Luận văn: TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU

Chia sẻ: Greengrass304 Greengrass304 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

108
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn nghiên cứu một phương pháp giải ổn định bất đẳng thức biến phân đơn điệu trên cơ sở xây dựng nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều cho bất đẳng thức biến phân. Nghiên cứu sự hội tụ và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh với toán tử ngược đơn điệu mạnh trong không gian Banach phản xạ thực dựa trên việc chọn tham số hiệu chỉnh tiên nghiệm. Các kết quả được trình bày trong luận văn đều có các ví dụ số minh họa được lập trình bằng ngôn ngữ MATLAB....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ THU THỦY TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ THU THỦY TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60. 46. 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN - 2009
none 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn1
Môc lôc Më ®Çu 4 Ch¬ng 1. BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu vµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh 8 1.1. Mét sè kiÕn thøc bæ trî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 ................... 8 1.1.1. Kh«ng gian Banach ............. 10 1.1.2. PhiÕm hµm låi nöa liªn tôc díi ..................... 14 1.1.3. To¸n tö ®¬n ®iÖu 1.2. Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ......... 17 1.2.1. Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh ............ 18 1.2.2. VÝ dô vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh 1.3. BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ................... 20 ................ 20 1.3.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n vµ vÝ dô ...... 24 1.3.2. Sù tån t¹i nghiÖm vµ tÝnh chÊt cña tËp nghiÖm Ch¬ng 2. NghiÖm hiÖu chØnh cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu 27 2.1. NghiÖm hiÖu chØnh ...................... 27 .................... 27 2.1.1. Bµi to¸n hiÖu chØnh 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn2
............. 28 2.1.2. Sù héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh .......... 31 2.1.3. Tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh 2.2. XÊp xØ h÷u h¹n chiÒu nghiÖm hiÖu chØnh .......... 34 ................... 34 2.2.1. XÊp xØ h÷u h¹n chiÒu ...................... 37 2.2.2. Tèc ®é héi tô 2.3. KÕt qu¶ tÝnh to¸n thö nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 KÕt luËn 43 Tµi liÖu tham kh¶o 44 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn3
Më ®Çu X∗ X Cho lµ mét kh«ng gian Banach ph¶n x¹ thùc, lµ kh«ng gian liªn A : X → X∗ X, . hîp cña c¶ hai cã chuÈn ®Òu ®îc kÝ hiÖu lµ , lµ to¸n X . Víi f ∈ X ∗ , h·y K tö ®¬n ®iÖu ®¬n trÞ vµ lµ mét tËp con låi ®ãng trong x0 ∈ K t×m sao cho A(x0 ) − f, x − x0 ≥ 0 ∀x ∈ K, (0.1) x∗ , x x∗ ∈ X ∗ ë ®©y kÝ hiÖu gi¸ trÞ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc t¹i x ∈ X. Bµi to¸n ®îc gäi lµ bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (variational K≡X inequality). NÕu th× bµi to¸n (0.1) cã d¹ng ph¬ng tr×nh to¸n tö A(x) = f. (0.2) BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu lµ líp bµi to¸n n¶y sinh ra tõ nhiÒu vÊn ®Ò cña to¸n häc øng dông nh ph¬ng tr×nh vi ph©n, c¸c bµi to¸n vËt lý to¸n, tèi u ho¸. Ngoµi ra nhiÒu vÊn ®Ò thùc tÕ nh c¸c bµi to¸n c©n b»ng m¹ng giao th«ng ®« thÞ, c¸c m« h×nh c©n b»ng kinh tÕ.... ®Òu cã thÓ m« t¶ ®îc díi d¹ng cña mét bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu. RÊt tiÕc lµ bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu, nãi chung, l¹i lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. Do tÝnh kh«ng æn ®Þnh cña bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh nªn viÖc gi¶i sè cña nã gÆp khã kh¨n. Lý do lµ mét sai sè nhá trong d÷ kiÖn cña bµi to¸n cã thÓ dÉn ®Õn mét sai sè bÊt kú trong lêi gi¶i. V× thÕ n¶y sinh vÊn ®Ò t×m c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i æn ®Þnh cho c¸c bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh, sao cho khi sai sè cña d÷ kiÖn ®Çu vµo cµng nhá th× nghiÖm xÊp xØ t×m ®îc cµng gÇn víi nghiÖm ®óng cña bµi to¸n ban ®Çu. 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn4
N¨m 1963, A. N. Tikhonov ®a ra ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh næi tiÕng vµ kÓ tõ ®ã lý thuyÕt c¸c bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh ®îc ph¸t triÓn hÕt søc s«i ®éng vµ cã mÆt ë hÇu hÕt c¸c bµi to¸n thùc tÕ. Môc ®Ých cña ®Ò tµi luËn v¨n nh»m nghiªn cøu mét ph¬ng ph¸p gi¶i æn ®Þnh bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu trªn c¬ së x©y dùng nghiÖm hiÖu chØnh h÷u h¹n chiÒu cho bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n . Nghiªn cøu sù héi tô vµ ®¸nh gi¸ tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh víi to¸n tö ngîc ®¬n ®iÖu m¹nh trong kh«ng gian Banach ph¶n x¹ thùc dùa trªn viÖc chän tham sè hiÖu chØnh tiªn nghiÖm. Néi dung cña luËn v¨n ®îc tr×nh bµy trong hai ch¬ng. Ch¬ng 1 tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n nhÊt vÒ to¸n tö ®¬n ®iÖu, bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh vµ bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n. Trong ch¬ng 2 sÏ tr×nh bµy ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh Tikhonov cho bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu. KÕt qu¶ chÝnh cña ch¬ng nµy lµ ®¸nh gi¸ tèc ®é héi tô cña ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh víi tham sè hiÖu chØnh ®îc chän tiªn nghiÖm. §ång thêi x©y dùng nghiÖm hiÖu chØnh h÷u h¹n chiÒu vµ ®¸nh ë phÇn cuèi cña ch¬ng lµ kÕt gi¸ tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh nµy. qu¶ sè cã tÝnh chÊt minh ho¹ cho ph¬ng ph¸p nghiªn cøu, ch¬ng tr×nh thùc nghiÖm ®îc viÕt b»ng ng«n ng÷ MATLAB. KÕt qu¶ vÒ sù héi tô vµ tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh h÷u h¹n chiÒu cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (0.1) ®îc ®¨ng t¶i trªn T¹p chÝ Khoa häc vµ C«ng nghÖ §¹i häc Th¸i Nguyªn, sè 5 n¨m 2009. Em mong muèn bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi c« gi¸o TiÕn sÜ NguyÔn ThÞ Thu Thuû, c« ®· rÊt tËn t×nh híng dÉn, chØ b¶o em trong suèt thêi gian 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn5
em thùc hiÖn khãa luËn vµ trùc tiÕp híng dÉn em hoµn thµnh khãa luËn nµy. Em xin göi lêi c¶m ¬n ch©n thµnh tíi c¸c gi¸o s , tiÕn sÜ ë ViÖn To¸n häc , ViÖn C«ng nghÖ th«ng tin thuéc ViÖn Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt nam, c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o trong Trêng §¹i häc Khoa häc nãi chung vµ Khoa To¸n-Tin nãi riªng ®· hÕt lßng gi¶ng d¹y, truyÒn ®¹t cho em nhiÒu kiÕn thøc khoa häc trong suèt thêi gian em häc tËp t¹i Trêng. Cuèi cïng, t«i xin göi lêi c¶m ¬n tíi nh÷ng ngêi th©n, nh÷ng ngêi b¹n cña t«i ®· ®éng viªn vµ cæ vò t«i rÊt nhiÒu trong suèt thêi gian võa qua. Do ®iÒu kiÖn, thêi gian vµ tr×nh ®é cã h¹n nªn khãa luËn nµy kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. T«i rÊt mong nhËn ®îc nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp quý b¸u cña c¸c quý thÇy c« vµ toµn thÓ c¸c b¹n. Th¸i Nguyªn, th¸ng 10 n¨m 2009 L¬ng ThÞ Thu Thuû 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn6
Mét sè ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t H kh«ng gian Hilbert thùc X kh«ng gian Banach thùc X∗ X kh«ng gian liªn hîp cña Rn n chiÒu kh«ng gian Euclide ∅ tËp rçng x := y x ®îc ®Þnh nghÜa b»ng y ∀x x víi mäi ∃x x tån t¹i {F (x) : x ∈ X } inf F (x) infimum cña tËp x∈X I ¸nh x¹ ®¬n vÞ AT A ma trËn chuyÓn vÞ cña ma trËn a∼b a t¬ng ®¬ng víi b A∗ A to¸n tö liªn hîp cña to¸n tö D(A) A miÒn x¸c ®Þnh cña to¸n tö R(A) A miÒn gi¸ trÞ cña to¸n tö xk → x {xk } héi tô m¹nh tíi x d·y xk {xk } héi tô yÕu tíi x x d·y 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn7
Ch¬ng 1 BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu vµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh 1.1. Mét sè kiÕn thøc bæ trî Trong môc nµy chóng t«i tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n cña gi¶i tÝch hµm vµ gi¶i tÝch hµm phi tuyÕn cã liªn quan ®Õn néi dung nghiªn cøu cña ®Ò tµi. C¸c kiÕn thøc nµy ®îc tham kh¶o trong c¸c tµi liÖu [1], [2], [3], [4], [5] vµ [8]. 1.1.1. Kh«ng gian Banach Kh«ng gian Banach lµ mét kh«ng gian ®Þnh chuÈn ®Çy §Þnh nghÜa 1.1.1. ®ñ. Lp [a, b], 1 ≤ p < ∞ Kh«ng gian víi c¸c phÇn tö lµ c¸c hµm VÝ dô 1.1.1. b |x(t)|p dt < ∞, lµ mét x(t) x¸c ®Þnh vµ p-kh¶ tÝch trªn ®o¹n [a, b] sao cho a kh«ng gian Banach víi chuÈn 1/p b p |x(t)| dt x= . a X∗ X X. Cho lµ kh«ng gian Banach thùc, lµ kh«ng gian liªn hîp cña X∗ X Kh«ng gian liªn hîp cña ®îc gäi lµ kh«ng gian liªn hîp thø hai cña X ∗∗ , tøc lµ X ∗∗ L( X ∗ , R). vµ kÝ hiÖu lµ = 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn8
X Kh«ng gian ®Þnh chuÈn gäi lµ kh«ng gian ph¶n x¹ nÕu §Þnh nghÜa 1.1.2. X = X ∗∗ . Lp [0, 1], p > 1 lµ mét kh«ng gian ph¶n x¹. Mäi kh«ng gian VÝ dô 1.1.2. ®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu ®Òu ph¶n x¹. M ⊂X TËp ®îc gäi lµ §Þnh nghÜa 1.1.3. ∀x, y ∈ M, ∀λ ∈ [0, 1] ta cã λx + (1 − λ)y ∈ M ; 1) låi nÕu {x n } ⊂ M x nk 2) compact nÕu mäi d·y ®Òu chøa d·y con héi tô ®Õn x0 ∈ M ; mét phÇn tö {xn } ⊂ M x nk 3) compact yÕu nÕu mäi d·y ®Òu chøa mét d·y con héi x0 ∈ M ; tô yÕu ®Õn mét phÇn tö {xn } ⊂ M , xn → x (xn x) th× x ∈ M. 4) ®ãng (®ãng yÕu) nÕu xn X D·y c¸c phÇn tö trong kh«ng gian Banach ®îc §Þnh nghÜa 1.1.4. n → ∞ nÕu xn − x0 −→ 0. D·y x0 gäi lµ héi tô m¹nh ®Õn phÇn tö khi f ∈ X∗ xn x0 c¸c phÇn tö ®îc gäi lµ héi tô yÕu ®Õn phÇn tö nÕu víi mäi f (xn ) → f (x0 ) , khi n → ∞. ta cã → Ta sÏ sö dông kÝ hiÖu ®Ó chØ sù héi tô m¹nh vµ ®Ó chØ sù héi tô yÕu. Víi ®Þnh nghÜa nh trªn ta cã (xem [2]): {xn } suy ra sù héi tô yÕu cña d·y ®ã. 1) Tõ sù héi tô m¹nh cña d·y 2) Giíi h¹n yÕu cña mét d·y nÕu cã lµ duy nhÊt. 3) Mäi d·y héi tô yÕu ®Òu giíi néi. x khi vµ chØ khi d·y { f, xn } X lµ kh«ng gian ph¶n x¹ th× xn 4) NÕu R víi mäi f ∈ X ∗ . héi tô trong x0 ≤ limn→∞ xn xn x0 5) NÕu th× . 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn9
NhËn xÐt: Mét sè trêng hîp tõ héi tô yÕu cã thÓ suy ra héi tô m¹nh lµ: X 1) lµ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu. {xn } ⊂ M , ë ®©y M X. 2) lµ mét tËp compact trong fn ∈ X ∗ X (Banach-Steinhaus) Cho lµ kh«ng gian Banach, §Þnh lý 1.1.1. { fn , x } x ∈ X. {fn } vµ gi¶ sö d·y bÞ chÆn víi mäi Khi ®ã d·y bÞ chÆn X ∗. trong {fn } ⊂ X ∗ f ∈ X∗ {x n } ⊂ X Gi¶ sö héi tô m¹nh ®Õn vµ §Þnh lý 1.1.2. {fn } ⊂ X ∗ héi tô yÕu ®Õn f ∈ X ∗ vµ {xn } ⊂ X x∈X héi tô yÕu ®Õn hoÆc x ∈ X. Khi ®ã lim fn , xn = f , x . héi tô m¹nh tíi n→∞ X X Cho lµ kh«ng gian Banach ph¶n x¹ thùc, ®îc gäi §Þnh nghÜa 1.1.5. lµ kh«ng gian cã tÝnh chÊt Ephimov-Stechkin (hay tÝnh chÊt E-S) nÕu trong xn → x X xn x sù héi tô yÕu c¸c phÇn tö vµ sù héi tô chuÈn xn − x → 0 lu«n kÐo theo sù héi tô m¹nh . 1.1.2. PhiÕm hµm låi nöa liªn tôc díi A:X→Y X, Y Cho lµ c¸c kh«ng gian Banach, to¸n tö lµ mét to¸n A lµ D(A) víi tö ®¬n trÞ. Chóng ta kÝ hiÖu miÒn x¸c ®Þnh cña D(A) = domA = {x ∈ X |Ax = ∅} vµ miÒn gi¸ trÞ lµ R(A) = {f ∈ Y |f ∈ Ax, x ∈ D(A)}. A gäi lµ tuyÕn tÝnh nÕu To¸n tö §Þnh nghÜa 1.1.6. x1 , x 2 ∈ X ; A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 1) víi mäi 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn10
A(αx) = αAx víi mäi x ∈ X , ∀α ∈ R. 2) Y ≡R f NÕu th× ta cã phiÕm hµm tuyÕn tÝnh víi miÒn x¸c ®Þnh cña hµm f lµ domf = {x ∈ X |f (x) = ∅}. A ®îc gäi lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc nÕu To¸n tö §Þnh nghÜa 1.1.7. nã lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh, ®ång thêi lµ to¸n tö liªn tôc gi÷a hai kh«ng gian X Y. vµ X = Rk , Y = Rm , to¸n tö A ®îc x¸c ®Þnh bëi Cho VÝ dô 1.1.3. A(x1 , x2 , ..., xk ) = (y1 , y2 , ..., ym ) víi k yi = aij xj , i = 1, . . . , m (1.1) j =1 aij (aij )k×m trong ®ã lµ c¸c h»ng sè. Ma trËn gäi lµ ma trËn cña to¸n A tö tuyÕn tÝnh vµ (1.1) lµ d¹ng tæng qu¸t cña mäi to¸n tö tuyÕn tÝnh tõ Rk Rm . Mét to¸n tö tuyÕn tÝnh tõ Rk Rm vµo vµo bao giê còng liªn tôc. A:X→Y To¸n tö tuyÕn tÝnh ®îc gäi lµ bÞ chÆn §Þnh nghÜa 1.1.8. K > 0 tháa m·n: (giíi néi) nÕu tån t¹i sè ∀x ∈ X. Ax K. x X, Y A : L2 [a, b] → L2 [a, b] lµ mét to¸n tö x¸c ®Þnh bëi Cho VÝ dô 1.1.4. b (Aϕ)(x) = K (x, s)ϕ(s)ds, a 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn11
K (x, s) lµ mét hµm hai biÕn cã b×nh ph¬ng kh¶ tÝch, nghÜa lµ trong ®ã b b K 2 (x, s)dxds = N 2 < ∞. a a A lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc. To¸n tö nµy gäi lµ to¸n tö tÝch Khi ®ã, K (x, s). ph©n Fredholm sinh bëi h¹ch A:X→Y Cho lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc. Khi §Þnh nghÜa 1.1.9. ®ã sè inf {K, K > 0 : Ax K. x , ∀x ∈ X } A, kÝ hiÖu lµ A ®îc gäi lµ chuÈn cña to¸n tö . NhËn xÐt: Rn 1) Ba chuÈn thêng dïng trong lµ: n n 1/2 2 |xi |, x |xi | = max |xi |, x = = ,x ∞ 1 2 1≤i≤n i=1 i=1 x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ Rn . ë ®©y Rn , khi cã mét c¬ së cè ®Þnh, to¸n 2) Trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu A ®îc cho bëi ma trËn (aij )n =1 tö tuyÕn tÝnh th× ba chuÈn t¬ng øng cña i,j A lµ: ma trËn n n 1 T |aij |, A = { max λi (A A)} , A |aij |, A = max = max 2 ∞ 1 2 1≤j ≤n 1≤i≤n 1≤i≤n i=1 j =1 λi (AT A) lµ c¸c gi¸ trÞ riªng cña ma trËn ®èi xøng AT A. trong ®ã r:X→Y X vµo kh«ng gian Banach Víi to¸n tö tõ kh«ng gian Banach x → θX , r(x)/ x → 0 x → θX . Y, r(x) = o( x ) ta sÏ viÕt víi nÕu khi L(X, Y ) lµ tËp tÊt c¶ c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc T : X → Y . KÝ hiÖu 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn12
A:X→Y Cho lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian Banach §Þnh nghÜa 1.1.10. X Y . To¸n tö A ®îc gäi lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i ®iÓm vµo kh«ng gian Banach x ∈ X , nÕu tån t¹i T ∈ L(X, Y ) sao cho A(x + h) = A(x) + T h + o( h ), h thuéc mét l©n cËn cña ®iÓm θ. NÕu tån t¹i th× T víi mäi ®îc gäi lµ ®¹o A t¹i x, vµ ta viÕt A (x) = T . hµm FrÐchet cña f : X → R ∪ {+∞} X Hµm ®îc gäi lµ låi trªn nÕu §Þnh nghÜa 1.1.11. x, y ∈ X víi mäi ta cã f (tx + (1 − t)y ) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y ), ∀t ∈ [0, 1]. f X Hµm låi ngÆt trªn nÕu bÊt ®¼ng thøc trªn kh«ng x¶y ra dÊu b»ng víi x = y. f :X→R X Hµm ®îc gäi lµ nöa liªn tôc díi trªn §Þnh nghÜa 1.1.12. {xn } : xn → x th× nÕu víi mäi d·y lim inf f (xn ) ≥ f (x), ∀x ∈ X. n→∞ f : X → R ®îc gäi lµ nöa liªn tôc díi yÕu trªn Hµm §Þnh nghÜa 1.1.13. {xn } : xn X x th× nÕu víi mäi d·y lim inf f (xn ) ≥ f (x), ∀x ∈ X. n→∞ f : X → R ®îc gäi lµ Hµm §Þnh nghÜa 1.1.14. domf = ∅ vµ f (x) > −∞, ∀x ∈ X ; 1) chÝnh thêng nÕu |f (x)| < ∞, ∀x ∈ X. 2) h÷u h¹n nÕu 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn13
x∈X f Hµm ®îc gäi lµ kh¶ vi G©teaux t¹i ®iÓm nÕu §Þnh nghÜa 1.1.15. x∗ ∈ X ∗ tån t¹i sao cho f (x + λy ) − f (x) = x∗ , y , ∀y ∈ X. lim λ λ→+0 x∗ f x, kÝ hiÖu lµ f (x). vµ ®îc gäi lµ ®¹o hµm G©teaux cña t¹i X Kh«ng gian ®Þnh chuÈn ®îc gäi lµ låi chÆt nÕu mÆt §Þnh nghÜa 1.1.16. S = {∀x ∈ X : x = 1} x, y ∈ S X cÇu ®¬n vÞ cña lµ låi chÆt, tøc lµ tõ x+y < 2 S kÐo theo (nãi c¸ch kh¸c biªn cña kh«ng chøa bÊt k× mét ®o¹n th¼ng nµo). Lp [a, b], 1 < p < ∞ lµ kh«ng gian låi chÆt. Kh«ng gian VÝ dô 1.1.5. 1.1.3. To¸n tö ®¬n ®iÖu A : X → X ∗ lµ to¸n tö ®¬n trÞ tõ kh«ng gian Banach ph¶n x¹ thùc Cho X ∗ víi miÒn x¸c ®Þnh lµ D(A) ⊆ X D(A) ≡ X X vµo (th«ng thêng ta coi R(A) n»m trong X ∗ . nÕu kh«ng nãi g× thªm) vµ miÒn gi¸ trÞ (miÒn ¶nh) A ®îc gäi lµ ®¬n ®iÖu nÕu To¸n tö §Þnh nghÜa 1.1.17. A(x) − A(y ), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A). A ®îc gäi lµ ®¬n ®iÖu chÆt nÕu dÊu b»ng chØ ®¹t ®îc khi x = y . ∀x ∈ X Ax, x ≥ 0 th× A ®îc gäi lµ to¸n NÕu ta cã §Þnh nghÜa 1.1.18. A ≥ 0. tö x¸c ®Þnh kh«ng ©m, kÝ hiÖu lµ A X NhËn xÐt: NÕu lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian Banach th× tÝnh ®¬n ®iÖu t¬ng ®¬ng víi tÝnh x¸c ®Þnh kh«ng ©m cña to¸n tö. 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn14
A ®îc gäi lµ ®¬n ®iÖu ®Òu nÕu tån t¹i mét hµm To¸n tö §Þnh nghÜa 1.1.19. δ (t), kh«ng gi¶m víi t ≥ 0, δ (0) = 0 vµ kh«ng ©m A(x) − A(y ), x − y ≥ δ ( x − y ), ∀x, y ∈ D(A). δ (t) = cA t2 cA A ®îc gäi lµ ®¬n NÕu víi lµ mét h»ng sè d¬ng th× to¸n tö ®iÖu m¹nh. To¸n tö A ®îc gäi lµ h-liªn tôc trªn X nÕu A(x+ty ) §Þnh nghÜa 1.1.20. Ax khi t → 0 víi ∀x, y ∈ X vµ d-liªn tôc nÕu xn → x th× suy ra Axn Ax. A h-liªn A d-liªn Chó ý r»ng nÕu lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu vµ tôc th× lµ to¸n tö tôc. A ®îc gäi lµ to¸n tö bøc, nÕu To¸n tö §Þnh nghÜa 1.1.21. A(x), x = +∞. lim x x →+∞ ¸nh x¹ U s : X → X ∗ (nãi chung ®a trÞ) x¸c ®Þnh bëi §Þnh nghÜa 1.1.22. U s (x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = x∗ s−1 . x = x s }, s ≥ 2 X. ®îc gäi lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu tæng qu¸t cña kh«ng gian Us s=2 U Khi th× thêng ®îc viÕt lµ vµ ®îc gäi lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu X. chuÈn t¾c cña TÝnh ®¬n trÞ cña ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c ®îc cho trong mÖnh ®Ò sau. X (xem [5]) Gi¶ sö lµ mét kh«ng gian Banach. Khi ®ã, MÖnh ®Ò 1.1.1. U (x) lµ tËp låi, U (λx) = λU (x) víi mäi λ ∈ R; 1) X∗ U 2) lµ ¸nh x¹ ®¬n trÞ khi vµ chØ khi lµ kh«ng gian låi chÆt. 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn15
NhËn xÐt: H, 1) Trong kh«ng gian Hilbert ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c chÝnh lµ I H. to¸n tö ®¬n vÞ trong ¸nh x¹ ®èi ngÉu lµ mét trong nh÷ng vÝ dô vÒ to¸n tö ®¬n ®iÖu, nã 2) tån t¹i trong mäi kh«ng gian Banach. X = Lp (Ω), 1 < p < ∞ Ω Víi vµ lµ mét tËp ®o ®îc cña kh«ng Rn U gian th× ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c cã d¹ng 2−p |x(t)|p−2 x(t), t ∈ Ω. (U x)(t) = x Us Gi¶ thiÕt r»ng ¸nh x¹ ®èi ngÉu tháa m·n U s (x) − U s (y ), x − y ≥ mU x − y s , mU > 0, (1.2) U s (x) − U s (y ) ≤ C (R) x − y ν , 0 < ν ≤ 1, (1.3) C (R) lµ mét hµm d¬ng vµ ®¬n ®iÖu t¨ng theo R = max{ x , y } ë ®©y X lµ kh«ng gian Hilbert H th× mU = 1, ν = 1 (xem [1] vµ tµi liÖu dÉn). NÕu C (R) = 1. vµ X∗ (xem [5]) NÕu lµ kh«ng gian Banach låi chÆt th× ¸nh x¹ §Þnh lý 1.1.3. U : X → X∗ d-liªn ®èi ngÉu chuÈn t¾c lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu, bøc vµ tôc. X U H¬n n÷a, nÕu lµ kh«ng gian Banach låi chÆt th× lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu chÆt. f :X→R X Cho lµ kh«ng gian Banach ph¶n x¹, lµ §Þnh nghÜa 1.1.23. X . Ta ®Þnh nghÜa ∂f (x) bëi mét phiÕm hµm låi, chÝnh thêng trªn ∂f (x) = {x∗ ∈ X ∗ : f (x) ≤ f (y ) + x∗ , x − y , ∀y ∈ X }. x∗ ∈ X ∗ f x vµ ∂f (x) ®îc PhÇn tö ®îc gäi lµ díi Gradient cña hµm t¹i f x. gäi lµ díi vi ph©n cña t¹i 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn16
NhËn xÐt: X ∗. ∂f (x) lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu (nãi chung ®a trÞ) tõ X 1) vµo ∂f (x) lµ mét tËp låi ®ãng. 2) 1.2. Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh 1.2.1. Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh XÐt mét bµi to¸n ë d¹ng ph¬ng tr×nh to¸n tö A(x) = f, (1.4) A:X→Y X ë ®©y lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian Banach vµo kh«ng Y, f Y. gian Banach lµ phÇn tö thuéc Sau ®©y lµ mét ®Þnh nghÜa cña J. Hadamard: A X Cho lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian vµo kh«ng gian §Þnh nghÜa 1.2.1. Y . Bµi to¸n (1.4) ®îc gäi lµ bµi to¸n ®Æt chØnh nÕu f ∈Y; A(x) = f 1) ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi 2) nghiÖm duy nhÊt vµ; 3) nghiÖm phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu. NÕu Ýt nhÊt mét trong ba ®iÒu kiÖn trªn kh«ng tho¶ m·n th× bµi to¸n (1.4) ®îc gäi lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. NhËn xÐt: x phô thuéc vµo d÷ kiÖn f , nghÜa lµ x = R(f ), 1) Bµi to¸n t×m nghiÖm (X, Y ) nÕu víi mçi ε > 0 cã thÓ t×m ®îc gäi lµ æn ®Þnh trªn cÆp kh«ng gian 17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn17
ρY (f1 , f2 ) ≤ δ (ε) ρX (x1 , x2 ) ≤ ε, δ (ε) > 0, ®îc mét sè sao cho tõ ta cã ë ®©y f1 , f2 ∈ Y, x1 , x2 ∈ X. x1 = R(f1 ), x2 = R(f2 ), 2) Mét bµi to¸n cã thÓ ®Æt chØnh trªn cÆp kh«ng gian nµy nhng l¹i ®Æt kh«ng chØnh trªn cÆp kh«ng gian kh¸c. Trong nhiÒu øng dông th× vÕ ph¶i cña (1.4) thêng ®îc cho bëi ®o f fδ ®¹c, nghÜa lµ thay cho gi¸ trÞ chÝnh x¸c ta chØ biÕt xÊp xØ cña nã tho¶ fδ − f ≤ δ . xδ f fδ m·n Gi¶ sö lµ nghiÖm cña (1.4) víi thay bëi (gi¶ δ→0 fδ → f thiÕt r»ng nghiÖm tån t¹i). Khi th× nhng víi bµi to¸n ®Æt xδ x. kh«ng chØnh th× nãi chung kh«ng héi tô ®Õn 1.2.2. VÝ dô vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh A Sau ®©y ta sÏ chØ ra mét vÝ dô vÒ to¸n tö mµ (1.4) lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. A ®îc gäi lµ liªn tôc m¹nh, nÕu nã To¸n tö (phi tuyÕn) §Þnh nghÜa 1.2.2. xn x suy ra ¸nh x¹ mäi d·y héi tô yÕu thµnh d·y héi tô m¹nh tøc lµ nÕu Axn → Ax. X Y (xem [4]) Cho vµ lµ c¸c kh«ng gian Banach thùc. MÖnh ®Ò 1.2.1. A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh compact th× A liªn tôc m¹nh. NÕu A NÕu lµ to¸n tö liªn tôc m¹nh th× bµi to¸n (1.4) (v« h¹n chiÒu) nãi {xn } lµ mét d·y chØ héi chung lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. ThËt vËy,gi¶ sö x , xn → x x, xn yn = A(xn ), y = A(x). tô yÕu ®Õn vµ Khi ®ã do tÝnh A suy ra yn → y A(x) = f liªn tôc m¹nh cña vµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu. 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn18