Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Vận dụng lí thuyết về vùng phát triển gần nhất trong dạy học một số yếu tố Đại số và Giải tích lớp 11

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRIỆU ÁNH NGUYỆT

VẬN DỤNG LÍ THUYẾT VỀ VÙNG PHÁT TRIỂN GẦN

NHẤT TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ YẾU TỐ ĐẠI SỐ

VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thái Nguyên - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRIỆU ÁNH NGUYỆT

VẬN DỤNG LÍ THUYẾT VỀ VÙNG PHÁT TRIỂN GẦN

NHẤT TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ YẾU TỐ ĐẠI SỐ

VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11

Chuyên ngành: LL và PPDH bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Cao Thị Hà

Thái Nguyên - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, được sự giúp đỡ tận

tình của giảng viên hướng dẫn là PGS. TS. Cao Thị Hà. Các nội dung nghiên cứu và

kết quả trong đề tài này là trung thực và chưa từng được công bố trong bất cứ công

trình nghiên cứu nào trước đây. Những số liệu, nhận xét đánh giá được tác giả thu

thập từ các nguồn khác nhau có trích dẫn nguồn tài liệu tham khảo. Nếu có phát hiện

bất kỳ gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước Hội đồng, cũng như kết

Thái Nguyên, tháng 05 năm 2016

quả luận văn của mình.

Tác giả luận văn

Triệu Ánh Nguyệt

LỜI CẢM ƠN

Bằng tình cảm trân trọng và lòng biết ơn sâu sắc, cho phép tôi được gửi lời

cảm ơn tới:

Phòng Đào tạo (bộ phận Sau đại học), Khoa Toán trường Đại học Sư phạm

Thái Nguyên, các thầy cô giáo đã tham gia quản lý, giảng dạy và hướng dẫn tôi

trong quá trình học tập tại nhà trường.

Cô giáo, PGS.TS. Cao Thị Hà - Giảng viên khoa Toán, trường Đại học Sư

phạm Thái Nguyên đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong quá

trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Ban giám hiệu nhà trường và các em học sinh lớp 11A3, 11A6 trường THPT

Phú Bình đã giúp tôi trong quá trình thực nghiệm đề tài.

Bạn bè và những người thân trong gia đình đã động viên, khích lệ và tạo điều

kiện thuận lợi cho tôi được tham gia học tập, nghiên cứu.

Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong sự đóng góp ý

kiến của các thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp để được hoàn thiện hơn.

Thái Nguyên, tháng 05 năm 2016

Tác giả luận văn

Triệu Ánh Nguyệt

MỤC LỤC

Trang

Trang bìa phụ

Lời cam đoan ................................................................................................................. i

Lời cảm ơn .................................................................................................................... ii

Mục lục ........................................................................................................................ iii

Danh mục các chữ viết tắt ............................................................................................ iv

Danh mục bảng, biểu đồ ............................................................................................... v

MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 1

1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................................ 1

2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................................... 3

3. Giả thuyết khoa học ....................................................................................................... 3

4. Đối tượng nghiên cứu .................................................................................................... 3

5. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................................... 3

6. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................................. 4

7. Cấu trúc của đề tài ......................................................................................................... 4

Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ...................................................... 5

1.1. Vài nét về lịch sử tâm lí học L.X.Vygotxki. ........................................................... 5

1.1.1 Tiểu sử về L.X.Vygotxki. .................................................................................... 5

1.1.2. Các công trình khoa học của L.X.Vygotxki ..................................................... 6

1.2. Lý luận về vùng phát triển gần nhất ......................................................................... 8

1.2.1. Sự phát triển khái niệm khoa học và khái niệm thông thường ở trẻ em. ...... 8

1.2.2. Dạy học và phát triển. ....................................................................................... 10

1.2.3. Vùng phát triển gần nhất và dạy học vùng phát triển gần nhất. .................. 13

1.2.4. Các giai đoạn học tập trong vùng phát triển gần nhất .................................. 17

1.2.5. Vùng phát triển gần nhất đặc thù của mỗi HS ............................................... 19

1.3. Thực trạng của việc dạy và học môn Toán hiện nay ............................................ 20

Chương 2. VẬN DỤNG LÍ THUYẾT VỀ VPTGN TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ

YẾU TỐ ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 ............................................................ 24

iii

2.1. Một số vấn đề về nội dung Đại số và Giải tích lớp 11 ở trường THPT ............ 24

2.2. Một số biện pháp sư phạm vận dụng lý thuyết về vùng phát triển gần nhất vào

DH nội dung Giải tích trong chương trình Đại số và Giải tích 11. ............................ 24

2.2.1. Biện pháp 1: Cung cấp một số tri thức phương pháp để mở rộng .............. 24

VPTGN và đưa VPTGN về vùng phát triển hiện tại ............................................... 24

2.2.2. Biện pháp 2: Sử dụng các hình ảnh (biểu đồ, đồ thị, bảng biểu…) trực

quan trong dạy học ....................................................................................................... 49

2.2.3. Biện pháp 3: Sử dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự trong DH . 55

Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ................................................................ 67

3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................................. 67

3.2. Nội dung thực nghiệm .............................................................................................. 67

3.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm ................................................................................ 67

3.4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm ............................................................................. 67

3.5. Đánh giá kết quả thực nghiệm ................................................................................ 90

3.5.1. Đánh giá định lượng .......................................................................................... 90

3.5.2. Đánh giá định tính ............................................................................................. 93

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 95

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 96

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

TT Viết tắt Cụm từ viết tắt

1 DH Dạy học

2 GV Giáo viên

3 HS Học sinh

4 PPDH Phương pháp dạy học

5 THPT Trung học phổ thông

6 THCS Trung học cơ sở

7 VD Ví dụ

8 VPTGN Vùng phát triển gần nhất

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ

Trang

Hình 1.1. Minh họa vùng phát triển gần nhất ............................................................. 14

Hình 1.2. Đặc thù về VPTGN của mỗi HS ................................................................. 19

Hình 2.1. Đồ thị hàm số 𝒇(𝒙) và 𝒈(𝒙), 𝒉(𝒙) ............................................................. 50

Hình 2.2. 𝒇(𝒙) liên tục tại 𝒙𝟎 ..................................................................................... 51

Hình 2.3. 𝒇(𝒙) gián đoạn tại 𝒙𝟎 .................................................................................. 51

Hình 2.4. 𝒇(𝒙) gián đoạn tại 𝒙𝟎 .................................................................................. 51

Hình 2.5. 𝒇(𝒙) gián đoạn tại 𝒙𝟎 .................................................................................. 51

Hình 2.6. Sơ đồ mối liên hệ giữa dãy số có giới hạn 0 và dãy số có giới hạn a ......... 52

Hình 2.7. Sơ đồ thể hiện các mối quan hệ trong VD 5 ............................................... 53

Hình 2.8. Minh họa tổng S .......................................................................................... 54

Hình 2.9. Đồ thị các hàm số trong ví dụ 7 .................................................................. 54

Bảng 3.1. Bảng kết quả kiểm tra của HS hai lớp 11A3 và 11A6 ............................... 90

Biểu đồ 3.1. Bảng phân bố tần số kết quả kiểm tra 45 phút ....................................... 91

của hai lớp 11A3 và 11A6 .......................................................................................... 91

Biểu đồ 3.2. Bảng phân bố tần suất kết quả kiểm tra 45 phút .................................... 91

của hai lớp 11A3 và 11A6 .......................................................................................... 91

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong giai đoạn đẩy mạnh công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước và hội

nhập quốc tế, nguồn lực con người càng trở nên có ý nghĩa quan trọng, quyết định

sự thành công của công cuộc phát triển đất nước. Giáo dục ngày càng có vai trò và

nhiệm vụ quan trọng trong việc xây dựng một thế hệ người Việt Nam mới đáp ứng

được yêu cầu phát triển kinh tế - xã hội.

Do vậy, trong những năm qua việc đổi mới phương pháp giảng dạy trong

chương trình giáo dục phổ thông đã có một bước tiến rõ rệt so với trước đó; từng

bước góp phần đổi mới sự nghiệp giáo dục, đáp ứng được yêu cầu phát triển của đất

nước trong giai đoạn vừa qua. Tuy nhiên, do nhiều nguyên nhân khác nhau, việc đổi

mới phương pháp nói chung và phương pháp giảng dạy bộ môn Toán nói riêng vẫn

còn những hạn chế và bộc lộ nhiều bất cập trước những đòi hỏi mới trong sự nghiệp

công nghiệp hóa, hiện đại hóa cũng như trước sự phát triển mạnh mẽ của khoa học -

công nghệ và xu thế đổi mới nhanh chóng của giáo dục phổ thông trên thế giới.

Xác định tầm quan trọng của việc đổi mới phương pháp dạy và học. Luật Giáo

dục nước Cộng hòa Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam đã quy định: “Phương pháp Giáo

dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học

sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn

luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm

vui, hứng thú học tập của học sinh” [6]. Tiếp đó, Đại hội Đảng lần thứ XI đã xác

định một trong các định hướng phát triển kinh tế - xã hội là nâng cao chất lượng

nguồn nhân lực, đổi mới toàn diện và phát triển nhanh chóng giáo dục và đào tạo,

trong đó nhấn mạnh việc “đổi mới mạnh mẽ nội dung, chương trình, phương pháp

dạy và học ở tất cả các cấp, bậc học. Tích cực chuẩn bị để từ sau năm 2015 thực hiện

chương trình giáo dục phổ thông mới”. Quy định này phản ánh yêu cầu đổi mới

phương pháp giáo dục nhằm giải quyết mâu thuẫn giữa nhu cầu đào tạo con người

với thực trạng lạc hậu nói chung của PPDH ở nước ta hiện nay. Do vậy, ngoài việc

đổi mới nội dung, chương trình thì đổi mới phương pháp cũng rất quan trọng.

Trong nhà trường phổ thông hiện nay, môn Toán có vai trò quan trọng trong

việc góp phần phát triển tư duy lôgic cho học sinh. Vấn đề lớn đặt ra cho những

người làm công tác giáo dục nói chung cũng như tất cả những giáo viên đang giảng

dạy bộ môn Toán là làm thế nào để phát huy hết tiềm lực của mỗi học sinh, phát triển

năng lực nhận thức, bồi dưỡng và rèn luyện những phẩm chất tư duy cho học sinh là

vấn đề quan trọng. Mỗi học sinh có một khả năng nhận thức khác nhau. Nếu học sinh

được trang bị đầy đủ kiến thức, kỹ năng và phương pháp giải thì việc tiến tới nhiệm

vụ học tập là có thể. Nhìn chung dạy học bằng cách này hay cách khác đều có thể góp

phần phát triển học sinh, nhưng dạy học được coi là đúng đắn nhất nêu nó đem lại sự

phát triển tốt nhất cho người học như ý kiến của nhà tâm lý học người Nga, Lev

Vygotxki cho rằng: “Dạy học được coi là tốt nhất nếu nó đi trước sự phát triển và

kéo theo sự phát triển”. Cơ sở của quan điểm này chính là lý thuyết “vùng phát triển

gần nhất” do ông đề xướng.

Lý luận dạy học đã chỉ ra rằng: “Dạy học phải có tác dụng thúc đẩy sự phát

triển trí tuệ của người học”. Điều đó có nghĩa là trí tuệ của học sinh chỉ có thể phát

triển tốt trong quá trình dạy học khi thầy giáo phát huy tốt vai trò của người tổ chức,

điều khiển làm giảm nhẹ khó khăn cho học sinh trong quá trình nhận thức, biết cách

khuyến khích, hỗ trợ học sinh tham gia vào hoạt động nhận thức tích cực trong dạy

học. Mặt khác đối với học sinh để phát triển trí tuệ của mình không có cách nào khác

là phải tự mình hành động, hành động một cách tích cực và tự giác.

Để đạt được mục tiêu trên, có nhiều cách thức khác nhau, một trong những

biện pháp có hiệu quả cao chính là việc áp dụng lý thuyết vùng phát triển gần. Tức là

sự hỗ trợ của giáo viên nhằm hướng các em phát triển thông qua “dạy học vùng phát

triển gần” - một lí thuyết dạy học rất quan tâm đến việc hỗ trợ học sinh đang được

nhiều nhà tâm lý học, giáo dục học trong và ngoài nước quan tâm. Sự hỗ trợ này được

thực hiện bằng cách giúp cho các em giải quyết vấn đề tại một trình độ cao hơn trình

độ các em hiện có, tức là vấn đề mà các em phải đối mặt sẽ tiếp cận tới vùng phát

triển gần. Do đó, khi các em giải quyết vấn đề sẽ giúp các em dịch chuyển trình độ

hiện tại lên “vùng phát triển gần”, vậy là dạy học đã tạo ra động lực cho sự phát

triển. Đây chính là điểm tích cực thứ nhất của dạy học vùng phát triển gần. Mặt tích

cực thứ hai là chúng ta bắc giàn cho sự phát triển, thông qua việc hướng dẫn học sinh

thực hiện công việc một cách nghệ thuật nhất trên chính trình độ của các em. Hỗ trợ

các em không có nghĩa là biến các em trở thành thụ động. Hỗ trợ các em giải quyết

vấn đề nhưng đồng thời cũng phải cho các em học được cách mà chúng ta giải quyết

vấn đề. Nhờ đó mà sau này các em có phương pháp để tự học, tự học suốt đời theo xu

thế xã hội hóa giáo dục.

Xuất phát từ những lý do trên, việc nghiên cứu và vận dụng lí thuyết về vùng

phát triển gần nhất của Vygotxki vào thực tiễn dạy học, trong đó có dạy học môn

toán là việc làm có ý nghĩa sâu sắc cả về khoa học và thực tiễn. Với những mong

muốn đó, chúng tôi chọn đề tài “Vận dụng lí thuyết về vùng phát triển gần nhất

trong dạy học một số yếu tố Đại số và Giải tích lớp 11” làm nội dung nghiên cứu của

mình.

2. Mục đích nghiên cứu

Hệ thống hóa một số vấn đề lí luận về vùng phát triển gần nhất và vận dụng lí

thuyết vùng phát triển gần nhất trong dạy học.

Trong quá trình dạy học, đề xuất một số biện pháp sư phạm để vận dụng lí

thuyết về vùng phát triển gần nhất vào dạy học nội dung Giải tích trong chương trình

Đại số và Giải tích 11 nhằm nâng cao tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập

của HS.

3. Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm giúp giáo viên vận dụng lí thuyết

về vùng phát triển gần nhất trong dạy học toán thì góp phần tạo hứng thú học tập cho

từng đối tượng HS và khuyến khích phát triển tối đa, tối ưu những khả năng của cá

nhân HS.

4. Đối tượng nghiên cứu

Vận dụng lí thuyết về vùng phát triển gần nhất trong dạy học một số yếu tố

Đại số và Giải tích lớp 11.

5. Nhiệm vụ nghiên cứu

Xuất phát từ mục đích nghiên cứu trên, trong quá trình thực hiện đề tài chúng

tôi xác định cần phải làm rõ những vấn đề sau:

- Làm rõ cơ sở lý luận và thực tiễn về lí thuyết về vùng phát triển gần nhất.

- Đề xuất được một số biện pháp dạy học vận dụng lí thuyết vùng phát triển

gần nhất vào dạy học nội dung Giải tích trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11.

Thực nghiệm sư phạm ở trường trung học phổ thông nhằm bước đầu điều tra

tính khả thi, hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất.

6. Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu viết về lý luận dạy

học môn toán, lí thuyết vùng phát triển gần nhất của L.X.Vygotxki, nghiên cứu tài

liệu về tâm lý học Vygotxki các công trình nghiên cứu có liên quan trực tiếp đến đề

tài.

Phương pháp quan sát, điều tra: Phát phiếu điều tra, phỏng vấn, thu thập số

liệu ở một số trường phổ thông.

Phương pháp hỏi ý kiến chuyên gia: Xin ý kiến của các thầy cô giáo chuyên

sâu về phương pháp giảng dạy, đồng thời tham khảo ý kiến của một số giáo viên phổ

thông về luận văn.

Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm tại trường

THPT để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đề xuất.

7. Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.

Chương 2: Vận dụng lí thuyết về vùng phát triển gần nhất trong dạy học một

số yếu tố Đại số và Giải tích lớp 11.

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Vài nét về lịch sử tâm lí học L.X.Vygotxki

1.1.1 Tiểu sử về L.X.Vygotxki

Lev Vygotxki sinh ngày 05 tháng 11 năm 1896 trong một gia đình công chức

ở thị trấn Oocsa, nước cộng hòa Bieloruxia (Bạch Nga) sau chuyển về thị trấn Gomen

sinh sống. Ông là con thứ hai trong gia đình có 8 người con.

Khi còn nhỏ L.X.Vygotxki học ở nhà. Hết lớp 6 mới vào trường tư thục. Ngay

từ thời học phổ thông, ông đã tỏ ra là người có tài khởi xướng và tổ chức các buổi hội

thảo về văn học, lịch sử và triết học. Mối quan tâm sâu sắc của ông là các khoa học

xã hội – nhân văn. Ông thường được tập thể tán thưởng và điều khiển các hội thảo rất

thành công, bản thân trình bày các báo cáo có nội dung sâu sắc và hấp dẫn, kết luận

hội thảo rất rành mạch, đầy thuyết phục. Nhờ vậy, sau này ông đã trở thành một nhà

giáo dục nổi tiếng và người tổ chức, nghiên cứu khoa học xuất sắc.

Năm 1913, L.X.Vygotxki vào học khoa luật trường Đại học tổng hợp

Matxcơva và khoa lịch sử - triết học trường Đại học Xanhevxky. Trong thời gian học

đại học ông là một sịnh viên hiếm có. Nhờ khả năng đặc biệt và thái độ học tập

nghiêm túc, L.X.Vygotxki cùng một lúc đạt hiệu quả cao trên nhiều lĩnh vực học tập

và nghiên cứu: Luật, triết học, lịch sử, văn học, nghệ thuật, ngôn ngữ học, nhân chủng

học, tâm lý học và sinh lý thần kinh. Trong lĩnh vực triết học, L.X.Vygotxki đặc biệt

quan tâm tới quan điểm của Spinoza. Ông ấp ủ viết một công trình tâm lý học khai

thác tư tưởng của nhà triết học duy vật này. Tiếc rằng điều đó chưa kịp thành hiện

thực. Những kiến thức sâu sắc về triết học của L.X.Vygotxki, đã tạo thành nền tảng

vững chắc cho cả sự nghiệp khoa học sau này của ông.

Năm 1917, sau khi tốt nghiệp đại học, ông trở về dạy học ở quê hương

Gomen. Lĩnh vực nghiên cứu và giảng dạy của ông là Văn học, Lịch sử và Tâm lý

học. Tuy vậy, phần lớn thời gian ông dành cho việc nghiên cứu Văn học – nghệ thuật

và Tâm lý học.

Ngày 3 tháng 10 năm 1924, ông trình bày bản báo cáo áp dụng các phương

pháp nghiên cứu phản xạ học vào nghiên cứu tâm lý, trong đó có hai bài báo viết từ

hồi ở Gômen: Bây giờ chúng tôi dạy tâm lý học như thế nào? Và Kết quả nghiên cứu

thái độ của các học sinh bỏ học. Báo cáo này sau được sửa chữa, bổ sung và in trong

tập sách Các vấn đề của tâm lý học hiện đại. Chính trong báo cáo này ông đã kết luận

là Páplốp và Bécchêrép còn để tâm lý ở ngoài hành vi, tức là còn để nhị nguyên luận

trong tâm lý học. Bài báo đã gây ấn tượng mạnh trong giới khoa học và ông đã được

K.N.Coonhilov mời về làm việc tại Viện tâm lý học ở Matxcơva, bắt đầu 10 cống

hiến lớn lao cho tâm lý học. Từ năm 1924, L.X.Vygotxki được Bộ giáo dục Nga giao

trách nhiệm nghiên cứu tâm lý trẻ em khuyết tật. Năm 1925, ông sáng lập phòng thí

nghiệm tâm lý trẻ em có khuyết tật và đến năm 1929 chuyển thành Viện nghiên cứu

thực nghiệm tật học. Các tiếp xúc khoa học với bệnh viện thần kinh và những nghiên

cứu trẻ em khuyết tật có ảnh hưởng rất lớn tới tư tưởng tâm lý học của L.X.Vygotxki,

đặc biệt trong việc phân định các chức năng tâm lý, sự hình thành và hủy hoại chúng.

Từ năm 1925, ông bắt tay vào việc xây dựng một nền tâm lý học mới.

Những năm 1930 – 1934, sau khi đã đặt ra các vấn đề phương pháp luận

nghiên cứu, L.X.Vygotxki bắt tay vào việc giải quyết các vấn đề cơ bản của tâm lý

học theo quan điểm phương pháp luận mới, trong số đó có các khái niệm ý thức, xúc

cảm, động cơ…những vấn đề mà tâm lý học hành vi đã gạt bỏ trong các nghiên cứu

của họ. L.X.Vygotxki đã không thực hiện được việc này. [11, tr. 476 – 477]

1.1.2. Các công trình khoa học của L.X.Vygotxki

Theo các nhà nghiên cứu, trong tâm lý học của L.X.Vygotxki có điểm khác

biệt so với các nhà tâm lý học khác. Một mặt, ông hiểu rõ sự cần thiết phải xây dựng

nền tâm lý học mới, khách quan. Mặt khác, từ các công trình nghiên cứu của mình về

cảm xúc trong nghệ thuật, L.X.Vygotxki nhận thấy khiếm khuyết chủ yếu của các

trường phái tâm lý học khách quan đang thịnh hành như: tâm lý học hành vi, phản xạ

học, phản ứng học…là không thể chấp nhận được. Khuyết điểm chính của trường

phái này là đơn giản hóa các hiện tượng tâm lý, theo xu hướng sinh lý hóa các hiện

tượng đó và bất lực trong việc mô tả một cách phù hợp với các biểu hiện cấp cao của

tâm lý – ý thức người. L.X.Vygotxki thấy cần phải làm rõ các triệu chứng của căn

bệnh mà các trường phái tâm lý học khách quan hiện thời đang mắc phải, rồi sau đó

tìm cách chữa trị. Các tác phẩm “Phương pháp phản xạ học và tâm lý học” (1924), “Ý

thức như là một vấn đề tâm lý học hành vi” (1925) và “Ý nghĩa lịch sử của khủng

hoảng tâm lý học” (1926 – 1927) ra đời nhằm giải quyết nhiệm vụ trên.

Sau gần 10 năm hoạt động với tư cách là nhà tâm lý học chuyên nghiệp ông đã

có gần 180 công trình khoa học. Trong số đó có 135 công trình đã được in, còn 45

công trình sẽ được tiếp tục xuất bản. Nhiều cuốn sách của ông đã trở thành tài liệu

quý hiếm. Những tư tưởng cách mạng của L.X.Vygotxki nhanh chóng cuốn hút các

nhà tâm lý học trẻ đến với ông. Về lý luận, đã xây dựng được cơ sở của Thuyết lịch

sử văn hóa của sự phát triển tâm lý. Những luận điểm cơ bản học thuyết này được

L.X.Vygotxki trình bày trong nhiều tác phẩm của ông: “Phương pháp có tính chất

công cụ trong nhi đồng học” (1928), “Nguồn gốc phát sinh tư duy và ngôn ngữ”

(1929), “Bút ký về sự phát triển tâm lý của trẻ em bình thường” (1929), “Phương

pháp mang tính chất công cụ trong tâm lý học” (1930), “Công cụ và ký hiệu trong sự

phát triển trẻ em” (1930), “Phác họa về lịch sử hành vi” (1930 – cùng với

A.R.Luria), “Lịch sử phát triển các chức năng thần kinh cao cấp” (1930 – 1931). [18,

tr. 19 – 20]

Đặc biệt, nhiều tư tưởng then chốt của thuyết lịch sử văn hóa được trình bày

trong tác phẩm nổi tiếng nhất của ông: “Tư duy và ngôn ngữ” (1933 – 1934). Tư duy

và ngôn ngữ là công trình lớn nhất, và cũng có thể nói là quan trọng nhất, chủ yếu

nhất trong di sản Vygotxki để lại cho tâm lý học. Tác phẩm được Nhà xuất bản Xã

hội - Kinh tế ở Mátxcơva và Xanh Pêtécbua cho ra mắt bạn đọc vào năm 1934, đúng

vào năm tác giả qua đời. Hơn hai mươi năm sau, năm 1956, vào thời kỳ Liên Xô (cũ)

chống tệ sùng bái cá nhân, tác phẩm mới được in lần thứ hai. Tác phẩm đã được dịch

sang nhiều thứ tiếng, như tiếng Anh, tiếng Pháp, tiếng Đức, được xuất bản ở nhiều

nước trên thế giới và được các nhà tâm lý học trên thế giới đánh giá cao, coi là một

trong những công trình đáng kể nhất của tâm lý học thế kỷ XX. Tư duy và ngôn ngữ

của Vygotxki được coi là một trong những công trình đặt nền móng cho tâm lý học

phát triển - bộ môn tâm lý học mới bắt đầu hình thành từ đầu thế kỷ XX và đến giữa

nửa sau của thế kỷ mới ngày càng định hình rõ nét.

Các nhà nghiên cứu đã đánh giá sự đóng góp của tác phẩm này trong việc giải

quyết vấn đề tư duy và ngôn ngữ như sau: (1) Cách đặt vấn đề mới mẻ; (2) Đưa ra

một phương pháp nghiên cứu mới; (3) Đã chỉ ra rằng các nghĩa của từ được phát triển

trong lứa tuổi trẻ em và xác định được các mức độ phát triển chủ yếu của chúng; (4)

Phát hiện con đường đặc thù hình thành nên khái niệm khoa học ở trẻ, so sánh với

con đường hình thành các khái niệm tự phát và lý giải các quy luật chủ yếu của quá

trình phát triển này; (5) Phát hiện bản chất tâm lý của ngôn ngữ viết như là một chức

năng độc lập của ngôn ngữ và quan hệ giữa ngôn ngữ viết và tư duy; (6) Bằng con

đường thực nghiệm, phát hiện bản chất tâm lý của ngôn ngữ bên trong và quan hệ

giữa ngôn ngữ bên trong và tư duy.

Như vậy, những công trình nghiên cứu của L.X.Vygotxky đã trở thành nền

tảng cho rất nhiều nghiên cứu và học thuyết về phát triển nhận thức trong suốt nhiều

thập kỷ, đặc biệt là công trình của ông về Lý thuyết phát triển xã hội. Học thuyết của

Vygotxky tập trung vào vai trò nền tảng của tương tác xã hội đối với sự phát triển

nhận thức do ông có niềm tin mạnh mẽ rằng cộng đồng đóng vai trò trung tâm trong

tiến trình “hình thành nghĩa”.

Không giống với khái niệm của J.Piaget, cho rằng sự phát triển của trẻ em nhất

thiết phải đi trước khả năng học tập. Vygotxki tranh luận rằng “học tập là một khía

cạnh cần thiết và bao quát của tiến trình phát triển chức năng tâm lý nhân văn cụ thể,

được cấu trúc theo văn hóa”. Nói cách khác, học tập xã hội đi trước sự phát triển.

Vygotxki đã phát triển hướng tiếp cận văn hóa – xã hội về phát triển nhận

thức. Ông xây dựng học thuyết của mình vào cùng khoảng thời gian J.Piaget bắt đầu

triển khai ý tưởng, tức là khoảng những năm 20 – 30 của thế kỷ 20.

1.2. Lý luận về vùng phát triển gần nhất

1.2.1. Sự phát triển khái niệm khoa học và khái niệm thông thường ở trẻ em

Vấn đề về sự phát triển khái niệm khoa học trong độ tuổi học sinh là vấn đề

thực tiễn to lớn, thậm chí có tầm quan trọng hàng đầu, xét theo quan điểm các nhiệm

vụ đặt ra trước nhà trường trong quá trình dạy trẻ hệ thống các khái niệm khoa học.

Trong công trình nghiên cứu nổi tiếng “Sự phát triển khái niệm khoa học ở trẻ

em” (1934), L.X.Vygotxki đã đi đến kết luận về khái niệm khoa học và khái niệm

thông thường (khái niệm sinh hoạt); vạch ra con đường hình thành chúng. Có thể tóm

tắt như sau [11, tr. 550 – 551]:

Thứ nhất, nếu quy ước các tính chất sớm chín muồi và đơn giản hơn là các

tính chất cấp thấp, còn các tính chất phát triển muộn, phức tạp hơn, có liên quan tới

tính có ý thức và tính có chủ định của khái niệm là các tính chất cấp cao, thì khái

niệm thông thường của trẻ phát triển từ dưới lên trên, từ các thuộc tính thấp, sơ giản

lên các thuộc tính cao hơn, còn các khái niệm khoa học được phát triển từ trên xuống,

từ các thuộc tính phức tạp, cao hơn xuống các thuộc tính sơ đẳng, thấp hơn. Các khái

niệm thông thường nảy sinh do sự gặp gỡ trực tiếp với sự vật, rồi sau đó mới xuất

hiện ý thức về chính khái niệm và cuối cùng mới có thao tác trừu tượng với khái

niệm. Còn khái niệm khoa học nảy sinh một cách có ý thức ngay từ đầu.

Thứ hai, sự phát triển khái niệm thông thường và khái niệm khoa học giống

như phát triển của tiếng mẹ đẻ so với việc học tiếng nước ngoài. Ở đây về nguyên tắc

là khác nhau, nhưng chúng có quan hệ mối liên quan nội tại và hỗ trợ nhau với nhau:

phải đạt tới mức phát triển nào đó của các khái niệm thường ngày mới có thể lĩnh hội

khái niệm khoa học và nhận biết ra khái niệm khoa học. Ngược lại, khái niệm khoa

học giúp khái niệm thông thường có được các tính chất cao của khái niệm, như là tính

ý thức và tính chủ ý. Khái niệm thường ngày giúp các khái niệm khoa học có được

kinh nghiệm và sự ứng dụng cụ thể.

Mối liên hệ của tuyến phát triển khái niệm khoa học và tuyến phát triển khái

niệm thông thường là mối liên hệ giữa vùng phát triển và trình độ phát triển hiện có.

Tính ý thức và tính chủ ý nằm trong vùng phát triển gần, nhờ đó khái niệm khoa học

đưa các khái niệm thông thường lên từng bậc cao hơn. Sự hình thành và phát triển các

khái niệm khoa học không lặp lại con đường phát triển các khái niệm thông thường.

Việc lĩnh hội các khái niệm khoa học đi trước sự phát triển một chút. Nếu chỉ lặp lại

các khái niệm thông thường, thì không có chất lượng mới.

Thứ ba, trong hợp tác xã hội với người lớn (giáo viên) trẻ em làm được nhiều

việc hơn khi làm việc độc lập.

Thứ tư, quá trình hình thành và phát triển khái niệm khoa học ở trẻ em về đại

thể, trải qua ba cấp độ:

Cấp độ một: (các em nhỏ trước tuổi đi học) là cấp độ hỗn độn lộn xộn.

Cấp độ hai: Cấp độ tổ hợp. Cấp độ tư duy tổ hợp có hai pha: Pha thứ nhất (có

tính ổn định và kéo dài) là tổ hợp khái quát dựa trên kinh nghiệm cụ thể, trực quan và

thực tiễn của trẻ. L.X.Vygotxki gọi pha tổ hợp này là giả khái niệm. Pha thứ hai, quá

trình tổ hợp của trẻ dựa trên sự lựa chọn một nhóm đối tượng đã được khái quát, liên

kết theo một dấu hiệu chung. Tuy nhiên, các dấu hiệu này thực ra vẫn là bề ngoài.

L.X.Vygotxki gọi pha này là khái niệm tiềm tàng (khái niệm trong khả năng).

Cấp độ ba: cấp độ khái niệm, nó được xuất hiện khi một loạt dấu hiệu được

trừu tượng hóa, được tổng hợp.

Con đường hình thành khái niệm khoa học, như L.X.Vygotxki đã chỉ rõ, là đối

lập với con đường đi từ cái trừu tượng đến cái cụ thể, khi mà trẻ em ngay từ đầu đã

nhận thức được khái niệm tốt hơn là nhận thức đối tượng của khái niệm.

Vậy, sự phối hợp phát triển khái niệm thông thường và khái niệm khoa học ở

trẻ em như thế nào?

L.X.Vygotxki gắn vấn đề này với vấn đề rộng hơn, đó là dạy học và phát triển.

Từ những thực nghiệm ông đã rút ra kết luận rằng mức độ lĩnh hội khái niệm thông

thường chỉ rõ trình độ phát triển hiện thời của trẻ, còn mức độ lĩnh hội khái niệm

khoa học chỉ rõ vùng phát triển gần nhất của chúng hay nói cách khác mối quan hệ

giữa khái niệm khoa học và khái niệm thông thường bản chất là mối liên hệ giữa

vùng phát triển gần nhất và trình độ phát triển hiện thời trong trí tuệ trẻ em. Các khái

niệm khoa học cải tổ và nâng các khái niệm thông thường lên cấp cao, tạo ra vùng

phát triển gần nhất của chúng: cái mà trẻ hôm nay biết làm trong quá trình hợp tác thì

ngày mai có thể thực hiện một cách độc lập.

1.2.2. Dạy học và phát triển

Như ở phần trên chúng tôi đã trình bày, trong mối quan hệ giữa khái niệm

thông thường và khái niệm khoa học ở trẻ em có liên quan đến vấn đề rộng hơn đó là

mối quan hệ giữa dạy học và phát triển. Vậy quan điểm của L.X.Vygotxki về vấn đề

này như thế nào?

Trước L.X.Vygotxki, có rất nhiều quan điểm khác nhau về mối quan hệ giữa

hai yếu tố này, nhưng có thể khái quát chúng thành ba nhóm quan điểm chính:

Nhóm thứ nhất, quan niệm rằng quá trình phát triển của trẻ không phụ thuộc

vào quá trình giảng dạy. “Dạy là một quá trình bên ngoài bằng một cách nào đó phải

ăn khớp với sự phát triển của trẻ, không ảnh hưởng gì đến phát triển, và cũng chẳng

sử dụng các thành tựu của quá trình phát triển, không thúc đẩy và cũng không thay

đổi phương hướng phát triển” [3, tr. 244]. Dạy học bám đuôi phát triển, phát triển

luôn đi trước giảng dạy. J.Piaget là một trong số đó khi ông quan niệm kiến thức là tất

cả nhưng kết quả xuất phát từ sự chín về trí tuệ và thể chất cùng với kinh nghiệm.

Phát triển phải hoàn tất các giai đoạn trọn vẹn nào đó, các chức năng phải chín muồi

trước khi nhà trường bắt tay vào giảng dạy một số tri thức và kĩ năng nhất định cho

trẻ. Các giai đoạn phát triển luôn đi trước các giai đoạn giảng dạy. L.X.Vygotxki đã

phê phán nhóm lí thuyết này là “sẵn sàng loại bỏ mọi khả năng đặt vấn đề về vai trò

của chính việc giảng dạy trong tiến trình phát triển và sự chín muồi của các chức

năng nào được tích cực hóa trong tiến trình giảng dạy. Sự phát triển, sự chín muồi

các chức năng đó chỉ là tiền đề, chứ không phải là kết quả của giảng dạy. Giảng dạy

đặt lên trên sự phát triển, vì cơ bản chẳng thay đổi gì trong phát triển” [3, tr. 244].

Như thế, quan điểm của nhóm này dễ gây ngộ nhận rằng, dạy học đi theo sau sự phát

triển, và như thế tương ứng với một trình độ phát triển nào đó thì kiến thức truyền

dạy hay các bài tập dành cho học sinh không được vượt qua trình độ hiện có của

chúng.

Nhóm thứ hai, các tác giả thuộc nhóm này quan niệm rằng dạy học đồng nhất

với phát triển. Đánh giá về quan niệm này, L.X.Vygotxki nhận xét: “thoạt nhìn có

cảm giác quan điểm này tiến bộ hơn hẳn quan điểm trên, vì trong khi quan điểm tách

biệt hoàn toàn các quá trình dạy học và phát triển, thì quan điểm này gán cho dạy

học ý nghĩa quan trọng trong quá trình phát triển. Tuy nhiên, khi xem xét kĩ lưỡng

nhóm giải pháp thứ hai cho thấy rằng, trong toàn bộ sự đối lập của hai quan điểm,

vẫn có sự trùng hợp và rất giống nhau về vấn đề cơ bản” [18, tr. 210]. Nếu chú ý đến

mối quan hệ thời gian, thì quan điểm này trái ngược với quan điểm trên vì theo như

các tác giả của lý thuyết thứ nhất, các giai đoạn phát triển đi trước các quá trình giảng

dạy, sự chín muồi đi trước giảng dạy. L.X.Vygotxki tiếp tục nhận xét: “Đối với nhóm

lý thuyết này, sự phát triển và dạy học trùng hợp với nhau trong mọi điểm như hai

hình hình học bằng nhau, xếp chồng cái nọ lên cái kia. Như vậy câu hỏi ở đây cái gì

đi trước cái gì đi sau đã trở thành vô nghĩa. Tính đồng bộ đã trở thành giáo điều của

các lý thuyết loại này.” [18, tr. 211]. Điều đó có nghĩa là, một khi dạy học và phát

triển được đồng nhất, nghĩa là không có yếu tố nào làm động lực cho yếu tố nào và

rốt cuộc dạy học cũng không thúc đẩy sự phát triển, thậm chí là chúng không có mối

liên hệ gì với nhau. Như vậy, quan điểm này không có điểm gì tiến bộ hơn so với

quan điểm trên.

Nhóm thứ ba, đã cố gắng khắc phục tính cực đoan của cả hai nhóm trên, bằng

cách đơn giản kết hợp chúng với nhau. Một mặt, cho rằng quá trình phát triển như

một quá trình độc lập với dạy học, mặt khác chính dạy học, mà trong quá trình của

nó, trẻ em nhận được hàng loạt hình thức hành vi mới, có sự trùng hợp với phát triển.

Bằng cách đó, nhóm này đã tạo ra thuyết nhị nguyên về sự phát triển…

L.X.Vygotxki cho rằng nhóm thứ ba có ba điểm mới: “Một là, có sự kết hợp

hai quan điểm đối lập. Chính sự liên kết đã nói lên rằng chúng không có tính chất đối

lập, loại trừ nhau mà có cái gì đó chung về bản chất. Thứ hai, là tư tưởng về sự loại

trừ lệ thuộc lẫn nhau, ảnh hưởng lẫn nhau của hai quá trình cơ bản, mà đó là sự phát

triển được hình thành. Quá trình dạy học hình như là kích thích thúc đẩy quá trình

chín muồi về phía trước. Điểm cơ bản thứ ba của lý thuyết này là mở rộng vai trò của

dạy học trong quá trình phát triển…” [18, tr. 211].

Thông qua việc phân tích ba nhóm quan điểm trên, L.X.Vygotxki đã vạch ra

cách giải quyết đúng đắn hơn cho vấn đề quan hệ giữa dạy học và phát triển. Ông

nhận định rằng: “Việc dạy học bằng cách này hay cách khác cần phải phù hợp với

trình độ phát triển của trẻ - là một sự kiện được phát hiện và kiểm tra bằng thực

nghiệm nhiều lần. Đó là sự kiện không thể bàn cãi được. Việc dạy trẻ viết chính tả chỉ

bắt đầu từ một độ tuổi nhất định, và cũng chỉ từ độ tuổi nhất định trẻ mới có khả

năng nghiên cứu đại số” [18, tr. 213].

Tuy nhiên, ông cho rằng, muốn xác định mối quan hệ thực sự giữa quá trình

phát triển với khả năng học tập thì phải xác định ít nhất hai trình độ phát triển của trẻ

em: trình độ phát triển hiện tại và vùng phát triển gần nhất. Trình độ phát triển hiện

tại là trình độ phát triển các chức năng tâm lý của trẻ được hình thành như là kết quả

của các thời kì phát triển nhất định đã hoàn tất, được đánh giá thông qua khả năng

độc lập giải quyết công việc của trẻ. Ông dẫn ra ví dụ về hai đứa trẻ có tuổi khôn như

nhau (7 tuổi) nhưng một em chỉ cần sự giúp đỡ nhỏ cũng giải được bài tập dành cho

trẻ 9 tuổi, còn em kia chỉ có thể giải được bài tập cho trẻ bảy tuổi rưỡi. Và như vậy,

chỗ trẻ có khả năng thực hiện với sự giúp đỡ của người lớn – đó chính là vùng phát

triển gần của trẻ.

Ngược lại với các nhóm quan điểm về phát triển khác, L.X.Vygotxki kết luận:

“chỉ có cách dạy nào đi trước sự phát triển mới là tốt” [18, tr. 215]. Trên cơ sở đó,

ông phê phán quan điểm dạy học cũ, được định hướng theo trình độ phát triển của trẻ

và chỉ giới hạn ở đó, không vượt ra ngoài phạm vi của trình độ đó như sau: “Dạy học

định hướng vào các chu trình phát triển đã kết thúc tỏ ra không có hiệu lực, theo

quan điểm phát triển chung của trẻ em, không đưa đến quá trình phát triển mà chỉ

bám theo đuôi nó” [18, tr. 215]. Và ông cũng dẫn ra bài học chua xót từ việc dạy học

cho trẻ chậm phát triển trí tuệ trước đây ở Liên Xô cũ: “Như đã biết, các công trình

nghiên cứu đã xác định rằng, trẻ chậm phát triển trí tuệ có khả năng tư duy trừu

tượng kém. Từ đó công tác dạy học của các trường chuyên dạy trẻ khuyết tật đã rút

ra kết luận có vẻ đúng đắn là việc dạy trẻ cần phải dựa vào tính trực quan. Tuy

nhiên, kinh nghiệm rất lớn trong quan hệ này đã làm cho nền giáo dục trẻ có tật bị

thất vọng sâu sắc. Hóa ra là, hệ thống dạy học hoàn toàn dựa trên tính trực quan

không những không giúp trẻ khắc phục được những khiếm khuyết tự nhiên, mà còn

củng cố khiếm khuyết đó, gắn trẻ hoàn toàn vào tư duy trực quan và chôn sâu tất cả

những mầm mống yếu ớt của tư duy trừu tượng có trong trẻ” [18, tr. 215].

Một cách chung nhất, khi nghiên cứu về mối quan hệ giữa dạy học và phát

triển L.X.Vygotxki đưa ra hai luận điểm quan trọng: Thứ nhất, các quá trình phát

triển không trùng hợp với các quá trình dạy học, rằng các quá trình phát triển đi liền

sau quá trình dạy học, tạo ra vùng phát triển gần nhất. Thứ hai, dạy học và phát triển

không bao giờ diễn ra một cách đồng đều và song song với nhau.

1.2.3. Vùng phát triển gần nhất và dạy học vùng phát triển gần nhất.

1.2.3.1. Khái niệm vùng phát triển gần nhất

Khái niệm vùng phát triển gần (the Zone of Proximal Development) do

L.X.Vygotxki đưa ra trong một bài giảng vào tháng 3 năm 1933. Sau này, Harry

Daniels và Hammond Jenifer dẫn khái niệm vùng phát triển gần ở trang 86 trong tác

phẩm Vygotxki - 1978 như sau:

“Vùng phát triển gần là khoảng cách giữa trình độ phát triển hiện tại của

người học được xác định qua việc giải quyết vấn đề một cách độc lập và trình độ

phát triển tiềm tàng được xác định thông qua sự hướng dẫn của người lớn hay cộng

tác với các thành viên cùng trang lứa có khả năng hơn.” [15, tr. 15].

Hình 1.1. Minh họa vùng phát triển gần nhất

Việc giải quyết một vấn đề nào đó liên quan chặt chẽ đến trình độ của học

sinh. Với trình độ phát triển hiện tại, trẻ có thể tự mình hoàn tất công việc tương ứng

với tuổi trí tuệ của chúng. Nhưng nếu công việc khó khăn hơn một chút thì chúng

thường không thể hoàn tất trên khả năng của chính bản thân mà cần có sự hỗ trợ của

người có nhiều kinh nghiệm hơn, thường là người lớn mà ở trường học chính là các

thầy cô giáo. Ở một mức độ nào đó, khi trẻ tự hoàn tất một công việc nào đấy thì coi

như sự phát triển liên quan đến các kĩ năng đáp ứng cho công việc đã kết thúc một

giai đoạn của nó để bước sang một giai đoạn mới ở trình độ cao hơn gần đó. Chúng ta

dạy là tổ chức cho trẻ làm việc trong vùng này để tạo cơ hội cho nó hoàn tất chu trình

một cách tương tự như trước đó. Các giáo viên và các bậc cha mẹ đóng vai trò hướng

dẫn trẻ em đạt được khả năng trong một nhiệm vụ cụ thể cung cấp thông tin phản hồi

về tiến độ phát triển của trẻ.

Như vậy, vùng phát triển gần nhất đặc trưng bởi sự khác biệt giữa khả năng

mà trẻ có thể tự giải quyết và cái mà nó sẽ làm được nhờ sự giúp đỡ của người lớn,

của giáo viên. Như ông đã đưa ra ý kiến: vấn đề trung tâm của tâm lý học giảng dạy

chính là làm sao cho trẻ tự nâng cao khả năng hợp tác với người lớn lên trình độ cao

hơn của các khả năng trí tuệ, tức là toàn bộ ý nghĩa của giảng dạy là làm cho trẻ phát

triển; giảng dạy là một nguồn chủ yếu để phát triển các khái niệm ở trẻ, là một lực

lượng mạnh nhất định hướng và quyết định toàn bộ sự phát triển trí tuệ của chúng.

Khái niệm vùng phát triển gần mà L.X.Vygotxki đưa ra đã mở ra một hướng

dạy học mới có nhiều triển vọng, dạy học có nhiều sự hỗ trợ và sự hỗ trợ đó nhằm

giúp các em tiếp thu kiến thức trên chính khả năng của mình.

1.2.3.2. Dạy học trong vùng phát triển gần nhất

L.X.Vygotxki đã đưa ra khái niệm vùng phát triển gần nhất trong một bài

giảng vào năm 1933, một năm trước khi ông mất và cách thức tiến hành dạy học

trong phạm vi VPTGN vẫn là một bí mật. Do đó, việc vận dụng nó vào quá trình dạy

học thật sự không đơn giản.

Vậy dạy học vùng phát triển gần nhất có phải là một phương pháp hay không?

Để trả lời cho câu hỏi này một số nhà tâm lý giáo dục học sau này như Mercer,

Bruner…đã cố gắng tìm cách thức tiến hành dạy học trong vùng phát triển gần và đã

thu hút sự quan tâm đông đảo của các nhà sư phạm trên thế giới. Có rất nhiều công

trình nghiên cứu về dạy học vùng phát triển gần đã được áp dụng cho các môn học cụ

thể như toán, tiếng Anh, lịch sử…nhưng chưa có một học giả nào đề cập nó như một

phương pháp.

Chúng ta đều biết rằng, phương pháp dạy học là cách thức hoạt động của giáo

viên trong việc tổ chức, chỉ đạo các hoạt động học tập nhằm giúp học sinh chủ động

đạt được các mục tiêu dạy học. Theo ý này, chúng tôi cho rằng có lẽ coi dạy học vùng

phát triển gần nhất như là một lý thuyết, một hệ thống các quan điểm mà từ đó chúng

ta tìm ra phương pháp dạy học hợp lý. Điều này được chúng tôi mạnh dạn cụ thể hóa

trong chương hai với 3 biện pháp từ sự nghiên cứu lí thuyết vùng phát triển gần nhất.

Vấn đề thứ hai cũng không kém phần khó khăn là xác định trình độ phát triển

hiện tại và trình độ phát triển gần của học sinh như thế nào? Theo ý kiến của các

chuyên gia tâm lý giáo dục nên lấy kiến thức cơ bản của sách giáo khoa để đánh giá

trình độ hiện tại của học sinh. Sách giáo khoa được biên soạn một cách cơ bản, toàn

diện, chuẩn hóa và áp dụng cho mọi đối tượng học sinh. Chúng ta chỉ dừng lại đúng

những gì học sinh có thể học được từ sách giáo khoa để xác định.

Vấn đề cuối cùng, chúng ta tổ chức cho học sinh làm việc trong vùng phát

triển gần nhất bằng cách nào? Xem xét khái niệm vùng phát triển gần mà chúng tôi

dẫn ra ở trên, có thể thấy rằng tổ chức cho trẻ làm việc trong vùng phát triển gần của

các em luôn phải có sự hỗ trợ của các thành viên có nhiều kinh nghiệm hơn. Theo

cách này, các nhà tâm lý học nghiên cứu về vùng phát triển gần nhất đưa ra khái niệm

“bắc giàn/nâng đỡ” nhằm chỉ ra cách thực hiện dạy học trong vùng phát triển gần.

Bắc giàn trong nghiên cứu giáo dục học với nghĩa ẩn dụ rằng “theo một cách

tương tự người thợ xây cung cấp những hỗ trợ tạm thời nhưng cần thiết, người giáo

viên cần đưa ra những cấu trúc khuyến khích tạm thời có tác dụng hỗ trợ người học

mở mang hiểu biết các khái niệm và các khả năng mới. Khi người học phát triển khả

năng điều khiển về những yếu tố này, người thầy cần rút đi sự khuyến khích, chỉ đưa

ra thêm các sự khuyến khích cho sự mở rộng chúng hoặc các phần việc, hiểu biết và

khái niệm mới” [16, tr. 1-2].

Trong bối cảnh của lớp học, bắc giàn được hiểu là sự giúp đỡ có tính tạm thời

của giáo viên nhằm giúp đỡ học sinh hoàn tất công việc hay mở mang hiểu biết mới,

sao cho sau đó các em sẽ có thể tự hoàn thành công việc một mình. Như vậy, dạy học

không chỉ là dạy nội dung để trang bị kiến thức cơ sở mà phải dạy cho người học

cách học để có thể tự học. Bắt đầu từ nhà trường, các em học cách tìm lấy kiến thức

với sự hướng dẫn của giáo viên và sau đó là tự mình tra cứu, tham khảo, trao đổi

thông tin làm cơ sở cho việc tự học suốt đời về sau. Do đó bắc giàn là một công cụ

hữu hiệu để giúp học sinh thực hiện điều đó vì nó dựa vào trình độ hiện tại để tạo ra

vùng phát triển gần, tổ chức cho học sinh làm việc trong vùng phát triển gần.

Tuy nhiên, chúng ta không nên nhầm lẫn ý nghĩa của bắc giàn trong dạy học

vùng phát triển gần với sự hỗ trợ thông thường dễ gây thụ động. Thực hiện bắc giàn,

giáo viên tổ chức cho học sinh tham gia vào công việc trong phạm vi vùng phát triển

gần của chúng. Qua đó, các em học cách giải quyết công việc dựa trên trình độ hiện

tại của mình chứ không dựa dẫm vào người khác trên từng phần của công việc. Khi

thực hiện bắc giàn, giáo viên chia nhỏ công việc thành nhiều phần việc theo một cấu

trúc nào đó mà với trình độ hiện tại, học sinh có thể hoàn tất được. Nhiệm vụ của

người dạy là tổ chức làm việc sao cho có sự kết nối giữa các phần việc thành một bộ

khung hoàn chỉnh. Ít nhất sau khi hoàn tất công việc, người học nhận ra mối quan hệ

giữa các phần việc với nhau và với cả công việc, giữa kết quả với yêu cầu đặt ra ban

đầu. Từ đó, các em học cách sắp xếp các phần việc để có thể giải quyết một công

việc.

Thực tế cho thấy những em học sinh siêng năng trong các công việc ở gia đình

cũng là những học sinh giỏi ở trường. Đơn giản là vì các em học được cách sắp xếp

cái gì trước, cái gì sau để hoàn tất một công việc phức tạp giống như thứ tự các phép

tính khi thực hiện một bài tập. Ngược lại, một số em lười nhác lại gặp nhiều khó khăn

khi giải các bài tập nhiều bước vì chúng không quen sắp xếp từng phần việc trong

công việc.

Nói tóm lại, sau khi hoàn tất công việc với nhiều phần việc nhỏ hơn, học sinh

học được cách có thể giải quyết được công việc bằng cách sắp xếp hợp lý các phần

việc. Như thế các em vừa học được nội dung chương trình lại học được cách học để

có thể tự học, như quan điểm của L.X.Vygotxki áp dụng cho dạy học vùng phát triển

gần: Những gì trẻ có thể làm hôm nay với sự giúp đỡ thì ngày mai chúng có thể tự

làm một mình.

1.2.4. Các giai đoạn học tập trong vùng phát triển gần nhất

Như chúng tôi đã trình bày, theo quan điểm của L.X.Vygotxki, trong suốt quá

trình phát triển của trẻ thường diễn ra hai trình độ: hiện tại và vùng phát triển gần

nhất. Về phương diện thực tiễn, trình độ hiện tại biểu hiện qua tình huống tự trẻ độc

lập giải quyết nhiệm vụ không cần bất kì sự giúp đỡ nào từ bên ngoài, còn trình độ

phát triển gần nhất được thể hiện trong tình huống trẻ hoàn thành nhiệm vụ khi có sự

hợp tác, giúp đỡ của người khác, còn nếu tự mình thì đứa trẻ sẽ không thực hiện

được.

Như vậy, hai trình độ phát triển của trẻ, thể hiện hai mức độ chín muồi của các

chức năng tâm lý ở các thời điểm khác nhau. Đồng thời chúng luôn vận động, vùng

phát triển gần hôm nay thì ngày mai sẽ trở thành trình độ hiện tại và xuất hiện vùng

phát triển gần mới.

Có 4 giai đoạn học tập trong vùng phát triển gần nhất [1, tr. 21]:

Giai đoạn 1: Việc học tập được trợ giúp bởi người khác: Ở giai đoạn này, sự

hiểu biết của HS còn hạn chế, GV hướng dẫn bằng cách đưa ra vấn đề, nêu định

hướng, làm mẫu,…HS nhận thức vấn đề và làm theo, qua đó HS sẽ dần dần hiểu

được cách thức tiến hành các hoạt động và thấy được mục đích của hành động đã

thực hiện dưới sự hướng dẫn của GV. Ngoài ra, GV có thể đưa ra các câu hỏi gợi mở,

cung cấp các thông tin phản hồi kịp thời đối với các vấn đề có vấn đề phức tạp hơn.

Trong suốt giai đoạn này, sau khi giao nhiệm vụ cho HS trách nhiệm của GV giảm

dần trong khi đó trách nhiệm của HS tăng dần lên. Điều này hoàn toàn phù hợp với

nguyên tắc chuyển giao (Bruner, 1983). Các nhiệm vụ học tập giao cho HS chuyển từ

việc điều tiết có sự trợ giúp sang sự tự điều tiết. Do vậy, đây là giai đoạn mà vai trò

của người giúp đỡ là rất quan trọng nhằm hướng dẫn HS hoàn thành nhiệm vụ học

tập một cách hiệu quả. Mức độ ảnh hưởng của môi trường bên ngoài phụ thuộc vào

bản chất của nhiệm vụ học tập được giao và khả năng của HS.

Giai đoạn 2: HS tự thực hiện nhiệm vụ học tập được giao mà không nhận

được sự giúp đỡ từ người khác: Đây là giai đoạn HS độc lập nghiên cứu nhiệm vụ và

thực hiện nhiệm vụ đó trên cơ sở có sự hướng dẫn từ trước. HS sẽ phải thực hiện tất

cả các khâu cơ bản của nhiệm vụ này thông qua những kiến thức mà các em đã được

học, những bài tập mẫu, tham khảo các bài tập có liên quan. Đây chính là giai đoạn

người học tự đúc kết lại kinh nghiệm, từ đó có những hướng giải quyết vấn đề và tự

đặt ra vấn đề mới hơn cần giải quyết. Nói như vậy không có nghĩa HS tự động thực

hiện nhiệm vụ được giao mà họ được hướng dẫn, trợ giúp bởi chính mình.

Giai đoạn 3: HS thực hiện các nhiệm vụ một cách tự động: Đây là giai đoạn

HS tiến tới vùng phát triền gần nhất khác. Trong giai đoạn này thì sự trợ giúp từ

người khác là không cần thiết. Từ hai giai đoạn trên HS đã có kinh nghiệm và đủ khả

năng độc lập giải quyết vấn đề, HS thấy được sự cần thiết phải giải quyết vấn đề đã

đặt ra trước đó.

Giai đoạn 4: HS tiến tới vùng phát triển gần nhất tiếp theo trong dãy: Quá

trình phát triển của HS diễn ra qua nhiều vùng phát triển gần nhất. Khi HS tiến tới

vùng phát triển gần nhất trong dãy thì sẽ có thêm nhiều vùng phát triển gần nhất khác.

Các vùng phát triển gần nhất có độ khó tăng dần, vùng phát triển gần nhất của giai

đoạn sau sẽ khó khăn và phức tạp hơn vùng phát triển gần nhất trước đó. Khi đó, sự

trợ giúp của người khác góp phần định hướng cho những quá trình tiếp theo. Cứ như

vậy các giai đoạn được lặp lại giúp HS đạt tới trình độ phát triển cao hơn.

1.2.5. Vùng phát triển gần nhất đặc thù của mỗi HS

L.X.Vygotxki chỉ ra rằng ở những trẻ em khác nhau có vùng phát triển gần

nhất khác nhau, nó phụ thuộc rất nhiều vào trình độ và năng lực của thầy giáo, đặc

biệt phụ thuộc vào nhiệm vụ học tập trước học sinh thông qua “nghệ thuật” đưa ra

các “câu hỏi nêu vấn đề” và “các câu hỏi gợi ý”. Thừa nhận lý thuyết “vùng phát triển

gần nhất” của L.X.Vygotxki cũng có nghĩa phải tích cực hoá hoạt động nhận thức của

học sinh. Vì thế có thể nói tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh là một biện

pháp không thể thiếu được trong dạy học theo quan điểm: “Dạy học là phát triển”.

Bởi một sự gợi ý khéo léo có tính chất gợi mở của giáo viên sẽ có tác dụng kích thích

tính tự lực và tư duy sáng tạo của học sinh, lôi kéo họ chủ động tham gia vào quá

trình dạy học một cách tích cực, tự giác J.Piaget đã kết luận: người ta không học được

gì hết, nếu không phải trải qua sự chiếm lĩnh bằng hoạt động, rằng học sinh phải phát

minh lại khoa học, thay vì nhắc lại những công thức bằng lời của nó.

Trong quá trình học tập cùng với sự giúp đỡ từ người khác có HS tiếp thu kiến

thức và vận dụng kiến thức được ngay, có trường hợp ngược lại HS phải nhờ đến sự

trợ giúp từ phía bạn bè và GV nhiều lần thì mới vận dụng được kiến thức đã học. Do

vậy, trong quá trình giảng dạy GV cần xác định được VPTGN của từng đối tượng HS

để từ đó đưa ra phương án dạy học phù hợp cho từng đối tượng để các em có thể tiến

tới vùng phát triển gần nhất một cách dễ dàng và thuận lợi. Vùng phát triển gần nhất

HS 1

HS 2

đặc thù của mỗi HS được thể hiện qua sơ đồ sau:

Hình 1.2. Đặc thù về VPTGN của mỗi HS

Quan sát hình 1.2 ta thấy: Trình độ nhận thức của 2 HS là khác nhau. HS 2 đòi

hỏi nhiều sự trợ giúp hơn HS 1 để có thể tiến tới VPTGN. HS 1 cần ít sự trợ giúp hơn

và có khả năng tiến tới VPTGN rộng hơn.

1.3. Thực trạng của việc dạy và học môn Toán hiện nay

Sự phát triển kinh tế - xã hội trong bối cảnh toàn cầu hoá đặt ra những yêu cầu

mới đối với người lao động, do đó cũng đặt ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp giáo

dục thế hệ trẻ và đào tạo nguồn nhân lực. Giáo dục cần đào tạo đội ngũ nhân lực có

khả năng đáp ứng được những đòi hỏi mới của xã hội và thị trường lao động, đặc biệt

là năng lực hành động, tính năng động, sáng tạo, tính tự lực và trách nhiệm cũng như

năng lực cộng tác làm việc, năng lực giải quyết các vấn đề phức hợp.

Nhằm đáp ứng với những đòi hỏi mới của sự nghiệp phát triển kinh tế - xã hội,

trong những năm gần đây đổi mới PPDH là một trong những nhiệm vụ quan trọng

của cải cách giáo dục nói chung cũng như cải cách cấp trung học phổ thông. Mục

tiêu, chương trình, nội dung dạy học mới đòi hỏi việc cải tiến PPDH và sử dụng

những PPDH mới. Việc đổi mới phương pháp dạy học để giải quyết mâu thuẫn giữa

yêu cầu đào tạo con người mới với thực trạng lạc hậu nói chung của phương pháp dạy

học còn lạc hậu ở nước ta hiện nay. Nhu cầu này đã được thể hiện bức xúc trong các

nghị quyết của Đảng, các văn bản chỉ đạo của Nhà nước.

Một trong những định hướng cơ bản của việc đổi mới giáo dục là chuyển từ

nền giáo dục mang tính hàn lâm, kinh viện, xa rời thực tiễn sang một nền giáo dục

chú trọng việc hình thành năng lực hành động, phát huy tính chủ động, sáng tạo của

người học. Định hướng quan trọng trong đổi mới PPDH là phát huy tính tích cực, tự

lực và sáng tạo, phát triển năng lực hành động, năng lực cộng tác làm việc của người

học. Đó cũng là những xu hướng quốc tế trong cải cách PPDH ở nhà trường phổ

thông.

Trong những năm gần đây, cùng với việc đổi mới phương pháp dạy học thì

việc dạy môn Toán ở trường THPT ngày càng được nâng cao và đạt được nhiều thành

tựu. Tuy nhiên, thực trạng dạy và học vẫn còn tồn tại nhiều vấn đề. Để có cơ sở thực

tiễn cho việc đề xuất các biện pháp ứng dụng lý thuyết “vùng phát triển gần nhất” vào

dạy học môn Toán nói chung và trong dạy học một số yếu tố Đại số và Giải tích lớp

11 nói riêng, chúng tôi tiến hành quan sát thực trạng dạy và học môn Toán, đồng thời

tham khảo ý kiến của một số GV THPT có kinh nghiệm và xin rút ra một số nhận xét

Về phía giáo viên: Giáo viên mặc dù đã có ý thức đổi mới phương pháp dạy

học nhưng việc thực hiện chỉ mới mang tính chất hình thức, thử nghiệm chứ chưa

đem lại hiệu quả như mong muốn. Việc sử dụng phối hợp các PPDH cũng như sử

dụng các PPDH phát huy tính tích cực, tự lực và sáng tạo còn ở mức độ hạn chế; Đặc

biệt là thuyết trình vẫn chiếm một vị trí chủ đạo trong các PPDH ở các trường THPT

nói chung, hạn chế việc phát huy tính tích cực và sáng tạo của HS, ít chú trọng đến

cách dẫn dắt HS tìm hiểu khám phá và lĩnh hội kiến thức.

Thực tế dạy học Toán hiện nay trong trường THPT có thể mô tả như sau: Phần

lý thuyết, GV dạy theo từng bài theo các bước, đặt vấn đề, giảng giải để dẫn HS tới

kiến thức, kết hợp với đàm thoại vấn đáp, củng cố kiến thức bằng bài tập, hướng dẫn

công việc học tập ở nhà. Như thế bước củng cố và vận dụng, giáo viên chưa quan tâm

chú ý đến việc khai thác, mở rộng và chưa chỉ ra cho học sinh “sợi chỉ” liên kết giữa

các kiến thức cũ và mới với nhau tạo thành vốn kiến thức để các em dễ nhớ, dễ liên

tưởng và biết cách sử dụng vào các tình huống cụ thể.

Phần bài tập, quy trình là HS chuẩn bị ở nhà hoặc chuẩn bị ít phút tại lớp, GV

gọi một vài HS lên bảng chữa, những HS được nhận xét lời giải, GV sửa hoặc đưa ra

lời giải mẫu và qua đó củng cố hiểu biết cho HS. Giáo viên chưa quan tâm đến việc

tạo tình huống làm xuất hiện bài toán, nặng về chữa bài tập mà không tạo ra sự “bắc

giàn” để giúp học sinh tham gia vào quá trình tìm lời giải của bài toán một cách hiệu

quả nhất. Một số bài toán sẽ được phát triển theo hướng khái quát hóa, đặc biệt hóa

cho đối tượng HS khá giỏi, chưa chú ý đến phân bậc hoạt động, không phù hợp với

vùng phát triển gần nhất của các em, chưa làm cho các em có sự tự tin, sáng tạo.

Giáo viên chủ động cung cấp kiến thức cho học sinh, áp đặt những kinh

nghiệm, hiểu biết của mình tới học sinh. Nhiều giáo viên chưa chú trọng đến việc tiếp

thu, vận dụng kiến thức của học sinh cũng như việc chỉ ra cho học sinh hướng tích

cực chủ động để thu nhận kiến thức. Do đó, có những giờ dạy được giáo viên tiến

hành như một giờ diễn thuyết (ham nói). Điều này cũng do một phần vì giáo viên sợ

“cháy” giáo án (Giáo viên hỏi nhưng học sinh không trả lời được hoặc học sinh vẫn

phát biểu nhưng chưa ra vấn đề, cho nên giáo viên làm thay).

Do quá đề cao kiến thức hàn lâm nên người dạy chưa chú trọng đến tính

thực tiễn trong dạy học lý thuyết và cả thực hành. Bài học trên lớp và nhịp thở cuộc

sống bên ngoài vẫn còn một khoảng cách xa vời. Đặc biệt, hành trình trang bị kỹ

năng sống, kỹ năng giải quyết các tình huống thực tiễn cho học sinh thông qua khả

năng vận dụng tri thức tổng hợp vẫn còn một khoảng trống chưa được lấp đầy.

Những yếu tố cản trở việc đổi mới PPDH được GV nhận định ở mức độ cao là

mâu thuẫn giữa khối lượng kiến thức và thời gian dạy học, hạn chế về điều kiện cơ sở

vật chất và thiết bị dạy học, tâm lý học đối phó với thi cử, việc đánh giá và thi cử

chưa khuyến khích đổi mới PPDH. Những khó khăn về đời sống, những vấn đề về

quản lý cũng là những cản trở quan trọng đối với việc đổi mới PPDH của GV.

Về phía HS: Tồn tại lớn nhất là thói quen thụ động, quen nghe, quen chép, ghi

nhớ và tái hiện lại một cách máy móc, rập khuôn những gì giáo viên đã giảng. Đa

phần học sinh chưa có thói quen chủ động tìm hiểu, khám phá bài học, lười suy nghĩ.

Chỉ biết suy nghĩ diễn đạt bằng những ý vay mượn, bằng những lời có sẵn, lẽ ra phải

làm chủ tri thức thì lại trở thành nô lệ của sách vở. Học sinh chưa có hào hứng và

chưa quen bộc lộ những suy nghĩ, tình cảm của mình trước tập thể, cho nên khi phải

nói và viết, học sinh cảm thấy khá khó khăn. Có quá nhiều lỗ hổng kiến thức vì vậy

HS dễ chán nản và không ham thích học Toán. Học tập một cách rập khuôn máy

móc. Chưa nắm được bản chất vấn đề và các phương pháp giải. Khả năng tiếp thu của

HS còn hạn chế và chưa linh động trong việc xử lý các tình huống Toán học đơn giản

nên kết quả học tập chưa cao.

Đa phần HS chưa xác định đúng được động cơ và mục đích học tập, không thể

hiện được ý thức phấn đấu, vươn lên. Chưa có sự quan tâm, hỗ trợ đúng đắn từ phía

phụ huynh.

Từ thực trạng nói trên, việc đổi mới PPDH thực sự là yêu cầu cấp bách của

ngành giáo dục, từng bước hình thành năng lực hành động, đồng thời phát huy tính

tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh. Nền tảng này giúp các em bồi dưỡng

phương pháp tự học, mở rộng vùng phát triển gần nhất và tự mình hình thành khả

năng học tập suốt đời.

Kết luận chương 1.

Từ nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các quan điểm của nhiều tác giả, trong

chương này, chúng tôi đã trình bày một cách khái quát các vấn đề về tâm lý học

Vygotxki, những lý luận chung nhất về VPTGN, về mối quan hệ giữa dạy học và

phát triển…những nghiên cứu khoa học chỉ ra rằng lí thuyết của Vygotxki hứa hẹn

sự thành công khác biệt trong giảng dạy môn Toán. Nó không những là một công cụ

mang phương pháp sư phạm rất tích cực, mà còn tạo ra một môi trường văn hóa xã

hội lành mạnh trong học tập cho các em học sinh. Hiểu lí thuyết của Lev Vygotxky

và không ngừng nâng cao kiến thức sẽ giúp công việc giảng dạy môn Toán tại các

trường THPT giữ được vị trí và lợi thế cạnh tranh trong nền giáo dục hiện đại toàn

cầu.

Mặt khác để làm cơ sở cho các giải pháp của mình, chúng tôi đã tiến hành

quan sát thực trạng dạy và học môn Toán trên địa bàn một số trường THPT ở Thái

Nguyên để tìm hiểu khả năng vận dụng lý thuyết VPTGN vào dạy học Đại số và Giải

tích lớp 11. Có một thực tế rằng, giáo viên chưa quan tâm, chú ý tới việc khai thác,

mở rộng kiến thức liên kết giữa cũ và mới để các em dễ nhớ, liên tưởng và vận dụng

linh hoạt. Việc tạo “giàn giáo” giúp các em lĩnh hội tri thức còn hạn chế.

Việc nghiên cứu lý luận và thực tiễn ở chương này là cơ sở quan trọng để

chúng tôi đưa ra nhóm biện pháp cho việc vận dụng lí thuyết về VPTGN trong dạy

học nội dung Đại số và Giải tích lớp 11 ở chương 2.

Chương 2

VẬN DỤNG LÍ THUYẾT VỀ VPTGN TRONG DẠY HỌC

MỘT SỐ YẾU TỐ ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11

2.1. Một số vấn đề về nội dung Đại số và Giải tích lớp 11 ở trường THPT

Trước khi học giải tích, HS có một thời gian dài học môn Đại số. Đại số nghiên

cứu những đối tượng “tĩnh tại”, “rời rạc” và “hữu hạn”. Còn đối tượng của giải tích

có bản chất “biến thiên”, “liên tục” và “vô hạn”. Sự đối lập này dẫn tới những kiểu tư

duy khác nhau. Kiểu tư duy trong đại số là kiểu tư duy “hữu hạn”, “rời rạc”. Còn giải

tích đặc trưng bởi kiểu tư duy “vô hạn”,“liên tục”, mà khái niệm giới hạn là biểu

tượng của kiểu tư duy này. Kiểu tư duy hữu hạn không phù hợp với các vấn đề liên

quan đến tính vô hạn. Điều này dẫn đến phương pháp và kỹ thuật sử dụng có sự khác

biệt. Chính sự khác biệt về bản chất đối tượng, kiểu tư duy, phương pháp và kỹ thuật

đặc trưng giữa đại số và giải tích tạo cho GV và HS những khó khăn nhất định trong

quá trình dạy học. Bởi HS đã quen thuộc với đối tượng, kiểu tư duy, phương pháp kỹ

thuật của đại số. Trong giải tích các khái niệm như: giới hạn, hàm số liên tục, đạo

hàm là những khái niệm cơ bản và quan trọng, đồng thời là những khái niệm điển

hình của tư tưởng trong giải tích. Đây là những khái niệm khó dạy và khó hiểu trong

chương trình. Trong dạy học nếu HS tự xây dựng được các khái niệm dãy số có giới

hạn hữu hạn, giới hạn hữu hạn của hàm số, hàm số liên tục tại một điểm, hàm số liên

tục trên một khoảng, đoạn, đạo hàm của hàm số tại một điểm thì sẽ thuận lợi cho việc

xây dựng các kiến thức giải tích sau này.

Chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 là sự tiếp nối kiến thức Đại số lớp 10

nhưng được nâng cao và bổ sung thêm nhiều kiến thức mới nhằm chuẩn bị cho

chương trình lớp 12. Về phần Đại số lớp 11, HS được ôn luyện về lượng giác và cách

giải các phương trình lượng giác cơ bản. Đồng thời, thông qua chương tổ hợp và xác

suất, HS sẽ tìm hiểu các ứng dụng của toán học vào các lĩnh vực trong cuộc sống.

2.2. Một số biện pháp sư phạm vận dụng lý thuyết về vùng phát triển gần nhất

vào DH nội dung Giải tích trong chương trình Đại số và Giải tích 11

2.2.1. Biện pháp 1: Cung cấp một số tri thức phương pháp để mở rộng VPTGN

và đưa VPTGN về vùng phát triển hiện tại

- Mục đích: Sau mỗi quá trình học tập, người học không chỉ đơn thuần thu được

những tri thức khoa học (khái niệm mới, định lí mới,…) mà còn phải nắm được

những tri thức phương pháp (dự đoán, giải quyết, nghiên cứu,…) đó chính là những

tri thức phương pháp vừa là kết quả vừa là phương tiện của hoạt động tạo cho HS một

tiềm lực quan trọng để hoạt động tiếp theo. Như vậy, tri thức phương pháp là một

dạng tri thức khoa học trong đó tri thức phương pháp là cách thức thực hiện, phương

pháp suy nghĩ hay những phương pháp để gải quyết một vấn đề cụ thể nào đó. Chẳng

hạn như sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, quy tắc tìm cực trị của hàm số hay quy

tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn… đó là tri

thức phương pháp. Trong quá trình dạy học các tri thức truyền thụ cho HS thường có

các dạng:

+ Tri thức sự vật: là những hiểu biết về hiện thực khách quan mà con người đã

tích lũy được. Trong môn toán thường là một khái niệm (ví dụ khái niệm véctơ), một

định lí (chẳng hạn định lí hàm số sin, cũng có khi là một yếu tố lịch sử, một ứng dụng

toán học).

+ Tri thức phương pháp gồm có hai loại là những phương pháp có tính chất

thuật giải (ví dụ như giải phương trình bậc hai) và những phương pháp có tính chất

tìm tòi.

+ Tri thức chuẩn thường liên quan với những chuẩn mực nhất định, chẳng hạn

quy định về những đơn vị đo lường, quy ước về làm tròn nhưng giá trị gần đúng…

+ Tri thức giá trị có nội dung là những mệnh đề đánh giá.

Trong những dạng tri thức kể trên thì tri thức phương pháp đóng một vai trò

quan trọng trong việc tổ chức hoạt động vì đó là cơ sở định hướng cho hoạt động

Những tri thức phương pháp thường gặp trong toán có thể gặp khi tiến hành đó

là: những hoạt động toán học cụ thể, hoạt động trí tuệ phổ biến, hoạt động trí tuệ

chung, hoạt động ngôn ngữ.

Như vậy, trong dạy học toán người thầy giáo cần coi trọng đúng mực các dạng

tri thức khác nhau, tạo cơ sở cho việc thực hiện giáo dục toàn diện. Đặc biệt tri thức

phương pháp ảnh hưởng quan trọng tới việc rèn luyện kĩ năng, tri thức giá trị liên hệ

mật thiết với việc giáo dục tư tưởng chính trị và thế giới quan.

- Cách thức thực hiện: Từ các VD, GV giúp HS nắm được phương pháp giải

của từng dạng bài tập thông qua hệ thống các câu hỏi gợi ý. Muốn làm được điều này

GV cần nắm được những kiến thức, phương pháp thích hợp để có thể vận dụng trong

từng bài tập cụ thể.

2.2.1.1. Cung cấp một số phương pháp giải bài tập giới hạn

với P, Q là các đa * Dạng bài tập giới hạn của dãy số (𝒖𝒏) với

thức:

+ Nếu bậc P = k = bậc Q, hệ số cao nhất của P là 𝑎0, hệ số cao nhất của Q là 𝑏0

thì chia tử số và mẫu số cho 𝑛𝑘 để đi đến kết quả :

+ Nếu bậc P < bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho 𝑛𝑘 để đi đến kết quả:

+ Nếu k = bậc P > bậc Q, chia cả tử và mẫu cho 𝑛𝑘 để đi đến kết quả

* Giới hạn của dãy số dạng: với và là các biểu thức chứa

căn:

+ Chia cả tử và mẫu cho với k chọn thích hợp

+ Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.

Chú ý: Các dạng biểu thức liên hợp

Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Tính:

Trong VD này vùng kiến thức hiện tại là HS đã biết định nghĩa giới hạn của

dãy số và một số giới hạn đặc biệt của dãy số.

Từ những kiến thức hiện tại khi gặp bài toán này HS sẽ gặp những khó khăn

nhất định và chưa thể giải quyết bài toán này ngay được nên VD 1 sẽ nằm trong

VPTGN của HS. Khi đó GV “bắc giàn” giúp HS tiến tới VPTGN thông qua kiến

thức hiện tại của HS để các em có thể hoàn thành bài tập này:

GV: Chia cả tử và mẫu của cho ta được biểu thức nào?

HS: Ta được

GV: Em hãy tính lim𝑢𝑛?

HS:

Vùng HS không thể tiến tới đó là chưa thể khái quát ngay được dạng tổng quát

Ví dụ 2: Tính:

Vùng kiến thức hiện tại là HS đã biết cách tìm giới hạn trong VD 1.

VD 2 nằm trong VPTGN của HS vì mặc dù có cùng phương pháp giải với VD 1

nhưng trong VD 2 có chứa căn thức ở trên tử nên HS sẽ gặp khó khăn trong việc tính

giới hạn. Khi đó GV là người “bắc giàn” giúp HS có thể tiến tới VPTGN thông qua

kiến thức hiện tại:

GV: Chia cả tử và mẫu của cho 𝑛 ta được biểu thức nào?

HS: Ta được:

GV: Tính ?

HS: Ta có:

Ví dụ 3: Tính

Vùng kiến thức hiện tại là HS đã biết cách tìm giới hạn ở VD 2, các kiến thức

về giới hạn hữu hạn của dãy số và một số giới hạn dãy số đặc biệt.

VD 3 nằm trong VPTGN của HS vì HS chưa thể vận dụng những kiến thức

hiện tại vào giải quyết bài toán này được. Khi đó GV hướng dẫn HS tiến tới VPTGN

như sau:

GV: Em hãy tìm biểu thức liên hợp của dãy số trên?

HS: Biểu thức là liên hợp của

GV: Khi nhân và chia với biểu thức liên hợp, ta được biểu thức nào?

HS:

GV: Hãy tính ?

HS:

Ví dụ 4: Tính

Vùng kiến thức hiện tại là HS đã có những kiến thức về giới hạn dãy số và

cách tìm giới hạn ở VD 3, trong VD 4 dãy số có chứa căn bậc 3 nên sẽ gây ra cho HS

khó khăn nhất định khi tìm giới hạn của dãy số này. Do vậy, VD 4 nằm trong

VPTGN của HS. Để giúp HS giải quyết được bài tập này GV có thể hướng dẫn HS

như sau:

GV: Em hãy cho biết dạng khai triển hằng đẳng thức lập phương của một

tổng?

HS: .

GV: Trong trường hợp trên nếu khi dó ta có biểu thức nào?

HS: Ta có:

GV: Nhìn vào công thức trên em hãy cho biết biểu thức liên hợp của

là biểu thức nào?

HS:

GV: Khi nhân và chia 𝑢𝑛 với biểu thức liên hợp, ta được biểu thức nào?

HS:

GV: Hãy tính ?

HS:

Vùng HS không thể tiến tới được đó là đưa ra dạng tổng quát của dạng này:

Một số bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Tính các giới hạn sau:

Bài tập 2: Tìm giới hạn của các dãy số sau:

Khi đưa ra bài tập này GV nên gợi ý HS để các em có thể đưa dãy số về dạng

rút gọn. Chẳng hạn:

a) GV hướng dẫn HS phân tích sau đó viết lại dãy số theo

sự phân tích như trên. Từ đó HS sẽ tìm được giới hạn đã cho.

b) Tương tự như ở (a) GV hướng dẫn HS phân tích

từ đó các em viết lại dãy số đã cho theo sự

phân tích như trên để được dạng rút gọn và tìm được giới hạn đã cho.

* Bài tập giới hạn của hàm số có dạng:

dạng

Giới hạn dạng vô định là một trong những giới hạn thường gặp nhất đối với

bài toán tính giới hạn của hàm số. Để tính các giới hạn dạng này phương pháp chung

là sử dụng các phép biến đổi (phân tích đa thức thành nhân tử, nhân cả tử và mẫu với

biểu thức liên hợp, thêm bớt…) để khử các thành phần có giới hạn bằng 0, đưa về

tính giới hạn xác định.

Đối với bài toán tìm giới hạn hàm số dạng ta xét 2 trường hợp sau:

+) Nếu và là các hàm đa thức thì có thể chia tử số, mẫu số cho

hoặc

+) Nếu và là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các

biểu thức liên hợp. Ta có một số dạng biểu thức liên hợp như sau:

Biểu thức Dạng biểu thức liên hợp

và ngược lại

Ví dụ 5 (Bài 3a – SGK/Tr132): Tìm giới hạn sau:

Giải:

Do nên khi đó:

Đối với bài tập này HS không gặp khó khăn gì trong việc tìm giới hạn.

Ví dụ 6: Tính giới hạn hàm số sau:

Vùng kiến thức hiện tại của HS là đã có kiến thức về định nghĩa giới hạn hữu

hạn của hàm số, các định lý về giới hạn hữu hạn, biết cách tìm giới hạn ở VD 5.

VD 6 nằm trong VPTGN của HS vì khác với VD 5 HS không thể tính được

giới hạn bằng cách thay trực tiếp -3 vào được. Khi đó, GV hướng dẫn HS phân tích

để đưa về sử dụng kiến thức hiện tại mà HS đã biết, điều đó có nghĩa là GV thực hiện

“bắc giàn” cho HS:

GV: Khi thì tử số tiến đến đâu? Mẫu số tiến đến đâu?

HS: Tử số tiến đến 0 và mẫu số tiến đến 0. Nên giới hạn này có dạng vô định

GV: Để khử dạng vô định em hãy rút gọn ?

HS:

GV: Tính ?

HS:

Vùng HS không đến được là HS không thể tự xây dựng được bài toán tổng

quát: Cho hàm số với và là các hàm đa thức. Khi đó nếu

có dạng vô định thì ta có thể chia tử số và mẫu số cho hoặc

để khử dạng vô định này.

Ví dụ 7: Tính

Vùng kiến thức hiện tại của HS là đã có kiến thức về định nghĩa giới hạn hữu

hạn của hàm số, các định lý về giới hạn hữu hạn, biết cách tìm giới hạn của hàm số có

dạng như ở VD 6.

VD 7 nằm trong VPTGN của HS vì HS không thể sử dụng cách làm như ở VD

6 để tính giới hạn được do biểu thức dưới mẫu có chứa căn bậc hai. Khi đó GV sẽ là

người hướng dẫn các em tiến tới VPTGN thông qua những kiến thức hiện tại của HS:

GV: Đây là giới hạn dạng gì?

HS: Dạng

GV: Ở dưới mẫu số là biểu thức chứa căn bậc hai. Vậy để khử dạng chứa

căn thức ở dưới mẫu em hãy tìm biểu thức liên hợp của ?

HS: là liên hợp của .

GV: Em hãy thực hiện nhân cả tử số và mẫu số của hàm số với liên hợp của

mẫu số. Khi đó ta được biểu thức rút gọn của là gì?

HS:

GV: Hãy tính

HS:

Vùng HS không thể tiến đến được chính là HS không thể tự xây dựng được bài

toán tổng quát để tìm giới hạn của hàm số khi trên tử hoặc dưới mẫu là biểu thức

chứa căn.

Ví dụ 8: Tính giới hạn của hàm số sau:

Với bài toán này ta cần làm mất đi biểu thức làm cho mẫu bằng 0. Nếu ta chỉ

nhân liên hợp với biểu thức dưới mẫu như ở VD 7 thì bài toán chưa thể giải quyết

ngay được vì:

Như vậy vùng kiến thức hiện tại là HS đã biết cách tìm giới hạn dạng khi

trên tử hoặc dưới mẫu có chứa căn thức (ở VD 7).

Theo trên thì VD 8 nằm trong VPTGN của HS. Khi đó, GV có thể hướng dẫn

HS tiến tới VPTGN thông qua vùng kiến thức hiện tại như sau:

GV: Giới hạn này thuộc dạng nào khi ?

HS: Giới hạn dạng

GV: Em hãy nêu lại cách tìm giới hạn có chứa căn thức ở mẫu số hoặc giới

hạn có chứa căn thức ở tử số?

HS: Cả hai đều có cách làm giống nhau là nhân với liên hợp của tử hoặc mẫu.

GV: Trong bài này nếu ta chỉ nhân với biểu thức liên hợp dưới mẫu liệu đã

khử được dạng vô định chưa?

HS: Chưa khử được vì:

GV: Vậy để khử tiếp dạng vô định này ta làm cách nào?

HS: Ta nhân tiếp tử và mẫu với liên hợp của tử.

GV: Khi đó ta được biểu thức nào?

HS:

GV: Tính ?

HS:

Vùng HS không thể tiến tới được là đưa bài toán về dạng tổng quát :

Một số bài tập áp dụng:

Bài 1: Tính giới hạn hàm số sau:

* Bài tập giới hạn của hàm số dạng

dạng

Cho hàm số với và giới hạn này ta chia

làm 2 trường hợp:

với

Trường hợp là hàm hữu tỷ ta chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất và

áp dụng tính chất hoặc cũng có thể làm bằng cách đặt nhân tử

chung là ẩn có lũy thừa bậc cao nhất.

Trường hợp là hàm vô tỷ (hàm chứa căn): Giả sử bậc của căn thức

và coi đây là bậc của căn là 𝑚, bậc cao nhất của ẩn trong căn là 𝑛, lấy thương của

thức đó. Sau đó chia cả tử và mẫu của biểu thức cho lũy thừa cao nhất (giống trường

hợp 1) hoặc thực hiện đặt nhân tử chung và đơn giản biểu thức.

Ví dụ 9: Tìm giới hạn sau:

Vùng kiến thức hiện tại là HS đã biết định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô

cực và một vài giới hạn đặc biệt.

GV có thể dẫn dắt HS đi từ kiến thức hiện tại đến VPTGN như sau:

GV: Giới hạn này có dạng gì khi ?

HS: Dạng

GV: Lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu là bậc mấy?

HS: Lũy thừa bậc cao nhất của tử là 4, lũy thừa bậc cao nhất của mẫu là 3.

GV: Khi đặt 𝑥4 ra làm nhân tử chung thì ta được biểu thức nào?

HS:

GV: Tính ?

HS:

Vùng HS không thể tới được là đưa bài toán về dạng tổng quát:

với và

Khi đó xảy ra một trong 3 trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu (bậc tử bằng bậc mẫu) thì

Trường hợp 2: Nếu (bậc tử > bậc mẫu) thì

Trường hợp 3: Nếu (bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu) thì

Ví dụ 10: Tính giới hạn sau:

Nhận xét: Đây là hàm số bậc hai, biểu thức trong căn có lũy thừa bậc cao nhất

là 2, biểu thức ngoài căn có lũy thừa bậc cao nhất là 1. Vậy ta cần đặt nhân tử chung

là 𝑥2 (trùng với bậc của căn) để có thể khai triển được. Khi đó ta có lời giải sau:

Vùng kiến thức hiện tại là HS đã biết định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô

cực và một vài giới hạn đặc biệt.

VD 10 nằm trong VPTGN của HS vì trong VD trên HS tìm giới hạn của hàm

số không chứa căn thức nên việc tìm giới hạn trên sẽ đơn giản hơn, còn trong VD 10

biểu thức ở tử có chứa căn thức nên phức tạp hơn vì trong quá trình tìm giới hạn HS

cần chú ý tới trường hợp 𝑥 mang dấu âm hay dương. Khi đó GV có thể hướng dẫn

HS như sau:

GV: Giới hạn trên có dạng như thế nào khi ?

HS: Dạng

GV: Em hãy cho biết hàm số trong VD trên là hàm bậc mấy? Biểu thức trong

căn có lũy thừa bậc cao nhất là bậc mấy? Biểu thức ngoài căn có lũy thừa bậc cao

nhất là bậc mấy?

HS: Đây là hàm số bậc hai, có bậc cao nhất trong căn thức là bậc hai, biểu thức

ngoài căn có lũy thừa cao nhất là 1.

GV: Đặt nhân tử chung là (trùng với bậc của căn), khi đó ta có biểu thức nào?

HS: Ta có:

GV: Tính ?

HS:

GV: Chú ý: vì nên khi đó .

Vùng HS không thể tiến tới được là các em chưa thể đưa ra bài toán tổng quát

cho việc tìm giới hạn dạng khi trên tử hoặc dưới mẫu có chứa căn thức.

Tương tự cách làm như ở VD 10, GV đưa ra thêm một VD nữa để HS thấy

được trong trường hợp vì nên từ đó . Ta có VD 11 sau:

Ví dụ 11: Tính:

Đây là giới hạn dạng vô định ta có lời giải sau:

Vùng HS không đến được trong VD này chính là trong trường hợp 𝑥 → ∞ HS

chưa biết cách giải quyết bài toán tìm giới hạn như thế nào.

Ví dụ 12: Tính giới hạn sau:

Giải: Chia cả tử và mẫu cho 𝑥 ta được:

Ta cần đưa 𝑥 vào căn nhưng chưa biết 𝑥 mang giá trị âm hay dương nên ta xét

hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu 𝑥 → +∞ thì 𝑥 > 0, khi đó 𝑥 = √𝑥2

Ta có:

Trường hợp 2: Nếu thì , khi đó

Ta có:

Kết luận:

Vì và nên không tồn tại giới hạn

Vùng kiến thức hiện tại của HS là đã biết định nghĩa giới hạn của hàm số tại

vô cực và một vài giới hạn đặc biệt, biết cách tìm giới hạn dạng khi và

VD 12 nằm trong VPTGN của HS vì mặc dù HS đã biết cách tính giới hạn

trong trường hợp và , nhưng khi đề bài cho thì các em chỉ xét

một trong 2 trường hợp hoặc , khi đó HS sẽ xét thiếu trường hợp

trong việc tìm giới hạn. Để giúp HS không phạm phải thiếu sót này giáo viên có thể

đưa ra VD trên để HS thấy rõ được vì nên , khi đó và vì

nên , khi đó (chú ý rằng khi cần lưu ý hai khả năng

và trong phép lấy giới hạn chứa căn bậc chẵn).

Một số bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Tính các giới hạn sau:

Bài tập 2: Tính các giới hạn:

* Bài tập dạng: Xét tính liên tục của hàm số:

Dạng:

Tìm hàm số liên tục tại

Dạng:

Tìm

hàm số liên tục tại

Ví dụ 13 (Bài 2a – SGK/Tr141): Cho

Xét tính liên tục của tại

Giải:

Ta có:

Ta thấy:

Vậy liên tục tại .

Ở đây kiến thức cơ bản nếu được vận dụng tốt HS vẫn có thể tự hoàn thành bài

tập một cách không khó khăn lắm.

Ví dụ 14: Cho hàm số

Tìm 𝑎 để hàm số có giới hạn khi 𝑥 dần tới 1 và tìm giới hạn đó.

Đến VD này HS sẽ khó khăn trong việc tìm giới hạn vì khác với VD trên HS

chỉ cần tìm và sau đó so sánh kết quả và kết luận, còn trong VD

này HS phải xét giới hạn trái (phải) tại và sau đó so sánh kết quả và đưa ra

kết luận. Nên VD 14 sẽ nằm trong VPTGN của HS. Khi đó GV có thể hướng dẫn HS

tiến đến VPTGN thông qua những kiến thức đã biết:

GV: Khi thì bằng bao nhiêu?

HS: Có

GV: Khi tức là tiến tới 1 từ phía bên nào?

Tính giới hạn của hàm số khi ?

Khi tức là tiến tới 1 từ bên nào?

Hãy tính giới hạn của hàm số khi ?

HS: tức là tiến tới 1 từ phía bên trái, tức là tiến tới 1 từ phía

bên phải. Ta có:

GV: Điều kiện để hàm số có giới hạn là gì?

HS:

Khi đó ta có

GV: Khi tìm được , em có kết luận gì?

HS: Vậy với thì hàm số liên tục tại

Qua VD trên ta thấy vùng HS không thể tiến tới là các em chưa thể đưa ra

được phương pháp giải dạng toán này trong trường hợp tổng quát.

* Dạng bài tập chứng minh phương trình có nghiệm trong

khoảng

+ Chứng tỏ liên tục trên đoạn

+ Chứng tỏ .

Khi đó có ít nhất một nghiệm thuộc .

Nếu chưa có thì cần tính các giá trị để tìm 𝑎 và 𝑏.

Muốn chứng minh có hai, ba nghiệm thì ta tìm hai, ba khoảng rời

nhau và trên mỗi khoảng đều có nghiệm.

Ví dụ 15: Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm

trên khoảng (0; 2).

Giải: Xét hàm số .

Ta có và . Do đó, .

𝑦 = 𝑓(𝑥) là hàm số đa thức nên liên tục trên R. Do đó, nó liên tục trên đoạn

. Từ đó suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm .

Với kiến thức cơ bản nếu được vận dụng tốt HS có thể tự hoàn tất bài tập một

cách không khó khăn lắm.

Ví dụ 16: Chứng minh rằng phương trình có nghiệm trên khoảng

Giải: Xét hàm số

Ta có: và nên . Khi đó đòi hỏi HS cần

điều chỉnh cách suy nghĩ, thay vì xét giá trị tại hai đầu mút thì chúng ta xét giá trị

nằm trong khoảng (-2;1). Từ đó HS xác định được một số 𝑐 thuộc khoảng (-2;1) để

mà . . HS có thể chọn 𝑐 = 0 vì

Khi đó ta có nên phương trình có nghiệm trên khoảng

do đó cũng có nghiệm trên khoảng

Vậy phương trình có nghiệm trên khoảng

Trong VD trên kiến thức hiện tại của HS là đã biết về điều kiện tồn tại nghiệm

của phương trình trên một khoảng. Tuy nhiên, khi HS thực hiện tính giá trị tại hai đầu

mút thì không thỏa mãn điều kiện. Điều này gây cho HS những khó khăn nhất định.

Để giúp HS tháo gỡ khó khăn đó GV có thể hướng dẫn HS tìm nghiệm thuộc một

khoảng bất kì nằm trong khoảng đã cho ban đầu sao cho thỏa mãn điều kiện tồn tại

nghiệm.

Với cách làm tương tự như trên HS cũng có thể thực hiện với phương trình bậc

cao hơn. Chẳng hạn:

Ví dụ 17: Chứng minh rằng phương trình có ba nghiệm

phân biệt thuộc (-2;2).

Giải: Đặt

Ta có 𝑓(𝑥) là hàm đa thức xác định với mọi 𝑥 thuộc R nên 𝑓(𝑥) liên tục trên R

suy ra 𝑓(𝑥) liên tục trên các đoạn

Ta lại có nên:

có một nghiệm thuộc

. 𝑓(𝑥) có một nghiệm thuộc

Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt thuộc .

Một số bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Xét xem các hàm số sau có liên tục tại ∀𝑥 không, nếu chúng không

liên tục thì chỉ ra các điểm gián đoạn:

Bài tập 2: Cho hàm số với 𝑎 là hằng số.

Tìm 𝑎 để 𝑓(𝑥) liên tục tại ∀𝑥.

Bài tập 3: Xét tính liên tục tại 𝑥0 của các hàm số 𝑓(𝑥) trong các trường hợp sau:

tại .

tại và tại .

Bài tập 4: Chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai

nghiệm.

2.2.1.2. Cung cấp một số tri thức phương pháp trong dạy học khái niệm

Trong dạy học kiến thức mới giáo viên có thể dựa trên những kiến thức mà

học sinh đã được học, việc tiếp cận này có thể được thực hiện qua nhiều hình thức

khác nhau chẳng hạn như thông qua việc giải thích, minh họa hay đặt các câu hỏi

giúp đỡ người học hướng tới vấn đề cần hoàn thành.

Ví dụ 18: Xây dựng định nghĩa hàm số liên tục trên một đoạn sau khi học sinh

đã được học hàm số liên tục tại một điểm và hàm số liên tục trên một khoảng.

Trước khi làm quen với định nghĩa hàm số liên tục trên một đoạn, học sinh đã

được học về hàm số liên tục tại một điểm và hàm số liên tục trên một khoảng. Khi đó

để đi đến định nghĩa hàm số liên tục trên một đoạn giáo viên có thể đặt ra nhiệm vụ

cho học sinh như sau: “Các em đã biết định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm và

hàm số liên tục trên một khoảng, câu hỏi đặt ra là để hàm số 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn

[𝑎; 𝑏] thì cần có những điều kiện gì?”

Để thực hiện nhiệm vụ trên học sinh sẽ gặp phải những khó khăn nhất định và

học sinh chưa thể giải quyết nhiệm vụ này ngay được. Khi học sinh chưa có câu trả

lời, giáo viên có thể đưa ra các câu hỏi trợ giúp, chẳng hạn như:

Câu hỏi 1: Các em đã biết điều kiện để hàm số liên tục tại một điểm, hàm số

liên tục trên một đoạn. Câu hỏi đặt ra ở đây là hàm số 𝑓(𝑥) liên tục trên một đoạn.

Vậy giữa ba yếu tố điểm, đoạn và khoảng là gì?

Việc nhắc đến điều kiện của hàm số liên tục tại một điểm và hàm số liên tục

trên một đoạn nhằm giúp học sinh nhớ lại các kiến thức đã biết, từ đó mong muốn

học sinh thấy được mối liên hệ giữa kiến thức đã có và kiến thức cần hình thành.

Nếu học sinh chưa biết trả lời như thế nào, giáo viên có thể đưa ra câu hỏi gợi

ý thứ hai như sau:

Câu hỏi 2: Giữa [𝑎; 𝑏], (𝑎; 𝑏) và các phần tử 𝑎, 𝑏 có mối liên hệ như thế nào?

Việc đưa ra câu hỏi như vậy mong muốn là học sinh sẽ nhớ lại kiến thức đã

học là [𝑎; 𝑏] = (𝑎; 𝑏) ∪ {𝑎} ∪ {𝑏}. Khi đã có mối liên hệ này có học sinh sẽ trả lời là

“Vậy điều kiện để hàm số 𝑓(𝑥)liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏] là hàm số phải liên tục trên

khoảng (𝑎; 𝑏) và liên tục tại hai điểm 𝑎 và 𝑏”

Khi học sinh đưa ra câu trả lời như trên, giáo viên có thể nhận xét là điều kiện

hàm số 𝑓(𝑥) liên tục trên (𝑎; 𝑏) là điều cần thiết. Nhưng điều kiện hàm số phải liên

tục tại hai điểm 𝑎, 𝑏 cần phải kiểm tra lại. Từ đó GV đưa ra câu hỏi cho HS như sau:

“Có nhất thiết là hàm số phải liên tục tại 𝑎, 𝑏 không?”. Để hỗ trợ học sinh trả lời câu

hỏi này giáo viên có thể đưa ra một hàm số cụ thể, chẳng

hạn như hàm số 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥2 trên [−1; 1] và cho học

sinh thấy hình ảnh thu được từ đồ thị này.

Khi nhìn vào hình ảnh này học sinh sẽ đưa ra kết

luận là hàm số đã cho liên tục trên [−1; 1] . Tuy nhiên, khi cho học sinh xét tính liên

tục tại hai điểm đầu mút của tập xác định thì tại hai điểm -1 và 1 hàm số không liên

tục mà chỉ có

Từ các hoạt động ở trên giáo viên cần cho học sinh thấy được phải bổ sung

thêm điều kiện là hàm số liên tục trái tại b và liên tục phải tại a và có kí hiệu là

Từ đó học sinh có thể định nghĩa hàm số 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏] như

sau: “Hàm số 𝑓(𝑥) được gọi là liên tục trên [𝑎; 𝑏] nếu nó liên tục trên (𝑎; 𝑏) và

”.

Trong VD trên vùng kiến thức hiện tại là HS đã biết điều kiện để hàm số liên

tục tại một điểm và điều kiện để hàm số liên tục trên một khoảng. VPTGN trong VD

trên là điều kiện để hàm số liên tục trên một đoạn. GV giúp HS tiến tới VPTGN

thông qua hệ thống câu hỏi gợi ý và xuất phát từ những kiến thức đã học, GV giúp

HS liên kết các kiến thức đó với nhau để hình thành nên kiến thức mới.

Ví dụ 19: Xây dựng định nghĩa hàm số liên tục trên nửa khoảng sau khi HS đã

được học hàm số liên tục tại một điểm và hàm số liên tục trên một khoảng.

GV giao nhiệm vụ cho HS: “Chúng ta đã biết hàm số liên tục tại một điểm và

hàm số liên tục trên một đoạn. Câu hỏi đặt ra là để hàm số 𝑓(𝑥) liên tục trên nửa

khoảng [𝑎; 𝑏) thì cần thỏa mãn những điều kiện gì? Các em hãy cùng suy nghĩ để trả

lời câu hỏi này”.

Câu hỏi này gây ra cho HS những khó khăn nhất định. Nếu HS chưa có câu trả

lời GV có thể đưa ra câu hỏi gợi ý nhằm giúp các em phát hiện được nên bắt đầu trả

lời từ đâu.

GV: Các em đã biết điều kiện để hàm số liên tục tại một điểm và hàm số liên

tục trên một khoảng. Yêu cầu ở đây là tìm điều kiện để hàm số liên tục trên nửa

khoảng. Vậy mối liên hệ giữa ba yếu tố điểm, khoảng và nửa khoảng là gì? Em hãy

biểu diễn mối liên hệ của 3 yếu tố [𝑎; 𝑏); (𝑎; 𝑏); {𝑎}?

HS: Biểu diễn mối liên hệ giữa 3 yếu tố trên: [𝑎; 𝑏) = (𝑎; 𝑏) ∪ {𝑎}

GV: Dựa vào biểu diễn trên thì theo em để hàm số liên tục trên nửa khoảng

cần có những điều kiện gì?

Khi có biểu diễn mối liên hệ trên nhiều HS sẽ trả lời ngay là: Điều kiện để hàm

số 𝑓(𝑥) liên tục trên nửa khoảng [𝑎; 𝑏) là hàm số phải liên tục trên (𝑎; 𝑏) và a.

GV nhận xét: Điều kiện để hàm số liên tục trên (𝑎; 𝑏) là đúng nhưng còn hàm

số liên tục trên a thì phải xem lại. Sau đó GV đưa ra một đồ thị hàm số cụ thể, chẳng

hạn đưa ra đồ thị hàm số 𝑦 = √1 − 𝑥2 trên tập xác định [-1;1) từ đồ thị đã cho HS sẽ

trả lời hàm số 𝑦 = √1 − 𝑥2 liên tục trên [-1;1). Từ câu trả lời của HS, GV cho HS

thấy hàm số không liên tục tại 𝑥 = −1 mà chỉ liên tục phải tại 𝑥 = −1. Thông qua

các hoạt động trên GV cần nhấn mạnh cho HS rằng để hàm số liên tục trên nửa

khoảng thì cần thêm điều kiện là “hàm số liên tục phải tại a”. Từ những câu hỏi gợi ý

trên sẽ giúp học sinh xây dựng được định nghĩa hàm số liên tục trên nửa khoảng:

“Hàm số 𝑓(𝑥)liên tục trên nửa khoảng [𝑎; 𝑏) nếu 𝑓(𝑥) liên tục trên (𝑎; 𝑏) và

”

Cũng bằng cách xây dựng tương tự như trên HS cũng có thể tự xây dựng định

nghĩa hàm số liên tục trong các trường hợp còn lại.

Ví dụ 20: Để đi đến định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số, trước tiên giáo

và đưa ra các câu hỏi gợi ý viên có thể đưa ra một dãy số (𝑢𝑛), chẳng hạn

nhằm đưa học sinh đến định nghĩa “dãy số có giới hạn 0”:

GV: Em hãy tính giá trị của 𝑢𝑛 khi

HS: thì ; thì ; thì ; ……., thì

;………; thì ; ….

GV: Hãy biểu diễn các giá trị vừa tính được trên trục số?

GV: Dựa vào biểu diễn trên trục số các giá trị của 𝑢𝑛 em có nhận xét gì khi 𝑛 tăng?

HS: Khi n tăng thì 𝑢𝑛 giảm.

GV: Nếu n tiếp tục tăng em có nhận xét gì về khoảng cách từ 𝑢𝑛 tới 0?

HS: Nếu 𝑛 tiếp tục tăng thì 𝑢𝑛 sẽ dần tiến đến 0.

GV: Liệu 𝑢𝑛 có bằng 0 được không?

Khi đưa ra câu hỏi này học sinh sẽ trả lời ngay là có. Vậy làm thế nào để giải

quyết được sai lầm này, GV có thể yêu cầu HS vận dụng suy luận để kiểm tra bằng

cách yêu cầu HS nhận xét hàm ?

HS: Hàm số là hàm nghịch biến trên 𝑅 và

GV: Vì hàm số trên là hàm nghịch biến nên khoảng cách từ 𝑢𝑛 đến 0 càng nhỏ

dần khi 𝑛 càng lớn nhưng không thể bằng 0.

Sau đó GV đưa ra bảng giá trị mà HS vừa tính được:

n 1 2 3 … 10 100 …→ 𝑛0

…→ 𝜀 𝑢𝑛 1 1 2 1 3 1 10 1 100

Kể từ giá trị 𝑛0 trở về sau thì 𝑢𝑛 < 𝜀 (*)

Ví dụ khi thì ta có

Chọn 𝜀 càng bé thì n càng lớn.

Dãy số (𝑢𝑛) thỏa mãn điều kiện (*) thì ta nói nó có giới hạn bằng 0.

Từ đó ta đi đến định nghĩa dãy số có giới hạn 0 như sau: Ta nói dãy số 𝑢𝑛 có

giới hạn 0 nếu : .

Ta kí hiệu:

hay khi

Sau khi đưa ra định nghĩa dãy số có giới hạn 0 bằng kí hiệu GV nên phân tích

cho học sinh hiểu các kí hiệu trên. Như vậy, có giới hạn là 0 khi nếu

có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là 𝑛 đủ lớn.

Trong VD trên, vùng kiến thức hiện tại của HS đã có kiến thức về dãy số,

VPTGN là định nghĩa dãy số có giới hạn 0. GV giúp HS tiến tới VPTGN thông qua

hệ thống các câu hỏi gợi mở.

Ví dụ 21: Sau khi HS đã được học khái niệm dãy số có giới hạn 0, để giúp HS

mở rộng sang khái niệm dãy số có giới hạn L, GV có thể đưa ra các yêu cầu sau để

HS hoạt động theo:

Hoạt động 1: Cho dãy số (𝑢𝑛) với . Em hãy tính giới hạn của 𝑢𝑛

Khi đưa ra hoạt động này HS sẽ gặp phải khó khăn vì HS mới chỉ được học

đến dãy số có giới hạn 0. Khi đó GV có thể hướng dẫn HS bằng cách dự đoán giới

hạn nếu có của dãy số. Qua đó HS sẽ biểu diễn các số hạng của dãy số trên trục số từ

đó các em sẽ dự đoán được giới hạn của dãy số đó bằng 2. Sau khi dự đoán giới hạn

trên bằng 2, giáo viên gợi ý tiếp cho HS chứng minh dự đoán đó bằng cách chuyển về

xét dãy số có giới hạn 0. Cùng với sự gợi ý chứng minh này HS sẽ nghĩ đến ngay việc

xét dãy số mới là . Từ đây đưa về bài toán chứng minh dãy số có

giới hạn 0 mà các em đã biết cách làm.

Hoạt động 2: Sau khi đã chứng minh xong, GV chỉnh sửa những sai sót (nếu

có) của HS và yêu cầu HS nêu các bước để thực hiện chứng minh. Từ đó GV yêu cầu

HS phát biểu khái niệm dãy số có giới hạn L.

Trong VD trên vùng kiến thức hiện tại của HS là khái niệm dãy số có giới hạn

0, GV giúp HS tiến tới VPTGN là dãy số có giới hạn hữu hạn thông qua hoạt động đi

từ cái chưa biết đến cái đã biết.

Ví dụ 22: Sau khi HS đã học xong khái niệm dãy số có giới hạn hữu hạn, GV

có thể yêu cầu HS thực hiện các hoạt động như sau:

Hoạt động 1: Cho dãy số , . Em hãy cho biết dãy số này có giới hạn

không?

Câu hỏi này tạo ra cho HS những khó khăn nhất định. Trong quá trình thực

hiện nếu HS gặp khó khăn GV có thể gợi ý cho HS thực hiện yêu cầu sau: “Em hãy

cho biết các số hạng của dãy số trên thay đổi như thế nào trên trục số?”.

Hoạt động 2: Với sự gợi ý này HS sẽ tiếp tục thực hiện bằng cách biểu diễn

các số hạng của dãy số trên trục số hay vẽ đồ thị để tìm cơ sở cho việc khẳng định.

Bằng sự hướng dẫn của GV, HS nhận ra được dãy số dần tới dương vô cực khi 𝑛 dần

đến dương vô cực. Việc thực hiện các hoạt động này sẽ là cơ sở cho GV giới thiệu

khái niệm giới hạn vô cực.

VD 21 và VD 22 nhằm giúp HS phát hiện kiến thức mới thông qua những kiến

thức mà các em đã được học. Khi thực hiện các hoạt động để mở rộng kiến thức GV

cần yêu cầu HS thực hiện theo nhiều phương pháp khác nhau để việc mở rộng và phát

triển khái niệm đạt hiệu quả.

Như vậy, từ việc cung cấp một số tri thức phương pháp và gợi ý của GV, HS

sẽ tự hình thành cho mình những kiến thức cần thiết để từ đó các em có thể tự động

giải quyết nhiệm vụ tương tự mà không cần đến sự giúp đỡ của người khác.

2.2.2. Biện pháp 2: Sử dụng các hình ảnh (biểu đồ, đồ thị, bảng biểu…) trực

quan trong dạy học

- Mục đích: Các biểu diễn trực quan tạo nên những hình ảnh tác động vào trực

giác học sinh. Qua đó GV có thể cung cấp những kiến thức cần thiết (về mặt hình ảnh)

cho HS, giúp HS củng cố được kiến thức vừa học. Từ đó thu hút được sự chú ý và tạo

động cơ học tập cho người học giúp các em tiến tới VPTGN được thuận lợi hơn.

- Cách thức thực hiện: Thông qua việc dạy các khái niệm, tùy vào từng nội

dung GV có thể đưa ra những hình ảnh, bảng biểu, đồ thị… cụ thể nhằm giúp HS

hiểu bản chất của khái niệm và mối liên hệ giữa các khái niệm với nhau.

Ví dụ 1: Dạy học hàm số liên tục tại một điểm, giáo viên có thể đưa ra hình

ảnh của các hàm số

Hình 2.1. Đồ thị hàm số và

GV chia lớp thành ba nhóm. Nhóm 1 câu hỏi 1, nhóm 2 câu hỏi 2, nhóm 3 câu

hỏi 3.

Câu hỏi 1: Em hãy tính giá trị của hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 và so sánh giới hạn

(nếu có) của hàm số đó khi 𝑥 → 1. Sau đó nêu nhận xét về đồ thị hàm số tại điểm có

hoành độ 𝑥 = 1.

Câu hỏi 2: Hàm số tại và so sánh giới hạn (nếu có)

của hàm số đó khi . Sau đó nêu nhận xét về đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

Câu hỏi 3: Hàm số tại và so sánh giới hạn (nếu có)

của hàm số đó khi . Sau đó nêu nhận xét về đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

Sau khi HS đã trả lời xong GV gọi đại diện các nhóm lên điền vào bảng mà

GV đã chuẩn bị sẵn:

So sánh Hàm số Giá trị hàm số tại

Giới hạn của hàm số khi Đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

Khi đưa ra VD này chúng tôi hướng HS tới mục đích hình thành ở HS biểu

tượng ban đầu về hàm số liên tục thông qua con đường quy nạp. Xuất phát từ kiến

thức hiện tại mà HS đã biết là giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, GV đưa ra

ba câu hỏi và yêu cầu HS điền vào bảng so sánh kết quả của 3 hàm số từ đó có kết

luận về hàm số liên tục tại một điểm.

Ví dụ 2: Trong dạy học định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, GV có thể sử

dụng hình vẽ sau để minh họa cho định nghĩa:

Hình 2.2. Biểu diễn 𝑓(𝑥) liên tục tại 𝑥0 (ta thấy đồ thị “gặp

nhau” tại điểm ) tương đương với:

Hình 2.2. 𝒇(𝒙) liên tục tại 𝒙𝟎

Hình 2.3. Biểu diễn 𝑓(𝑥) gián đoạn tại 𝑥0 (đồ thị “đứt

đoạn” tại điểm )

Vì

Hình 2.3. 𝒇(𝒙) gián đoạn tại 𝒙𝟎

Hình 2.4. Biểu diễn 𝑓(𝑥) gián đoạn tại 𝑥0

Vì:

Hình 2.4. gián đoạn tại 𝒙𝟎

Hình 2.5. Biểu diễn 𝑓(𝑥) gián đoạn tại 𝑥0

Vì: và

Hình 2.5. gián đoạn tại 𝒙𝟎

Vùng kiến thức hiện tại của HS trong VD này là khái niệm về hàm số liên tục

tại một điểm, nhưng HS không nắm được hàm số gián đoạn trong những trường hợp

nào, khi đó VD 2 sẽ nằm trong VPTGN của HS. Mục đích đưa ra VD này nhằm giúp

HS nắm được các trường hợp hàm số không liên tục (hay gián đoạn) tại một điểm.

Như vậy, việc sử dụng hình ảnh trực quan góp phần phát huy tính tích cực học

tập và rèn luyện tư duy cho học sinh. Mặc dù, những biểu diễn này không phản ánh

một cách chính xác “tương ứng hàm số” nhưng nó rất đơn giản và không cần tính

toán một cách chính xác.

Ví dụ 3: Sau khi học giới hạn hữu hạn của dãy số, GV có thể cho học sinh vẽ

sơ đồ thể hiện mối quan hệ giữa “dãy số có giới hạn 0” và “dãy số có giới hạn a” như

Giới hạn hữu hạn của dãy số

Dãy số có giới hạn là 0

Dãy số có giới hạn là a

khi n dần tới +∞

(𝑢𝑛 − 0) = 0

(𝑢𝑛 − 𝑎) = 0

lim 𝑛→+∞

𝑢𝑛 = 0

𝑢𝑛 = 𝑎

lim 𝑛→+∞

Hình 2.6. Sơ đồ mối liên hệ giữa dãy số có giới hạn 0 và dãy số có giới hạn a

Mục đích sư phạm: Trong VD trên vùng kiến thức hiện tại của HS là đã biết

khái niệm về giới hạn hữu hạn của dãy số. Việc yêu cầu HS vẽ sơ đồ thể hiện mối

liên hệ giữa “dãy số có giới hạn 0” và “dãy số có giới hạn hữu hạn” nhằm mục đích

giúp các em nắm được bản chất của khái niệm, từ đó các em tự tổng hợp kiến thức

cho bản thân mình và áp dụng những kiến thức đó vào làm bài tập.

Ví dụ 4: Trong dạy học khái niệm dãy số hữu hạn, GV có thể xuất phát từ dãy

số bằng cách dùng bảng tương ứng giữa và để tiếp cận khái niệm

giới hạn hữu hạn của dãy số và yêu cầu HS hoàn thành bảng

1 2 3 … 100 … 1000 … 101000 …

100100100 ….. …..

Việc yêu cầu HS hoàn thành bảng nhằm mục đích làm cho HS nhận thấy được

rằng khi 𝑛 càng tăng thì |𝑢𝑛| càng giảm.

Ví dụ 5: GV yêu cầu HS vẽ sơ đồ thể hiện mối quan hệ giữa giá trị hàm số,

Xét hàm số f(x) tại 𝑥 = 𝑎

Tồn tại giới hạn

Không tồn tại giới hạn

𝑓(𝑎) = 𝐿

lim 𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) xác định tại

𝑓(𝑥) không xác

định tại 𝑥 = 𝑎

𝑥 = 𝑎

khái niệm giới hạn của hàm số, hàm số liên tục tại 𝑥 = 𝑎.

𝐿 ≠ 𝑓(𝑎)

𝑓(𝑥) không liên tục tại 𝑥 = 𝑎

𝑓(𝑥) liên tục

(𝑓(𝑥) gián đoạn tại 𝑥 = 𝑎 )

tại 𝑥 = 𝑎

𝐿 = 𝑓(𝑎)

Hình 2.7. Sơ đồ thể hiện các mối quan hệ trong VD 5

Mục đích sư phạm: Trong VD trên vùng phát triển hiện tại của HS là khái

niệm giới hạn của hàm số, hàm số liên tục tại 𝑥 = 𝑎. Việc yêu cầu HS vẽ sơ đồ nhằm

giúp các em nắm được tổng thể về kiến thức đã học, đồng thời so sánh mối liên hệ

giữa các kiến thức đã học với nhau và giúp các em thấy được khi nào thì hàm số liên

tục hay gián đoạn tại a. Từ đó các em tự hình thành kiến thức cho bản thân và áp

dụng làm bài tập thuận lợi hơn.

Ví dụ 6: Tính tổng

nên áp dụng Giải: Ta có 𝑆 là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có

công thức ta có

Ngoài ra ta còn có cách minh họa hình học tổng trên như sau:

Xét tam giác 𝐴𝐵𝐶 có diện tích bằng 1.

Gọi 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3…theo thứ tự là trung điểm các cạnh 𝐴𝐶, 𝐴1𝐶, 𝐴2𝐶,… và

𝐵1, 𝐵2, 𝐵3… lần lượt là trung điểm các cạnh 𝐵𝐶, 𝐵1𝐶,

𝐵2𝐶…ta có:

Diện tích tam giác bằng

Diện tích tam giác bằng Hình 2.8. Minh họa tổng S

…………………………………………

Cứ tiếp diễn quá trình đó mãi ta được:

Như vậy, thông qua việc minh họa bằng hình học giúp HS có thể đoán nhận

được kết quả của tổng 𝑆.

Ví dụ 7: Trong dạy học hàm số liên tục, GV yêu cầu HS thực hiện hoạt động

nhận dạng, thể hiện khái niệm thông qua bài tập dưới dạng đồ thị: Hãy cho biết trong

các hàm số sau, hàm số nào liên tục và không liên tục trên tập xác định của nó? Hãy

chứng minh điều đó?

Hình 2.9. Đồ thị các hàm số trong ví dụ 7

Mục đích sư phạm: Trong VD này vùng phát triển hiện tại của HS là khái

niệm hàm số liên tục. Khi nhìn vào đồ thị HS đoán nhận được đồ thị liên tục hay gián

đoạn trên tập xác định của nó. Mục đích chính trong VD này là nhằm nâng cao khả

năng trực giác của HS. Sau khi HS đã đoán nhận được kết quả các em sẽ tiến hành

chứng minh dự đoán đó.

Ví dụ 8: Để tiếp cận khái niệm giới hạn vô

cực của hàm số. GV có thể sử dụng đồ thị hàm số

và đưa ra các câu hỏi:

Nhìn vào đồ thị em hãy cho biết:

GV: Khi 𝑥 → +∞ thì 𝑓(𝑥) dần tới đâu?

Khi 𝑥 → −∞ thì 𝑓(𝑥) dần tới đâu?

HS: Khi 𝑥 → +∞ thì 𝑓(𝑥) dần tới +∞

Khi 𝑥 → −∞ thì 𝑓(𝑥) dần tới −∞

GV: Khi đó ta nói đồ thị hàm số có giới hạn là khi

và có giới hạn là khi .

GV: Vậy thế nào là giới hạn vô cực của hàm số?

Từ cách dẫn dắt như vậy GV đưa HS đến định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số.

Mục đích sư phạm: Trong VD này vùng phát triển hiện tại của HS là khái

niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực. Việc tiếp cận khái niệm vô hạn của

hàm số tại vô cực xuất phát từ đồ thị hàm số bậc 3, GV đưa ra câu hỏi để dẫn dắt vào

bài mới. Mục đích khi đưa ra hình ảnh của đồ thị hàm số này nhằm hình thành cho

HS hình ảnh ban đầu về giới hạn hàm số tại vô cực.

2.2.3. Biện pháp 3: Sử dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự trong dạy học

- Mục đích: Khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự là những thao tác tư duy

có vai trò rất quan trọng trong quá trình dạy toán ở trường phổ thông. Khái quát hóa,

đặc biệt hóa, tương tự là phương pháp giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán để tìm lời giải

của bài toán, mở rộng, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức và góp phần quan trọng trong

việc hình thành những phẩm chất trí tuệ cho học sinh.

Trong “Phương pháp dạy học môn Toán”, các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ

Dương Thụy đã nêu rõ: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một

tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm

chung của các phần tử của tập hợp xuất phát” [5].

Đặc biệt hóa là quá trình đi từ cái chung đến cái riêng, là quá trình minh họa

hoặc giải thích những khái niệm, định lí bằng những trường hợp riêng lẻ, cụ thể.

Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó. Những đối tượng được xem là tương

tự với nhau khi chúng phù hợp với nhau trong một quan hệ nào đó. Có thể nói rằng:

hai hệ được gọi là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong một mối quan hệ xác

định rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng. Bằng tương tự ta có thể tập luyện cho

HS quan sát, so sánh, nhìn các sự vật hiện tượng dưới nhiều góc độ, nhiều quan điểm

khác nhau.

- Cách thức thực hiện: GV đưa ra ví dụ và từ các VD đó GV khái quát hóa để

giúp các em vận dụng làm bài tập thuận lợi hơn.

Ví dụ 1: Cho lập thành một cấp số cộng có công sai . Chứng

minh 3 số: cũng lập thành một cấp số cộng.

- Vùng kiến thức hiện tại của HS:

+ Đã biết định nghĩa cấp số nhân.

+ Tính chất các số hạng của cấp số nhân.

- Đề bài yêu cầu chứng minh 3 số: cũng lập thành một cấp số

cộng nhưng trước tiên HS phải chứng minh được có nghĩa. Khi đó

HS sẽ gặp phải khó khăn trong quá trình chứng minh. Do vậy, VD 1 nằm trong

VPTGN của HS.

GV hướng dẫn HS cách chứng minh có nghĩa và dựa vào các

tính chất, các phép biến đổi đã học, HS có lời giải như sau:

Lời giải:

Ta có:

Suy ra:

Nếu (trái với giả thiết)

Vậy

Tóm lại: có nghĩa.

Vậy 3 số lập thành một cấp số cộng.

Từ ví dụ trên ta có bài toán khái quát hóa như sau:

Cho lập thành một cấp số cộng có công sai . Chứng minh 3 số:

với cũng lập thành một cấp số cộng.

Việc chứng minh bài toán này tương tự VD trên.

Từ VD 1 ở trên khi thay thì ta có VD 2 cũng có cách giải

tương tự VD 1.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu ba số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 lập thành một cấp số cộng

lập thành một có công sai 𝑑 ≠ 0, điều kiện cần và đủ là

cấp số cộng.

- Vùng kiến thức hiện tại của HS:

+ Đã biết định nghĩa cấp số nhân.

+ Tính chất các số hạng của cấp số nhân.

VPTGN của HS trong ví dụ này là HS phải nhận xét được cả hai điều kiện cần

và đủ để lập thành một cấp số cộng. Trong nhiều trường

hợp HS chỉ xét một trong hai điều kiện nên sẽ xảy ta việc xét thiếu trường hợp.

- VPTGN của HS trong ví dụ này là HS phải nhận xét được cả hai điều kiện

cần và đủ để lập thành một cấp số cộng. Trong nhiều

trường hợp HS chỉ xét một trong hai điều kiện nên sẽ xảy ta việc xét thiếu trường

hợp.

Qua sự hướng dẫn của GV, HS có lời giải như sau:

Lời giải:

Để ý rằng:

và

Vì vậy:

, vì vậy i) Nếu các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 lập thành một cấp số cộng thì

các vế phải của (1) và (2) bằng nhau, do đó các vế trái của (1) và (2) bằng nhau, tức là

các số lập thành một cấp số cộng.

ii) Nếu các số lập thành một cấp số cộng thì các vế

trái của (1) và (2) bằng nhau, và do đó các vế phải của (1) và (2) bằng nhau nên

, tức là ba số lập thành một cấp số cộng.

Từ VD trên ta có bài toán khái quát như sau: Chứng minh rằng nếu ba số

, điều kiện cần và đủ là dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 lập thành một cấp số cộng có công sai

với lập thành một cấp số cộng.

Việc chứng minh bài toán này tương tự như VD 2.

Ví dụ 3: Xuất phát từ các bài toán:

Bài toán 1: Cho các số dương lập thành một cấp số cộng. Tính tổng

Vùng kiến thức hiện tại trong bài toán 1 là HS đã biết được định nghĩa cấp số

cộng, từ công thức truy hồi suy ra d. Khi đưa ra bài toán 1 HS sẽ gặp khó khăn trong

việc tính tổng vì HS có thể xét thiếu trường hợp của d. Do đó bài toán 1 nằm trong

VPTGN của HS. Khi đó, GV hướng dẫn HS giải bài toán trên bằng cách giả sử công

sai của cấp số cộng là d, từ đầu bài GV yêu cầu HS viết công thức tính d và tính tổng

bằng cách xét hai trường hợp và . Trong trường hợp HS không khó

khăn trong việc tính tổng, còn trường hợp GV hướng dẫn HS nhân với biểu

thức liên hợp của các số hạng. Khi đó HS đưa ra lời giải như sau:

Giải: Gọi 𝑑 là công sai của cấp số cộng, tức là:

Nếu thì suy ra tổng

Nếu khi đó:

Vậy

Bài toán 2: Cho các số dương lập thành một cấp số cộng.

Tính tổng

- Vùng kiến thức hiện tại:

+ HS đã biết định nghĩa cấp số cộng.

+ Cách làm bài toán 1.

- GV hướng dẫn HS tiến tới VPTGN thông qua cách làm đã biết ở VD 1. Khi

đó HS đưa ra được lời giải sau:

Giải: Gọi 𝑑 là công sai của cấp số cộng, tức là:

Nếu thì suy ra

Nếu khi đó:

Vậy

Để ý rằng, từ hai bài toán trên ta thấy tổng của các số đều có dạng

khi đó ta có bài toán khái quát sau:

Cho các số dương lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng :

với .

Lời giải:

Gọi 𝑑 là công sai của cấp số cộng, tức là:

Nếu thì suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng.

Nếu khi đó:

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Từ hai bài toán 1 và bài toán 2, GV đưa HS đến bài toán tổng quát có cùng

cách chứng minh với hai bài toán trên. Từ đó HS dễ dàng chứng minh được các bài

toán tương tự.

Từ VD trên nếu ta thay:

khi đó ta có bài toán

sau và việc chứng minh bài toán này tương tự VD 3:

Ví dụ 4: Giả sử các số khác không lập thành một cấp số cộng.

Chứng minh rằng:

Lời giải:

Gọi là công sai của cấp số cộng.

Nếu thì đẳng thức được chứng minh.

Nếu :

thì ta có: Để ý rằng nếu 𝑥 ≠ 0 và

Vì vậy với mọi , ta đều có:

Khi đó:

Từ VD 4 ta cũng có bài toán khái quát sau: Giả sử các số khác không

lập thành một cấp số cộng.

Chứng minh rằng:

Ví dụ 5: Tính các tổng số sau:

Bài toán 1: (bài toán Acsimét)

- Vùng kiến thức hiện tại:

+ HS đã biết các hằng đẳng thức.

+ Các công thức đã được chứng minh bằng quy nạp.

- GV hướng dẫn HS tiến tới VPTGN bằng cách tính tổng của bài toán 1 thông

qua các kiến thức hiện tại.

Ta có

Ta lần lượt cho và cộng từng vế của n đẳng thức tạo thành, ta có:

Hay (*)

Với: 𝑆1 là tổng 𝑛 số nguyên tự nhiên đầu tiên.

là tổng của các bình phương của n số nguyên đầu tiên.

từ (*) ta suy ra: Ta có:

Bài toán 2:

Để tính lập phương của n số tự nhiên đầu tiên 𝑆3 ta dựa vào hằng đẳng thức:

Ta lần lượt cho và cộng từng vế của n đẳng thức tạo thành, ta có:

(**)

Thay bằng các kết quả ở bài toán 1, ta có:

Tương tự như trên, ta có bài toán 3 tính được tổng:

Từ kết quả của bài toán 1, GV mở rộng ra bài toán 2 với cách làm tương tự và

sử dụng các kết quả của bài toán 1, từ bài toán 2 mở rộng ra bài toán 3 và sử dụng kết

quả của bài toán 1 và 2. Như vậy, VPTGN của bài toán 1 trở thành vùng phát triển

hiện tại của bài toán 2, VPTGN của bài toán 2 lại trở thành vùng phát triển hiện tại

của bài toán 3, cứ tiếp tục như vậy VPTGN của HS sẽ được mở rộng ra.

Ví dụ 6: Xuất phát từ kiến thức đã học GV yêu cầu HS làm hai

bài toán sau:

Bài toán 1: Tính

Bài toán 2: Tính:

Khi đưa ra hai bài toán này HS sẽ khó khăn trong việc áp dụng kiến thức đã

biết nên VD 6 nằm trong VPTGN của HS. Khi đó GV gợi ý HS biến đổi bài toán để

đưa về dạng đã biết là

Bằng sự gợi ý HS đưa ra lời giải bài toán 1 như sau:

Tương tự có lời giải bài toán 2:

Tính:

Giải:

Từ bài toán 1 và bài toán 2 ta có bài toán khái quát như sau:

Ví dụ 7: Cho là số nguyên dương và . Chứng minh rằng:

Giải:

Đặt . Khi đó từ ta có , vậy:

Chú ý: Khi thì kết quả vẫn đúng.

Trong ví dụ trên bằng cách đặt y bằng căn thức đã cho và qua các phép biến

đổi HS chứng minh được VD 7.

Trong VD 7 nếu thay 𝑎𝑥 bởi một đa thức khi đó ta có ví dụ sau:

Ví dụ 8: Cho đa thức , với 𝑎1 ≠ 0 . Hãy tìm

giới hạn sau:

Vùng kiến thức hiện tại của HS trong VD này là HS đã biết cách biến đổi

trong VD 7, nhưng trong VD 8 HS sẽ gặp khó khăn trong việc đưa (*) về dạng đã biết

cách giải trước đó, nên VD 8 nằm trong VPTGN của HS. Để giúp HS tiến tới

VPTGN, GV có thể đưa ra gợi ý là nhân tử và mẫu với đa thức 𝑃(𝑥) và áp dụng công

thức . Khi đó HS sẽ đưa (*) về dạng đã biết ở VD 7,

từ đó HS đưa ra được lời giải như sau:

Giải: Ta viết lại giới hạn đã cho về dạng giống như ở VD 7. Khi đó ta có:

Đặt , khi đó dễ thấy thì vì thế:

Từ những biến đổi ở trên ta đã đưa (*) về dạng đã biết cách giải ở VD 7. Từ đó

HS sẽ tính ngay được kết quả:

Tương tự như vậy, GV đưa ra VD 9 và hướng dẫn HS thực hiện biến đổi để

đưa về dạng toán đã biết bằng cách thêm bớt hạng tử.

Ví dụ 9: Tìm giới hạn sau:

Giải: Ta có:

Suy ra:

Áp dụng kết quả trong VD 7 ta có:

Bằng cách biến đổi thêm bớt hạng tử, GV giúp HS biến đổi bài toán từ dạng

chưa biết cách giải về dạng đã được chứng minh trước đó.

Bài tập trên có dạng tổng quát như sau:

Cho là các số nguyên dương và là các số khác 0. Khi đó

ta có:

Việc chứng minh hoàn toàn tương tự VD 9.

Như vậy, từ những bài toán tổng quát trên GV có thể đưa ra nhiều bài tập cho

HS luyện tập nhằm giúp các em chủ động và tích cực hơn trong học tập.

Kết luận chương 2

Trong chương này luận văn đã trình bày việc vận dụng lí thuyết VPTGN trong

dạy học một số yếu tố Giải tích lớp 11 ở trường THPT, luận văn đã đề xuất 3 biện

pháp vận dụng. Từ đó, góp phần phát huy tính tích cực học tập của học sinh đồng thời

giúp các em nắm được bản chất của khái niệm và phương pháp để giải các bài toán về

giới hạn. Các hoạt động hướng dẫn trong chương này chủ yếu là GV đưa ra các câu

hỏi gợi mở, hướng dẫn HS nhằm giúp các em hoàn thành nhiệm vụ đặt ra.

Chương 3

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

3.1. Mục đích thực nghiệm

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả

thi và tính hiệu quả của các biện pháp sư phạm đưa ra trên cơ sở vận dụng lí thuyết về

vùng phát triển gần nhất trong dạy học một số yếu tố Đại số và Giải tích lớp 11.

3.2. Nội dung thực nghiệm

Xây dựng một số giáo án giảng dạy phần giới hạn ở lớp 11 THPT (Theo

chương trình sách giáo khoa ban cơ bản) bằng cách vận dụng lí thuyết vùng phát triển

gần nhất nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh.

Các tiết dạy thực nghiệm bao gồm các tiết dạy lí thuyết và dạy bài tập thể hiện

các biện pháp đã nêu ở chương 2.

3.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm

Chúng tôi chọn hai lớp 11A3 và 11A6 năm học 2015 – 2016 của trường THPT

Phú Bình để tổ chức thực nghiệm sư phạm. Trong đó, lớp 11A6 là lớp thực nghiệm

sư phạm, lớp 11A3 là lớp đối chứng. Sĩ số lớp 11A3 là 41 học sinh, lớp 11A6 là 45

học sinh. Mặt bằng chung về trình độ nhận thức của học sinh 2 lớp là tương đương

nhau.

Thời gian thực nghiệm: Từ tháng 02 năm 2016 đến tháng 04 năm 2016. Trong

đó lớp 11A3 giáo viên dạy bình thường; Lớp 11A6 do tác giả dạy, sử dụng giáo án

thực nghiệm sư phạm.

3.4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm

Giáo án 1:

Tiết 1: GIỚI HẠN DÃY SỐ

A. Mục tiêu bài giảng

1. Mục đích sư phạm

Vận dụng lí thuyết về VPTGN vào dạy học khái niệm nhằm nâng cao tính tích

cực học tập của HS.

2. Kiến thức

- HS nắm được định nghĩa dãy số có giới hạn 0, dãy số có giới hạn a.

- Nắm được một vài giới hạn đặc biệt.

3. Kĩ năng

- HS biết tính giới hạn dựa vào kiến thức đã học.

- Biết vận dụng định nghĩa để tìm một dãy số có giới hạn bằng a.

4. Thái độ

- Có tinh thần tự giác, tích cực tham gia bài học.

- Rèn luyện tư duy logic.

B. Chuẩn bị của GV và HS

- HS:

+ Ôn lại các kiến thức đã học trước đó.

+ Đọc trước bài giới hạn của dãy số.

- GV:

+ Giáo án, SGK, bảng phụ.

+ Các câu hỏi gợi mở, phiếu điều tra.

C. Phương pháp dạy học

Sử dụng phương pháp gợi mở vấn đáp thông qua hệ thống các câu hỏi.

D. Tiến trình bài giảng và các hoạt động

1. Ổn định tổ chức

Kiểm tra sĩ số lớp

2. Bài mới

Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ

GV chia lớp thành 3 nhóm và yêu cầu mỗi nhóm hoàn thành phiếu học tập của

Nhóm 1: Phiếu 1: Cho dãy số (𝑢𝑛) với

dưới dạng khai triển khi

+ Biểu diễn

trên trục số và có nhận xét gì về giá trị của

khi càng n tăng?

+ Biểu diễn

Nhóm 2: Phiếu 2: Cho dãy số (𝑢𝑛) với

dưới dạng khai triển khi

trên trục số và có nhận xét gì về giá trị của

khi càng n tăng?

mình

+ Biểu diễn + Biểu diễn

Nhóm 3: Phiếu 3: Cho dãy số

với

dưới dạng khai triển khi

trên trục số và có nhận xét gì về giá trị của

khi càng n tăng?

+ Biểu diễn + Biểu diễn

Sau khi hết giờ thảo luận theo nhóm GV yêu cầu đại diện mỗi nhóm lên trình

bày câu trả lời của nhóm mình.

GV nhận xét bài làm của từng nhóm và bổ sung vào bài làm của từng nhóm và

thông báo đáp án đúng trong từng phiếu học tập (sử dụng máy chiếu để hiển thị kết

quả).

Nhìn vào hình biểu diễn của nhóm 2 và nhóm 3 ta thấy khi n tăng thì các điểm

(𝑢𝑛) càng dần về 0. Khi đó ta nói rằng các dãy số (𝑢𝑛) có giới hạn hữu hạn. Vậy thế

biểu diễn “chụm lại” quanh điểm 0. Còn hình biểu diễn của nhóm 1 ta thấy khi n tăng

nào là giới hạn hữu hạn của dãy số ?.

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Hoạt động 2: Xây dựng định nghĩa dãy số có giới hạn 0 và dãy số có giới

hạn a.

Hoạt động của GV Hoạt động của HS

Cho học sinh quan sát hình biểu diễn của dãy HS: quan sát

số trong phiếu 1 (quan sát trên máy chiếu).

- Em có nhận xét gì về giá trị của 𝑢𝑛 khi n - Khi n tăng thì 𝑢𝑛 giảm

tăng?

- Nếu n tiếp tục tăng em có nhận xét gì về - Nếu 𝑛 tiếp tục tăng thì 𝑢𝑛 càng

gần về 0. khoảng cách từ 𝑢𝑛 đến 0?

- Bắt đầu từ số hạng nào của dãy số thì - Khi 𝑛 = 100 thì khoảng cách từ

khoảng cách từ 𝑢𝑛 đến 0 nhỏ hơn 0,01? 𝑢𝑛 đến 0 nhỏ hơn 0,01.

0,001? - Khi 𝑛 = 1000 thì khoảng cách từ

𝑢𝑛 đến 0 nhỏ hơn 0,001

Sau khi đưa ra các câu hỏi nhằm giúp HS xây dựng khái niệm, GV đưa ra bảng

biểu diễn sau:

n 1 2 3 … 10 11 12 … 100 101 102 …

1 ….

Mọi số hạng của dãy đã cho, kể từ số hạng thứ 11 trở đi , đều có giá trị tuyệt

đối nhỏ hơn , tức là:

với mọi

- Kể từ số hạng thứ mấy trở đi, mọi số hạng - Suy nghĩ trả lời

của dãy đã cho đều có giá trị tuyệt đối nhỏ

hơn

có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy

- Người ta cũng chứng minh được rằng

ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là

|𝑢𝑛| có thể nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là

chọn n đủ lớn. Khi đó, ta nói dãy (𝑢𝑛) với

có giới hạn là 0 khi n dần tới dương

vô cực.

- Nêu định nghĩa dãy số có giới hạn - Vậy như thế nào là một dãy số có giới hạn

0 theo ý hiểu. bằng 0?

- Yêu cầu HS phát biểu lại định nghĩa trong

- Phát biểu lại định nghĩa. sách giáo khoa trang 113.

- Em hãy lấy một số ví dụ về dãy số có giới - Ví dụ: dãy ; dãy hạn 0?

- Cho dãy số với . Hãy biểu - Biểu diễn các số hạng của dãy

diễn các số hạng của dãy số đó trên trục số trên trục số, và dự đoán dãy số có

và dự đoán giới hạn (nếu có) của dãy số trên. giới hạn bằng 2. Tức là:

- Gợi ý cho HS chứng minh dự đoán đó là - HS chứng minh:

đúng, bằng cách chứng minh

- Khi đó ta nói rằng dãy số (vn) có giới hạn

là 2.

- Một cách tổng quát với dãy số (vn) bất kì

thì khi nào (vn) được gọi là dãy số có giới - Phát biểu định nghĩa dãy số có hạn a? giới hạn a. - Bằng định nghĩa hãy chứng minh dãy số

với có giới hạn bằng 5. Nói - Ta có:

cách khác chứng minh .

Hoạt động 3: Một vài giới hạn đặc biệt

GV đưa ra 2 dãy số ; và yêu cầu HS xét tính tăng giảm của

hai dãy số đó.

HS: Dãy số là dãy tăng, còn dãy số là dãy không tăng không

giảm.

GV: Tính tăng giảm của dãy số hội tụ về 0. Hai dãy số có công thức trên đều

có giới hạn là 0. Ta có:

GV: Bằng định nghĩa chứng minh được các dãy số có công thức dưới đây có

giới hạn là 0:

GV: Một cách tổng quát với k là một số nguyên dương bất kì khi đó ta có công

thức tổng quát như thế nào?

HS: Ta có

GV: Bằng định nghĩa người ta chứng minh được các dãy số sau có giới hạn 0

GV: Một cách tổng quát ta có: nếu

GV: Nếu . (𝑐 là hằng số) thì

Chú ý: Thay cho việc viết ta viết là .

GV: Các giới hạn trên được gọi là các giới hạn đặc biệt. Vận dụng các giới hạn

đặc biệt để tính các giới hạn của các dãy sau:

a) b)

Giải: a)

b) vì

Hoạt động 4: Củng cố

GV: Bài học hôm nay nghiên cứu vấn đề gì?

HS: Định nghĩa dãy số giới hạn 0, dãy số có giới hạn a và một giới hạn đặc biệt.

GV: Chú ý (𝑢𝑛) có thể là dãy không đơn điệu và có thể là dãy dần về 0 từ bên trái,

hay từ bên phải hoặc từ hai phía. Chẳng hạn dãy số là dãy không đơn điệu.

Một số câu hỏi trắc nghiệm ôn tập:

Câu 1: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng 0

a) b) c) d)

Câu 2: bằng:

a) 3 b) 2 c) d)

Câu 3: bằng:

a) 3 b) 2 c) d)

Hoạt động 5: Dặn dò

- HS về nhà ôn bài và đọc trước bài mới.

- Làm bài tập 1, 2 (SGK).

Dụng ý sư phạm: Bài soạn trên thể hiện tình huống dạy học khái niệm giới

hạn hữu hạn của dãy số. Cụ thể:

+ Trong hoạt động 1, GV đưa ra ba phiếu học tập với mục đích giúp HS có

những hình ảnh trực quan ban đầu về kiến thức mới trong bài học.

+ Trong hoạt động 2, từ kết quả của phiếu 1, GV dẫn dắt HS tiến tới VPTGN

bằng cách đưa ra hệ thống câu hỏi, từng bước hướng dẫn HS xuất phát từ những kiến

thức đã biết để đạt được những kiến thức cần xây dựng.

+ Trong hoạt động 3, GV giới thiệu một số giới hạn dãy số đặc biệt, từ đó đưa

ra bài tập cho HS áp dụng các giới hạn đặc biệt đó.

+ Hoạt động 4, GV củng cố bài học, đưa ra một số lưu ý cho HS và cho HS

làm một số câu hỏi trắc nghiệm với mục đích là ôn lại các kiến thức vừa học trong

hoạt động 2 và hoạt động 3.

Giáo án 2:

Tiết 2: HÀM SỐ LIÊN TỤC

A. Mục tiêu bài giảng

1. Mục đích sư phạm

Vận dụng lí thuyết VPTGN trong dạy học nhằm nâng cao tính tích cực của HS

2. Kiến thức

HS nắm được định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, hàm số liên tục trên

một khoảng, hàm số liên tục trên một đoạn, các định lí cơ bản.

3. Kĩ năng

Biết cách chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, hàm số liên tục trên một

khoảng và hàm số liên tục trên một đoạn.

Biết chứng minh một phương trình có nghiệm trên một khoảng.

4. Thái độ

Tinh thần học hợp tác, tích cực tham gia bài học.

B. Chuẩn bị của GV và HS

1. Chuẩn bị của GV: Giáo án, dụng cụ dạy học.

2. Chuẩn bị của HS: Học bài cũ, chuẩn bị trước bài mới ở nhà.

C. Phương pháp dạy học

Sử dụng phương pháp gợi mở vấn đáp thông qua hệ thống các câu hỏi.

D. Hoạt động dạy học

1. Ổn định tổ chức lớp

Kiểm tra sĩ số lớp

2. Bài mới

Hoạt động 1: Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm

Nhóm 1: Phiếu 1: Cho hàm số

a) Tính

và so sánh với

(nếu có).

b) Đồ thị hàm số

là đường liền nét hay đứt đoạn tại

Nhóm 2: Phiếu 2: Cho hàm số

a) Tính

và so sánh với

(nếu có)

b) Đồ thị hàm số

là đường liền nét hay đứt đoạn tại

điểm

Nhóm 3: Phiếu 3: Cho hàm số

a) Tính

và so sánh với

(nếu có)

b) Đồ thị hàm số

là đường liền nét hay đứt đoạn tại

điểm

GV chia lớp thành 3 nhóm và phát phiếu học tập cho các nhóm:

Sau khi 3 nhóm thảo luận xong GV yêu cầu đại diện 3 nhóm lên bảng điền vào

bảng mà GV đã chuẩn bị sẵn.

So sánh Đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ Hàm số Giới hạn của hàm số khi Giá trị hàm số tại 𝑥 = 1

Là đường liền nét

không tồn

Không liền nét

tại

Không liền nét

GV: Khi đó ta nói hàm số liên tục tại 𝑥 = 1.

Hàm số và không liên tục tại 𝑥 = 1.

GV: Nhìn vào bảng kết quả em hãy cho biết thế nào là hàm số liên tục tại một

điểm?

HS: Phát biểu định nghĩa theo ý hiểu.

GV: Gọi một HS đọc định nghĩa 1 trong SGK.

Định nghĩa 1: Hàm số xác định trên khoảng K và . Hàm số

được gọi là liên tục tại nếu

Hàm số không liên tục tại được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

GV: Từ định nghĩa, để hàm số liên tục tại cần thỏa mãn các điều

kiện gì?

HS: Cần thỏa mãn các điều kiện:

+) Hàm số xác định tại .

+) tồn tại.

+) .

GV: Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) gián đoạn tại 𝑥0 nếu không thỏa mãn một trong ba điều

kiện trên.

GV: Xét VD sau:

Xét tính liên tục của hàm số tại

Giải:

+) Hàm số xác định trên , do đó xác định trên khoảng (2; +∞)

chứa .

Vậy hàm số liên tục tại .

Sau đó GV chiếu đồ thị này lên màn hình

chiếu.

Từ các điều kiện của hàm số liên tục GV đưa ra quy trình xét tính liên tục của

hàm số 𝑓(𝑥) tại 𝑥0:

𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥) liên tục

𝑓(𝑥)

∃𝑓(𝑥0)

∃ lim 𝑥→𝑥0

∃ lim 𝑥→𝑥0 = 𝑓(𝑥0)

tại 𝑥0

𝑓(𝑥) gián đoạn tại 𝑥0

Kết thúc

Bắt đầu

Hoạt động 2: Hàm số liên tục trên một khoảng

GV nêu định nghĩa: Hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu

nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

GV chiếu lên màn hình chiếu hình ảnh đồ thị

và yêu cầu HS trả lời câu hỏi: Đồ thị

hàm số này có liên tục trên (-1; 1) không?

GV: Các em đã biết điều kiện để hàm số liên

tục tại một điểm và hàm số liên tục trên một khoảng.

Câu hỏi đặt ra là để hàm số liên tục trên một đoạn thì cần những điều kiện gì?

GV: Em hãy nêu mối liên hệ giữa [a; b]; (a; b) và hai phần tử {a}, {b}?

HS: Ta có

GV: Vậy điều kiện để hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục trên [𝑎; 𝑏] là gì?

HS: Điều kiện để hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục trên [𝑎; 𝑏] là hàm số liên tục trên

khoảng (a; b) và liên tục tại hai điểm a và b.

GV: Điều kiện hàm số liên tục trên (a; b) là cần thiết. Nhưng có nhất thiết hàm

số phải liên tục tại a và liên tục tại b hay không các em cùng xét ví dụ sau:

Xét tính liên tục của hàm số trên đoạn

GV: Yêu cầu HS tính:

với

HS: Với ta có:

GV: (1), (2), (3) là điều kiện để hàm số liên tục trên

Tổng quát lên em hãy cho biết để hàm số liên tục trên cần những

điều kiện gì?

HS: Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) và liên tục trái tại a, liên tục

phải tại b.

GV: Yêu cầu một HS đọc định nghĩa 2 trong SGK trang 136.

HS: Đọc định nghĩa 2.

Định nghĩa 2: Hàm số được gọi là liên tục trên [a; b] nếu nó liên tục

trên khoảng (a; b) và

GV: Khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng như (a; b], [a; +∞), … được

định nghĩa một cách tương tự.

Từ đó GV yêu cầu HS làm bài tập:

Xét tính liên tục của hàm số trên [-2; 2].

Hoạt động 3: Một số định lí cơ bản

GV: Ta thừa nhận các định lí sau:

Định lí 1:

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thức R.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác

liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

Định lí 2:

Giả sử và là hai hàm số liên tục tại điểm 𝑥0. Khi đó:

a) Các hàm số và liên tục tại và

𝑥0;

. b) Hàm số liên tục tại nếu

GV đưa ra ví dụ để HS hiểu nội dung định lí

Ví dụ: Cho hàm số

Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.

GV: Tập xác định của hàm số trên là gì?

HS: Tập xác định: R

bằng bao nhiêu? Em có nhận xét gì về hàm số GV: Nếu 𝑥 ≠ 1 em có

này?

HS: Nếu ta có . Đây là hàm phân thức hữu tỉ.

GV: Em hãy tìm tập xác định của hàm phân thức trên?

HS: Hàm phân thức trên có tập xác định là .

GV: Theo định lí 1 ta có hàm số liên tục trên mỗi khoảng

và .

bằng bao nhiêu? GV: Với 𝑥 = 1 thì ta có

HS: .

GV: Em hãy tính ?

HS: .

GV: Từ giá trị của em có kết luận gì về tính liên tục của hàm và

số đã cho trong trường hợp ?

HS: Vì nên hàm số đã cho không liên tục tại .

GV: Từ sự phân tích như trên em có kết luận chung gì về hàm số đã cho?

HS: Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng ; và gián đoạn tại

Định lí 3: Nếu hàm số liên tục trên đoạn và thì

tồn tại ít nhất một điểm sao cho .

Hay nói cách khác:

Nếu hàm số thì phương liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏] và

trình có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng .

GV đưa ra ví dụ để giải thích cho định lí.

Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm

trong khoảng (0; 2).

GV: Xét hàm số . Tìm tập xác định của hàm số và tính

. tại

. HS:

GV: Em có nhận xét gì về dấu của ?

. HS:

liên tục trên R, do đó nó liên tục trên [0;2]. Theo định lí 3 ta có GV:

điều gì?

HS: Theo định lí 3 sẽ tồn tại ít nhất một nghiệm 𝑥0 nằm trong khoảng (0; 2).

Từ đó suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; 2).

GV: Từ ví dụ trên ta thấy và ta có thể kết luận rằng phương trình

có ít nhất một nghiệm trong khoảng .

GV: Chú ý rằng muốn chứng minh có hai, ba nghiệm thì ta tìm hai,

ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng đều có nghiệm.

Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình có ba nghiệm phân

biệt thuộc (-2;2).

Giải: Đặt

Ta có 𝑓(𝑥) là hàm đa thức xác định với mọi 𝑥 thuộc R nên 𝑓(𝑥) liên tục trên R

suy ra 𝑓(𝑥) liên tục trên các đoạn [-2;0]; [0;1]; [1;2].

Ta lại có nên:

⟹ 𝑓(𝑥) có một nghiệm thuộc (-2;0).

⟹ 𝑓(𝑥) có một nghiệm thuộc (0;1).

⟹ 𝑓(𝑥) có một nghiệm thuộc (1;2).

Vậy phương trình 2𝑥3 − 3𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc

Từ ví dụ trên ta thấy (-2;0) thuộc (-2; 2); (0; 1) thuộc khoảng (-2; 2); (1; 2)

thuộc (-2; 2).

Hoạt động 4: Củng cố

GV chiếu bảng phụ tổng hợp kiến thức trong bài học lên bảng. Hướng dẫn HS

cách chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn một

cách tổng quát. Hướng dẫn HS cách tìm nghiệm của phương trình 𝑓(𝑥) = 0.

Một số câu hỏi củng cố:

Chọn đúng sai mà em thấy hợp lí:

Câu 1: Mọi hàm số đều liên tục trên R.

Câu 2: Hàm số liên tục tại 𝑥 = 𝑎 thì giới hạn phải và giới hạn trái bằng nhau

Câu 3: Hàm số có nghiệm thì

Câu 4: Hàm số f thỏa mãn thì có nghiệm .

Bài tập về nhà: Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 (SGK – tr.142).

Dụng ý sư phạm: Bài soạn thể hiện tình huống dạy học khái niệm hàm số liên

tục. Trong hoạt động 1, GV xuất phát từ hoạt động nhóm và yêu cầu hoàn thành

bảng, từ bảng đã hoàn thành GV dẫn dắt HS tiến tới VPTGN nằm trong hoạt động 2,

từ hệ thống câu hỏi gợi ý với mong muốn HS thấy được mối liên hệ giữa các kiến

kiến thức ở vùng phát triển hiện tại để đưa HS đến kiến thức cần đạt được trong bài

học. Hoạt động 3, cùng với việc phát biểu các định lí GV đưa ra những ví dụ để phân

tích cho HS hiểu nội dung của định lí và có thể áp dụng vào làm bài tập. Hoạt động 4,

GV củng cố lại các kiến thức trong bài học cho HS, sau đó yêu cầu HS trả lời một số

câu hỏi củng cố toàn bài.

Giáo án 3:

Tiết 3: LUYỆN TẬP

(Hàm số liên tục)

A. Mục tiêu

1. Mục đích sư phạm: Vận dụng lí thuyết vùng phát triển gần nhất vào dạy bài

tập hàm số liên tục theo hướng phát huy tính tích cực học tập của HS.

2. Kiến thức

HS biết vận dụng những kiến thức đã học vào giải bài tập.

3. Kĩ năng

Rèn luyện cho HS kĩ năng vận dụng định nghĩa, định lí vào làm bài tập.

4. Thái độ

- Tự giác tích cực trong học tập.

- Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và có hệ thống.

B. Chuẩn bị của GV và HS

1. Chuẩn bị của GV: Hệ thống câu hỏi gợi mở, bảng phụ.

2. Chuẩn bị của HS: làm bài tập về nhà.

C. Hoạt động dạy học

Hoạt động 1: Sử dụng định nghĩa hàm số liên tục

Bài 1 (SGK – tr. 140): Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số

tại

Hoạt động của GV Hoạt động của HS

- Sử dụng định nghĩa nào để làm bài - Định nghĩa 1: hàm số liên tục tại một

tập này? điểm.

- Cần có điều kiện: - Để hàm số liên tục tại 𝑥0 em cần có

điều kiện gì?

- Khi đó em cần xác định mấy yếu tố - Cần xác định 3 yếu tố là tính

để hàm số liên tục tại 𝑥0? , so sánh giá trị của

- Em hãy tính Ta có: Hàm số xác định trên R

Vậy suy ra hàm số

liên tục tại .

Bài 2 (SGK – tr.141):

a) Xét tính liên tục của hàm số tại 𝑥0 = 2, biết:

b) Trong biểu thức xác định g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào để hàm số

liên tục tại .

Hoạt động của GV Hoạt động của HS

- Nếu ta có hàm số nào? Ta có:

Khi đó:

- Tính

Ta có

- Từ kết quả trên em có kết luận gì về Vậy hàm số không liên tục tại . tính liên tục của hàm số ?

- Từ (a) em có thể trả lời luôn được (b)

không? Đáp án là gì? - Phải thay số 5 bởi số 12 thì hàm số liên tục tại .

GV: Từ bài tập trên em hãy đưa ra các bước chứng minh hàm số có dạng

liên tục tại 𝑥0

HS: Các bước để hàm số liên tục tại 𝑥0 ta có:

Bước 1: Tìm .

Bước 2: Tìm .

Bước 3: Hàm số liên tục tại

GV: Tương tự cách làm trên GV đưa ra thêm một số bài tập:

1) Cho hàm số

Xét tính liên tục của hàm số tại 𝑥0 = 1.

2) Cho hàm số

Xét tính liên tục của hàm số tại .

Hoạt động 2: Sử dụng giới hạn bên trái và giới hạn bên phải

Bài 3 (SGK – tr. 141): Cho hàm số

a) Vẽ đồ thị của hàm số . Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của hàm

số trên tập xác định của nó.

b) Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh.

Hoạt động của GV Hoạt động của HS

- Yêu cầu HS vẽ đồ thị hàm số - Vẽ đồ thị hàm số .

- Dựa vào đồ thị hàm số em hãy nêu - Nhìn vào đồ thị ta

nhận xét về tính liên tục của hàm số. thấy:

Hàm số gián đoạn tại

𝑥 = −1.

- Em hãy chứng minh khẳng định đó? Ta có:

- Tính ;

Suy ra do đó không

tồn tại . - Em có nhận xét gì về ;

Vậy hàm số đã cho gián đoạn tại 𝑥 = −1.

GV: Từ bài tập trên hãy rút ra cách chứng minh hàm số có dạng

liên tục tại

HS: Tìm

hàm số liên tục tại .

GV: Đưa ra một số bài tập có cùng cách giải

1) Xét tính liên tục của hàm số tại điểm .

2) Xét tính liên tục của hàm số tại điểm .

Hoạt động 3: Chứng minh phương trình có nghiệm

Bài 6 (SGK – tr.141): Chứng minh rằng phương trình:

a) có ít nhất hai nghiệm;

b) có nghiệm.

Giải:

a) có ít nhất hai nghiệm

Hoạt động của GV Hoạt động của HS

Xét hàm số

Hàm số liên tục trên [a;b] - Để hàm số có ít nhất một

và nghiệm thuộc (a; b) thì cần có điều

kiện gì?

- Tìm tập xác định của hàm số - Vì là hàm đa thức nên liên tục

trên 𝑅.

- Em hãy tìm 𝑎; 𝑏 thích hợp để thỏa - Ta có: ;

mãn sự tồn tại nghiệm của phương Có trình trên một khoảng.

Suy ra hàm số liên tục trên [0; 1] Chú ý: Các nghiệm phải thuộc các

Từ đó phương trình có ít nhất một khoảng rời nhau.

nghiệm 𝑥0 ∈ (0; 1).

Tương tự ta có:

Có

Suy ra hàm số liên tục trên [-2; -1]

Từ đó phương trình có ít nhất một

nghiệm thuộc khoảng (-2; -1).

- Em có nhận xét gì về nghiệm (0; 1) Vì (0; 1) và (−2; −1) rời nhau nên

và (−2; −1)? Đưa ra kết luận của bài nghiệm nói trên không thể trùng nhau.

toán? Nên phương trình đã cho có ít nhất hai

nghiệm.

b) có nghiệm.

Hoạt động của GV Hoạt động của HS

Xét hàm số

- Hàm số liên tục trên 𝑅. Do đó nó liên - Tìm tập xác định của hàm số

tục trên [−π; π].

- Tính và

Suy ra:

- Theo định lí 3 ta có kết kuận gì? Theo định lí 3, phương trình

có nghiệm trong tức

là có nghiệm.

GV: Từ bài tập trên em hãy rút ra cách chứng minh phương trình có ít nhất

một nghiệm trên một khoảng.

HS:

+ Chứng tỏ liên tục trên đoạn .

+ Chứng tỏ .

Khi đó có ít nhất một nghiệm thuộc (𝑎; 𝑏).

Nếu chưa có (𝑎; 𝑏) thì cần tính các giá trị 𝑓(𝑥) để tìm 𝑎 và 𝑏.

Muốn chứng minh có hai, ba nghiệm thì ta tìm hai, ba khoảng rời

nhau và trên mỗi khoảng đều có nghiệm.

GV đưa ra một số bài tập có cùng cách giải:

Bài tập 1: Chứng minh phương trình có ít nhất hai nghiệm với mọi

giá trị của .

Bài tập 2: Chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai

nghiệm trong khoảng .

Bài tập 3: Chứng minh rằng phương trình có ba nghiệm thuộc

khoảng .

Hoạt động 4: Củng cố

GV nhắc lại cách chứng minh hàm số liên tục theo từng dạng hàm số và cách

chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm trên một khoảng một cách tổng quát

nhất.

Bài tập về nhà: 4, 5 (SGK – tr.141).

Dụng ý sư phạm: Bài soạn thể hiện tình huống dạy bài tập. Trong mỗi hoạt

động GV hướng dẫn HS làm từng dạng bài tập cụ thể, qua mỗi bài tập rút ra phương

pháp để giải bài tập có cùng dạng. Mục đích chính của bài soạn này là cung câp tri

thức phương pháp cho HS, cụ thể là cung cấp phương pháp giải bài tập xét tính liên

tục của hàm số và chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng đã

cho, để từ đó các em có thể độc lập giải quyết những bài tập tương tự.

Tiến hành thực nghiệm: Quá trình thực nghiệm được tiến hành theo đúng phân

phối chương trình và theo sự sắp xếp của nhà trường. Sau khi giảng dạy các giáo án,

qua trao đổi với các GV trong trường, cả hai lớp cùng làm bài kiểm tra một tiết, bài

kiểm tra có nội dung như sau:

Đề kiểm tra (thời gian 45 phút)

A – Trắc nghiệm

Câu 1: Hàm số nào sau đây không liên tục tại 𝑥 = 0

a) b)

c) d)

Câu 2: Hàm số nào sau đây liên tục tại 𝑥 = 1

a) b)

c) d)

Câu 3: Cho hàm số

hàm số liên tục tại 𝑥 = −1 thì a bằng

a) -1 b) -3 c) -6 d) -9

Câu 4: Cho hàm số

Để hàm số liên tục tại 𝑥 = 1 thì a bằng

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

B – Tự luận

Câu 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) tại .

Câu 2: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định

của nó.

Câu 3: Chứng minh rằng:

a) Phương trình luôn có nghiệm.

b) Phương trình có nghiệm (m là tham số).

Đáp án và thang điểm:

Đáp án Điểm

Nội dung A – Trắc nghiệm

B – Tự luận có tập xác định là . Do đó, nó

chứa .

Câu 1: b Câu 2: b Câu 3: a Câu 4: a Câu 1: a. Hàm số xác định trên khoảng b. Có tập xác định là Tính được:

1 1 1 1 0,5 0,5 0,5 0,5

+ + Kết luận Câu 2: Tập xác định D = R

+ Nếu thì . Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên

và .

liên tục trên các khoảng + Tại : 1 1

liên tục trên đoạn

+ Kết luận. Câu 3: a. Đặt + + + Kết luận. b. Đặt + liên tục trên R .

Ta thấy:

Suy ra là nghiệm của phương trình 1 0,5 0,5 0,5 0,5

3.5. Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.5.1. Đánh giá định lượng

Kết quả học tập thu được trong quá trình thực nghiệm được thể hiện trong

bảng sau:

Bảng 3.1. Bảng kết quả kiểm tra của HS hai lớp 11A3 và 11A6

Lớp thực nghiệm

Lớp đối chứng

Điểm

Tần số (𝑛 = 41)

Tần số (𝑛 = 45) Tần suất (%)

Tần suất (%)

7,3

2,2

4,9

4,4

9,8

4,4

9,8

31,7

17,8

12,2

9,8

13,3

7,3

11,1

4,8

6,8

2,4

Khá giỏi

51,1

24,3

Trung bình

37,8

43,9

Yếu kém

11,1

31,8

Từ bảng trên ta có biểu đồ về bảng phân bố tần số và bảng phân bố tần suất kết

quả kiểm tra 45 phút của hai lớp 11A3 và 11A6 như sau:

14

13

12

10

9

8

6

5 h n i s c ọ h ố S

4

3

2

1

0 Điểm

1

2

3

4

8

9

7

5

6

10 Lớp thực nghiệm

Lớp đối chứng

Biểu đồ 3.1. Bảng phân bố tần số kết quả kiểm tra 45 phút

của hai lớp 11A3 và 11A6

Lớp thực nghiệm

Lớp đối chứng

11%

24%

32%

51%

38%

44%

Trung bình

Khá giỏi

Yếu kém

Khá giỏi

Yếu kém

Biểu đồ 3.2. Bảng phân bố tần suất kết quả kiểm tra 45 phút

của hai lớp 11A3 và 11A6

Từ kết quả trên cho thấy:

+ Tỉ lệ HS ở lớp thực nghiệm đạt điểm khá giỏi cao hơn nhiều so với lớp đối

chứng, chênh lệch là 26,8%.

+ Tỉ lệ HS đạt điểm trung bình lớp thực nghiệm chênh lệch với lớp đối chứng

là 6,1%.

+ Điểm trung bình của lớp đối chứng là 5,12 chênh lệch 1,38 so với lớp

thực nghiệm.

Để có thể khẳng định về chất lượng của đợt thực nghiệm sư phạm chúng tôi

tiến hành xử lí số liệu thống kê Toán học.

Kết quả xử lý thống kê số liệu thu được như sau:

Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng

Điểm Tần suất Tần suất Tần số (𝑛 = 45) Tần số (𝑛 = 41) (%) (%)

Điểm trung bình

6,5 5,12

Phương sai

3,7 4,8

Độ lệch chuẩn 1,9 2,1

Trong đó: N là tổng số HS.

là điểm số.

là tần số tương ứng với điểm .

Sử dụng phép thử t – Student để xem xét, kiểm tra tính hiệu quả của thực

nghiệm, ta có kết quả: . Khi tra bảng phân phối chuẩn với bậc

tự do và với mức ý nghĩa ta thu được , ta có .

Như vậy, thực nghiệm có kết quả rõ rệt.

Để có căn cứ so sánh kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm với lớp đối chứng,

chúng tôi tiến hành kiểm định giả thuyết : “Sự khác nhau giữa các điểm trung

bình ở hai mẫu chọn là không có ý nghĩa”. Nếu thì giả thuyết bị bác bỏ, khi

đó sự khác nhau giữa các điểm trung bình ở hai mẫu chọn là có ý nghĩa. Nếu thì

giả thuyết đúng. Thật vậy:

Với mức ý nghĩa , tra bảng phân phối chuẩn với bậc tự do là

ta có mức tới hạn là . Khi đó ta có giá trị kiểm

định như sau:

suy ra

Vậy giả thuyết bị bác bỏ, điều đó chứng tỏ sự khác nhau giữa các điểm

trung bình ở hai mẫu chọn là có ý nghĩa.

Kết quả kiểm định chứng tỏ chất lượng học tập của lớp thực nghiệm cao hơn

lớp đối chứng.

Như vậy, vận dụng lí thuyết về vùng phát triển gần nhất trong dạy học giúp

nâng cao tính tích cực học tập của HS. Từ đó các em có tác phong làm việc độc lập

và kết quả học tập sẽ cao hơn.

3.5.2. Đánh giá định tính

Qua các giờ dạy khi vận dụng lí thuyết vùng phát triển gần nhất cho thấy:

+ Chất lượng học tập ở lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng, HS vận dụng

được ngay kiến thức vừa học để làm bài tập.

+ HS có hứng thú học tập hơn, nhất là khi GV đưa ra các câu hỏi gợi ý các em

hăng hái phát biểu xây dựng bài.

+ Khi đưa ra bài tập GV hướng dẫn HS cách làm từ đó các em rút ra được

những phương pháp giải phù hợp với từng dạng bài tập thông qua đó các em chủ

động làm bài tập, chủ động xây dựng kiến thức trong bài.

+ Việc đưa ra mô hình và bảng biểu làm kích thích tính tích cực chủ động,

sáng tạo trong học tập và niềm tin vào bản thân của HS.

Kết luận chương 3

Trên cơ sở mục đích thực nghiệm sư phạm, chúng tôi đã tiến hành soạn giảng

ba giáo án với những phương pháp có vận dụng lí thuyết VPTGN. Đồng thời, để

kiểm nghiệm tính khả thi của các biện pháp, chúng tôi đã tiến hành cho HS làm bài

kiểm tra ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng. Kết quả phân tích số liệu cho thấy điểm

trung bình của lớp thực nghiệm cao hơn hẳn điểm lớp đối chứng, HS lớp thực nghiệm

có kết quả tương đối đồng đều hơn so với HS lớp đối chứng, trong đó tỉ lệ HS khá

giỏi khá cao. Kết quả thực nghiệm sư phạm phần nào chứng tỏ: Khi vận dụng lí

thuyết về VPTGN vào dạy học và có những phương pháp dạy học thích hợp nhằm

nâng cao tính tích cực, chủ động, sáng tạo của HS, các em cảm thấy có hứng thú hơn

trong mỗi tiết học từ đó góp phần phát huy tối đa, tối ưu những khả năng của cá nhân.

Quan trọng hơn, trong mỗi bài học HS rút ra được những kiến thức cần thiết

cho bản thân, từ đó giúp các em tự tin hơn trong việc giải quyết bài tập và phát huy

được tính tích cực học tập của cá nhân.

KẾT LUẬN

Qua quá trình nghiên cứu đề tài “Vận dụng lí thuyết về vùng phát triển gần

nhất trong dạy học một số yếu tố Đại số và Giải tích lớp 11” chúng tôi đã thu được

những kết quả cụ thể sau đây:

Thứ nhất, làm rõ một cách có hệ thống những vấn đề cơ bản nhất về lí thuyết

VPTGN và ứng dụng lí thuyết VPTGN trong dạy học.

Thứ hai, đã đề xuất được ba biện pháp sư phạm về vận dụng lí thuyết VPTGN

trong dạy học nội dung Giải tích trong chương trình Đại số và Giải tích 11.

Thứ ba, đề tài đã nghiên cứu về thực trạng việc dạy và học môn Toán nói

chung và dạy học nội dung Giải tích trong chương trình Đại số và Giải tích 11 nói

riêng ở trường THPT hiện nay. Từ đó, chúng tôi tiến hành xây dựng giáo án nhằm

vận dụng lí thuyết VPTGN vào dạy học nội dung trên. Trên cơ sở đó, một mặt giúp

HS tiến tới VPTGN và có thể mở rộng ra vùng phát triển xa hơn, mặt khác phát huy

được tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập của các em.

Thứ tư, chúng tôi đã xây dựng được hệ thống các câu hỏi gợi mở nhằm mục

đích “nâng đỡ”, “bắc giàn” để HS xây dựng kiến thức một cách tự nhiên và thuận

lợi.

Thứ năm, tác giả đã tiến hành thực nghiệm sư phạm, phân tích, đánh giá kết

quả thực nghiệm. Bước đầu khẳng định tính khả thi của một số biện pháp khi vận

dụng lí thuyết VPTGN trong dạy học và cũng có thể nhấn mạnh rằng việc vận dụng lí

thuyết VPTGN trong dạy học đã góp phần nâng cao tính tích cực, chủ động, sáng tạo

trong học tập của HS.

Dựa trên các kết quả mà luận văn đã đạt được, cùng với giả thuyết khoa học

đưa ra được chấp nhận và mục đích nghiên cứu đã được hoàn thành. Chúng tôi hy

vọng đề tài có thể là tài liệu tham khảo cho các GV trong việc xây dựng các bài

giảng, nhằm phát huy tính tích cực học tập cũng như năng lực toàn diện của HS.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Nguyễn Hồng Anh (2011), Vận dụng lí thuyết về vùng phát triển gần nhất trong

dạy học một số chủ đề hình học không gian ở lớp 11, Luận văn thạc sĩ khoa học

giáo dục, Trường ĐHSP – ĐHTN.

2. Hoàng Chúng (1997), Phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT, Nxb

Giáo dục, Hà Nội.

3. Phạm Minh Hạc (1997), Tâm lý học Vư-gốt-xki, tập 1, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

4. Nguyễn Bá Kim (2002), PPDH môn Toán, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.

5. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (2003), Phương pháp dạy học môn Toán phần

đại cương, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

6. Luật Giáo dục Việt Nam 2005 (2005), Nxb Chính trị Quốc gia.

7. Nguyễn Bá Kim – Vương Dương Minh – Tôn Thân (1998), Khuyến khích một số

hoạt động trí tuệ của học sinh qua môn toán ở trường THCS, Nxb Giáo dục.

8. Bùi Văn Nghị (2008), Vận dụng lý luận vào thực tiễn dạy học môn Toán ở trường

phổ thông, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.

9. Bùi Văn Nghị (chủ biên), Trần Trung, Nguyễn Tiến Trung (2010), Dạy học theo

chuẩn kiến thức, kỹ năng môn Toán lớp 11, Nxb Đại học sư phạm, Hà Nội.

10. Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán,

Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.

11. Phan Trọng Ngọ, Nguyễn Đức Hướng (2003), Các lý thuyết phát triển tâm lý

người, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.

12. Đào Tam, Trần Trung (2010), Tổ chức hoạt động nhận thức trong dạy học môn

Toán ở trường Trung học phổ thông, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.

13. Vũ Tuấn (chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên (2013), Đại số

và giải tích 11, Nxb Giáo dục Việt Nam.

Tiếng Anh

14. Curriculum, http://www.tofom.com/our-curriculum

15. Harry Daniels (2005), An Introduction to Vygotsky, Taylor &Francis Group.

16. Hammond Jenifer and collegues (2002), Scaffolding Teaching and learning in

language and Literacy Education, Newtown, Australia: Primany English

Teaching Association.

17. Louise Turner (2010), Vygotxki’s Zone of Proximal Development (ZPD),

http://educ5815m.wordpress.com

18. L.X.Vygotxki (1997), Tuyển tập tâm lý học (Nguyễn Đức Hướng, Dương Diệu

Hoa, Phan Trọng Ngọ dịch), Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội.

PHỤ LỤC

PHỤ LỤC 1:

PHIẾU PHỎNG VẤN GIÁO VIÊN

Xin Thầy/Cô cho biết ý kiến của mình về các vấn đề sau:

1. Nơi công tác:………………………………………………………………………....

2. Giới tính:………….………………………..Dân tộc:……………………………….

3. Số năm giảng dạy Toán ở trường THPT:…………………………………………....

4. Thầy/Cô thường dùng những phương pháp giảng dạy nào dưới đây trong DH môn

Mức độ sử dụng

Thường

Không

Phương pháp

Đôi khi

xuyên

sử dụng

1. Phương pháp thuyết trình.

2. Phương pháp đàm thoại, vấn đáp.

3. Dạy học kiến tạo.

4. Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.

5. Dạy học hợp tác.

6. Dạy học ngoại khóa.

Toán (đánh dấu x vào ô Thầy/Cô chọn):

5. Theo Thầy/Cô định hướng đổi mới PPDH hiện nay là: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 6. Xin Thầy/Cô cho biết những biểu hiện tính tích cực học tập của HS: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 7. Những ý kiến của Thầy/Cô với các cấp quản lý: ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. Ngày …tháng…..năm 2016.

Xin chân thành cảm ơn sự hợp tác và giúp đỡ của Thầy/Cô.

PHỤ LỤC 2:

PHIẾU PHỎNG VẤN HỌC SINH

1. Học sinh lớp 11……. Trường THPT………………………………………………...

2. Giới tính:……………………..Dân tộc:……………………………………………..

3. Em có thích học môn Toán không:…………………………………………………

4. Em thường học Toán như thế nào? (Đánh dấu x vào ô em lựa chọn).

Mức độ

Thường Thỉnh Không Hình thức học xuyên thoảng bao giờ

1. Học theo SGK.

2. Học theo vở ghi.

3. Học hiểu và tham khảo tài liệu.

4. Học thuộc lòng.

5. Học theo cách riêng.

5. Trong các giờ học Toán, các em có thường xuyên được Thầy/Cô tổ chức các hoạt

động học tập không? (Đánh dấu x vào ô các em lựa chọn).

Thường xuyên Thỉnh thoảng Chưa bao giờ

6. Những kiến nghị của em với GV, nhà trường và gia đình:

………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………. Ngày ….tháng……năm 2016.

Xin chân thành cảm ơn sự hợp tác và giúp đỡ của các em.