Luận văn: PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU NGHIỆM HIỆU CHỈNH VÀ TỐC ĐỘ HỘI TỤ

Chia sẻ: Qsczaxewd Qsczaxewd | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

109
lượt xem 29
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Rất nhiều bài toán của thực tiễn, khoa học, công nghệ dẫn tới bài toán đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa Hadamard, nghĩa là bài toán (khi dữ kiện thay đổi nhỏ) hoặc không tồn tại nghiệm, hoặc nghiệm không duy nhất, hoặc nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Do tính không ổn định này của bài toán đặt không chỉnh nên việc giải số của nó gặp khó khăn. Lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến một sai số bất kỳ trong lời giải. Vì thế nảy sinh vấn đề...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU NGHIỆM HIỆU CHỈNH VÀ TỐC ĐỘ HỘI TỤ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ VÂN PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU NGHIỆM HIỆU CHỈNH VÀ TỐC ĐỘ HỘI TỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ VÂN PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU NGHIỆM HIỆU CHỈNH VÀ TỐC ĐỘ HỘI TỤ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60. 46. 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
non 1
Môc lôc Më ®Çu 5 Ch¬ng 1. Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh vµ ph¬ng tr×nh to¸n tö ®¬n ®iÖu 8 1.1 Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 ......... 8 1.1.1. Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh ........... 9 1.1.2. Mét sè kiÕn thøc cña gi¶i tÝch hµm ............ 13 1.1.3. VÝ dô vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh 1.2 Ph¬ng tr×nh to¸n tö ®¬n ®iÖu ................ 16 ..................... 16 1.2.1. To¸n tö ®¬n ®iÖu ............ 18 1.2.2. Ph¬ng tr×nh víi to¸n tö ®¬n ®iÖu ................. 20 1.2.3. Ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh Ch¬ng 2. NghiÖm hiÖu chØnh vµ tèc ®é héi tô 22 2.1 HiÖu chØnh ph¬ng tr×nh to¸n tö ®¬n ®iÖu .......... 22 ....... 22 2.1.1. HiÖu chØnh trong trêng hîp nhiÔu vÕ ph¶i .......... 26 2.1.2. HiÖu chØnh trong trêng hîp tæng qu¸t 2.2 Tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1. Tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh trong trêng hîp ...................... 28 nhiÔu vÕ ph¶i 2
2.2.2. Tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh trong trêng hîp ........................ 30 tæng qu¸t 2.3 KÕt qu¶ sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 KÕt luËn 36 Tµi liÖu tham kh¶o 37 Phô lôc 38 3
Lêi c¶m ¬n LuËn v¨n nµy ®îc hoµn thµnh t¹i Trêng §¹i Häc Khoa häc, §¹i häc Th¸i Nguyªn díi sù híng dÉn tËn t×nh cña c« gi¸o TiÕn Sü NguyÔn ThÞ Thu Thñy. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi C«. Trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ lµm luËn v¨n, th«ng qua c¸c bµi gi¶ng, t¸c gi¶ lu«n nhËn ®îc sù quan t©m gióp ®ì vµ nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp quý b¸u cña c¸c gi¸o s cña ViÖn To¸n häc, ViÖn C«ng nghÖ Th«ng tin thuéc viÖn Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam, cña c¸c thÇy c« gi¸o trong §¹i häc Th¸i Nguyªn. Tõ ®¸y lßng m×nh, t¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn c¸c ThÇy C«. T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n Ban gi¸m hiÖu, phßng §µo t¹o Khoa häc vµ Quan hÖ Quèc tÕ, Khoa To¸n-Tin Trêng §¹i häc Khoa häc, §¹i häc Th¸i Nguyªn ®· quan t©m vµ gióp ®ì t¸c gi¶ trong suèt thêi gian häc tËp t¹i Trêng. Cuèi cïng, t«i xin göi lêi c¶m ¬n tíi gia ®×nh, b¹n bÌ, ®ång nghiÖp ®· lu«n theo s¸t ®éng viªn t«i vît qua nh÷ng khã kh¨n trong cuéc sèng ®Ó cã ®îc ®iÒu kiÖn tèt nhÊt khi nghiªn cøu. 10 n¨m 2009 Th¸i Nguyªn, th¸ng T¸c gi¶ NguyÔn ThÞ V©n 4
Më ®Çu RÊt nhiÒu bµi to¸n cña thùc tiÔn, khoa häc, c«ng nghÖ dÉn tíi bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh (ill-posed) theo nghÜa Hadamard, nghÜa lµ bµi to¸n (khi d÷ kiÖn thay ®æi nhá) hoÆc kh«ng tån t¹i nghiÖm, hoÆc nghiÖm kh«ng duy nhÊt, hoÆc nghiÖm kh«ng phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu. Do tÝnh kh«ng æn ®Þnh nµy cña bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh nªn viÖc gi¶i sè cña nã gÆp khã kh¨n. Lý do lµ mét sai sè nhá trong d÷ kiÖn cña bµi to¸n cã thÓ dÉn ®Õn mét sai sè bÊt kú trong lêi gi¶i. V× thÕ n¶y sinh vÊn ®Ò t×m c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i æn ®Þnh cho c¸c bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh sao cho khi sai sè cña d÷ kiÖn ®Çu vµo cµng nhá th× nghiÖm xÊp xØ t×m ®îc cµng gÇn tíi nghiÖm ®óng cña bµi to¸n ban ®Çu. Môc ®Ých cña ®Ò tµi nh»m nghiªn cøu ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh cho bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh díi d¹ng ph¬ng tr×nh to¸n tö Ax = f (0.1) A : X −→ X ∗ h-liªn tôc tõ kh«ng trong ®ã lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu ®¬n trÞ X∗ X X. gian Banach ph¶n x¹ vµo kh«ng gian liªn hîp cña Ngoµi phÇn më ®Çu, kÕt luËn vµ danh môc c¸c tµi liÖu tham kh¶o, néi dung cña ®Ò tµi ®îc tr×nh bµy trong hai ch¬ng. Ch¬ng 1 giíi thiÖu mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n nhÊt vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh, ph¬ng tr×nh to¸n tö ®¬n ®iÖu, c¸c ®Þnh nghÜa, ®Þnh lý vµ c¸c bæ ®Ò quan träng cña gi¶i tÝch hµm cã liªn quan ®Õn néi dung nghiªn cøu cña ®Ò tµi. §ång thêi còng tr×nh bµy kh¸i niÖm vÒ to¸n tö hiÖu chØnh vµ ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh trong trêng hîp tæng qu¸t. Trong ch¬ng 2 sÏ nghiªn cøu sù héi tô vµ tèc ®é héi tô cña nghiÖm 5
hiÖu chØnh cho ph¬ng tr×nh to¸n tö ®Æt kh«ng chØnh (0.1) trong hai trêng ë phÇn cuèi cña f A f. hîp: nhiÔu vÕ ph¶i vµ nhiÔu c¶ to¸n tö vµ vÕ ph¶i ch¬ng lµ hai vÝ dô vµ kÕt qu¶ sè gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh vµ ph¬ng tr×nh tÝch ph©n Fredholm lo¹i I. 6
Mét sè ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t X kh«ng gian Banach thùc X∗ X kh«ng gian liªn hîp cña Rn n chiÒu kh«ng gian Euclide ∅ tËp rçng x := y x ®îc ®Þnh nghÜa b»ng y ∀x x víi mäi ∃x x tån t¹i I ¸nh x¹ ®¬n vÞ AT A ma trËn chuyÓn vÞ cña ma trËn a∼b a t¬ng ®¬ng víi b A∗ A to¸n tö liªn hîp cña to¸n tö D(A) A miÒn x¸c ®Þnh cña to¸n tö R(A) A miÒn gi¸ trÞ cña to¸n tö xk → x {xk } héi tô m¹nh tíi x d·y xk {xk } héi tô yÕu tíi x x d·y 7
Ch¬ng 1 Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh vµ ph¬ng tr×nh to¸n tö ®¬n ®iÖu 1.1 Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh 1.1.1. Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh Chóng t«i tr×nh bµy kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh trªn c¬ së xÐt mét bµi to¸n ë d¹ng ph¬ng tr×nh to¸n tö A(x) = f, (1.1) A:X→Y X ë ®©y lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian Banach vµo kh«ng gian Y,f Y . Sau ®©y lµ mét ®Þnh nghÜa cña Hadamard Banach lµ phÇn tö thuéc (xem [1] vµ tµi liÖu dÉn): A X Cho lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian vµo kh«ng gian §Þnh nghÜa 1.1.1. Y . Bµi to¸n (1.1) ®îc gäi lµ bµi to¸n ®Æt chØnh (well-posed) nÕu f ∈Y; A(x) = f 1) ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi 2) nghiÖm nµy duy nhÊt; 3) vµ nghiÖm phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu. NÕu Ýt nhÊt mét trong c¸c ®iÒu kiÖn trªn kh«ng tho¶ m·n th× bµi to¸n (1.1) ®îc gäi lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh (ill-posed). §èi víi c¸c bµi to¸n phi tuyÕn th× ®iÒu kiÖn thø hai hÇu nh kh«ng tho¶ m·n. Do vËy hÇu hÕt 8
c¸c bµi to¸n phi tuyÕn ®Òu lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. H¬n n÷a ®iÒu kiÖn cuèi cïng còng khã thùc hiÖn ®îc, v× vËy ta cã ®Þnh nghÜa sau ®©y. A X Cho lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian vµo kh«ng gian §Þnh nghÜa 1.1.2. Y. Bµi to¸n (1.1) ®îc gäi lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh nÕu nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1.1) kh«ng phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu. x phô thuéc vµo d÷ kiÖn f , nghÜa lµ x = Chó ý 1.1.1. Bµi to¸n t×m nghiÖm R(f ), (X, Y ) ε>0 ®îc gäi lµ æn ®Þnh trªn cÆp kh«ng gian nÕu víi mçi δ (ε) > 0 sao cho tõ ρY (f1 , f2 ) ≤ δ (ε) cho ta ρX (x1 , x2 ) ≤ ε, tån t¹i mét sè ë ®©y xi = R(fi ), xi ∈ X, fi ∈ Y, i = 1, 2. Chó ý 1.1.2. Mét bµi to¸n cã thÓ ®Æt chØnh trªn cÆp kh«ng gian nµy nhng l¹i ®Æt kh«ng chØnh trªn cÆp kh«ng gian kh¸c. Trong nhiÒu øng dông th× vÕ ph¶i cña (1.1) thêng ®îc cho bëi ®o f , ta chØ biÕt xÊp xØ fδ ®¹c, nghÜa lµ thay cho gi¸ trÞ chÝnh x¸c cña nã tho¶ fδ − f ≤ δ . xδ f fδ m·n Gi¶ sö lµ nghiÖm cña (1.1) víi thay bëi (gi¶ δ→0 fδ → f thiÕt r»ng nghiÖm tån t¹i). Khi th× nhng víi bµi to¸n ®Æt xδ x. kh«ng chØnh th× nãi chung kh«ng héi tô ®Õn 1.1.2. Mét sè kiÕn thøc cña gi¶i tÝch hµm Tríc khi tr×nh bµy mét sè vÝ dô vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh, trong môc nµy chóng t«i nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n cña gi¶i tÝch hµm cã liªn quan ®Õn néi dung nghiªn cøu cña ®Ò tµi. C¸c kh¸i niÖm nµy ®îc tham kh¶o trong c¸c tµi liÖu [1], [2], [3] vµ [7]. • Kh«ng gian Banach: 9
X Kh«ng gian ®Þnh chuÈn lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh trong ®ã øng víi x∈X x x, tháa m·n c¸c ®iÒu mçi phÇn tö ta cã mét sè gäi lµ chuÈn cña kiÖn sau: x > 0, ∀x = 0, x = 0 ⇔ x = 0; 1) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X ; (BÊt ®¼ng thøc tam gi¸c) 2) αx = |α|. x , ∀x ∈ X, α ∈ R. 3) Kh«ng gian ®Þnh chuÈn ®Çy ®ñ gäi lµ kh«ng gian Banach. Lp [a, b] víi 1 ≤ p < ∞ lµ kh«ng gian Banach víi Kh«ng gian VÝ dô 1.1.1. chuÈn b 1 p p ϕ ∈ Lp [a, b]. |ϕ(x)| dx ϕ= , a • Sù héi tô trong kh«ng gian Banach: xn X D·y c¸c phÇn tö trong kh«ng gian Banach ®îc gäi lµ héi tô ®Õn x0 ∈ X n → ∞, xn − x0 → 0 n → ∞, phÇn tö khi nÕu khi ký hiÖu lµ xn → x0 . Sù héi tô theo chuÈn ®îc gäi lµ héi tô m¹nh. {xn } ⊂ X x0 ∈ X , ký hiÖu lµ xn x0 , D·y ®îc gäi lµ héi tô yÕu ®Õn ∀f ∈ X ∗ -kh«ng f (xn ) → f (x0 ), X, nÕu víi gian liªn hîp cña ta cã khi n → ∞. Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta cã tÝnh chÊt sau: TÝnh chÊt 1.1.1. {xn } suy ra sù héi tô yÕu cña d·y ®ã. i) Tõ sù héi tô m¹nh cña mét d·y ii) Giíi h¹n yÕu cña mét d·y nÕu cã lµ duy nhÊt. xn < ∞ vµ x ≤ limn→∞ xn . xn x th× sup iii) NÕu 1≤n
X i) lµ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu. {xn } ⊂ M M X. ii) víi lµ mét tËp compact trong • Kh«ng gian ph¶n x¹: R, X ∗ X Gi¶ sö lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn trªn lµ kh«ng gian liªn hîp X ∗∗ = L(X ∗ , R) X X. cña vµ gäi lµ kh«ng gian liªn hîp thø hai cña Ta x∗∗ x∈X cho t¬ng øng víi mçi mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn X ∗∗ nhê hÖ thøc x∗∗ , f = f , x , ∀f ∈ X ∗∗ , f ∈ X∗ f, x ë ®©y lµ kÝ hiÖu gi¸ trÞ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc t¹i x ∈ X . Ta cã x = x∗∗ . §Æt h(x) = x∗∗ , nÕu h : X → X ∗∗ lµ toµn ¸nh X th× kh«ng gian ®îc gäi lµ kh«ng gian ph¶n x¹. Lp [0, 1], p > 1 lµ kh«ng gian ph¶n x¹. Mäi kh«ng Kh«ng gian VÝ dô 1.1.2. gian ®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu ®Òu ph¶n x¹. X (xem [2]) NÕu lµ kh«ng gian Banach th× c¸c kh¼ng ®Þnh §Þnh lý 1.1.1. sau lµ t¬ng ®¬ng: X 1) ph¶n x¹; ∀ {xn } ⊂ X : xn ≤ 2) Mäi d·y giíi néi lµ compact yÕu, nghÜa lµ K ⇒ ∃ {xnk }, xnk x ∈ X; X 3) H×nh cÇu ®¬n vÞ ®ãng trong lµ compact yÕu; X 4) Mçi tËp bÞ chÆn ®ãng yÕu trong lµ compact yÕu; X 5) Mçi tËp låi ®ãng bÞ chÆn trong lµ compact yÕu. • §¹o hµm FrÐchet: r : X → Y, r(x) = o( x ), x → 0 Víi ¸nh x¹ ta sÏ viÕt lµ nÕu r(x)/ x → 0 khi x → 0. Gi¶ sö A : X → Y lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian 11
X Y . To¸n tö A ®îc gäi lµ kh¶ vi FrÐchet Banach vµo kh«ng gian Banach x∈X T :X→Y t¹i nÕu tån t¹i mét to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc sao cho h→0 A(x + h) = A(x) + T h + o( h ), h thuéc T víi mäi l©n cËn cña ®iÓm kh«ng. NÕu tån t¹i th× nã ®îc gäi lµ A t¹i x vµ kÝ hiÖu lµ ®¹o hµm FrÐchet cña A (x) = T. • Kh«ng gian Hilbert: X Cho lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn R. Mét tÝch v« híng trong ., . : X × X → R tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: X lµ mét ¸nh x¹ x, x > 0, ∀x = 0; x, x = 0 ⇔ x = 0; i) x, y = y , x , ∀x, y ∈ X ; ii) αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R; iii) x + y, z = x, z + y , z , ∀x, y, z ∈ X . iv) X cïng víi tÝch v« híng ., . Kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®îc gäi lµ kh«ng gian tiÒn Hilbert. Kh«ng gian tiÒn Hilbert ®Çy ®ñ ®îc gäi lµ kh«ng gian Hilbert. Rn , L2 [a, b] lµ c¸c kh«ng gian Hilbert víi tÝch C¸c kh«ng gian VÝ dô 1.1.3. v« híng ®îc x¸c ®Þnh t¬ng øng lµ n ξi ηi , x = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ), y = (η1 , η2 , ..., ηn ) ∈ Rn x, y = i=1 b ϕ(x)ψ (x)dx, ϕ, ψ ∈ L2 [a, b]. ϕ, ψ = a • Kh«ng gian låi chÆt: X S= Kh«ng gian Banach ®îc gäi lµ låi chÆt nÕu mÆt cÇu ®¬n vÞ 12
S (X ) = {x ∈ X : x = 1} cña X x, y ∈ S lµ låi chÆt, tøc lµ tõ kÐo theo x + y < 2. Do ®ã mäi mÆt cÇu kh¸c còng låi chÆt. Lp [a, b] lµ kh«ng gian låi chÆt. Kh«ng gian VÝ dô 1.1.4. • Kh«ng gian E-S (Ephimov Stechkin): X Kh«ng gian Banach ®îc gäi lµ kh«ng gian Ephimov Stechkin (hay X X kh«ng gian cã tÝnh chÊt E-S) nÕu ph¶n x¹ vµ trong sù héi tô yÕu c¸c ( xn → x ) (xn x) phÇn tö vµ sù héi tô chuÈn lu«n kÐo theo sù héi ( xn − x → 0). tô m¹nh Kh«ng gian Hilbert cã tÝnh chÊt E-S. VÝ dô 1.1.5. 1.1.3. VÝ dô vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh A mµ (1.1) lµ bµi to¸n ®Æt Sau ®©y ta sÏ chØ ra mét vµi vÝ dô vÒ to¸n tö kh«ng chØnh. A (xem [7]) To¸n tö (phi tuyÕn) ®îc gäi lµ liªn tôc §Þnh nghÜa 1.1.3. m¹nh, nÕu nã ¸nh x¹ mäi d·y héi tô yÕu thµnh d·y héi tô m¹nh tøc lµ nÕu x suy ra Axn → Ax. xn X Y (xem [7]) Cho vµ lµ c¸c kh«ng gian Banach thùc. NÕu MÖnh ®Ò 1.1.1. A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh compact th× A liªn tôc m¹nh. A lµ to¸n tö liªn tôc m¹nh th× bµi to¸n (1.1) (v« h¹n chiÒu) NÕu VÝ dô 1.1.6. nãi chung lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. {xn } lµ mét d·y chØ héi tô yÕu ®Õn x, xn x, xn → x ThËt vËy, gi¶ sö yn = A(xn ), y = A(x). A vµ Khi ®ã, do tÝnh liªn tôc m¹nh cña suy ra yn → y A(x) = f vµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu. 13
Tuy nhiªn, còng cã mét vµi trêng hîp ®Æc biÖt cho ph¬ng tr×nh to¸n D(A) tö víi to¸n tö liªn tôc m¹nh. Ch¼ng h¹n, nÕu miÒn x¸c ®Þnh cña A to¸n tö lµ h÷u h¹n chiÒu th× mäi d·y héi tô yÕu ®Òu héi tô m¹nh, do ®ã chøng minh trªn kh«ng ¸p dông ®îc. Vµ nÕu ta xÐt mét to¸n tö tuyÕn tÝnh R(A) h÷u h¹n chiÒu th× to¸n tö ngîc A−1 nãi chung compact víi miÒn ¶nh A(x) = f lµ liªn tôc vµ khi ®ã bµi to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh lµ bµi to¸n ®Æt chØnh. (xem [1]) XÐt ph¬ng tr×nh tÝch ph©n Fredholm lo¹i I VÝ dô 1.1.7. b x ∈ [a, b], K (x, s)ϕ(s)ds = f0 (x), (1.2) a ϕ(x), vÕ ph¶i f0 (x) lµ mét hµm cho tríc, K (x, s) ë ®©y nghiÖm lµ mét hµm ∂K (x, s) lµ h¹ch cña tÝch ph©n. Gi¶ thiÕt h¹ch K (x, s) cïng víi liªn tôc ∂x trªn h×nh vu«ng [a, b] × [a, b]. Ta xÐt hai trêng hîp sau: • Trêng hîp 1 C [a, b] → L2 [a, b] A: b ϕ(x) → f0 (x) = K (x, s)ϕ(s)ds. a L2 [a, b], tøc Sù thay ®æi cña vÕ ph¶i ®îc ®o b»ng ®é lÖch trong kh«ng gian f0 (x) vµ f1 (x) trong L2 [a, b] ®îc cho bëi lµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai hµm 1 b 2 2 |f0 (x) − f1 (x)| dx ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) = . a ϕ0 (x). Khi ®ã víi vÕ ph¶i Gi¶ sö ph¬ng tr×nh (1.2) cã nghiÖm lµ b f1 (x) = f0 (x) + N K (x, s)sin(ωs)ds a th× ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm ϕ1 (x) = ϕ0 (x) + N sin(ωx). 14
N ω f0 f1 Víi bÊt k× vµ ®ñ lín th× kho¶ng c¸ch gi÷a hai hµm vµ trong L2 [a, b] lµ kh«ng gian 1 2 b b 2 ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) = |N | K (x, s)sin(ωs)ds dx a a cã thÓ lµm nhá tuú ý. ThËt vËy, ®Æt |K (x, s)|, Kmax = max x∈[a,b],s∈[a,b] ta tÝnh ®îc 1 2 d 1 2 b ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) ≤ |N | Kmax cos(ωs) dx a ω c |N |Kmax c0 ≤ , ω c0 N ω N/ω ë ®©y lµ mét h»ng sè d¬ng. Ta chän vµ lín tuú ý nhng l¹i nhá. Trong khi ®ã ρC [a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) = max |ϕ0 (x) − ϕ1 (x)| = |N | x∈[a,b] cã thÓ lín bÊt k×. • Trêng hîp 2 L2 [a, b] → L2 [a, b] A: b ϕ(x) → f0 (x) = K (x, s)ϕ(s)ds. a ϕ0 vµ ϕ1 trong kh«ng T¬ng tù, ta còng chØ ra kho¶ng c¸ch gi÷a hai nghiÖm L2 [a, b] cã thÓ lín bÊt k×. ThËt vËy, gian 1 1 b b 2 2 |ϕ0 (x) − ϕ1 (x)|2 dx sin2 (ωx)dx = |N | ρL2 [a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) = a a b−a 1 = |N | − sin(ω (b − a))cos(ω (b + a)). 2 2ω DÔ dµng nhËn thÊy r»ng hai sè N vµ ω cã thÓ chän sao cho ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) ρL2 [a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) l¹i rÊt lín. rÊt nhá nhng 15
V× tÝnh kh«ng duy nhÊt cña nghiÖm cña bµi to¸n (1.1), nªn ngêi ta thêng cã mét tiªu chuÈn cho sù lùa chän cña nghiÖm. Ta sÏ sö dông x0 x∗ - chuÈn nhá nhÊt, nghÜa lµ ta t×m nghiÖm tho¶ m·n nghiÖm cã A(x0 ) = f, vµ x0 − x∗ = min{ x − x∗ : A(x) = f }. x∗ , ta cã thÓ cã ®îc nghiÖm mµ ta muèn xÊp xØ. B»ng c¸ch chän 1.2 Ph¬ng tr×nh to¸n tö ®¬n ®iÖu 1.2.1. To¸n tö ®¬n ®iÖu A : D(A) → X ∗ X Cho lµ kh«ng gian Banach thùc, lµ mét to¸n tö víi X ∗. D(A) = X R(A) miÒn x¸c ®Þnh lµ vµ miÒn ¶nh n»m trong C¸c kh¸i niÖm trong môc nµy ®îc tham kh¶o trong c¸c tµi liÖu [1], [3] vµ [7]. • To¸n tö ®¬n ®iÖu: To¸n tö A ®îc gäi lµ ®¬n ®iÖu (monotone) nÕu A(x) − A(y ), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A). (1.3) A To¸n tö ®îc gäi lµ ®¬n ®iÖu chÆt (strictly monotone) nÕu dÊu b»ng chØ x = y. A x¶y ra khi Trong trêng hîp lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh th× tÝnh ®¬n ®iÖu t¬ng ®¬ng víi tÝnh kh«ng ©m cña to¸n tö. A δ (t) To¸n tö ®îc gäi lµ ®¬n ®iÖu ®Òu nÕu tån t¹i mét hµm kh«ng ©m t ≤ 0, δ (t) = 0 vµ kh«ng gi¶m víi A(x) − A(y ), x − y ≥ δ x − y , ∀x, y ∈ D(A). δ (t) = cA t2 cA A ®îc gäi lµ ®¬n NÕu víi lµ mét h»ng sè d¬ng th× to¸n tö ®iÖu m¹nh. 16
A : R M → RM To¸n tö tuyÕn tÝnh ®îc x¸c ®Þnh bëi VÝ dô 1.2.1. A = B T B, B M , lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu. víi lµ mét ma trËn vu«ng cÊp • h-liªn d-liªn A h-liªn tôc: To¸n tö ®îc gäi lµ tôc (hemi- To¸n tö tôc, t→0 x, y ∈ X X A(x + ty ) Ax continuous) trªn nÕu khi víi mäi vµ xn → x A d-liªn X ®îc gäi lµ tôc (demicontinuous) trªn nÕu tõ suy ra Ax khi n → ∞. Axn ϕ(x, y ) = xy 2 (x2 + y 4 )−1 kh«ng liªn tôc, nhng Hµm hai biÕn VÝ dô 1.2.2. (0, 0) do ®ã nã h-liªn tôc t¹i (0, 0). liªn tôc theo tõng biÕn t¹i • To¸n tö bøc: To¸n tö A ®îc gäi lµ to¸n tö bøc (coercive) nÕu Ax, x = +∞, ∀x ∈ X. lim ||x|| ||x||→+∞ Sù tån t¹i nghiÖm cña ph¬ng tr×nh to¸n tö (1.1) ®îc cho trong ®Þnh lý sau. A lµ mét to¸n tö h-liªn tôc, ®¬n ®iÖu vµ bøc (xem [1]) Cho §Þnh lý 1.2.1. X ∗. X A(x) = f tõ kh«ng gian Banach ph¶n x¹ vµo Khi ®ã ph¬ng tr×nh f ∈ X ∗. cã nghiÖm víi mäi • ¸nh x¹ ®èi ngÉu: ¸nh x¹ U s : X → X ∗ ®îc ®Þnh nghÜa bëi U s (x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = ||x∗ ||s−1 ||x|| = ||x||s }, s ≥ 2 (1.4) X. s=2 ®îc gäi lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu tæng qu¸t cña Trong trêng hîp ta U X. viÕt lµ vµ gäi lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c cña TÝnh ®¬n trÞ cña ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c ®îc cho trong mÖnh ®Ò sau. 17
X (xem [7]) Gi¶ sö lµ mét kh«ng gian Banach. Khi ®ã, MÖnh ®Ò 1.2.1. U (x) lµ tËp låi, U (λx) = λU (x) víi mäi λ ∈ R; 1) X∗ U 2) lµ ¸nh x¹ ®¬n trÞ khi vµ chØ khi lµ kh«ng gian låi chÆt. Trong X U = I -to¸n tö ®¬n vÞ trong X . trêng hîp lµ kh«ng gian Hilbert th× ¸nh x¹ ®èi ngÉu lµ mét trong nh÷ng vÝ dô vÒ to¸n tö ®¬n ®iÖu, nã tån t¹i trong mäi kh«ng gian Banach. X∗ (xem [7]) NÕu lµ kh«ng gian Banach låi chÆt th× ¸nh x¹ §Þnh lý 1.2.2. U : X → X∗ d-liªn ®èi ngÉu chuÈn t¾c lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu, bøc vµ tôc. X U H¬n n÷a, nÕu lµ kh«ng gian Banach låi chÆt th× lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu chÆt. Sau ®©y lµ mét kÕt qu¶ cña lý thuyÕt to¸n tö ®¬n ®iÖu ®îc sö dông trong phÇn sau. X (xem [1] vµ tµi liÖu dÉn) Cho lµ mét kh«ng gian Banach Bæ ®Ò 1.2.1. f ∈ X∗ X ∗ . Khi ®ã, nÕu A lµ mét to¸n tö h-liªn tôc tõ X thùc, vµ vµo A(x) − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ X A(x0 ) = f. th× A lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu trªn X NÕu th× ®iÒu kiÖn trªn t¬ng ®¬ng víi A(x0 ) − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ X. Bæ ®Ò 1.2.1 cã tªn lµ bæ ®Ò Minty, tªn mét nhµ to¸n häc Mü, ngêi ®· chøng minh kÕt qu¶ trªn trong trêng hîp kh«ng gian Hilbert vµ sau nµy chÝnh «ng vµ Browder ®· chøng minh mét c¸ch ®éc lËp trong kh«ng gian Banach. 1.2.2. Ph¬ng tr×nh víi to¸n tö ®¬n ®iÖu 18