+1 = j | En, j { } En−1, i ξn = i } En+1. E0, i1 ∈ ∈ với i0 ∈ { = P ξn+1 = j { E1, . . . , in−1 ∈ ∈ Như thế (ξn,n = 0, 1, 2, . . .) là xích Markov.

Ví dụ 2.2. Cho ξ0, η1, . . . , ηn, . . . là dãy biến ngẫu nhiên (đại lượng ngẫu nhiên) rời rạc, độc lập, nhận các giá trị là những số nguyên. Đặt Xn = ξ0 + η1 + η2 + . . . + ηn (n = 1, 2, . . .). Ta có

Xn+1 = j

i0, . . . , ηn = i ξ0 = i0, η1 = i1 − i0, . . . , ηn = i ξ0 = i0, X1 = i1, . . . , Xn−1 = in−1, Xn = i } in−1} − in−1} − P { = P = P = P | Xn + ηn+1 = j { ηn+1 = j { ηn+1 = j { | i ξ0 = i0, η1 = i1 − | i } − −

và

Xn+1 = j Xn = i } |

| ξ0 + η1 + . . . + ηn−1 + ηn = i }

ξ0 + η1 + . . . + ηn−1 + ηn = i } P { = P = P = P i | i } − −

Xn+1 + ηn+1 = j { ηn+1 = j { ηn+1 = j { Như thế (Xn;n = 1, 2, . . .) là xích Markov.

Các xích Markov ở ví dụ 2.1 và 2.2 trên là không thuần nhất. Nếu trong ví dụ 2.1 cho ξ0, ξ1, . . . , ξn, . . . là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập và cùng phân phối xác suất, thì (ξn; n = 0, 1, 2, . . .) là xích Markov thuần nhất và ngược lại.

Trong ví dụ 2.2, nếu cho η1, η2, . . . , ηn, . . . là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập và cùng phân phối xác suất, thì (Xn; n = 1, 2, . . .) là xích Markov thuần nhất. Thật vậy, bằng lập luận như trên ta có

P Xn+h = j { Xn = i } | i } −

− = P = P = P ηn+1 + ηn+2 + . . . + ηn+h = j η2 + η3 + . . . + ηh+1 = j i } Xh+1 = j X1 = i } | { { {

E N. với mọi n = 1, 2, . . . ; h = 1, 2, . . . ; j, j ∈ ⊂

2.2 Định nghĩa xích Markov 47

2.2 Định nghĩa xích Markov

Xét một hệ kinh tế hoặc vật lí S với m trạng thái có thể, được mô tả bởi tập hợp I :

. I = (2.1) 1,2, . . . ,m } {

Đặt S là hệ được tạo ra ngẫu nhiên với thời gian rời rạc (t = 0,1,2, . . . ,n, . . .) và Jn là biến ngẫu nhiên mô tả trạng thái của hệ S tại thời điểm n.

N) là một xích Markow khi và chỉ khi với mọi ∈ I : Định nghĩa 2.2. Dãy ngẫu nhiên (Jn,n j0, j1, . . . , jn ∈

(2.2) Jn−1 = jn−1) J0 = j0, J1 = j1, . . . , Jn−1 = jn−1) = P (Jn = jn|

P (Jn = jn| (với xác suất này có nghĩa).

Định nghĩa 2.3. Một xích Markow (Jn,n 0) là thuần nhất khi và chỉ khi xác suất 2.2 ≥ không phụ thuộc vào n và không thuần nhất trong các trường hợp khác. Tạm thời, ta chỉ xét trường hợp thuần nhất, ta có:

(2.3) P (Jn = j Jn−1 = i) = Pij | và ma trận P được định nghĩa như sau:

(2.4) P = [pij].

các phần tử của ma trận P có các tính chất sau:

j∈I X

I. (i) 0, với mọi i, j (2.5) pij ≥ I. (ii) (2.6) ∈ pij = 1, với mọi i ∈

Hình 2.1:

Ma trận P thỏa mãn hai điều kiện trên được gọi là ma trận Markov hoặc ma trận chuyển. Với mỗi ma trận chuyển, ta có thể kết hợp với một mạch chuyển có đỉnh mô tả các trạng thái. Có một cung nằm giữa hai đỉnh i và j khi và chỉ khi pij > 0.

Để định nghĩa đầy đủ cho sự thác triển xích Markov cần cố định phân phối ban đầu cho trạng thái J0, có nghĩa là vectơ

(2.7) p = (p1, . . . , pm)

2.2 Định nghĩa xích Markov 48

như vậy : I i 0, (2.8) pi ≥ ∈

i∈I X

(2.9) pi = 1.

Với mọi i, pi mô tả xác suất ban đầu của trạng thái bắt đầu từ i :

(2.10) pi = P (J0 = i).

Phần còn lại của chương này ta sẽ xét xích Markov thuần nhất được đặc trưng bởi cặp (p, P). Nếu Jn = i và nếu hệ bắt đầu từ trạng thái i với xác suất bằng 1 thì khi đó các thành phần của vectơ p sẽ là: (2.11) pj = δij.

ij , được định nghĩa như sau:

Bây giờ ta xét xác suất chuyển p(n)

(2.12) Jv = i). p(n) ij = P (Jv+n = j |

Từ tính chất Markov (1.2) rõ ràng với điều kiện liên quan đến Jv+1, ta được

k X

(2.13) pikpkj. p(2) ij =

Sử dụng kí hiệu ma trận sau:

(2.14) P(2) = [p(2) ij ]

Ta thấy rằng hệ thức 2.13 tương đương với

P(2) = P2. (2.15)

Dùng phép quy nạp ta dễ dàng chứng minh được rằng nếu

(2.16) P(n) = [p(n) ij ]

thì với mọi n 1 ta được: ≥ P(n) = Pn. (2.17)

Ghi chú: 2.17 chỉ ra rằng ma trận xác suất chuyển sau n bước sẽ bằng với lũy thừa thứ n của ma trận P. I và n 0 ta định nghĩa rằng: Với phân phối lề liên quan đến Jn, với i ∈ ≥

(2.18) pi(n) = P (Jn = i).

Các xác suất này được tính như sau:

j X

I. i (2.19) pi(n) = pjp(n) ji , ∈

Nếu ta viết (2.20) p(0) ji = δji hoặc P(0) = I

2.2 Định nghĩa xích Markov 49

thì hệ thức 2.19 đúng với mọi n 0. Nếu

(2.21) ≥ p(n) = (p1(n), . . . , pm(n))

thì hệ thức 2.19, sử dụng kí hiệu ma trận, trở thành:

p(n) = pPn. (2.22)

Định nghĩa 2.4. Ma trận Markov P chính quy nếu tồn tại một số nguyên dương k, sao cho mọi phần tử của ma trận P(k) đều dương.

Từ hệ thức 2.17, P chính quy khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên dương k sao cho mọi phần tử của ma trận P lũy thừa k đều dương.

Ví dụ 2.3.

i) Nếu

P = (2.23) .5 .5 0 1 (cid:20) (cid:21) thì

P2 = (2.24) .75 .25 .5 .5 (cid:20) (cid:21)

vì thế P là chính quy. Sơ đồ chuyển kết hợp với P được thể hiện trong biểu đồ 2.2.

ii) Nếu

P = (2.25) 1 0 .75 .25 (cid:20) (cid:21)

P không chính quy vì với bất kì số nguyên k thì

(2.26) p(k) 12 = 0.

Hình 2.2:

Sơ đồ chuyển trong trường hợp này được mô tả trong biểu đồ 2.3.

Tương tự đúng với ma trận:

(2.27) P = 0 1 1 0 (cid:21) (cid:20)

Hình 2.3:

2.3 Phân loại trạng thái xích Markov 50

iii) Bất kì ma trận P nào mà các phần tử của nó đều dương thì nó là chính quy. Ví dụ

và (2.28)  

1 3 1 4 2 3 3 4 .7 .2 .1 .6 .2 .2 .4 .1 .5       

2.3 Phân loại trạng thái xích Markov

2.3.1 Các trạng thái tuần hoàn và không tuần hoàn

Đặt i I và d(i) là ước số chung lớn nhất của tập hợp số nguyên n, như vậy ∈

(2.29) p(n) ii > 0.

Định nghĩa 2.5. Nếu d(i) > 1 thì trạng thái i được gọi là tuần hoàn với chu kì d(i). Nếu d(i) = 1 thì trạng thái i là không tuần hoàn. Rõ ràng, nếu pii > 0 thì i là không tuần hoàn. Tuy nhiên, ngược lại là không đúng.

Chú ý 2.1. Nếu P chính quy thì mọi trạng thái đều không tuần hoàn.

Định nghĩa 2.6. Một xích Markov với các trạng thái không tuần hoàn được gọi là một xích Markov không tuần hoàn.

Sau này ta chỉ xét xích Markov loại này.

2.3.2 Các trạng thái ước lượng và không ước lượng được – Tính tối giản

Định nghĩa 2.7. Trạng thái i được gọi là hướng đến trạng thái j (kí hiệu i . j) khi và chỉ khi có một số nguyên dương n sao cho

(2.30) pn ij > 0

i .j có nghĩa là i không hướng đến j. 6

Định nghĩa 2.8. Trạng thái i và j được gọi là liên thông khi và chỉ khi i . j và j . i hoặc j = i. Ta kí hiệu i / .j.

Định nghĩa 2.9. Trạng thái i được gọi là ước lượng được khi và chỉ khi nó liên thông với mọi trạng thái mà nó hướng đến. Ngược lai, nó được gọi là không ước lượng được.

2.3 Phân loại trạng thái xích Markov 51

Quan hệ /. định nghĩa quan hệ tương đương bên ngoài không gian trạng thái I có kết quả là một phân hoạch của I. Lớp tương đương chứa trạng thái i được mô tả bởi C(i).

Định nghĩa 2.10. Một xích Markov được gọi là tối giản khi và chỉ khi có duy nhất một lớp tương đương.

Rõ ràng, nếu P chính quy thì xích Markov có cả tính tối giản và không tuần hoàn. Một xích Markov như vậy được gọi là ergodic. Dễ thấy rằng, nếu trạng thái i ước lượng được (không ước lượng được) thì mọi thành phần của lớp C(i) là ước lượng được (không ước lượng được) (xem Chung (1960)).

j∈E X

Định nghĩa 2.11. Một tập con E của không gian trạng thái I được gọi là đóng khi và chỉ khi : E. i (2.31) pij = 1, với mọi , ∈

Điều này chỉ ra rằng với mọi lớp ước lượng được đều là đóng cực tiểu. Xem Chung (1960).

2.3.3 Trạng thái nhất thời và hồi quy

Định nghĩa 2.12. Cho các trạng thái i và j, với J0 = i, ta định nghĩa biến ngẫu nhiên τij là thời gian chuyển đầu tiên đến trạng thái j như sau:

n Jn = j (2.32) τij = = j, 0 < v < n, = j với mọi v > 0 (cid:26) ∞ nếu Jv 6 nếu Jv 6

j , bắt đầu từ trạng thái i vào thời điểm τij được gọi là thời gian đến của trạng thái { } 0. Giả sử: (2.33) J0 = i), n N0 f (n) ij = P (τij = n | ∈ và (2.34) fij = P (τij < J0 = i) ∞| có thể thấy rằng với n > 0:

n−1

(2.35) J0 = i) f (n) ij = P (Jn = j, Jv 6 = j, 0 < v < n |

n,i,j

S0 X

k=0 Y

= (2.36) pαkαk+1

n,i,j được định nghĩa:

trong đó tập hợp tổng S0

n,i,j =

S0 . = j,k = 1, . . . , n (2.37) 1 (α0, α1, . . . , αn):α0 = i, αn = j, αk ∈ I, αk 6 } −

∞

{ Ta cũng có:

, (2.38) fij = f (n) ij

n=1 X fij = P (τij =

(2.39) 1 J0 = i) − ∞|

2.3 Phân loại trạng thái xích Markov 52

ij dễ dàng được tính bằng phép quy nạp, sử dụng các hệ thức

n−1

Các thành phần của f (n) sau: (2.40) pij = f (1) ij ,

ij p(n−v) f (v)

jj

v=1 X

, n 2. (2.41) p(n) ij = + f (n) ij ≥

(∗)

∞

Đặt: (2.42) J0 = 1) mij = E(τij| với xác suất trung bình vô hạn. Giá trị của mij được cho bởi:

ij − ∞

n=1 X

nf (n) (1 (2.43) mij = fij). −

n , n

Nếu i = j thì mij được gọi là trung bình thời gian chuyển đầu tiên hoặc thời gian hồi quy trung bình của trạng thái i.

Với mọi j, ta định nghĩa dãy số lần quay lại trạng thái j (r(j) a) liên tiếp như ≥ sau: (2.44)

k {

k = j, (2.45) N0, k > r(j) , n > 0 r(j) n = sup r(j) n−1 < v < k ∈ r(j) 0 = 0 n−1, Jv 6 }

Sử dụng tính Markov và giả sử J0 = j, dãy số lần trở lại trạng thái j là một dãy tái tạo với biến ngẫu nhiên

1 (2.46) r(j) n−1, n ≥ r(j) n − có phân phối theo τjj.

n , n

i = j thì (r(j) 0) là một dãy tái tạo tổng quát. Trong trường hợp Nếu J0 = i, 6 ≥ này: (2.47) r(j) n = τij

và (2.48) τjj, n > 1 r(j) n − r(j) n−1 ∼ Điều này chỉ ra rằng xích Markov bao hàm nhiều quá trình tái tạo được nhúng. Các quá trình này được dùng để định nghĩa sự phân loại các trạng thái tiếp theo.

Định nghĩa 2.13. Một trạng thái i được gọi là nhất thời (hồi quy) nếu quá trình tái tạo liên kết với số lần quay lại trạng thái i liên tiếp của nó là nhất thời (hồi quy).

Hệ quả trực tiếp của định nghĩa này là:

i nhất thời (2.49) ⇔ i hồi qui (2.50) fii < 1, fii = 1. ⇔

(mii < Một trạng thái hồi quy i được gọi là null (dương) nếu mii = ∞ ∞ ). Nó chỉ ra thì ta chỉ có trạng thái hồi quy dương. Sự phân loại này dẫn đến định ∞ rằng nếu mii < lí khai triển (xem Chung 1960).

2.3 Phân loại trạng thái xích Markov 53

≥ Mệnh đề 2.14 (Định lí khai triển). Không gian trạng thái I của bất kì xích Markov nào cũng có thể được phân tích thành r(r 1) tập con C1, ..., Cr có dạng phân hoạch, như vậy mỗi tập con Ci chỉ là một trong các dạng sau:

a) Một tập đóng dương hồi quy ước lượng được.

b) Một tập không đóng nhất thời không ước lượng được.

Chú ý 2.2.

1) Nếu một lớp không ước lượng được giảm đến trạng thái , có hai khả năng: i } {

a) Tồn tại một số nguyên dương N sao cho:

ii < 1.

0 < pN (2.51)

b) Trong trường hợp số N trong a) không tồn tại thì trạng thái i được gọi là trạng thái không quay lại.

2) Nếu trạng thái có dạng một lớp ước lượng được thì i } {

(2.52) pii = 1

và trạng thái i được gọi là trạng thái hấp thu.

3) Nếu m = , có thể có hai dạng khác của lớp trong định lí khai triển: ∞ a) Đóng nhất thời ước lượng được.

b) Các lớp không đóng hồi quy ước lượng được.

Tài liệu về xích Markov đưa ra các điều kiện cần và đủ sau cho trạng thái nhất thời và hồi quy.

∞

Mệnh đề 2.15. (i) Trạng thái i là nhất thời khi và chỉ khi

(2.53) pn ii < . ∞

n=1 X I:

∞

Trong trường hợp này, với mọi k ∈

n=1 X

(2.54) p(n) ki < ∞

và trong trường hợp riêng:

k I. (2.55) p(n) ki = 0, lim n→∞ ∀ ∈

∞

(ii) Trạng thái i là hồi quy khi và chỉ khi

n=1 X

(2.56) p(n) ii = . ∞

2.4 Số lần chiếm giữ 54

∞

Trong trường hợp:

n=1 X

k / .i (2.57) p(n) ki = ∞ ⇒

∞

và

n=1 X

k .i (2.58) p(n) ki = 0 ⇒ 6

2.4 Số lần chiếm giữ

N0, ta định nghĩa biến ngẫu nhiên Nj(n) là số lần trạng ∈ Với bất kì trạng thái j, và n thái j xảy ra trong n lần chuyển đầu tiên.

k . (2.59) : Jk = j Nj(n) = # { 1, ..., n } ∈ { }

Theo định nghĩa, biến ngẫu nhiên Nj(n) được gọi là số lần xảy ra trạng thái j trong n

phép chuyển đầu tiên. Biến ngẫu nhiên (2.60) Nj( Nj(n) ) = lim n→∞ ∞

được gọi là số lần xảy ra của trạng thái j. Với bất kì trạng thái j và n N0 ta định nghĩa: ∈

(2.61) Zj(n) = 1 0 (cid:26) nếu Jn = j = j. nếu Jn 6

n

Ta có thể viết:

v=1 X

(2.62) Nj(n) = Zj(v).

Từ hệ thức 2.34 ta có: ) > 0 (2.63) P(Nj( J0 = i) = fij. ∞ | Đặt gij là xác suất có điều kiện của vô hạn phép chuyển xảy ra trạng thái j, bắt đầu với J0 = i và: ) = (2.64) gij = P (Nj( J0 = i). ∞ ∞| Khi đó: (2.65) f (n) ii gii = lim n→∞

(2.66) gjj

i hồi quy . (2.67) gii = 1 gij = fij · fii = 1 ⇔ ⇔ i nhất thời. (2.68) gii = 0 fii < 1 ⇔ ⇔ Kết quả 2.67 có thể được giải thích như sau: hệ S sẽ xảy ra trạng thái hồi quy với số lần vô hạn và sẽ xảy ra trạng thái nhất thời với số lần hữu hạn.

2.5 Tính xác suất hấp thu 55

2.5 Tính xác suất hấp thu

Mệnh đề 2.16.

i) Nếu i hồi quy và j C(i) thì fij = 1.

C(i) thì fij = 0. ∈ ii) Nếu i hồi quy và j / ∈

Chứng minh. (i) Từ định nghĩa xác suất gij (xem hệ thức 2.64), với mọi số nguyên dương n ta có:

k∈I X

(2.69) gij = p(n) ik gkj

hoặc

k∈I X

(2.70) 1 gkj) . gij = p(n) ik (1 − −

Theo giả thiết i / .j và trạng thái i là hồi quy, theo mệnh đề 2.14 thì trạng thái j cũng hồi quy. Như vậy, theo 2.67 gjj = 1. Từ 2.70, với mọi n > 0:

(2.71) gkj) = 0. p(n) jk (1 −

Với j . i, tồn tại một số nguyên dương N sao cho:

(2.72) p(N ) ij > 0.

Áp dụng hệ thức 2.71 với k = i, ta được:

(2.73) gij = 1

do đó, theo 2.66 (2.74) fij = 1.

C(i) thì i không hướng tới (ii) Vì C(i) là lớp hồi quy nên C(i) đóng. Như vậy nếu j / ∈ j và như vậy: (2.75) fij = 0.

Mệnh đề 2.17. Đặt T là tập hợp các trạng thái nhất thời của I, và đặt C là một lớp hồi quy . Với mọi j, k C ta có ∈ (2.76) fij = fik.

i T ) thỏa mãn Đánh dấu cho giá trị thông thường này như fiC, các xác suất (fiC, ∈ hệ tuyến tính:

k∈C X

k∈T X

i T. (2.77) pik, pikfk,C + fi,C = ∈

2.6 Dáng điệu tiệm cận 56

Chứng minh. Từ hệ thức 2.63 ta có:

k∈I X

) > 0 (2.78) fij = pikP (Nk( J1 = k) ∞ |

hoặc

k∈I X

(2.79) fij = pikfkj.

Theo mệnh đề trước, ta được:

k∈C X

k∈T X

T. i (2.80) pik, pikfk,C + fi,C = ∈

Chú ý 2.3. Parzen (1962) chứng minh rằng theo giả thiết của mệnh đề 2.17, hệ tuyến tính 2.77 có nghiệm duy nhất. Điều này nói rằng, đặc biệt nếu chỉ có một lớp tối giản C, với mọi i T thì: ∈ (2.81) fi,C = 1.

Định nghĩa 2.18. Xác suất fi,C đựơc trình bày trong mệnh đề 2.17 được gọi là xác suất hấp thu trong lớp C, bắt đầu từ trạng thái i.

Nếu lớp C hồi quy:

(2.82) fi,C = ∈ C. 1 0 (cid:26) nếu i C nếu i hồi qui, i / ∈

2.6 Dáng điệu tiệm cận

Xét một xích Markov tối giản không tuần hoàn hồi quy dương. Giả sử rằng giới hạn sau tồn tại: j I (2.83) pj(n) = πj, lim n→∞ ∈

bắt đầu với J0 = i. Hệ thức

k∈I X

(2.84) pk(n)pkj pj(n + 1) =

k∈I X

trở thành: (2.85) = p(n+1) ij p(n) ik pkj

vì (2.86) pj(n) = p(n) ij .

Do không gian trạng thái I là hữu hạn, từ 2.83 và 2.85 ta được:

k∈I X

(2.87) πj = πkpkj

2.6 Dáng điệu tiệm cận 57

i∈I X

và từ 2.86: (2.88) πi = 1.

Kết quả:

(2.89) p(n) ij = πj lim n→∞

được gọi là kết quả ergodic, từ đó giá trị của giới hạn trong 2.89 độc lập với trạng thái ban đầu i. Từ kết quả 2.89 và 2.19, với bất kì hàm phân phối ban đầu p nào ta có:

(2.90) pjp(n) ji lim n→∞ pi(n) = lim n→∞

j X pjπi

j X

= (2.91)

vì thế (2.92) pi(n) = πi. lim n→∞

Điều này nói rằng dáng điệu tiệm cận của xích Markov được trình bày bởi sự tồn tại (hoặc không tồn tại) giới hạn của ma trận Pn. Một kết quả chuẩn liên quan đến dáng điệu tiệm cận của Pn được cho nêu ở mệnh đề tiếp theo và được chứng minh ở Chung (1960), Parzen (1962) hoặc Feller (1957).

Mệnh đề 2.19. Với bất kì xích Markov không tuần hoàn của ma trận chuyển P và số lượng hữu hạn trạng thái, ta có:

a) Nếu trạng thái j là hồi quy (dương) thì

(i)

i . C(j) (2.93) p(n) ij = lim n→∞ ∈ ⇒ 1 mjj

(ii) i hồi quy và

(2.94) C(j) p(n) ij = 0. lim n→∞ / ∈ ⇒

(iii) i nhất thời

. (2.95) p(n) ij = lim n→∞ fi,C(j) mjj

b) Nếu i nhất thời thì với mọi i I: ∈

(2.96) p(n) ij = 0. lim n→∞

Từ mệnh đề 2.19, ta có các hệ quả sau được suy ra.

2.6 Dáng điệu tiệm cận 58

Hệ quả 2.20 (Trường hợp tối giản). Nếu xích Markov của ma trận chuyển P là tối giản thì với mọi i, j I: ∈ (2.97) p(n) ij = πj lim n→∞

với

. (2.98) πj = 1 mjj

Theo đó với mọi j: (2.99) πj > 0.

Nếu ta sử dụng chú ý 2.3 trong trường hợp riêng khi đó ta chỉ có duy nhất một lớp hồi quy và ở đó các trạng thái là nhất thời (vì thế được gọi là trường hợp duy nhất rút gọn được), khi đó ta có hệ quả sau:

Hệ quả 2.21 (Trường hợp duy nhất rút gọn được). Nếu xích Markov của ma trận chuyển P có một lớp C ước lượng được (đại lượng hồi quy dương) và T là tập hợp nhất thời, khi đó ta có:

i) Với mọi

i,j (2.100) p(n) ij = πj C : lim n→∞ ∈

C với là nghiệm duy nhất của hệ: πj, j { ∈ }

i∈C X

(2.101) πipij, πj =

j∈C X

(2.102) πj = 1.

ii) Với mọi j T : ∈ I. (2.103) p(n) ij = 0 với mọi i lim n→∞ ∈

iii) Với mọi j C: ∈ T. (2.104) p(n) ij = πj với mọi i lim n→∞ ∈

Chú ý 2.4. Hệ thức 2.101 và 2.102 đúng vì tập hợp các trạng thái hồi quy C có thể được xem như xích Markov phụ của xích ban đầu.

Nếu trạng thái nhất thời thời ` thuộc tập hợp 1, . . . , ` , sử dụng phép hoán vị của tập { } hợp I thì ma trận P có dạng sau:

1...l l + 1...m

P11 P12   = P (2.105)

O P22

1 ... l ` + 1 ... m            

2.6 Dáng điệu tiệm cận 59

Điều này chứng minh rằng ma trận phụ P22 chính là một ma trận chuyển Markov. Bây giờ ta xét một xích Markov của ma trận P. Trường hợp tổng quát được nêu bởi một phân hoạch của I:

. . . (2.106) I = T Cr. C1

[ [ [ trong đó T là tập hợp các trạng thái nhất thời và C1, . . . , Cr là r lớp hồi quy dương. Sắp xếp lại thứ tự của các phần tử trong I, ta giả sử rằng

, T = 1, . . . , ` (2.107) { }

, (2.108) { , (2.109) C2 = ` + 1, . . . , ` + v1} C1 = ` + v1 + 1, . . . , ` + v1 + v2} {

r−1

...

j=1 X

` + (2.110) vj + 1, . . . ,m Cr = ( )

r

trong đó vj là số lượng các phần tử trong

j=1 X

(2.111) (j = 1, . . . , r) và ` + vj = m. Cj,

Điều này có kết quả từ phân hoạch khối của ma trận P sau:

  P = (2.112)

· · · · · · · · ·. . . P`×v2 0 Pv2×v2 ... 0 P`×v1 Pv1×v1 0 ... 0 P`×` 0 0 ... 0 P`×vr 0 0 ... Pvr×vr · · ·           r: trong đó, với j = 1, . . . ,

P`×` là ma trận con chuyển cho T . P`×v1 là ma trận con chuyển từ T đến Cj. Pvj×vj là ma trận con chuyển cho lớp Cj. Từ mệnh đề 2.19, ta có hệ quả sau:

Hệ quả 2.22. Cho một xích Markov tổng quát của ma trận P , theo 2.112, ta có:

0 , v0

i) Với mọi i I và ∈ j (2.113) p(n) ij = 0. T : lim n→∞ ∈

j∈Cv X

(2.114) = v p(n) ij = lim n→∞ 6 Cv Cv T. nếu i nếu i nếu i πj 0 fi,Cv πv j   ∈ ∈ ∈ Hơn nữa, với mọi v = 1, . . . ,r :  (2.115) πv j = 1.

2.7 Các ví dụ 60

k∈Cv πv i = 1. P

Dựa vào kết quả cuối cùng này ta có thể tính được các giá trị giới hạn vô cùng đơn giản. j v = 1, . . . ,r, nó đủ để giải quyết các hệ tuyến tính cho mỗi v cố Cv), Cho (πv j , ∈ định: j Cv, πv j = πv kpkj, ∈ (2.116)

i∈Cv P

 

Thực vậy, từ đó mỗi Cv chính là một tập hợp không gian xích Markov tối giản của ma  trận Pv×v , các hệ thức trên chính là 2.87 và 2.88. i v = 1, . . . ,r, nó đủ để giải hệ tuyến tính sau với Cho xác suất hấp thu (fi,Cv , ∈ T ), mỗi v cố định. Theo mệnh đề 2.17, ta có:

k∈Cv X

k∈T X

i T. (2.117) pik, pikfi,Cv+ fi,Cv = ∈

2.7 Các ví dụ

Xích Markov xuất hiện trong nhiều lĩnh vực thực nghiệm như các nghiên cứu về phép toán, thương mại, khoa học xã hội,. . . Để chứng thực cho khả năng này, ta sẽ xét một vài ví dụ đơn giản sau trong trường hợp nghiên cứu sự phát triển đầy đủ của một mảng bảo hiểm xã hội.

i) Cho ma trận P như sau

P = (2.118) .5 .5 0 1 (cid:20) (cid:21)

Từ đó

P2 = (2.119) .75 .25 .5 .5 (cid:20) (cid:21)

Ma trận P là chính quy nên tối giản và không tuần hoàn.

Phân phối giới hạn (π1,π2) thỏa mãn hệ 2.87 và 2.88:

(2.120) .5π1 + π2=π1 .5π1 =π2 π1 + π2 =1  

 Nghiệm duy nhất là:

. , (2.121) π1 = π2 = 1 3 2 3

Theo 2.98, kết quả này cho ta giá trị của các trạng thái quay lại trung bình là:

(2.122) m11 = , m22 = 3. 3 2

2.7 Các ví dụ 61

ii) Bài toán chuyển. (Anton-Kolman (1978)).

Ta xét một công ty taxi của một thành phố V , ta chia thành phố ra thành ba khu vực V1, V2 và V3. Một xe taxi có thể đón và đưa hành khách đến bất kì đâu trong ba khu vực trên. Ta có thể xem một xe taxi như một hệ vật lý S và có thể là một trong ba trạng thái: khu vực V1, V2 hoặc V3. Sự khảo sát về xe taxi hướng đến cấu trúc của một xích Markov với ba trạng thái. Xích Markov này có ma trận P như sau, ví dụ:

P = (2.123) 

0.5 0.4 0.1 0.3 0.6 0.1 0.2 0.1 0.7  

ma trận này là chính quy, do đó tối giản và không tuần hoàn, với tất cả các phần tử của nó đều dương.

iii) Vấn đề quản lí của một công ty bảo hiểm

Một công ty bảo hiểm xe phân loại khách hàng thành ba nhóm:

G0 : Khách hàng không xảy ra tai nạn nào trong cả năm. G1 : Khách hàng bị tai nạn một lần duy nhất trong một năm. G2 : Khách hàng bị tai nạn nhiều hơn một lần trong một năm.

G0, G1, G2} { Ban thống kê của công ty quan sát thấy rằng sự chuyển đổi hàng năm của ba nhóm này có thể được mô tả bởi xích Markov với không gian trạng thái và ma trận chuyển:

. P = (2.124) 

.85 .10 .05 .80 .20 0 1  0 0  

Ta giả sử rằng mỗi năm công ty đưa ra 50.000 hợp đồng mới và muốn biết sự phân phối của các hợp đồng này trong bốn năm kế tiếp. Sau một năm, mỗi nhóm có kết quả trung bình như sau:

0.85 = 42, 500. 0.10 = 5, 000. × × 0.05 = 2, 500. + Nhóm G0:50, 000 + Nhóm G1:50, 000 + Nhóm G2:50, 000 ×

Các kết quả này chỉ là các phần tử dòng đầu tiên của ma trận P nhân với 50.000. Sau hai năm, nhân các phần tử dòng đầu tiên của ma trận P(2) với 50.000 ta được:

+ Nhóm G0: 36, 125. + Nhóm G1: 8, 250. + Nhóm G2: 5, 625.

Tính toán tương tự ta đưa ra:

Sau 3 năm Sau 4 năm 30.706 26.100 G0

2.7 Các ví dụ 62

11.241 12.659 G1 G2 10.213 9.081 Bảng 2.1:

1,2 là nhất thời và lớp 3 { { } Dạng của xích Markov với ma trận chuyển 2.124, có lớp } là hấp thu. Như vậy, theo hệ quả 2.21 ta có ma trận giới hạn

A = (2.125)

0 0 1 0 0 1 0 0 1   

Ma trận giới hạn có thể được giải thích là: bất chấp thành phần ban đầu của nhóm, khách hàng sẽ kết thúc hợp đồng khi xảy ít nhất hai tai nạn.

iv) Hệ thống sưởi - vấn đề quản lí nhà

Một cuộc điều tra về các hệ thống sưởi cho các căn hộ (sử dụng nhiên liệu dầu hỏa, gas hoặc điện) chỉ ra rằng việc chuyển từ một hệ này sang hệ khác được mô tả bởi xích Markov với ba trạng thái:

1: nhiên liệu dầu hỏa. 2: gas.

3: điện năng

và được mô tả bởi ma trận sau:

0 P = (2.126)  .825 .175 .60 .049 0

.919 .021 .951  

Vấn đề được giải quyết như sau: Nếu phân phối hiện thời của hệ thống sưởi là 26% đối với dầu, 60% đối với gas và 14% đối với điện, phân phối cuối cùng của thị trường sẽ là gì?

Để giải quyết vấn đề này ta cần tính toán giá trị tiệm cận của P.

Sơ đồ chuyển liên quan đến P cho ta ma trận là tối giản và không tuần hoàn. Giải hệ 2.87, 2.88 ta được:

(2.127) π1 = .244, π2 = .529, π3 = .227

Đó là khoảng 24% cho nhiên liệu dầu, 53% cho gas và 23% cho điện.

Chú ý 2.5. Nếu muốn biết trạng thái sau một hoặc hai sự biến đổi, có thể dùng hệ thức 2.19 với n = 1, 2, 3 và với P cho bởi:

p = (.26, .60, .14). (2.128)

2.8 Một trường hợp trong bảo hiểm xã hội (Janssen (1966)) 63

Ta thu được kết quả sau:

2 = .597 p(1) 2 = .594 p(2) 2 = .590 p(3)

3 = .146 3 = .151 3 = .156.

p(1) 1 = .257 p(1) 1 = .255 p(2) p(2) 1 = .254 p(3) p(3)

Kết quả cho ta thấy sự hội tụ của p(n) về π tương đối nhanh.

2.8 Một trường hợp trong bảo hiểm xã hội (Janssen (1966))

Để tính toán tiền bảo hiểm và trợ cấp lương hưu cho các trường hợp bệnh nghề nghiệp như nhiễm bụi silic, ta cần tính toán mức độ trung bình của bệnh tật vào thời điểm cho trước. Giả sử rằng ta có m mức độ bệnh tật: S1, . . . , Sm, và cuối cùng là trả 100% lương hưu nhưng chưa tính tiền tử.

Theo Yntema, giả sử rằng người quyết định chính sách bảo hiểm có thể chọn từ mức độ Si đến Sj với xác suất pij. Giả thiết này dẫn đến việc xây dựng một mô hình xích Markov với ma trận m m: × (2.129) P = [pij]

m

là ma trận chuyển liên quan đến mức độ bệnh tật. Các cá thể bắt đầu tại thời điểm 0 với Si là mức độ bệnh. Mức độ trung bình của bệnh tật sau bước chuyển thứ n là:

j=1 X Để nghiên cứu sự cân bằng tài chính của tiền quỹ ta phải tính giá trị giới hạn của

(2.130) Si(n) = p(n) ij Sj.

Si(n): (2.131) Si(n) Si = lim n→∞

m

hoặc:

j=1 X

(2.132) p(n) ij Sj. Si = lim n→∞

Giá trị này được tính bởi hệ quả 2.22 với i = 1, . . . , m.

Ví dụ 2.4. Dùng dữ liệu thực tế của bệnh nhiễm bụi silic, Yntema (1962) bắt đầu với các mức độ nhiễm bệnh như sau: S1 = 10%; S2 = 30%; S3 = 50%; S4 = 70%; S5 = 100%. Sử dụng dữ liệu ở Hà Lan, ông xét ma trận chuyển P sau:

  (2.133) P =

.90 .10 0 0 0 0 0 .95 .05 0 0 0 0 0 0 0 .90 .05 .05 .90 .10 0 .05 .05 .90

         

Biểu đồ chuyển kết hợp với ma trận 2.133 được thể hiện trong hình 2.4: Từ đó ta có:

2.8 Một trường hợp trong bảo hiểm xã hội (Janssen (1966)) 64

i) Tất cả các trạng thái đều không tuần hoàn.

ii) Tập là một lớp ước lượng được (hồi quy dương). S3, S4, S5} { iii) Các nút trạng thái 1 và 2 là các lớp nhất thời không ước lượng được.

5

Do đó một xích Markov duy nhất rút gọn được có thể kết hợp được với ma trận P. Vậy, ta có thể áp dụng hệ quả 2.21. Theo hệ thức 2.132 ta có:

j=3 X

(2.134) πjSj Si = lim n→∞

Trong đó (π3, π4, π5) là nghiệm duy nhất của hệ tuyến tính:

Hình 2.4:

(2.135) .05 .05 .9 0 · .9 · .05 π4 π4 π4 π3 π3 π3 + + + + + + + + = = = = π3 π5 π4 1 π5, · π5, · π5, · π5 · π4 .9 · .05 · .05 · π3

Nghiệm của hệ là:

. (2.136) π3 = , π4 = , π5 = 2 9 3 9 4 9

Vì vậy:

50 + 70 + 100 % (2.137) ¯Si = 2 9 3 9 4 9 (cid:19) (cid:18) Hoặc (2.138) ¯Sj = 79%

2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận 65

đây là kết quả của Yntema. Hệ thức 2.138 chứng minh rằng mức độ trung bình của bệnh tật độc lập với trạng thái ban đầu i.

2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận

2.9.1 Thuật toán cho nghiên cứu xích Markov tiệm cận

Trong phần này ta trình bày một thuật toán hữu ích cho cách giải đầy đủ dáng điệu tiệm cận của một xích Markov. Nó sẽ diễn tả ví dụ về bảo hiểm xã hội được cho trong phần trước. Thuật toán, được đưa ra bởi De Dominics, Manca (1984b), hữu ích cho sự phân loại trạng thái của xích Markov. Nó thể hiện trên đồ thị mô tả các phép chuyển của quá trình từ trạng thái này sang trạng thái khác. Để biểu diễn các bước của thuật toán ta sẽ theo ví dụ đã được nêu trong phần trước. Đầu tiên, ta mô tả ngắn gọn lý thuyết đồ thị dạng Christophidies (1975). Đặt Γ là không gian trạng thái:

(2.139) Γ =

p

x1, x2, ..., xm} { Trong đó nút xi mô tả trạng thái thứ i. Γ(xi) mô tả tập hợp các nút có thể đạt được Γ(xi)nếu có một cung nối trực tiếp từ xi đến xj. sau một bước đơn từ xi, ta nói rằng xj ∈ Γk(xi) mô tả tập hợp các nút có thể đạt được từ xi theo một đường dẫn có độ dài k. Cuối cùng, R(xi) là tập hợp của tất cả các nút có thể đạt được từ xi nghĩa là giả sử nó có kết quả là: Γ0(xi) = xi} {

k=1 [

(2.140) Γk(xi) R(xi) =

p

m trong đó p 1 là số nguyên nhỏ nhất như vậy ≤ −

k=1 [

(2.141) Γk(xi). Γp+1(xi) ⊆

Bây giờ đặt A là ma trận kề của đồ thị. Như đã biết nó cho kết quả là:

(2.142) aij = Γ(xi) Γ(xi) 1 nếu xj ∈ xj / 0 nếu (cid:26) ∈

Ma trận kề liên quan đến đồ thị trong hình minh họa 2.4 được thể hiện trong bảng 2.2.

Trạng Thái 1 2 3 4 5 3 0 1 1 0 1 2 1 1 0 0 0 5 0 0 1 1 1

4 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 Bảng 2.2: Ma trận kề

Như có thể thấy trong bảng 2.2, các phần tử của giá trị 1 là vị trí của các phần tử khác

66 2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận

0 trong ma trận chuyển 2.133. A có thể được xem là ma trận Boolean. Đặt:

(2.143) Ak = Ak−1A

cho ta:

kaij =

(2.144) Γk(xi) Γk(xi) (cid:26) 1 nếu xj ∈ 0 nếu xj / ∈ Khi đó, kí hiệu R là ma trận đạt được của đồ thị được định nghĩa như sau:

(2.145) rij = R(xi) R(xi) 1 nếu xj ∈ 0 nếu xj / (cid:26) ∈

ta thấy rằng: ... (2.146) R = A0 A1 A2 Am−1. ∨ ∨ ∨ ∨ Quan hệ giữa ma trận đạt được và ma trận kề của bảng 2.2 được thể hiện trong bảng 2.3.

Trạng thái 1 2 3 4 5 2 1 1 0 0 0 3 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1

5 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 Bảng 2.3: Ma trận đạt được

Với ma trận đạt được, ta có thể chia nhỏ tập hợp các trạng thái của quá trình thành các lớp tương đương gọi là Cs, có kết quả là:

(2.147) rij = rji = 1. xi, xj ∈ Cs ⇔

Hệ thức 2.147 có nghĩa là các nút của lớp có dạng một vòng tròn và đó là vòng tròn duy nhất. Ta giả sử rằng, nếu một lớp chứa một nút đơn thì nút đơn đó là một vòng tròn. Trong ví dụ này, ta có ba lớp sau:

. 1 2 3, 4, 5 (2.148) C1 = , C2 = , C3 = { { } { } } bây giờ nếu có thể xây dựng một hệ thức thứ tự riêng giữa các lớp Cs. đường dẫn Cp = Cq hoặc Định nghĩa sau đựơc trình bày là: Cp ≤ Cq⇔ ∃ { xt1, ..., xth} của các trạng thái

(2.149) Cp. Cq,xth ∈ Cq. Khi đó ta có: xt1 ∈ Nếu nó có thể đi từ lớp Cp đến lớp Cq thì điều đó có nghĩa là Cp ≤

(2.150) C1. C3 ≤

C2 ≤ Áp dụng hệ thức thứ tự này, các lớp trạng thái được chia nhỏ thành hai trạng thái là: nhất thời và hồi quy. Thuật toán phân biệt sự khác nhau giữa các lớp nhất thời: một lớp là cực đại nếu các lớp khác không đến được nó, một lớp là nhất thời ngặt nếu một phần

2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận 67

tử của hệ không vào được lớp này và sau đó cũng có thể thoát ra khỏi lớp đó. Rõ ràng, các lớp hồi quy (ước lượng được hoặc hấp thu) là các lớp cho kết quả rằng khi một phần tử vào được lớp này thì nó không thể ra được. Trong ví dụ này, ta được:

(2.151)

C1 là cực đại; C2 là nhất thời ngặt; C3 là hấp thu.

Quá trình đã cho là duy nhất đơn giản được. Thuật toán này phân loại quá trình như một hàm của số lượng các lớp và của các trạng thái hấp thu. Sau đó thuật toán đưa ra ma trận chuyển dạng chính tắc xem Gantmacher (1959). Ma trận này cho ta khả năng để xét xem bằng cách nào hệ sẽ thác triển vượt thời gian. Với ví dụ này, dạng thác triển tương ứng với ma trận chuyển vì vậy ta không trình bày phần này.

Dạng thác triển được viết bằng cách đổi thứ tự các dòng và cột của ma trận và cũng phải quan tâm đến thứ tự của các lớp. Các dòng và cột tương ứng với các trạng thái của các lớp cực đại được đặt trong góc tây-bắc của ma trận.

Trong bước liên tiếp các dòng và cột của các trạng thái tương ứng với các lớp nhất thời ngặt được đặt trong ma trận dạng chính tắc. Trong bước này thứ tự giữa các lớp nhất thời ngặt được giữ lại. Điều này có nghĩa là nếu một lớp nhất thời ngặt đi đến một lớp nhất thời ngặt khác thì lớp đầu tiên được đặt vào ma trận trước lớp thứ hai. Trong bước cuối cùng các dòng và các cột tương ứng với các trạng thái của các lớp hấp thu được đặt ở góc đông-nam của ma trận. Trong trường hợp tối giản, dạng chính tắc luôn luôn bằng với ma trận ban đầu. Đôi khi ma trận được viết dưới dạng chính tắc, thuật toán nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của ma trận xích Markov. Nó sẽ đưa vào sự phân loại của quá trình được xét. Nếu xích Markov là tối giản thì vectơ ổn định π sẽ được tính và nếu quá trình là duy nhất đơn giản được thì vectơ giới hạn của lớp hấp thu duy nhất sẽ được tính.

ij n

∈ Nếu quá trình đơn giản được thì với mỗi ma trận phụ tương ứng với các trạng thái của lớp hấp thu, vectơ giới hạn sẽ được tìm thấy. Hơn nữa, các xác suất hấp thu (fi,Cv,i T ) ,v = 1, ..., r sẽ được tìm thấy, trong đó r là số lượng các lớp hấp thu. Đôi khi các xác suất hấp thu có được, thuật toán sẽ tính pn . → ∞ Trong ví dụ này, xích Markov được mô tả bởi ma trận chuyển 2.133 là duy nhất rút gọn được và vectơ giới hạn của lớp hấp thu duy nhất được nêu trong bảng 2.4.

Trạng thái Giá trị 3 0.222222 5 0.444445

4 0.333333 Bảng 2.4: Vectơ giới hạn

và ta tìm thêm được một kết quả nữa được cho bởi phần trước. Bây giờ ta tổng kết lại các bước thuật toán chính.

Input – đọc số các trạng thái, sai số của vectơ giới hạn và ma trận P.

Tính toán – ma trận kề.

Chia – các trạng thái trong các lớp tương đương.

2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận 68

Tìm – các lớp cực đại.

Tìm – các lớp hấp thu.

Phân loại – các lớp nhất thời ngặt.

Xây dựng – thứ tự riêng giữa các lớp.

Phân loại – ma trận chuyển xích Markov.

Xây dựng – dạng chính tắc của ma trận chuyển xích Markov.

Nghiên cứu – dáng điệu tiệm cận

Trường hợp tối giản – tìm vectơ giới hạn của ma trận chuyển.

Trường hợp duy nhất đơn giản được – tìm vectơ giới hạn của ma trận phụ lớp hấp thu duy nhất.

ij n

Trường hợp rút gọn được – với mỗi lớp hấp thu tìm được vectơ giới hạn, các xác suất hấp thu và pn . → ∞

2.9.2 Mẫu dữ liệu tối giản thực tế trong bảo hiểm xe

Ví dụ này sử dụng ma trận chuyển liên quan đến qui định thưởng-phạt trong việc chi trả bảo hiểm ô tô áp dụng tại Ý. Trong trường hợp này mô hình Markov hoàn toàn phù hợp vì:

1) Các trạng thái của mỗi người được bảo hiểm được nêu rõ từ đầu mỗi năm.

2) Có các luật cụ thể đưa ra sự thay đổi các trạng thái trong hàm tiệm cận của người được bảo hiểm trong suốt năm.

3) Trạng thái trong tương lai chỉ phụ thuộc vào trạng thái hiện tại.

Số lượng các trạng thái là 18 và ta sẽ tìm vector giới hạn của ma trận chuyển từ dữ liệu sau. Bảng 2.5 đưa ra luật thác triển ở Ý cho hợp đồng bảo hiểm thưởng-phạt.

Trạng thái Các yêu Các yêu Các yêu Các yêu

bắt đầu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cầu 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 cầu 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 cầu 2 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 cầu 3 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18 4 hoặc nhiều hơn. 12 13 14 15 16 17 18 18 18 18 18

2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận 69

12 13 14 15 16 17 18 11 12 13 14 15 16 17 14 15 16 17 18 18 18 17 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18

Bảng 2.5: Luật thác triển thưởng - phạt ở Ý

Ta có dữ liệu trong ba năm qua liên quan đến 105627 người mua bảo hiểm. Có nghĩa là ta có thể xét 316881 phép chuyển thực hay ảo. Từ các dữ liệu có được và xét đến các luật thưởng-phạt Ý ta được ma trận Markov chuyển và được nêu trong các bảng 2.6, 2.7 và 2.8.

Trạng thái 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 0.941655 0.935097 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0.941646 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0.056264 0 0 0.948892 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0.062379 0 0 0.945231 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0.056611 0 0 0.949204 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0.001973 0 0 0.049364 0 0 0.934685 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Bảng 2.6: Ma trận chuyển ô tô 1

Trạng thái 1 2 3 4 5 6 7 7 0 0.002427 0 0 0.052354 0 0 8 0 0 0.001574 0 0 0.04908 0 9 0.000081 0 0 0.001744 0 0 0.061856 10 0 0.000097 0 0 0.002314 0 0 11 0 0 0.000169 0 0 0.00157 0 12 0.000027 0 0 0 0 0 0.00339

2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận 70

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0.92227 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.914103 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.923854 0 0 0 0 0 0 0 0 0.073137 0 0 0.092933 0 0 0 0 0 0 0 0 0.082621 0 0 0.930156 0 0 0 0 0 0 0 0 0.071989 0 0 0.937854 0 0 0 0 0

Bảng 2.7: Ma trận chuyển ô tô 2

Trạng thái 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13 0 0 0 0 0.000067 0 0 0.004246 0 0 0.066723 0 0 0.920681 0 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0.000146 0 0 0.003185 0 0 0.066697 0 0 0.885204 0 0 0 15 0 0 0 0 0 0 0.000069 0 0 0.003827 0 0 0.059651 0 0 0.777568 0 0 16 0 0 0 0 0.000034 0 0 0.00026 0 0 0.003696 0 0 0.074704 0 0 0.876733 0 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.002994 0 0 0.107143 0 0 0.888614 18 0 0 0 0 0 0 0 0.000087 0.000091 0.00033 0.000251 0.000153 0.002495 0.004615 0.007653 0.222432 0.123267 0.111386

Bảng 2.8: Ma trận chuyển ô tô 3

Ma trận kề được đưa ra trong bảng 2.9. Cột đầu tiên là lớp thưởng-phạt ban đầu (trạng thái ban đầu) và dòng đầu tiên là trạng thái đến.

1 1 1 0 0 0 2 0 0 1 0 0 3 1 0 0 1 0 4 0 1 0 0 1 5 0 0 1 0 0 6 1 0 0 1 0 7 0 1 0 0 1 8 0 0 1 0 0 9 1 0 0 1 0 10 0 1 0 0 1 11 0 0 1 0 0 12 1 0 0 0 0 13 0 0 0 0 1 14 0 0 0 0 0 15 0 0 0 0 0 16 0 0 0 0 1 17 0 0 0 0 0 18 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5

2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận 71

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Bảng 2.9: Ma trận kề ô tô

Ma trận đạt được, được nêu trong bảng 2.10. Trong trường hợp này ma trận chuyển là tối giản. Thời điểm này mỗi trạng thái có thể đạt được bất kì trạng thái khác. Ta trình bày nó để biểu diễn biến cố này.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 17 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 18 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

6 10 13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Bảng 2.10: Ma trận đạt được.

Ma trận chính tắc tương tự ma trận chuyển nên ta không trình bày nó. Trong bảng 2.11 thể hiện vector giới hạn.

Trạng thái 1 Giá trị 0.8681376 Trạng thái 7 Giá trị 0.0008914 Trạng thái 13 Giá trị 0.000015

2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận 72

2 3 4 5 6 0.0541671 0.0575239 0.0091463 0.0061016 0.0029973 8 9 10 11 12 0.0004776 0.0002625 0.000131 0.0000826 0.00005 14 15 16 17 18 0.0000076 0.0000034 0.0000025 0.0000015 0.0000011

Bảng 2.11: Vectơ giới hạn

Từ kết quả cuối này ta thấy rằng trạng thái 1 thích hợp hơn trong sự thác triển của hệ thưởng-phạt và các trạng thái từ thứ 7 trở đi thì ít quan trọng hơn. Điều hiển nhiên là việc ứng dụng hệ thưởng-phạt ở từng quốc gia là khác nhau.

2.9.3 Các ví dụ rút gọn được và không rút gọn được, dạng kết nối chính tắc.

1 0.5 0 0.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0.6 0 0.11 0.7 0 0.02 0.31 0.01 0.19 0 0.22 0.2 0.1 0.01

3 0.05 0 0.4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0.05 0.07 0 0 0.2 0 0.11 0 0 0 0.14 0 0.19

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

5 0.07 0.3 0 0.5 0 0 0.1 0.34 0.21 0.21 0 0 0.16 0.18 0.31

7 0 0 0 0 0 0 0.3 0 0.31 0 0 0 0 0 0

8 0.08 0.1 0.09 0.1 0.3 0 0.06 0.35 0.04 0 0 0.18 0 0.11 0.21

9 0 0 0 0 0 0 0.07 0 0.06 0 0 0 0 0 0

10 0.03 0 0 0 0 0 0.05 0 0.07 0.21 0 0.3 0 0.13 0

11 0.04 0 0.1 0.04 0 0.4 0.1 0 0 0.12 0.55 0 0.19 0.17 0.07

12 0.05 0 0.08 0 0 0 0 0 0.1 0.07 0 0.15 0 0.1 0

13 0 0 0.11 0.05 0 0 0.04 0 0.06 0 0 0 0.07 0 0.06

14 0.01 0 0 0 0 0 0.06 0 0 0.13 0 0.15 0 0 0

15 0.07 0 0.07 0.04 0 0 0 0 0.03 0 0 0 0.13 0 0

6 0.1 0 0 0.09 0 0.6 0 0 0 0.07 0.45 0 0.11 0.21 0.15 Bảng 2.12: Ma trận ban đầu

Trong phần này ta chỉ ra rằng làm thế nào để bắt đầu từ một ví dụ ma trận xác suất chuyển rút gọn được và làm thế nào để thay đổi một trong các phần tử của nó để có thể có các tình huống khác nhau về thứ tự lớp, về ma trận chuyển dạng chính tắc khác và về dáng điệu tiệm cận. Ta bắt đầu với ma trận chuyển được nêu trong bảng sau. Như mọi khi, cột đầu tiên là trạng thái bắt đầu và dòng đầu tiên là trạng thái đến.

Bảng 2.13 là ma trận kề có liên quan đến ma trận chuyển trước đó.

1 1 0 1 0 0 0 0 2 0 1 0 1 1 0 1 3 1 0 1 0 0 0 0 4 0 0 1 1 0 0 1 5 1 1 0 1 0 0 1 6 1 0 0 1 0 1 0 7 0 0 0 0 0 0 1 8 1 1 1 1 1 0 1 9 0 0 0 0 0 0 1 10 1 0 0 0 0 0 1 11 1 0 1 1 0 1 1 12 1 0 1 0 0 0 0 13 0 0 1 1 0 0 1 14 1 0 0 0 0 0 1 15 1 0 1 1 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7

2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận 73

8 9 10 11 12 13 14 15 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Bảng 2.13: Ma trận kề I

1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

3 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

4 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1

6 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

5 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

10 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0

11 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

9 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

12 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0

13 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1

14 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0

15 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0

8 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 Bảng 2.14: Ma trận đạt được I

Trong bảng 2.14 ma trận đạt được kết nối với ví dụ này được thể hiện

Các trạng thái được chia thành sáu lớp sau:

1, 3 2, 5, 8 4, 13, 15 6, 11 7, 9 10, 12, 14 C1 = ,C2 = ,C3 = ,C4 = ,C5 = ,C6 = { } { } { } { } { } { . } (2.152) Các lớp này được phân loại như sau:

hấp thu. (2.153) C1, C5 − Cực đại; C3, C6 − nhất thời ngặt ; C2, C4 −

Thứ tự quan hệ riêng có thể được diễn đạt bởi ý nghĩa của đồ thị được vẽ trong hình 2.5. Các cung kết nối các lớp được so sánh. Các lớp cực đại không thể so sánh như các lớp cực tiểu. Trong trường hợp này các lớp nhất thời cũng không được so sánh.

1 0.5 0.1 0

3 0.05 0.4 0

7 0 0 0.3

9 0 0 0.07

4 0 0.05 0.2

13 0 0.11 0.04

15 0.07 0.07 0

10 0.03 0 0.05

12 0.05 0.08 0

14 0.01 0 0.06

2 0 0 0.02

5 0.07 0 0.1

8 0.08 0.09 0.06

6 0.1 0 0

11 0.04 0.1 0.1

1 3 7

Sau quá trình lớp thứ tự, ta có thể có được ma trận chuyển dạng chính tắc mà đã được nêu trong bảng 2.15. Cột đầu tiên là các trạng thái bắt đầu và dòng đầu tiên là các trạng thái đến.

9 4 13 15 10 12 14 2 5 8 6 11

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.06 0.05 0.07 0.06 0 0 0 0 0 0 0 0

0.03 0.04 0.13 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.07 0 0 0 0.21 0.3 0.13 0 0 0 0 0

0.1 0 0 0 0.07 0.15 0.1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0.13 0.15 0 0 0 0 0 0

0.01 0.11 0.2 0.01 0.19 0.22 0.1 0.6 0.7 0.31 0 0

0.21 0.5 0.16 0.31 0.21 0 0.18 0.3 0 0.34 0 0

0.04 0.1 0 0.21 0 0.18 0.11 0.1 0.3 0.35 0 0

0 0.09 0.11 0.15 0.07 0 0.21 0 0 0 0.6 0.45

0 0.04 0.19 0.07 0.12 0 0.17 0 0 0 0.4 0.55

0.11 0.07 0.14 0.19 0 0 0 0 0 0 0 0 Bảng 2.15: Ma trận chính tắc đầu tiên

2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận 74

Các trạng thái theo sau các lớp có thứ tự: Trạng thái tương ứng với lớp cực đại được trình bày ở vị trí Tây-Bắc của ma trận, được theo bởi các trạng thái thuộc các lớp nhất thời và ở vị trí Đông-Nam có các trạng thái tương ứng với các lớp hấp thu. Bước giải tiếp theo là sự tính toán các xác suất hấp thu được trình bày trong bảng 2.16.

2 0.595442 0 0.622395 0.827531 0 0 0.704561 0 0.803532 0.669429 0 0.805249 0.612876 0.557551 0.724003 4 0.404558 0 0.377605 0.172469 0 0 0.295439 0 0.196468 0.330571 0 0.194751 0.387124 0.442449 0.275997 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Bảng 2.16: Các xác suất hấp thu

Dòng đầu tiên là chỉ số lớp hấp thu và cột đầu tiên là các trạng thái. Trong bảng 2.17, khác không được trình bày. Dòng đầu tiên là các trạng thái của các lớp hấp thu và

p(∞) ij cột đầu tiên là các trạng thái.

2 0.337437 0.566701 0.352712 0.468963 5 0.141009 0.236815 0.147392 0.195972 6 0.214178 0 0.199908 0.091307 8 0.116995 0.196484 0.122291 0.162597 11 0.19038 0 0.177696 0.081162 1 2 3 4

2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận 75

0.566701 0 0.399276 0.566701 0.455362 0.379366 0 0.456335 0.347318 0.315965 0.410294 0.236815 0 0.166851 0.236815 0.190288 0.158531 0 0.190695 0.145138 0.132036 0.171455 0 0.529412 0.156409 0 0.104012 0.175008 0.529412 0.103104 0.204948 0.234238 0.146116 0.196484 0 0.138435 0.196484 0.157881 0.131532 0 0.158218 0.12042 0.10955 0.142255 0 0.470588 0.13903 0 0.092456 0.155563 0.470588 0.091648 0.182176 0.208211 0.129881 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Bảng 2.17: Dáng điệu giới hạn

4 0 0 .05 .07 0 0 .2 0 .11 .12 0 0 .14 0 .19

5 .07 .3 0 0.5 0 0 .1 .34 .21 .09 0 0 .16 .18 .31

6 .1 0 0 .09 0 .6 0 0 0 .07 .45 0 .11 .21 .15

8 .08 .1 .09 0.1 .3 0 .06 .35 .04 0 0 .18 0 .11 .21

7 0 0 0 0 0 0 .3 0 .31 0 0 0 0 0 0

9 0 0 0 0 0 0 .07 0 .06 0 0 0 0 0 0

12 .05 0 .08 0 0 0 0 0 .1 .07 0 .15 0 .1 0

13 0 0 .11 .05 0 0 .04 0 .06 0 0 0 .07 0 .06

14 .01 0 0 0 0 0 .06 0 0 .13 0 .15 0 0 0

15 .07 0 .07 .04 0 0 0 0 .03 0 0 0 .13 0 0

2 0 .6 0 .11 .7 0 .02 .31 .01 .19 0 .22 .2 .1 .01

1 .5 0 .1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

3 .05 0 .4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

11 .04 0 .1 .04 0 .4 .1 0 0 .12 .55 0 .19 .17 .07

10 .03 0 0 0 0 0 .05 0 .07 .21 0 .3 0 .13 0 Bảng 2.18: Ma trận chuyển II

Với ví dụ thứ hai, ma trận chuyển có được từ ví dụ trước bằng cách đặt phần tử khác không vào vị trí (10,4). Ma trận chuyển mới là ma trận trong bảng 2.18.

Các ma trận kề và ma trận đạt được được nêu riêng trong bảng 2.19 và 2.20.

1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 5 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 6 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 7 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 8 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 9 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 10 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 11 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 13 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 14 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 15 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 2 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 12 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1

2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận 76

11 12 13 14 15 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Bảng 2.19: Ma trận kề II

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 3 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 10 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 11 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 7 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 13 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 14 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 15 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1

4 8 12 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 Bảng 2.20: Ma trận đạt được II

1 0.5 0.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0.05 0.4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0.3 0.31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

9 0 0 0.07 0.06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

10 0.03 0 0.05 0.07 0.21 0.3 0.13 0 0 0 0 0 0 0 0

12 0.05 0.08 0 0.1 0.07 0.15 0.1 0 0 0 0 0 0 0 0

14 0.01 0 0.06 0 0.13 0.15 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 0 0.05 0.2 0.11 0.12 0 0 0.07 0.14 0.19 0 0 0 0 0

13 0 0.11 0.04 0.06 0 0 0 0.05 0.07 0.06 0 0 0 0 0

15 0.07 0.07 0 0.03 0 0 0 0.04 0.13 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0.02 0.01 0.19 0.22 0.1 0.11 0.2 0.01 0.6 0.7 0.31 0 0

5 0.07 0 0.1 0.21 0.09 0 0.18 0.5 0.16 0.31 0.3 0 0.34 0 0

8 0.08 0.09 0.06 0.04 0 0.18 0.11 0.1 0 0.21 0.1 0.3 0.35 0 0

6 0.1 0 0 0 0.07 0 0.21 0.09 0.11 0.15 0 0 0 0.6 0.45

11 0.04 0.1 0.1 0 0.12 0 0.17 0.04 0.19 0.07 0 0 0 0.4 0.55

1 3 7 9 10 12 14 4 13 15 2 5 8 6 11

Ở đây cũng vậy, sự chia nhỏ các lớp cũng được nêu bởi 2.152 và vì vậy ta có kết quả 2.153 Nhưng bây giờ trong quan hệ thứ tự, hai lớp nhất thời được so sánh. Đồ thị hình 2.5 trở thành đồ thị 2.6 Ma trận chính tắc được cho bởi bảng 2.21

Bảng 2.21: Ma trận dạng chính tắc II

2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận 77

Các xác suất hấp thu được mô tả trong bảng 2.22.

2 0.595412 0 0.620466 0.827531 0 0 0.70175 0 0.79939 0.641512 0 0.794566 0.612876 0.552853 0.724003 4 0.407588 0 0.379534 0.172469 0 0 0.29825 0 0.20061 0.358488 0 0.205434 0.387124 0.447147 0.275997 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Bảng 2.22: Các xác suất hấp thu II

ij

Ít nhất trong bảng 2.17, p(∞) khác không được cho bởi bảng 2.23

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 0.33572 0.566701 0.351619 0.468963 0.566701 0 0.397683 0.566701 0.453015 0.363545 0 0.450282 0.347318 0.313303 0.410294 5 0.141292 0.236815 0.146936 0.195972 0.236815 0 0.166185 0.236815 0.189307 0.15192 0 0.188165 0.145138 0.130924 0.171455 6 0.215782 0 0.20093 0.091307 0 0.529412 0.157897 0 0.106206 0.189788 0.529412 0.108759 0.204948 0.236725 0.146116 8 0.116399 0.196484 0.121912 0.162597 0.196484 0 0.137883 0.196484 0.157067 0.126047 0 0.15612 0.12042 0.108627 0.142255 11 0.191806 0 0.178604 0.081162 0 0.470588 0.140353 0 0.094405 0.1687 0.470588 0.096675 0.182176 0.210422 0.129881

Bảng 2.23: Trường hợp dáng điệu giới hạn II

Bước cuối cùng của ví dụ này là ta đặt một phần tử khác không vào vị trí (11, 2) của ma trận được nêu trong bảng 2.18. Ma trận chuyển có được bằng cách này được trình bày

Hình 2.5:

Hình 2.6:

2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận 78

1 0.5 0 0.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0.6 0 0.11 0.7 0 0.02 0.31 0.01 0.19 0 0.22

3 0.05 0 0.4 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0.05 0.07 0 0 0.2 0 0.11 0 0 0

5 0.07 0.3 0 0.5 0 0 0.1 0.34 0.21 0.21 0 0

6 0.1 0 0 0.09 0 0.6 0 0 0 0.07 0.45 0

7 0 0 0 0 0 0 0.3 0 0.31 0 0 0

8 0.08 0.1 0.09 0.1 0.3 0 0.06 0.35 0.04 0 0 0.18

9 0 0 0 0 0 0 0.07 0 0.06 0 0 0

10 0.03 0 0 0 0 0 0.05 0 0.07 0.21 0 0.3

11 0.04 0 0.1 0.1 0.04 0.4 0.1 0 0 0.12 0.55 0

12 0.05 0 0.08 0 0 0 0 0 0.1 0.07 0 0.15

13 0 0 0.11 0.05 0 0 0.04 0 0.06 0 0 0

14 0.01 0 0 0 0 0 0.06 0 0 0.13 0 0.15

15 0.07 0 0.07 0.04 0 0 0 0 0.03 0 0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

trong bảng 2.24.

13 14 15

0 0 0

0.2 0.1 0.01

0 0 0

0.14 0 0.19

0.16 0.18 0.31

0.11 0.21 0.15

0 0 0

0 0.11 0.21

0 0 0

0 0.13 0

0.19 0.17 0.07

0 0.1 0

0.07 0 0.06

0 0 0

0.13 0 0

Bảng 2.24: Ma trận chuyển III

2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận 79

Các ma trận kề có liên quan và ma trận đạt được nêu riêng trong bảng 2.25 và 2.26.

1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 7 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 6 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 10 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 9 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 12 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 13 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 14 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 15 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

11 8 5 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Bảng 2.25: Ma trận kề III

1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 11 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 9 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 13 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 14 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 15 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1

12 8 4 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 Bảng 2.26: Ma trận đạt được III

Sự chia nhỏ các lớp tương tự như hai trường hợp trước. Nhưng ở đây, thành phần khác

2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận 80

không mới cho ta chỉ một trạng thái hấp thu. Chính xác hơn ta có các trường hợp sau:

hấp thu. (2.154) C1, C5 − Cực đại; C3, C6 − nhất thời ngặt ; C2, C4 −

Hình 2.7:

Quan hệ thứ tự mới được thể hiện trong sơ đồ 2.7.

1 0.5 0.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0.05 0.4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0.3 0.31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

9 0 0 0.07 0.06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 3 7 9 10 12 14 4 13 15 6 11 2 5 8

12 0.05 0.08 0 0.1 0.07 0.15 0.1 0 0 0 0 0 0 0 0

15 0.07 0.07 0 0.03 0 0 0 0.04 0.13 0 0 0 0 0 0

4 0 0.05 0.2 0.11 0.12 0 0 0.07 0.14 0.19 0 0 0 0 0

13 0 0.11 0.04 0.06 0 0 0 0.05 0.07 0.06 0 0 0 0 0

14 0.01 0 0.06 0 0.13 0.15 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 0.1 0 0 0 0.07 0 0.21 0.09 0.11 0.15 0.6 0.42 0 0 0

11 0.04 0.1 0.1 0 0.12 0 0.17 0.04 0.19 0.07 0.4 0.48 0 0 0

2 0 0 0.02 0.01 0.19 0.22 0.1 0.11 0.2 0.01 0 0.1 0.6 0.7 0.31

5 0.07 0 0.1 0.21 0.09 0 0.18 0.5 0.16 0.31 0 0 0.3 0 0.34

8 0.08 0.09 0.06 0.04 0 0.18 0.11 0.1 0 0.21 0 0 0.1 0.3 0.35

10 0.03 0 0.05 0.07 0.21 0.3 0.13 0 0 0 0 0 0 0 0 Bảng 2.27: Ma trận dạng chính tắc III

Ta thấy rằng, ta có một lớp hấp thu duy nhất và một trường hợp rút gọn được. Ba lớp nhất thời được so sánh và dạng chính tắc của ma trận chuyển được cho trong bảng 2.27.

2 0.566701 8 0.196484

5 0.236815 Bảng 2.28: Vectơ giới hạn

2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận 81

Cuối cùng vectơ giới hạn của lớp hấp thu duy nhất được nêu trong bảng 2.28. Như chúng ta thấy, các thay đổi nhỏ trong ma trận chuyển có thể dẫn đến thay đổi sự phân loại quá trình và các kết quả khác.

Chương 3

Quá trình tái tạo Markov, bán Markov và bước ngẫu nhiên Markov

3.1 Quá trình (J-X) dương

Xét một hệ vật lí hay kinh tế S với m trạng thái có thể, m là một số tự nhiên hữu hạn. Ta đặt I là tập hợp các trạng thái có thể có:

I = (3.1) 1, ..., m } {

như đã định nghĩa trong xích Markov.

Tại thời điểm 0, hệ bắt đầu với trạng thái đầu tiên được mô tả bởi biến ngẫu nhiên J0 và lưu lại trong trạng thái này một khoảng thời gian ngẫu nhiên không âm X1, sau đó chuyển đến trạng thái J1 với khoảng thời gian ngẫu nhiên không âm X2 trước khi đến trạng thái J2 và cứ tiếp tuc như vậy. Khi đó ta có quá trình ngẫu nhiên hai chiều với thời gian rời rạc được gọi là một quá trình (J-X) dương: (J 0) (3.2) Xn), n X) = ((Jn − − ≥ giả sử (3.3) X0 = 0

0) cho ta số 0) cho ta các trạng thái liên tiếp của S và dãy (Xn, n ≥ ≥ trong đó dãy (Jn, n lần lưu lại liên tiếp. 0). ≥ Chính xác hơn Xn là thời gian mà hệ S lưu tại trạng thái ở Jn−1(n Thời điểm mà các phép chuyển xảy ra là dãy (Tn, n 0) trong đó:

≥ n

r=1 X

(3.4) Xr T0 = 0,T1 = X1, ..., Tn =

và 1. (3.5) Tn−1,n Xn = Tn − ≥

3.2 Xích bán Markov và xích bán Markov mở rộng 83

3.2 Xích bán Markov và xích bán Markov mở rộng

m

, P ), động lực thác triển ngẫu nhiên của hệ (J-X) = Trên không gian xác suất đầy đủ (Ω, được xét được xác định bởi giả thiết sau: P (X0 = 0) = 1,

i=1 X

(3.6) pi = 1 P (J0 = i) = pi,i = 1, ..., m, với

với mọi n > 0, j = 1, ..., m, ta có:

j (x)

n−1

(3.7) (Jk, Xk), k = 0, ..., n 1) = QJ P (Jn = j, Xn ≤ x | −

trong đó hàm Qij(i, j = 1, ..., m) là hàm thực không giảm trên R+, như vậy nếu

I (3.8) Qij(x), i, j pij = lim x→+∞ ∈

m

thì:

j=1 X

I. (3.9) pij = 1, i ∈

Ta kí hiệu: (3.10) Q = [Qij],P = [pij](= Q( )),p = (p1, ..., pm). ∞ điều này dẫn đến các định nghĩa sau:

m của các hàm không giảm trên R+ thỏa mãn các Định nghĩa 3.1. Mỗi ma trận Q m × tính chất 3.8 và 3.9 được gọi là ma trận bán Markov hoặc nhân bán Markov.

0) với I × Định nghĩa 3.2. Mỗi cặp (p, Q) trong đó Q là nhân bán Markov và p là một vectơ xác R+ là suất ban đầu xác định quá trình (J-X) dương (J, X) = ((Jn,, Xn), n ≥ không gian trạng thái, cũng được gọi là xích bán Markov (gọi tắt SMC).

m Q của hàm không giảm thỏa các tính chất 3.8 và × Định nghĩa 3.3. Mỗi ma trận m 3.9 được gọi là ma trận bán Markov mở rộng hoặc nhân bán Markov mở rộng.

≥ × Định nghĩa 3.4. Mỗi cặp (p, Q) trong đó Q là nhân bán Markov mở rộng và p là một R là vectơ xác suất ban đầu xác định quá trình (J-X) (J, X) = (Jn,, Xn), n 0 với I không gian trạng thái, cũng được gọi là xích bán Markov mở rộng (gọi tắt ESMC).

Trở lại điều kiện 3.7 có ý nghĩa rõ ràng. Ví dụ giả sử ta quan sát một số n cố định mà Jn−1 = i thì hệ thức cơ bản 3.7 cho ta giá trị của xác suất có điều kiện sau:

(3.11) (Jk, Xk),k = 0, ..., n 1, Jn−1 = i) = Qij(x). P (Jn = j, Xn ≤ x | −

3.3 Các tính chất chính

0) được gọi là quá 0), (Xn, n ≥ ≥ Ta bắt đầu nghiên cứu các quá trình phân phối lề (Jn, n trình J và quá trình X.

3.3 Các tính chất chính 84

(i) Quá trình J

Từ bán Markov hệ thức 3.7 và định lí Lebesgue ta suy ra rằng:

). (3.12) P (Jn = j (Jk, Xk),k = 0, ..., n 1) = QJn−1j (+ | ∞ −

Áp dụng tính chất của kì vọng có điều kiện ta được:

) 1) (3.13) P (Jn = j (Jk), k = 0, ..., n (Jk), k = 0, ..., n 1) = E(QJn−1j (+ − ∞ | −

1),k = 0, ..., n 1) đo được, cuối ) là (Jk, k = 0, ...n ∞ − − | và biến ngẫu nhiên QJn−1j (+ cùng từ hệ thức 3.8 ta được:

(3.14) P (Jn = j (Jk), k = 0, ..., n 1) = pJn−1j . | −

Từ hệ thức 3.9 ta có ma trận P là ma trận Markov, như vậy ta chứng minh được kết quả sau.

Mệnh đề 3.5. Quá trình J là xích Markov thuần nhất với P là ma trận chuyển của nó.

m

Đó là lý do tại sao quá trình J được gọi là xích Markov được nhúng của SMC được xét trong đó biến ngẫu nhiên Jn là các trạng thái của hệ S chỉ sau phép chuyển thứ n. Từ kết quả của chương 2, hệ quả 2.20, trong trường hợp ergodic tồn tại một và chỉ một phân phối dừng của xác suất π= (π1, ..., πm) thỏa:

j=1 m P

i=1 P

πi = πjpji, j = 1, ..., m, (3.15) πi = 1

như vậy

I (3.16) P (Jn = j = πj, i, j J0 = i) p(n) ij lim n→∞ = lim n→∞ | ∈ (cid:16) (cid:17) theo chương 2, hệ thức 2.17 với

= Pn. (3.17)

p(n) ij h i

(ii) Quá trình X

Ở đây, trường hợp này hoàn toàn khác vì hàm phân phối này phụ thưộc vào Jn−1. Tuy nhiên, ta có một tính chất thú vị của sự độc lập với điều kiện nhưng trước khi đưa ra tính chất này ta trình bày một số định nghĩa sau.

Định nghĩa 3.6. Hai phân phối xác suất có điều kiện

(3.18)

FJn−1Jn(x) = P (Xn ≤ HJn−1(x) = P (Xn ≤ x Jn−1, Jn), | Jn−1) x |

được gọi là phân phối điều kiện hoặc phân phối vô điều kiện của thời gian lưu lại Xn.

3.3 Các tính chất chính 85

Ta cũng chứng minh được

n (Jk, Xk), k 1, Jn) Jn−1, Jn) ≤ − |

(3.19) FJn−1Jn(x) = E (P (Xn ≤ = E Jn−1, Jn | x | QJn−1Jn(x) pJn−1Jn (cid:19) (cid:18)

= QJn−1Jn(x) pJn−1Jn

trong đó pJn−vJn dương. Nếu không, ta có thể tùy ý cho 3.19 với giá trị U1(x) được xác định bởi:

(3.20) U1(x) = 0, x < 0, 0. 1, x ≥ (cid:26) và:

Jn−1) | HJn−1(x) (= P (Xn ≤ x | Jn−1)) = E(FJn−1Jn(x) m

j=1 X

(3.21) = pJn−1JnFJn−1Jn(x).

Mệnh đề 3.7. Giống như hàm bán-nhân Q, các biểu thức hàm phân phối có điều kiện hoặc không có điều kiện của thời gian lưu lại Xn được cho bởi:

m

, pij > 0, (Jn−1 = i, Jn = j)) = Qij(x) pij Fij(x) (= P (Xn ≤ x | U1(x), pij = 0,  

j=1 X

 (3.22) pijFij(x). Jn−1 = i)) = Hi(x) (= P (Xn ≤ x |

i, j = 1, . . . , m : Chú ý 3.1. (i) Từ hệ thức cuối 3.22, ta có thể mô tả nhân Q như một hàm của Fij,

I,x R+. (3.23) Qij(x) = pijFij(x),i, j ∈ ∈

Vì vậy, mỗi SMC cũng có thể được đặc trưng bởi bộ ba (p, P, F) để thay cho bộ đôi m được định nghĩa là F = [Fij] và Fij,i, j = 1, . . . , m là

(p, Q) trong đó ma trận F m × các hàm phân phối trên giá R+. (ii) Ta cũng có thể đưa ra các giá trị trung bình liên quan đến các hàm phân phối có điều kiện và không có điều kiện. Khi đó nếu chúng tồn tại thì ta có:

R ηi = R R R và hệ thức cuối 3.22 dẫn đến hệ thức:

m

βij = xdFij(x),i, j = 1, . . . , m, (3.24) xdHi(x),i = 1, . . . , m

j=1 X

(3.25) ηi = pijβij.

Đại lượng βij,i, j = 1, . . . , m và ηi,i = 1, . . . , m lần lượt được gọi là các trung bình có điều kiện và trung bình không có điều kiện của số lần lưu lại.

3.4 Ví dụ về quá trình yêu cầu bồi thường trong bảo hiểm 86

Mệnh đề 3.8. Với mỗi số nguyên k, đặt n1, n2, . . . , nk là k số nguyên dương với n1 < n2 < ... < nk và xn1, ..., xnk là k số thực. Khi đó ta có:

−1Jn1

−1Jnk

(xnk) Jn1−1, Jn1, ...Jnk−1, Jnk) = FJn1 (xn1)...FJnk xn1, ..., Xnk ≤ xnk| P (Xn1 ≤ (3.26)

đó là k biến ngẫu nhiên Xn1, . . . , Xnk độc lập có điều kiện được cho bởi Jn1−1, Jn1, . . . Jnk−1, Jnk.

0) được gọi là quá trình tái tạo Markov ≥ Định nghĩa 3.9. Quá trình hai chiều ((Jn, Tn) ,n của nhân Q.

I 0): Trước khi đưa ra biểu thức phân phối lề của vectơ ngẫu nhiên (Jn, Tn) với giá trị trong R+, J0 = i, ta định nghĩa các phân phối lề của (J, T ), quá trình ((Jn, Tn) ,n × ≥

I,n 0,t 0. (3.27) J0 = i) ,i, j Qn ij(t) = P (Jn = j, Tn ≤ t | ≥ ≥ ∈

m

Với A = [Aij] và B = [Bij] là hai ma trận m ma trận mới A m của hàm khả tích, ta kết hợp với một B)ij là hàm của t được định nghĩa: × B có các phần tử tổng quát (A • •

k=1 ZR X

(3.28) (A Akj (t y) dBik (y) B)ij(t) = − •

đây là tích chập các ma trận nhưng nó không có tính chất giao hoán.

Mệnh đề 3.10. Với mọi n 0, ta có: ≥

ij = Q(n) ij .

Qn (3.29)

Hơn nữa ta cũng có: Q(n)(t) = P n. (3.30) lim t→∞

3.4 Ví dụ về quá trình yêu cầu bồi thường trong bảo hiểm

Ví dụ 3.1. Ta xét một công ty bảo hiểm có m trường hợp rủi ro hoặc có m dạng khách hàng khác nhau với cùng rủi ro có dạng tập hợp I = . 1, ..., m } {

≥ ≥ ≥

≥ ≥

Ví dụ trong bảo hiểm xe ô tô, ta chia làm ba loại tài xế: giỏi, trung bình, yếu và I là không gian các trạng thái: 1 cho giỏi, 2 cho trung bình, 3 cho yếu. Bây giờ, đặt (Xn, n 1) là dãy các lượng tiền bồi thường liên tiếp, (Yn, n 1) là dãy các khoảng đến giữa các yêu cầu bồi thường bảo hiểm liên tiếp, (Jn, n 1) là các dạng rủi ro được quan sát. Trong mô hình cổ điển của lý thuyết rủi ro mô hình Cramer-Lungberg (1909, 1955), nó giả sử rằng chỉ có duy nhất một kiểu rủi ro và quá trình yêu cầu bồi thường đến là một quá trình Poisson của tham số λ. Sau đó, Anderson (1967) mở rộng mô hình này thành một quá trình tái tạo tùy ý và hơn nữa trong hai mô hình cổ điển này, quá trình lượng tiền bồi thường bảo hiểm là một quá trình tái tạo độc lập với quá trình đến của các yêu cầu bồi thường bảo hiểm. Việc xem xét một xích bán Markov cho quá trình hai chiều ((Jn, Xn) , n 0) hoặc/và ((Jn, Yn) , n 0) cho ta một sự độc lập hiển nhiên giữa các lượng tiền bồi thường bảo hiểm. Mô hình này được phát triển đầu tiên bởi Janssen (1969b, 1970, 1977) và từ đó dẫn đến nhiều mở rộng mới, xem ví dụ Asmussen (2000)

3.5 Quá trình tái tạo Markov, quá trình bán-Markov và quá trình đếm liên kết 87

3.5 Quá trình tái tạo Markov, quá trình bán-Markov và quá trình đếm liên kết

Ta xét SMC của nhân Q, khi đó ta có các định nghĩa sau:

0), trong đó Tn được cho ≥ Định nghĩa 3.11. Quá trình hai chiều (J, T ) = ((Jn, Tn) , n bởi hệ thức 3.4, được gọi là dãy tái tạo Markov hoặc quá trình tái tạo Markov.

Cinlar (1969) cũng đưa ra quá trình cộng tính Markov. Áp dụng hệ thức 3.5, ta có:

(Jk, Tk) , k = 0, . . . , n)

x (3.31) Tn). (Jk, Tk) , k = 0, . . . , n) = QJnj (x P (Jn+1 = j, Tn+1 ≤ x | = P (Jn+1 = j, Xn+1 ≤ Tn| − −

R+ Đẳng thức cuối này chỉ ra rằng quá trình (J, T ) là một quá trình Markov với I × là không gian trạng thái và có tính chất cộng tính:

(3.32) Tn+1 = Tn + Xn+1.

Giống như trong lý thuyết tái tạo, ta có:

t. N (t) > t (3.33) Tn ≤

m

⇔ Tổng số phép chuyển trong một trạng thái I cố định trong (0, t] là biến ngẫu nhiên Ni (t). Rõ ràng ta có:

i=1 X

N (t) = 0. (3.34) Ni (t) ,t ≥

Định nghĩa 3.12. Với mỗi quá trình tái tạo Markov, m + 1 quá trình ngẫu nhiên sau được liên kết tương ứng với các giá trị trong N: 0). 0) ,i = 1, ..., m. ≥ (i) Quá trình N, (N(t), t ≥ (ii) Quá trình Ni, (Ni(t), t tương ứng được gọi là quá trình đếm tổng số kết hợp và quá trình đếm riêng phần kết hợp, với: (3.35) N (0) = 0,Ni (0) = 0,i = 1, . . . , m.

Bây giờ ta dễ dàng mô tả khái niệm quá trình bán Markov tại thời điểm t, trạng thái được đưa vào tại phép chuyển cuối cùng trước hoặc vào thời điểm t, đó là JN (t).

Định nghĩa 3.13. Với mỗi quá trình tái tạo Markov, ta kết hợp quá trình ngẫu nhiên Z sau với các giá trị trong I: Z = (Z (t) , t 0) (3.36) ≥ với (3.37) Z (t) = JN (t).

Quá trình này được gọi là quá trình bán Markov liên kết hoặc đơn giản là quá trình bán Markov (gọi tắt là SMP) của nhân Q.

0

Chú ý 3.2. Giống như thuyết tái tạo, ta sẽ sử dụng các biến đếm đó là:

0

N (t) = N (t) + 1,

i (t) = Ni (t) + δiJ0.

N (3.38)

3.6 Các hàm tái tạo Markov 88

3.6 Các hàm tái tạo Markov

Xét MRP của nhân Q, ta thừa nhận rằng:

(3.39) Qij (0) < 1 sup i,j

trong đó Qij được định nghĩa trong 3.7. i) , n Nếu trạng thái ban đầu J0 là i, ta định nghĩa biến ngẫu nhiên Tn (i | ≥

1 là các thời điểm quay lại trạng thái i liên tiếp (có thể là vô hạn) hay cũng có thể gọi là các thời điểm đến liên tiếp. i) , n 0) với: i { } Quá trình (Tn (i | ≥ i) = 0 (3.40) T0 (i | là quá trình tái tạo mà có thể bị khuyết.

Sau này, biến ngẫu nhiên Tn (i |

0) với quy ước: i) , n i) sẽ được gọi là thời điểm quay lại trạng thái i thứ n. Tổng quát hơn, ta cố định trạng thái j khác trạng thái đã được cố định i. Ta có thể định nghĩa thời điểm quay lại trạng thái j lần thứ n với trạng thái ban đầu là i. Thời điềm này, cũng có thể vô hạn, sẽ được mô tả bởi (Tn (j ≥

| i) = 0. (3.41) T0 (j |

i) , n Bây giờ, dãy (Tn (j ≥ | 0) là một quá trình tái tạo dừng với các giá trị trên R+. i) và | i), vì thế: i) Như vậy nó được định nghĩa bởi hai hàm phân phối: Gij là hàm phân phối của T1 (j Gjj là của T2 (j T1 (j | − |

i) i) t) , n 2. i) (3.42) t) , Tn−1 (j ≤ − ≥ ≤ |

j) , n 0) . Gij (t) = P (T1 (j | Gjj (t) = P (Tn (j | Hiển nhiên hàm phân phối Gij đủ để định nghĩa quá trình tái tạo (Tn (j | ≥

Chú ý 3.3. Từ các định nghĩa trước. Ta có:

I, ∈ (3.43) J0 = i) ; i, j Gij (+ ) Gij (t) = P (Nj (t) > 0 | i) = + P (T1 (j ) = 1 − ∞ | ∞

m

i) , n 1, có thể vô hạn, ta được: và với trung bình của Tn (i | ≥

i)) = (3.44) tdGij (t) µij = E (T1 (j | Z0

với quy ước 0 (+ ) = 0. (3.45) · ∞ I được gọi là số lần vào hoặc quay lại trung bình đầu tiên. Giá trị trung bình µij, i, j

m

∈ I thỏa mãn các hệ thức sau: Bổ đề 3.14. Hàm Gij,i, j ∈

k=1 X

I, t 0. (3.46) Qik (t) + (1 Gjj) Qij (t) , i, j Gij (t) = − • ∈ ≥ Gkj •

3.6 Các hàm tái tạo Markov 89

Với mỗi quá trình tái tạo dừng có thể được định nghĩa bởi cặp (Gij, Gjj) ,i, j thuộc I, ta sẽ mô tả Aij và Rij là các hàm tái tạo liên kết được định nghĩa bởi hệ thức 1.7 và 1.19 chương 1 như vậy:

0

Aij (t) = E (Nj (t) J0 = i) ,

N (3.47) Rij (t) = E J0 = i | j (t) | (cid:16) (cid:17) và bởi hệ thức 3.38: (3.48) Rij (t) = δijU0 (t) + Aij (t) .

∞

Từ hệ thức 2.7 chương 2, 1.16 và 1.21 chương 1 ta được:

jj (t) ,j

G(n) I, (3.49) Rjj (t) = ∈

n=0 X Rij (t) = Gij •

Rjj (t) .

∞

Hoặc tương đương ta có:

jj (t) ,i, j

n=0 X

G(n) I. (3.50) Rij (t) = δijU0 (t) + Gij • ∈

Mệnh đề 3.15. Giả thiết m < cho ta: ∞ j) , n 0) ,j I là đầy đủ. (i) Có ít nhất một trong các quá trình tái tạo (Tn (j ≥ ∈ | (ii) Với mọi i thuộc I ta có một trạng thái s như sau

. i) = + (3.51) Tn (s lim n | ∞

(iii) Với biến ngẫu nhiên Tn được định nghĩa bởi hệ thức 3.4 cho rằng J0 = i với bất kì giá trị i thì ta có: . (3.52) Tn = + lim n ∞

I như là một hàm của nhân Q thay ∈ Các hệ thức sau sẽ mô tả các hàm tái tạo Rij,i, j cho m2 hàm Gij.

∞

Mệnh đề 3.16. Với mọi i và j thuộc I, ta có:

ij (t).

n=0 X

Q(n) (3.53) Rij (t) =

Sử dụng kí hiệu ma trận với: (3.54) R = [Rij]

∞

hệ thức 3.52 có dạng:

n=0 X

Q(n). R = (3.55)

3.6 Các hàm tái tạo Markov 90

Bây giờ ta giới thiệu phép chuyển L-S của ma trận. Với bất kì ma trận của các hàm thích hợp Aij từ R+ đến R được mô tả bởi:

(3.56) A = [Aij]

thì phép biến đổi L-S được mô tả là:

¯A = (3.57) ¯Aij

∞

(cid:2) (cid:3) với

(3.58) e−stdAij (t) . ¯Aij (s) =

Z0

∞

n

Tương tự với ma trận R, ta có dạng ma trận của hệ thức 3.53 là:

n=0 X

. ¯R (s) = ¯Q (s) (3.59)

(cid:0) (cid:1) Từ hệ thức cuối, với bất kì s > 0 ta có hệ thức

−1

∞

I I ¯R (s) ¯Q (s) = ¯Q (s) ¯R (s) = I (3.60) − − (cid:0) (cid:0) (cid:1) và như vậy ta cũng có: I . (cid:1) ¯R (s) = ¯Q (s) (3.61) − (cid:0) (cid:1) Mệnh đề 3.17. Ma trận tái tạo Markov R được cho bởi

n=0 X dãy này hội tụ trong R+. Hơn nữa, phép biến đổi L-S của ma trận R có dạng ngược với mọi s dương là:

−1

Q(n) (3.62) R =

I ¯Q (3.63) ¯R =

(cid:1) (cid:0) − Mệnh đề 3.18. Với phép biến đổi L-S của phân phối thời điểm quay lại đầu tiên, ta có:

−1, i = j, −1, i = j. (cid:1)

(3.64) ¯Gij (s) = 6 ¯Rij (s) 1 ( ¯Rjj (s) ¯Rjj (s) (cid:0) − (cid:1) Ngược lai, ta có: (cid:0) ¯Gij (s) , i = j, (3.65) 6 1 ¯Rij (s) =

−1, i = j.

1 ¯Gjj (s) − ¯Gjj (s)   − (cid:0) (cid:1) 

3.7 Phương trình tái tạo Markov 91

3.7 Phương trình tái tạo Markov

∞

Xét một MRP của nhân Q. Từ hệ thức 3.53 ta được:

ij (t)

Q(n) Rij (t) = δijU0 (t) +

n=1 X R)ij (t) . •

(3.66) = δijU0 (t) + (Q

Sử dụng các kí hiệu ma trận với:

(3.67) I (t) = [δijU0 (t)]

hệ thức 3.66 có dạng: R (t) = I (t) + Q R (t) . (3.68) • Phương trình tích phân ma trận này được gọi là phương trình tái tạo Markov cho R. Để có được phương trình tích phân ma trận tương ứng cho ma trận

(3.69) H= [Hij]

từ hệ thức 3.48 ta biết rằng R (t) = I (t) + H (t) . (3.70)

Chèn biểu thức của R (t) vào hệ thức 3.68 ta được:

H (t) = Q (t) + Q H (t) (3.71) •

đây là phương trình tái tạo Markov cho H. Phương trình tái tạo Markov 3.68 là trường hợp riêng của phương trình tích phân ma trận thuộc kiểu: f = g + Q f (3.72) • được gọi là phương trình tích phân kiểu tái tạo Markov (gọi tắt là MRT), trong đó

(3.73) f = (f1, . . . , fm)0 , g = (g1, . . . , gm)0

là hai vectơ cột của các hàm có tất cả các thành phần của chúng trong B, với B là tập hợp của các hàm biến đơn đo được, bị giới hạn trên khoảng hữu hạn hoặc trên B+ nếu tất cả các thành phần của chúng không âm.

Mệnh đề 3.19. Phương trình tích phân Markov của MRT,

f f = g + Q (3.74) •

với f, g thuộc B+, có nghiệm duy nhất là:

f = R g. (3.75) •

3.8 Dáng điệu tiệm cận của MRP 92

3.8 Dáng điệu tiệm cận của MRP

3.8.1 Dáng điệu tiệm cận của hàm tái tạo Markov

i, j thuộc I liên kết với quá trình tái tạo dừng, có thể nhất Ta biết rằng hàm tái tạo Rij, thời, được đặc trưng bởi cặp hàm phân phối (Gij, Gjj) trên R+. Ta gọi µij là trung bình của hàm phân phối Gij, có thể vô hạn.

Mệnh đề 3.20. Với mọi i, j thuộc I, ta có:

(i)

. = (3.76) lim t→∞ Rij (t) t 1 µjj

(ii) τ ) Rij (t) (3.77) = − − lim t→∞ Rij (t τ τ µjj

với mọi τ cố định.

Mệnh đề 3.21. Với một MRP ergodic, giá trị của số lần quay lại trung bình được tính bởi hệ tuyến tính sau:

k6=j X

(3.78) µij = pikµkj + ηi,i = 1, . . . , m.

Với i = j ta có:

k X

(3.79) πkηk,j = 1, . . . , m µjj = 1 πj

I được xác định bởi hệ thức 3.25 và trong đó π = (π1, . . . , πm) là phân phối ∈ trong đó ηi, i dừng duy nhất của xích Markov được nhúng.

3.9 Dáng điệu tiệm cận của SMP

3.9.1 Trường hợp tối giản

0) liên kết với MRP của nhân Q và được định nghĩa bởi hệ ≥ Ta xét một SMP (Z (t) , t thức 3.36. Bắt đầu với Z (0) = i, xác suất hệ ở trạng thái j vào thời điểm t là:

t

Z (0) = i) . (3.80) φij (t) = P (Z (t) = j | Một đối số xác suất đơn giản sử dụng tính chất tái sinh của MRP cho rằng hệ thỏa mãn các xác suất này là một hàm của nhân Q:

k X

I. (3.81) φkj (t y)dQik (y) ,i, j φij (t) = δij (1 Hi (t)) + − ∈ − Z0

Cũng có thể mô tả các xác suất chuyển của SMP bằng cách thêm vào các phân phối I: thời gian chuyển đầu tiên Gij,i, j

I. (3.82) Gij (t) + δij (1 Hi (t)) ,i, j ∈ φij (t) = φjj • − ∈

3.9 Dáng điệu tiệm cận của SMP 93

Áp dụng mệnh đề 3.19 ta được mệnh đề sau.

Mệnh đề 3.22. Ma trận xác suất chuyển

(3.83) Φ = [φij]

được cho bởi Φ = R (I H) (3.84) • − với (3.85) H = [δijHi] .

Vì vậy, thay cho hệ thức 3.82 ta có thể viết:

(1 (3.86) φij (t) = Hj (t y)) dRij (y). − − Z[0,t]

Dáng điệu của ma trận xác suất chuyển 3.83 sẽ được trình bày trong mệnh đề sau.

k P

0) là SMP liên kết với một MRP ergodic nhân Q, ≥ Mệnh đề 3.23. Đặt Z = (Z (t) , t khi đó: πjηj , i, j I. (3.87) φij (t) = lim t→∞ ∈ πkηk

j,

Chú ý 3.4. (i) Cũng như giới hạn trong hệ thức 3.87 không phụ thuộc vào i, mệnh đề 3.23 thiết lập một tính chất ergodic được phát biểu như sau:

j =

k P

lim t→∞ φij (t) = πjηj (3.88) . Q πkηk Q

j, j

I (ii) Với m trạng thái hữu hạn, ta có là một phân phối xác suất. Hơn nữa, ∈ (cid:17) πj > 0 với mọi j (xem hệ thức 2.99 chương 2), ta có: (cid:16)Q

j Y

I. > 0,j (3.89) ∈

Vì vậy, một cách tiệm cận, mỗi trạng thái có thể đạt được với xác suất dương.

(iii) Tổng quát, ta có:

(3.90) φij (t) p(n) ij = lim t→∞ lim n→∞ 6

j Y

từ đó hiển nhiên ,j I. = (3.91) πj 6 ∈

Tổng quát, điều này chỉ ra rằng các xác suất giới hạn cho xích Markov được nhúng không giống xác suất giới hạn cho quá trình bán Markov. Từ mệnh đề 3.23 và 3.21 ta có ngay hệ quả sau.

Hệ quả 3.24. Với quá trình tái tạo Markov (MRP), ta có:

j Y

. (3.92) = πj µjj

3.9 Dáng điệu tiệm cận của SMP 94

3.9.2 Trường hợp không tối giản

Nó thường xảy ra rằng các mô hình ngẫu nhiên được áp dụng cho các ứng dụng cần MRP không tối giản. Ví dụ sự có mặt của trạng thái hấp thu nghĩa là trạng thái j với

(3.93) pjj = 1.

Bây giờ ta sẽ thấy rằng dáng điệu tiệm cận được suy ra dễ dàng từ trường hợp tối giản đã nghiên cứu ở trên.

1) Trường hợp duy nhất rút gọn được Giống như xích Markov , đây là trường hợp đơn giản mà xích Markov được nhúng là l trạng thái − duy nhất rút gọn được vì vậy tồn tại l (l < m) trạng thái nhất thời và m khác có dạng lớp hồi quy C. Ta luôn giả sử rằng cả xích Markov được nhúng và MRP được xét đều không tuần hoàn. Đặt T = 1, . . . , l là tập hợp các trạng thái nhất thời (T = I C). Từ mệnh đề 2.19 { − } chương 2 ta biết rằng: T. (3.94) φij (t) = 0,i, j lim t→∞ ∈

Hơn nữa, từ mệnh đề 3.23 và hệ thức 3.82:

k=l+1 P

, i, j C ) (3.95) φij (t) = Gij ( πjηj m lim t→∞ ∞ ∈ πkηk

trong đó (πl+1, . . . , πm) mô tả phân phối xác suất dừng duy nhất của xích Markov phụ với C là không gian trạng thái. Với (3.96) Gij ( ) = fij ∞ ta được (3.97) Gij ( ) = fi,C

∞ trong đó fi,C là xác suất mà hệ sẽ là hấp thu bắt đầu từ trong thái i bởi lớp hồi quy C. Như vậy, ta biết rằng với mọi trạng thái i thuộc I chỉ có một lớp ước lượng được:

(3.98) fi,C = 1

0

Mệnh đề 3.25. Với bất kì quá trình tái tạo Markov duy nhất rút gọn được và tuần hoàn, ta có:

j Y

,j I (3.99) φij (t) = lim t→∞ ∈

0

trong đó T 0, j

j Y

k=l+1 P

∈ πjηj m , j C (3.100) ∈ πkηk =  



3.10 MRP trì hoãn và MRP dừng 95

Ở đây, tương tự như giới hạn trong 3.100 nó không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu i, kết quả này cho ta một tính chất ergodic.

2) Trường hợp tổng quát Với bất kì MRP không tuần hoàn, tồn tại 1 phân hoạch duy nhất của không gian trạng thái I: . . . (3.101) I = T Cr, r < m C1

[ [ [

trong đó T là tập hợp các trạng thái nhất thời và Cv,v = 1, . . . , r là lớp ước lượng được thứ v cần thiết và có dạng của trạng thái hồi quy dương.

0

Mệnh đề 3.26. Với bất kì quá trình tái tạo Markov (MRP) không tuần hoàn, ta có:

ij Y

,i, j I (3.102) φij (t) = lim t→∞ ∈

0

với bất kì j Cv,v = 1, . . . , r: ∈

0v j , i ∈ Q fi,Cv

ij Y

0, (3.103) 6 Cv,v = 1, . . . , r = v0, v0 = 1, . . . , r T i i ∈ Cv0,v 0v j , =   ∈

0v j , j là không gian trạng thái, đó là:

0

Q  trong đó Cv là phân phối dừng duy nhất của quá trình bán Markov phụ với Cv ∈ (cid:17) (cid:16)Q

j Y

k∈Cv P

= (3.104) πjηj m πkηk

k, k

Cv)là phân phối dừng duy nhất của xích Markov phụ với Cv là không gian ∈ T ) là nghiệm duy nhất của hệ tuyến tính trong đó (πv trạng thái và (fi,Cv, i ∈

j∈Cv X

j∈T X

T . (3.105) pij, i pijyj = ∈ yi −

3.10 MRP trì hoãn và MRP dừng

0) với Định nghĩa 3.27. Quá trình hai chiều ((Jn, Tn) , n ≥

1, (3.106) T0 = 0, Tn = X1 + . . . + Xn, n ≥

được gọi là dãy tái tạo Markov dừng hoặc quá trình tái tạo Markov dừng (gọi tắt là DMRP) của bộ ba nếu

p, ˜Q, Q (cid:17) (cid:16)

I, (3.107)

I,x R, n > 1. 1) = Qij (x) ,i, j (i) P (J0 = i) = pi,i I, ∈ J0 = i) = ˜Qij (x) ,i, j (ii)P (J1 = j, X1 ≤ x ∈ | (Jk, Kk) , k = 0, . . . , n x (iii)P (Jn = j, Xn ≤ | − ∈ ∈

3.10 MRP trì hoãn và MRP dừng 96

Định nghĩa này dựa trên giả thiết là vectơ m chiều p = (p1, . . . , pm) là phân phối xác suất trên I và ma trận ˜Q,Q là hai nhân bán Markov.

Như trong trường hợp của thuyết tái tạo, tồn tại hệ thức đơn giản giữa các hàm tái tạo, và các hàm tương ứng của MRP phân phối lề,. . . của một DMRP của bộ ba

kết hợp cổ điển nhân Q. p, ˜Q, Q (cid:17) (cid:16) Đặt ˜Rij (t) là hàm tái tạo Markov của DMRP, ta có:

∞

. (3.108) ˜Rij (t) = E ˜Nj (t) J0 = i | (cid:16) (cid:17) Ta biết rằng:

∞

t ˜Rij (t) = J0 = i) P (Jn = j, Tn ≤ |

n=1 X ˜Qik •

n=1 X ∞

= (3.109) (t) Q(n−i) kj

n=1 X

= Rkj (t) ˜Qik •

Nếu ta xét các xác suất chuyển của quá trình bán Markov trì hoãn 0 , kết ≥ ˜Z (t) , t (cid:16) (cid:17) hợp với DMRP của đó là:

t

m

(3.110) p, ˜Q, Q (cid:17) (cid:16) ˜φij (t) = P | ˜Z (0) = i (cid:17) ˜Z (t) = j (cid:16) áp dụng đối số xác suất đơn giản ta được:

k=1 X

(3.111) 1 + φkj (t y) d ˜Qik (y) ˜φij (t) = δij ˜Hj (t) − − Z0 (cid:16) (cid:17)

m

trong đó φkj là các xác suất chuyển của SMP nhân Q và với

k=1 X

I, t 0. (3.112) ˜Qjk (t) ,j ˜Hj (t) = ≥ ∈

m

Áp dụng mệnh đề 3.22, hệ thức 3.109 cho ta

k=1 X

(1 (3.113) 1 + Hj) ˜Qik (t) ˜φij (t) = δij ˜Hj (t) − Rkj • • − (cid:16) (cid:17)

và từ hệ thức 3.111:

1 + (1 (3.114) ˜φij (t) = δij ˜Hj (t) Hj) ˜Rij (t) − − • (cid:16) (cid:17)

97 3.10 MRP trì hoãn và MRP dừng

I Hệ thức 3.111 cũng chỉ ra rằng các phân phối giới hạn của các xác suất chuyển ˜φij,i, j ∈ I cũng tồn tại. tồn tại và phân phối giới hạn của các xác suất chuyển φij,i, j ∈ Thực vậy, giả sử rằng

ij

, i, j I (3.115) φij (t) = lim t→∞ ∈ Y thì từ hệ thức 3.113, giới hạn

ij

m

˜ ,i, j I (3.116) ˜φij (t) = lim t→∞ ∈ Y cũng tồn tại và được cho bởi

ij

kj

k=1 X

˜ ,i, j I = (3.117) ˜pik ∈ Y Y

trong đó (3.118) ) . ˜pij = ˜Qij (+ ∞

Áp dụng mệnh đề 3.23 và hệ thức 3.116 ta được kết quả sau.

Mệnh đề 3.28. Nếu MRP kết hợp với DMRP của là tối giản thì

j

j Y

k P

I (3.119) p, ˜Q, Q (cid:17) (cid:16) ;i, j ˜φij (t) = lim t→∞ ∈ Y với πjηj , j I. = (3.120) ∈ πkηk

Theo đó, trong trường hợp ergodic thì cả DSMP và SMP kết hợp có cùng dáng điệu tiệm cận.

Ta định nghĩa vestơ ps với thành phần thứ j (j = 1, . . . , m) được cho bởi

j Y và ta định nghĩa bán Markov nhân QS như sau:

x

(3.121) pS,j =

0 R

0, Qij (y))dy,x (3.122) QS,ij (x) = ≥ 1 ηi (pij − 0, x < 0.  

Bây giờ ta có thể đưa ra định nghĩa sau. 

Định nghĩa 3.29. Quá trình tái tạo Markov trì hoãn của với nhân Q ergodic pS, Q, ˜QS

x

(cid:17) (cid:16) được gọi là quá trình tái tạo Markov dừng (gọi tắt là SMRP) của nhân Q. Trong trường hợp này, ta chứng minh được rằng (xem Janssen và Manca (2006))

j X

v P

(3.123) x) = πj pjk (1 Fjk (y))dy. − P (J1 = k, X1 ≤ 1 πvηv Z0

3.11 Trường hợp nghiên cứu về bảo hiểm xã hội 98

Kết quả cuối này có được từ

l X

(3.124) x) = pS,lQS,lk (x) P (J1 = k, X1 ≤

x

và vì vậy

j X

v P

x) = (3.125) πj Qjk (y))dy P (J1 = k, X1 ≤ (pjk − 1 πvηv Z0

kết quả này tương đương với 3.123. Mệnh đề tiếp theo cho ta tính chất đặc trưng của SMRP.

Biến ngẫu nhiên NSj (t) là tổng số phép chuyển đến trạng thái j trong [0, t) với SMRP được xét. Từ quan điểm này, ta sẽ sử dụng một cách hệ thống chỉ số dưới s cho tham số liên quan đến SMRP.

Mệnh đề 3.30. Với mỗi SMRP của với nhân Q ergodic, tất cả các hàm tái pS, Q, ˜QS

(cid:16) (cid:17) tạo là tuyến tính. Chính xác hơn:

j ηj Q

t,j I. (3.126) E (NS,j (t)) = ∈

Hệ quả 3.31. Mỗi SMRP của với nhân Q ergodic, ta có: pS, Q, ˜QS

m

(cid:16) (cid:17)

j=1 X

. E (3.127) = NS,j (t) t η !

m

Hệ quả này chỉ ra rằng nhìn vào tổng số phép chuyển, mỗi SMRP trung bình tương đương với quá trình tái tạo dừng được định nghĩa bởi hàm phân phối H được cho bởi:

j=1 X

H = (3.128) πjHj.

3.11 Trường hợp nghiên cứu về bảo hiểm xã hội

3.11.1 Mô hình bán Markov

m

0

Ta trở lại vấn đề đã trình bày trong phần 2.8 chương 2 đã được giải bằng mô hình xích Markov. Ở đây, ta sẽ mở rộng sang mô hình bán Markov cho phép ta tính khoảng thời gian chuyển từ mức độ bệnh tật Sj đến mức độ bệnh tật Sk. Trong trường hợp này, hệ thức 2.131 của chương 2 được thay thế bằng hệ thức sau:

j=1 X

(3.129) φij (t) Sj. ¯S i (t) =

0

0

Nghiên cứu sự cân bằng tài chính của quỹ như vậy phụ thuộc vào:

i (t)

S (3.130) ¯S i = lim t→∞

99 3.11 Trường hợp nghiên cứu về bảo hiểm xã hội

m

0

hoặc

j=1 X

(3.131) φij (t) Sj. ¯S i = lim t→∞

5

0

Ở đây, nó đủ để áp dụng mệnh đề 3.25 cho ta kết quả trong trường hợp tổng quát. Trong trường hợp duy nhất rút gọn được với P được mô tả bởi hệ thức 2.134 trong chương 2, ta được:

j Y

j=3 X

(3.132) Sj ¯S i =

trong đó

j Y

k=3 P

= (3.133) πjηj 5 πkηk

5

và (π3, π4, π5) được cho bởi hệ thức 2.137 trong chương 2,

k=3 X với βjk là trung bình của phân phối Fjk kết hợp với khoảng thời gian chuyển từ mức độ bệnh tật Sj sang mức độ bệnh tật Sk.

(3.134) ηj = pjkβjk

Ở đây cũng vậy, mặc dù ta có trường hợp duy nhất rút gọn được nhưng trạng thái tiệm cận ¯Si không phụ thuộc vào trạng thái i ban đầu. Để chuyển từ mô hình xích Markov sang mô hình bán Markov, điều kiện cần là phải biết được ma trận B = [βij].

3.11.2 Ví dụ số

Trong phần này ta xét lại ví dụ được nêu trong phần cuối chương 2 để đưa ra các kết quả thu được trong trường hợp Markov và cũng trong môi trường bán Markov.

Đầu tiên ta có kết quả tiệm cận kết hợp với ví dụ bệnh tật được nêu trong chương 2. I được tính từ dữ liệu thực của Campania, một vùng của Ý với ∈ Giá trị trung bình ηj,i hơn 4 triệu dân và xích Markov được áp dụng cho ví dụ này. Vectơ gới hạn tiệm cận bán Markov được trình bày trong bảng 3.1

Trạng thái 1 2 3 4 5 ηi 2.00822 3.35343 3.34247 3.46575 3.32603 Πi 0 0 0.22 0.34217 0.43783

i

Bảng 3.1: Bệnh tật

Q

0

Từ kết quả 3.132 và với các mức độ được nêu trong phần 2.8 chương 2, ta được kết quả

i = 0.787. Ít nhiều nó tương đương với kết quả 2.138 của chương 2.

sau: ¯S

3.12 Quá trình (J-X) 100

3.12 Quá trình (J-X)

Trong phần 3.1, ta đã giới thiệu khái niệm quá trình (J, X) bởi định nghĩa 3.4 cho biến ngẫu nhiên Xn, n = 1, 2, ...lấy giá trị trên toàn đường thẳng thực R thay vì trong R+ cho các thành phần mà ta đã nêu trong định nghĩa 3.2, một quá trình (J, X) dương.

Vào năm 1969, Janssen chỉ ra rằng việc nghiên cứu quá trình (J, X) dẫn đến một khái niệm cổ điển của bước ngẫu nhiên tổng quát rất thú vị với nhiều ứng dụng trong mô hình ngẫu nhiên. Ta sẽ bắt đầu phần này bằng cách gọi lại định nghĩa cơ bản.

R và thỏa các điều kiện Định nghĩa 3.32. Đặt p = (p1, . . . , pm) là vectơ m chiều của xác suất ban đầu và Q là một nhân bán Markov mở rộng được xác định bởi định nghĩa 3.3. Khi đó mỗi quá trình ((Jn, Xn) , n = 0, 1, ...) hai chiều với các giá trị trong I ×

m

P (X0 = 0) = 1, P (J0 = i) = pi, i = 1, . . . , m với

i=1 X

(3.135) pi = 1

với mọi n > 0, j = 1, ..., m ta có :

x (3.136) (Jk, Kk) , k = 0, . . . , n 1) = QJn−1j (x) P (Jn = j, Xn ≤ | −

được gọi là một quá trình (J, X) hoặc một xích bán Markov mở rộng (gọi tắt là ESMC).

Quá trình S được xác định bởi:

(3.137) + Xn, n = 0, 1, . . . Sn = X0 + X1 + · · ·

được gọi là một bước ngẫu nhiên bán Markov (gọi tắt là SMRW)

Mệnh đề 3.33. (Các tính chất cơ bản của quá trình (J, X))

0) là một quá trình Markov với I R là không gian trạng (i) Quá trình ((Jn, Sn) , n × ≥ thái. Với mọi j thuộc I và mọi số thực x, ta có:

x (3.138) (Jk, Sk) , k = 0, 1, ..., n Sn) . 1) = QJn−1j (x P (Jn = j, Sn ≤ | − −

0) là một xích Markov thuần nhất với I là không gian trạng thái, (ii) Quá trình (Jn, n ≥ với mọi j thuộc I ta có:

(3.139) P (Jn = j, Jk, k = 0, 1, ..., n 1) = pJn−1j. | −

(iii) Với mọi n dương và mọi số thực x ta có:

k

R, 1) = HJn−1 (x) , n > 0, x − ∈ R, x, x, Jk,k = 0, 1, . . . , n Jk,k = 0, 1, . . . , n) = FJn−1Jn (x) , n > 0, x ∈

−1Jni (xi),

i=1 Y

Jk, k = 0, 1, ..., nk) = FJni

xl,| R, i = 1, ..., k) . (3.140) P (Xn ≤ P (Xn ≤ P (Xn1 ≤ (0 < n1 < | | x1, ..., Xn1 ≤ < nk,xi ∈ · · ·

3.13 Các hàm của quá trình (J-X) 101

Các xác suất pij, i, j = 1, ..., m và các hàm Hj, j = 1, ..., m, Fij, i, j = 1, ..., m được

định nghĩa như trong 3.8 và 3.22.

Hệ thức cuối trong 3.140 cho ta sự độc lập có điều kiện của Xn1, . . . , Xnk cho Jn1−1, Jn1, . . . , Jnk. Từ 3.22 ta nói rằng:

m

, pij > 0, x Jn−1 = i, Jn = j)) = Qij (x) pij Fij (x) (= P (Xn ≤ | U1 (x) , pij = 0,  

j=1 X

x (3.141)  pijFij (x), Jn−1 = i)) = Hi (x) (= P (Xn ≤ |

rõ ràng quá trình (J, X) hoàn toàn được định nghĩa bởi cặp (p, Q) hoặc bộ ba (p, P, F) trong đó: (3.142) p = (p1, . . . pm) ,Q = [Qij] , P = [pij] , F = [Fij] .

3.13 Các hàm của quá trình (J-X)

Trong phần này ta giới thiệu khái niệm hàm W của quá trình (J, X) được cho, nó được áp dụng không những trong tài chính và bảo hiểm mà còn trong các nghiên cứu toán học. Để định nghĩa hàm W , ta đưa ra một số thực và hàm độ đo Lebesgue f của ba biến R. I ngẫu nhiên được định nghĩa trên tập I × × Khi chúng tồn tại, ta sẽ sử dụng các kí hiệu sau cho kì vọng với i, k I: ∈

ik =

ξik = f (i, k, x) dQik (x) ,ξ(2) f 2 (i, k, x) dQik (x),

m

ZR ZR m

i =

k=1 X

k=1 X

. (3.143) ξi = ξik,ξ(2) ξ(2) i

≥ I 0) được định nghĩa bởi (p, Q) R, hàm Wf được định nghĩa như quá × × Định nghĩa 3.34. Cho một quá trình (J, X), ((Jn, Xn) , n và một hàm thực f có độ đo Lebesgue trên I trình ngẫu nhiên (3.144) Wf = (Wf (n) , n = 0, 1, . . .)

n

k=1 P

trong đó 0, n = 0, (3.145) Wf (n) = f (Jk−1, Jk, Xk) , n > 0.  

Nếu với mọi j ta xét một quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc: 

(3.146) u(j) s , n > 0

với (cid:1) (cid:0) r(j) s+1

s +1

(3.147) f (Jn−1, Jn, Xn) u(j) s =

Xn=r(j)

3.13 Các hàm của quá trình (J-X) 102

2

thì quá trình 3.147 này là một dãy biến ngẫu nhiên có phân phối độc lập và đồng nhất với giá trị trên R, đó là một bước ngẫu nhiên trên đường thẳng thực. Các mệnh đề quan trọng sau cho ta các kết quả liên quan mômen của biến ngẫu nhiên I, J0 = j và luật mạnh số lớn cơ bản cho các quá trình (J, X). uj 1, j ∈

i

m

E , tồn tại với mọi i thuộc I thì E Mệnh đề 3.35. Nếu xích Markov được nhúng của quá trình (J, X) được xét là ergodic và nếu hàm được xét là các kì vọng ξi,ξ(2) u(j) 1 u(j) 1 (cid:19) (cid:18) (cid:17) (cid:17) (cid:16) (cid:16) tồn tại và được cho bởi:

m

m

2

E = πiξi (= µjj), 1 πj u(j) 1 (cid:16)

i +

i=1 X 1 = πj

i=1 X

i=1 X

k6=j X

r6=j X

E (3.148) πiξ(2) mkr) ξikξr, πiπr (mkj + mjr − 2 πj (cid:18) (cid:19) (cid:17) (cid:17) u(j) 1 (cid:16)

= s, s I được cho bởi hệ ∈ 6 trung bình số lần quay lại trong xích Markov được nhúng mls,l thức 2.42 trong chương 2.

m

∈ Mệnh đề 3.36. (Luật mạnh số lớn cho các hàm của quá trình (J-X) ) Với bất kì quá trình (J, X) ergodic so that các giá trị trung bình có điều kiện bij, i, j I là hữu hạn, ta có kết quả sau:

i=1 X

Wf (n) (3.149) πiξi, n −−−→n→∞

Các kết quả tiếp theo có liên quan đến định lí giới hạn trung tâm cho các hàm của quá trình (J, X).

N −−−→n→∞

Mệnh đề 3.37. (Định lí giới hạn trung tâm cho các hàm của quá trình (J, X)) Nếu kì vọng ξi tồn tại với mọi i thuộc I , trong trường hợp ergodic và với phép hội tụ ta có: n Wf (n) mj mjj . (3.150) 0, var u1 − √n − mj mjj (cid:19)(cid:19) f (cid:18) (cid:18) Hơn nữa, nếu µjj được định nghĩa bởi hệ thức đầu tiên của 3.148 là khác null thì

Wf (n) nAf µ (3.151) N (0, µBg) − √n −−−→n→∞

m

trong đó

i=1 X m

µ = πiηi,

πiξi

i=1 m P

i=1 P

, Af = πiηi

3.14 Các bước ngẫu nhiên cổ điển và lý thuyết rủi ro 103

i + 2

i X

r6=j X

, πiξ(2) Bf = πiξikξrjp∗ kr !

k6=j X I

jp∗

kr =

mkr , i, j, k (3.152) 1 πiηi i X i mkj + mjr − P ∈ mrr

1 được định nghĩa bởi hệ thức 3.147 nhưng

là phương sai của hàm uj và var u1 − mj mjj (cid:19) f (cid:18) f ở đây liên quan đến hàm . − (cid:18) mj mjj (cid:19)

Chú ý 3.5. Ta có thể chứng minh được rằng Af và Bf độc lập với trạng thái j.

3.14 Các bước ngẫu nhiên cổ điển và lý thuyết rủi ro

3.14.1 Các kí hiệu cơ bản trong bước ngẫu nhiên

1) là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, với F là hàm phân phối ≥ Đặt (Xn, n thông thường và: F (0) < 1 (3.153)

F (0) > 0. (3.154)

Hai hệ thức này chỉ ra rằng, với mọi n, biến cố

, (3.155) ω : Xn > 0 ω : Xn < 0 } { } {

có các xác suất dương. Ta định nghĩa các biến ngẫu nhiên sau:

n

(3.156) S0 = X0 = 0,

k=0 X Bây giờ ta có thể đưa ra định nghĩa cơ bản sau:

(3.157) Sn = Xk.

0) được gọi là bước ngẫu nhiên bắt đầu tại ≥ Định nghĩa 3.38. Dãy ngẫu nhiên (Sn, n x0, với (Xn, n ≥ 1) của nó là các bước liên tiếp. Nếu x0 = 0 thì bước ngẫu nhiên bắt đầu tại thời điểm gốc.

0 . } ≥ { Các khái niệm chính trong lý thuyết bước tái tạo nói về các biến ngẫu nhiên hình thang. Về mặt đồ thị các khoảng của thang và các độ cao của thang cho ta đồ thị hai chiều mà (n, Sn) , n các điểm được xác định bởi các tọa độ Trong đồ thị 3.1, ta nối các điểm tọa độ (k, Sk) , (k + 1, Sk+1)để biểu diễn sự thác triển của quá trình. Ví dụ, trong quỹ đạo của đồ thị dạng hình thang 3.1 ta có các điểm tăng ngặt (1, S1) , (n 3, Sn−3), (n, Sn) và các điểm giảm ngặt (n 1, Sn−1), (n + 1, Sn+1). − − Các định nghĩa tiếp theo cho ta khái niệm các biến hình thang theo Feller (1971) nhưng không xét trường hợp x0 = 0.

Hình 3.1: Quỹ đạo hình thang

3.14 Các bước ngẫu nhiên cổ điển và lý thuyết rủi ro 104

. (3.158) = Định nghĩa 3.39. Trên biểu đồ hình thang, điểm tăng (ngặt) đầu tiên (Γ1, H1) là số hạng đầu tiên của dãy ((n, Sn) , n > 0) với Sn lớn hơn S0. Đó là: S0, . . . , Sn−1 ≤ S0, Sn > S0} ω : Γ1 = n } ω : S1 ≤ { { Biến ngẫu nhiên Γ1 được gọi là khoảng ngặt đầu tiên và biến ngẫu nhiên được định nghĩa bởi (3.159) H1 = Sξ1, ξ1 = Γ1

được gọi là độ cao ngặt đầu tiên.

Hàm phân phối hai chiều có thể khuyết của (Γ1, H1) là:

R+ . x) , n > 0, x + (3.160) Hn (x) = P (Γ1 = n, H1 ≤ ∈ { ∞} [ Tuy nhiên, ta có: ) , (3.161) ∞ P (Γ1 = n) = Hn (+ ∞

n=1 X

(3.162) x) = Hn (x) (= M (x)) P (H1 ≤

vì thế cả hai biến ngẫu nhiên đều cùng có dạng khuyết, đó là:

) = 1 M ( ) . (3.163) P (Γ1 = ) = P (H1 = ∞ − ∞ ∞

3.14.2 Sự phân loại các bước ngẫu nhiên

0) là: Trong phần này ta nghiên cứu một kết quả rất quan trọng đó là sự phân loại các bước ngẫu nhiên. Tóm lại kết quả này chỉ ra rằng chỉ tồn tại hai xác suất cho dáng điệu tiệm cận của bước ngẫu nhiên (Sn, n ≥ ) = 1 (3.164) P (lim sup Sn = ) = P (lim inf Sn = −∞ ∞

3.14 Các bước ngẫu nhiên cổ điển và lý thuyết rủi ro 105

hoặc P = 1 (3.165) lim Sn = hoặc lim Sn = ∞ −∞ Trong trường hợp đầu tiên, bước ngẫu nhiên được gọi là dao động, trong trường hợp (cid:1) thứ hai nó tiến đến + (cid:0) hoặc . Từ 3.165 ta có: ∞ −∞

(3.166) lim Sn = + ∞

hoặc . (3.167) lim Sn = −∞ Mệnh đề 3.40. Chỉ tồn tại hai dạng bước ngẫu nhiên:

1

1

−∞ (1) Dạng dao động: cả hai quá trình tái tạo tăng hoặc giảm của độ cao đều ổn định. Trong trường hợp này, quá trình (Sn, n = 0, 1, . . .) dao động với xác suất 1 giữa và + và: ∞ . = (3.168) ΓD E (Γ1) = E ∞ (cid:1) (2) Dạng tiến đến : trong trường hợp ±∞ (cid:0) , quá trình tái tạo tăng là terminated và −∞ quá trình tái tạo giảm là proper với xác suất 1. Quá trình (Sn, n = 0, 1, . . .) tiến đến với xác suất 1 và đạt giá trị cực đại hữu hạn không âm M, hơn nữa: −∞ 1 1 E . ΓD = ζ ( ) = (3.169) ζ ζ 1 1 1 1 M ( ) ∞ − ∞ − (cid:1) − (cid:0) và nếu M là biến ngẫu nhiên được định nghĩa là

(3.170) M = max (S0, S1, . . . , Sn, . . .)

thì P (M x) = (1 M ( )) ς (x) . (3.171) ≤ − ∞

Ta có các kết quả tương tự cho trường hợp tiến đến + . ∞ Khi giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên Xn,n > 1 tồn tại thì luật mạnh số lớn khẳng định rằng:

= µ (3.172) lim n→∞ Sn n

vì vậy khi đó ta có các kết quả sau:

, µ > 0 Sn = + ⇒ ∞ . µ > 0 (3.173) Sn = lim n→∞ lim n→∞ ⇒ −∞

Mệnh đề sau cho ta hệ thức đầy đủ bao gồm cả trường hợp µ = 0.

Mệnh đề 3.41. Nếu giá trị trung bình µ của biến ngẫu nhiên Xn,n > 1tồn tại thì:

(i) µ = 0 chỉ ra rằng bước ngẫu nhiên là dao động.

(ii) µ > 0 chỉ ra rằng bước ngẫu nhiên tiến đến + . ∞

3.15 Các bước ngẫu nhiên bán Markov 106

(iii) µ < 0 chỉ ra rằng bước ngẫu nhiên tiến đến . −∞ Ta chứng minh trường hợp ngược lại cũng đúng và ta có:

(i)

P µ = 0 = 1. (3.174) Sn = + Sn = , lim inf n lim sup n ⇔ ∞ −∞ (cid:18) (cid:19)

(ii)

P µ > 0 = 1. (3.175) Sn = + lim n→∞ ⇔ ∞ (cid:17) (cid:16) (iii)

P µ > 0 = 1. (3.176) Sn = lim n→∞ ⇔ −∞ (cid:17) (cid:16)

3.15 Các bước ngẫu nhiên bán Markov

Ta xét một quá trình (J, X), ((Jn, Xn) , n ≥

n

0). Ta thấy rằng quá trình (Xn) xác định một bước ngẫu nhiên trên đường thẳng thực bắt đầu tại X0 = 0. Ngược với các bước ngẫu nhiên cổ điển, các bước liêp tiếp Xn không còn độc lập nhưng nó thỏa mãn bán Markovian phụ thuộc và hữu ích cho nhiều ứng dụng ví dụ như trong lý thuyết rủi ro, lý thuyết hang đợi,. . . Vi trí của vật tại bước thứ n được cho bởi biến ngẫu nhiên

k=1 X

(3.177) Sn = Xk, n = 1, 2, ...

Từ bây giờ, ta giả sử rằng xích Markov được nhúng (Jn, n ≥ 0) là tối giản và hồi quy. nữa được gọi là quá trình mũ 0 Với j thuộc I cố định, ta đưa ra một quá trình ≥ (cid:17) r(j) n , n (cid:16) hồi quy như sau:

n−1 < l < k

n−1, Jl 6

k 0 : k > r(j) = j, r(j) ,n > 0. (3.178) ≥ r(j) 0 = 0, r(j) n = sup k n o Từ phần 3.1, ta biết rằng số lần tái tạo trung bình được cho bởi:

I , n > 0, j (3.179) mjj = E r(j) n r(j) n+1 − ∈ (cid:16) (cid:17) và ở đây là hữu hạn.

Với quá trình tái tạo , ta có thể kết hợp với bước ngẫu nhiên cổ r(j) n , n > 0

(cid:16) (cid:17) r(j) n+1 − điển, nghĩa là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối:

(3.180) , l > 0

U (j) l (cid:16) (cid:17)

3.16 Phân phối cận trên đúng cho các bước ngẫu nhiên bán Markov 107

r(j) l +1

với

l =

l+1

U (j) (3.181) Xn

m

Xn=r(j) Từ mệnh đề 3.35 và chú ý 3.5, theo đó các biến ngẫu nhiên này có giá trị trung bình µ được cho bởi

i=1 X

(3.182) µjj = πiµi 1 πj

m

vì vậy, giá trị này dương hoặc âm với mọi j tùy thuộc vào dấu của µ được xác định bởi

i+1 X

µ = (3.183) πiηi.

Như đã biết, theo Spitzer (1957) và Feller (1971) ta sẽ nói rằng một bước ngẫu nhiên tiến đến + (hoặc lùi về ) khi và chỉ khi ∞ −∞

n

P (lim sup ω : Sn (ω) < 0 {

n

(P (lim inf (3.184) ) = 0, } ω : Sn (ω) > 0 ) = 0) } {

và đó là dao động khi và chỉ khi

n

n

P (lim sup ) = P (lim inf ) = 1. (3.185) ω : Sn (ω) < 0 ω : Sn (ω) > 0 { } { }

Sau đây ta có định lí liên quan đến dáng điệu tiệm cận của bước ngẫu nhiên bán Markov (Sn).

∈ Mệnh đề 3.42. Nếu bước ngẫu nhiên bán Markov (Sn) có một xích Markov tối giản và tất cả các giá trị trung bình vô điều kiện ηi, i I là hữu hạn và khi đó nếu µ là null, nếu với một chỉ số j,

1 = 0

U (j) P < 1 (3.186)

(cid:16) (cid:17)

thì bước ngẫu nhiên bán Markov là dao động và nếu µ dương (hoặc ngược lại âm) thì bước ngẫu nhiên bán Markov tiến đến + (hoặc ). ∞ −∞

3.16 Phân phối cận trên đúng cho các bước ngẫu nhiên bán Markov

∈ Xét một bước ngẫu nhiên bán Markov (Sn) với một xích Markov tối giản và tất cả các giá trị trung bình vô điều kiện ηi, i I hữu hạn. Bây giờ ta quan tâm đến phân phối của cận trên đúng sau: M = sup (3.187) S0, S1, ... } { Với µ > 0, theo giả thiết của mệnh đề 3.42, theo mệnh đề này thì với mọi i thuộc I và một số thực x:

x P (M (3.188) J0 = i) = 0. ≤ |

3.16 Phân phối cận trên đúng cho các bước ngẫu nhiên bán Markov 108

Điều này cũng đúng với µ = 0, cũng như quá trình (J, X) dương, ((Hn, ζn) , n > 0) là chính quy (xem Pyke (1961a)) có nghĩa là nó chỉ có một số hữu hạn các phép chuyển trên bất kì khoảng thời gian nào. Bây giờ với µ < 0, ta được:

j X

x (1 (3.189) Mi (x) = P (M υj) ˜Mij (x) J0 = i) = ≤ | −

trong đó ˜M = là ma trận cho hàm tái tạo của quá trình ((Hn, ζn) , n > 0).

i ˜Mij h Từ mệnh đề 7.5 chương 5 của Janssen and Manca (2006), ta biết rằng:

I. (3.190) Mi (x) = 1, lim x→∞ i ∀ ∈

x

Ta cũng thấy rằng I. (3.191) Mi (0) = 1 υi, i ∀ ∈ − Ta có thể bắt đầu từ hệ phương trình tích phân sau của dạng Wiener-Hopf được cho từ lập luận xác suất trực tiếp:

−∞ R

j P

0, Mj (x s) dQij (x) , x ≥ (3.192) − Mi (x) = 0, x < 0.  

x

 Với m = 1, ta có phương trình Wiener-Hopf cổ điển :

−∞ R

0, M (x s) dQ (x) , x (3.193) M (x) = − 0, ≥ x < 0.  



Janssen (1970) chứng minh rằng hệ phương trình tích phân của dạng Wiener-Hopf này có duy nhất một nghiệm P , nghĩa là vectơ (M1, . . . , Mn) của các hàm phân phối thỏa hệ 3.192.

Chương 4

Các Mô Hình Rủi Ro Trong Bảo Hiểm

4.1 Mô hình ngẫu nhiên cổ điển cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản

Trong phần này, trước hết ta sẽ phát triển ví dụ 3.1 trong chương 3 thành tổng quát và sau đó xét cho trường hợp riêng của quá trình Poisson cho các yêu cầu bồi thường bảo hiểm.

Xét một công ty bảo hiểm, bắt đầu tại thời điểm 0 với số vốn ban đầu là một lượng u(u > 0) (đối với các công ty bảo hiểm có thể gọi là vốn dự trữ hoặc đối với các ngân hàng thì gọi là tài sản cố định). Hầu hết ở các quốc gia phát triển, vốn ban đầu được quy định bởi chính phủ và nó phụ thuộc vào vốn luân chuyển của công ty bảo hiểm.

Thực vậy, rõ ràng vốn dự trữ này bảo vệ khách hàng khỏi rủi ro khi một công ty bảo hiểm không may phải chi một lượng lớn tiền bồi thường trong một khoảng thời gian ngắn, ví dụ như do một biến cố lớn nào đó mà công ty không đủ sức để chi trả tiền bồi thường. Vấn đề cơ bản mà các chuyên viên tính toán bảo hiểm phải giải quyết là đưa ra đánh giá khách quan cho vốn dự trữ cực tiểu này. Ta sẽ nghiên cứu để giải quyết vấn đề cơ bản này sau. Bất kì mô hình rủi ro nào liên quan đến công ty bảo hiểm đều được đặc trưng bởi ba quá trình cơ bản sau:

(i) Thứ nhất là quá trình số lượng các yêu cầu bồi thường. Đây là một quá trình ngẫu nhiên, đếm số lần yêu cầu bồi thường từ phía khách hàng.

(ii) Quá trình ngẫu nhiên thứ hai là quá trình ngẫu nhiên liên quan đến lượng tiền bồi thường. Đặc biệt, nó đưa ra hàm phân phối lượng tiền công ty phải chi trả khi có yêu cầu bồi thường.

(iii) Quá trình cuối cùng liên quan đến thu nhập của công ty. Nhìn chung đây là quá trình quyết định. Thu nhập của công ty chính là phí bảo hiểm do khách hàng đóng và phí bảo hiểm này phải được xác định cho mỗi hợp đồng cụ thể.

Với bất kì giả thiết nào về ba quá trình này, có sự tương ứng với một mô hình rủi ro ngẫu nhiên đặc biệt. Vấn đề quan trọng nhất này sẽ được trình bày sau. Trong phần này ta chỉ xét hai mô hình là: mô hình E.S Anderson (còn gọi là mô hình G/G) và mô hình Cramer – Lundberg (mô hình P/G). Các kí hiệu được lấy từ lý thuyết hàng đợi cho ta thông tin về hai hàm phân phối được sử dụng trong các mô hình này. Hàm phân phối thứ nhất về khai báo yêu cầu giải quyết quyền lợi bảo hiểm và hàm phân phối thứ hai về số

4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G 110

lượng tiền bồi thường (với G là một hàm phân phối bất kì và P trong Poisson là phân phối mũ âm).

4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G

4.2.1 Mô hình

Giả thiết cơ bản cho mô hình G/G là:

(i) Quá trình số lượng yêu cầu giải quyết quyền lợi bảo hiểm

≥

Đặt (Xn, n 1) là quá trình ngẫu nhiên của số lần khai báo giữa các yêu cầu bồi thường bảo hiểm liên tiếp. Giả sử rằng quá trình này là một dãy các biến ngẫu nhiên không âm độc lập cùng phân phối với A là hàm phân phối thông thường, như vậy:

a) A(0) < 1. (4.1)

∞

b)

0 Z

. xdA(x) = α < (4.2) ∞

(ii) Quá trình chi trả bồi thường

≥

Đặt (Yn, n 1) là dãy các số tiền chi trả bồi thường liên tiếp. Ta cũng giả sử rằng có một dãy các biến ngẫu nhiên không âm độc lập cùng phân phối, với B là hàm phân phối thông thường, như vậy:

a) B(0) < 1. (4.3)

∞

b)

0 Z

. ydB(y) = β < (4.4) ∞

1) độc lập và được xác định trên không gian 1) và (Yn, n ≥ Hơn nữa, dãy (Xn, n xác suất đầy đủ (Ω, ≥ , P ). = (iii) Quá trình doanh thu bảo hiểm

Giả thiết cổ điển là có một hằng số c dương là mức phí bảo hiểm trong một đơn vị thời gian, có nghĩa là trong khoảng thời gian [0, t], tổng doanh thu của một công ty bảo hiểm là ct.

4.2.2 Phí bảo hiểm

Một trong những vấn đề chính của công ty là làm thế nào để cố định mức phí bảo hiểm tương đối hợp lí. Khi đó phải quan tâm hai điều kiện sau:

a) Tuổi thọ của công ty bảo hiểm, đó là giai đoạn mà vốn công ty phải luôn dương với xác suất cao và lâu dài. Thực vậy, từ quan điểm kinh tế, vốn dự trữ lớn sẽ cho một hệ số an toàn cao nhưng nếu vốn dự trữ thừa quá mức có nghĩa là công ty thu phí bảo hiểm quá cao.

4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G 111

b) Vấn đề đáng quan tâm của mỗi công ty là phải chọn hệ số c càng thấp càng tốt nhưng không vi phạm độ an toàn kinh tế riêng của mỗi công ty.

n

0) của các thời điểm có yêu cầu Để cố định giá trị c, ta xét quá trình tái tạo (Tn, n ≥ giải quyết bồi thường bảo hiểm liên quan đến dãy (Xn, n 1), với X0 = 0. Đó là: ≥

k=0 X

(4.5) Xk. Tn =

Theo thuyết tái tạo, quá trình đếm kết hợp (N(t), t ≥

0), được xác định bởi 1.6 trong chương 1, cho ta tổng số yêu cầu bồi thường trong (0, t] và từ hệ thức 1.103 trong hệ quả 1.13 của chương 1, ta biết rằng:

= (4.6) lim t→∞ H(t) t 1 α

nếu H(t) = E(N(t)) (4.7)

và với t lớn thì:

. E(N(t)) (4.8) t α ≈

Bây giờ, từ hệ thức 4.4 tổng số tiền trung bình mà công ty phải trả cho các bồi thường bảo hiểm trong (0, t] xấp xỉ bằng:

t. (4.9) β α

Kết quả cuối cùng này chỉ ra rằng tổng số tiền bồi thường mà công ty bảo hiểm phải trả trong suốt thời gian (0, t] được xấp xỉ là ˜ct, trong đó:

. ˜c = (4.10) β α

∞ Theo đó nếu ta lấy giá trị ˜c này như mức phí bảo hiểm cố định trên một đơn vị thời gian thì nó được xem như một trò chơi giữa công ty bảo hiểm và khách hàng. Trò chơi này gần như được xem là công bằng tiệm cận. Đó là lý do tại sao ˜c được gọi là phí bảo hiểm thuần túy. Nhưng một cách không may mắn, sau này ta sẽ thấy rằng sự lựa chọn này sẽ dẫn đến sự phá sản của công ty trong [0, ). Khi đó cũng đưa ra một hệ số an toàn dương η để: c = (1 + η)˜c (4.11)

hoặc

. (4.12) c = (1 + η) β α

Mặt khác, công ty phải chọn mức phí bảo hiểm c như sau:

. c > (4.13) β α

Bây giờ, ˜c được gọi là hệ số phí bảo hiểm. Vì thế, nếu ta đặt c = 1, thì hệ thức sẽ cho ta: α > β (4.14)

4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G 112

nghĩa là khoảng thời gian trung bình giữa hai yêu cầu giải quyết bồi thường liên tục lớn hơn số tiền bồi thường trung bình. Điều kiện này đảm bảo lợi ích của người nắm chính sách bảo hiểm. Phần lý thuyết này sẽ được làm sáng tỏ bên dưới.

Kết luận: mỗi công ty bảo hiểm phải kiểm soát được hai tham số cơ bản đó là: vốn dự trữ ban đầu hoặc cổ phần u và hệ số an toàn η. Hơn nữa, khả năng để mở công ty bảo hiểm được quy định bởi pháp luật.

4.2.3 Ba quá trình cơ bản

Bây giờ khảo sát ba quá trình ngẫu nhiên quan cơ bản trọng trong lý thuyết rủi ro.

1) Quá trình tích lũy tiền bồi thường bảo hiểm

N (t)

Nó là một quá trình ngẫu nhiên (U(t), t 0) được định nghĩa như sau: ≥

n=1 X

U(t) = (4.15) Yn

hoặc: (4.16) U(t) = UN (t)

n

nếu

i=1 X

(4.17) Un = Yi,

luôn sử dụng quy ước cổ điển tổng của vô hạn tập rỗng bằng 0.

∞

Với mỗi t cố định, U(t) cho ta tổng số lượng yêu cầu bồi thường trong (0, t]. Ta đặt M(t, y) là giá trị của hàm phân phối U(t) tại thời điểm y. Ta viết:

n=0 X

M(t, y) = y, N(t) = n). (4.18) P (Un ≤

∞

≥ 1) độc lập dẫn tới: Áp dụng hệ thức 1.12 trong chương 1, theo giả thiết hai quá trình ngẫu nhiên (Xn, n 1) và (Yn, n

≥ ∞

n=0 X

n=0 X

y, P (N(t) = n) = (A(n)(t) A(n+1)(t))B(n)(y). (4.19) M(t, y) = P (Un ≤ −

2) Quá trình rủi ro

Là một quá trình ngẫu nhiên :

ct, t (U(t) 0) (4.20) − ≥

mô tả tổng chi phí mà công ty phải trả cho đến thời điểm t, được dự phòng sao cho công ty vẫn không bị phá sản vào thời điểm này.

4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G 113

3) Quá trình rủi ro đối với tiền dự trữ (hoặc quá trình thặng dư)

Nó mô tả quá trình ngẫu nhiên (α(t), t 0), trong đó:

α(t) = u ≥ U(t) + ct,t 0 (4.21) − ≥

tại thời điểm t là tổng tài sản thực của công ty, giả sử rằng công ty vẫn hoạt động tốt vào thời điểm đó.

Hình 4.1: Quỹ đạo của quá trình N

Hình 4.2: Quỹ đạo của quá trình α

Hai sơ đồ tiếp theo cho ta đường quỹ đạo điển hình của quá trình N và quá trình α.

4.2.4 Xác suất phá sản

Bây giờ ta xét quá trình rủi ro cơ bản trong lý thuyết rủi ro. Từ quan điểm kinh tế ngặt, tuổi thọ của một công ty bảo hiểm được định nghĩa như thời gian dừng:

T = inf t : α(t) < 0 (4.22) { }

Đây là một quan điểm quan trọng, ta không xét xác suất mà công ty vay nợ để giải xảy ra thì công ty bị phá sản ω : T (ω) 0 ≤ } { quyết một rủi ro nhỏ. Rõ ràng, nếu biến cố trước hoặc vào thời điểm t. Ngược lại thì công ty không bị phá sản. Ta sẽ sử dụng kí hiệu sau cho xác suất phá sản và không phá sản trong thời gian horizon vô hạn, nghĩa là trên [0, ): ∞ Ψ(u) = P (T < α(0) = u), (4.23) ∞|

4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G 114

φ(u) = P (T = α(0) = u) = 1 Ψ(u). (4.24) ∞| −

Sự hiểu biết về hàm Ψ hoặc hàm tương ứng φ là cần thiết để ta có thể chọn các giá trị cho các tham số u và η sao cho đảm bảo các dịch vụ tốt cho khách hàng. Ví dụ, nếu u cố định, ta thấy rằng xác suất φ như một hàm của hệ số an toàn η:

φ(u, η). (4.25)

Nếu ta đặt điều kiện: φ(u, η) > ε, (4.26)

ví dụ với ε = 0.99999, ta có thể chọn giá trị η cực tiểu như vậy điều kiện 4.26 được thỏa mãn. Với sự hỗ trợ của các kết quả bước ngẫu nhiên, ta có thể chứng minh rằng lý thuyết với hệ số an toàn dương là một điều kiện cần để không xảy ra phá sản trong [0, ). ∞ Trong giai đoạn (Tn−1, Tn], chi phí của công ty tăng hay giảm là do các khoản thực phải chi được đưa ra bởi: 1. (4.27) cXn, n Zn = Yn − ≥ Dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối

1) (4.28) (Zn, n ≥

n

tạo ra các bước ngẫu nhiên của các giá trị liên tiếp:

k=1 X

(4.29) Zk. Sn =

Từ hệ thức 4.21 ta có: (4.30) α(Tn) = u Sn − với Sn là giá trị của quá trình rủi ro tại thời điểm Tn. Bây giờ ta xét biến ngẫu nhiên M được xác định bởi hệ thức 3.170 trong chương 3; từ 4.24 ta suy ra: φ(u) = P (M u). (4.31) ≤ Từ mệnh đề 3.40 trong chương 3, ta biết rằng hàm phân phối M không suy biến khi và chỉ khi bước ngẫu nhiên tiến đến , hoặc: −∞

(4.32) E(Zn) < 0.

Rõ ràng, từ hệ thức 4.27 điều kiện cuối cùng này cũng tương đương với bất đẳng thức 4.13. Trường hợp β cα = 0 (4.33) − phải được xem xét cẩn thận. Thực vậy, trong trường hợp này bước ngẫu nhiên được tạo ra bởi dãy ngẫu nhiên dao động 4.27, vì vậy với bất kì u > 0 ta có:

n P ( (4.34) N0 : Sn > u) = 1. ∃ ∈

Mặt khác, kết quả này chỉ ra rằng với bất kì vốn dự trữ ban đầu, công ty sẽ bị phá sản với xác suất bằng 1. Điều này cũng có nghĩa là trò chơi công bằng tiệm cận dẫn đến sự phá sản của công ty.

4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G 115

0) cũng sẽ tiến ra + hoặc sẽ Vì vậy, bỏ qua hệ số an toàn, bước ngẫu nhiên (Sn, n ≥ ∞ dao động. Trong cả hai trường hợp ta biết rằng

. M = (4.35)

∞ Theo đó, việc tính toán hàm xác suất không phá sản φ chỉ xảy ra khi bất đẳng thức 4.13 hoặc 4.14 được thỏa và nó cũng cần để cụ thể hóa một số giả thiết cơ bản để có các biểu thức giải tích dễ vận dụng hơn. Điều này có thể thực hiện được trong trường hợp của mô hình Cramer-Lundberg hoặc P/G.

4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G

4.3.1 Mô hình

Để có được mô hình rủi ro riêng, ta có thể chỉnh sữa mô hình Anderson ở trên theo phương pháp sau: ta xem quá trình chi trả tiền bồi thường là một quá trình Poisson hoặc như ví dụ 1.2 trong chương 1 với:

eλx (4.36) A(x) = − ≥ 1 0 nếu x 0 nếu x < 0 (cid:26)

theo 4.2:

. (4.37) α = 1 λ

Khi đó điều kiện 4.13 hoặc 4.32 trở thành:

c > λβ. (4.38)

∞

∞ Vì vậy, nếu trong trường hợp tổng quát, bất kì mô hình Anderson nào được xác định bởi hai hàm phân phối A và B trên [0, ) đã biết thì nó giải thích cho kí hiệu của mô hình rủi ro E.S Anderson (hay G/G) với kí tự G có nghĩa là “tổng quát”. Mặt khác, bất kì mô hình Cramer – Lundberg (hay P/G) được xác định bởi tham số λ dương thì nó xác định quá trình Poisson của các yêu cầu bồi thường bảo hiểm và bởi hàm phân phối tổng quát B trên [0, ) cho lượng tiền bồi thường bảo hiểm. Điều này cũng giải thích cho kí hiệu P/G (P là “Poisson” và G là “tổng quát”) của mô hình riêng này.

4.3.2 Xác suất phá sản

Bây giờ ta xét xem làm thế nào để có thể xây dựng phương pháp giải đặc trưng để có được các kết quả đơn giản cho hàm xác suất không phá sản φ.

∞

u+ct

Từ bây giờ, ta giả sử rằng điều kiện 4.38 được thỏa mãn. Ngược lại thì φ đồng nhất với 0. Từ các quy luật xác suất chuẩn, với các điều kiện quan tâm đến thời điểm xảy ra yêu cầu bồi thường bảo hiểm đầu tiên, ta có

0 Z

0 Z

λe−λt φ(u) = φ(u + ct y)dB(y)dt, u > 0. (4.39) −

z

∞

λ c u

−λ c z

Thay biến z = u + ct ta được:

c Z

0 Z

e e φ(u) = φ(z y)dB(y)dz. (4.40) λ c −

4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G 116

0

z

u

∞

λ c u

λ c u

λ c u

Từ các định lí phân tích cổ điển, theo biểu thức 4.40 ta suy ra được đạo hàm của φ là:

u

0

0 (cid:17) Z

u

e e e− λ c z φ0(u) = φ(z y)dB(y)dz + φ(z y)dB(y). λ c λ c e − − − (cid:19) (cid:18) Z Z (cid:16) (4.41) Sử dụng lại hệ thức 4.40 ta được:

0 Z

φ0(u) = φ(u) φ(u y)dB(y). (4.42) λ c λ c − −

t

t

ξ

Lấy tích phân từng số hạng của đẳng thức cuối cùng trên [0, t] ta được:

0

0 Z

0 Z

φ(t) φ(0) = φ(ξ)dξ φ(ξ y)dB(y)dξ. (4.43) λ c λ c − − − Z

t

t

y

Áp dụng định lí Fubini liên quan đến sự hoán vị tích phân của số hạng cuối cùng trong thành phần thứ hai của 4.43, ta được:

t

0

0 Z Z

φ(t) φ(0) = φ(ξ)dξ φ(ξ y)dB(y)dξ. (4.44) λ c λ c − − − Z

t−y

t

Tích phân hai lớp của thành phần thứ hai có thể được lấy tích phân từng phần, với:

φ(v)dv(= φ(ξ y)dξ),dg(y) = dB(y). (4.45) f (y) = − Zy Z0

t

Điều này cho ta kết quả sau:

0 Z

φ(t y)B(y)dy. (4.46) φ(ξ)dξ φ(t) φ(0) = λ c λ c − − −

t

Cuối cùng, trong tích phân đầu tiên của hệ thức cuối đặt ξ = t y, ta được: −

0 Z

φ(t) = φ(0) + φ(t y)(1 B(y))dy. (4.47) λ c − −

Trước khi giải phương trình tích phân này, ta phải tính giá trị φ(0). Muốn vậy, trong hệ thức cuối ta cho t tiến ra . Khi đó: ∞

φ( )L( ) (4.48) φ( ) = φ(0) + λ c ∞ ∞ ∞

∞

trong đó: dL(y) = [1 B(y)]dy và như vậy −

0 Z

L( ) = (1 B(y))dy = β. (4.49) ∞ −

) là: Bây giờ, trở lại đẳng thức 4.48 ta có thể rút ra giá trị của φ( ∞

(4.50) φ( ) = ∞ 1 φ(0) λβ c −

4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G 117

) = 1 và vì vậy hệ thức cuối cho ta kết quả mong ∞ nhưng, theo điều kiện 4.38 ta có φ( muốn:

. φ(0) = 1 (4.51) λβ c −

t

0

0 Z

Như vậy, dạng cuối cùng của phương trình tích phân 4.39 là: y φ(t) = 1 φ(t y)dB (y), B (y) = (1 B(z))dz. (4.52) + λβ c λβ c 1 β − − ∗ ∗ − Z Sử dụng phép biến đổi Laplace ta dễ dàng giải được phương trình tích phân này. Với các quy ước tương tự như trong chương 1, hệ thức 4.52 dẫn đến

˜φ(s) = 1 + ˜φ(s)˜b (s) (4.53) λβ c 1 s λβ c − ∗ (cid:19) (cid:18) trong đó: 1 b . (y) = (4.54) − B(y) β ∗ (cid:18) (cid:19) Từ phương trình đại số 4.53 ta được biểu thức trọn vẹn của phép biến đổi Laplace trong xác suất không phá sản φ như sau:

1 λβ c 1 s . (4.55)

˜b (cid:19) (s) ˜φ(s) = (cid:18) 1 − λβ c ∗ − (cid:19) (cid:18) Theo giả thiết 4.38 ta được

˜b ˜b 1 (s) > 1 (0) > 1 > 0, s > 0 (4.56) λβ c λβ c λβ c − ∗ ∗ − − ∀

vì thế

˜b (s) < 1, s > 0. (4.57) λβ c ∗ ∀

∞

n

Sau một dãy các khai triển, biểu thức mới của phép biến đổi Laplace φ là:

n=0 (cid:18) X Nghịch đảo từng thành phần trong hệ thức cuối này ta có dạng đầy đủ của xác suất

˜b . (s) (4.58) ˜φ(s) = 1 λβ c 1 s λβ c ∗ − (cid:19) (cid:19) (cid:18)

∞

n

không phá sản:

n=0 (cid:18) X

B φ(u) = (u)n. (4.59) λβ c λβ c − ∗ 1 (cid:18) (cid:19) (cid:19)

∞

n

Nếu ta muốn diễn đạt xác suất phá sản tại u thì từ đẳng thức 4.24 ta có:

n

B (u))(n), 1 Ψ(u) = λβ c λβ c ∗ − (cid:19) (cid:18) (cid:19) ∞

n=0 (cid:18) X λβ c

n=0 (cid:18) X

B (1 (u))(n). (4.60) = 1 λβ c − ∗ − (cid:19) (cid:19)

(cid:18) Kết quả này đã được chứng minh bởi Jenssen (1969a)

4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G 118

Ví dụ 4.1. Mô hình P/P hay Lundberg Kí hiệu P/P có nghĩa là ta phải cụ thể hóa việc lựa chọn hàm phân phối B như là một hàm phân phối mũ âm vì thế:

β y, y ≥ y < 0.

0, 1 (4.61) B(y) = e− 1 − 0, (cid:26)

Như ở đây: B (4.62) (y) = B(y) ∗ ta suy ra:

˜b (s) = (4.63) 1 βs + 1 ∗

khi đó áp dụng kết quả 4.55 ta được:

1 λβ c (cid:19) . (4.64) ˜φ(s) = (cid:18)

− λβ c 1 s 1 βs + 1 − (cid:19) 1 (cid:18)

β − λ

c )u

Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược cho cả hai thành phần của hệ thức cuối này ta được:

e−( 1 (4.65) φ(u) = 1 λβ c −

β − λ

c )u.

và dĩ nhiên :

e−( 1 (4.66) Ψ(u) = λβ c

Sự tồn tại các công thức đầy đủ, đơn giản là ngoại lệ trong lý thuyết rủi ro vì nó đưa ra các biểu thức cho φ và Ψ quá đơn giản. Ngoài ra biểu thức Ψ cũng có thể được viết dưới dạng khác. Thực vậy, từ hệ thức 4.12 ta biết rằng:

(4.67) c = λβ(1 + η).

u

1+η

thay giá trị c trong biểu thức này vào hệ thức 4.66 ta có hệ thức mới là:

β .

e− η (4.68) Ψ(u) = 1 1 + η

Điều này cho ta một kết quả bất ngờ, với hệ thức 4.38 được thỏa, đó là: c > λβ, xác suất phá sản chỉ phụ thuộc vào η và β nhưng không phụ thuộc vào λ.

Nói cách khác, kết quả này có nghĩa là nếu ta có hai công ty bảo hiểm với mô hình P/P tương ứng với các tham số (λ1, β) và (λ2, β), cả hai đều thỏa bất đẳng thức 4.38, khi đó hai công ty này bắt đầu với các điều kiện như nhau, có cùng xác suất phá sản khi và chỉ khi chúng có cùng hệ số tải an toàn η. Vì vậy, trong trường hợp này, từ quan điểm về lý thuyết phá sản, công ty nào có tham số λ lớn nhất sẽ ít nguy hiểm hơn khi cả hai công ty đều có cùng số lượng tiền bồi thường trung bình và hệ số an toàn.

Ví dụ 4.2.

4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G 119

1) Ta xét một công ty bảo hiểm có lượng tiền bồi thường bảo hiểm cho khách hàng trung bình hàng năm là 2 tỷ đô la và 50.000 yêu cầu bồi thường bảo hiểm. Với số vốn dự trữ ban đầu u là 8.000.000 đô la. Ta có các dữ liệu cho công ty đó là:

λ = 50.000 λβ = 2.000.000.000,u = 8.000.000 (4.69)

và: β = 40.000. (4.70)

η+1 .

Từ hệ thức 4.68 ta có:

e−200 η (4.71) Ψ(8.000.000) = 1 1 + η

Bảng 4.1 đưa ra các giá trị của xác suất phá sản này như một hàm của thừa số an toàn.

Hệ số an toàn Xác suất phá sản

0,01 0,03 0,05 0,07 0,10 0,1366752 0,0028661 0,0000696 0,0000019 0,000000011544

Bảng 4.1: Bảng 1.1

2) Ta giả sử rằng thừa số an toàn được cố định là 7% và ta xét xem điều gì sẽ xảy ra nếu:

(i) Vốn dự trữ ban đầu có các giá trị liên tục sau: 4.000.000, 2.000.000, 1.000.000, 500.000.

(ii) Với số vốn dự trữ là 8.000.000, lượng tiền bồi thường bảo hiểm cho khách hàng trung bình là 25.000 và 100.000.

(iii) Số lượng yêu cầu bồi thường trung bình hàng năm liên tiếp là 70.000, 20.000.(vẫn với số vốn dự trữ là 80.000).

Ta có kết quả sau:

1.07 · u

40000

(i)

40000

e− 0.07 Ψ (2.000.000) = 1 1.07 = 0.9345794e−0.0654206 u (4.72)

Kết quả được thể hiện trong bảng 4.2.

Vốn dữ trữ Xác suất phá sản 4 000 000 2 000 000 0,0073472 0,0354853

4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G 120

1 000 000 500 000 0,1821047 0,4125424

Bảng 4.2: Bảng 1.2

β

β

1.07 . 8000000

(ii) Ở đây ta có:

e− 0.07 Ψ(8000000) = = 0.9345794e−0.0654206 u 1 1.07

và các kết quả được thể hiện trong bảng 4.3:

Lượng tiền bồi thường trung bình Xác suất phá sản 0,00000000075655 0,0285312 25000 150000

Bảng 4.3: Bảng 1.3

(iii) Trong trường hợp số lượng yêu cầu bồi thường trung bình hàng năm có các giá trị liên tiếp là 70 000, 20 000, và với số vốn là 8 000 000, thì lượng tiền bồi thường bảo hiểm trung bình hàng năm là 2,8 tỷ và 800 triệu. Với thu nhập trung bình hàng năm tương ứng là 996 tỷ và 856 triệu. Tuy nhiên, xác suất phá sản vẫn bằng 0.0000019.

4.3.3 Quản lí rủi ro bằng xác suất phá sản

Kết quả đầy đủ của 4.68 cho ta cách giải quyết ba vấn đề cơ bản của quản lí rủi ro cho các công ty bảo hiểm. Vấn đề 1 : Cho dữ liệu cơ bản của công ty là (λ, β, η) và vốn dự trữ ban đầu là u. Làm thế nào để ta có thể tính được mức độ rủi ro của một công ty? Ta sử dụng kết quả của 4.68 để tính xác suất rủi ro trên [0, ). ∞

u

1+η

∞ Vấn đề 2 : Cho dữ liệu của một công ty là (λ, β) và vốn dự trữ ban đầu là u. Làm thế nào để tính được hệ số an toàn để xác suất phá sản trên [0, ) sẽ không vượt quá giá trị tới hạn (1 ε)? − Cũng sử dụng kết quả 4.68, ta giải bất phương trình:

β < 1

e− η ε (4.73) 1 1 + η −

hoặc phương trình:

ln(1 + η) + = ln(1 ε) (4.74) u β η η + 1 − −

u

1+η

∞ (được giải bằng phương pháp Newton) Vấn đề 3 : Cho dữ liệu của một công ty là (λ, β) và hệ số an toàn. Làm thế nào để tính được lượng vốn dự trữ ban đầu để xác suất phá sản trên [0, ) sẽ không vượt quá giá trị tới hạn (1 ε)? − Áp dụng kết quả 4.68, ta giải bất phương trình sau:

β < (1

e− η ε) (4.75) 1 1 + η −

4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G 121

hoặc phương trình:

= ln(1 ε) (4.76) ln(1 + η) + u β η η + 1 − −

ta có nghiệm duy nhất là

β ln(η(η + 1)). (4.77) η + 1 η

4.3.4 Ước lượng Cramer

t

Trong phần trước, ta tìm được biểu thức đầy đủ cho xác suất phá sản Ψ áp dụng kết quả 4.60. Để được kết quả hữu ích hơn, từ quan điểm tính toán, khả năng duy nhất là phải có được xấp xỉ tốt và đơn giản của hàm Ψ. Để làm được điều này, ta bắt đầu với phương trình tích phân 4.52 và từ hệ thức 4.23 ta biểu diễn xác suất phá sản Ψ như sau:

0 Z

B Ψ(t) = (1 (t)) + Ψ(t y)dB (y). (4.78) λβ c λβ c − ∗ − ∗

∞

Từ điều kiện 4.38 ta có:

0 Z

dB (y) < < 1 (4.79) λβ c λβ c ∗

và theo đó phương trình tích phân 4.78 không thuộc kiểu tái tạo. Tuy nhiên, nó thuộc kiểu tái tạo khuyết. Để có thể áp dụng các kết quả của lý thuyết tái tạo trong chương 1, ta phải tìm hiểu vấn đề khó khăn này, đó là tại sao ta đặt:

ˆΨ(t) = eRtΨ(t) (4.80)

t

trong đó R là hằng số dương. Do đó, phương trình tích phân 4.78 có thể được viết dưới dạng

0

t

B e−Rt ydB (1 (t)) + e−Rt ˆΨ(t (y)). (4.81) e−Rt ˆΨ(t) = λβ c λβ c − ∗ − ∗ Z Nhân hai vế của phương trình 4.81 cho eRt ta được:

0

B ydB ˆΨ(t) = (1 (t))eRt + e−Rt ˆΨ(t (y)). (4.82) λβ c λβ c − ∗ − ∗ Z

∞

Phương trình cuối này sẽ thuộc kiểu tái tạo và theo hệ thức 4.52 cho ta:

0

eRydB (y) = 1 (4.83) λβ c ∗ Z

khi và chỉ khi hàm từ [0, ) R+, ∞ 7→

y eRy(1 B(y)) (4.84) λ c 7→ −

là một hàm mật độ.

Mệnh đề 4.1 (Ước lượng Cramer của lý thuyết phá sản). Nếu:

122 4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G

(i)

(4.85) < 1 λβ c

∞

(ii) Tồn tại một hằng số R dương, như vậy:

0 Z

eRydB (4.86) (y) = 1 λβ c ∗

∞

∞

và

0

, (m =) yeRy(1 B(y))dy < (m =) yeRy(1 B(y))dy = 1 (4.87) λ c λ c − ∞ − Z Z0

thì ta có công thức xấp xỉ sau: Ce−λu (4.88) Ψ(u) ≈ trong đó hằng số C có giá trị:

∞

∞

(4.89) (Rcm)−1. C = λβ c − 1 (cid:18) (cid:19) Trước khi đưa ra kết quả kế tiếp, trước hết ta phải viết giả thiết cơ bản 4.86 của mệnh đề 4.1 dưới dạng khác. Để thực hiện phép biến đổi này, ta biểu diễn tích phân

0 Z

0 Z

eRydB (y) = eRy(1 B(y))dy (4.90) 1 β ∗ −

∞

∞

lấy tích phân từng phần cho vế phải ta được:

0

0 Z

∞

eRydB + eRydB(y). (4.91) (y) = 1 βR 1 βR ∗ − Z Như vậy, giả thiết 4.86 trở thành:

0

∞

(4.92) eRydB(y) = + c λβ 1 βR 1 βR − Z hoặc tương đương với:

0 Z Dạng mới này của phương trình R 4.93 được gọi là phương trình Cramer-Lungberg. Phương trình này chỉ ra rằng sự tồn tại của giá trị R hữu hạn dương dẫn đến sự tồn tại của hàm phát sinh của hàm phân phối B, ít nhất là trên [0, R] và do đó hàm phân phối này có mômen của mọi bậc.

λ + Rc = λ (4.93) eRydB(y).

∞

Phương trình Cramer-Lungberg có một sự giải thích hình học đơn giản như sau: giá

trị của R được cho bởi giá trị dương của giao điểm của đường cong mô tả hàm R λ phương trình 4.93. 7→ 0 yeRydB(y) và đường thẳng d có phương trình được cho bởi thành phần đầu tiên của R

Theo đó, độ dốc của tiếp tuyến t với đường cong C tại gốc có giá trị là λβ. Từ hệ thức 4.85 giá trị này nhỏ hơn độ dốc c của d. Hơn nữa, dễ thấy rằng hàm được định nghĩa bởi thành phần thứ hai của phương trình Cramer-Lundberg là một hàm lồi tăng. Điều này chỉ ra rằng phương trình này chỉ có một nghiệm R dương. Giá trị R luôn nhỏ hơn 1 (xem Gerber (1979)). Kết quả tiếp theo cho ta chặn trên của xác suất phá sản.

4.4 Các mô hình khuyếch tán cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản 123

Hệ quả 4.2. Theo giả thiết của mệnh đề 4.1, bất đẳng thức sau đúng với mọi u dương:

e−Ru. Ψ(u) (4.94) ≤

Hệ quả 4.3.

(i) Dưới giả thiết của mệnh đề 4.1 và hơn nữa, nếu phương sai σ2 liên quan đến hàm phân phối B, giả sử là hữu hạn thì:

R < . (4.95) 2(c λβ) − λ(β2 + σ2)

(ii) Hơn nữa nếu lượng tiền bồi thường là biến ngẫu nhiên bị chặn với M là chặn trên thì:

< R. ln (4.96) 1 M c λβ

4.4 Các mô hình khuyếch tán cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản

4.4.1 Mô hình rủi ro khuyếch tán đơn giản

Trong mô hình này (Cox and Miller (1965) và Gerber (1079)), ta sẽ xây dựng mô hình quá trình rủi ro vốn dự trữ hoặc thặng dư với một quá trình ngẫu nhiên có thời gian liên tục. Điều này có nghĩa rằng quá trình α thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên đơn giản:

dα = µdt + σdW (t), α(0) = u. (4.97)

0) là một chuyển động Brown chuẩn được định nghĩa trên ≥ , P ) và ta giả sử rằng: Quá trình W = (W (t), t không gian xác suất đầy đủ (Ω, = µ > 0, σ > 0. (4.98)

Như trong tài chính ngẫu nhiên với thời gian liên tục (xem Merton (1999)), tham số đầu tiên được gọi là khuynh hướng và tham số thứ hai được gọi là linh hoạt. Mô hình này cho ta một biểu thức đơn giản cho quá trình α:

α(t) = µt + σW (t),t 0. (4.99) ≥ Với mô hình đơn giản này, ta có thể tính được giá trị chính xác của xác suất phá sản (xem Cox và Miller (1965)) trong khoảng thời gian horizon hữu hạn [0, t], đó là

σ2 u ¯φ

α(0) = u) (4.100) ψ(u, t) = P (T < t | với T được xác định bởi hệ thức 4.22 và ψ(u, t)được xác định bởi biểu thức sau:

¯φ ψ(u, t) = 1 + e− 2µ (4.101) − − u + µt σ√t u + µt σ√t (cid:18) (cid:18) (cid:19)

→ ∞ (cid:19) khi đó, để tránh sự lẫn lộn với kí hiệu của xác suất không phá sản, ¯φ mô tả hàm phân phối của biến ngẫu nhiên chuẩn đã được rút gọn. Ta chỉ ra rằng, cho t ta được kết quả tiệm cận sau:

σ2 u,µ > 0 1,µ < 0

e− 2µ (4.102) ψ(u, t) = ψ(u) = lim t→∞ (cid:26)

4.4 Các mô hình khuyếch tán cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản 124

4.4.2 Mô hình rủi ro ALM

Đây là mô hình thường dùng để ước lượng tài sản nợ và tài sản có của ngân hàng hoặc công ty bảo hiểm khi sử dụng quá trình ngẫu nhiên cho cả hai thành phần của bảng tổng kết tài sản. Điều này cho ta các mô hình hữu ích được sử dụng trong cả lý thuyết và thực tế của sự quản lí tài sản nợ và tài sản có (gọi tắt là ALM (Janssen (1991), (1993))). Bây giờ ta sẽ trình bày tóm tắt kiểu mô hình này cho công ty bảo hiểm. Ta đặt

A = (A(t), t 0), B = (B(t), t 0) (4.103) ≥ ≥

là quá trình ngẫu nhiên liên tục của tài sản và trách nhiệm với giả thiết là chúng thỏa mãn hệ vi phân ngẫu nhiên đơn giản.

dA(t) = µAdt + σAdWA(t), dB(t) = µBdt + σBdWB(t), A(0) = u, B(0) = 0 (4.104)

trong đó:

i) µA,µB,σA,σB,u đều dương.

0) là hai chuyển động Brown chuẩn độc lập. ii) WA = (WA(t), t 0),WB = (WB(t), t ≥ ≥ Vấn đề vi phân ngẫu nhiên 4.104 có cách nghiệm là:

(4.105) A(t) = u + µAt + σAWA(t) B(t) = µBt + σBWB(t).

Như trên, ta cũng có:

ψ(u, t) = P (T ψ(u) = P (T (u, t). (4.106) A(0) = u) t | ≤ A(0) = u) = lim ψ ≤ ∞| t→∞

Từ 4.105 ta có thể viết:

A(t) (4.107) B(t) = u + µAt + σAWA(t) µBt σBWB(t). − − − Giả thiết độc lập giữa hai quá trình Brown chỉ ra rằng quá trình

0) (4.108) (AWA(t) BWB(t), t − ≥ tương đương xác suất với quá trình

A + σ2 σ2

BW (t),t

0 (4.109) ≥ (cid:19) (cid:18)q

trong đó quá trình W là một chuyển động Brown chuẩn. Bây giờ ta định nghĩa hai tham số mới như sau:

A + σ2 σ2 B

(4.110) µB,σ = µ = µA − q khi đó theo hệ thức 4.107 ta có:

A(t) B(t) = µt + σW (t). (4.111) −

4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov 125

Như vậy ta thấy rằng với sự thay đổi của các tham số 4.110 , quá trình (A −

−2µ

B)được mô hình hóa chính xác như là mô hình rủi ro khuyếch tán đơn giản được cho bởi hệ thức 4.99 . Vì vậy, tất cả các kết quả của phần 4.97 đều có giá trị cho mô hình ALM , riêng các kết quả 4.101, 4.102 được cho ở đây là:

)

(σ2 A

+σ2 B

u ¯φ

A + σ2

B)t!

µB)t ¯φ ψ(u, t) = 1 + e (4.112) − u(µA − (σ2 u + (µA − − A + σ2 (σ2 µB)t B)t !

u

µA σ2 A

−µB +σ2 B

p

−2 e 1

(4.113) (u, t) = p ψ(u) = lim ψ t→∞ nếu µA > µB nếu µA < µB. (

Chú ý 4.1.

a) Với mô hình rủi ro ALM, nhà quản lí linh hoạt hơn trong việc xác định ảnh hưởng của việc thay đổi chiến lược. Đó là do có bốn tham số, hai trong số đó là µA, σA chỉ dùng cho phần tài sản nợ và hai tham số còn lại µB, σB dùng cho phần tài sản có. b) Với mô hình rủi ro ALM, tham số cơ bản R trở thành

. R = 2 (4.114) µA − µB A + σ2 σ2 B

4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov

Trong phần này, ta trình bày mô hình rủi ro bán-Markov thuần nhất (gọi tắt là SMRM). Mô hình này đầu tiên được giới thiệu bởi Miller và được phát triển đầy đủ bởi Janssen, sau đó cũng có nhiều tác giả khác nghiên cứu.

4.5.1 Mô hình rủi ro bán Markov (hay SMRM)

Từ phần 1 của chương này, ta biết bất kì mô hình rủi ro nào cũng dựa trên ba quá trình cơ bản:

i) Quá trình yêu cầu bồi thường bảo hiểm.

ii) Quá trình về lượng tiền bồi thường bảo hiểm.

iii) Quá trình về thu nhập của công ty bảo hiểm .

Nhìn chung, hai quá trình đầu tiên là hai quá trình ngẫu nhiên và quá trình thứ ba là tất định. Các quá trình này được xác định trên không gian xác suất đầy đủ (Ω, , P ). =

4.5.2 Mô hình rủi ro bán Markov tổng quát (hay GSMRM)

Trong mô hình rủi ro bán Markov, m là các kiểu yêu cầu bồi thường bảo hiểm có thể có và thuộc tập hợp: I = (4.115) 1, ..., m } {

tập hợp này được xem như tham số môi trường và nó có ảnh hưởng đến cả hai trong ba quá trình cơ bản đã nêu ở trên.

4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov 126

1) , (Yn, n Đặt (Xn, n ≥ ≥ ≥

1) tương ứng với dãy số lần đến giữa hai yêu cầu bồi thường bảo hiểm và dãy số lượng tiền bồi thường bảo hiểm liên tiếp. Quá trình (Jn, n 1) sẽ mô tả các kiểu của các yêu cầu bồi thường liên tiếp hoặc các trạng thái môi trường. Giả thiết cơ bản để có một SMRM là:

y (4.116) (Jk, Xk, Yk), k = 1, ..., n 1) = QJn−ij(x, y) P (Jn = j, Xn ≤ x, Yn ≤ | −

với (4.117) J0 = j0, X0 = Y0 = 0.

0) được gọi là quá trình Giả thiết này có nghĩa là quá trình ba chiều ((Jn, X, Yn), n ≥ (J-X) hai chiều của nhân Q, có các tính chất sau:

(i) Tất cả các phần tử Qij của Q là các hàm hai chiều, với x bằng 0 và y âm. (ii) Tồn tại các giới hạn sau:

n

I, Qij(x, y) = pij,i, j lim x→∞,y→∞ ∈

j=1 X

I. (4.118) pij = 1,i ∈

Mỗi ma trận Q được gọi là một nhân bán Markov hai chiều và quá trình (J-X-Y) tương ứng với một quá trình (J-X) hai chiều hoặc xích bán Markov hai chiều. Từ việc mở rộng trực tiếp các kết quả của phần 3.2, chương 3 ta có kết luận sau: 0) là một quá trình xích Markov (i) Quá trình các yêu cầu bồi thường liên tiếp (Jn, n ≥ thuần nhất với không gian trạng I và P = [pij] là ma trận chuyển. 0) là hai quá trình bán Markov của 0), ((Jn, Yn), n ≥ ≥ (ii) Các quá trình ((Jn, Xn), n nhân AQ,BQ, với mọi i và j thuộc I:

AQij(x) = Qij(x, +

, y) (4.119) ),BQij(y) = Qij(+ ∞ ∞ 1 là độc (iii) Cho biến ngẫu nhiên Jn, n 0, biến ngẫu nhiên hai chiều (Xn, Yn), n ≥ ≥ lập có điều kiện và ta có:

y

Fij(x, y) = P (Xn ≤ = (4.120) J0, ..., Jn−2, Jn−1 = i, Jn = j) | nếu pij > 0 nếu pij = 0 x, Yn ≤ Qij(x, y)/pij U1(x)U1(y)

1) phụ thuộc vào điều (cid:26) (iv) Tính chất cuối cho ta biến ngẫu nhiên Jn, n 0 và (Xn, n ≥ ≥ 1). Hơn nữa: kiện và tương tự cho biến ngẫu nhiên (Yn, n ≥ x, ) ,

AFij(x) = P (Xn ≤ BFij(x) = P (Yn ≤

y, ∞ , y) . (4.121) J0, ..., Jn−2, Jn−1 = i, Jn = j) = Fij(x, + | J0, ..., Jn−2, Jn−1 = i, Jn = j) = Fij(+ | ∞

Bỏ qua hệ thức điều kiện đối với Jn, ta có:

pijFij(x, y) J0, ..., Jn−2, Jn−1 = i) = x, Yn ≤ x |

j X ),

x, (4.122)

y, ∞ , y) . Hi(x, y) = P (Xn ≤ AHi(x) = P (Xn ≤ BHi(y) = P (Yn ≤ J0, ..., Jn−2, Jn−1 = i) = Hi(x, + | J0, .., Jn−2, Jn−1 = i) = Hi(+ | ∞

4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov 127

∞

∞

Bây giờ, ta trình bày các giá trị trung bình kết hợp với hàm phân phối có điều kiện khác được định nghĩa ở trên và ta thừa nhận ký hiệu sau:

0

0

aij = xdAFij(x), bij = ydBFij(y),

m

∞

∞

Z Z m

Aηi =

0

0 Z

j=1 X

j=1 X

. = (4.123) = , Bηj = pijaij xdAHi(x) pijbij ydBHi(y) ! ! Z

Trước hết, ta xét quá trình

1), ≥ (4.124) (Tn, n T0 = 0

n

được định nghĩa

k=1 X là thời điểm đến của các yêu cầu bồi thường bảo hiểm liên tiếp. Tiếp theo là quá trình

(4.125) 1 Tn = Xk,n ≥

1) , ≥ (4.126) (Un,n U0 = 0

n

được định nghĩa

k=1 X

(4.127) 1 Yk,n Un = ≥

0), ta có: là tổng lượng tiền bồi thường liên tiếp chỉ sau các yêu cầu bồi thường bảo hiểm. Với phân phối đồng thời của quá trình (Jn, Tn, Un, n

ij (x, y),

y | ≥ t, Un ≤ P (Jn = j, Tn ≤ Q(0) J0 = i) = Q(n) ij (x, y) = δijU0(x)U0(y),

ij (x, y) = Qij(x, y)

n

x

y

Q(1) (4.128)

ij (x, y) =

−∞

−∞ Z

k=1 X

x0, y Q(n) (x y0)Q(dx0, dy0), n > 1. Q(n−1) ij − − Z

0), cả hai đều là quá trình tái 0), ((Jn, Un), n ≥ ≥ Hiển nhiên, với quá trình ((Jn, Tn), n tạo Markov (MRP), ta có:

t

ij (t), ij (y).

| y (4.129) J0 = i ) =AQ(n) J0 = i) =BQ(n) P (Jn = j, Tn ≤ P (Jn = j, Un ≤

≥ | Chú ý 4.2. Tương tự các định nghĩa cơ bản của quá trình bán Markov đã nêu trong phần 3.2 (định nghĩa 3.1) chương 3, quá trình ba chiều ((Jn, Tn, Un), n 0) được gọi là quá trình tái tạo Markov (MRP) hai chiều của nhân Q.

Nếu Q là ma trận bán Markov mở rộng hai chiều thì quá trình này được gọi là bước tái tạo Markov (MRW) hai chiều hoặc xích bán Markov (SMC) mở rộng. Ta kết thúc mục này với định nghĩa sau.

4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov 128

1) 1) , (Yn, n 1) độc lập có điều kiện với dãy (Jn, n ≥ ≥ ≥ Định nghĩa 4.4. Các dãy (Xn, n cho trước khi và chỉ khi

x, y R, i, j I. (4.130) Fij(x, y)=AFij(x)BFij(y), ∈ ∀ ∈ ∀

Từ các kết luận ở trên trong phần phụ này, ta có:

4.130 Qij(x, y)=AQij(x)BFij(y) ⇔ ⇔ (4.131) Qij(x, y)=AFij(x)BQij(y) AFij(x)BFij(y). Qij(x, y) = pij ⇔

Giả thiết này phù hợp với lý thuyết rủi ro và hơn thế nữa, nó được sử dụng để xét trường hợp đặc biệt sau:

AFij(x)=AFj(x), i, j BFij(y)=BFj(y), i, j

I,x 0, ≥ ∈ I,y 0. (4.132) ≥ ∈

Dạng đầu tiên của điều kiện 4.132 có nghĩa là hàm phân phối của thời gian đến giữa hai yêu cầu bồi thường bảo hiểm liên tiếp phụ thuộc duy nhất vào kiểu yêu cầu bồi thường bảo hiểm trong tương lai và dạng thứ hai là hàm phân phối của lượng tiền bồi thường bảo hiểm, nó chỉ phụ thuộc duy nhất vào kiểu của yêu cầu bồi thường bảo hiểm này và không phụ thuộc vào dạng trước đó.

4.5.3 Quá trình đếm số yêu cầu bồi thường

AN(t), t

ANj(t), t

Vẫn sử dụng các ký hiệu và khái niệm trong mục 3.5 của chương 3, ta trình bày quá trình đếm m + 1 kết hợp với quá trình bán Markov (SMP) của yêu cầu bồi thường bảo hiểm nhân AQ: 0 , j = 1, ..., m, 0 (4.133) ≥ ≥ (cid:1) (cid:1) (cid:0) (cid:0) vì vậy, ở đây ANj(t) là tổng số yêu cầu bồi thường bảo hiểm loại j xảy ra trong (0, t] và AN(t) là tổng số yêu cầu bồi thường bảo hiểm trong (0, t]. Từ đây, ta giả sử rằng quá trình tái tạo Markov (MRP) của nhân AQ là ergodic với

ANj(t)

∞

AQ(n)

ij (t), i, j

, từ các hệ thức 3.53, 3.76 và 3.79 trong chương 3 ta có Với Rij(t) = E π = (π1, ..., πm) là phân phối dừng duy nhất liên quan đến P. J0 = i | (cid:0) I, (cid:1) Rij(t) = ∈

n=0 X =

I, , i, j lim t→∞ Rij(t) t ∈ 1 Aµjj

Aηk, j

Aµjj =

k X

I. (4.134) πk ∈ 1 πj

bảo hiểm. Với phân phối đồng thời Từ bây giờ trở đi ta sẽ giảm mũ A cho các biến đếm liên quan đến yêu cầu bồi thường , áp dụng tính chất bán Markov ta N(t), JN (t), TN (t)

(cid:0) (cid:1)

4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov 129

có:

t

h t ≤

t−h

|

0 Z

N(t) = n, JN (t) = j, TN (t) ≤ P = P (N(t) = n, Jn = j, Tn ≤ t (cid:0) = P (Tn ≤ = P (Tn ≤ = (1 z))dAQ(n) (4.135) h J0 = i | − h J0 = i) , 0 (cid:1) | − ≤ t J0 = i) h t < Tn+1, Jn = j, Tn ≤ − J0 = i) h, Tn+1 > t, Jn = j t | − AHj(t ij (z). − −

t

Với h = 0, ta được:

AHj(t

ij (z)

0

m

t

P = (1 z))dAQ(n) (4.136) J0 = i N(t) = n, JN (t) = j | − − Z (cid:0) (cid:1) hơn nữa, lấy tổng theo j ta được:

AHj(t

ij (z)

0 j=1 Z X

m

m

m

t

AQ(n)

P (N(t) = n (1 z))dAQ(n) J0 = i) = | − −

AQjk(t

ij (t)

ij (z)

j=1 X m

0 j=1 Z X m

AQ(n)

= z))dAQ(n) − −

k=1 X AQ(n+1) ij

ij (t)

j=1 X

k=1 X

(t). (4.137) = −

Áp dụng các công thức sau:

APij(t, n) = P

APi(t, n) = P (N(t) = n,

j=1 X

, N(t) = n, JN (t) = j | J0 = i m (cid:0) , = (4.138) (cid:1) APij(t, n) J0 = i) | !

m

APkj(t, n

AQik(t),

APij(t, n) =

từ hệ thức 4.137 ta được các công thức hồi quy sau:

k=1 X m

1) • −

APk(t, n

AQik(t),

APi(t, n) =

k=1 X

(4.139) 1) • −

AHi(t)),

hiển nhiên:

(4.140) Pij(t, 0) = δij(1 Pi(t, 0) = 1 − AHi(t). −

AGij,AGjj

AGij(t)

Nếu ta chỉ quan tâm đến một loại yêu cầu bồi thường bảo hiểm gọi là j thì nó thỏa mãn để xét quá trình tái tạo dừng được đặc trưng bởi , ta có:

AG(n−1)

jj −

(4.141) P (Nj(t) = n J0 = i ) = (t) (cid:1) nếu n = 0 1. nếu n | (cid:0) AG(n−1) jj ( 1 − AGij • ≥ (cid:16) (cid:17)

4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov 130

Với các giá trị trung bình AHij(t) = E (Nj(t) J0 = i), các kết quả 2.7 và 1.16 trong | chương 1 cho ta:

∞

= j, Hjj(t), i 6

n=1 X

H (n) (4.142) Hij(t) = Gij(t) + Gij • jj (t). Hjj(t) =

Cuối cùng, mệnh đề 1.19 trong chương 1 đưa ra tính chuẩn tắc tiệm cận:

jj (cid:19)

, N (4.143) Nj(t) tσ2 j µ3 ≺ t µjj (cid:18)

j tương ứng với giá trị trung bình và phương sai của biến ngẫu nhiên ATn(j

j ) được | µjj, σ2 định nghĩa trong mục 3.6, chương 3 được xem là hữu hạn.

4.5.4 Quá trình tiền bảo hiểm tích lũy

N (t)

Đây là quá trình (U(t),t 0) trong đó: ≥

n=1 X

U(t) = (4.144) Yn(= UN (t)).

Ta biết rằng phân phối lề của U(t), với t cố định , rất quan trọng đối với các công ty bảo hiểm, ví dụ xem một năm là đơn vị thời gian, giá trị U(1) là tổng phí tổn mà công ty phải chi để bồi thường bảo hiểm vào năm t. Ta có hàm phân phối lề sau:

U(t) (4.145) Mij(t, y) = P y, JN (t) = j ≤ J0 = i | (cid:0) (cid:1) vì vậy

AHj(t

0

n=0 Z X ∞

, y, JN (t) = j J0 = i ≤ U(t) t Mij(t, y) = P ∞ (cid:0) | z))dQ(n) (1 Mij(t, y) = (cid:1) ij (z, y), − −

AHj(t

ij (z, y)

n=0 X

Q(n) (1 z)), (4.146) Mij(t, y) = • − −

∞

t

(n)

trong đó tích chập chỉ tác động vào biến thời gian. Trong trường hợp độc lập có điều kiện, kết quả cuối cùng trở thành:

AHj(t

AFij(z)BFij(y))

0

n=0 Z X ∞

(n)

(n)

, (1 Mij(t, y) = z))d(pij − −

AFij(z))

AHj(t

n=0 X

(1 z)). (4.147) Mij(t, y) = (pij (BFij(y)) • − −

Chú ý rằng với m = 1, công thức cuối này cho ta kết quả 4.19 trong mô hình rủi ro của Anderson.

131 4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov

4.5.5 Quá trình tiền đóng bảo hiểm

Ta áp dụng phép xấp xỉ như trong phần 4.2.2. Từ 4.143 ta biết rằng

m

AHij(t) t

k=1 P

πj , i, j I, = (4.148) lim t→∞ ∈ πkηk

và theo đó, với t lớn thì:

m

k=1 P

tπi , i, j I, (4.149) E (Nj(t) ∈ J0 = i) | ≈ πkηk

và vì vậy, giá trị trung bình lượng tiền của Nj(t) yêu cầu bồi thường bảo hiểm loại j trên (0, t] xấp xỉ là

Bηj πkηk

k P

t, (4.150)

Bηj

cuối cùng ta có: πj

Aηk

j ≈ P k P

E . (4.151) J0 = i UN (t) | πk (cid:0)

(cid:1) Hệ thức cuối chỉ ra rằng, với bất kì trạng thái ban đầu, tổng giá trị trung bình của lượng tiền bồi thường bảo hiểm nhiều hơn hoặc ít hơn ˜ct với

Bηj

πj

Bηk

j ≈ P k P

. ˜c (4.152) πk

Theo đó, nếu ta lấy giá trị ˜c này như một mức phí bảo hiểm cố định trên một đơn vị thời gian thì ta có trò chơi công bằng tiệm cận giữa công ty bảo hiểm và người mua bảo hiểm.

Ta sẽ chỉ ra rằng, giá trị của mức phí bảo hiểm này chỉ phụ thuộc vào số lượng trung bình của các yêu cầu bồi thường bảo hiểm, lượng tiền bồi thường bảo hiểm và phân phối dừng của xích Markov được nhúng của yêu cầu bồi thường bảo hiểm liên tiếp. Tất cả được tính toán dễ dàng với dữ liệu thống kê của các yêu cầu bồi thường bảo hiểm được khảo sát.

4.5.6 Quá trình rủi ro và rủi ro của vốn dự trữ

ct, t ≥ − 0) với α(t) = u + U(t) ≥ − Định nghĩa 4.20 và 4.21 vẫn có giá trị cho mô hình rủi ro bán Markov để quá trình rủi ro được xác định bởi (U(t) 0) và quá trình rủi ro của vốn dự trữ được xác định bởi α = (α(t), t ct trong đó u là vốn dự trữ ban đầu thường lệ hoặc là tài sản cố định của công ty có mức phí bảo hiểm an toàn:

c = (1 + η)˜c. (4.153)

4.6 Xác suất phá sản của mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát 132

4.5.7 Mô hình rủi ro bán-Markov dừng

Sử dụng kết quả mục 3.10 trong chương 3, mô hình rủi ro bán Markov (SMRM) xảy ra trạng thái dừng nếu (J0, X1) có phân phối ban đầu như sau:

Aηi πi πk

Aηk

x

k P

, P (J0 = i) =

AFij(z)dz,

(1 (4.154) x, J1 = j J0 = i ) = − P (X1 ≤ | pij Aηi Z0

AFij(z)dz

x 0 (1

vì vậy πipij

i P

. (4.155) x, J1 = j) = P (X1 ≤ − Aηk πk

x

t , t 0 Ta biết quá trình dừng khi: JN (t), JN (t)+1, TN (t)+1 −

AFjk(z)dz

0

i P

P t x . (cid:1) = (4.156) 1 (cid:0)(cid:0) JN (t) = j, JN (t)+1 = k, TN (t)+1 − ≤ − R k P ≥ (cid:1) πjpjk Aηi Z πj (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)

Tiền lãi của mô hình trạng thái dừng trong lý thuyết rủi ro cổ điển (với m = 1) được nghiên cứu bởi Thorin (1975).

4.6 Xác suất phá sản của mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát

4.6.1 Xác suất phá sản và không phá sản

Áp dụng 4.22 với tuổi thọ T của công ty

, T = inf t : α(t) < 0 (4.157) }

t và ≤ { ta biết rằng biến cố “phá sản” xảy ra trước hoặc vào thời điểm t khi và chỉ khi T hiển nhiên biến cố bù của nó là “không phá sản” khi và chỉ khi T > t.

Bây giờ ta phải nhập vào các loại yêu cầu bồi thường và ta sẽ sử dụng các công thức sau cho xác suất không phá sản và xác suất phá sản nhất thời. Nghĩa là trên khoảng thời gian horizon hữu hạn [0, t],

(4.158) φij(u, t) = P (T > t, Z(t) = j t, Z(t) = j Ψij(u, t) = P (T ϕij(u, t)) . − ≤

Z(0) = i ) , | Z(0) = i) (= 1 | Xác suất tiệm cận không phá sản và phá sản trong khoảng thời gian horizon hữu hạn được định nghĩa:

, Z(t) = j φij(u) = P (T = φij(u, t), ∞ | , Z(t) = j (4.159) Ψij(u) = P (T < Ψij(u, t) (= 1 ϕij(u)) . Z(0) = i) = lim t→∞ Z(0) = i) = lim t→∞ ∞ | −

Ta có các kết quả sau:

4.6 Xác suất phá sản của mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát 133

i, j (i) Với mỗi t cố định, I,φij(u, t) tăng đến u và Ψij(u, t) giảm. ∀ ∈ i, j (ii) Với mỗi u cố định, I,φij(u, t) giảm xuống t và Ψij(u, t)tăng. ∀ ∈ (iii) u, t, i, j (4.160) I : φij(u, t) φij(u), Ψij(u, t) Ψij(u). ∀ ≥ ∈ ∀ ∀

m

m

≥ Một trong những vấn đề quan trọng của lý thuyết rủi ro là tối ưu hóa tham số an toàn ε với ε cố định dương, − η như vậy, xác suất phá sản, nhất thời hoặc tiệm cận, lớn hơn 1 đây là một vấn đề tương đương với sự xác định tối ưu của khả năng thanh toán lề. Cũng như bình thường, nếu ta không quan tâm đến giá trị của Z(t) thì ta có các xác suất phá sản sau:

j=1 X m

j=1 X m

φi(u, t) = φij(u, t),φi(u) = φij(u),

j=1 X

j=1 X

(4.161) Ψi(u, t) = Ψij(u, t),Ψi(u) = Ψij(u).

m

m

Hơn nữa, nếu ta bắt đầu với π là phân phối ban đầu của J0 thì ta định nghĩa bốn xác suất phá sản và không phá sản cuối như sau:

i=1 X m

i=1 X m

φ(u, t) = πiφi(u, t), φ(u) = πiφi(u),

i=1 X

i=1 X

Ψ(u, t) = (4.162) πiΨi(u, t), Ψ(u) = πiΨi(u).

∞

u+ct

Với mô hình trạng thái dừng, ta trình bày xác suất phá sản và không phá sản cuối cùng như sau:

sφj(u) =

AFll0(t)

l0 X

l X

k m P

sφ(u) =

sφ(u).

dt φl0j (u + ct y) dBFll0(y), − − 1 πkηk Z0 (cid:1)

j=1 X

(4.163) 1 Z0 (cid:0) sφj(u),sΨ(u) = 1 −

4.6.2 Sự thay đổi mức phí bảo hiểm

Ta bắt đầu với mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát của nhân Q = [Qij(., .)] và với c là mức phí bảo hiểm trên một đơn vị thời gian.

0

0

Không mất tính tổng quát, ta xét mô hình rủi ro bán-Markov với c = 1. Thực vậy, ta xét các biến ngẫu nhiên mới sau:

n = cXn,n

0 = X0,X

0

n, Yn, n

0

0

0

X 1. (4.164) ≥ Nhân bán-Markov Q0 của quá trình 0 được cho bởi: Jn, X

Jn−1j(x, y) = P

0

n ≤ .

Jn−1j(x, y) = QJn−1j

Q y , ,k = 1, ..., n 1 ≥ Jk, X (cid:1) k, Yk, (cid:0) x, Yn ≤ | − (cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:17) Q , y (4.165) Jn = j, X x c (cid:16) (cid:17)

4.6 Xác suất phá sản của mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát 134

0

0

0

Xét mô hình rủi ro bán-Markov với nhân Q0, ta có:

ij = pij,a

ij = caij,b

ij = bij,i, j

p I (4.166) ∈

0

0

Aη

i = cAηi,Bη

i = cBηi,i

0

jj = cµjj, j

Bηi

vì thế I, (4.167) ∈ và với hệ thức 4.134 µ I, (4.168) ∈ theo hệ thức 4.10 và 4.152 πi

Aηi

. ˜c0 = = (4.169) ˜c c πi

1 i c P i P đưa hệ số an toàn η vào, theo hệ thức 4.153, ta biết rằng giá trị c0 được cho bởi:

c0 = (1 + η)˜c0 (4.170)

hoặc với 4.169 và 4.153:

0

c0 = (1 + η) = 1. (4.171) ˜c c

n, Yn, n

Bηi

0 Aη i

i P i P

Như trong hệ thức cuối này hệ số an toàn η dương, đẳng thức cuối cho ta tỉ lệ ˜c/c nhỏ hơn 1 và vì vậy theo hệ thức 4.169 và 4.167 điều kiện để có hệ số an toàn η dương cho quá trình là: 0 Jn, X ≥ πi (cid:0) (cid:1) < 1. (4.172) πi

4.6.3 Giải pháp tổng quát cho vấn đề tiệm cận xác suất rủi ro của mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát

Từ kết quả của phần phụ cuối, ta xét mô hình rủi ro bán-Markov nhân Q = [Qij(., .)] với c = 1 và tập trung vào quá trình

0) ; (4.173) Xn), n ((Jn, Yn − ≥

Rõ ràng quá trình này được xem như một bước rủi ro bán Markov (SMRW) của nhân bán-Markov rQ được cho bởi

rQij(z)

(4.174) Qij(dξ, dζ).

Z Z {(ξ,ζ):ξ−ζ≤z}

+∞

Trong trường hợp đặc biệt độc lập có điều kiện, ta lấy:

rQij(z) = pij

BFij(z + ξ)dAFij(ξ).

−∞

(4.175)

Z

4.6 Xác suất phá sản của mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát 135

Xn, n 0) liên quan đến dãy ngẫu nhiên ((Yn − ≥ ≥ Ta biết rằng vị trí tại giai đoạn n của bước rủi ro bán Markov được cho bởi tổng riêng 0) và đưa ra biến ngẫu nhiên M , với: (Sn, n được định nghĩa bởi hệ thức 3.187 trong chương 3, đó là M = sup S0, S1, ..., Sn, ... } {

M , u I, 0, i, j (4.176) φij(u) = P Jn = j u, lim n→∞ J0 = i | ≤ ≥ ∈ (cid:16) (cid:17) ) kéo theo không phá sản tại thời điểm yêu cầu ∞ và từ đó biến cố không phá sản trên [0, bồi thường bảo hiểm đầu tiên, ta có:

u −∞ φkj(u

k P

0,u < 0, I (4.177) φij(u) = z)drQik(z),u > 0. , i, j ∈ − ( R bỏ qua j, ta được:

u −∞ φk(u

k P

0,u < 0, I (4.178) φi(u) = z)drQik(z),u > 0, i, ∈ − ( R đó là hệ Wiener-Hopf của các phương trình tích phân và như vậy

u, I 0, i (4.179) φi(u) = P (M J0 = i) , u | ≥ ∈

≤ như trong hệ thức 3.192 trong chương 3. Bây giờ ta xét hệ 4.178 với giá trị u không âm, từ kết quả Jenssen (1970) được đề cập trong phần 3.16 của chương 3, hệ này có nghiệm P duy nhất khi và chỉ khi

rηk < 0.

k X

(4.180) πk

Vì vậy, nếu điều kiện không đủ thì bước rủi ro bán Markov ((Jn, Sn), n ≥ và sự phá sản trên [0, + 0) sẽ tiến đến ) là một biến cố tất yếu bất chấp J0, trong trường hợp này: ∞ ∞

I. 0,i (4.181) φi(u) = 0,u ≥ ∈

Aηk, k

rηk=Bηk−

Như I, (4.182) ∈ Điều kiện 4.178 tương đương với

Aηk

Bηk−

k X

< 0 (4.183) πk

(cid:0) (cid:1)

điều này tương đương với điều kiện 4.172 giả sử luôn được thỏa và tương đương với sự gia tăng hệ số an toàn dương để phá hủy trò chơi công bằng tiệm cận, nghĩa là có lợi cho công ty bảo hiểm, không có sự gia tăng này sự phá sản trong thời gian horizon vô hạn là tất yếu.

Áp dụng định lí duy nhất của Jenssen (1970), ta có hệ thức sau đây là đúng:

I,u 0. (4.184) φij(u) = πjφi(u),i, j ∈ ≥

4.6 Xác suất phá sản của mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát 136

Định lý 4.5. Với mô hình rủi ro bán-Markov ergodic, với mỗi trạng thái ban đầu i sự phá sản trong thời gian horizon vô hạn xảy ra nếu điều kiện 4.172 không thỏa. Ngược lại, nếu điều kiện được thỏa thì với mỗi trạng thái i:

ij(u) = πjφ+ φ+

i (u),i, j

I,u R, (4.185) ∈ ∈

i (u) = φi(u), i, j

ij(u) = U0(u)φij(u), φ+ φ+

u

với R I, u (4.186) ∈ ∈ và theo 4.176

i (u) =

−∞

k Z

ij đã được thực hiện vì ta chỉ quan tâm đến xác suất không phá sản cho lượng vốn dự trữ u dương, dù các xác suất này có thể không nhất thiết bằng 0 với u âm.

R,i, I. φ+ (4.187) z)drQik(z),u φ+ k (u − ∈ ∈ X Ta lưu ý rằng sự chuyển đến hàm φ+

Hiển nhiên, với mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát, xấp xỉ số vẫn rất quan trọng.

u

Chú ý 4.3. Ta biết rằng với m = 1, mô hình rủi ro bán Markov tổng quát (GSMRM) đưa ta trở lại mô hình G/G. Vì vậy, với trường hợp này, hệ 4.187 trở thành:

+∞

rQ(z) =

R, φ+(u) = φ+(u z)drQ(z),u − ∈ Z−∞

−∞

B(ξ + u)dA(ξ). (4.188)

Z

Kết luận

Trong luận văn này tôi nghiên cứu về bán Markov và ứng dụng của nó trong bảo hiểm.

Trong đó, tôi trình bày lý thuyết về quá trình tái tạo, quá trình xích Markov, quá trình trạng thái bán Markov và các bước ngẫu nhiên Markov để làm cơ sở xây dựng mô hình rủi ro bán Markov trong bảo hiểm. Sau đó tôi đưa ra một vài mô hình rủi ro cổ điển trong bảo hiểm như:

+ Mô hình rủi ro E.S Anderson.

+ Mô hình rủi ro Cramer Lundberg (P/G).

Mô hình khuyếch tán cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản:

+ Mô hình rủi ro khuyếch tán đơn giản.

+ Mô hình rủi ro trong quản lý tài sản và vốn.

Cuối cùng tôi ứng dụng quá trình bán Markov vào mô hình rủi ro trong bảo hiểm.

Tài liệu tham khảo

[1] Jacques Janssen Raimondo Manca. (2006) Applied Semi-Markov Process. Springer Publication.

[2] Black Well D. (1948). A renewal theorem. Duke Math. J. 15. 145-150.

[3] Baker C.T.H. (1977). The Numerical Treatment of Integral Equations. Clarendon Press, New York.

[4] Christofidies N. (1975). Graph theory. An algorithmic approach . Academic Press, New York-London.

[5] Chung K. L. (1960). Markov chain with stationary transition probabilities. Springer Publication.

[6] Daley, D. J. (1965). On a class of renewal functions Proc. Cambridge Philos. Soc . 61 519-526.

[7] De Dominicis R., manca R. (1984b), A computational procedure for the asymptotic analysis of a homogeneous semimarkov process. Statistics & Probability letters. 2, 249-253.

[8] E. B. Dynkin. The theory of Markov Process. Dover Publication, Inc. Mineola, Newyork.

[9] Feller W., (1957) An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume I . Second Edition, Wiley, New York. XV, 461.

[10] Janssen J., R. Manca, (2001b, 1969b). Non-homogeneous semi-Markov reward pro- cess for the management of health insurance models.Proccedings ASTIN Washington. B174.

[11] Parzen, E., (1962). Stochastic processes. Holden-Day Series in Probability and Statis- tics Holden-Day, Inc., San Fancisco.

[12] Spitzer F. (1957). The wiener-Hopf equation whose kernel is a probability density. Duke Math. J. 24, 327-343.

[13] S. P. Meyn and R. L. Tweedie. (1999) Markov Chains and Stochastic Stability. Beijing World Publishing Corporation.

[14] Smith, W.L., (1954). Asymptotic renewal theorems.Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A64. 9–48.

[15] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Việt Yên., (2000) Lý Thuyết Xác Suất. Nhà xuất bản giáo dục.