Luận văn: TÌM HIỂU PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỐI VỚI SÓNG RAYLEIGH TRONG MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP

Chia sẻ: Trần Ngọc Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

77
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sóng Rayleigh [1] đã được Rayleigh phát hiện vào năm 1885. Từ đó đến nay đã có rất nhiều nghiên cứu về sóng này vì các ứng dụng rộng rãi của nó trong các lĩnh vực khác nhau. Một trong những lĩnh vực quan trọng sử dụng sóng Rayleigh đó là sự truyền sóng động đất, trong đó sóng mặt Rayleigh trong rất nhiều trường hợp là thành phần chính sóng động đất bên cạnh sóng Love và sóng khối, đặc biệt là trong các trường hợp khi tâm chấn (động đất) là khá xa so với địa điểm được khảo sát. Bề mặt trái đất...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: TÌM HIỂU PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỐI VỚI SÓNG RAYLEIGH TRONG MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ————oOo———— Trần Ngọc Trung TÌM HIỂU PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỐI VỚI SÓNG RAYLEIGH TRONG MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Ngành: Toán - Cơ Cán bộ hướng dẫn: TS. Trần Thanh Tuấn Hà Nội - 2012
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên của khóa luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS. Trần Thanh Tuấn. Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới nhóm Seminar tại bộ môn Cơ học do PGS. TS Phạm Chí Vĩnh chủ trì, cùng toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Hà Nội, ngày 20 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Trần Ngọc Trung
Mục lục Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Phương trình tán sắc của sóng mặt trong môi trường đa lớp . 6 1.1. Dạng ma trận của bài toán cho sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Một số tính chất tổng quát của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3. Tỉ số H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. Dạng tiệm cận của phương trình tán sắc theo bước sóng . 17 2.1. Dạng tiệm cận của bước sóng dài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Dạng tiệm cận cho bước sóng ngắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 3. Tính toán số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2
Lời mở đầu Sóng Rayleigh [1] đã được Rayleigh phát hiện vào năm 1885. Từ đó đến nay đã có rất nhiều nghiên cứu về sóng này vì các ứng dụng rộng rãi của nó trong các lĩnh vực khác nhau. Một trong những lĩnh vực quan trọng sử dụng sóng Rayleigh đó là sự truyền sóng động đất, trong đó sóng mặt Rayleigh trong rất nhiều trường hợp là thành phần chính sóng động đất bên cạnh sóng Love và sóng khối, đặc biệt là trong các trường hợp khi tâm chấn (động đất) là khá xa so với địa điểm được khảo sát. Bề mặt trái đất ban đầu có thể được coi như là một bán không gian, nhưng mô hình chính xác của nó phải là môt hình phân lớp trong đó có một số lớp với các tính chất vật liệu khác nhau đặt trên một bán không gian. Hai tính chất cơ bản quan trọng nhất của sóng Rayleigh là vận tốc sóng và tỷ số H/V, là tỷ số của chuyển dịch ngang (horizontal) và chuyển dịch theo phương thẳng đứng (vertical). Sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng là sóng không tán sắc và chỉ có duy nhất một mặt sóng. Trong mô hình đơn giản này hai tính chất cơ bản trên của sóng Rayleigh đã được nghiên cứu kỹ lưỡng (xem bài báo của Malischewsky (2004) [6]). Đối với mô hình phức tạp hơn, một lớp đặt trên bán không gian, trong trường hợp vật liệu là đàn hồi đẳng hướng, thì hai tính chất cơ bản trên cũng đã được nghiên cứu kỹ một cách giải tích trong nhiều công trình, ví dụ như trong bài báo của Trần Thanh Tuấn (2011) [11]. Nói chung phương pháp được dùng trong các mô hình đơn giản này là biểu diễn các đại lượng ứng suất và biến dạng của lớp và bán không gian phụ thuộc vào các tham số vật liệu và số sóng, sau đó sử dụng các điều kiện biên để nhận được một hệ phương trình thuần nhất. Phương trình tán sắc của sóng Rayleigh sau đó nhận được bằng cách cho định thức của hệ phương trình thuần nhất này bằng không để nhận được nghiệm không tầm thường. Phương pháp này có thể
MỤC LỤC cho ta phương trình tán sắc của sóng Rayleigh dưới dạng hiển, thuận tiện cho việc nghiên cứu giải tích cũng như là các tính toán số. Tuy nhiên, phương pháp sẽ trở nên rất cồng kềnh khi được dùng để nghiên cứu mô hình phân lớp, khi số lớp là nhiều hơn hai. Một phương pháp thay thế để khảo sát mô hình phân lớp chính là phương pháp ma trận chuyển. Phương pháp này được đề xuất bởi Thomson (1950) [9]. Haskell (1953) [4] đã phát triển phương pháp này đối với môi trường đàn hồi đẳng hướng và Stuart Crampin (1970) [2] đã phát triển phương pháp này cho môi trường đàn hồi bất đẳng hướng. Phương pháp này sẽ cho ta phương trình tán sắc của sóng Rayleigh dưới dạng ẩn. Mặc dù khó có thể sử dụng phương trình tán sắc dạng ẩn này để nghiên cứu một cách giải tích các tính chất của sóng Rayleigh, nhưng nó được dùng một cách rộng rãi trong việc lập các chương trình tính toán số để khảo sát số các tính chất của sóng Rayleigh trong mô hình phân lớp này. Một trong các chương trình sử dụng phương pháp ma trận chuyển này là chương trình của Herrmann (1994) [5]. Chương trình này được viết bởi ngôn ngữ lập trình FORTRAN dưới dạng các gói lệnh và có thể sử dụng các ngôn ngữ khác, ví dụ như Matlab, để chạy chúng. Ưu điểm của chương trình là chạy ổn định và nhanh chóng. Tuy nhiên nhược điểm của nó là người sử dụng không thể can thiệp trực tiếp vào các code lệnh để thay đổi chương trình để phục vụ mục đích của mình. Một ví dụ là chương trình của Herrman tính toán vận tốc sóng và tỷ số H/V trên một miền tần số cho trước và nó chia miền tần số này thành một số khoảng rời rạc bằng nhau (nói chung là 29 hoặc 210 khoảng). Trong các tính toán thông thường thì số lượng chia rất lớn này nói chung là đủ để đáp ứng các yêu cầu của người dùng. Tuy nhiên với một số mục đích riêng biệt khác, như tính toán xung quanh điểm osculation point, là điểm hai mode của đường cong tán sắc gặp nhau, thì việc chia số khoảng lớn như trên vẫn chưa đủ. Hoặc như khi cần vẽ đường cong tán sắc và đường cong tỷ số H/V một cách rất mịn thì chúng ta cần phải can thiệp vào code của chương trình, và việc mà người dùng khó có thể làm khi sử dụng chương trình của Herrmann. Hoặc quan trọng nhất là giải số tìm các tần số của điểm không (điểm có H/V bằng không) và điểm singularity (là điểm có tỷ số H/V bằng vô cùng). Với lý do trên, việc thành lập code chương trình cho phương pháp ma trận chuyển là cần thiết. Vì vậy, mục tiêu của khóa luận tốt nghiệp này là đi tìm hiểu phương pháp ma trận chuyển và sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để viết code cho phương pháp này. Nội dung chính của khóa luận là trình bày lại các kết quả 4
MỤC LỤC đã được đăng trong bài báo của Thomson (1950) [9] và của Haskell (1953) [4]. Thông qua các kết quả trong hai bài báo trên, công thức của tỷ số H/V đối với môi trường phân lớp cũng được dễ dàng tìm ra. Dựa trên các kết quả và công thức này, tác giả đã sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để viết chương trình tính toán vận tốc sóng Rayleigh và tỷ số H/V đối với mô hình phân lớp có số lớp tùy ý. Cuối cùng, một số kết quả tính toán số sử dụng chương trình này cũng được trình bày. Khóa luận bao gồm ba chương : • Chương 1: Tìm phương trình tán sắc tổng quát và tỉ số H/V. • Chương 2: Tìm dạng tiệm cận của phương trình tán sắc theo bước sóng ngắn và bước sóng dài. • Chương 3: Áp dụng tính toán số. Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Em mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn! 5
Chương 1 Phương trình tán sắc của sóng mặt trong môi trường đa lớp 1.1. Dạng ma trận của bài toán cho sóng Rayleigh Ta xét sóng mặt có tần số góc p và vận tốc theo phương ngang c lan truyền theo phương ngang trong không gian với n lớp song song đồng nhất, đẳng hướng. Phương truyền sóng +x (0) 1 (1) 2 (2) 3 +z n-1 (n-1) n Hình 1 : Chiều của các trục tọa độ và cách đánh số của các lớp và các mặt phân cách. Tất cả các lớp giả sử đều là môi trường chất rắn. Trục x song song với các lớp và có chiều dương hướng theo chiều của phương truyền sóng. Trục z có chiều dương hướng vào trong môi trường. Các lớp khác nhau và các mặt phân cách được đánh số bắt đầu từ mặt tự do như hình 1. Ta chú ý dạng của sóng Rayleigh, tức là ở đây không có chuyển dịch theo phương y và biên độ giảm theo hàm mũ trong phương +z trong lớp bán không gian. 6
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP Xét lớp thứ m, ta đặt u, v, w = thành phần chuyển dịch theo chiều x, y và z u, v, w = thành phần vận tốc theo chiều x, y và z ˙˙˙ ∆m = giãn nở khối ωm = sự quay αm = [(λm + 2µm )/ρm ]1/2 = vận tốc của sóng dọc βm = [µm /ρm ]1/2 = vận tốc của sóng ngang νE λm = (1 + ν ) (1 − 2ν ) E = môđun đàn hồi Young ν = hệ số Poisson λm , µm = hệ số đàn hồi Lame ρm = mật độ khối lượng dm = độ dày lớp thứ m p = tần số góc k = p/c = 2π /bước sóng (theo phương ngang) { +[(c/αm )2 − 1]1/2 , nếu c > αm rα m = −i[1 − (c/αm )2 ]1/2 , nếu c < αm { +[(c/βm )2 − 1]1/2 , nếu c > βm rβ m = −i[1 − (c/βm )2 ]1/2 , nếu c < βm γm = 2(βm /c)2 σ = ứng suất pháp τ = ứng suất tiếp. Giãn nở khối và sự quay được xác định qua phương trình sau ∂u ∂v ∂w ∆m = + + , ∂x ∂y ∂z ( ) 1 ∂w ∂v ωmx = − , 2 ∂y ∂z ( ) 1 ∂u ∂w ωmy = − , 2 ∂z ∂x ( ) 1 ∂v ∂u ωmz = − . 2 ∂x ∂y 7
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP Đạo hàm ∆m theo x, y và z ta được ba phương trình ∂ ωmy ∂ ∆m ∂ ωmz ∇2 u = −2 +2 , ∂x ∂y ∂z ∂ ∆m ∂ ωmx ∂ ωmz ∇2 v = −2 +2 , (1.1) ∂y ∂z ∂x ∂ ωmy ∂ ∆m ∂ ωmx −2 ∇2 w = +2 . ∂z ∂x ∂y Nghiệm tổng quát cho chuyển dịch theo ∆m và ωm trong đó chúng thỏa mãn phương trình sóng cho giãn nở khối và sự quay có dạng hàm điều hòa phụ thuộc thời gian là ( )2 ( )2 ( )2 βm ∂ ωmy αm ∂ ∆m βm ∂ ωmz u=− −2 +2 , ∂x ∂y ∂z p p p ( )2 ( )2 ( )2 αm ∂ ∆m βm ∂ ωmx βm ∂ ωmz v=− −2 +2 , (1.2) ∂y ∂z ∂x p p p ( )2 ( )2 ( )2 βm ∂ ωmy αm ∂ ∆m βm ∂ ωmx w=− −2 +2 . ∂z ∂x ∂y p p p Ví dụ như, từ phương trình thứ nhất của hệ (1.2) trên ta có ( )2 ( )2 ( )2 ∂( 2 ) ∂( 2 ) ∂( 2 ) αm βm βm ∇ ωmz − 2 ∇ ωmy , ∇2 u = − ∇ ∆m + 2 ∂x ∂y ∂z p p p mà khi so sánh với phương trình thứ nhất của (1.1) cho ta phương trình chuyển động của sóng ( ( )2 ) p ∇2 + ∆m = 0 , αm ( ( )2 ) p ωmz = 0, ∇2 + βm ( ( )2 ) p ωmy = 0. ∇2 + βm Chọn hệ tọa độ đề Đề Các như hình 1, ωmx , ωmz sẽ bằng không. Xét lớp thứ m 8
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP thì giãn nở khối và sự quay mà thỏa mãn phương trình sóng là ∆m = (∂ u/∂ x) + (∂ w/∂ z) = exp[i( pt − kx)][∆′ exp(−ikrα m z) + ∆′′ exp(ikrα m z)], (1.3) m m ωm = (1/2)[(∂ u/∂ z) − (∂ w/∂ x)] = exp[i( pt − kx)][ω ′ m exp(−ikrβ m z) + ω ′′ m exp(ikrβ m z)], (1.4) trong đó ∆′ , ∆′′ , ω ′ m và ω ′′ m là các hằng số. Với quy ước về ký hiệu như trên, số mm hạng trong biểu diễn ∆′ biểu thị cho một sóng mặt mà hướng chuyển động của m nó hợp với trục +z một góc cot−1 rα m với rα m là thực, và một sóng lan truyền theo phương +x với biên độ giảm dần theo hàm mũ theo chiều của +z khi rα m là số ảo. Tương tự, số hạng trong ∆′′ biểu thị cho một sóng mặt mà hướng chuyển m động của nó hợp với trục −z một góc như trên khi rα m là số thực và một sóng lan truyền trong +x với biên độ giảm dần theo hàm mũ theo chiều của trục z khi rα m là số ảo. Áp dụng cách đánh dấu tương tự như trên, ta có được dạng ω ′ m và ω ′′ m với rβ m thay thế cho rα m . Thành phần tương ứng của ứng suất và chuyển vị tương ứng với hàm giãn nở khối và sự quay được biểu diễn bởi (1.3) và (1.4) là, u = −(αm / p)2 (∂ ∆m /∂ x) − 2(βm / p)2 (∂ ωm /∂ z), (1.5) w = −(αm / p)2 (∂ ∆m /∂ z) + 2(βm / p)2 (∂ ωm /∂ x), (1.6) σ = λm ∆m + 2µm (∂ u/∂ x) = ρm [αm ∆m + 2βm {(αm / p)2 (∂ 2 ∆m /∂ x2 ) + 2(βm / p)(∂ 2 ωm /∂ x∂ z)}], (1.7) 2 2 τ = µm (∂ u/∂ z + ∂ w/∂ x) = 2ρm βm [ − (αm / p)2 (∂ 2 ∆m /∂ x∂ z) + (βm / p)2 {(∂ 2 ωm /∂ x2 ) − (∂ 2 ωm /∂ z2 )}]. 2 (1.8) Các điều kiện biên thỏa mãn tại mặt phân cách giữa hai lớp là bốn đại lượng thỏa mãn điều kiện liên tục. Chuyển vị chắc chắn là liên tục nếu các thành phần vận tốc tương ứng u và w là liên tục, và vì c là như nhau trong tất cả các ˙ ˙ lớp nên chúng ta có thể xét các đại lượng không thứ nguyên u/c và w/c là liên ˙ ˙ tục. Thay các biểu diễn của (1.3) và (1.4) vào phương trình (1.5) đến (1.8), ta 9
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP có u =ik(αm / p)2 exp[i( pt − kx)][∆′ exp(−ikrα m z) + ∆′′ exp(ikrα m z)] m m + 2ikrβ m (βm / p)2 exp[i( pt − kx)][ω ′ m exp(−ikrβ m z) − ω ′′ m exp(ikrβ m z)], (1.9) w =ikrα m (αm / p)2 exp[i( pt − kx)][∆′ exp(−ikrα m z) − ∆′′ exp(ikrα m z)] m m + 2ik(βm / p)2 exp[i( pt − kx)][ω ′ m exp(−ikrβ m z) + ω ′′ m exp(ikrβ m z)]. (1.10) Thành phần vận tốc tương ứng được biểu diễn như sau (2 ) u = − αm /c exp[i( pt − kx)][∆′ exp(−ikrα m z) + ∆′′ exp(ikrα m z)] ˙ m m (2 ) − 2rβ m βm /c exp[i( pt − kx)][ω m exp(−ikrβ m z) − ω ′′ m exp(ikrβ m z)], ′ (1.11) (2 ) w = − rα m αm /c exp[i( pt − kx)][∆′ exp(−ikrα m z) − ∆′′ exp(ikrα m z)] ˙ m m (2 ) ′ ′′ − 2 βm /c exp[i( pt − kx)][ω m exp(−ikrβ m z) + ω m exp(ikrβ m z)]. (1.12) Biểu diễn các hàm mũ của ikrz theo dạng lượng giác, ta tìm được u/c = − (αm /c)2 [(∆′ + ∆′′ ) cos krα m z − i(∆′ − ∆′′ ) sin krα m z] ˙ m m m m ′ ′′ ′ ′′ − γm rβ m [(ωm − ωm ) cos krβ m z − i(ωm + ωm ) sin krβ m z], (1.13) w/c = − (αm /c)2 rα m [−i(∆′ + ∆′′ ) sin krα m z + (∆′ − ∆′′ ) cos krα m z] ˙ m m m m ′ ′′ ′ ′′ + γm [−i(ωm − ωm ) sin krβ m z + (ωm + ωm ) cos krβ m z], (1.14) σ = − ρm αm (γm − 1)[(∆′ + ∆′′ ) cos krα m z − i(∆′ − ∆′′ ) sin krα m z] 2 m m m m ′ ′′ ′ ′′ − ρm c2 γm rβ m [(ωm − ωm ) cos krβ m z − i(ωm + ωm ) sin krβ m z], 2 (1.15) τ = ρm αm γm rβ m [−i(∆′ + ∆′′ ) sin krα m z + (∆′ − ∆′′ ) cos krα m z] 2 m m m m ′ ′′ ′ ′′ − ρm c2 γm (γm − 1)[−i(ωm − ωm ) sin krβ m z + (ωm + ωm ) cos krβ m z]. (1.16) Khi bất kỳ các giá trị rα m , rβ m là ảo thì hàm lượng giác tương ứng sẽ được hiểu là hàm lượng giác hyperbolic. Đặt gốc tọa độ của z tại mặt phân cách thứ (m − 1) mối quan hệ tuyến tính giữa các giá trị của u/c, w/c, σ và τ tại mặt phân cách thứ (m − 1) và các ˙ ˙ hằng số (∆′ + ∆′′ ), (∆′ − ∆′′ ) và (ωm + ωm ) có thể được biểu diễn bởi phép ′ ′′ m m m m 10
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP biến đổi sau (um−1 /c, wm−1 /c, σm−1 , τm−1 ) = Em (∆′ + ∆′′ , ∆′ − ∆′′ , ωm − ωm , ωm + ωm ), ′ ′′ ′ ′′ ˙ ˙ m mm m (1.17) trong đó Em là ma trận   −(αm /c)2 −γm rβ m 0 0   −(αm /c)2 rα m γm 0 0 Em =  .  −ρm α 2 (γm − 1)  −ρm c m β m 2γ r 0 0 m ρm αm γm rα m −ρm c2 γm (γm − 1) 2 0 0 (1.18) Đặt z = dm trong phương trình (1.13) đến (1.16) ta thu được giá trị của u/c, ˙ v.v... tại mặt phân cách m theo (∆′ + ∆′′ ) v.v... m m (um /c, wm /c, σm , τm ) = Dm (∆′ + ∆′′ , ∆′ − ∆′′ , ωm − ωm , ωm + ωm ), ′ ′′ ′ ′′ ˙ ˙ (1.19) m mm m trong đó Dm là ma trận   − (γm /c)2 cos Pm i (αm /c)2 sin Pm −γm rβ m cos Qm iγm rβ m sin Qm  i (αm /c)2 rα m sin Pm  − (αm /c)2 rα m cos Pm −iγm sin Qm γm cos Qm Dm =  ,  −ρm α 2 (γm − 1) cos Pm  iρm αm (γm − 1) sin Pm −ρm c2 γm rβ m cos Qm iρm c m β m sin Qm 2γ 2 r 2 2 m −iρm αm γm rα m sin Pm ρm αm γm rα m cos Pm iρm c m m 2 γ (γ − 1) sin Q −ρm c m m 2 γ (γ − 1) cos Q 2 2 m m (1.20) với Pm = krα m dm và Qm = krβ m dm . Các hằng số ∆′ + ∆′′ , v.v... có thể được khử giữa hai phương trình (1.17) m m và (1.19), cho ta một mối quan hệ tuyến tính giữa các giá trị của u/c, w/c, σ và ˙ ˙ τ tại đỉnh và đáy của lớp thứ m mà có thể được biểu diễn một cách hình thức bởi phương trình, − (um /c, wm /c, σm , τm ) = Dm Em 1 (um−1 /c, wm−1 /c, σm−1 , τm−1 ). ˙ ˙ ˙ ˙ (1.21) − trong đó Em 1 là ma trận nghịch đảo của Em và có dạng   ( ) 2 −1 −2 (βm /αm )2 ρm αm 0 0   ( )−1   c2 (γm − 1) /αm rα m ρm αm rα m 2 2 0 0 Em 1 =  . − ( )−1  (γ − 1) /γ r  − ρm c2 γm rβ m m  0 0 m βm ( )−1 ρm c2 γm 0 1 0 (1.22) − Từ các phương trình (1.20) và (1.22), các phần tử của ma trận tích am = Dm Em 1 11
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP có thể được tính như sau (am )11 = γm cos Pm − (γm − 1) cos Qm [ ] −1 (am )12 = i (γm − 1) rα m sin Pm + γm rβ m sin Qm ( )−1 (am )13 = − ρm c2 (cos Pm − cos Qm ) ( )−1 ( −1 ) (am )14 = i ρm c2 rα m sin Pm + rβ m sin Qm [ ] −1 (am )21 = −i γm rα m sin Pm + (γm − 1) rβ m sin Qm (am )22 = − (γm − 1) cos Pm + γm cos Qm )( ) ( 2 −1 −1 (am )23 = i ρm c rα m sin Pm + rβ m sin Qm (am )24 = (am )13 (am )31 = ρm c2 γm (γm − 1) (cos Pm − cos Qm ) ] [ 2 −1 (am )32 = iρm c (γm − 1) rα m sin Pm + γm rβ m sin Qm 2 2 (am )33 = (am )22 (am )34 = (am )12 [ ] −1 (am )41 = iρm c2 γm rα m sin Pm + (γm − 1)2 rβ m sin Qm 2 (am )42 = (am )31 (am )43 = (am )21 (am )44 = (am )11 . Bây giờ xét điều kiện biên với yêu cầu là các giá trị của u/c, w/c, σ và τ ˙ ˙ được tính tại đỉnh của lớp thứ m phải bằng các giá trị tương ứng được tính tại đáy của lớp thứ (m − 1). Điều đó có nghĩa là ta có thể viết (um /c, wm /c, σm , τm ) = am am−1 (um−2 /c, wm−2 /c, σm−2 , τm−2 ). ˙ ˙ ˙ ˙ (1.23) Trong bài báo của Thomson (1950) [9], đại lượng τ /2µ được thay cho τ như biến thứ tư của ma trận am . Đây chỉ là sự thay đổi trong ký hiệu với bất kỳ lớp nào có liên quan nhưng µ nói chung sẽ khác nhau trong các lớp, và đó là ứng suất trượt τ , không phải là biến dạng trượt τ /µ , là đại lượng liên tục qua các mặt phân cách. Quá trình lặp được chỉ ra bởi phương trình (1.23) do đó yêu cầu τ , hoặc một hằng số nhân với τ , không phải là τ /2µ , được coi như biến thứ tư. Dạng ma trận a của Thomson khi đó sẽ được hiệu chỉnh lại bằng việc nhân hàng thứ tư với 2µ (= 2G trong kí hiệu của Thomson) và cột thứ tư được nhân với (2µ )−1 . 12
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP Bằng việc lặp lại phương trình (1.23) ta có, (un−1 /c, wn−1 /c, σn−1 , τn−1 ) = an−1 an−2 ...a1 (u0 /c, w0 /c, σ0 , τ0 ), ˙ ˙ (1.24) ˙ ˙ và sử dụng phương trình nghịch đảo (1.17) cho lớp thứ n, ta có (∆′ + ∆′′ , ∆′ − ∆′′ , ωn − ωn , ωn + ωn ) = En 1 an−1 an−2 ...a1 (u0 /c, w0 /c, σ0 , τ0 ). ′ ′′ ′ ′′ − ˙ ˙ n mn n (1.25) Đến bước này mọi bước thực hiện đều là tổng quát, và phương trình (1.25) có thể được áp dụng đối với sóng mặt hoặc sóng truyền qua môi trường nhiều lớp. Trường hợp cụ thể mà chúng ta quan tâm trong đó không có ứng suất trên mặt tự do nên σ0 = τ0 = 0 và không có nguồn kích động nào ở vô cùng nên ∆′′ = ωn = 0. Kí hiệu J là ma trận tích En 1 an−1 an−2 ...a1 , phương trình (1.25) ′′ − n trở thành, ( ′ ′ ′ ′) ∆n , ∆n , ωn , ωn = J (u/c, w/c, 0, 0) , ˙ ˙ hoặc, cụ thể là ∆′ = J11 u0 /c + J12 w0 /c, ˙ ˙ n ∆′ = J21 u0 /c + J22 w0 /c, ˙ ˙ n (1.26) ′ ωn = J31 u0 /c + J32 w0 /c, ˙ ˙ ′ ωn = J41 u0 /c + J42 w0 /c. ˙ ˙ Khử ∆′ và ωn ta có, ′ n J22 − J12 J42 − J32 u0 ˙ = = . (1.27) w0 J11 − J21 J31 − J41 ˙ Bởi vì những phần tử của ma trận J là các hàm của các tham số c và k, phương trình (1.27) cho ta mối liên hệ ẩn giữa c và k, đó chính là phương trình tán sắc của vận tốc. 1.2. Một số tính chất tổng quát của nghiệm − Đặt A = an−1 an−2 ...a1 và sử dụng phương trình (1.22) đối với En 1 , phương trình (1.27) có thể viết dưới dạng − (u0 /w0 ) = K /L = M /N , ˙˙ (1.28) 13
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP trong đó K = γn rα n A12 + (γn − 1) A22 − rα n A32 /ρn c2 + A42 /ρn c2 , L = γn rα n A11 + (γn − 1) A21 − rα n A31 /ρn c2 + A41 /ρn c2 , (1.29) M = − (γn − 1) A12 + γn rβ n A22 + A32 /ρn c2 + rβ n A42 /ρn c2 , N = − (γn − 1) A11 + γn rβ n A21 + A31 /ρn c2 + rβ n A41 /ρn c2 . Trong trường hợp hai lớp, phương trình (1.28) và (1.29) có thể được biểu diễn dưới dạng tương đương với biểu diễn trước đó của Sazawa, Lee (1938) [7] và các tác giả khác. Trong các biểu diễn cho các phần tử của ma trận am , chúng ta thấy rằng các đại lượng sin Pm , sin Qm , rα m và rβ m có thể là thực hoặc ảo phụ thuộc vào giá ±1 ±1 trị của c, chỉ xảy ra trong tích rα m sin Pm và rβ m sin Qm . Vì sin Pm là thực hoặc ảo khi rα m là thực hoặc ảo, và sin Qm là tương tự đối với rβ m , nên các tích trên luôn là thực đối với giá trị thực của c. Với các tính chất thực hoặc ảo của phần tử thuộc mà trận am trên thì am có dạng   RIRI  I R I R am =    R I R I . IRIR trong đó R biểu thị cho các đại lượng thực và I biểu thị cho các đại lượng ảo. Tích của hai ma trận bất kỳ của dạng này cũng là một ma trận cùng dạng. Vì thế các phần tử của A trong phương trình (1.29) có dạng: A11 , A22 , A31 , và A42 là thực; A12 , A21 , A32 , và A41 là ảo. Với việc định nghĩa sóng "mặt" là sóng có biên độ giảm khi giá trị của z tăng lên, nghĩa là rα n và rβ n trong trường hợp này là ảo. Nghĩa là ta chỉ xét trường hợp giá trị của c < βn . Khi đó đối với phương trình (1.29), tất cả các số hạng của K và N là thực và tất cả các số hạng của L và M là ảo. Do đó tỉ số u0 /w0 sẽ luôn là số ảo, nghĩa là có sự lệch pha 900 giữa các thành phần theo trục ˙˙ ngang và trục dọc tại mặt tự do. Do đó chuyển động của các phần tử có dạng hình ellipse với các trục có phương ngang và phương thẳng đứng. Tuy nhiên độ lệch pha có thể có dấu bất kỳ và do đó chuyển động ellipse của phần tử không nhất thiết là ngược chiều kim đồng hồ đối với phương truyền sóng, là chuyển động của phần tử đối với sóng Rayleigh trong mô hình bán không gian. 14
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP Nếu môi trường chúng ta đang xét là tán sắc, thì sẽ cần thiết phải xét giá trị phức của c và k. Trong trường hợp này, tỉ số u0 /w0 sẽ không nhất thiết là ˙˙ thuần ảo, nghĩa là độ lệch pha có thể khác ±90 0 thường xảy ra và các trục của ellipse có thể nghiêng một góc với trục. Do đó môi trường đàn hồi không hoàn hảo có thể dẫn đến độ nghiêng của trục, là trường hợp hay được quan sát trong trường hợp các vụ nổ được kích hoạt để tạo ra sóng mặt trên lớp không chặt. Rõ ràng là nếu hai lớp liền kề có tính chất vật lý giống nhau, chúng phải được coi là tương đương với một lớp có bề dày bằng tổng bề dày của hai lớp. Do đó, nếu ta gọi am (d ) là ma trận am được tính cho lớp có độ dày d ta phải có am (d1 ) am (d2 ) = am (d1 + d2 ) (1.30) Mối liên hệ này có thể dễ dàng kiểm tra bởi việc nhân trực tiếp các ma trận. Và bởi vì k chỉ xuất hiện trong am dưới dạng kdm , phương trình (1.30) cho ta, am (k1 ) am (k2 ) = am (k1 + k2 ) , (1.31) trong đó k1 và k2 là giá trị bất kỳ của k và am được tính đối với c và dm cố định. 1.3. Tỉ số H/V Tỷ số H/V là tỷ số của thành phần chuyển vị theo phương ngang và phương thẳng đứng của chất điểm trên bề mặt của lớp trên cùng. Nghĩa là : u(0) χ= . w(0) Ta có, u và w được xác định như sau u =ik(αm / p)2 exp[i( pt − kx)][∆′ exp(−ikrα m z) + ∆′′ exp(ikrα m z)] m m + 2ikrβ m (βm / p)2 exp[i( pt − kx)][ω ′ m exp(−ikrβ m z) − ω ′′ m exp(ikrβ m z)], w =ikrα m (αm / p)2 exp[i( pt − kx)][∆′ exp(−ikrα m z) − ∆′′ exp(ikrα m z)] m m + 2ik(βm / p)2 exp[i( pt − kx)][ω ′ m exp(−ikrβ m z) + ω ′′ m exp(ikrβ m z)]. Dễ dàng thấy được u và w chỉ phụ thuộc vào thời gian t qua nhân tử exp[i( pt − kx)], do đó u u ˙ =, ww ˙ với u, w được biểu diễn theo công thức (1.11) và (1.12) ˙˙ 15
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP Ta lại có u0 ˙ K M =− =− . w0 ˙ L N trong đó K, L, M, N được biểu diễn như trong (1.29). Do đó công thức xác định tỉ số H/V là u(0) K M χ= =− =− . w(0) L N 16
Chương 2 Dạng tiệm cận của phương trình tán sắc theo bước sóng 2.1. Dạng tiệm cận của bước sóng dài Khi bước sóng rất lớn thì kdm → 0 và tất cả các ma trận am sẽ tiến về ma − trận đơn vị. Do đó, Jm → Em 1 và phương trình (1.27) trở thành u0 /w0 = − (γn − 1) /γn rα n = γn rβ n / (γn − 1) , ˙˙ (2.1) hoặc (γn − 1)2 + γn rα n rβ n = 0. 2 (2.2) Đây chính là phương trình vận tốc sóng cho sóng Rayleigh của bán không gian. Nếu ta khai triển dạng của ma trận am theo lũy thừa của k và bỏ qua lũy thừa cao hơn bậc một thì ma trận A có dạng   n−1 n−1 ik ∑ dm /ρm βm 2 ik ∑ dm 1 0   1 1 [ ] n−1 n−1   ik ∑ dm 1 − 2 (βm /αm )2 ik ∑ dm /ρm αm 2 1 0 A→ . 1 1   n−1 n−1   ∑ dm ρm ikc2 ik ∑ dm 0 1 1 1 [ ] [ ] n−1 n−1 ikc2 ∑ dm ρm 1 − 2γm + 2γm (βm /αm )2 ik ∑ dm 1 − 2 (βm /αm )2 0 1 1 1 (2.3) ( )2 n−1 ∑ dm k2 Do đó, đối với bước sóng rất dài thì có thể được bỏ qua. 1 Đối với xấp xỉ ở bậc này thì các đại lượng K , L, M và N là các hàm tuyến tính của k. Do đó, đối với một giá trị của c thì phương trình (1.28) là một phương trình bậc hai của k và có thể giải một cách tường minh. 17
CHƯƠNG 2. DẠNG TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC THEO BƯỚC SÓNG 2.2. Dạng tiệm cận cho bước sóng ngắn Sezawa và Kanai (1938) [7] đã chỉ ra rằng trong trường hợp hai lớp, dạng tiệm cận đối với tần số sóng lớn của phương trình vận tốc có thể được nhóm dưới dạng tích của các thừa số. Một trong những thừa số này có một nghiệm tương ứng với vận tốc sóng Rayleigh trên mặt tự do của lớp đầu tiên; Nghiệm còn lại là biểu diễn của Stoneley (1924) [8] cho vận tốc sóng truyền trên các mặt phân cách giữa hai lớp. Nghiệm thứ hai có thể có hoặc có thể không có nghiệm thực, phụ thuộc vào mối liên hệ giữa ρ , α , β trong hai lớp. Theo lý thuyết vật lý thì trong trường hợp đa lớp, phương trình tán sắc luôn có thể được nhóm dưới dạng tích các thừa số khi tần số là đủ lớn. Những thừa số này tương ứng với sóng Rayleigh trên mặt tự do và sóng Stoneley ở mỗi mặt phân cách. Để minh họa điều này, sẽ thuận lợi hơn khi ta viết ma trận J dạng − J = bn−1 bn−2 ...b1 E1 1 , (2.4) trong đó −1 bm = Em+1 Dm . (2.5) Nghĩa là thay vì nhóm các số hạng của ma trận J theo từng lớp, chúng ta sẽ nhóm chúng theo các mặt phân cách. Bây giờ giả sử rằng c < βn−1 , sao cho Pn−1 và Qn−1 là các số ảo và các hàm sin, cos được hiểu là các hàm hyperbolic. Khi đó, đối với giá trị của kdn−1 lớn, sin Pn−1 → −i cos Pn−1 và sin Qn−1 → −i cos Qn−1 . Trong giới hạn này, phần tử của bn−1 tiến tới các giá trị sau : (bn−1 )11 = − (bn−1 )12 = (αn−1 /αn )2 {γn − (γn−1 − 1) (ρn−1 /ρn ) cos Pn−1 , (bn−1 )13 = − (bn−1 )14 = (c/αn )2 γn−1 rβ (n−1) {γn − γn−1 (ρn−1 /ρn )} cos Qn−1 , (bn−1 )21 = − (bn−1 )22 ( ) = (αn−1 /αn )2 rα (n−1) /rα n {(γn − 1) − γn−1 (ρn−1 /ρn )} cos Pn−1 , (bn−1 )23 = − (bn−1 )24 = − (c/αn )2 (γn−1 /rα n ) {(γn − 1) − (γn−1 − 1) (ρn−1 /ρn )} cos Qn−1 , 18
CHƯƠNG 2. DẠNG TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC THEO BƯỚC SÓNG (bn−1 )31 = − (bn−1 )32 ( )−1 = − (αn−1 /c)2 γn rβ n {(γn − 1) − (γn−1 − 1) (ρn−1 /ρn )} cos Pn−1 , (bn−1 )33 = − (bn−1 )34 ( ) = γn−1 rβ (n−1) /γn rβ n {(γn − 1) − γn−1 (ρn−1 /ρn )} cos Qn−1 , (bn−1 )41 = − (bn−1 )42 ( ) = (αn−1 /c)2 rα (n−1) /γn {γn − γn−1 (ρn−1 /ρn )} cos Pn−1 , (bn−1 )43 = − (bn−1 )44 = (γn−1 /γn ) {γn − (γn−1 − 1) (ρn−1 /ρn )} cos Qn−1 , − Nếu chúng ta đặt Jn−1 = bn−2 bn−3 ...b1 E1 1 , thì bởi vì (bn−1 ) j1 = − (bn−1 ) j2 và (bn−1 ) j3 = − (bn−1 ) j4 đối với tần số cao, ta có thể viết J22 − J12 = [(bn−1 )11 − (bn−1 )21 ] [(Jn−1 )22 − (Jn−1 )12 ] + [(bn−1 )21 − (bn−1 )23 ] [(Jn−1 )42 − (Jn−1 )32 ] , J11 − J21 = [(bn−1 )11 − (bn−1 )21 ] [(Jn−1 )11 − (Jn−1 )21 ] + [(bn−1 )21 − (bn−1 )23 ] [(Jn−1 )31 − (Jn−1 )41 ] , J42 − J32 = [(bn−1 )31 − (bn−1 )41 ] [(Jn−1 )22 − (Jn−1 )12 ] + [(bn−1 )33 − (bn−1 )43 ] [(Jn−1 )42 − (Jn−1 )32 ] , J31 − J41 = [(bn−1 )31 − (bn−1 )41 ] [(Jn−1 )11 − (Jn−1 )21 ] + [(bn−1 )33 − (bn−1 )43 ] [(Jn−1 )31 − (Jn−1 )41 ] . Bằng cách đặt  K ′ = (Jn−1 )22 − (Jn−1 )12 ,   ′ L = (Jn−1 )11 − (Jn−1 )21 , (2.6) M ′ = (Jn−1 )42 − (Jn−1 )32 ,   ′  N = (Jn−1 )31 − (Jn−1 )41 ,  R = (bn−1 )11 − (bn−1 )21 ,    S = (b ) − (b ) , n−1 13 n−1 23 (2.7) T = (bn−1 )31 − (bn−1 )41 ,     U = (bn−1 )33 − (bn−1 )43 . thì mối liên hệ (1.27) giữa các phần tử của J có thể viết dưới dạng RK ′ + SM ′ T K ′ + UM ′ = . RL′ + SN ′ T L′ + UN ′ 19