Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học Đại số lớp 10 ở trường trung học phổ thông

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

PHAN THỊ THU HIỀN

VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ LỚP 10 Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

THÁI NGUYÊN - 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

PHAN THỊ THU HIỀN

VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ LỚP 10 Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và PPDH bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Danh Nam

THÁI NGUYÊN - 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi,

các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong

bất kỳ công trình nào khác.

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015

Tác giả luận văn

i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

Phan Thị Thu Hiền

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Danh Nam, người

thầy đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình làm luận văn.

Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán, Phòng Đào tạo

Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thận lợi

cho em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.

Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các GV tổ Toán, các em HS

khối 10 Trường THPT Ngô Quyền và Trường THPT Dương Tự Minh – TP.

Thái Nguyên đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình

thực nghiệm sư phạm.

Dù đã rất cố gắng, xong luận văn cũng không tránh khỏi những khiếm

khuyết, tác giả mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn.

Tác giả

ii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

Phan Thị Thu Hiền

MỤC LỤC

Trang

LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... i

LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ ii

MỤC LỤC ................................................................................................................. iii

DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT ................................................................. iv

MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1

1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................................... 1

2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................................... 3

3. Đối tượng và khách thể nghiên cứu ........................................................................ 3

4. Giả thuyết khoa học ................................................................................................ 3

5. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................................. 3

6. Phương pháp nghiên cứu ......................................................................................... 4

7. Đóng góp của luận văn ............................................................................................ 4

Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................... 6

1.1. Mô hình và phương pháp mô hình hóa ................................................................ 6

1.1.1. Khái niệm mô hình ............................................................................................ 6

1.1.2. Ứng dụng của Toán học trong thực tiễn .......................................................... 10

1.1.3. Phương pháp mô hình hóa .............................................................................. 13

1.2. Quy trình mô hình hóa ....................................................................................... 15

1.2.1. Giai đoạn 1: Toán học hóa ............................................................................... 19

1.2.2. Giai đoạn 2: Giải bài toán ............................................................................... 20

1.2.3. Giai đoạn 3: Thông hiểu bài toán .................................................................... 20

1.2.4. Giai đoạn 4: Đối chiếu thực tế ........................................................................ 21

1.3. Vai trò của phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn toán ........................ 21

1.3.1. Tạo tình huống có vấn đề trong dạy học toán ................................................. 22

1.3.2. Làm sáng tỏ một số yếu tố toán học trong thực tiễn ....................................... 26

1.3.3. Hiểu được ý nghĩa của các số liệu thông kê từ thực tiễn ................................ 29

1.3.4. Phát triển các kĩ năng toán học ....................................................................... 31

1.4. Thực trạng vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn toán ở

trường THPT ............................................................................................................. 33

iii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

1.4.1. Về bài toán có tính thực tiễn trong SGK môn Toán THPT ............................. 33

1.4.2. Thực trạng dạy học môn Toán theo hướng tăng cường liên hệ với thực tiễn ...... 37

1.5. Kết luận chương 1 .............................................................................................. 45

Chƣơng 2: THIẾT KẾ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA .................... 46

2.1. Nguyên tắc thiết kế mô hình toán học ................................................................ 46

2.1.1. Nguyên tắc 1: Đảm bảo tính khoa học của toán học ....................................... 46

2.1.2. Nguyên tắc 2: Làm rõ tính ứng dụng của toán học trong thực tiễn ................ 46

2.1.3. Nguyên tắc 3: Chú trọng rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề ........................ 46

2.1.4. Nguyên tắc 4: Đảm bảo tính khả thi và tính vừa sức ...................................... 47

2.2. Thiết kế hoạt động m̞ hình hóa chủ đề hàm số ................................................... 48

2.2.1. Mô hình hàm số bậc nhất ................................................................................ 49

2.2.2. Mô hình hàm số bậc hai .................................................................................. 55

2.3. Thiết kế hoạt động mô hình hóa chủ đề phương trình và bất phương trình ....... 62

2.4. Xây dựng hệ thống bài tập mô hình hóa đại số lớp 10 ................................. 68

2.4.1. Hệ thống bài tập chủ đề “Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai” ..................... 69

2.4.2. Hệ thống bài tập chủ đề “Phương trình và bất phương trình” ........................ 79

2.5. Kết luận chương 2 .............................................................................................. 90

Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .............................................................. 91

3.1. Mục đích thực nghiệm ....................................................................................... 91

3.2. Nội dung thực nghiệm ........................................................................................ 91

3.3. Tổ chức thực nghiệm .......................................................................................... 92

3.3.1. Đối tượng thực nghiệm ................................................................................... 92

3.3.2. Tiến trình thực nghiệm .................................................................................... 92

3.4. Phân tích kết quả thực nghiệm ........................................................................... 92

3.4.1. Phân tích định tính .......................................................................................... 92

3.4.2. Phân tích định lượng ....................................................................................... 95

3.5. Kết luận chương 3 .............................................................................................. 97

KẾT LUẬN .............................................................................................................. 99

TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 100

PHỤ LỤC

iv Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT

Viết đầy đủ Viết tắt

Công nghệ thông tin CNTT

Đối chứng ĐC

Giải quyết vấn đề GQVĐ

Giáo viên GV

Học sinh HS

Mô hình hóa MHH

Sách giáo khoa SGK

Thực nghiệm TN

Trung học phổ thông THPT

iv Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

Trang tr.

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi

trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong

sản xuất và đời sống. Với vai trò đặc biệt, Toán học trở nên thiết yếu đối với

mọi ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và

văn minh hơn. Để theo kịp sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ,

chúng ta cần phải đào tạo những con người lao động có hiểu biết, có kĩ năng

và ý thức vận dụng những thành tựu của Toán học trong điều kiện cụ thể nhằm

mang lại những kết quả thiết thực. Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn đóng

vai trò quan trọng trong quá trình tạo động cơ và hình thành tri thức toán học

cho HS. Để làm sáng tỏ mối liên hệ này, HS cần hiểu và vận dụng những kiến

thức toán học đã học để giải thích, dự đoán, kiểm chứng và MHH các vấn đề

trong cuộc sống.

Xu hướng tăng cường tính thực tiễn trong dạy học Toán ở trường phổ

thông đóng vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển năng lực

cho HS. Liên hệ thực tiễn giúp HS học tập toán một cách tích cực, chủ động

và có ý nghĩa hơn. Để thực hiện được mục tiêu đó, người GV dạy toán cần có

năng lực vận dụng những khái niệm toán học ở trường phổ thông để thiết kế

và mô tả các mô hình toán học trong cuộc sống. Khả năng xây dựng mô hình

toán học từ tình huống thực tiễn được coi là cơ sở của việc “toán học hóa các

tình huống thực tiễn”. Thuật ngữ “toán học hóa” có nghĩa là sử dụng ngôn ngữ

toán học chuyển các vấn đề trong cuộc sống hàng ngày về dạng biểu diễn toán

học. Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn là tổng hợp của năng lực thu

nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn; năng lực chuyển đổi thông tin

giữa thực tế cuộc sống, toán học và năng lực thiết lập mô hình toán học của

tình huống thực tiễn.

Trong dạy học toán ở trường phổ thông, mô hình được sử dụng có thể

là hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng

hoặc mô hình ảo trên máy tính điện tử. MHH trong dạy học toán là phương

pháp giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng

công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của các phần mềm dạy học. Sử

dụng phương pháp này trong giảng dạy sẽ giúp GV phát huy được tính tích

cực học tập của HS, giúp HS có thể tự trả lời câu hỏi “Môn Toán có ứng dụng

gì trong thực tiễn và có vai trò gì trong việc giải thích các hiện tượng thực

tiễn?”. Điều này có ý nghĩa rất lớn trong việc gợi động cơ học tập ngay từ đầu

cho HS.

Quá trình MHH các tình huống thực tiễn cho thấy mối quan hệ giữa

thực tiễn với các vấn đề trong SGK dưới góc nhìn của toán học. Do vậy, nó

đòi hỏi HS cần vận dụng thành thạo các thao tác tư duy toán học như phân

tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa. Ở trường phổ thông,

cách tiếp cận này giúp việc học toán của HS trở nên thiết thực và có ý nghĩa

hơn, tạo động cơ và niềm say mê học tập môn Toán. Những ứng dụng của

toán học vào thực tiễn trong chương trình và SGK, cũng như trong thực tế

dạy học Toán chưa được quan tâm một cách đúng mức và thường xuyên.

Trong các SGK môn Toán và các tài liệu tham khảo về Toán thường chỉ tập

trung chú ý những vấn đề, những bài toán trong nội bộ Toán học, số lượng ví

dụ, bài tập Toán có nội dung liên môn và thực tế trong các SGK Đại số

THPT để HS học và rèn luyện còn rất ít. Một vấn đề quan trọng nữa là trong

thực tế dạy học Toán ở trường phổ thông, GV không thường xuyên rèn luyện

cho HS thực hiện những ứng dụng của toán học vào thực tiễn. Ở Việt Nam,

chưa có nhiều nghiên cứu vận dụng phương pháp MHH trong dạy học toán.

Chương trình SGK và các phương pháp dạy học hiện nay vẫn chưa giúp HS

hiểu rõ về những ứng dụng của toán học trong thực tiễn. Vì vậy, kết quả của

đề tài có thể tạo ra một diễn đàn trao đổi về khả năng giảng dạy toán học ứng

dụng cũng như làm rõ mạch kiến thức về mối liên hệ giữa toán học với thực

tiễn trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông.

Từ những lý do trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu của luận văn

là: “Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học Đại số lớp 10 ở

trường trung học phổ thông”.

2. Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là vận dụng phương pháp MHH

trong việc dạy học Toán góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở

trường THPT, giúp HS rèn luyện năng lực vận dụng kiến thức toán học để giải

quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn.

3. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu

3.1. Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán ở trường THPT và

quá trình sử dụng các kiến thức toán học mô tả các tình huống thực tiễn.

3.2. Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp MHH trong dạy học môn Toán, quy

trình MHH, hệ thống bài tập MHH.

3.3. Phạm vi nghiên cứu: Lớp 10 ở trường THPT.

4. Giả thuyết khoa học

Nếu thiết kế được hệ thống các tình huống và bài tập có nội dung thực tiễn,

vận dụng phương pháp MHH để tổ chức các hoạt động học tập thì sẽ hình thành

và phát triển năng lực MHH toán học cho HS, góp phần đổi mới phương pháp

dạy học môn Toán theo định hướng phát triển năng lực cho HS ở trường THPT.

5. Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1. Nghiên cứu đặc điểm của phương pháp MHH vận dụng trong các tình

huống dạy học điển hình trong chương trình toán THPT.

5.2. Nghiên cứu đặc điểm của chương trình SGK Đại số lớp 10 theo định

hướng phát triển năng lực cho HS.

5.3. Xây dựng được một hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn vận dụng

phương pháp MHH để sử dụng trong dạy Toán ở trường THPT.

5.4. Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng giả thuyết khoa học và đánh giá

tính khả thi, hiệu quả của việc vận dụng phương pháp MHH trong dạy học

môn Toán ở trường THPT.

6. Phƣơng pháp nghiên cứu

6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu trong và

ngoài nước về các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn.

6.2. Phương pháp điều tra, quan sát: Quan sát, điều tra thực trạng về việc vận

dụng phương pháp MHH trong dạy học môn Toán ở trường THPT qua các

hình thức: sử dụng phiếu điều tra, dự giờ, quan sát, nhật kí ghi chép, phỏng

vấn trực tiếp GV ở trường THPT.

6.3. Phương pháp nghiên cứu trường hợp: Phỏng vấn trực tiếp nhóm HS.

6.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm tại một

số trường THPT để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của nội dung

nghiên cứu được đề xuất.

6.5. Phương pháp sử dụng thống kê toán học trong xử lí số liệu thực nghiệm.

7. Đóng góp của luận văn

7.1. Những đóng góp về mặt lý luận

- Góp phần làm rõ thêm vai trò quan trọng của việc vận dụng phương

pháp MHH để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn.

- Đề xuất được những quan điểm cơ bản đối với việc thiết kế một số

tình huống MHH trong dạy học Toán và xây dựng hệ thống bài toán có nội

dung thực tiễn và đưa ra được những gợi ý, những chỉ dẫn về vận dụng

phương pháp MHH để giải quyết hệ thống bài tập đó.

7.2. Những đóng góp về mặt thực tiễn

- Nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung Đại số lớp 10 ở trường THPT,

tăng cường tính ứng dụng thực tiễn của toán học trong chương trình môn Toán

ở trường THPT.

- Kết quả luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV và HS

trong quá trình giảng dạy và học tập môn Toán ở trường THPT.

- Làm cơ sở để phát triển những nghiên cứu sâu, rộng hơn về những vấn

đề có liên quan trong luận văn, trong đó có việc định hướng đổi mới chương

trình SGK môn Toán sau 2015.

Chƣơng 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Mô hình và phƣơng pháp mô hình hóa

1.1.1. Khái niệm mô hình

Có nhiều quan niệm khác nhau về mô hình, dưới đây là một số định nghĩa:

- Khách thể M là mô hình của khách thể A đối với một hệ thống S các

đặc trưng nào đó, nếu M được xây dựng hoặc chọn để bắt chước A theo

những đặc trưng đó [19, tr.107].

- Mô hình là một “vật” hay “hệ thống” đóng vai trò đại diện hoặc vật thay

thế cho “vật” hay “ hệ thống vật” mà ta quan tâm nghiên cứu [24, tr.175].

- Mô hình là một hệ thống được hình dung trong óc hoặc được thực

hiện bằng vật chất phản ánh hay tái tạo lại đối tượng nghiên cứu [14, tr.124].

Tóm lại, mô hình là vật trung gian dùng để nghiên cứu đối tượng (vật

gốc) nhằm hướng tới mục đích nhất định nào đó.

Như vậy, mô hình có một số đặc trưng sau đây:

- Mô hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu, nên mô

hình phải bảo toàn được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (tính chất nào là

cơ bản do con người quan niệm). Bởi vậy, mô hình phải đồng cấu hay đẳng

cấu với vật gốc. Mô hình đẳng cấu (đồng cấu) với vật gốc theo nghĩa: đồng

nhất hoàn toàn về mặt cấu trúc (đồng nhất những tính chất và những mối quan

hệ chủ yếu). Tính chất này cho phép con người xây dựng những mô hình đơn

giản hơn vật gốc. Vì thế mô hình bao giờ cũng “nghèo nàn” hơn hiện thực mà

nó mô tả và mô hình có thể là “thô thiển và chưa hoàn thiện”, song nó phải

xét đến khía cạnh chính của thực tế, những khía cạnh mà chúng ta quan tâm

tới. Tuy nhiên không phải bao giờ mô hình cũng đơn giản hơn vật gốc. Ngày

nay, với sự phát triển của khoa học kĩ thuật, con người sử dụng nhiều phương

tiện hiện đại để mô phỏng đối tượng nghiên cứu, cho nên mô hình có thể phức

tạp hơn vật gốc, đồng thời nó có thể dự báo được những hiện tượng có thể

xảy ra trong thực tiễn.

- Đứng về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy, nó

ra đời nhờ quá trình trừu tượng hóa của ít nhiều các đối tượng cụ thể. Trong

quá trình trừu tượng hóa, con người đã vứt bỏ những dấu hiệu không bản

chất, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất; hay nói cách khác, đối tượng

nghiên cứu đã được lí tưởng hóa. Bởi vậy, mô hình mang tính lí tưởng, tính

chất này cho phép con người sáng tạo ra trên đó những yếu tố chưa hề có

trong thực tiễn. Điều này đã làm cho phương pháp MHH có tính chất cách

mạng, có tính phát triển. Do đó, quá trình xây dựng mô hình là một quá trình

nhận thức khoa học tích cực.

- Mô hình không thể thay thế hoàn toàn vật gốc. Một mô hình chỉ phản

ánh đến một mức độ nào đó, một vài mặt nào đó của vật gốc. Để nghiên cứu

các sự vật hiện tượng phức tạp, người ta dùng nhiều mô hình để mô tả chúng.

Tuy nhiên để lắp ráp chúng lại để có một sự đánh giá tổng quát về đối tượng

ban đầu không phải là một việc đơn giản.

- Thực tiễn cuộc sống luôn vận động và biến đổi, bởi vậy mô hình

không phải là cái bất biến. Phát triển mô hình ở mức độ thấp lên mức độ cao

hơn đòi hỏi phải phát hiện được tính quy luật chung của các nhóm mô hình

của các quá trình cụ thể, trong đó mô hình tổng quát hơn phải tương thích với

các mô hình cụ thể trước đó. Một mô hình có thể là chưa thành công về nhiều

phương diện nhưng nó vẫn có vai trò quan trọng trong việc phán đoán tình

huống thực tiễn.

- Đặc điểm quan trọng của mô hình toán học là sử dụng ngôn ngữ toán

học để mô tả hiện thực khách quan. Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: mô hình

toán học khác các mô hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các

thuộc tính về “chất” mà chỉ cần một ngôn ngữ nào đó chính xác để diễn tả

đúng những quan hệ số lượng cơ bản, từ đó có thể suy ra quan hệ số lượng

khác [12].

Mô hình được mô tả như một vật dùng thay thế mà qua đó ta có thể

thấy được các đặc điểm đặc trưng của các vật thể thực tế (Mason & Davis

,1991). Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của

đối tượng mà không cần đến vật thật. Tuy nhiên, điều này còn phụ thuộc vào

ý đồ của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó (Swetz

& Hatler, 1991; Verschaffel, 2002). Mô hình toán học là một mô hình trừu

tượng sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả về một hệ thống nào đó. Mô hình

toán học được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và chuyên

ngành kĩ thuật (ví dụ Vật lý, Sinh học, và Kĩ thuật điện tử) đồng thời trong

cả khoa học xã hội (như Kinh tế, Xã hội học và Khoa học chính trị) [7].

Ví dụ 1.1. (Mô hình gia tăng dân số của Maithus) Giả sử tỷ lệ người

sinh ra là b và tỷ lệ người chết là d; b và d đều là những hằng số, thì tỷ lệ gia

tăng dân số là cũng là một hằng số. Giả sử thời kỳ đầu ( ) dân số

là , thì dân số tại thời điểm t là cũng chính là nói dân số tăng

theo cấp số nhân. So sánh với những số liệu về dân số đã thống kê được trước

thế kỷ 19 thì sự gia tăng dân số ở một số vùng châu Á tương đối phù hợp với

mô hình của Maithus, nhưng đa số trường hợp lại đi rất xa mô hình này. Vì

thế, mô hình này không hoàn toàn phù hợp với tình hình thực tế. Bởi vì nó đã

không tính đến việc cùng với sự gia tăng của dân số thì môi trường, nguồn tài

nguyên thiên nhiên,… chỉ hạn chế trong một giới hạn. Dân số quá đông dẫn

tới sự thiếu hụt lương thực, chỗ ở chật hẹp, ô nhiễm môi trường nghiêm trọng

và các vấn đề khác nữa, từ đó dẫn tới sự giảm của tỷ lệ sinh và sự tăng lên của

tỷ lệ chết [4].

Ví dụ 1.2. (Mô hình mô tả hành vi của khách hàng) Khách hàng

mong muốn mua nhiều nhất các mặt hàng với số tiền hiện có. Trong mô hình

này, ta xem xét trường hợp một khách hàng phải lựa chọn để mua trong

số n mặt hàng được đánh nhãn 1, 2, ..., n, mỗi thứ có giá là p1, p2,..., pn. Giả

thiết rằng khách hàng có một hàm tiện ích U với mục đích là gán một giá trị

(tương ứng cho số lượng) với mỗi mặt hàng mà khách hàng định

mua x1, x2,..., xn. Mô hình còn giả thiết là khách hàng sở hữu số tiền giá

trị M dùng để mua các mặt hàng và mục đích là cực đại U(x1, x2,..., xn). Bài

toán cần giải quyết về mô hình hành vi của khách hàng trở thành bài toán tối

ưu hóa, nghĩa là: thỏa mãn: và

. Mô hình này được sử dụng trong lý thuyết cân bằng

chung, đặc biệt dùng để chứng minh sự tồn tại và tối ưu hóa Pareto của cân

bằng kinh tế. Tuy nhiên, việc sử dụng mô hình này gán giá trị số để phân mức

thỏa mãn của khách hàng vẫn là vấn đề tranh cãi [4].

Ví dụ 1.3. (Mô hình chuyển động của chất lỏng) Phương trình

chuyển động của chất lỏng không nén được biểu diễn bằng hệ phương

trình Navier-Stokes như sau:

Trong đó v là hệ số nhớt động, là tốc độ của các phần tử chất lỏng, p

là áp suất của môi trường và là mật độ của dòng chất lỏng. Kết hợp với

phương trình liên tục dành cho chất lỏng không nén như sau:

Và điều kiện biên: Trong đó là tốc độ của hạt chất lỏng trên

bề mặt vật thể, là điều kiện biên [4].

Tóm lại, trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông, mô hình được sử

dụng có thể là hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ,

biểu tượng hoặc mô hình ảo trên máy tính điện tử (Van Den Heuvel &

Panhuizen, 2003; Van De Walle, 2004 ). MHH trong dạy học toán là phương

pháp giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công

cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của các phần mềm toán học. Sử dụng

phương pháp này trong giảng dạy sẽ giúp GV phát huy được tính tích cực học

tập của HS, giúp HS có thể tự trả lời câu hỏi “Môn Toán có ứng dụng gì trong

thực tiễn và có vai trò gì trong việc giải thích các hiện tượng thực tiễn?”. Điều

này có ý nghĩa rất lớn trong việc gợi động cơ học tập ngay từ đầu cho HS [7].

1.1.2. Ứng dụng của Toán học trong thực tiễn

1.1.2.1. Toán học có nguồn gốc thực tiễn

Toán học là môn học có tính trừu tượng cao. Theo [3, tr.35] tính trừu

tượng của toán học và của môn Toán trong nhà trường phổ thông do chính đối

tượng của toán học quy định. Theo Ăng – ghen, “Đối tượng của toán học

thuần túy là những hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của thế

giới khách quan” . Hình dạng không gian có thể hiểu không phải chỉ trong

không gian thực tế ba chiều mà còn cả trong những không gian trừu tượng

khác nữa như không gian có số chiều là n hoặc vô hạn, không gian mà phần

tử là những hàm liên tục, … Quan hệ số lượng không chỉ bó hẹp trong phạm

vi tập hợp các số mà được hiểu như những phép toán và tính chất của chúng

trên những tập hợp có các phần tử là những đối tượng loại tùy ý như ma trận,

tập hợp, mệnh đề, phép biến hình,…

Tuy nhiên, Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn nên tính trừu tượng chỉ

che lấp chứ không hề làm mất đi tính thực tiễn của nó. Theo [4, tr.62] thì liên

hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học Toán là một trong ba phương hướng

thực hiện nguyên lí giáo dục. Cụ thể là:

- Nguồn gốc thực tiễn của Toán học: Số tự nhiên ra đời do nhu cầu

đếm, hình học xuất hiện do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất sau những trận lụt

bên bờ sông Nile (Ai Cập),…

- Sự phản ánh thực tiễn của Toán học: Khái niệm véctơ phản ánh

những đại lượng đặc trưng không phải chỉ bởi bằng số đo mà còn bởi hướng,

chẳng hạn vận tốc, lực,… khái niệm đồng dạng phản ánh những hình cùng

hình dạng nhưng khác nhau về độ lớn,… Trong Toán học có những chứng

minh thuận, chứng minh đảo thì trong cuộc sống ta thường khuyên nhau:

“nghĩ đi rồi phải nghĩ lại”, “có qua có lại”, “sống phải có trước có sau”,…

- Các ứng dụng thực tiễn của Toán học: Ứng dụng lượng giác để đo

khoảng cách không tới được, đạo hàm ứng dụng để tính vận tốc tức thời, tích

phân để tính thể tích, diện tích, …

1.1.2.2. Toán học có ứng dụng thực tiễn

Toán học nghiên cứu những mối quan hệ về số lượng và hình dạng

trong không gian của thế giới khách quan. Toán học có vai trò rất quan trọng

và được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã

hội, công nghệ, kinh tế, y học, vật lý, thiên văn học, quân sự,…

Ví dụ 1.4. (Trong quân sự) Pháo là một loại vũ khí không thể thiếu

trong chiến tranh, nó cơ động, có sức sát thương lớn và tầm hoạt động lên tới

hàng chục ki-lô-mét. Lần sử dụng pháo với đạn đẩy bằng thuốc nổ trên chiến

trường đã được ghi lại lần đầu là vào ngày 28 tháng 1 năm 1132 khi

tướng Hàn Thế Trung của Nam Tống dùng thang mây và hoả pháo để đánh

thành Kiến Châu (nay là Kiến Âu). Loại vũ khí nhỏ thô sơ này đã du nhập vào

vùng Trung Đông rồi đến châu Âu vào thế kỷ thứ 13. Trải qua nhiều thế kỷ,

các nhà khoa học kỹ thuật đã không ngừng cải tiến các khẩu pháo cả về tầm

bắn, tính chính xác lẫn sức công phá. Với sự phát triển của Toán học, người ta

đã viết được phương trình bay của viên đạn sau khi ra khỏi nòng pháo:

trong đó là vận tốc khi viên đạn ra khỏ nòng pháo

và là góc mà nòng pháo tạo với phương nằm ngang.

Ví dụ 1.5. (Trong thiên văn) Đã từ rất lâu, các nhà khoa học đã phát

hiện ra các hành tinh trong hệ mặt trời chuyển động theo một quỹ đạo nhất

định, và các nhà thiên vãn tin rằng quỹ đạo các hành tinh là một hình tròn

hoàn hảo. Những tính toán chi tiết từ dữ liệu quan sát của quỹ đạo Sao

Hỏa lần đầu tiên cho Kép-lê thấy quỹ đạo của nó phải là hình elíp thì mới phù

hợp với dữ liệu quan sát, và từ đây ông suy luận tương tự cho các hành tinh

khác quay quanh Mặt trời cũng phải có quỹ đạo hình elíp. Ba định luật Kép-lê

(1609 - 1619) và kết quả phân tích dữ liệu quan sát của ông là một thách thức

lớn cho mô hình địa tâm của A-rít-tốt và Ptô-lê-mê đã được chấp thuận từ rất

lâu, và ủng hộ cho mô hình nhật tâm của Cô-péch-ních (mặc dù quỹ đạo elíp

theo Kép-lê khác với các quỹ đạo tròn theo Cô-péch-ních), bằng chứng

tỏ Trái đất quay quanh Mặt trời, vận tốc của các hành tinh trên quỹ đạo là

biến đổi, và quỹ đạo có đường elíp hơn là đường tròn.

Ví dụ 1.6. (Trong hội họa – kiến trúc) Tờ báo mà bạn đọc, màn hình vi

tính, thẻ tín dụng, cánh hoa, lá cây, toà nhà cao ốc – tất cả mọi thứ đều được

tạo lập dựa trên một nguyên tắc, một tỷ lệ, một giá trị cân đối. Dường như vũ

trụ đang tiết lộ với chúng ta về một mật mã ẩn chứa trong mọi khía cạnh của

tự nhiên – một mật mã độc đáo và mang đầy tính nghệ thuật: đó là con số của

tỷ lệ vàng – một tỉ lệ hoàn hảo. Trong một cuộc thực nghiệm gần đây nghiên

cứu một số cá thể từ các dân tộc khác nhau đã cho thấy rằng: trong số những

số đo khác nhau của hình chữ nhật, thì hầu hết mọi người đều đồng ý với một

con số cân đối nhất. Con số hoàn hảo nhất được hình thành khi tỷ lệ giữa cạnh

lớn hơn với cạnh nhỏ hơn xấp xỉ 1,618 – trong toán học con số này được gọi

là “vàng”. Tỷ lệ các cạnh hình chữ nhật này có mặt trong hàng ngàn công

trình kiến trúc trên khắp thế giới, cũng như là trong các hộp diêm, danh thiếp,

những cuốn sách, và hàng trăm vật dụng hàng ngày khác, đơn giản bởi vì con

người cảm thấy nó phù hợp. Kim tự tháp Giza, kim tự tháp Cheops, trụ sở

Liên Hiệp Quốc tại New York, và nhà thờ Đức Bà Paris là những dẫn chứng

điển hình cho việc ứng dụng tỷ lệ vàng. Trên thực tế, đền thờ Panthenon có

rất nhiều chi tiết ứng dụng tỷ lệ này.

Đền Parthenon (Athens) Nàng Mona Lisa

Các thí dụ từ hình chữ nhật cho tới hình xoắn ốc tuân theo tỷ lệ vàng

(hình tạo thành bằng cách nối các đỉnh của các hình chữ nhật vẽ theo tỷ lệ

vàng đặt chồng lên nhau) có thể tìm thấy ở khắp mọi nơi: sừng của con cừu,

khoáng vật, xoáy nước, cơn lốc, vân tay, cánh hoa hồng, những đài hoa đồng

tâm của cây súp-lơ hay hoa hướng dương, chim muông, côn trùng, cá, dải

ngân hà, hay một số dải thiên hà khác như dải M51 ngay cạnh dải ngân hà của

chúng ta… thậm chí cả con ốc sên. Một con ốc thật đẹp và thật hoàn hảo như

ốc Anh Vũ chắc chắn phải có sự kết hợp thật tài tình với tỷ lệ vàng. Rất nhiều

loài cây cũng thể hiện mối liên hệ với tỷ lệ vàng trong độ dày giữa giữa cành

thấp với cành cao.

Tóm lại, Toán học có ứng dụng to lớn trong thực tiễn cũng như trong

sự phát triển của các ngành khoa học kỹ thuật, nó là điều kiện thiết yếu để

phát triển lực lượng sản xuất. Việc vận dụng Toán học vào thực tiễn thực chất

là vận dụng Toán học vào giải quyết một tình huống thực tế, tức là dùng

những công cụ Toán học thích hợp để tác động, nghiên cứu khách thể nhằm

mục đích tìm một phần tử chưa biết nào đó, dựa vào một số phần tử cho trước

trong khách thể hay để biến đổi, sắp xếp những yếu tố trong khách thể, nhằm

đạt một mục đích đề ra [4].

1.1.3. Phương pháp mô hình hóa

Phương pháp MHH trong dạy học Toán ở trường phổ thông được chú

trọng nghiên cứu khoảng một thập kỉ gần đây (Blum, Galbraith, Henn &

Niss, 2002). Phương pháp này giúp HS giải quyết các bài toán thực tiễn

bằng phương pháp toán học, từ đó hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán

học. MHH là một quá trình khép kín (English, 2007), bắt đầu từ việc

chuyển các vấn đề thực tiễn sang các vấn đề toán học, sử dụng toán học để

hiểu, đánh giá, chọn lọc và cải tiến mô hình cho phù hợp với thực tiễn.

Hoạt động MHH gắn kết giữa không gian lớp học với các vấn đề của thế

giới bên ngoài (Zbiek & Conner, 2006; Stillman, 2009). Nó giúp HS phát

triển các kĩ năng hợp tác và nhận thức ở mức độ cao (Tanner & Jones,

2002; McClure & Sircar, 2008). GV nên phát triển các loại bài tập gắn với

hoạt động MHH như: các bài tập ở dạng điều tra số liệu, khảo sát thực tế

các vấn đề nảy sinh tại địa phương, phân tích các tin tức trên báo chí, số

liệu trong SGK hoặc trên mạng internet [7].

Đối với cấp tiểu học, phương pháp MHH thường được sử dụng để giải

quyết lớp các bài toán có lời văn. Mô hình thường là được biểu diễn dưới

dạng biểu tượng như hình chữ nhật, hình thang, hình tròn,… Tuy nhiên, hoạt

động MHH không thể hiện một cách rõ ràng ở bậc tiểu học. Van de Walle

(2004) cho rằng mô hình diễn tả các khái niệm toán học và mối quan hệ giữa

các khái niệm đó có thể là đồ vật, bức tranh hay hình vẽ cụ thể giống như việc

sử dụng các khối hình chữ nhật để biểu diễn các phân số bằng nhau. Quá trình

MHH đòi hỏi hoạt động nhóm, hợp tác và thảo luận để có thể tập hợp, liên kết

các lập luận của thành viên trong nhóm [13].

Đối với cấp trung học, HS tiếp cận với khối lượng tri thức lớn hơn, các

chủ đề rộng hơn. Bài tập toán thường được chia thành ba loại: sử dụng mối

quan hệ giữa các bộ môn Toán học, giải quyết các vấn đề thực tiễn dưới dạng

các vấn đề toán học thuần túy và giải quyết các vấn đề thực tiễn phải sử dụng

các kiến thức toán học. HS cần phải linh hoạt trong việc giải hai dạng bài toán

đầu tiên, đó là bài toán ứng dụng toán học. Từ đó, chuẩn bị cho việc tiếp cận

dạng bài toán thứ ba là giải toán thực tế thông qua mô phỏng và MHH [13].

Chúng ta cần làm rõ dạy học MHH và dạy học bằng MHH. Để nâng

cao năng lực hiểu biết toán cho HS, không thể coi nhẹ việc dạy học cách thức

xây dựng mô hình toán học để giải quyết một vấn đề nào đó do thực tiễn đặt

ra. Đối với các nhà toán học, mô hình ấy thường là chưa tồn tại, hoặc đã tồn

tại nhưng không cho phép giải quyết mọi trường hợp, hay ngược lại, không

mang đến lời giải tối ưu cho một lớp các trường hợp đặc biệt nào đó. Việc tìm

ra mô hình mới của họ thường dẫn đến một phát minh mới (một khái niệm,

một định lý mới). Song đối với GV thì mô hình ấy đã tồn tại. Điều đó dẫn đến

chỗ việc dạy học có thể được tổ chức theo hai tiến trình (trình bày theo [1]):

- Trình bày tri thức toán học lý thuyết (giới thiệu định nghĩa khái niệm

hay định lý, công thức).

- Vận dụng tri thức vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn, ở đó phải

xây dựng mô hình toán học: Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn; Xây dựng mô

hình toán học; Câu trả lời cho bài toán thực tiễn; Thể chế hóa tri thức cần

giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa hay định lý, công thức; Vận dụng vào

giải các bài toán thực tiễn khác mà tri thức đó cho phép xây dựng một mô

hình toán học phù hợp.

Tiến trình dạy học thứ nhất, gọi là dạy học MHH, tiết kiệm được thời

gian nhưng lại làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học, và do

đó làm mất nghĩa của tri thức. Hơn nữa, trong trường hợp này, một cách rất tự

nhiên HS sẽ không lưỡng lự gì và hướng ngay đến việc xây dựng một mô

hình toán học phù hợp với tri thức vừa đưa vào. Liệu vượt ra khỏi bối cảnh

ấy, họ có thể xây dựng được mô hình toán học phù hợp hay không?

Tiến trình thứ hai, bản chất là dạy học toán thông qua dạy học MHH, cho

phép khắc phục khiếm khuyết này. Ở đây tri thức cần giảng dạy sẽ hình thành từ

quá trình nghiên cứu các vấn đề thực tiễn, nảy sinh với tư cách là kết quả hay

phương tiện giải quyết vấn đề. Người ta gọi đây là dạy học bằng MHH.

Với những điểm lý luận vừa trình bày trên thì rõ ràng dạy học bằng

MHH và dạy học MHH là một con đường để nâng cao năng lực hiểu biết toán

học cho HS. Như vậy, để đạt được mục đích dạy học toán thì cần thiết phải

tính đến vấn đề MHH trong dạy học.

1.2. Quy trình mô hình hóa

MHH các tình huống thực tiễn trong dạy học toán có thể sử dụng các

công cụ và ngôn ngữ toán học phổ biến như công thức, thuật ngữ, phương

trình, bảng biểu, biểu tượng, đồ thị, kí hiệu,… Vì thế nó cần tuân theo quy

trình gồm 4 giai đoạn chính sau đây (trình bày theo Swetz và Hartzler, 1991):

1. Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống và

phát hiện các yếu tố có tác động đến vấn đề đó.

2. Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố sử dụng

ngôn ngữ toán học, từ đó phác họa mô hình toán học tương ứng.

3. Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp và công cụ toán học phù

hợp để MHH bài toán và phân tích mô hình.

4. Giai đoạn 4: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và

đưa ra kết luận.

Quá trình GQVĐ và MHH có những đặc điểm tương tự nhau giúp rèn

luyện cho HS những kĩ năng toán học cần thiết. Do đó, chúng hỗ trợ và bổ

sung cho nhau. Quy trình này được xem là khép kín vì nó được dùng để mô tả

các tình huống nảy sinh từ thực tiễn và kết quả của nó lại được dùng để giải

thích và cải thiện các vấn đề trong thực tiễn (English, 2007). Có thể minh họa

Quan sát, hiểu và xây dựng mô hình

Tình huống thực tiễn

Mô hình toán học

Áp dụng

Phân tích

Hiểu và thông dịch

Kết luận, Thông báo

Kết luận toán học

quy trình trên bằng sơ đồ khép kín dưới đây:

Hình 1.1: Quy trình mô hình hóa khép kín

Để vận dụng linh hoạt quy trình trên, trong quá trình dạy học toán, GV

cần giúp HS nắm được các yêu cầu cụ thể của từng bước sau đây trong quá

trình MHH các bài toán:

- Bƣớc 1 (Toán học hóa): Hiểu vấn đề thực tiễn, xậy dựng các giả

thuyết để đơn giản hóa vấn đề, mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công cụ

và ngôn ngữ toán học.

- Bƣớc 2 (Giải bài toán): Sử dụng các công cụ và phương pháp toán

học thích hợp để giải quyết vấn đề hay bài toán đã được toán học hóa.

- Bƣớc 3 (Thông hiểu): Hiểu ý nghĩa lời giải của bài toán đối với tình

huống trong thực tiễn (bài toán ban đầu).

- Bƣớc 4 (Đối chiếu): Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế

của mô hình toán học cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và

phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã

xây dựng.

Tóm lại, tuân theo quy trình và các bước cụ thể trên, HS cần xuất phát

từ tình huống thực tiễn, diễn đạt vấn đề thực tiễn trên bằng lời (lập giả thuyết,

công thức, phương trình,…); sau đó sử dụng công cụ toán học để giải bài toán

và hiểu ý nghĩa của lời giải bài toán đối với thực tiễn. Cuối cùng, HS xem xét

lại mô hình (hoặc chấp nhận mô hình), diễn đạt lại bài toán ban đầu (hoặc

thông báo kết quả) và tìm hiểu những hạn chế và khó khăn có thể gặp phải khi

áp dụng kết quả của bài toán vào tình huống thực tiễn.

Tuy nhiên, trong thực tế dạy học, quy trình MHH ở trên luôn tuân theo

một cơ chế điều chỉnh phù hợp nhằm làm đơn giản hóa và làm cho vấn đề trở

nên dễ hiểu hơn đối với HS ở trường phổ thông [13]. Cơ chế điều chỉnh này

thể hiện mối liên hệ mật thiết giữa toán học với các vấn đề trong thực tiễn:

Hình 1.2: Cơ chế điều chỉnh quá trình MHH

Từ cơ chế điều chỉnh quá trình MHH, chúng tôi đề xuất các bước tổ

chức hoạt động MHH trong dạy học môn Toán như sau:

- Bƣớc 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản

hóa vấn đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề

thực tế.

- Bƣớc 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra.

- Bƣớc 3: Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử dụng ngôn ngữ

toán học mô tả tình huống thực tế cũng như tính toán đến độ phức tạp của nó.

- Bƣớc 4: Sử dụng các công cụ toán học thích hợp để giải bài toán.

- Bƣớc 5: Hiểu được lời giải của bài toán, ý nghĩa của mô hình toán

học trong hoàn cảnh thực tế.

- Bƣớc 6: Kiểm nghiệm mô hình (ưu điểm và hạn chế), kiểm tra tính

hợp lý và tối ưu của mô hình đã xây dựng.

- Bƣớc 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây

dựng mô hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn.

Hình 1.3: Các bước tổ chức hoạt động mô hình hóa

CNTT có thể giúp làm thu hẹp khoảng cách trong nhận thức của HS về quá

trình MHH. Các phần mềm toán học (như phần mềm tính toán đại số, phần mềm

hình học động, phần mềm thống kê), bảng tính điện tử hay thậm chí cả máy tính

bỏ túi sẽ giúp HS tạo ra mô hình để tìm hiểu, khám phá thuộc tính của các khái

niệm, đối tượng toán học trong chương trình toán ở trường phổ thông và ở trường

đại học (Beare, 1996; Ferrucci & Carter, 2003; Chua & Wu, 2005). Đối với cùng

một vật thật, mỗi HS có thể tạo ra những mô hình khác nhau với sự hỗ trợ của

CNTT. Đây là nhân tố giúp tổ chức các hoạt động MHH theo nhóm phong phú và

hiệu quả hơn. Đặc biệt, với sự xuất hiện của các thiết bị học tập di động như điện

thoại di động, máy tính bỏ túi, PDA với các chức năng hỗ trợ quá trình MHH sẽ

giúp HS học tập theo nhóm dựa trên các tình huống thực tiễn [25].

1.2.1. Giai đoạn 1: Toán học hóa

Toán học đã xâm nhập vào cuộc sống đời thường, trong lao động sản

xuất và trong nghiên cứu của mọi ngành khoa học, đó là quá trình toán học

hóa các vấn đề thực tiễn. Theo Hans Freudenthal: “Toán học hóa dẫn thế giới

của cuộc sống về thế giới của các kí hiệu…” [21, tr.41]. Ông cũng cho rằng:

“Tiên đề hóa, công thức hóa, sơ đồ hóa được xem là tiền đề của thuật ngữ

„toán học hóa‟, trong đó tiên đề hóa là thuật ngữ chính đầu tiên xuất hiện

trong ngữ cảnh của toán học‟‟. Thuật ngữ “toán học hóa” thường được dùng

trong các cuộc thảo luận của các nhà khoa học trước khi đưa ra trong các văn

bản chính thức. Bởi vậy, thuật ngữ này ra đời một cách tự nhiên và khó xác

định được ai đã sử dụng nó lần đầu tiên và xuất hiện từ thời điểm nào. Trong

[13], [27], tuy không giải nghĩa thuật ngữ này một cách tường minh nhưng

khi bàn đến quá trình toán học hóa thì trọng tâm nhất mà tác giả đề cập đến là

việc xây dựng mô hình toán học cho các tình huống thực tế. Trong [13, tr.97],

tác giả cho rằng: “Khả năng xây dựng mô hình toán học của một tình huống

thực tế, được coi là cơ sở của việc toán học hóa các tình huống thực tế”. Từ

đó có thể hiểu quá trình toán học hóa vấn đề thực tế là quá trình đưa vấn đề đó

về dạng toán học.

Đối với HS THPT, hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế diễn ra

khi HS đối mặt với các tình huống thực tiễn có ảnh hưởng trực tiếp đến cuộc

sống cá nhân. Các em HS phải nỗ lực chuyển những tình huống này về dạng

toán học phổ thông để giải quyết, phục vụ cho hoạt động thực tiễn của bản

thân mình. Tuy nhiên, việc vận dụng này lại mang tính chất gián tiếp. Cụ thể

là trước tình huống đối mặt trong cuộc sống, các em phải liên tưởng tới những

tri thức toán học phù hợp để từ đó đặt ra được bài toán và tìm cách giải quyết

nhằm thỏa mãn nhu cầu của mình.

1.2.2. Giai đoạn 2: Giải bài toán

Sử dụng các công cụ và phương pháp toán học thích hợp để giải bài

toán, bao gồm cả sự hỗ trợ của CNTT. Yêu cầu HS lựa chọn, sử dụng các

phương pháp và công cụ toán học thích hợp để thành lập và giải quyết vấn đề

sử dụng ngôn ngữ toán học. Ở giai đoạn này CNTT sẽ hỗ trợ HS phân tích dữ

liệu, thực hiện tính toán phức tạp và đưa ra đáp số của bài toán.

1.2.3. Giai đoạn 3: Thông hiểu bài toán

Hiểu lời giải của bài toán đối với tình huống trong thực tiễn (bài toán

ban đầu). Hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán trong thực tiễn, trong đó cần

nhận ra những hạn chế và khó khăn có thể có khi áp dụng kết quả này vào các

tình huống thực tiễn.

1.2.4. Giai đoạn 4: Đối chiếu thực tế

Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế của mô hình toán học

cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương pháp toán học

đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng. Đây là giai

đoạn đòi hỏi HS có hiểu biết rõ về các công cụ toán học cũng như việc sử

dụng nó để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống. Từ đó, xem lại các

phương pháp và công cụ toán học đã sử dụng; xem lại các giả thuyết, hạn chế

của mô hình và tiến tới cải tiến mô hình cũng như lời giải của bài toán.

1.3. Vai trò của phƣơng pháp mô hình hóa trong dạy học môn toán

MHH là phương pháp xây dựng và cải tiến một mô hình toán học nhằm

diễn đạt và mô tả các bài toán thực tiễn. Qua các nghiên cứu thực nghiệm, các

nhà giáo dục toán học đã nhận ra được tầm quan trọng của phương pháp

MHH trong quá trình dạy học toán ở trường phổ thông (Smith & Wood, 2001;

Vasco, 1999; Martinez-Luacles, 2005; Carrejo & Marshall, 2007). Phương

pháp này giúp HS làm quen với việc sử dụng các loại biểu diễn dữ liệu khác

nhau; giải quyết các bài toán thực tiễn bằng cách lựa chọn và sử dụng các

công cụ, phương pháp toán học phù hợp. Qua đó, giúp HS hiểu sâu và nắm

chắc các kiến thức toán học. Lesh & Zawojewski (2007) khẳng định rằng

MHH toán học giúp HS phát triển sự thông hiểu các khái niệm và quá trình

toán học. Quá trình MHH giúp HS hệ thống hóa các khái niệm, ý tưởng toán

học; nắm được cách thức xây dựng mối quan hệ giữa các ý tưởng đó. Những

mô hình này được thể hiện rõ ràng hơn với sự trợ giúp của CNTT như: biểu

diễn đồ thị, biểu đồ; tìm mối quan hệ; dự đoán; toán học hóa, mô phỏng,…

(Lesh, Yoon & Zawojewski, 2007). Hơn nữa, thông qua MHH, HS được

khuyến khích tham gia các hoạt động “hệ thống các khái niệm toán học” giúp

các em có được cái nhìn hệ thống hơn về lập luận và chứng minh toán học

dưới các dạng ngôn ngữ nói, kí hiệu, đồ thị, sơ đồ, công thức, phương trình

(Lesh & Doerr, 2003) (theo [7]).

Qua các nghiên cứu, các nhà toán học cũng như các nhà giáo dục toán

học đã nhận ra được tầm quan trọng của MHH trong quá trình dạy học toán ở

trường phổ thông (Smith & Wood, 2001; Vasco, 1999; Martinez-Luacles,

2005; Carrejo & Marshall, 2007). Phương pháp MHH trong dạy học giúp HS

phát triển nhiều kĩ năng toán học, đồng thời nó cũng đòi hỏi nhiều kĩ năng,

kiến thức và kinh nghiệm từ GV hơn là phương pháp dạy học GQVĐ

(Martinez-Luacles, 2005).

GQVĐ cũng là một trong những kĩ năng quan trọng của cuộc sống. Nó

liên quan đến các hoạt động như phân tích, tổng hợp, thông hiểu, lập luận, dự

đoán, đánh giá và đối chiếu thực tế. Đó là mục tiêu tổng quát và một thành tố cơ

bản trong chương trình môn Toán ở nhiều nước trên thế giới. Quá trình GQVĐ

thường được xác định tương ứng với từng đối tượng HS và tập trung vào quy

trình thực hiện (Zawojewski, 2007). Trong khi đó, quá trình MHH yêu cầu hiểu

các dữ liệu ban đầu, hợp tác nhóm để thiết kế mô hình, nắm được những hạn chế

và cải tiến mô hình. Cả hai quá trình MHH và GQVĐ đều hỗ trợ HS giải toán,

phát triển tư duy và điều khiển quá trình nhận thức [7].

1.3.1. Tạo tình huống có vấn đề trong dạy học toán

GV có thể sử dụng mô hình để tạo ra các tình huống gợi vấn đề trong

quá trình dạy học toán. Từ đó, tăng cường mối quan hệ giữa các hoạt động

MHH và các hoạt động toán học, phân tích quá trình nhận thức xảy ra trong

quá trình MHH và hiểu quá trình này. Xu hướng của giáo dục toán học phổ

thông hiện nay là tăng cường tính ứng dụng của toán học, trong đó chú trọng

rèn luyện kĩ năng giải quyết các bài toán thực tiễn (Gravemijer, 1994; NCTM,

2000; Lowrie & Logan, 2006; Gainsburg, 2008).

Ví dụ 1.7. (Thiết kế một chiếc cầu qua sông) Hai thành phố A và B nằm

ở hai phía của một dòng sông. Hãy chọn một địa điểm xây dựng một chiếc

cầu bắc qua con sông sao cho quãng đường đi giữa hai thành phố là nhỏ nhất?

(giả sử hai bờ sông song song với nhau và cầu nằm vuông góc với bờ sông).

* Giai đoạn 1 (Toán học hóa): GV hướng dẫn HS dựng hai đường

thẳng l1 và l2 song song biểu diễn cho hai bờ sông. Sau đó, dựng hai điểm A

và B biểu diễn cho hai thành phố. Dựng điểm D bất kì trên đường thẳng l1,

sau đó dựng đường thẳng đi qua D và vuông góc với l1, cắt l2 tại điểm E. Cuối

cùng, dựng các đoạn thẳng AD, DE, EB. Tổng độ dài đường gấp khúc ADEB

chính là quãng đường đi từ thành phố A đến thành phố B.

* Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Đây cũng là giai đoạn tạo tình huống có

vấn đề. GV hướng dẫn HS đo tổng khoảng cách (AD + DE + EB) và di

chuyển điểm D trên đường thẳng l1 cho đến khi thấy tổng trên nhỏ nhất thì

dừng lại và quan sát. GV đặt câu hỏi nêu vấn đề: “Khi tổng trên đạt giá trị

nhỏ nhất thì hai đường thẳng AD và EB có quan hệ với nhau như thế nào?”.

Hình 1.4: Điểm D bất kì và điểm D khi (AD + DE+ EB) nhỏ nhất

* Giai đoạn 3 (Thông hiểu): Sau khi hướng dẫn HS trả lời được câu hỏi

trên, nghĩa là tổng (AD + DE + EB) nhỏ nhất khi AD // EB, GV hướng dẫn

HS giải bài toán trên sử dụng phép tịnh tiến theo véc tơ . Thật vậy, gọi

, G = AB’  l1 và H là giao điểm của đường thẳng đi qua G

vuông góc với l1 và đường thẳng l2. Ta có:

Hình 1.5: Hoạt động mô hình hóa xác định vị trí chiếc cầu

Dựa trên lời giải của bài toán, GV hướng dẫn HS hiểu và thông dịch bài

toán. Để xác định vị trí xây chiếc cầu, trước tiên các em phải xác định điểm

B’ là ảnh của điểm B qua phép tịnh tiến theo véc tơ , sau đó xác định vị trí

xây cầu G chính là giao điểm của AB’ và đường thẳng l1.

* Giai đoạn 4 (Đối chiếu): Ở bước này, GV cần làm rõ khả năng ứng

dụng lời giải của bài toán vào thực tế: vấn đề giải phóng mặt bằng cho hai

đoạn đường từ A đến D và từ E đến B, các yêu cầu về mặt địa chất tại địa

điểm xây cầu và các yếu tố khác. Từ đó, giúp các em thấy rằng cần phải cải

tiến các mô hình toán học trước khi có thể ứng dụng vào thực tiễn.

Sau đây là một số ví dụ ứng dụng CNTT để tổ chức các hoạt động

MHH trong dạy học toán ở trường phổ thông:

Ví dụ 1.8. (Thiết kế bãi để xe đạp) Có một công viên và một khu đất

trống cạnh nhà ga. Nhằm đảm bảo an toàn trong công viên, thành phố xây

dựng đường đi riêng dành cho xe đạp và bãi gửi xe tại khu đất trống để hành

khách gửi xe trước khi đi bộ đến nhà ga. Hãy thiết kế phương án giải bài toán

trên (làm việc theo nhóm) bằng phương pháp MHH:

* Giai đoạn 1 (Toán học hóa):

- HS hiểu vấn đề và vẽ hình để mô tả tình huống thực tiễn.

Công viên

Vận tốc đi bộ: 1 m/s

Bãi để xe đạp

1 0 0 m

Vận tốc xe đạp: 5 m/s

Khu đất trống

150 m

250 m

Hình 1.6: Mô tả tình huống thực tiễn

- HS lập giả thuyết và thu thập thêm thông tin như: kích thước công

viên và khoảng đất trống, vận tốc trung bình của người đi bộ và xe đạp,

giới hạn vận tốc xe đạp trong công viên, mục đích thiết kế (đường đi ngắn

nhất, tiết kiệm thời gian nhất,…).

- Xác định các khái niệm toán học liên quan trước khi thiết kế mô hình

trên máy tính: khoảng cách, vận tốc và thời gian.

- Xây dựng mô hình toán học dựa trên các giả thuyết đã đưa ra. Ví dụ

như thiết kế để thời gian đi là ít nhất thì biểu thức biểu thị thời gian được mô

tả như sau: Tổng số thời gian T = Khoảng cách đi trong công viên/vận tốc xe

đạp + Khoảng cách đi trong khoảng đất trống/vận tốc đi bộ; công viên và

mảnh đất có dạng hình chữ nhật; các số liệu về số chiều và vận tốc có thể

hướng dẫn HS lấy trên mạng internet.

* Giai đoạn 2 (Giải bài toán):

- HS sử dụng các phần mềm hình học động GeoGebra để di chuyển

điểm F đến các vị trí khác nhau và đo khoảng cách, lập bảng quan sát và xác

định vị trí của điểm F sao cho thời gian đi là ngắn nhất.

- HS lập biểu thức của khoảng cách như một hàm số theo thời gian

dựa vào định lý Pitago như sau: , trong đó x là

khoảng cách QF.

Hình 1.7: Mô hình hóa bằng phần mềm GeoGebra

* Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): HS cần biết rằng giá trị x biểu thị

vị trí của bãi gửi xe đạp. Trong khi AF biểu thị cho đường đi xe đạp, CF biểu

thị cho đường đi bộ.

* Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế):

- Sau khi xác định được vị trí bãi để xe đạp, HS cần kiểm tra lại tính

khả thi của việc xây dựng bãi để xe và tìm hiểu các khó khăn khác.

- Xem xét lại các giả thuyết: Nếu công viên có dạng hình tròn thì sao?

Nếu công viên hay khu đất trống là các đa giác không đều? Có phương pháp

nào có thể áp dụng cho tất cả các trường hợp? Giải pháp nào đáp ứng nguyện

vọng của người dân (thời gian hay khoảng cách?).

- Suy nghĩ về các phương pháp toán học khác? Sử dụng các phần mềm

toán học khác để mô tả?

- Xét đến tính liên môn trong bài toán này: vật lý, địa lý, giao thông,…

Như vậy thông qua các bài toán trên, GV tập cho HS tham gia các hoạt

động MHH trên máy tính để dự đoán, tìm cách GQVĐ và đưa ra ý tưởng

chứng minh cho bài toán. Từ đó, giúp HS phát triển kĩ năng giao tiếp, tư duy

và giải quyết các vấn đề về giao thông trong thực tế cuộc sống [7].

1.3.2. Làm sáng tỏ một số yếu tố toán học trong thực tiễn

Các hoạt động MHH có thể là chất xúc tác giúp HS hiểu sâu hơn về các

ý tưởng toán học, kĩ năng giải quyết vấn đề và phát hiện các yếu tố toán học

trong thực tiễn. Sử dụng phương pháp MHH, GV có thể giúp HS thấy được

các mô hình toán học như các đường parabôn, hypebôn, côníc được thể hiện

trong các hiện tượng trong cuộc sống. Do đó, MHH giúp việc học toán của

HS trở nên có ý nghĩa hơn bằng cách tăng cường và làm sáng tỏ các yếu tố

toán học trong thực tiễn (Lesh & English, 2005; Ang, 2009; Dindyal, 2009).

Tuy nhiên, để thực hiện được vấn đề này GV cần phải khắc phục một số khó

khăn như: vấn đề lựa chọn tình huống thực tế phù hợp với khả năng nhận thức

của HS; trong quá trình thực hiện, phương pháp này đòi hỏi nhiều thời gian

hơn các phương pháp truyền thống khác; gặp khó khăn trong quá trình kiểm

tra, đánh giá kết quả học tập của HS [7].

Ví dụ 1.9. (Tượng Merlion tại Singapore) GV đưa ra hình ảnh về tượng

nhân sư Merlion, biểu tượng du lịch của Singapore. Yêu cầu HS quan sát và

dự đoán về quỹ đạo chuyển động của vòi phun nước xuất phát từ miệng tượng

nhân sư. Sau đó, GV hướng dẫn HS sử dụng phần mềm GeoGebra để tìm

phương trình quỹ đạo chuyển động của vòi phun nước:

- Bước 1: Chọn gốc tọa độ trùng với vị trí xuất phát của vòi phun nước.

Sau đó, nhập giá trị của tham số m sử dụng chức năng thanh trượt của phần

mềm GeoGebra.

- Bước 2: Nhập phương trình có dạng vào trường nhập lệnh.

- Bước 3: Di chuyển điểm (thay đổi giá trị m) trên thanh trượt cho đến

khi đồ thị hàm số dạng trùng khớp với quỹ đạo của vòi phun nước.

Hình 1.8: Quỹ đạo của vòi phun nước tượng Merlion

Thông qua các hoạt động này, HS có thể thấy rằng quỹ đạo chuyển

động nói chung của các vòi phun nước là hình parabôn, cụ thể trong ví dụ này

là parabôn có phương trình . Tương tự là ví dụ về xác định quỹ

đạo nước mưa rơi dưới đây.

Ví dụ 1.10. (Quỹ đạo nước mưa rơi) Sử dụng phần mềm GeoGebra

hoặc Geometer‟s Skethpad để tìm hiểu về quỹ đạo của nước mưa rơi từ

mái nhà xuống đất.

Hình 1.9: Mô hình hóa quỹ đạo chuyển động của nước mưa rơi

Nhập bức ảnh nước mưa rơi (HS có thể chụp bằng máy ảnh kỹ thuật số

hoặc sưu tầm trên mạng internet) vào giao diện của phần mềm GeoGebra.

Dựa trên định luật chuyển động của phân tử, ta có thể dự đoán quỹ đạo

chuyển động của nó là dạng hình parabôn có phương trình

, trong đó việc chọn gốc tọa độ là tùy ý.

Để tổ chức hoạt động MHH hiện tượng này, GV yêu cầu các nhóm

nhóm sử dụng phần mềm GeoGebra, nhập các tham số a, b, c vào máy tính và

thay đổi giá trị của chúng để xác định đúng quỹ đạo chuyển động và phương

trình biểu diễn hiện tượng nước mưa rơi. Như vậy, dựa vào mô hình trên, HS

có thể nhận ra được quỹ đạo chuyển động của nước mưa rơi từ mái nhà xuống

mặt đất có dạng hình parabôn. Tùy thuộc vào cách chọn gốc tọa độ mà mỗi

nhóm sẽ có dạng phương trình biểu diễn khác nhau [7].

1.3.3. Hiểu được ý nghĩa của các số liệu thông kê từ thực tiễn

Trong quá trình dạy học toán, GV cần tập trung vào khả năng tạo các

mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn cuộc sống nhằm giúp HS thấy được sự

phát triển của toán học gắn liền với văn hóa và sự tiến bộ của xã hội loài

người (Freudenthal, 1973). Trong đó, rèn luyện kĩ năng hiểu được ý nghĩa của

các số liệu thống kê trong thực tiễn có vai trò quan trọng trong giáo dục toán

học hiện nay.

Ví dụ 1.11. (Thành tích chạy 100m nam) Khi nghiên cứu về hàm số,

các nhà toán học thường tập trung vào một số dạng hàm số có nhiều ứng dụng

nhất trong cuộc sống thực tế, ví dụ như hàm số dạng , hàm số tuyến

tính, hàm số bậc hai, hàm số lượng giác, hàm số mũ và hàm số lôgarít. Trong

dạy học ở trường phổ thông, GV cần giúp HS hiểu được ý nghĩa của các mô

hình toán học trên trong việc dự đoán kết quả của các tình huống cho trước

trong thực tế. Ví dụ, khi xét bảng thống kê sau về kỷ lục chạy 100 mét (thời

gian tính theo đơn vị giây) của các nam vận động viên tại các thế vận hội

Ôlympíc mùa hè từ năm 1900 đến năm 2012:

Bảng 1.1: Bảng thành tích chạy 100 m tại các kỳ Ôlympíc (1900 - 2012)

1900 1904 1908 1912 1920 1924 1928 1932 1948

11.0 11.0 10.8 10.08 10.06 10.08 10.03 10.03 10.03

1952 1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984

10.04 10.05 10.02 10.06 9.95 10.14 10.06 10.25 9.99

1988 1992 1996 2000 2004 2008 2012

9.92 9.96 9.84 9.87 9.85 9.69 9.63

Dựa vào các số liệu trên, GV hướng dẫn HS tham gia hoạt động MHH

để tìm ra phương trình mô tả hiện tượng trên và đưa ra dự đoán về thành tích

của vận động viên nam tại Ôlympíc mùa hè 2016 tại Rio de Janeiro (Braxin).

Sử dụng phần mềm toán học để xử lý số liệu và đưa ra được đồ thị hàm số

tuyến tính biểu diễn xấp xỉ các giá trị (số giây) theo các năm tổ chức thế vận

hội mùa hè như sau:

Hình 1.10: Mô hình tuyến tính thành tích của các nam vận động viên

Kết quả tính toán đưa ra hàm số biểu diễn mối quan hệ tuyến tính của

mô hình trên: , trong đó t là thời gian chạy

100 mét (tính theo đơn vị giây), N là số năm. Từ mô hình này, GV có thể

hướng dẫn HS dự đoán về thành tích của nam vận động viên chạy 100 mét tại

Ôlympíc mùa hè 2016 tại Rio de Janeiro (Braxin) theo mô hình:

(giây)

Tóm lại, sử dụng phương pháp MHH trong dạy học toán ở trường phổ

thông giúp HS rèn luyện các kĩ năng toán học cần thiết, đồng thời cho các em

thấy được những ứng dụng trực tiếp của các kiến thức toán học trong thực

tiễn. Để thực hiện được phương pháp này, người GV cần linh hoạt, sáng tạo

trong việc lựa chọn các tình huống thực tế phù hợp với trình độ nhận thức của

HS cũng như hướng dẫn các em thao tác và tham gia các hoạt động MHH trên

máy tính điện tử. Thông qua các hoạt động này, HS có cơ hội học toán gắn

với các tình huống thực tế, rèn luyện và phát triển năng lực toán học cần thiết

cho cuộc sống và tăng cường hứng thú học tập môn Toán, từ đó giúp các em

học toán một cách có ý nghĩa hơn [7], [13].

1.3.4. Phát triển các kĩ năng toán học

Sử dụng CNTT để hỗ trợ HS thực hiện các hoạt động MHH trong học

tập toán ở trường phổ thông giúp các em rèn luyện các kĩ năng toán học cần

thiết và thấy được ứng dụng trực tiếp của các kiến thức toán học trong thực

tiễn. Từ đó, tăng hứng thú và niềm say mê học tập môn Toán, giúp các em

học toán một cách có ý nghĩa hơn. Để thực hiện tốt ý tưởng này, đòi hỏi

người GV cần sáng tạo, lựa chọn các tình huống thực tế phù hợp với trình độ

nhận thức của HS, lựa chọn các phần mềm dạy học hợp lý giúp các em thao

tác và MHH trên máy vi tính. Ngoài ra, các hoạt động MHH còn hỗ trợ rất

hiệu quả cho phương pháp dạy học GQVĐ, nó giúp tạo các tình huống gợi

vấn đề và tham gia trực tiếp vào quá trình giải bài toán. Hơn thế, với sự phát

triển của CNTT, các hoạt động MHH sẽ dễ dàng tiếp cận hơn ở nhà trường

phổ thông, giúp HS có cơ hội học toán gắn với các tình huống thực tế, rèn

luyện và phát triển năng lực toán học cần thiết cho cuộc sống [13].

Sử dụng phương pháp MHH trong dạy học giúp HS phát triển các kĩ

năng toán học, đồng thời nó còn hỗ trợ GV tổ chức dạy học theo phương pháp

phát hiện và giải quyết vấn đề có hiệu quả hơn (Martinez-Luacles, 2005;

Mousoulides, Sriraman & Christou, 2007). Phương pháp MHH hỗ trợ GV tổ

chức dạy học theo phương pháp GQVĐ có hiệu quả hơn và khuyến khích HS

học tập, hiểu sâu kiến thức, rèn luyện các kĩ năng GQVĐ (Mousoulides,

Sriraman & Christou, 2007). GV nên sử dụng các dạng bài tập MHH theo

nhóm nhỏ nhằm các mục đích sau đây:

- Rèn luyện cho HS năng lực phân tích và giải quyết các vấn đề thực

tế. Trong suốt quá trình MHH, HS cần phải phân tích và tổng hợp, trừu

tượng hóa và tổng quát hóa, so sánh và tương tự, hệ thống hóa và đặc biệt

hóa, suy diễn và quy nạp,... Quá đó đồng thời rèn luyện cho các em năng

lực tư duy lôgíc và tư duy trừu tượng.

- Rèn luyện khả năng sáng tạo, đó là việc tiếp cận kho tàng tri thức

mới, sử dụng những phương pháp và kỹ thuật mới trong phân tích và GQVĐ.

- Nâng cao tinh thần hợp tác trong học tập, tăng cường tính độc lập và

tự tin cho HS thông qua trao đổi nhóm, sử dụng phần mềm dạy học hỗ trợ quá

trình giải quyết vấn đề, MHH và cải tiến mô hình cho phù hợp với thực tiễn.

Verschaffel và De Corte (1997) cho rằng, các bài toán MHH sẽ giúp GV thiết

lập các hoạt động nhóm mới trong lớp học nhằm tạo ra sự xung đột về kiến

thức và thúc đẩy quá trình hợp tác ở mức độ cao.

- Tăng cường tính liên môn trong học tập: địa lý, khoa học, lịch sử, môi

trường,… Ví dụ như thông qua hoạt động MHH toán học giúp HS hiểu được

đồ thị của hàm số mô tả về sự tốc độ sinh trưởng của thực vật.

Theo nghiên cứu của Biembengut và Hein (2007), MHH như một

phương pháp dạy học cung cấp cho HS một số kĩ năng: tích hợp toán học với

các kiến thức khác, quan tâm đến ứng dụng toán học, cải tiến việc nắm bắt

các khái niệm toán học, khả năng sử dụng công nghệ thông tin; khả năng làm

việc theo nhóm, định hướng nghiên cứu, khả năng thông báo nghiên cứu. Một

số nghiên cứu gần đây cũng đặt ra nhiều câu hỏi nghiên cứu liên quan đến vận

dụng MHH trong dạy học toán ở trường phổ thông như: Làm thế nào để thiết

kế các hoạt động MHH có ý nghĩa đối với HS? (Lesh và Caylor, 2003; 2007);

Thiết kế các hoạt động MHH như thế nào? Những khó khăn trong việc thực

hiện các giai đoạn MHH trong dạy học khác nhau là gì? (Blum, Niss và các

đồng nghiệp, 2006); Cấu trúc nhận thức liên quan đến năng lực MHH và

những kĩ năng nhận thức nào liên quan đến giai đoạn nào của chu trình

MHH? (Boromeo Ferri, 2006) [7].

Các bài toán MHH có đặc điểm là yêu cầu HS toán học hóa các tình

huống, thường là các tình huống thực tiễn. Toán học hóa là thành phần quan

trọng của bài toán MHH vì nó dựa trên các ý tưởng toán học quan trọng giúp

HS có thể đào sâu và phát triển sự thông hiểu toán học (Lesh, 2000). GV nên

lựa chọn các tình huống thực tiễn đòi hỏi việc thu thập các số liệu, hình ảnh

hay hiện tượng nào đó. Thông qua đó thực hiện các hoạt động MHH, đưa ra

kết luận và dự đoán về tính khả thi của mô hình. Thảo luận nhóm là biện pháp

tốt nhất giúp HS làm quen và biến những vấn đề toán học trong SGK thành

những vấn đề trong cuộc sống, tranh luận về những ưu điểm và nhược điểm

của các mô hình đã thiết kế,…. Verschaffel và De Corte (1997) cho rằng, các

bài toán MHH sẽ giúp GV thiết lập các hoạt động nhóm mới trong lớp học

nhằm tạo ra sự xung đột về kiến thức và thúc đẩy quá trình hợp tác. Các hoạt

động MHH này sẽ tạo cơ hội cho HS hiểu được tình huống thực tiễn theo các

cách khác nhau để từ đó chia sẻ kế hoạch, tranh luận, đưa ra quyết định và

công bố kết quả (Anderson, 2005).

Tóm lại, vai trò của phương pháp MHH là nhằm truyền đạt nội dung

kiến thức theo cách tích cực, tạo động cơ học tập, tăng cường tính liên môn và

tính khoa học trong quá trình dạy học môn Toán ở trường phổ thông [7].

1.4. Thực trạng vận dụng phƣơng pháp mô hình hóa trong dạy học môn

toán ở trƣờng THPT

1.4.1. Về bài toán có tính thực tiễn trong SGK môn Toán THPT

Như đã trình bày ở trên, Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn, phản ánh

thực tiễn và có ứng dụng to lớn vào thực tiễn. Từ đó, ta có thể thấy mối quan

hệ mật thiết giữa Toán học và thực tiễn. Việc liên hệ Toán học với thực tiễn

trong chương trình và SGK trước đây cũng như sách chỉnh lí hợp nhất năm

2000 chưa được quan tâm một cách đúng mức và thường xuyên. Về vấn đề

này tác giả Trần Thúc Trình (1998) cho rằng: “Đáng tiếc là hiện nay trong các

SGK và bài tập còn quá ít các bài toán thực tế. Điều này cần phải nhanh

chóng được khắc phục”. Trong các SGK môn Toán và các tài liệu tham khảo

về Toán thường chỉ chú ý tập trung làm rõ những vấn đề, những bài toán

trong nội bộ Toán học nhưng cũng chưa đáp ứng được so với yêu cầu; số

lượng các vấn đề lí thuyết, các ví dụ, bài tập Toán có nội dung liên môn và

thực tế trong các SGK Đại số và Giải tích ở bậc THPT để HS học và rèn

luyện còn rất ít. Cụ thể:

1) Đối với SGK trước đây, rất ít thấy các bài tập và các vấn đề toán

học gắn liền với thực tiễn. Chẳng hạn, trong cuốn Đại số và Giải tích 11

(1999) chỉ tìm thấy: bài tập 8, 9, 10 (tr.10-11); ví dụ (tr.95); bài tập 7

(tr.96) và ví dụ 4 (tr.99).

2) Sách Đại số và Giải tích 11; Giải tích 12 (chỉnh lí hợp nhất năm 2000):

- Đại số và Giải tích 11: Ở chương I, §1, khi nói đến mở rộng khái niệm góc có đề cập: “Trong thực tiễn còn có những góc lớn hơn 3600. Chẳng

hạn bán kính OM của một bánh xe có thể quay 4/3 vòng, 2 vòng,…” [tr.6].

Cũng trong §1 có bài tập 8 [tr.12] gắn liền với thực tiễn. Trong chương III, §3

có nêu ra một ví dụ về cấp số cộng gần với thực tiễn [tr.98]. Cũng trong §3, ở

phần bài tập có 1 bài “trồng cây theo hình tam giác” ở trang 100. Còn trong

§4, có đưa vào một ví dụ về cấp số nhân “phần thưởng của hoàng tử Ấn Độ

Xiram cho người phát minh ra trò chơi cờ vua” ở trang 103.

- Giải tích 12: Chương I, §1, trang 1 và 2, trước khi đưa ra định nghĩa

đạo hàm, sách đã đưa vào “bài toán tìm vận tốc tức thời của một chất điểm

chuyển động thẳng”. Cũng trong §1, ở trang 10 có nêu lên ý nghĩa vật lí của

đạo hàm. Còn ở trang 11 đưa vào một bài tập về vấn đề này. Ở §4, có nêu lên

“ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2” cùng với một ví dụ (tr.38) và một bài tập

(tr.39). Trong bài tập ôn tập chương I có một bài liên hệ với thực tiễn ở trang

43. Trong chương II, sách trình bày những ứng dụng của đạo hàm. Tuy nhiên

cũng chỉ quan tâm đến những ứng dụng thuần túy trong nội bộ toán học. Chỉ

có ví dụ 2 được nêu ra ở §3 (tr.62) gắn liền với thực tiễn sản xuất. Trong

chương III, lại một lần nữa SGK cũng quan tâm nhiều hơn các ứng dụng

trong nội bộ toán mặc dù có hẳn một bài về ứng dụng hình học và vật lí của

tích phân. Cụ thể là chỉ có hai bài toán áp dụng phép tính tích phân để giải bài

tập vật lí 12.

3) Còn các SGK mới hiện nay, mặc dù nhiều chủ đề có rất nhiều

tiềm năng có thể đưa vào được những tình huống thực tiễn và thực sự

cũng đã có những quan tâm nhất định. Tuy nhiên, vấn đề này lại một lần

nữa vẫn chưa được làm rõ. Chẳng hạn:

- Đại số và Giải tích 11: Trong chương I, từ tr.4 đến tr.41 không có bất

cứ một kiến thức nào gắn liền với thực tiễn ngoài toán học.

Trong chương II, đây là một chương dạy về toán ứng dụng nên có khá

nhiều vấn đề liên hệ với thực tiễn: §1 có ví dụ 1 (tr.43); ví dụ 2, ví dụ 3

(tr.44); phần hoạt động của HS, ví dụ 4 (tr.45); bài tập 3, 4 (tr.46). §2 có ví

dụ 1 (tr.46); ví dụ 2 (tr.47); ví dụ 3 (tr.49); ví dụ 6, hoạt động của HS (tr.52);

bài tập 2,3,5 (tr.54 và 55). §3 có ví dụ 1, 3, 4, 5 (tr.60, 61 và 63); bài tập 1-7

(tr.63 và 64). §5 có ví dụ 1-7 (tr.65-71); bài tập 1-7 (tr.74 và 75). Ôn tập

chương 2 có các bài tập 5, 6, 7, 9 (tr.76 và 77).

Trong chương III, có liên hệ dãy số Fibonacci với thực tiễn (trong mục

“Bạn có biết”, tr.91). §4, phần hoạt động của HS (tr.98); ví dụ 3 (tr.100); bài

tập 5, 6 (tr.104); bài tập 12 (tr.108).

Trong chương IV, §1, có hoạt động của HS (tr.117); bài đọc thêm

(tr.120). §2 có bài tập 7 (tr.133 và 134); §4 không có kiến thức nào được liên

hệ với thực tiễn. Ôn tập chương IV có bài tập 3 (tr.141 và tr.142).

Trong chương V, ngay §1, trước khi đưa ra định nghĩa đạo hàm, sách

đã đưa vào “bài toán tìm vận tốc tức thời” và “bài toán tìm cường độ tức

thời”. Ngoài ra còn có bài tập 7 (tr.157). §5 có nêu ý nghĩa cơ học của đạo

hàm cấp 2 cùng một ví dụ. Ôn tập chương V, có bài tập 8 (tr.177). Phần ôn

tập cuối năm, có bài tập 4, 6, 7 (tr.179).

- Đại số và Giải tích 11 (nâng cao):

Trong chương I, có bài đọc thêm (tr.15); mục “Em có biết” (tr.18). §2

có bài tập 17 (tr.29); bài 24, 25 phần luyện tập (tr.31 và 32). §3 có bài tập 31

phần câu hỏi và bài tập (tr.41); bài tập 37 phần luyện tập (tr.46).

Trong chương II, đây là một chương dạy về toán ứng dụng nên có khá

nhiều vấn đề liên hệ với thực tiễn: §1 có ví dụ 1, 2, 3, 4, 5 (tr.51-54 ); bài tập

1, 3 phần câu hỏi và bài tập (tr.54); bài đọc thêm (tr.55). §2 có ví dụ 1, 2, 4

(tr.56-58); ví dụ 7 (tr.61); bài tập 5 - 8 phần câu hỏi và bài tập (tr.62); bài tập

9, 11, 13, 15 phần luyện tập (tr.63-64). §4, tất cả các ví dụ đều gắn liền với

thực tiễn (8 ví dụ); phần bài tập có 2 bài (tr.75 và 76); trong phần luyện tập có

3 bài (tr.76). §5, tất cả các ví dụ đều gắn liền với thực tiễn (7 ví dụ); phần câu

hỏi và bài tập có 4 bài đều gần với thực tiễn (tr.83); phần luyện tập có các bài

41, 42 (tr.85). §6, tất cả các ví dụ đều gắn liền với thực tiễn (6 ví dụ); phần

câu hỏi và bài tập có tất cả 7 bài liên hệ với thực tiễn (tr.90- 91); phần luyện

tập có bài 50 và 51 (tr.92). Phần câu hỏi và bài tập ôn tập chương II có bài 57

(tr.93); bài 59, 62, 63, 67 (tr.94-95).

Trong chương III, có bài đọc thêm ở tr.107. §3, ví dụ 3 và hoạt động 5

(tr.113). Trong phần câu hỏi và bài tập không có bài nào gắn liền với thực tiễn

ngoài toán học. §4, trước khi định nghĩa cấp số nhân có đưa vào một bài toán

về “gửi tiền tiết kiệm” (tr.115); hoạt động 3 (tr.119); trong phần câu hỏi và

bài tập có bài 35 (tr.121). Phần câu hỏi và bài tập ôn tập chương 3 có một bài

gắn với thực tiễn cuộc sống ở tr.124.

Trong chương IV, không có bất cứ một vấn đề nào liên hệ với thực tiễn

ngoài toán học.

Trong chương V, ngay §1, trước khi đưa ra định nghĩa đạo hàm, sách

đã đưa vào “ví dụ mở đầu”; tr.188 có nêu “ý nghĩa cơ học của đạo hàm”.

Ngoài ra còn có bài tập 6 (phần câu hỏi và bài tập, tr.192). §3, phần luyện

tập có bài 37 (tr.212). §5, có đưa vào ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2 cùng

với một ví dụ; phần câu hỏi và bài tập có một bài (bài 44, tr.219). Phần câu

hỏi và bài tập ôn tập cuối năm có 2 bài (tr.224).

- Đại số 10: Số gần đúng có hoạt động 1 (tr.19); Hàm số bậc nhất và bậc

hai có ví dụ 1 (tr.32), ví dụ 2 (tr.33), đường parabôn (Bài đọc thêm); Phương

trình, hệ phương trình: Phương trình Đi-ô-phăng (Bài đọc thêm); các bài tập 3-4-

6 (tr.69), bài tập 6 (tr.70), bài tập 8-9-13 (tr.71); Bất đẳng thức, bất phương trình:

Bài toán kinh tế, phương pháp tìm cực trị của biểu thức F = ax + by trên miền đa

giác (Bài đọc thêm); các bài tập 3 (tr.99), bài tập 4 (tr.106); Thống kê có các bài

tập thực hành dành cho nhóm HS (tr.131) và bài tập 6 (tr.159).

- Đại số 10 (Nâng cao): Trong phần mệnh đề và tập hợp có lồng ghép

các kiến thức xã hội, suy luận toán học; Số gần đúng có hoạt động 1 (tr.24),

các bài tập 47-48-49 (tr.29); Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai có ví dụ 1

(tr.35), bài tập 2 (tr.44), bài tập 25 (tr.54), bài tập 37 (tr.60), bài tập 38 (tr.61),

một số hình ảnh đường parabôn trong thực tế trong mục “Em có biết” (tr.62);

Phương trình, hệ phương trình có các bài tập từ 38-44 (tr.97); Bất đẳng thức,

bất phương trình có bài tập 15 (tr.112), bài toán kinh tế (tr.131), phương pháp

tìm cực trị của biểu thức dạng P(x, y) = ax + by trên miền đa giác lồi (Bài đọc

thêm), bài tập 48 (tr.135); Thống kê có các ví dụ thực hành (tr.159).

Như vậy có thể thấy rằng, quan điểm chỉ đạo, xuyên suốt quá trình dạy

học ở trường phổ thông cần gắn với các vấn đề thực tiễn được nhấn mạnh

trong chương trình SGK môn Toán. Tuy nhiên, việc quán triệt quan điểm này

chưa thực sự toàn diện và cân đối. Thực tế thì SGK môn Toán hiện nay đã có

những thay đổi lớn về nội dung theo hướng tích cực và vấn đề gắn liền toán

học với thực tiễn đã có được những quan tâm nhất định. Điều này được thể

hiện ở việc SGK mới đã đưa thêm vào phần toán học ứng dụng (xác suất) và

đây cũng là điều đáng nói nhất của SGK Toán mới. Ngoài ra, theo chúng tôi ở

các nội dung khác, tính thực tiễn ngoài toán học vẫn chưa được quan tâm

đúng mức, thường chỉ dừng lại ở mức giới thiệu là chính, ít bài tập. Một lần

nữa vai trò công cụ của môn Toán vẫn chưa được làm rõ.

1.4.2. Thực trạng dạy học môn Toán theo hướng tăng cường liên hệ với

thực tiễn

Thông qua phiếu điều tra dành cho HS (xem phần phụ lục 1), chúng tôi

đã tiến hành điều tra 223 HS ở lớp 10 trường THPT Dương Tự Minh, trường

THPT Ngô Quyền (TP. Thái Nguyên ) và trường THPT Đồng Hỷ (Huyện Đồng

Hỷ - Tỉnh Thái Nguyên). Đối với mỗi câu hỏi trong phiếu HS sẽ trả lời bằng cách

cho điểm tùy theo mức độ đồng ý của bản thân. Sau khi thu lại các phiếu chúng tôi

sẽ tính điểm trung bình cho mỗi câu hỏi và kết quả thu được như sau:

(1) Thống kê về mong muốn của HS được biết thêm những ứng dụng thực

tế của những kiến thức Toán học:

Hình 1.11

(2) Thống kê của HS về mức độ thường xuyên tự tìm hiểu những ứng

dụng trong thực tiễn của toán học:

Hình 1.12

Dựa vào các thống kê trên chúng ta thấy đại đa số HS đều muốn biết

những ứng dụng của toán học vào thực tiễn, nhưng ngược lại thì hầu hết các

em đều không thường xuyên tự mình tìm hiểu những ứng dụng trong thực tiễn

của toán học. Việc HS không thường xuyên tự mình tìm hiểu những ứng dụng

trong thực tiễn của toán học có thể do các nguyên nhân sau:

- Toán là môn học trừu tượng, để nắm được một vấn đề các em phải

dành một lượng thời gian không nhỏ, điều này dẫn tới việc các em ít quan tâm

tới các vấn đề khác của toán học.

- Các em chưa biết tìm hiểu bằng cách nào và ở đâu.

- Do tính ỳ của HS, luôn trông chờ vào GV hay còn do phương pháp

dạy học của GV ảnh hưởng đến cách học của HS.

(3) Thống kê đánh giá của HS về mức độ thường xuyên giảng giải mối

liên hệ toán học với thực tiễn của GV:

Hình 1.13

Dựa vào thống kê trên chúng ta thấy GV đã có những sự quan tâm nhất

định đến việc giảng giải về mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn, nhưng sự

quan tâm này còn dừng lại ở cấp độ thấp, mức độ chưa thường xuyên.

(4) Thống kê ý kiến của HS về mối liên hệ giữa toán học và các môn học

khác:

Hình 1.14

(5) Thống kê ý kiến của HS về tầm quan trọng của toán học:

Hình 1.15

Dựa vào các thống kê trên chúng ta thấy đại đa số HS đều đánh giá

môn Toán là môn học quan trọng không chỉ với các môn học khác mà còn

trong cả đời sống.

(6) Thống kê ý kiến của HS về mức độ khô khan của môn Toán:

Hình 1.16

Dựa vào các thống kê trên chúng ta thấy đại đa số HS đều đánh giá môn

Toán là môn học khô khan. Đặc biệt, thông qua phỏng vấn HS, ta thống kê được

một số khó khăn các em gặp phải trong quá trình học môn Toán như sau:

- Khó hiểu, nhiều công thức phải ghi nhớ, không thực tế, nhiều lý thuyết.

- Dễ nản lòng bởi các bài toán khó, khó kiềm chế khi thua bạn bè, lớp

ồn khó tập trung.

- Môn hình học không gian rất khó tưởng tượng, nhưng lại rất ít

mô hình trực quan.

- Không thấy có ứng dụng gì trong thực tế, không áp dụng được gì cho

cuộc sống hàng ngày.

- Chương trình học quá nặng, khô khan, khó tiếp thu.

- GV ít đổi mới phương pháp, vẫn thiên về dạy lý thuyết và giải bài tập.

- Học nhiều kiến thức khó mà lại ít áp dụng vào trong cuộc sống.

- Học không thực tiễn, quá nhiều và thừa thãi, tốn nhiều thời gian học

vô ích, không có sự đầu tư vào các hoạt động ngoại khóa, chương trình dạy

lỗi thời, không có hứng thú.

- Vì không thấy mối liên hệ với thực tiễn nên thấy môn Toán rất khó và

cũng không muốn học nhiều.

Trên đây là những tâm sự về khó khăn các em gặp phải trong quá trình

học môn Toán. Khó khăn này không chỉ dừng lại ở mức độ trừu tượng của

toán học, hay ở sự quá tải của chương trình, mà nó còn bao gồm cả nhu cầu

muốn được biết mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn không được thỏa mãn.

Để giải quyết khó khăn này, các em HS đã đưa ra một vài mong muốn của

mình trong quá trình học môn Toán như sau: Được ứng dụng những gì mình

học vào thực tế cuộc sống; Được giảng về mối quan hệ giữa lí thuyết và ứng

dụng kĩ càng hơn; Có nhiều ví dụ sinh động hơn từ thực tế, có thêm nhiều liên

hệ với thực tiễn; Giảm bớt kiến thức, thêm bài tập thực tế; Có thêm nhiều

hình vẽ, mô hình, ứng dụng trong các giờ học; Môi trường học tập thật sự tập

trung, im lặng.

Thông qua điều tra ta cũng thấy được nhu cầu muốn biết mối liên hệ

giữa toán học và thực tiễn của HS là rất lớn. Việc không được thỏa mãn nhu

cầu này cũng là một rào cản để các em có sự yêu thích với môn Toán.

Thông qua phiếu điều tra dành cho GV (xem phần phụ lục 2), chúng tôi đã

tiến hành trao đổi, điều tra 21 GV dạy toán thuộc các trường THPT Dương Tự

Minh, trường THPT Ngô Quyền (TP. Thái Nguyên) và trường THPT Đồng Hỷ

(Huyện Đồng Hỷ - Tỉnh Thái Nguyên) về việc hiểu biết và khai thác ứng dụng thực

tế vào dạy học môn Toán. Đối với mỗi câu hỏi được hỏi ý kiến GV được sẽ trả lời

bằng cách cho điểm tùy theo mức độ đồng ý của bản thân. Sau khi thu lại các phiếu

chúng tôi sẽ tính điểm trung bình cho mỗi câu hỏi và kết quả thu được thể hiện theo

các biểu đồ dưới đây:

(7) Thống kê ý kiến của GV về mức độ thường xuyên quan tâm đến vệc dạy

học theo hướng tăng cường mối liên hệ toán học và thực tiễn:

Hình 1.17

Dựa vào thống kê trên chúng ta thấy các GV đều quan tâm đến việc dạy học

theo hướng tăng cường mối liên hệ toán học với thực tiễn. Có nhiều GV thường

xuyên quan tâm tới vấn việc này.

(8) Thống kê ý kiến của GV về mức độ thường xuyên tự tìm hiểu về những

ứng dụng thực tế của toán học trong cuộc sống:

Hình 1.18

Dựa vào thống kê trên ta có thể thấy để có thể dạy học theo hướng tăng

cường Toán học với thực tiễn các GV đã chú trọng tới việc tự tìm hiểu về những

ứng dụng thực tế của toán học trong cuộc sống. Sự tìm hiểu này đã được diễn ra

thường xuyên và sâu sắc, nhưng vẫn có nhiều GV chưa chú ý tới vấn đề này

(21,24% chưa thường xuyên tìm hiểu).

(9) Thống kê ý kiến của GV về tầm quan trọng của việc đưa những tình

huống thực tiễn vào dạy học toán học:

Hình 1.19

(10) Thống kê ý kiến của GV về mức độ thường xuyên đưa tình huống thực

tiễn vào dạy học môn Toán:

Hình 1.20

Dựa vào hai biểu đồ trên ta thấy hầu hết các GV đều nhận định việc

đưa đã đưa những tình huống thực tiễn vào dạy học toán học là quan trọng.

GV cũng đã chú ý đến việc đưa tình huống thực tiễn vào dạy Toán, nhưng

việc này diễn ra chưa thường xuyên.

(11) Thống kê về mức độ thường xuyên hướng dẫn HS giải quyết

những tình huống thực tế ngoài SGK:

Hình 1.21

Dựa vào các hình trên ta thấy có đến 50% GV không thường xuyên cho HS

giải quyết những tình huống thực tế ngoài SGK. Điều này có thể lý giải do việc tự

tìm hiểu về những ứng dụng thực tế của Toán học trong cuộc sống.

(12) Thống kê về tầm quan trọng của việc tăng cường các câu hỏi có nội

dung thực tiễn vào kiểm tra môn Toán:

Hình 1.22

Dựa vào các biểu đồ trên, ta thấy hầu hết các GV đều đồng ý với quan

điểm về việc tăng thêm câu hỏi có nội dung thực tiễn vào kiểm tra môn Toán.

Dưới đây là bảng thống kê về ý kiến của GV về việc đưa tình huống thực tiễn

vào giảng dạy môn Toán.

Bảng 1.2: Bảng thống kê về ý kiến của GV trong dạy học Toán

Thuận lợi

1. Cơ sở vật chất tốt, HS giỏi. 2. Ban giám hiệu quan tâm, tạo điều

kiện cho nghiên cứu. Khó khăn 1. Hình thức đánh giá thi cử có vận dụng vào tình huống thực tiễn rất ít.

3. Có giờ ngoại khóa và có thời gian

tổ chức hoạt động cho HS.

4. GV có nhu cầu đưa thực tiễn vào

giảng dạy.

5. Có sự hỗ trợ của máy tính và các

phần mềm hỗ trợ dạy học.

2. Việc chọn nội dung, những câu hỏi, tình huống thực tiễn là khó. 3. Nội dung kiến thức không có nhiều ví dụ, mô hình thực tiễn. 4. Khả năng liên hệ kiến thức Toán học vào thực tiễn còn nhiều hạn chế. 5. Bản thân trong quá trình đào tạo tại các trường sư phạm ít khi được học tập một cách có hệ thống về phương pháp khai thác, vận dụng kiến thức toán học vào thực tế.

Về việc tìm hiểu ứng dụng Toán học trong thực tế: Hầu hết những GV trên

có quan tâm đến việc khai thác tình huống thực tế vào dạy học môn Toán và điều

này được thể hiện ở hai cấp độ như sau:

- Một số ít GV quan tâm và chủ động tìm hiểu để ứng dụng toán học vào

thực tế.

- Số GV còn lại quan tâm nhưng không chủ động tìm hiểu mà chủ yếu sử

dụng các bài tập trong SGK, sách bài tập.

Về khai thác tình huống thực tế vào dạy học môn Toán: Qua trao đổi với

những GV trên thì 100% các thầy cô đều cho rằng nếu tăng cường khai thác các

tình huống thực tế vào dạy học thì có thể làm cho HS tích cực hơn trong việc học

môn Toán. Tuy nhiên việc tìm hiểu, khai thác các tình huống thực tế vào dạy học

hiện nay của GV còn gặp nhiều khó khăn và hạn chế (xem bảng 1.2).

Về năng lực MHH bài toán thực tiễn: Hầu hết GV đều đánh giá cao những

hoạt động MHH trong dạy học môn Toán. Tuy nhiên, năng lực MHH của cả GV và

HS còn nhiều hạn chế. Hầu hết HS đều không giải quyết trọn vẹn các bài tập MHH,

đặc biệt là năng lực thành lập và biểu diễn các mô hình toán học nhằm làm sáng tỏ

các vấn đề trong thực tiễn cuộc sống. Chính vì vậy, những kết quả nghiên cứu của

luận văn sẽ góp phần khắc phục những khó khăn và hạn chế nói trên, góp phần đưa

ý tưởng toán học gắn liền với thực tiễn vào trong lớp học toán ở nhà trường.

1.5. Kết luận chƣơng 1

Chương 1 đã trình bày khá cụ thể và làm rõ được khái niệm mô hình

toán học, phương pháp MHH, cũng như vai trò quan trọng của phương pháp

MHH để giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn. Đồng thời, luận văn

cũng chỉ ra rằng, việc rèn luyện cho HS năng lực vận dụng kiến thức toán học

vào thực tiễn là vấn đề có tính nguyên tắc và là một nhiệm vụ của giáo dục

toán học ở nước ta. Luận văn cũng đề cập đến vấn đề liên quan tới chương

trình và SGK trung học của Việt Nam, đặc biệt là mối quan hệ giữa toán học

và thực tiễn. Đây sẽ là cơ sở quan trọng để tác giả đề xuất xây dựng một số

mô hình toán học được trình bày trong chương 2.

Chƣơng 2

THIẾT KẾ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA

TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ LỚP 10

2.1. Nguyên tắc thiết kế mô hình toán học

2.1.1. Nguyên tắc 1: Đảm bảo tính khoa học của toán học

Các mô hình được thiết kế phải đảm bảo tính khoa học, tính chính xác

của toán học và mô tả được các tình huống trong thực tiễn. HS sử dụng các

phương pháp toán học để giải bài toán, từ đó đối chiếu kết quả với thực tế để

điều chỉnh mô hình toán học cho phù hợp.

2.1.2. Nguyên tắc 2: Làm rõ tính ứng dụng của toán học trong thực tiễn

Toán học nghiên cứu những mối quan hệ về số lượng và hình dạng

trong không gian của thế giới khách quan. Toán học có ứng dụng to lớn trong

thực tiễn cũng như trong sự phát triển của các ngành khoa học kỹ thuật, nó là

điều kiện thiết yếu để phát triển lực lượng sản xuất. Việc vận dụng toán học

vào thực tiễn thực chất là vận dụng toán học vào giải quyết một tình huống

thực tế, tức là dùng những công cụ toán học thích hợp để tác động, nghiên

cứu khách thể nhằm mục đích tìm một phần tử chưa biết nào đó, dựa vào một

số phần tử cho trước trong khách thể hay để biến đổi, sắp xếp những yếu tố

trong khách thể, nhằm đạt một mục đích đề ra.

2.1.3. Nguyên tắc 3: Chú trọng rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề

HS phân tích những cái đã cho, những mối quan hệ ràng buộc, và mục

tiêu. Lập giả thuyết, lập kế hoạch tìm kiếm lời giải hơn là thử ngay kết quả

của nó. Xét các bài toán tương tự, cố gắng đơn giản hóa bài toán ban đầu để

có thể tìm hiểu sâu và dễ dàng đi tìm kết quả. Kiểm soát và đánh giá quá trình

và thay đổi giả thuyết nếu thấy cần thiết. Phụ thuộc vào ngữ cảnh tình huống

thực tế, thay đổi biểu thức đại số, thay đổi biểu diễn của mô hình, giải thích

tương ứng giữa các phương trình, mô tả bằng lời, bảng biểu, đồ thị hoặc biểu

đồ, sơ đồ của những đặc trưng, tính chất quan trọng, mối quan hệ, biểu diễn

số liệu, xu hướng. Phụ thuộc vào các đối tượng hoặc hình ảnh cụ thể để giải

bài toán. Kiểm tra câu trả lời sử dụng các phương pháp khác nhau, hiểu được

ưu thế của từng phương pháp. Thông qua MHH, HS được phát triển các kĩ

năng GQVĐ, đặc biệt là những vấn đề trong thực tiễn.

2.1.4. Nguyên tắc 4: Đảm bảo tính khả thi và tính vừa sức

Tính khả thi của hoạt động MHH và hệ thống bài tập có nội dung thực

tiễn được hiểu là khả năng thực hiện được (xây dựng được, sử dụng được).

Điều này phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố: Chương trình, SGK, kế hoạch dạy

học và quỹ thời gian thực hiện, trình độ nhận thức chung của HS, khả năng và

trình độ thực hiện của GV, sự tương hợp giữa các nội dung thực tiễn chứa

đựng trong các tình huống,... Vì vậy, các hoạt động và hệ thống các bài tập

MHH cần phải được tinh lọc một cách thận trọng, vừa mức về số lượng và

mức độ.

Các hoạt động và bài tập MHH tình huống thực tiễn cần được sắp xếp

từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Việc HS tự mình giải quyết được

một bài toán có ý nghĩa rất lớn về mặt tâm lý. Ngược lại, việc thất bại ngay từ

bài toán đầu tiên dễ làm cho HS mất nhuệ khí, dễ gây tâm trạng bất lợi cho

quá trình tổ chức hoạt động tiếp theo. Do đó, trong khi thiết kế các hoạt động

và hệ thống bài tập MHH, GV cần chú ý đến các các cấp độ sau đây:

- Cấp độ 0: HS không hiểu tình huống và không thể vẽ, phác thảo hay

viết bất cứ cái gì cụ thể về vấn đề.

- Cấp độ 1: HS chỉ hiểu tình huống thực tiễn nhưng không cấu trúc và đơn

giản tình huống hoặc không thể tìm sự kết nối đến một ý tưởng toán học nào.

- Cấp độ 2: Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, HS tìm mô hình thật

qua cấu trúc và đơn giản hóa, nhưng không biết chuyển đổi thành một vấn

đề toán học.

- Cấp độ 3: HS có thể tìm ra không chỉ mô hình thật, mà còn phiên dịch

nó thành vấn đề toán học, nhưng không thể làm việc với nó một cách rõ ràng

trong thế giới toán học.

- Cấp độ 4: HS có thể thiết lập vấn đề toán học từ tình huống thực tiễn,

làm việc với bài toán với kiến thức toán học và có kết quả cụ thể.

- Cấp độ 5: HS có thể trải nghiệm quá trình MHH toán học và kiểm

nghiệm lời giải bài toán trong mối quan hệ với tình huống đã cho.

Tùy từng đối tượng HS mà GV giao nhiệm vụ ở những cấp độ phù hợp,

vừa sức, đảm bảo đúng trình độ của HS nhằm nâng cao hiệu quả của hoạt

động MHH vấn đề thực tiễn trong dạy học môn Toán.

2.2. Thiết kế hoạt động m̞ hình hóa chủ đề hàm số

Để xây dựng những hoạt động MHH có ý nghĩa và phù hợp đối với HS,

chúng ta có thể thực hiện theo các bước sau:

- Bắt đầu với một tình huống thực tế, tình huống đó phải thích hợp với

đối tượng HS và chứa đựng nội dung toán học các em đã được học.

- Dự kiến những kiến thức, kĩ năng toán học mà HS cần sử dụng để

thiết lập mô hình toán học và giải bài toán.

- Làm cho tình huống rõ ràng hơn, tạo mối liên kết giữa tình huống

thực tế và toán học bằng cách:

+ Đơn giản hóa, đặc biệt hóa, cụ thể hóa vấn đề.

+ Đưa ra các giả thiết phù hợp.

+ Nhận ra các biến trong tình huống để biểu diễn các đặc điểm cần thiết.

+ Thu thập dữ liệu thực tế để cung cấp thêm thông tin cho tình huống,

những dữ liệu này sẽ gợi ý loại mô hình toán phù hợp với tình huống.

+ Mô tả chi tiết tình huống.

+ Câu hỏi được đặt ra một cách rõ ràng.

- Đối chiếu mô hình với thực tế và rút ra kết luận cần thiết.

2.2.1. Mô hình hàm số bậc nhất

Bài toán 2.1: Một hãng taxi quy định giá thuê xe đi mỗi kilômét là 6

nghìn đồng đối với 10 km đầu tiên và 2,5 nghìn đồng đối với các kilômét tiếp

theo. Một hành khách thuê taxi đi quãng đường x kilômét phải trả số tiền là y

nghìn đồng. Khi đó, y là một hàm số của đối số x, xác định với mọi x ≥ 0.

a) Hãy biểu diễn y như một hàm số bậc nhất trên từng khoảng ứng với

đoạn [0; 10] và khoảng (10; +∞).

b) Tính f(8), f(10) và f(18).

c) Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) và lập bảng biến thiên của nó.

* Mục tiêu hoạt động:

- Tìm mối liên hệ giữa số tiền phải trả y nghìn đồng và quãng đường đi

được x kilômét (biểu diễn y theo x).

- Sau khi tìm được mối liên hệ giữa x và y, tính số tiền hành khách phải

trả khi đi những quãng đường nhất định.

- Thiết lập mô hình hàm số bậc nhất biểu diễn mối liên hệ trên.

- Dựa vào đồ thị hàm số nhận xét về ý nghĩa của tình huống trong

thực tiễn.

* Tiến trình hoạt động:

GV chia lớp thành các nhóm, khoảng 6 đến 8 HS một nhóm. Tổ chức

cho nhóm HS giải quyết bài toán trên theo 4 giai đoạn của quá trình MHH

như sau:

- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): Các nhóm nhận nhiệm vụ, tìm hiểu

phương pháp biểu diễn y theo x. HS trao đổi, thảo luận tìm ra y là một hàm số

của đối số x, xác định với mọi x ≥ 0 và phác thảo vị trí của các điểm thuộc đồ

thị hàm số.

- Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Các nhóm thảo luận biểu diễn hàm số y

theo x, với mọi x ≥ 0 như sau:

, tức là quãng đường đi nằm trong 10 km đầu tiên, số tiền Khi 0 x

phải trả là y = 6x.

Khi x ≥ 10, số tiền phải trả là y = 6.10 + (x - 10).2,5 = 2,5x + 35.

Vậy ta có hàm số bậc nhất sau: y = f(x) = nếu

Nhóm HS vẽ đồ thị hàm số trên và quan sát:

Hình 2.1: Mô hình tình huống tính giá cước taxi

- Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): Sau khi giải xong vấn đề HS biết

được rằng y là hàm số bậc nhất của đối số x và được biểu diễn dưới dạng

y = f(x) = nếu

Để vẽ được đồ thị hàm số y = f(x), HS cần vẽ đồ thị hàm số y = 6x lấy

phần đồ thị ứng với 0 ≤ x ≤ 10 và vẽ đồ thị hàm số y = 2,5x + 35 lấy phần đồ

thị ứng với x ≥ 10 (Hình 2.1).

Hình 2.2: Bài làm của HS lớp thực nghiệm

- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): Sau khi tìm ra dạng biểu diễn của

hàm y, GV yêu cầu các nhóm tính số tiền mà hành khách phải trả khi đi

những quãng đường tương ứng với x = 8, x = 10, x = 18, … Các nhóm thảo

luận và đưa ra câu trả lời như sau:

Với x = 8 < 10 nên f(8) = 6.8 = 48.

Với x = 10 nên f(10) = 6.10 = 60.

Với x = 18 > 10 nên f(18) = 2,5.18 + 35 = 80.

Hình 2.3: Bài làm của HS lớp thực nghiệm

Nhóm HS đưa ra nhận xét: Khi hành khách muốn đi quãng đường xác

định thì sẽ tính được trước số tiền phải trả. Hàm số y = f(x) là hàm số đồng

biến. Do vậy, càng đi xa thì số tiền hành khách phải trả sẽ tăng dần.

* Phân tích kết quả hoạt động:

Kết quả cho thấy, hơn 70% các nhóm HS hoàn thành tốt nhiệm vụ GV

đưa ra, HS nắm chắc phương pháp lập hàm số bậc nhất, kĩ năng vẽ và đọc

hiểu đồ thị hàm số bậc nhất tương đối tốt. Đối với mô hình hàm số bậc nhất,

phần lớn HS đạt được kĩ năng MHH ở cấp độ 4 và cấp độ 5.

Bài toán 2.2. (Nhịp tim tối đa): Vì lý do sức khỏe, con người nên hạn chế

những nỗ lực của mình, ví dụ như trong thể thao để không vượt quá tần số nhịp

tim nhất định. Trong nhiều năm qua mối quan hệ giữa tỉ lệ khuyến cáo giữa nhịp

tim tối đa và độ tuổi của một người được mô tả bởi công thức dưới đây:

Nhịp tim tối đa được khuyến cáo = 220 – tuổi

Nghiên cứu gần đây cho thấy rằng công thức này nên được sửa đổi một

chút. Công thức mới như sau:

Nhịp tim tối đa được khuyến cáo = 208 – (0.7 x tuổi)

a) Hoàn thiện bảng dưới đây về nhịp tim tối đa được khuyến cáo:

Tuổi (theo năm) 9 12 15 18 21 24

Nhịp tim tối đa được

khuyến cáo cũ (công thức 211 208 205 202 199 196

cũ)

Nhịp tim tối đa được

khuyến cáo mới (công thức 201,7 ....... 197,5 195,4 ....... 191,2

mới)

b) Ở tuổi nào thì công thức cũ và mới cho chính xác cùng một giá trị và

giá trị đó là bao nhiêu?

c) Bạn Hoa chú ý rằng hiệu số của hai nhịp tim tối đa được khuyến

cáo trong bảng có vẻ giảm đi khi tuổi tăng lên. Tìm một công thức thể

hiện hiệu số này theo tuổi.

d) Nghiên cứu cũng chỉ ra rằng tập thể dục có hiệu quả nhất khi nhịp

tim là 80% của nhịp tim tối đa được khuyến cáo theo công thức mới. Hãy viết

và rút gọn công thức cho nhịp tim hiệu quả nhất để tập thể dục theo tuổi.

e) Công thức mới đã làm thay đổi nhịp tim khuyến cáo theo độ tuổi như

thế nào? Hãy giải thích câu trả lời của bạn một cách rõ ràng.

* Mục tiêu hoạt động:

- Hoàn thiện bảng nhịp tim tối đa được khuyến cáo dựa vào hàm số

đã cho.

- Xác định độ tuổi mà công thức cũ và công thức mới cho cùng một giá

trị và tìm giá trị đó.

- Tìm công thức thể hiện hiệu số hai nhịp tim tối đa được khuyến cáo.

- Viết và rút gọn công thức cho nhịp tim hiệu quả nhất để tập thể dục

theo tuổi.

- Qua hoạt động này, HS được rèn luyện các kĩ năng sau:

+ Kĩ năng thiết lập hàm số và biểu diễn bội.

+ Kĩ năng rút gọn biểu thức toán học.

+ Kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ Kĩ năng vẽ và đọc hiểu ý nghĩa thực tế của đồ thị hàm số.

* Tiến trình hoạt động:

GV chia lớp thành các nhóm HS và tổ chức cho nhóm giải quyết bài

toán theo các giai đoạn sau:

- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): Bài toán cung cấp thông tin thực tế về sức

khỏe con người. Để làm được bài toán này, HS cần phải chuyển được những

thông tin đã cho trong đề bài thành những phương trình đại số (hay hàm số), biết

vận dụng các kĩ năng đại số để giải quyết lần lượt các vấn đề đặt ra. GV yêu cầu

các nhóm thảo luận, suy nghĩ trả lời các câu hỏi trong bài toán.

+ Câu (a) chỉ yêu cầu HS kĩ năng tính toán đơn giản để điền số liệu vào

bảng cho trước.

+ Câu (b) yêu cầu HS phải biết cách biểu diễn nhịp tim tối đa được

khuyến cáo theo hai công thức cũ và mới.

+ Câu (c), (d) yêu cầu HS có kĩ năng rút gọn biểu thức 220 – x – (208 –

0,7x) và 0,8.(208 – 0,7x).

- Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Biểu diễn nhịp tim tối đa được

khuyến cáo theo hai công thức cũ và mới lần lượt là hai hàm số f(x) =

220 – x và g(x) = 208 – 0,7x với y thể hiện nhịp tim tối đa trong mỗi

phút và x đại diện cho tuổi tính theo năm.

GV yêu cầu nhóm HS biểu diễn đồ thị của hai hàm số trên cùng hệ trục

tọa độ để biết được công thức mới đã làm thay đổi nhịp tim khuyến cáo theo

độ tuổi như thế nào?

Hình 2.4: Mô hình nhịp tim tối đa được khuyến cáo

Nhóm HS quan sát mô hình trên và đưa ra nhận xét: Khi x > 40 ta có đồ

thị hàm f(x) = 220 – x nằm phía dưới đồ thị hàm g(x) = 208 – 0,7x và khi x <

40 thì đồ thị hàm f(x) = 220 – x nằm phía trên đồ thị hàm g(x) = 208 – 0,7x.

Vì hai hàm số có hệ số góc khác nhau nên đồ thị của chúng cắt nhau tại

một điểm. GV hướng dẫn HS xác định điểm này bằng cách giải phương trình

220 – x = 208 – 0,7x để suy ra nghiệm của phương trình là x = 40 và y = 180.

Tiếp theo, HS rút gọn biểu thức 220 – x – (208 – 0,7x) và 0,8.(208 – 0,7x), ta

có: 220 – x – (208 – 0,7x) = 12 – 0,3x và 0,8.(208 – 0,7x) = 166,4 – 0,56x.

- Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): Bài toán cho biết thông tin thực tế về

sức khỏe con người để từ đó con người biết cách chăm sóc cơ thể, giữ gìn sức

khỏe và có chế độ luyện tập thể dục phù hợp với tình trạng sức khỏe bản thân.

Nhóm HS cần rút ra nhận xét: Ở độ tuổi trên 40 thì nhịp tim được khuyến cáo

ở công thức mới cao hơn công thức ban đầu và thấp hơn công thức ban đầu

với lứa tuổi dưới 40.

Hình 2.5: Bài làm của HS lớp thực nghiệm

- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): GV cho HS các nhóm tiến hành đo

nhịp tim các thành viên trong nhóm bằng máy đo nhịp tim điện tử thông qua

một trò chơi vận động. Sau đó yêu cầu HS các nhóm đo nhịp tim rồi lấy kết

quả trung bình các thành viên trong nhóm. So sánh kết quả của các nhóm, áp

dụng vào công thức đo nhịp tim và nhận xét về mức độ hoạt động đã phù hợp

với nhịp tim được khuyến cáo hay chưa. Đưa ra khuyến cáo đối với các thành

viên trong gia đình về nhịp tim của mỗi người (nhiệm vụ giao về nhà).

* Phân tích kết quả hoạt động:

Các nhóm HS đã biết chuyển những thông tin đã cho trong bảng biểu

thành phương trình đại số (hay hàm số), HS biết thao tác với các biểu thức đại

số để giải quyết vấn đề đặt ra ban đầu. Kết quả cho thấy, hơn 60% số HS đạt

được kĩ năng MHH ở cấp độ 3 và cấp độ 4, các em rất hào hứng với trò chơi

vận động và đo nhịp tim các thành viên trong nhóm bằng máy đo điện tử.

Tóm lại, bài toán trên minh họa cho ứng dụng của toán học trong việc

giải quyết những vấn đề có liên quan đến chất lượng cuộc sống của con

người. HS phải kết hợp nhiều kĩ năng đã học: kĩ năng thiết lập hàm số, kĩ

năng rút gọn biểu thức toán học, kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn,

kĩ năng vẽ và đọc hiểu biểu diễn của đồ thị hàm số, kĩ năng vận dụng kiến

thức toán học phổ thông giải quyết các vấn đề nảy sinh trong thực tiễn,…

2.2.2. Mô hình hàm số bậc hai

Bài toán 2.3. (Bài toán bóng đá): Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ

đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một

cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oth, trong đó t là thời gian (tính

bằng giây), kể từ khi quả bóng được đá lên; h là độ cao (tính bằng mét) của

quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ độ cao 1,2 m. Sau đó 1 giây, nó

đạt độ cao 8,5 m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 6 m.

a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần

đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên.

b) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng (tính chính xác đến

hàng phần nghìn).

c) Sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên (tính chính xác

đến hàng phần trăm)?

Hình 2.6: Mô hình bài toán bóng đá

* Mục tiêu hoạt động:

- Tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ

thị trùng với quỹ đạo của quả bóng rơi.

- Tìm độ cao lớn nhất của quả bóng và tính thời gian quả bóng

chạm đất.

- Thấy được một số hình ảnh trong thực tiễn có quỹ đạo chuyển động là

một phần đồ thị của hàm số bậc hai.

- Qua hoạt động này, HS được rèn luyện các kĩ năng sau đây:

+ Thiết lập và biểu diễn đồ thị của hàm số bậc hai.

+ Kĩ năng đọc đồ thị của hàm số bậc hai (xác định được giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất).

+ Kĩ năng mô tả những tình huống thực tiễn bằng công cụ toán học.

* Tiến trình hoạt động:

GV chia lớp thành các nhóm HS và tổ chức cho nhóm giải quyết bài

toán theo các giai đoạn sau:

- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): GV hướng dẫn nhóm HS phân tích và

hiểu được vấn đề thực tiễn như sau:

+ Quỹ đạo của quả bóng là một cung parabôn trong mặt phẳng với hệ

tọa độ Oth, vì vậy hàm số biểu thị độ cao h theo thời gian t là một hàm số bậc

hai và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng.

+ Độ cao lớn nhất của quả bóng chính là tung độ của đỉnh parabôn.

+ Khoảng thời gian từ khi quả bóng được đá lên đến khi chạm đất (tức

là tung độ của đồ thị hàm số bằng 0).

- Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Giả sử h = f(t) = at + bt + c. GV cần

hướng dẫn nhóm HS tìm các hệ số a, b và c. Các nhóm HS thảo luận và tìm

các hệ số a,b,c như sau:

Quả bóng được đá lên từ độ cao 1,2 m nghĩa là: f(0) = c = 1,2.

Sau đó 1 giây nó đạt độ cao 8,5 m nên: f(1) = a + b + 1,2 = 8,5.

Sau khi đá 2 giây quả bóng ở độ cao 6 m, nghĩa là: f(2) = 4a + 2b + 1,2 = 6.

HS thu gọn các hệ thức trên rút ra hệ phương trình bậc nhất:

Giải hệ phương trình HS thu được kết quả sau: a = –4,9; b = 12,2. Vậy

hàm số cần tìm là: f(t) = –4,9t2 + 12,2t +1,2.

Hình 2.7: Bài làm của HS lớp thực nghiệm

Tiếp theo HS tìm độ cao lớn nhất của quả bóng:

Độ cao lớn nhất của quả bóng chính là tung độ của đỉnh parabôn, cụ thể là:

y = =

HS Giải phương trình bậc hai –4,9t2+ 12,2t + 1,2 = 0 được hai nghiệm

gần đúng là t1 = –0,09 (loại vì giá trị âm) và t2 = 2,58. Như vậy, quả bóng chạm đất sau gần 2,58 giây.

Hình 2.8: Bài làm của HS lớp thực nghiệm

- Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): Sau khi giải bài toán và tìm được

nghiệm, GV hướng dẫn HS đưa ra nhận xét: Quỹ đạo chuyển động của quả

bóng là một cung parabôn trong mặt phẳng. Ta có thể xác định được vị trí của

quả bóng (cả về độ cao so với mặt đất lẫn khoảng cách so với vị trí quả bóng

được đá lên) ở một thời điểm bất kỳ trong quá trình chuyển động và sau bao

lâu thì quả bóng chạm đất (tung độ của đỉnh đồ thị hàm số bằng 0).

- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): Việc xác định được quỹ đạo của

chuyển động không chỉ giúp HS xác định được vị trí của quả bóng tại một

thời điểm bất kỳ, mà còn giúp HS dự kiến được thời gian quả bóng rơi xuống

đất, cũng như tính được khoảng cách từ vị trí đá đến vị trí quả bóng rơi

xuống. GV yêu cầu nhóm HS tìm các chuyển động khác có quỹ đạo là một

phần của parabôn, ví dụ như: quỹ đạo của nước rơi, quỹ đạo của vòi phun

nước, đường đi của quả bóng rổ, đường đi của đạn đại bác,... Nhiệm vụ về

nhà của các em là sưu tập hình ảnh các chuyển động có quỹ đạo là đường

parabôn (đồ thị của hàm số bậc hai).

* Phân tích kết quả hoạt động:

Ngoài ra, thông qua hoạt động MHH, GV có thể phân tích cho HS hiểu

rõ thêm các vấn đề sau: Trong thực tế, chuyển động của quả bóng còn phụ

thuộc vào rất nhiều yếu tố như: nhiệt độ môi trường, sức cản của không khí,

vận tốc gió,… Do vậy, không phải lúc nào quả bóng cũng chuyển động theo

quỹ đạo hình parabôn mà nó sẽ có một sai số nào đó. Trong những trường

hợp không đòi hỏi sự chính xác quá cao thì ta có thể bỏ qua các yếu tố của

môi trường và coi chuyển động của quả bóng là một phần của đường parabôn.

Kết quả cho thấy, trên 80% số HS có thể đạt được kĩ năng MHH ở cấp độ 3.

Đặc biệt, nhóm HS nam rất hứng thú với bài toán này và đã đưa ra đáp số

trước nhóm HS nữ vì nó có liên quan đến chủ đề bóng đá – một trong những

sở trường của các em HS nam.

Bài toán 2.4. (Bài toán về cổng Ac-xơ): Khi du lịch đến thành phố Xanh-

Lui (Hoa Kì), ta sẽ thấy một cái cổng lớn đó là cổng Ác-xơ. Giả sử ta lập một hệ

tọa độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc 0 (x và y tính bằng mét), chân kia

của cổng ở vị trí (162; 0). Biết một điểm M trên cổng có tọa độ (10; 43).

a) Tìm hàm số có đồ thị biểu diễn hình dạng của cổng Ác-xơ.

b) Tính chiều cao của cổng (tính từ đỉnh cao nhất trên cổng đến mặt

đất, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Hình 2.9: Cổng Ác-xơ

* Mục tiêu hoạt động:

- Thiết lập hàm số có đồ thị biểu diễn hình dạng của cổng Ác-xơ (đường

parabôn).

- Tính chiều cao của cổng (xác định tung độ đỉnh của parabôn trên).

- Qua hoạt động này, GV có thể rèn cho HS những kĩ năng sau đây:

+ Thiết lập và biểu diễn đồ thị của hàm số bậc hai.

+ Đọc đồ thị hàm số bậc hai và nhận dạng được một số tình huống,

hình ảnh trong thực tiễn có biểu diễn là đường parabôn.

* Tiến trình hoạt động:

- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): GV chia lớp thành các nhóm HS và yêu

cầu các nhóm quan sát hình ảnh cổng Ác-xơ. Các nhóm thảo luận và đưa ra

dự đoán rằng hình dạng cổng giống như một phần của đường parabôn.

Sau đó GV yêu cầu các nhóm tìm dạng biểu diễn của parabôn đó. Các

nhóm thảo luận để đưa ra cách xác định phương trình biểu diễn.

- Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Các nhóm HS dựa theo quan sát và các dữ

kiện đề bài đưa ra để tìm dạng biểu diễn của parabôn là một hàm số bậc hai.

Nhóm HS thảo luận và đưa ra hàm số cần tìm có dạng f(x) = ax + bx + c thỏa mãn điều kiện: f(0) = c và f(10) = 100a + 10b = 43; f(162) = 1622a + 162b +

0 hay có phương trình 162a + b = 0. Từ đó suy ra: a 4,583. –0,028; b

Tiếp theo, nhóm HS kết luận rằng: Hàm số cần tìm là f(x) = ax + bx

trong đó a 4,583. –0,028; b

Sau đó, nhóm HS vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được và tìm chiều cao của

cổng dựa vào đồ thị của hàm số như sau:

Hình 2.10: Đường parabôn biểu diễn hình dạng cổng Ác-xơ

Cuối cung, nhóm HS quan sát đồ thị vừa vẽ và rút ra kết luận: Chiều

cao của cổng bằng tung độ của đỉnh parabôn, do đó:

h = f(162/2) = f(81) 188 (phút)

Hình 2.11: Bài làm của HS lớp thực nghiệm

- Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): Khi dự đoán về hình dạng của

cổng Ác-xơ, dựa theo số liệu thực tế và các kiến thức đã được học thì HS

có thể dễ dàng tìm ra được hàm số bậc hai có đồ thị là đường parabôn.

Nhóm HS biểu diễn đồ thị của hàm số trên và nhận xét về quỹ đạo chuyển

động của quả bóng, về thời điểm quả bóng có độ cao lớn nhất , thời gian

quả bóng chạm đất,...

- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): Trên thực tế có rất nhiều công trình

được thiết kế có hình dạng tương tự như cổng Ác-xơ. Vì vậy, việc thiết kế và

thi công các công trình sẽ được tính toán một cách cẩn thận vừa đảm bảo được

chất lượng công trình lại mang lại tính thẩm mĩ cao. GV yêu cầu HS đưa ra

một số hình ảnh trên thực tế có hình dạng tương tự như hình dạng cổng Ác-xơ

như: hình ảnh vòi phun nước, nhịp cầu, quỹ đạo chuyển động ném của vật,...

GV hướng dẫn HS sử dụng phần mềm hình học động để xác định phương trình

đường parabôn biểu diễn hình ảnh các hiện tượng trong thực tiễn.

Hình 2.12: Một số hình ảnh thực tế có hình dạng parabôn

* Phân tích kết quả hoạt động:

Các nhóm HS đã thảo luận và tìm ra kết quả của bài toán. Khoảng 72%

số HS hoàn thành nhiệm vụ và hiểu rõ bài toán. Nói cách khác, số HS này có

thể thiết lập công thức biểu diễn hàm số, vẽ và đọc đồ thị của hàm số, so sánh

với các tình huống khác. Với bài toán này, theo đánh giá hầu hết HS đều đạt

được kĩ năng mô hình hóa ở cấp độ 4 và rất hứng thú với dạng bài tập sưu tầm

hình ảnh parabôn trong thực tiễn và thiết lập phương trình biểu diễn bằng sử

dụng các phần mềm hình học động (như GeoGebra, Geometry Cabri,

Geometer‟s Sketchpad,...).

2.3. Thiết kế hoạt động mô hình hóa chủ đề phương trình và bất

phương trình

Trong cuộc sống, đôi khi ta phải so sánh giữa nhiều phương án khác

nhau để chọn ra phương án tối ưu chẳng hạn như lựa chọn giữa các mạng điện

thoại, giá thuê xe của các hãng taxi khác nhau hoặc trong kinh doanh người ta

luôn hướng đến chi phí sản xuất thấp, lợi nhuận cao nhất. Phương trình, bất

phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình sẽ hữu ích trong một số

trường hợp để giải quyết các vấn đề thực tế tương tự.

Bài toán 2.5. (Bài toán máy bơm nước): Một gia đình muốn mua một

chiếc máy bơm. Có hai loại với cùng lưu lượng bơm được trong một giờ; loại

thứ nhất giá 1,5 triệu đồng, loại thứ hai giá 2 triệu đồng. Tuy nhiên, nếu dùng

máy bơm loại thứ nhất thì mỗi giờ tiền điện phải trả là 1200 đồng, trong khi

dùng máy bơm loại thứ hai thì chỉ phải trả 1000 đồng cho mỗi giờ bơm. Theo

bạn gia đình này nên chọn mua loại máy nào để đạt hiệu quả kinh tế cao?

* Mục tiêu hoạt động:

Chọn máy bơm trong hai loại để mua sao cho hiệu quả kinh tế là cao

nhất. Như vậy, ngoài giá cả ta phải quan tâm đến hao phí khi sử dụng máy nghĩa

là chi phí cần chi trả khi sử dụng máy trong một khoảng thời gian nào đó. Do

vậy, trong hoạt động này, HS có thể được rèn luyện những kĩ năng sau đây:

- Thiết lập phương trình và hệ phương trình hàm số bậc nhất.

- Biểu diễn và xác định miền nghiệm của hệ phương trình.

- Liên hệ toán học với các vấn đề về kinh tế và tối ưu toán học.

* Tiến trình hoạt động:

GV chia lớp thành các nhóm HS và tổ chức cho các nhóm giải quyết

bài toán theo các giai đoạn sau:

- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): Kí hiệu f(x) và g(x) lần lượt là số tiền

(tính bằng nghìn đồng) phải trả khi sử dụng máy bơm loại thứ nhất và loại

thứ hai trong x giờ (bao gồm tiền điện và tiền mua máy bơm).

GV yêu cầu nhóm HS biểu diễn f(x) và g(x) dưới dạng các biểu thức

của x và vẽ đồ thị của hai hàm số y = f(x) và hàm số y = g(x) trên cùng hệ

trục tọa độ.

- Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Các nhóm HS thực hiện nhiệm vụ do

GV đưa ra. Nhóm HS thảo luận và đưa ra nhận xét sau: Trong x giờ số tiền

phải trả khi sử dụng máy thứ nhất là: f(x) =1500 + 1,2x (nghìn đồng). Số tiền

phải chi trả cho máy thứ hai trong x giờ là: g(x) = 2000 + x (nghìn đồng).

Sau khi thảo luận HS thấy được rằng chi phí trả cho hai máy sử dụng là

như nhau sau khoảng thời gian x0 là nghiệm của phương trình f(x) = g(x). Từ

đó, GV yêu cầu nhóm HS giải phương trình: f(x) = g(x).

HS các nhóm nhận nhiệm vụ giải phương trình: f(x) = g(x).

1500 + 1,2x = 2000 + x x = 2500 (giờ). 0,2x = 500

Tiếp theo, HS vẽ đồ thị của hai hàm số f(x) và g(x) trên cùng hệ trục

tọa độ:

Hình 2.13: Bài làm của HS lớp thực nghiệm

- Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): Quan sát đồ thị HS thấy rằng ngay

sau khi sử dụng 2500 giờ tức là nếu mỗi ngày dùng 4 tiếng tương đương với

khoảng thời gian là không quá hai năm thì máy thứ hai chi phí sẽ thấp hơn rất

nhiều nên chọn mua máy thứ hai thì hiệu quả kinh tế sẽ cao hơn.

- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): GV hướng dẫn nhóm HS phân tích

bài toán trong các trường hợp sau:

+ Trường hợp 1: Nếu thời gian sử dụng máy ít hơn hai năm thì mua

máy thứ nhất sẽ tiết kiệm hơn.

+ Trường hợp 2: Nếu thời gian sử dụng nhiều hơn hoặc bằng hai năm

thì nên mua máy thứ hai.

Tuy nhiên, trong thực tế một máy bơm có thể sử dụng được thời gian

khá dài. Do vậy, trong trường hợp này gia đình đó nên mua máy thứ hai.

* Phân tích kết quả hoạt động:

Đa số HS gặp khó khăn trong giai đoạn toán học hóa bài toán. Tuy

nhiên, với sự hướng dẫn của GV, nhóm HS đã giải quyết được vấn đề đó và

đối chiếu bài toán với thực tế. Kết quả thực nghiệm cho thấy, gần 80% số HS

chỉ đạt được kĩ năng MHH ở cấp độ 2, điều này chứng tỏ HS còn gặp nhiều

lúng túng khi gặp các bài toán về tối ưu toán học.

Bài toán 2.6. (Bài toán vitamin): Một nhà khoa học nghiên cứu về tác

động phối hợp của vitamin A và vitamin B đối với cơ thể con người. Kết quả

như sau:

(i) Mỗi người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị

vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B.

(ii) Mỗi người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B.

(iii) Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị

vitamin B không ít hơn số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần

số đơn vị vitamin A.

Giả sử x và y lần lượt là số đơn vị vitamin A và B mà bạn dùng mỗi ngày.

a) Gọi c (đồng) là số tiền vitamin mà bạn phải trả mỗi ngày. Hãy viết

phương trình biểu diễn c dưới dạng một biểu thức của x và y, nếu giá một đơn

vị vitamin A là 9 đồng và giá một đơn vị vitamin B là 7,5 đồng.

b) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện (i), (ii), và (iii) thành

một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm (S) của hệ bất phương

trình đó.

c) Tìm phương án dùng hai loại vitamin A và B thoả mãn các điều kiện

trên để số tiền phải trả là ít nhất, biết rằng c đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong

các đỉnh của miền nghiệm (S).

* Mục tiêu hoạt động:

Tính được số tiền phải bỏ ra ít nhất để mua vitamin A và vitamin B mà

vẫn đảm bảo cung cấp đủ lượng vitamin cần thiết cho cơ thể. Thông qua hoạt

động này, GV rèn luyện cho HS một số kĩ năng sau đây:

- Thiết lập phương trình và hệ phương trình hàm số bậc nhất.

- Kĩ năng giải hệ phương trình và đối chiếu kết quả với thực tế.

- Kĩ năng sống (biết tính toán và lựa chọn các loại thức ăn phù hợp bổ

sung các loại vitamin cần thiết cho các thành viên trong gia đình).

* Tiến trình hoạt động:

GV chia lớp thành các nhóm HS và tổ chức cho nhóm giải quyết bài

toán theo các giai đoạn sau:

- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): GV hướng dẫn HS viết phương trình biểu

diễn c dưới dạng một biểu thức của x và y. Nhóm HS cần phải chuyển được những

thông tin đã cho từ các điều kiện (i), (ii) và (iii) thành những phương trình đại số

(hay hàm số), biết vận dụng thao tác trên các biểu thức đại số để giải quyết các vấn

đề đã đặt ra trong thực tiễn.

- Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Các nhóm HS thảo luận về việc viết

phương trình biểu diễn c dưới dạng một biểu thức của x và y như sau:

c = 9x + 7,5y (đồng).

Nhóm HS chuyển những thông tin đã cho từ các điều kiện (i), (ii) và

(iii) thành những phương trình đại số (hay hàm số) như sau:

Theo (i) có: x ≤ 600 và y ≤ 500;

Theo (ii) có: 400 ≤ x + y ≤ 1000;

Theo (iii) có: x ≤ y ≤ 3x.

Nhóm HS rút ra hệ bất phương trình sau:

GV hướng dẫn nhóm HS rút ra nhận xét sau: Để xác định miền nghiệm (S)

của hệ bất phương trình trên ta vẽ các đường thẳng sau đây trên cùng một hệ trục

tọa độ:

x = 600; y = 500; y = x; y = 3x; y = –x + 400; y = –x + 1000

Nhóm HS thực hiện nhiệm vụ vẽ các đường thẳng trên và xác định

miền nghiệm (S) của hệ bất phương trình:

Hình 2.14: Minh họa miền nghiệm của bài toán Vitamin

Nhóm HS kết luận miền nghiệm (S) chính là miền trong lục giác

ABCDEF (Hình 2.14). Xác định tọa độ các đỉnh của hình lục giác, trong đó

tọa độ các điểm lần lượt là A(100; 300), B(166,67; 500), C(500; 500), D(600;

400), E(600; 300), F(266,67; 133,33).

Từ ý (a), (b) và vì c đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của miền

nghiệm (S) nên HS rút ra c = 9x + 7,5y nhỏ nhất khi x = 100 và y = 300 và

giá trị đó là c = 9.100 + 7,5.300 = 3150.

- Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): Mỗi người phải trả ít nhất 3150

đồng cho 100 đơn vị vitamin A và 300 đơn vị vitamin B để đảm bảo cung cấp

đủ lượng vitamin A và B cho cơ thể hàng ngày.

- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): Ngoài việc tính toán được lượng

vitamin A và B ta cũng có thể tính được rất nhiều loại vitamin và các chất

dinh dưỡng khác cần thiết cho cơ thể. So sánh kết quả bài toán với lượng

vitamin được sử dụng trong gia đình mình và đưa ra giải pháp khắc phục

nhằm đảm bảo sức khỏe cho cả gia đình.

* Phân tích kết quả hoạt động:

Vì nội dung bài toán đã toán học hóa vấn đề cho nên các nhóm HS đã

vận dụng tốt quy trình MHH để giải bài toán trên. Trên 70% số HS đạt được

kĩ năng MHH ở cấp độ 4 và đều có đối chiếu với thực tế bản thân. Thông qua

hoạt động này, GV giảng dạy Toán có thể tích hợp các kiến thức về giáo dục

sức khỏe và hướng dẫn HS sử dụng mô hình toán học để mô tả những tình

huống thực tiễn, cũng như đối chiếu với thực tế để rút ra bài học cho bản thân.

2.4. Xây dựng hệ thống bài tập mô hình hóa đại số lớp 10

Trong dạy học Toán ở trường phổ thông, HS thường gặp khó khăn sau

đây khi giải quyết các bài tập MHH:

- MHH bao gồm việc chuyển đổi giữa toán học và thực tế theo cả hai

chiều vì vậy kiến thức toán và kiến thức thực tế đều cần thiết. Tuy nhiên, HS

thường thiếu kiến thức thực tế liên quan đến tình huống cũng như kinh

nghiệm để tạo ra các mô hình thực tế.

- HS mất nhiều thời gian trong việc hiểu tình huống, thiết lập các giả

thiết, nhận ra các biến phù hợp, thu thập dữ liệu thực tế để cung cấp thêm

thông tin về tình huống.

- Tình huống thực tế có thể được xây dựng lại theo những cách khác

nhau tùy thuộc vào kinh nghiệm của chính HS, đôi khi các em tạo ra một tình

huống giả tưởng xung quanh vấn đề được đặt ra hoặc thoát khỏi môi trường

“thực nghiệm” toán học.

- Các tình huống MHH được đặt trong môi trường thực tế thường

phức tạp và có phương án giải quyết “mở” do đó có nhiều cách khác nhau

để tiếp cận và có thể có nhiều kết quả khác nhau. Vì vậy, GV khó dự đoán

trước các cách giải quyết của HS cũng như khó hướng dẫn các em trong

quá trình MHH.

Tóm lại, các tình huống MHH làm cho việc học toán của HS trở nên

thách thức hơn so với các nhiệm vụ toán học thông thường – dễ nắm bắt,

thường có quy tắc, thuật toán. Điều này về cơ bản có thể giải thích được bởi

sự phức tạp vốn có của các nhiệm vụ MHH. Các khó khăn tập trung chủ yếu ở

bước chuyển từ “tình huống thực tế” đến “mô hình toán học”. Do đó, để hạn

chế những khó khăn trên, GV cần đưa ra một mô hình thực tế thay vì một tình

huống thực tế và HS phải chuyển đổi tình huống từ thực tế vào môi trường

toán, giải quyết vấn đề toán học, đưa ra kết quả giải bài toán và giải thích kết

quả trong ngữ cảnh thực tế ban đầu. Điều này giúp HS tiếp cận hoạt động

MHH trong giờ học toán mà vẫn đảm bảo:

(i) Phát triển năng lực vận dụng toán học trong giải quyết các bài

toán thực tiễn;

(ii) Đưa toán học ra khỏi phạm vi lớp học;

(iii) Sử dụng ngữ cảnh thực tế là một thành phần then chốt trong

quá trình MHH;

(iv) Thực hiện chuyển đổi từ môi trường thực tế sang môi trường toán

và ngược lại.

Từ đó, chúng tôi xây dựng hệ thống bài tập MHH nội dung Đại số lớp

10 dựa theo các tiêu chí sau đây:

- Các bài tập đều là những tình huống toán học hóa, chứa đựng các yếu

tố của thực tiễn và có thể sử dụng quá trình toán học hóa để giải quyết.

- Kiến thức toán học được sử dụng để giải quyết vấn đề của bài tập

thuộc chương trình Đại số lớp 10.

- Các bài tập được phân loại ở các mức độ khác nhau, phù hợp với từng

đối tượng HS.

- Mục tiêu của mỗi tình huống cần tập trung vào phát triển một số kĩ

năng toán học cho HS.

2.4.1. Hệ thống bài tập chủ đề “Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai”

Bài tập 2.1. Biểu đồ trong Hình 2.15 biểu thị sản lượng vịt, gà và ngan

lai qua 5 năm của một trang trại. Coi y = f(x), y = g(x) và y = h(x) tương ứng là

các hàm số biểu thì sự phụ thuộc số vịt, số gà và số ngan lai qua thời gian x.

a) Tìm tập xác định của mỗi hàm số đã nêu.

b) Tìm các giá trị f(2002), g(1999), h(2000) và nêu ý nghĩa của chúng.

c) Tính hiệu h(2002) – h(1999) và nêu ý nghĩa của nó.

Hình 2.15: Biểu đồ sản lượng gà, vịt và ngan lai qua các năm

Mục tiêu: Thông qua bài tập này, GV có thể đánh giá được các kĩ năng

sau đây của HS:

- Kĩ năng tìm tập xác định của hàm số.

- Kĩ năng đọc và hiểu ý nghĩa số liệu biểu diễn trên biểu đồ.

- Kĩ năng vận dụng kiến thức toán học trong giải quyết bài toán thực tiễn.

Lời giải:

a) Tập xác định của ba hàm số y = f(x), y = g(x) và y = h(x) là:

D =

b) f(2002) = 620000 (con); g(1999) = 380000 (con); h(2000) = 100000

(con). Năm 2002 sản lượng của trang trại là 620000 con vịt, năm 1999 sản

lượng là 380000 con gà, năm 2000 sản lượng là 100000 con ngan lai.

Hình 2.16: Bài làm của HS lớp thực nghiệm

c) h(2002) – h(1999) = 210000 – 30000 = 180000 (con). Năm 2002 sản

lượng ngan lai của trang trại tăng 180000 con so với năm 1999.

Hình 2.17: Bài làm của HS lớp thực nghiệm

Bài tập 2.2. Một lớp học muốn thuê một hướng dẫn viên cho chuyến

thăm quan, có 2 công ty đã được liên hệ để lấy các thông tin về giá. Công ty

A có phí dịch vụ ban đầu là 375 USD cộng với 0,5 USD cho mỗi km hướng

dẫn. Công ty B có phí dịch vụ ban đầu là 250 USD cộng với 0,75 USD cho

mỗi km hướng dẫn.

a) Lớp học nên chọn công ty nào để thuê hướng dẫn viên nếu biết rằng

chuyến đi sẽ đến một địa điểm nào đó với tổng khoảng cách đi lại là 400 km,

600 km?

b) Vậy nếu đi với khoảng cách là bao nhiêu thì chọn công ty A có lợi hơn?

Mục tiêu: Chọn công ty nào để thuê hướng dẫn viên với chi phí thấp

hơn khi đi những quãng đường xác định. Qua bài toán, GV có thể đánh giá

các kĩ năng sau đây của HS:

- Kĩ năng thiết lập hàm số bậc nhất.

- Kĩ năng giải bất phương trình bậc nhất.

- Kĩ năng vận dụng toán học giải quyết các bài toán thực tiễn.

Lời giải: Gọi x là số ki-lô-mét lớp đó đi trong ngày (x > 0). Khi đó số

tiền phải trả cho công ty A là 375 + 0,5x, số tiền phải trả cho công ty B là:

250 + 0,75x.

a) Nếu x = 400 thì số tiền phải trả cho công ty A là 575 USD, số tiền

phải trả cho công ty B là 550 USD. Vậy chọn công ty B sẽ có lợi hơn.

Nếu x = 600 thì số tiền phải trả cho công ty A là 675 USD, số tiền phải

trả cho công ty B là 700 USD. Vậy chọn công ty A sẽ có lợi hơn.

Hình 2.18: Bài làm của HS lớp thực nghiệm

b) Việc chọn công ty A sẽ có lợi hơn nếu số tiền phải trả cho công ty A

nhỏ hơn số tiền phải trả cho công ty B tức là: 375 + 0,5x < 250 + 0,75x. Giải

bất phương trình trên ta có x < 500. Vậy thuê hãng A sẽ có lợi hơn nếu mỗi

ngày đi dưới 500 km.

Bài toán sẽ khó hơn nếu GV đặt câu hỏi là lớp học nên chọn công ty

nào nếu tổng quãng đường sẽ từ 400 đến 600 km. Gác lại một số yếu tố hư

cấu thì một tình huống như trên hoàn toàn có thể xảy ra. Bài toán có thể giải

bằng phương pháp đại số hoặc bằng đồ thị hoặc sự kết hợp của cả hai. Tùy

theo nội dung cần củng cố mà GV có thể lựa chọn giải quyết bài toán theo

cách nào. Ví dụ như khi HS học về hàm số bậc nhất thì có thể giải toán toán

trên bằng cách vẽ đồ thị hàm số để rèn luyện kĩ năng biểu diễn cũng như đọc

hiểu thông tin từ đồ thị hàm số.

Bài tập 2.3. Có 3 hình thức trả tiền cho việc truy cập internet như sau:

- Hình thức A: Mỗi giờ truy cập giá 2000 đồng.

- Hình thức B: Thuê bao hàng tháng 350.000 đồng và số giờ truy cập

không hạn chế.

- Hình thức C: Thuê bao hàng tháng 45.000 đồng và mỗi giờ truy cập

phải trả 500 đồng.

a) Em hãy cho biết hình thức nào phải trả ít tiền hơn nếu tổng hợp truy

cập hàng ngày trong tháng (30 ngày) lần lượt là 45h; 300h; 360h?

b) Hãy viết p(x), q(x), u(x) theo thứ tự là số tiền phải trả hàng tháng

theo mỗi hình thức A, B, C trong đó x là số giờ truy cập internet.

Mục tiêu: Chọn hình thức truy cập internet nào để chi phí thấp nhất.

Qua bài toán này, GV có thể rèn luyện cho HS một số kĩ năng sau đây:

- Kĩ năng biểu diễn số liệu (dạng bảng).

- Kĩ năng thiết lập hàm số bậc nhất.

- Kĩ năng vận dụng kiến thức toán học trong giải quyết các vấn đề

thực tiễn.

Lời giải. a) Lập bảng và điền vào bảng sau để thống kê kết quả:

Số giờ truy cập tháng 45h 300h 360h

Số tiền phải trả Hình thức A

Hình thức B

Hình thức C

b) Hình thức A là: p(x) = 2000x (đồng); hình thức B là: q(x) = 350000

(đồng); và hình thức C là: u(x) = 500x + 40000 (đồng).

Bài tập 2.4. (Bài toán tàu vũ trụ): Khi một con tàu vũ trụ được phóng

lên Mặt trăng, trước hết nó bay vòng quanh Trái đất. Sau đó, đến một thời

điểm thích hợp, động cơ bắt đầu hoạt động đưa con tàu bay theo quỹ đạo là

một nhánh parabôn lên Mặt trăng (trong hệ tọa độ Oxy, x và y tính bằng đơn

vị nghìn kilômét). Biết rằng khi động cơ bắt đầu hoạt động, tức là khi x = 0 thì

y = –7. Sau đó, ta có y = –4 khi x = 10 và y = 5 khi x = 20.

Hình 2.19: Qũy đạo chuyển động của tàu vũ trụ

a) Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa nhánh parabôn nói trên. b) Theo lịch trình, để đến được Mặt Trăng, con tàu phải đi qua điểm có tọa độ (100; y) với y = 294 ± 1,5. Hỏi điều kiện đó có được thỏa mãn hay không?

Mục tiêu: Bài toán yêu cầu HS xác định hàm số bậc hai có đồ thị chứa nhánh parabôn nói trên và xác định điểm nào đó có thuộc đồ thị chứa nhánh parabôn hay không. Qua đó, GV có thể đánh giá các kĩ năng sau đây của HS:

- Kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. - Kĩ năng xây dựng mô hình toán học. - Kĩ năng vận dụng kiến thức toán học trong giải quyết các vấn đề

thực tiễn.

Lời giải: a) Ta cần tìm hàm số dạng f(x) = ax + bx + c thỏa mãn điều kiện là f(0) = c = –7; f(10) = 100a + 10b – 7 = –4; f(20) = 400a + 20b – 7 = 5.

Từ đó suy ra a = 0,03; b = 0. Vậy hàm số cần tìm là f(x) = 0,03x – 7.

Hình 2.20: Bài làm của HS lớp thực nghiệm

b)Theo điều kiện khi x = 100 thì y = 294 , tức là:

294 – 1,5 294 + 1,5 hay y  (292,5; 295,5) y

Ta thấy f(100) = 293 thỏa mãn điều kiện đó.

Hình 2.21: Bài làm của HS lớp thực nghiệm

Bài tập 2.5. Dưới đây là bảng số liệu và mô hình biểu diễn mối tương quan

giữa điểm số trên lớp và thời gian học tập ở nhà trong một ngày của 12 HS.

Thời gian 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Điểm số 60 55 65 65 77 80 83 80 75 90 72 68

a) Hãy biểu diễn số liệu trong bảng trên hệ trục tọa độ Đề-các vuông

góc. Từ đó, xấp xỉ mô hình hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai.

b) Quan sát hai mô hình hàm số bậc nhất (đường thẳng) và mô hình

hàm số bậc hai (parabôn), hãy cho biết mô hình nào biểu diễn số liệu trong

bảng tốt hơn?

c) Từ mô hình đã chọn ở trên, hãy rút ra bài học cần thiết về số giờ học

trong một ngày để đạt hiệu quả học tập cao nhất.

Mục tiêu: Biết được khoảng thời gian thích hợp nhất để học tập ở nhà

để đạt được hiệu quả học tập cao nhất. Qua bài toán này, GV có thể đánh giá

các kĩ năng sau đây của HS:

- Kĩ năng biểu diễn số liệu thống kê.

- Kĩ năng xây dựng mô hình toán học.

- Kĩ năng đọc và hiểu ý nghĩa thực tế của mô hình toán học.

Lời giải:

a) Số liệu trong bảng được biểu diễn như sau:

Hình 2.22: Mối tương quan giữa thời gian học ở nhà và điểm số

b) Quan sát biểu diễn trên, ta thấy mô hình hàm số bậc hai biểu diễn tốt

hơn mô hình hàm số bậc nhất.

c) Từ đồ thị hàm số bậc hai cho ta biết rằng cần sắp xếp thời gian học

tập ở nhà cho hợp lý (không quá ít mà cũng không quá nhiều). Thời gian tốt

nhất là khoảng 07 tiếng/ngày (đỉnh của parabôn).

Bài tập 2.6. (Thành tích chạy 100m nam): Quan sát bảng thống kê dưới

đây về kỷ lục chạy 100 mét (thời gian tính theo đơn vị giây) của các nam vận

động viên tại các thế vận hội Ôlympíc mùa hè từ năm 1900 đến năm 2012:

1900 11.0 1952 10.04 1988 9.92 1924 1920 1912 1908 1904 10.08 10.06 10.08 10.8 11.0 1972 1968 1964 1960 1956 10.14 10.05 10.02 10.06 9.95 2008 2004 2000 1996 1992 9.69 9.85 9.87 9.84 9.96 1928 10.03 1976 10.06 2012 9.63 1932 10.03 1980 10.25 1948 10.03 1984 9.99

a) Dựa vào bảng số liệu trên, hãy biểu diễn thành tích của nam vận

động viên nam trên hệ trục tọa độ.

b) Xác định mô hình biểu diễn tốt nhất cho thành tích trên và đưa ra dự

đoán cho thành tích của nam vận động viên chạy cự ly 100 m tại Ôlympíc

mùa hè 2016 tại Rio de Janeiro (Braxin).

Mục tiêu: Dự đoán thành tích của nam vận động viên tại Ôlympíc mùa

hè 2016 tại Rio de Janeiro (Braxin). Qua bài toán, GV có thể đánh giá các kĩ

năng sau đây của HS:

- Kĩ năng biểu diễn số liệu thống kê.

- Kĩ năng xây dựng và so sánh các mô hình toán học.

- Kĩ năng đọc và hiểu xu hướng của mô hình toán học.

Lời giải: a) Dựa vào các số liệu trên, sử dụng phần mềm toán học để xử

lý số liệu và đưa ra được đồ thị hàm số tuyến tính biểu diễn xấp xỉ các giá trị

(số giây) theo các năm tổ chức thế vận hội mùa hè như sau:

b) Kết quả tính toán đưa ra hàm số biểu diễn mối quan hệ tuyến tính

của mô hình trên: , trong đó t là thời gian

chạy 100 mét (tính theo đơn vị giây), N là số năm. Từ mô hình này, ta có thể

dự đoán về thành tích của nam vận động viên chạy 100 mét tại Ôlympíc mùa

hè 2016 tại Rio de Janeiro (Braxin) theo công thức:

(giây)

Hình 2.23: Mô hình tuyến tính thành tích của các nam vận động viên

Như vậy, để tăng cường toán học hóa các tình huống thực tiễn sử dụng

mô hình, GV có thể hướng dẫn HS điều tra các số liệu thực tế, tích hợp các

kiến thức về môi trường, địa lý, kinh tế,…. Ví dụ như yêu cầu HS phân tích

số lượng của một loài động vật nào đó có nguy cơ tuyệt chủng trong khoảng

thời gian 10 năm gần đây để từ đó xây dựng mô hình dự đoán về khả năng và

thời gian tuyệt chủng của loài đồng vật này hoặc yêu cầu HS phân tích số

lượng xe hơi bán ra tại Việt Nam trong 05 năm gần đây để xây dựng mô hình

dự đoán về tốc độ tăng trưởng về số lượng xe hơi để từ đó đề xuất các giải

pháp về giao thông và thuế.

Bài tập 2.7. (Cầu dây cáp treo): Dây truyền đỡ nền cầu treo có dạng

đường parabôn ACB như Hình 2.24. Đầu cuối của dây được gắn chặt vào

điểm A và B trên trục AA’ và BB’ với độ cao 30m. Chiều dài nhịp A’B’ =

200m. Độ cao ngắn nhất của dây truyền trên nền cầu là OC = 5m. Xác định

chiều dài các dây cáp treo (thanh thẳng đứng nối nền cầu với dây truyền)?

(100; 30)

A B

200m

y3 30m M2 y2 M1 y1 C O 5m A’ B’ x

Hình 2.24: Mô hình cầu dây cáp treo

Mục tiêu: Bài toán yêu cầu xác định chiều dài các dây cáp treo. Qua đó,

GV có thể đánh giá được các kĩ năng sau đây của HS:

- Kĩ năng xây dựng hàm số bậc hai.

- Kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Kĩ năng vẽ và đọc hiểu ý nghĩa thực tế của đồ thị hàm số bậc hai.

Lời giải: Chọn trục Oy trùng với trục đối xứng của parabôn, trục Ox

nằm trên nền cầu. Khi đó ta có tọa độ các điểm A(100; 30), C(0; 5). Từ đó, ta tìm được phương trình của parabôn có dạng y = ax2 + bx + c. Parabôn này có

đỉnh là C và đi qua A nên ta có hệ phương trình sau:

Từ đó suy ra parabôn có phương trình y = x2 + 5.

Bài toán đưa về việc xác định chiều dài các dây cáp treo, có nghĩa là

tính tung độ của các điểm M1, M2, M3 thuộc parabôn. Ta dễ dàng tính được

tung độ các điểm có các hoành độ x1 = 25, x2 = 50, x3 = 75 lần lượt là y1 =

6,56 (m), y2 = 11,25 (m), y3 = 19,06 (m). Đó chính là độ dài các dây cáp treo

cần tính.

2.4.2. Hệ thống bài tập chủ đề “Phương trình và bất phương trình”

Bài tập 2.8. Một công ty TNHH trong một đợt quảng cáo và bán

khuyến mãi hàng hoá (sản phẩm mới của công ty) cần thuê xe để chở 140

người và 9 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe A và B. Trong đó xe loại

A có 10 chiếc, xe loại B có 9 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê với giá

4 triệu đồng, loại B giá 3 triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại

để chi phí vận chuyển là thấp nhất. Biết rằng xe A chỉ chở tối đa 20 người

và 0,6 tấn hàng; xe B chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng.

Mục tiêu: Xác định xem thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận

chuyển là thấp nhất. Qua đó, GV có thể đánh giá các kĩ năng sau đây của HS:

- Kĩ năng thiết lập và giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Kĩ năng giải các bài toán tối ưu và ứng dụng trong thực tiễn.

Lời giải: Trước hết ta cần phải tính số xe loại A, loại B cần dùng sao

cho chi phí là thấp nhất. Nếu chỉ sử dụng một loại xe thì không đáp ứng yêu

cầu. Thật vậy, nếu dùng cả 9 xe B thì chở được 90 người và vận chuyển được

13,5 tấn hàng. Như vậy sẽ thừa 50 người và thiếu 4,5 tấn. Nếu dùng cả 10 xe

A chở được 200 người và 6 tấn hàng như vậy sẽ hiếu 60 người và thừa 3 tấn

hàng. Do vậy, ta phải thuê hai loại xe.

Gọi x, y lần lược là số xe loại A, B cần dùng. Theo đề bài thì cần tìm x,

y sao cho A(x, y) = 4x + 3y đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có:

Để giải bài toán này ta lần lượt giải hai bài toán nhỏ dưới đây:

a) Xác định tập (S) các điểm có có toạ độ (x, y) thoả mãn hệ bất

phương trình (II) trên.

b) Khi (x, y) lấy giá trị trên (S) tìm giá trị nhỏ nhất T(x, y) = 4x + 3y.

Việc giải bài toán (a) rất đơn giản. Miền nghiệm (S) của hệ II được

biểu diễn bởi tứ giác ABCD kể cả biên như hình vẽ:

Hình 2.25: Minh họa miền nghiệm của hệ bất phương trình (II)

Giải bài toán (b) nghĩa là tìm tất cả các điểm M(x, y) thuộc tứ giác

ABCD sao cho A(x, y) nhỏ nhất. Ta biết rằng A(x, y) nhỏ nhất đạt tại các giá

trị biên của tứ giác ABCD, nên ta cần tìm các toạ độ các đỉnh.

Điểm A(x, y) là nghiệm hệ:

Điểm B(x, y) là nghiệm hệ:

Điểm C(x, y) là nghiệm hệ:

Điểm D(x, y) là nghiệm hệ:

Tính giá trị T(x, y) tại các điểm biên:

T(A) = 4.5 + 3.4 = 32 (triệu đồng)

T(B) = 4.10 + 3.2 = 46 (triệu đồng)

T(C) = 4.10 + 3.9 = 67 (triệu đồng)

T(D) = 4. + 3.9 = 37 (triệu đồng)

Vậy T(A) = 32 triệu đồng là nhỏ nhất. Do đó, ít tốn tiền vận chuyển

nhất nên phương án chọn là 5 xe A và 4 xe B.

Bài tập 2.9. Trong một cuộc thi về “bữa ăn dinh dưỡng”, ban tổ chức

yêu cầu để đảm bảo lượng dinh dưỡng hằng ngày thì mỗi gia đình cần ít nhất

900 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipít trong thức ăn hằng ngày. Mỗi kg thịt bò

chứa 800 đơn vị prôtêin và 200 đơn vị lipít, mỗi kg thịt heo chứa 600 đơn vị

prôtêin và 400 đơn vị lipít. Biết rằng mẹ chỉ được mua tối đa 1,6 kg thịt bò và

1,1 kg thịt heo. Mỗi kg thịt bò giá 100.000đ, mỗi kg thịt heo giá 70.000đ.

Phần thắng sẽ thuộc về gia đình nào trong khẩu phần thức ăn đảm bảo chất

dinh dưỡng và chi phí bỏ ra là ít nhất.

Mục tiêu: Tính toán khẩu phần thức ăn đảm bảo chất dinh dưỡng và chi

phí bỏ ra là ít nhất. GV có thể đánh giá các kĩ năng sau đây của HS:

- Kĩ năng lập và giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn từ tình

huống thực tiễn.

- Kĩ năng mô hình hóa và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương

trình bậc nhất hai ẩn.

- Kĩ năng hiểu và rút ra ý nghĩa thực tiễn từ mô hình toán học.

Lời giải: Xác định lượng thịt heo và thịt bò cần mua để vừa đảm bảo

dinh dưỡng vừa ít tốn nhất. Rõ ràng đối với trường hợp này nếu ta chỉ mua

một loại thịt thì không đáp ứng yêu cầu. GV hướng dẫn HS phân tích bài toán

như sau:

- Nếu chỉ mua thịt heo thì ta mua được tối đa 1,1 kg. Khi đó chi phí bỏ

ra là: 1,1 x 70.000 = 77000đ. Với lượng thịt trên thì cung cấp 1,1 x 600 = 660

đơn vị prôtêin và 1,1 x 400 = 440 đơn vị lipít. Như vậy, lượng lipít thừa mà

lượng prôtêin thì thiếu.

- Nếu chỉ mua thịt bò thì rõ ràng chi phí sẽ rất cao.

Do vậy, ta phải mua hai loại thịt. Vì thế, ta có thể trình bày lời giải của bài

toán như sau: Gọi x, y lần lượt là khối lượng thịt bò và thịt heo mà mẹ mua. Bài

toán đặt ra là tìm x, y để T = 100.000x + 70.000y đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có điều kiện của bài toán là:

Hình 2.26: Minh họa miền nghiệm của hệ bất phương trình

Miền giới hạn chính là tứ giác ABCD với tọa độ các điểm là: A(0,3;

1,1), B(1,6; 1,1), C(1,6; 0,2), D(0,6; 0,7). Ta tính được:

T(A) = 107.000đ

T(B) = 237.000đ

T(C) = 174.000đ

T(D) = 109.000đ

Vậy Tmin = 107.000đ khi mẹ mua 0.3 kg thịt bò và 1,1 kg thịt heo. Do

vậy, để thắng trong cuộc thi này mẹ ngoài tay nghề nấu nướng thì mẹ nên

mua 0,3 kg thịt bò và 1,1 kg thịt heo.

Bài tập 2.10. Giám đốc công ty X vừa khánh thành ngôi nhà của mình,

diện tích mảnh đất làm nhà là 600m2, phải dùng 95m lưới sắt để làm rào

chắn. Bây giờ ông ta muốn trồng cây xanh và hoa để ngôi nhà thêm đẹp.

Theo ý ông dọc theo ngôi nhà là trồng cây tùng, trước và sau ngôi nhà trồng

loại cây vạn tuế. Khoảng cách mỗi cây cảnh phải đảm bảo kỹ thuật. Nếu bạn

nhận nhiệm vụ này bạn sẽ làm như thế nào (biết cổng ra vào dài 5m), khu

vườn ngôi nhà có dạng hình chữ nhật.

Mục tiêu: Qua bài toán, GV có thể đánh giá các kĩ năng sau đây của HS:

- Kĩ năng phân tích và giải quyết vấn đề.

- Kĩ năng lập và giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Lời giải: Cần tính số cây cảnh để trồng trong khu vườn. Do vậy, chúng

ta cần quan tâm đến khoảng cách của mỗi loại cây cảnh, chiều dài, chiều rộng

của khu vườn. Do đó, GV hướng dẫn HS phân tích theo các phương án sau:

- Phương án 1: Người trồng cây không cần tính toán mà mua số cây

một cách tuỳ tiện và trồng theo đúng khoảng cách kỹ thuật của cây cảnh, nếu

thiếu cây thì mua thêm, nếu thừa cây thì trả lại nơi bán. Ta thấy rằng với cách

làm việc như thế này thì anh ta sẽ rất vất vả và sẽ tốn thêm chi phí vận

chuyển trong trường hợp mua thêm hoặc trả lại cây cảnh nếu ngôi nhà ở xa

nơi bán cây cảnh.

- Phương án 2: Người này tính toán số cây có thể trồng trước khi mua.

Do vậy anh ta quan tâm đến chiều dài, chiều rộng của khu vườn. Nếu gọi x là

chiều dài của khu vườn, y là chiều rộng của khu vườn. Ta có:

Theo định lý Vi-ét thì x, y là nghiệm của phương trình sau:

Giả sử khoảng cách đảm bảo kỹ thuật khi trồng cây tùng là 2m. Như

vậy, dọc theo ngôi nhà ta có thể trồng tối đa là (cây). Nếu cây cảnh

trúc cũng có khoảng cách kỹ thuật là 2m thì chiều rộng ngôi nhà sẽ trồng 20/2

= 10 số cây trồng phía trước. Số cây trồng trước nhà không được trồng ở

cổng. Do vậy, nếu cổng ở giữa thì khoảng đất còn lại là 15m. Theo tính toán

sẽ trồng tối đa là 8 cây.

Do vậy, nếu trồng 30 cây tùng thì chỉ trồng được 10 + 8 – 4 = 14 cây

vạn tuế, còn nếu trồng 18 cây vạn tuế thì trồng được 26 cây tùng.

Bài tập 2.11. Một cửa hàng bán áo sơ mi, quần âu nam. Vì khi bán chị

bán hàng quên ghi chép vào sổ để chủ cửa hàng kiểm tra. Chiều ngày thứ 3

người chủ buộc chị phải nộp sổ để theo dõi nhưng chị không biết rõ ba ngày

qua đã bán được những gì. Chỉ nhớ rằng ngày thứ nhất bán được 5.160.000đ,

ngày thứ hai bán được 6.080.000đ, ngày thứ ba bán được 4.920.000đ. Vậy

bạn có cách nào giúp chị ấy không?

Mục tiêu: Phải tìm được số hàng bán từng ngày. Do vậy, phải tính

được ngày thứ nhất bán được bao nhiêu áo sơ mi, quần âu nam, tương tự các

ngày sau. Qua bài toán này, GV có thể đánh giá các kĩ năng sau đây của HS:

- Kĩ năng phân tích tình huống thực tế và toán học hóa.

- Kĩ năng thiết lập và giải hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn.

Lời giải: GV có thể hướng dẫn nhóm HS phân tích tình huống theo các

phương án sau đây:

- Phương án 1: Chị ấy đếm số quần áo còn lại rồi so sánh với số quần

áo khi nhập vào sau đó chia đều cho ba ngày. Cách tính này rất nhanh, chính

xác nhưng khó có thể thuyết phục được bà chủ.

- Phương án 2: Tính số hàng bán từng ngày. Khi hỏi chị bán hàng cho

biết thêm thông tin: ngày thứ ba bán được 15 quần âu nam, tổng số áo và quần

bán được trong ba ngày lần lược là 52 và 60. Từ giả thuyết ta gọi x1, x2, x3 lần

lượt là số áo sơ mi bán ở ngày thứ nhất, thứ hai, thứ ba. Gọi y1, y2, y3 lần lược

là số quần âu nam bán ở ngày thứ nhất, thứ hai, thứ ba. Theo đề ta có:

Như vậy, ngày thứ nhất chị ấy bán được 12 áo sơ mi, 21 quần âu nam;

ngày thứ hai bán được 16 áo sơ mi và 24 quần âu nam; ngày thứ ba bán được

24 áo sơ mi và 15 quần âu nam. Điều này hoàn toàn hợp lý.

Bài tập 2.12. Trong một xưởng cơ khí có những thanh sắt dài 7,4m.

Người chủ muốn các thợ của mình cắt mỗi thanh sắt thành các đoạn dài 0,7m

và 0,5m để tiện sử dụng. Bây giờ người chủ muốn có 1000 đoạn 0,7m và

2000 đoạn 0,5m. Bạn hãy ước lượng xem cần dùng ít nhất bao nhiêu thanh

sắt 7,4m để làm?

Mục tiêu: Cắt đủ số đoạn theo yêu cầu và phải dùng thanh sắt 7,4m ít

nhất. Do vậy, nhiệm vụ của HS là cần tìm cách cắt theo yêu cầu và chọn cách

cắt tiết kiệm nhất. Qua bài toán này, GV có thể đánh giá các kĩ năng sau đây

của HS:

- Kĩ năng mô hình hóa toán học.

- Kĩ năng thiết lập và giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Lời giải: GV phân tích cho HS thấy rằng muốn tiết kiệm vật liệu thì

cần phải cắt mỗi thanh 7,4 m thành a đoạn 0,7m, b đoạn 0,5m không dư. Tức

là ta cần giải phương trình:

Và . Ta có: thì (1 + 2a)

Và . Vì 1 + 2a là số lẻ nên ta suy ra:

Vậy ta có hai cách cắt một thanh 7,4m tiết kiệm: Cắt thành 2 đoạn

0,7m và 12 đoạn 0,5m; cắt thành 7 đoạn 0,7m và 5 đoạn 0,5m. Tiếp theo, GV

hướng dẫn HS chọn cách tiết kiệm nhất trong hai cách trên.

Gọi x thanh cắt theo kiểu thứ nhất, y thanh cắt theo kiểu thứ hai. Như

vậy số đoạn 0,7m là . Số đoạn 0,5m là . Để có 1000 đoạn

0,7m và 2000 đoạn 0,5m nên x, y là nghiệm hệ phương trình sau:

Vậy đã cắt được đoạn 0,7m và đoạn 0,5m.

Ta chỉ cần cắt thêm một thanh theo kiểu thứ nhất. Như vậy, ta đã dùng

tất cả thanh 7,4m. Bây giờ GV hướng dẫn HS chỉ ra rằng

cách cắt này là tiết kiệm nhất.

Thật vậy, ta thấy tổng số độ dài của 1000 đoạn 0,7m và 2000 đoạn

0,5m là:

Vậy phải dùng ít nhất thanh. Tóm lại, ta chỉ cần cắt

122 thanh theo kiểu thứ nhất, 108 thanh theo kiểu thứ hai.

Bài tập 2.13. Một hãng taxi định giá tiền thuê xe đi mỗi km là 6000đ

cho 10km đầu tiên và 2500đ cho các km tiếp theo, hoặc 4000đ cho mỗi km

trên cả quãng đường. Vậy một khách hàng muốn đi x km thì phải chọn

phương án nào?

Mục tiêu: Người thuê xe cần chọn 1 trong 2 cách đi trên sao cho tiết

kiệm nhất. Qua đó, GV có thể đánh giá các kĩ năng sau đây của HS:

- Kĩ năng thiết lập và giải bất phương trình bậc nhất một ẩn.

- Kĩ năng vận dụng toán học vào giải quyết các tình huống trong thực tiễn.

Lời giải: Ta thấy nếu quãng đường khách hàng đi x ≤ 10km thì chọn

cách thứ hai để trả tiền sẽ tiết kiệm hơn và tiết kiệm được

đồng.

Nếu , . Theo cách thứ nhất số tiền khách phải

. Theo cách thứ hai số tiền hành trả là:

khách phải trả là: .

Ta xét:

Vậy nếu đoạn đường hành khách đi lớn hơn 13,3 km thì nên chọn cách

thứ nhất sẽ đỡ tốn kém hơn.

Bài tập 2.14. Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm

loại I cần 2kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lãi 40000 đồng. Mỗi kg sản

phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lãi 30000 đồng.

Xưởng có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản

phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất?

Mục tiêu: GV hướng dẫn HS giải quyết tình huống “sản xuất mỗi

loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất?”. Qua đó, đánh giá HS

một số kĩ năng sau đây:

- Kĩ năng thiết lập và giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Kĩ năng biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình.

- Kĩ năng vận dụng toán học vào giải quyết các tình huống trong thực tiễn.

Lời giải: GV hướng dẫn HS phân tích bài toán và thấy rằng thực chất

của bài toán này là phải tìm , , thoả mãn hệ phương trình sau:

sao cho L = 40000x + 30000y đạt giá trị lớn nhất. Điều này có nghĩa là tìm x,

y thoả mãn hệ phương trình sao cho 4x + 3y đạt giá trị lớn nhất.

50 40

A 20

E 100

Hình 2.27: Minh họa miền nghiệm của hệ bất phương trình

Trên Hình 2.27, ta ký hiệu C(0; 50), D(40; 0), E(100; 0), F(0; 80).

Điểm I là giao điểm của CE và DF. Dễ thấy toạ độ của I là (20; 40). Miền

nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OCID (kể cả biên).

Với mỗi L xác định, ta nhận thấy có vô số điểm M(x; y) sao cho 4x + 3y

= L, những điểm M như thế nằm trên đường thẳng AB với A(L/4; 0), B(0;

L/3). Hệ số góc của đường thẳng AB là -4/3. Cho L lớn dần lớn lên thì đường

thẳng AB sẽ “tịnh tiến dần lên” phía trên. Nhìn vào Hình 2.27 ta nhận thấy

rằng: Trong những đường thẳng có hệ số góc -4/3, thì đường thẳng đi qua I là

đường thẳng ở vị trí “cao nhất” đang còn có điểm chung với tứ giác OCID.

Chưa đạt tới vị trí này thì L chưa phải là lớn nhất. Vượt quá “ngưỡng” này thì

toạ độ của mọi điểm trên đường thẳng sẽ không còn thoả mãn hệ điều kiện

ràng buộc nữa. Từ đó, ta dễ dàng đi đến kết luận là khi x = 20, y = 40 thì L đạt

giá trị lớn nhất.

Bài tập 2.15. Một công ty cần thuê xe vận chuyển 140 người và 9 tấn

hàng hóa. Nơi cho thuê xe chỉ có 10 xe hiệu MITSUBISHI và 9 xe hiệu

FORD. Một chiếc xe hiệu MITSUBISHI có thể chở 20 người và 0,6 tấn hàng.

Một chiếc xe hiệu FORD có thể chở 10 người và 1,5 tấn hàng. Tiền thuê một

xe hiệu MITSUBISHI là 4 triệu đồng, một xe hiệu FORD là 3 triệu đồng. Hỏi

phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thấp nhất?

Mục tiêu: Giúp HS vận dụng toán học để giải quyết tình huống thuê xe

vận chuyển với chi phí thấp nhất. Qua đó, GV sẽ đánh giá được các kĩ năng

sau đây của HS hoặc nhóm HS:

- Kĩ năng thiết lập và giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Kĩ năng mô hình hóa và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình.

- Kĩ năng vận dụng kiến thức toán học để giải quyết các bài toán thực tiễn.

Hình 2.28: Minh họa miền nghiệm của hệ bất phương trình

Lời giải: Trước hết ta hãy đặt bài toán thành hệ bất phương trình. Gọi x,

y lần lượt là số xe loại MITSUBISHI, loại FORD cần thuê. Từ bài toán ban

đầu, GV hướng dẫn HS thiết lập được hệ bất phương trình sau:

(*)

Tổng chi phí T(x, y) = 4x + 3y (triệu đồng). Thực chất của bài toán này

là tìm x, y nguyên không âm thoả mãn hệ (*) sao cho T(x, y) nhỏ nhất. Bước

tiếp theo là ta tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình. Miền nghiệm là

miền tứ giác lồi IABC.

Ta cần xác định toạ độ (x, y) của một điểm thuộc miền tứ giác IABC (kể

cả biên) sao cho T(x, y) = 4x + 3y đạt cực tiểu. Xét họ đường thẳng cho bởi

phương trình: 4x + 3y = T. Khi T tăng đường thẳng này tịnh tiến song song

lên phía trên. Khi T giảm, đường thẳng này tịnh tiến song song xuống phía

dưới. Giá trị nhỏ nhất của T đạt được tại đỉnh I của tứ giác IABC là giao điểm

của hai đường thẳng có phương trình 2x + 5y = 30 và 2x + y = 14. Toạ độ của

điểm I là (xI = 5; yI = 4). Như vậy, ta cần thuê 5 xe hiệu MITSUBISHI và 4 xe

hiệu FORD thì chi phí vận tải là thấp nhất.

2.5. Kết luận chƣơng 2

Chương 2 trình bày một số nguyên tắc thiết kế hoạt động MHH. Từ đó

thiết kế một số tình huống thực tiễn cho chương trình Đại số lớp 10 và xây

dựng hệ thống bài tập MHH. Các mô hình được thiết kế với tiêu chí bám sát

chương trình SGK, có liên quan đến các vấn đề thực tiễn và đều có thể tổ

chức dạy học ở trên lớp học truyền thống. Các bài tập trong chương này được

xây dựng dựa trên các cấp độ khác nhau của kĩ năng mô hình hóa toán học.

Luận văn trình bày những ý tưởng sư phạm, một số phân tích nghiên cứu

trường hợp và đánh giá độ tin cậy của hệ thống bài tập đã thiết kế.

Chƣơng 3

THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

3.1. Mục đích thực nghiệm

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành để kiểm nghiệm giả thuyết khoa học

của luận văn, tính khả thi và tính hiệu quả của một số mô hình toán học và hệ

thống bài tập MHH trong chương trình Đại số lớp 10 ở trường THPT. Từ đó, đưa

ra những đề xuất cho việc đổi mới chương trình SGK phổ thông sau 2015.

3.2. Nội dung thực nghiệm

Thực nghiệm sử dụng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn được tiến

hành trong việc dạy học các tiết học ngoại khóa ở chương 2: Hàm số bậc nhất

và bậc hai; chương 3: Phương trình và hệ phương trình; chương 4: Bất đẳng

thức và bất phương trình.

Căn cứ vào nội dung cũng như mục đích, yêu cầu cụ thể của mỗi bài

dạy, trên cơ sở tôn trọng chương trình và SGK hiện hành, chúng tôi xác định

một cách tương đối cụ thể thời điểm đưa các bài toán có nội dung thực tiễn

vào giảng dạy trong chương trình.

Nội dung chủ yếu của mỗi tiết học dựa theo SGK Đại số lớp 10, được

sắp xếp theo nguyên tắc thiết kế như sau:

- Xác định những kiến thức nền tảng và những kĩ năng cơ bản của HS

cần đạt được sau quá trình MHH;

- Lựa chọn những thời điểm thích hợp trong quá trình giảng dạy, những

nội dung kiến thức có liên quan để đưa vào các bài toán có nội dung thực tiễn;

- Hướng dẫn nhóm HS hoạt động hoặc hoạt động cá nhân để MHH tình

huống thực tiễn.

- Xác định quỹ thời gian cho phép để đưa vào các bài toán có nội dung

thực tiễn vào chương trình giảng dạy;

- Đưa vào những bài toán với số lượng và mức độ phù hợp với bài dạy,

quỹ thời gian thực hiện, phù hợp với trình độ nhận thức chung của HS với độ

khó tăng dần, theo những quan điểm, những gợi ý về phương pháp MHH các

bài toán có nội dung thực tiễn đã được trình bày trong chương 2.

3.3. Tổ chức thực nghiệm

3.3.1. Đối tượng thực nghiệm

Được sự đồng ý của Ban Giám hiệu Trường THPT Ngô Quyền và Trường

THPT Dương Tự Minh, chúng tôi đã đề xuất chọn cặp lớp 10A1, lớp 10A5

(Trường THPT Ngô Quyền) và cặp lớp 10A1, lớp 10A3 (Trường THPT Dương

Tự Minh) làm thực nghiệm, đối chứng thể hiện cho các kết quả của luận văn.

3.3.2. Tiến trình thực nghiệm

* Thời gian thực nghiệm:

- Đợt 1: Từ tháng 10 đến tháng 11 năm 2014 tại Trường THPT

Ngô Quyền.

- Đợt 2: Từ tháng 2 đến tháng 4 năm 2015 tại Trường THPT Dương Tự

Minh, TP. Thái Nguyên.

* Công tác chuẩn bị: Để tiến hành thực nghiệm có hiệu quả, chúng tôi

đã tiến hành nghiên cứu kỹ nội dung, chương trình, SGK, tài liệu bồi dưỡng

GV,... và khảo sát tình hình thực tế việc dạy học ứng dụng Toán học vào thực

tiễn cho HS THPT. Tài liệu thực nghiệm được đưa ra tham khảo ý kiến nhiều

GV có kinh nghiệm.

* Tài liệu thực nghiệm: Gồm các bài tập, tình huống MHH có nội dung

thực tiễn mà chúng tôi đã lựa chọn, sắp xếp, hệ thống hóa, bổ sung theo ý

tưởng của đề tài, được biên soạn thành các giáo án thực nghiệm.

3.4. Phân tích kết quả thực nghiệm

3.4.1. Phân tích định tính

Theo dõi tiến trình thực nghiệm sư phạm, chúng tôi thấy rằng: nhìn

chung đa số HS học tập tích cực, sôi nổi hơn, thích thú với những bài toán có

nội dung thực tiễn. Sự hấp dẫn của các bài toán có nội dung thực tiễn cũng

chính là ở chỗ gắn các kiến thức toán học với các ứng dụng thực tế đa dạng và

sinh động của nó trong học tập cũng như trong đời sống, lao động và sản xuất.

Các tiềm năng ứng dụng và ý nghĩa to lớn của những bài toán có nội dung thực

tiễn được gợi mở và dần dần được củng cố bằng hệ thống các bài toán có nội

dung thực tiễn đa dạng, phong phú. Điều đó kích thích hứng thú của cả thầy lẫn

trò trong thời gian thực nghiệm. Nhận định chung cho rằng, điều khó khăn nhất

cần và có thể vượt qua - nếu ý tưởng này được triển khai về sau - là lựa chọn

được một hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn thích hợp cho mỗi tiết học, để

cùng một lúc đạt được nhiều mục đích dạy học như đề tài đã đặt ra.

Bài học ngoại khóa thứ nhất được thực hiện ở hai lớp 10A1 và 10A5

Trường THPT Ngô Quyền, mỗi lớp thực nghiệm dạy ba tiết. Bài được dạy ở

một lớp ban A và một lớp ban D cho ta phần nào kết quả khách quan về nhu

cầu muốn biết về ứng dụng của Toán học trong cuộc sống. Kết quả điều tra ý

kiến HS về giờ dạy được cho trong bảng dưới đây (đánh giá theo thang điểm

10 về mức độ đồng ý):

Bảng 3.1: Bảng thống kê ý kiến của HS (Trƣờng THPT Ngô Quyền)

TT Nội dung

1 Em thấy giờ học rất hấp dẫn 2 Cách giảng bài của GV đã thu hút được em 3 Nội dung bài học đã được cải biến và rất hấp dẫn HS cho điểm (điểm trung bình) Lớp Lớp 10A5 10A1 7,95 7,82 8,12 8,01 8,09 7,96

4 7,37 7,68 Em đã bị cuốn hút vào bài học, chủ động tìm tòi và giải quyêt vấn đề của mình

5 Em đã nắm được các kiến thức của bài học 6 Em đã học thêm được nhiều điều mới 7,58 8,12 7,26 8,02

7 7,83 8,05

8 8,11 8,04 Những câu hỏi, mẩu chuyện, hình ảnh đã phù hợp với nội dung bài học Em đã thấy một phần mối liên hệ của Toán học và thực tiễn

9 Em mong muốn có nhiều giờ học như thế này 8,36 8,49

Thông qua kết quả thể hiện ở bảng 3.1 cho thấy đa số HS được hỏi ý

kiến đều thích và muốn học các tiết học có những nội dung có liên quan đến

những những ứng dụng của Toán học trong thực tế (ngay cả khi chưa hiểu hết

những nội dung trong bài).

Tuy nhiên, hầu hết HS cho là mình đã hiểu bài, nhưng thông qua kết

quả hoạt động cho thấy các nhóm đều không đạt được mục đích bài học.

Nguyên nhân dẫn tới việc HS chưa hoàn thành mục tiêu bài học:

- GV giảng dạy còn yếu kém về nghiệp vụ sư phạm, chưa huy động

được tất cả HS cùng tham gia nhiệm vụ, dẫn tới việc còn nhiều HS làm việc

riêng: làm bài tập tiếng Anh, nói chuyện, vẽ,…

- Thời gian dạy một tiết ngắn, chưa đủ để HS hoạt động (HS chỉ có thời

gian hoạt động là 20 phút), các thành viên trong nhóm chưa có sự phối hợp ăn

ý, chưa có nhiều sự hợp tác trong hoạt động.

- HS tính toán còn nhầm lẫn, chưa có thói quen phân tích vấn đề thực tiễn.

- Đây là bài học ngoại khóa nên một số HS không muốn tham gia

hoạt động.

Bài học ngoại khóa tiếp theo được thực hiện ở hai lớp 10A1 và 10A3

Trường THPT Dương Tự Minh, mỗi lớp thực nghiệm dạy ba tiết. Kết quả

đánh giá của HS về mức độ đồng ý (theo thang điểm 10).

Bảng 3.2: Bảng thống kê ý kiến của HS (Trƣờng THPT Dƣơng Tự Minh)

STT Nội dung

1 Em thấy giờ học rất hấp dẫn 2 Cách giảng bài của GV đã thu hút được em 3 Nội dung bài học đã được cải biến và rất hấp dẫn HS cho điểm (điểm trung bình) Lớp 10A1 8,17 8,54 9,34 Lớp 10A3 7,15 8,06 9,11

4 8,72 8,14 Em đã bị cuốn hút vào bài học, chủ động tìm tòi và giải quyêt vấn đề của mình

5 Em đã nắm được các kiến thức của bài học 6 Em đã học thêm được nhiều điều mới 9,45 8,19 9,16 7,92

7 8,96 7,12

8 8,14 7,73 Những câu hỏi, mẩu chuyện, hình ảnh đã phù hợp với nội dung bài học Em đã thấy một phần mối liên hệ của Toán học và thực tiễn

9 Em mong muốn có nhiều giờ học như thế này 9,18 8,83

3.4.2. Phân tích định lượng

Việc phân tích định lượng dựa vào kết quả kiểm tra trong đợt thực

nghiệm tại hai lớp TN và ĐC, nhằm minh họa và bước đầu kiểm nghiệm tính

khả thi, hiệu quả của việc MHH các bài toán có nội dung thực tiễn. Số liệu

thực nghiệm được chúng tôi thu thập, xử lí, đánh giá, và được thể hiện qua

các bảng thống kê sau:

Bảng 3.3: Kết quả đầu ra của hai lớp TN 10A1 và ĐC 10A5

Lớp TN 10A1 Lớp ĐC 10A5

Tần số Tần số Điểm số Tổng điểm Điểm số Tổng điểm xuất hiện xuất hiện

1 0 0 0 1 0

2 0 2 0 2 4

3 3 2 9 3 6

4 3 7 12 4 28

5 6 8 30 5 40

6 9 12 54 6 72

7 12 7 84 7 49

8 3 2 24 8 16

9 2 0 18 9 0

10 0 0 0 10 0

231 215 Tổng số 38 (HS) Tổng số 40 (HS) (Điểm) (Điểm)

Điểm Điểm 6.08 5.38 trung bình trung bình

Phương sai Phương sai 2.34 2.19 mẫu mẫu

Độ lệch Độ lệch 1.53 1.48 chuẩn chuẩn

Qua bảng trên ta thấy điểm trung bình của lớp TN cao hơn hẳn các lớp

lớp ĐC. Để khẳng định lại điều đó chúng tôi tiến hành kiểm định giả thuyết

, H0 là chất lượng đầu ra của hai lớp là tương đương với đối thuyết là:

mức ý nghĩa .

Ta có , ta bác bỏ giả thuyết H0, có

nghĩa là kết quả đầu ra của lớp TN cao hơn hẳn lớp ĐC.

Bảng 3.4: Kết quả đầu ra của hai lớp TN 10A1 và ĐC 10A3

Lớp TN 10A1 Lớp ĐC 10A3

Tần số Tần số Điểm số Tổng điểm Điểm số Tổng điểm xuất hiện xuất hiện

1 0 0 0 1 0

2 0 0 2 2 4

3 3 9 4 3 12

4 6 24 6 4 24

5 9 45 11 5 55

6 6 36 5 6 30

7 4 28 2 7 14

8 2 16 0 8 0

9 0 0 0 9 0

10 0 0 0 10 0

Tổng Tổng 30 (HS) 158 (Điểm) 30 (HS) 139 (Điểm)

Điểm Điểm 5.27 4.63 trung bình trung bình

Phương sai Phương sai 1.93 1.69 mẫu mẫu

Độ lệch Độ lệch 1.39 1.3 chuẩn chuẩn

Nhìn vào bảng trên ta thấy rằng điểm trung bình của bài kiểm tra đầu ra

của lớp TN cao hơn hẳn điểm trung bình của lớp ĐC. Để khẳng định lại điều

trên chúng tôi tiến hành kiểm định giả thuyết H0 là chất lượng đầu ra của hai

lớp là tương đương với đối thuyết là , mức ý nghĩa .

Ta có: , ta bác bỏ giả thuyết H0, tức là

chất lượng đầu ra của lớp TN cao hơn hẳn lớp ĐC.

Bảng 3.5: Tỉ lệ phần trăm về năng lực mô hình hóa của HS

Cấp độ 0 Cấp độ 1 Cấp độ 3 Cấp độ 4 Cấp độ 5 Cấp độ 2 Tỉ lệ (%) Lớp Đề kiểm tra

Đề 1

Đề 2 TN 10A1 ĐC 10A5 TN 10A1 ĐC 10A3 5% 5% 5% 8% 13% 16% 5% 3% 24% 39% 26% 32% 32% 21% 18% 11% 5% 3% 13% 8% 13% 21% 11% 18%

Căn cứ vào kết quả bài kiểm tra trước thực nghiệm, có thể bước đầu

thấy được năng lực MHH các bài tập thực tiễn của các em còn hạn chế, thể

hiện ở các cấp độ cao còn thấp. Tuy nhiên, có thể thấy là kết quả của lớp TN

cao hơn lớp ĐC ở những cấp độ 4 và 5. Vì vậy, có thể khẳng định hiệu quả

của phương pháp dạy học trong việc phát triển năng lực MHH cho HS.

Thông qua kết quả thể hiện ở bảng 3.1, bảng 3.2, bảng 3.3, bảng 3.4 và

bảng 3.5 và thông qua kết quả hoạt động của HS, GV đánh giá giờ dạy thực

nghiệm là thành công, đa số HS hào hứng tham gia các hoạt động, trình bày

được ý tưởng, nắm được nội dung bài học và áp dụng được vào giải quyết các

tình huống thực tiễn.

3.5. Kết luận chƣơng 3

Từ kết quả thực nghiệm sư phạm chúng tôi nhận thấy rằng:

- Việc đưa các bài toán có nội dung thực tiễn vào giảng dạy trên cơ sở

dựa vào những mô hình, những gợi ý về phương pháp dạy học đã góp phần

rèn luyện cho HS năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn.

- Sự “cài đặt” một cách khéo léo các bài toán có nội dung thực tiễn trên

cơ sở những mô hình đã trình bày trong chương 2 làm cho GV thực hiện việc

giảng dạy khá tự nhiên, không miễn cưỡng và không có những khó khăn lớn

về mặt thời gian.

- Số lượng và mức độ các bài toán có nội dung thực tiễn được lựa chọn

và cân nhắc thận trọng, được đưa vào giảng dạy một cách phù hợp, có chú ý

nâng cao dần tính tích cực và độc lập của HS, nên HS tiếp thu tốt, tích cực

tham gia luyện tập và đạt kết quả tốt.

Phương pháp MHH các bài toán có nội dung thực tiễn đã trình bày ở

chương 2, trên cơ sở kế thừa và phát huy những kinh nghiệm dạy học tiên

tiến, được chuyển giao cho GV thực nghiệm một cách thuận lợi và được vận

dụng một cách sinh động, không gặp phải những trở ngại gì lớn và các mục

đích dạy học được thực hiện một cách toàn diện, vững chắc.

KẾT LUẬN

Luận văn đã thu được những kết quả chính sau đây:

1. Đã làm rõ được cơ sở lí luận về phương pháp MHH và quy trình

MHH trong dạy học môn Toán và sự cần thiết phải thường xuyên đưa các tình

huống thực tiễn vào trong quá trình giảng dạy môn Toán.

2. Tìm hiểu thực trạng về việc vận dụng phương pháp MHH trong dạy

học Toán ở một số trường THPT trên địa bàn tỉnh Thái Nguyên.

3. Đề xuất được một số mô hình toán học liên quan đến chương trình

toán Đại số lớp 10 và tiến trình tổ chức thực hiện.

4. Xây dựng được hệ thống bài tập MHH có nội dung thực tiễn liên

quan đến chương trình Đại số lớp 10.

5. Tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa cho tính khả thi và hiệu

quả của các mô hình toán học đã được thiết kế trong dạy học môn Toán.

Hướng nghiên cứu của đề tài:

1. Tiếp tục thực nghiệm các mô hình toán học đã đề xuất ở phạm vi

lớn hơn.

2. Tiếp tục xây dựng các mô hình toán học khác lên quan đến chương

trình Toán phổ thông.

3. Nghiên cứu thêm về các hình thức tổ chức dạy học theo hướng tích

cực hóa HS để giúp HS có thể chủ động hoàn thành các công việc cá nhân

cũng như hoạt động nhóm, đặc biệt là các hoạt động trải nghiệm sáng tạo cho

HS phổ thông trong học tập và nghiên cứu toán học.

Như vậy, về cơ bản có thể khẳng định mục đích nghiên cứu của luận

văn đã được thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết

khoa học đã nêu ra là có thể chấp nhận được.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt.

[1]. Nguyễn Văn Bảo (2005). Góp phần rèn luyện cho học sinh năng lực vận

dụng kiến thức toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực

tiễn. Luận văn Thạc sĩ Khoa học Giáo dục. Trường Đại học Vinh.

[2]. Nguyễn Thị Hồng Cúc (2010). Dạy học mô hình hóa hàm số thông qua

bài toán tính diện tích trong môi trường tích hợp mềm Cabri II. Luận văn

Thạc sĩ Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh.

[3]. Nguyễn Hữu Hải (2014). Hướng dẫn học sinh trung học xây dựng mô

hình toán học của một số tình huốn thực tiễn. Luận văn Thạc sĩ Khoa học

Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.

[4]. Nguyễn Bá Kim (2002). Phương pháp dạy học môn Toán. NXB Đại học

Sư Phạm.

[5]. Nguyễn Kỳ (1995). Phương pháp dạy học tích cực. NXB Giáo dục.

[6]. Cai Việt Long (2012). Dạy học Toán ở trường trung học phổ thông theo

định hướng phát triển năng lực giải quyết các vấn đề của thực tiễn. Luận

văn Thạc sĩ Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc

gia Hà Nội.

[7]. Nguyễn Danh Nam (2013). Phương pháp MHH trong dạy học môn Toán

ở trường phổ thông. Kỷ yếu Hội thảo khoa học “Cán bộ trẻ các trường đại

học sư phạm toàn quốc”, Nhà xuất bản Đà Nẵng, tr.512-516.

[8]. Nguyễn Danh Nam, Đào Thị Liễu (2013). Bồi dưỡng năng lực toán học

hóa tình huống thực tiễn cho học sinh thông qua dạy học chủ đề xác suất -

thống kê. Tạp chí Giáo dục, số đặc biệt 08/2013, tr.104-106.

[9]. Nguyễn Danh Nam, Mã Thị Hiềm (2014). Sử dụng biểu diễn bội trong

100

dạy học khái niệm hàm số. Tạp chí Thiết bị Giáo dục, số 109, tr.22-25.

[10]. Nguyễn Danh Nam, Nguyễn Đức Thành (2015). Vận dụng PISA đánh

giá chất lượng học tập môn Toán ở các trường phổ thông. Tạp chí Giáo

dục, số 353, tr.42-44.

[11]. Trần Thanh Nga (2011). Khai thác những tư tưởng, bài toán của

PISA vào dạy học môn Toán (bậc trung học) theo hướng tăng cường

liên hệ Toán học với thực tiễn. Luận văn Thạc sĩ Khoa học Giáo dục,

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.

[12]. Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận duy vật biện chứng với

việc dạy học, nghiên cứu toán học, Tập 2, Nxb ĐHQG Hà Nội.

[13]. Trần Trung, Đặng Xuân Cương, Nguyễn Văn Hồng, Nguyễn Danh Nam

(2011). Ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học môn Toán ở trường

phổ thông. NXB Giáo dục Việt Nam.

[14]. Trần Trung (2011). Vận dụng MHH vào dạy học môn Toán ở trường

phổ thông. Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, số 06,

tr.104-108.

Tiếng Anh.

[15]. Berinderjeet Kaur, Jaguthsing Dindyal (2010). Mathematical

applications and modelling. World Scientific Publishing, Singapore.

[16]. Blum, Niss (1991). Applied mathematical problem solving, modeling,

applications and links to other subjects. Educational Studies in

Mathematics, 22 (1), 36-38.

[17]. Blum, Galbraith, Henn & Niss (2007). Modelling and applications in

mathematics education. The 14th ICMI Study. Springer.

[18]. Blum, Ferry (2009). Mathematical Modelling: Can it be taught and

learnt? Journal of Mathematical Modelling and Application. 1(1), 45-58.

[19]. Dirk Ifenthaler, Pablo Pirnay-Dummer & Michael Spector (2008),

Understanding models for learning and instruction. Springer-Verlag,

101

Heidelberg.

[20]. Jonathan Borwein, Keith Devlin (2009). Experimentelle Mathematik.

Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg.

[21].Hans Freudenthal (1991), Revisiting Mathematics Education, Kluwer

academic publishers, London.

[22]. Kaiser-Messmer (1991). Application-oriented mathematics teaching: a

survey of the theoretical debate. In: Niss, Blum, Huntley (Ed.), Chichester:

Ellis Horwood.

[23]. Matos, Carreira (1996). The quest for meaning in students‟

mathematical modelling activity. Proceedings of the PME 20, 3, 345-352.

[24]. Myint Swe Khine, Issa M. Saleh (2011). Models and modeling:

Cognitive tools for scientific enquiry. Springer-Verlag, London.

ICTMA 13, Springer-Verlag, Heidelberg.

[25]. Danh Nam Nguyen, Trung Tran (2013). Recommendations for mathematics curriculum development in Vietnam. Proceedings of the 6th

International Conference on Educational Reform, 26-32.

[26]. Peter Lancaster (1976). Mathematics: Models of the real world.

Englewood Cliffs, New Jersey, USA.

[27]. Richard Lesh, Peter L. Galbraith, Christopher R Haines & Andrew

Hurford (2010). Modeling students’ mathematical modeling competencies.

[28]. Warwick, J. (2007). Some Reflections on the Teaching of Mathematical

102

Modelling, The Mathematicals Educator. 17(1), 32-41.

PHỤ LỤC

PHỤ LỤC 1: PHIẾU ĐIỀU TRA GIÁO VIÊN

Câu hỏi 1: Các thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ cần thiết của việc

tăng cường liên hệ toán học với thực tiễn trong dạy học môn Toán.

Không cần thiết Cần thiết Rất cần thiết

Câu hỏi 2: Các thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên của

việc tìm hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn và liên hệ với

kiến thức toán học ở trường phổ thông.

Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên

Câu hỏi 3: Các thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên của

việc thiết kế các hoạt động giúp HS hiểu những ứng dụng của Toán học trong

giải quyết các tình huống nảy sinh từ thực tiễn.

Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên

Câu hỏi 4: Các thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên của

việc sử dụng công nghệ thông tin giúp HS hiểu những mô hình của toán học

trong thực tiễn.

Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên

Câu hỏi 5: Các thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên của

việc thiết kế các bài tập, bài kiểm tra theo hướng vận dụng mô hình toán học

để giải quyết các bài toán nảy sinh từ thực tiễn.

Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên

Câu hỏi 6: Các thầy (cô) hãy đánh giá về tầm quan trọng của mô hình

hóa toán học trong dạy học Toán ở trường phổ thông?

Không quan trọng Quan trọng Rất quan trọng

Câu hỏi 7: Theo các thầy (cô), hoạt động mô hình hóa giúp phát triển ở

HS những kĩ năng nào sau đây?

Giải quyết vấn đề Làm việc theo nhóm

Thực hiện dự án Vận dụng toán học trong thực tiễn

Sử dụng ngôn ngữ toán học Vận dụng công nghệ thông tin

Các kĩ năng khác: ........................................

Câu hỏi 8: Theo các thầy (cô), những chủ đề toán học nào dưới đây có

thể sử dụng phương pháp mô hình hóa trong thiết kế các hoạt động dạy học?

Hàm số Phương trình, bất phương trình

Đa thức Hệ phương trình, hệ bất phương trình

Xác suất – thống kê Hình học

Diện tích, thể tích Hệ thức lượng trong tam giác

Giới hạn Đạo hàm, vi phân, tích phân

Bất đẳng thức Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Các chủ đề khác: ................................

Câu hỏi 9: Theo các thầy (cô), người GV cần có những hiểu biết gì để

có thể vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học Toán?

Kiến thức khoa học toán học Kiến thức về các vấn đề thực tiễn

Kiến thức toán học phổ thông Vận dụng toán học trong thực tiễn

Phương pháp dạy học Công nghệ thông tin

Thiết kế mô hình toán học Tổ chức hoạt động ngoại khóa

Kiến thức khác: ...................................

Câu hỏi 10: Theo các thầy (cô), năng lực mô hình hóa gồm có những

thành tố nào dưới đây?

Phân tích tình huống thực tiễn Đơn giản hóa giả thuyết

Xác định biến, tham số bài toán Xây dựng bài toán

Lựa chọn mô hình toán học Thiết lập mô hình

Liên hệ mô hình với thực tiễn Cải tiến mô hình

Những thành tố khác: ................................

Câu hỏi 11: Theo các thầy (cô), có cần thiết tổ chức bồi dưỡng cho GV

năng lực vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học Toán?

Không cần thiết Cần thiết Rất cần thiết

Câu hỏi 12: Các thầy (cô) cho biết những khó khăn và thách thức gặp

phải trong quá trình tổ chức hoạt động mô hình hóa ở trường phổ thông?

Câu hỏi 13: Theo các thầy (cô), làm thế nào để có thể vận dụng

phương pháp mô hình hóa trong lớp học Toán?

Câu hỏi 14: Các thầy (cô) thường làm gì để giúp HS giải quyết các bài

toán mang tính thực tiễn được trình bày trong SGK môn Toán?

Câu hỏi 15: Các thầy (cô) hãy liệt kê một số mô hình toán học có thể

sử dụng trong dạy học Toán ở trường phổ thông?

Câu hỏi 16: Các thầy (cô) có đề xuất thay đổi nội dung gì trong

chương trình SGK môn Toán hiện hành?

Xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy (cô)!

PHỤ LỤC 2: ĐỀ KIỂM TRA TRƢỚC THỰC NGHIỆM

Bài toán 1. Hãy xét vấn đề thực tế sau: Người ta đang dự định thiết kế

kẻ vạch làn đường dành cho người đi bộ ngang qua đường dành cho xe buýt.

Giả sử rằng đường dành cho xe buýt là đường một chiều.

Hãy khoanh tròn vào những giả thuyết được cho là quan trọng trong

suốt quá trình thiết kế và đưa ra quyết định về việc kẻ vạch làn đường dành

cho người đi bộ.

A. Thiết kế nút ấn xin qua đường dành cho người đi bộ.

B. Thời gian giữa hai chuyến xe buýt liền nhau là 02 phút.

C. Người đi bộ đi qua đường với một tốc độ không thay đổi.

D. Chiều rộng và chiều dài của làn đường dành cho người đi bộ.

E. Số lượng người đi qua đường trong một khoảng thời gian xác định.

Bài toán 2. Dưới đây là bảng thống kê sau về thành tích chạy 100 mét

của các nam vận động viên đạt huy chương vàng tại các thế vận hội Ôlympíc

mùa hè từ năm 1900 đến năm 2012:

Năm Thành tích Năm Thành tích Năm Thành tích

(giây) (giây) (giây)

11.0 1952 10.04 1988 9.92 1900

11.0 1956 10.05 1992 9.96 1904

10.8 1960 10.02 1996 9.84 1908

10.08 1964 10.06 2000 9.87 1912

10.06 1968 9.95 2004 9.85 1920

10.08 1972 10.14 2008 9.69 1924

10.03 1976 10.06 2012 9.63 1928

10.03 1980 10.25 2016 1932

10.03 1984 9.99 2020 1948

a) Nhận xét gì về thành tích của các vận động viên qua các năm? Hãy

thiết lập mô hình toán học biểu diễn tốt nhất cho thành tích của các vận

động viên.

b) Dự đoán thành tích của vận động viên đạt huy chương vàng tại

Ôlympíc mùa hè 2016 được tổ chức tại thành phố Rio de Janeiro (Braxin).

Bài toán 3. Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó

rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabôn trong mặt

phẳng với tọa độ là (0; t.h), trong đó t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi

quả bóng được đá lên, h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết

rằng quả bóng được đá từ độ cao 1,2 m. Sau đó 1 giây nó đạt độ cao 8,5 m và

sau 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 6 m.

a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần

đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên.

b) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng (tính chí nh xác đến

hàng phần nghìn).

c) Sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên (tính chính xác

đến hàng phần trăm).

Bài toán 4. Dưới đây là bảng số liệu và mô hình biểu diễn mối tương

quan giữa điểm số trên lớp và thời gian học tập ở nhà trong một ngày của 12 HS.

Thời gian 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Điểm số 60 55 65 65 77 80 83 80 75 90 72 68

a) Quan sát hai mô hình hàm số bậc nhất (đường thẳng) và mô hình

hàm số bậc hai (parabôn), hãy cho biết mô hình nào biểu diễn số liệu trong

bảng tốt hơn?

b) Từ mô hình đã chọn ở trên, hãy rút ra bài học cần thiết về số giờ học

trong một ngày để đạt hiệu quả học tập cao nhất.

Bài toán 5. Có nhiều hồ nước ở Úc bị cạn trong phần lớn thời gian của

năm, nó chỉ có nước trong một thời gian nhất định sau những trận mưa rào. Hồ

Eyre ở phía nam nước Úc là một ví dụ cho hiện tượng này. Vấn đề đặt ra là hãy

tính khoảng thời gian mà hồ bị cạn hết nước mỗi khi hồ được chứa đầy nước?

PHỤ LỤC 3: ĐỀ KIỂM TRA SAU THỰC NGHIỆM

Bài 1. Một hãng taxi quy định giá thuê xe đi mỗi kilômét là 6 nghìn

đồng đối với 10 km đầu tiên và 2,5 nghìn đồng đối với các kilômét tiếp theo.

Một hành khách thuê taxi đi quãng đường x kilômét phải trả số tiền là y nghìn

đồng. Khi đó, y là một hàm số của đối số x, xác định với mọi x ≥ 0.

a) Hãy biểu diễn y như một hàm số bậc nhất trên từng khoảng ứng với

đoạn [0; 10] và khoảng (10; +∞).

b) Tính f(8), f(10) và f(18).

c) Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) và lập bảng biến thiên của nó.

Bài 2. (Bài toán bóng đá). Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến

độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung

parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oth, trong đó t là thời gian (tính bằng

giây), kể từ khi quả bóng được đá lên; h là độ cao (tính bằng mét) của quả

bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ độ cao 1,2 m. Sau đó 1 giây, nó đạt

độ cao 8,5 m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 6 m.

a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần

đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên.

b) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng (tính chính xác đến hàng

phần nghìn).

c) Sau bao lâu thi quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên (tính chính xác

đến hàng phần trăm)?

Bài 3. (Bài toán về cổng Ac-xơ). Khi du lịch đến thành phố Xanh Lu-i

(Mỹ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabôn hướng bề lõm xuống dưới,

đó là cổng Ac-xơ. Giả sử ta lập một hệ tọa độ Oxy sao cho một chân cổng đi

qua gốc tọa độ O (x, y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí (162; 0). Biết

một điểm M trên cổng có tọa độ là (10; 43).

a) Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa cung parabôn nói trên.

b) Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt

đất, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Bài 4. (Bài toán tàu vũ trụ). Khi một con tàu vũ trụ được phóng lên

Mặt Trăng, trước hết nó bay vòng quanh Trái Đất. Sau đó, đến một thời điểm

thích hợp, động cơ bắt đầu hoạt động đưa con tàu bay theo quỹ đạo là một

nhánh parabôn lên Mặt Trăng (trong hệ tọa độ Oxy, x và y tính bằng nghìn

kilômét). Biết rằng khi động cơ bắt đầu hoạt động, tức là khi x = 0 thì y = -7.

Sau đó, y = - 4 khi x = 10 và y = 5 khi x = 20.

a) Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa nhánh parabôn nói trên.

b) Theo lịch trình, để đến được Mặt Trăng, con tàu phải đi qua điểm có tọa độ (100; y) với y = 294 ± 1,5. Hỏi điều kiện đó có được thỏa mãn hay không?

Bài 5. Hình dưới đây biểu thị sản lượng vịt, gà và ngan lai qua 5 năm của một trang trại. Nếu coi y = f(x), y = g(x) và y = h(x) tương ứng là các hàm số biểu thị sự phụ thuộc số vịt, số gà và số ngan lai qua thời gian x, hãy:

a) Tìm tập xác định của mỗi hàm số đã nêu. b) Tìm các giá trị f(2002), g(1999), h(2000) và nêu ý nghĩa của chúng. c) Tính hiệu h(2002) – h(1999) và nêu ý nghĩa của nó.

Bài 6. Vì lý do sức khỏe, con người nên hạn chế những nỗ lực của mình, ví dụ như trong thể thao để không vượt quá tần số nhịp tim nhất định. Trong nhiều năm qua mối quan hệ giữa tỉ lệ khuyến cáo giữa nhịp tim tối đa và độ tuổi của một người được mô tả bởi công thức dưới đây:

Nhịp tim tối đa được khuyến cáo = 220 – tuổi

Nghiên cứu gần đây cho thấy rằng công thức này nên được sửa đổi một

chút. Công thức mới như sau:

Nhịp tim tối đa được khuyến cáo = 208 – (0.7 x tuổi) a) Hoàn thiện bảng dưới đây về nhịp tim tối đa được khuyến cáo:

Tuổi (theo năm) 9 12 15 18 21 24

211 208 205 202 199 196

201,7 ....... 197,5 195,4 ....... 191,2

Nhịp tim tối đa được khuyến cáo cũ (công thức cũ) Nhịp tim tối đa được khuyến cáo mới (công thức mới)

b) Ở tuổi nào thì công thức cũ và mới cho chính xác cùng một giá trị và

giá trị đó là bao nhiêu?

c) Bạn Hoa chú ý rằng hiệu số của hai nhịp tim tối đa được khuyến cáo

trong bảng có vẻ giảm đi khi tuổi tăng lên. Tìm một công thức thể hiện hiệu số

này theo tuổi.

d) Nghiên cứu cũng chỉ ra rằng tập thể dục có hiệu quả nhất khi nhịp

tim là 80% của nhịp tim tối đa được khuyến cáo theo công thức mới. Hãy viết

và rút gọn công thức cho nhịp tim hiệu quả nhất để tập thể dục theo tuổi.

e) Công thức mới đã làm thay đổi nhịp tim khuyến cáo theo độ tuổi như

thế nào? Hãy giải thích câu trả lời của bạn một cách rõ ràng.

Bài 7. Một lớp học muốn thuê một hướng dẫn viên cho chuyến thăm

quan, có 2 công ty đã được liên hệ để lấy các thông tin về giá. Công ty A có

phí dịch vụ ban đầu là 375 USD cộng với 0,5 USD cho mỗi km hướng dẫn.

Công ty B có phí dịch vụ ban đầu là 250 USD cộng với 0,75 USD cho mỗi

km hướng dẫn.

a) Lớp học nên chọn công ty nào để thuê hướng dẫn viên nếu biết

rằng chuyến đi sẽ đến một địa điểm nào đó với tổng khoảng cách đi lại

là 400 km, 600 km?

b) Vậy nếu đi với khoảng cách là bao nhiêu thì chọn công ty A có lợi hơn?

Bài 8. Có 3 hình thức trả tiền cho việc truy cập mạng internet như sau:

- Hình thức A: mỗi tiếng truy cập giá 2000 đồng.

- Hình thức B: thuê bao hàng tháng 350000 đồng và số tiếng truy cập

không hạn chế.

- Hình thức C: thuê bao hàng tháng 45000 đồng và mỗi tiếng truy cập

phải trả 500 đồng.

a) Em hãy cho biết hình thức nào phải trả ít tiền hơn nếu tổng hợp truy

cập hàng ngày trong tháng (30 ngày) lần lượt là 1,5 tiếng; 10 tiếng; 12 tiếng?

b) Hãy viết p(x), q(x), u(x) theo thứ tự là số tiền phải trả hàng tháng

theo mỗi hình thức A, B, C trong đó x là số giờ truy cập internet.

Bài 9. (Bài toán máy bơm nước). Một gia đình muốn mua một chiếc

máy bơm. Có hai loại với cùng lưu lượng bơm được trong một giờ; loại thứ

nhất giá 1,5 triệu đồng, loại thứ hai giá 2 triệu đồng. Tuy nhiên, nếu dùng

máy bơm loại thứ nhất thì mỗi giờ tiền điện phải trả là 1200 đồng, trong khi

dùng máy bơm loại thứ hai thì chỉ phải trả 1000 đồng cho mỗi giờ bơm. Kí

hiệu f(x) và g(x) lần lượt là số tiền (tính bằng nghìn đồng) phải trả khi sử

dụng máy bơm loại thứ nhất và loại thứ hai trong x giờ (bao gồm tiền điện và

tiền mua máy bơm).

a) Hãy biểu diễn f(x) và g(x) duới dạng các biểu thức của x.

b) Vẽ đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trên cùng một mặt

phẳng tọa độ.

c) Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị ấy. Hãy phân tích ý nghĩa

kinh tế của giao điểm đó.

Bài 10. (Bài toán Vitamin). Một nhà khoa học nghiên cứu về tác động phối

hợp của vitamin A và vitamin B đối với cơ thể con người. Kết quả như sau:

(i) Mỗi người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị

vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B.

(ii) Mỗi người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B.

(iii) Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị

vitamin B không ít hơn 1/2 số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba

lần số đơn vị vitamin A.

Giả sử x và y lần lượt là số đơn vị vitamin A và B mà bạn dùng mỗi ngày.

a) Gọi c (đồng) là số tiền vitamin mà bạn phải trả mỗi ngày. Hãy viết

phương trình biểu diễn c dưới dạng một biểu thức của x và y, nếu giá một đơn

vị vitamin A là 9 đồng và giá một đơn vị vitamin B là 7,5 đồng.

b) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện (i), (ii), và (iii) thành

một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm (S) của hệ bất phương

trình đó.

c) Tìm phương án dùng hai loại vitamin A và B thoả mãn các điều kiện

trên để số tiền phải trả là ít nhất, biết rằng c đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong

các đỉnh của miền nghiệm (S).

Họ và tên HS: ……………………………..…….… Lớp: ……………….

Xin cảm ơn sự hợp tác của các em!

Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học Đại số lớp 10 ở trường trung học phổ thông

PHAN THỊ THU HIỀN

VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ LỚP 10 Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

PHAN THỊ THU HIỀN

VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ LỚP 10 Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và PPDH bộ môn Toán

THÁI NGUYÊN - 2015

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1

Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................... 6

Chƣơng 2: THIẾT KẾ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA .................... 46

Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .............................................................. 91

KẾT LUẬN .............................................................................................................. 99

TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 100

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT

MỞ ĐẦU

Chƣơng 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Công viên

Bãi để xe đạp

Khu đất trống

Chƣơng 2

THIẾT KẾ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA

TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ LỚP 10

Chƣơng 3

THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

PHỤ LỤC 1: PHIẾU ĐIỀU TRA GIÁO VIÊN

PHỤ LỤC 2: ĐỀ KIỂM TRA TRƢỚC THỰC NGHIỆM

PHỤ LỤC 3: ĐỀ KIỂM TRA SAU THỰC NGHIỆM

Có thể bạn quan tâm

Luận văn Thạc sĩ: Quản lý hoạt động phát triển nhận thức cho trẻ mẫu giáo ở các trường mầm non, huyện Hoàng Su Phì, tỉnh Hà Giang

Luận văn Thạc sĩ tóm tắt: Pháp luật về điều kiện đầu tư kinh doanh trong lĩnh vực giáo dục, đào tạo ở Việt Nam

Luận văn Thạc sĩ: Sự nghiệp nghiên cứu phê bình văn học của Hoài Thanh

Luận văn Thạc sĩ: Tiểu thuyết của Đỗ Phấn từ góc nhìn sinh thái

Luận văn Thạc sĩ: Giải pháp ứng phó với nhập cư ở Liên minh Châu Âu

Luận văn Thạc sĩ: Diễn ngôn về giới nữ trong văn xuôi nữ Việt Nam đương đại (khảo sát sáng tác của Dạ Ngân, Y Ban, Lý Lan, Nguyễn Thị Thu Huệ)

Luận văn Thạc sĩ: Xây dựng mức phát thải tham chiếu rừng khu vực huyện Bảo Lâm tỉnh Lâm Đồng

Luận văn Thạc sĩ: Đặc điểm nhân vật chính trong ba tác phẩm của Franz Kafka: Lâu đài, Vụ án, Hóa thân

Kháo luận tốt nghiệp: Vận dụng lí thuyết học tập trải nghiệm vào dạy học Thống kê - Xác suất ở lớp Hai

Luận văn Thạc sĩ: Xây dựng hệ thống điều khiển và thu nhận dữ liệu cho Robot dịch vụ

Luận văn Thạc sĩ: Thế giới nhân vật trong truyện ngắn Lê Minh Khuê sau năm 1975

Luận văn Thạc sĩ: Tác động của cấu trúc vốn đến hiệu quả hoạt động của các ngân hàng thương mại cổ phần niêm yết trên thị trường chứng khoán Việt Nam

Luận văn Thạc sĩ: Kiểm soát rủi ro tín dụng bán lẻ tại Ngân hàng Thương mại Cổ phần Đầu tư và Phát triển Việt Nam chi nhánh Thủ Thiêm

Luận văn Thạc sĩ: Các yếu tố ảnh hưởng đến hiệu quả kinh doanh của ngân hàng thương mại cổ phần niêm yết trên thị trường chứng khoán Việt Nam

Luận văn Thạc sĩ: Các nhân tố ảnh hưởng đến hành vi sử dụng dịch vụ ngân hàng điện tử tại Ngân hàng Thương mại Cổ phần Ngoại thương Việt Nam – Chi nhánh Thủ Đức

Luận văn Thạc sĩ: Các yếu tố tác đồng đến nợ xấu tại Ngân hàng Nông nghiệp và Phát triển Nông thôn - Chi nhánh Tiền Giang

Luận văn Thạc sĩ: Yếu tố ảnh hưởng đến quyết định sử dụng dịch vụ thanh toán không dùng tiền mặt tại Ngân hàng TMCP Công thương Việt Nam (Vietinbank)

Luận văn Thạc sĩ tóm tắt: Pháp luật về du lịch biển, thực tiễn tại tỉnh Bình Định

Luận văn Thạc sĩ: Ảnh hưởng của các yếu tố thương hiệu với vai trò trung gian của Marketing truyền miệng đến quyết định chọn việc làm của nhân viên GenZ tại chuỗi nhà hàng gà rán Popeyes khu vực Thành Phố Hồ Chí Minh

Luận văn Thạc sĩ: Ảnh hưởng của Marketing mix đến ý định học cao học của sinh viên khối ngành kinh tế thuộc Trường Đại học Công nghệ Thành phố Hồ Chí Minh

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng phản ứng Domino vào tổng hợp các dẫn xuất Podophyllotoxin, Pyrimidine và đánh giá hoạt tính sinh học của các chất tổng hợp được

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và một số hoạt tính sinh học của cây chùm ngây (Moringa oleifera)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và ứng dụng ức chế ăn mòn cho thép của cao chiết xuất từ cây Lộc vừng thuộc họ Lecythidaceae

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi