Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vài kết quả về nghiệm của phương trình ∂

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:59

Thêm vào BST

Báo xấu

55
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vài kết quả về nghiệm của phương trình ∂ được thực hiện nhằm tìm hiểu về toán tử ∂ trên không gian L2(p,q); đánh giá và nghiệm của phương trình ∂. Với các bạn yêu thích Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vài kết quả về nghiệm của phương trình ∂

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Tiến Đạt VÀI KẾT QUẢ VỀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ∂ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Tiến Đạt VÀI KẾT QUẢ VỀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ∂ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
LỜI CÁM ƠN Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn Đông – giảng viên trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh. Chính thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và nghiêm khắc trong khoa học để tôi hoàn thành bản luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong Khoa Toán- Tin đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tôi học tập, nghiên cứu. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các cán bộ thuộc các phòng ban chức năng trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh, các thầy cô giáo và bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ rất nhiều trong thời gian tôi nghiên cứu luận văn. Đặc biệt chính gia đình cùng với cô Lê Hồng Thúy Vũ đã là niềm động viên, an ủi rất lớn để tôi hoàn thành bản luận văn này. TP.HCM, ngày 18 tháng 9 năm 2012 Tác giả
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cám ơn Mục lục Danh sách các ký hiệu MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 1 Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...................................................... 3 1.1. Toán tử vi phân ................................................................................................... 3 1.2. Tích chập và hàm suy rộng ................................................................................. 5 1.3. Miền chỉnh hình, miền giả lồi và tính đa điều hòa dưới ..................................... 7 Chương 2 : TOÁN TỬ ∂ TRÊN KHÔNG GIAN L2( p ,q ) (Ω,φ ) .......................... 13 2.1. Toán tử tuyến tính không bị chặn trên không gian Hilbert .............................. 13 2.2. Toán tử ∂ trên không gian L2( p ,q ) (Ω,φ ) .......................................................... 19 Chương 3 : L2 - ĐÁNH GIÁ VÀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ∂ ........... 27 3.1. Các định lý về sự tồn tại nghiệm phương trình ∂ trên miền giả lồi ................ 27 3.2. Định lý về tính chính quy của nghiệm phương trình ∂ ................................... 34 3.3. Giải bài toán Lêvi ............................................................................................. 38 3.4. Định lý xấp xỉ ................................................................................................... 41 3.5. Mở rộng miền Ω của toán tử ∂ lên toàn bộ không gian ( Ω ⊆  n )................. 44 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 53
DANH SÁCH CÁC KÍ HIỆU ∂ , ∂ : xem trang 5 ∂z j ∂zj d : kí hiệu dạng vi phân ngoài (trang 6). ∧ : kí hiệu tích ngoài (trang 7). ∂ và ∂ : những thành phần của d tương ứng thuộc dạng (1,0) và (0,1) (xem trang 5). I (hoặc J hoặc K): kí hiệu các đa chỉ số, nghĩa là một dãy (i1 , i2 ,..., i p ) các số nguyên tăng ngặt nằm giữa 1 và n, n là số chiều của không đang xét. Ta viết I = p , ∑ ' I được hiểu là tổng của các phần tử mà chỉ số của nó thỏa i1 < i2 < ... < i p . (xem trang 7, 24) J dz I (hoặc d z ): kí hiệu cho dzi1 ∧ ... ∧ dzi p ∧ d z j1 ∧ ...d z jq (xem trang 7, 24) C k ( Ω ) ( 0 ≤ k ≤ ∞, k ∈  ) : không gian các hàm giá trị phức có đạo hàm liên tục cấp k trên Ω . Cok (ω ) : trong đó ω là một tập con của Ω , là không gian các hàm thuộc C k ( Ω ) và triệt tiêu bên ngoài một tập con compact của ω . supp f : kí hiệu giá của f, là bao đóng nhỏ nhất của tập hợp mà bên ngoài tập đó f triệt tiêu. F( p ,q ) : trong đó F là không gian các hàm bất kì, là kí hiệu không gian các dạng thuộc loại (p,q) với các hệ số thuộc vào F (xem trang 8, 9). L2 (Ω, φ ) : không gian các hàm khả tích bình phương trên Ω theo độ đo e −φ d λ nghĩa là = ∫u e −φ d λ < ∞ 2 2 uφ A(Ω) : tập tất cả các hàm giải tích trên Ω . ∂Ω : biên của tập Ω .  Ω : kí hiệu trang 11. K
K c : phần bù của tập K. K ⊂⊂ Ω : nghĩa là K có quan hệ compact trong Ω , tức là K chứa trong một con compact của tập Ω . P (Ω) : tập tất cả các hàm điều hòa dưới xác định trên Ω (trang 13).  ΩP : xem trang 13. K L2 (Ω,loc) : không gian các hàm xác định trên Ω mà bình phương khả tích địa phương theo độ đo Lebesgue (xem trang 24). D( p ,q ) (Ω) : tập các hàm (p,q)-dạng có các hệ số thuộc Co∞ (Ω) (trang 24). DT , KerT , RT : lần lượt là miền xác định, nhân và ảnh của toán tử tuyến tính T. T * : toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính xác định trù mật T (xem trang 17, 18, 19). W s (Ω) : với s là số nguyên không âm, là không gian các hàm xác định trên Ω ⊂  n có đạo hàm bậc nhỏ hơn hoặc bằng s thuộc L2 (xem trang 40). W s (Ω, loc) là tập hợp các hàm xác định trên Ω ⊂  n có đạo hàm bậc nhỏ hơn hoặc bằng s thuộc L2 trên các tập con compact của Ω (xem trang 40).
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Các định lý tồn tại nghiệm đối với phương trình Cauchy-Rieman trên miền chỉnh hình được đưa ra trước tiên bởi Oka (1937). Ông cũng đã chứng minh được một định lý xấp xỉ đối với các hàm chỉnh hình trong một lân cận của một tập con compact lồi chỉnh hình. Mối liên hệ giữa miền giả lồi và miền chỉnh hình được tìm ra sau đó bởi Oka (1953), Bremermann (1954) và Norguet (1954). Đây là một phát hiện quan trọng giúp hình thành các phương pháp giải bài toán Cauchy thứ nhất (bài toán giải các phương trình Cauchy Riemann) trực tiếp trên miền giả lồi, được đánh giá là dễ hơn so với trên miền chỉnh hình. Các phương pháp tương tự phương pháp này được đưa ra đầu tiên bởi Garabedian và Spencer (1952) giống như sự phân tích Hodge-de Rham-Kodaira các dạng trên các đa tạp Riemann. Các đánh giá cơ bản đầu tiên được đưa ra bởi Morrey (1958) về các (0,1)- dạng và bởi Kohn (1963) cho trường hợp tổng quát. Kohn (1964) đồng thời cũng chứng minh một số định lý mà đòi hỏi tính chính quy trên biên. Kỹ thuật sử dụng các hàm trọng bổ sung vào L2 - chuẩn để nghiên cứu phương trình Cauchy-Riemann được đưa ra đầu tiên bởi Hormander (1965), Andreotti và Vesentini (1965) giúp ngăn chặn những khó khăn của yêu cầu đòi hỏi trên biên và đưa ra các kết quả sâu sắc hơn… Tôi chọn đề tài nhằm tìm hiểu sâu hơn về giải tích phức nhiều biến và việc sử dụng một số kết quả của nó trong việc giải bài toán Cauchy – Riemann. 2. Mục đích nghiên cứu Nội dung chính của luận văn này là trình bày lại một số kết quả về nghiệm của phương trình Cauchy-Riemann (còn được gọi là phương trình ∂ ) theo kỹ thuật L2 - đánh giá của Hormander, đặc biệt là các kết quả về sự tồn tại và xấp xỉ nghiệm. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Bài toán Cauchy – Riemann không thuần nhất, không gian Hilbert L2( p ,q ) (Ω, φ ) , lý thuyết toán tử vi phân, hàm đa điều hòa dưới, miền giả lồi.
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu Luận văn là một tài liệu tham khảo để tìm hiểu sâu hơn về phương pháp tiếp cận nghiên cứu bài toán Cauchy – Riemann theo phương pháp L2 – đánh giá của Hormander. 5. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm 3 chương: Chương 1 Trình bày một số kiến thức chuẩn bị. Chương 2 Trình bày về toán tử ∂ trên không gian L2( p ,q ) (Ω, φ ) Chương 3 Trình bày về kỹ thuật L2 - đánh giá cùng với các định lý về sự tồn tại nghiệm và xấp xỉ nghiệm của phương trình ∂
Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Toán tử vi phân Cho u là một hàm giá trị phức thuộc lớp C1 (Ω) trong đó Ω là tập mở trong  n , cũng có thể đồng nhất  n như  2n . Ta sẽ kí hiệu hệ tọa độ thực là x j ,1 ≤ j ≤ 2n , và hệ tọa độ phức z= j x2 j −1 + x2 j ,1 ≤ j ≤ n . Ta có thể mô tả du như là một tổ hợp tuyến tính của các dạng vi phân dz j và d z j như sau: ∂u n n ∂u =du∑ ∂ =j 1 =z dz j + ∑ j 1 ∂ z j dzj (1.1.1) j trong đó: ∂u 1  ∂u ∂u  ∂u 1  ∂u ∂u  =  −i =  ,  +i  ∂z j 2  ∂x2 j −1 ∂x2 j  ∂ z j 2  ∂x2 j −1 ∂x2 j  Với kí hiệu ∂u n n ∂u ∑ =∂u = ∂z j =j 1 = dz j , ∂u ∑ j 1 ∂z j dzj Ta có thể viết (1.1.1) như sau: du = ∂u + ∂u Dạng vi phân mà là tổ hợp tuyến tính của các dạng vi phân dz j gọi là dạng (1,0), và dạng vi phân mà là tổ hợp tuyến tính của các dạng vi phân d z j được gọi là dạng (0,1). Vì vậy ∂u (tương ứng ∂u ) là thành phần của du thuộc loại (1,0) (tương ứng (0,1)). Định nghĩa 1.1.1 Một hàm u ∈ C1 (Ω) được gọi là giải tích (hoặc chỉnh hình) trong Ω nếu du là thuộc loại (1,0), nghĩa là nếu ∂u =0 (phương trình Cauchy - Riemann). Tập hợp tất cả các hàm giải tích trong Ω được kí hiệu là A(Ω) . Toán tử vi phân ∂ và ∂ là tuyến tính và A(Ω) là một vành.
Bây giờ lấy u ∈ A(Ω) , nhận giá trị phức trong v nghĩa là u = (u1 , u2 ,..., uv ) mà mỗi thành phần u j là hàm giải tích trong Ω . Nếu v ∈ C1 (ω ) với ω là một tập mở nào đó chứa miền giá trị của u, thì với z ∈ Ω hàm (v  u )( z ) = v(u ( z )) thuộc lớp C1 (ω ) và ta có ∂v v v ∂v d (v  u ) ∑ = du j + ∑ du j =j 1 = ∂u j j 1 ∂u j Bởi vì du j thuộc loại (1,0) và du j thuộc loại (0,1) trong Ω nên suy ra : ∂v v v ∂v ∑ ∂ (v  u ) = j =1 ∂u j ∑ du j , ∂ ( v  u ) = j =1 ∂ u j du j Do đó v  u giải tích nếu v giải tích. Tổng quát, việc phân tích d cũng giống như là ∂ + ∂ và khái niệm hàm giải tích thì bất biến qua các ánh xạ giải tích. Cuối cùng ta sẽ mở rộng định nghĩa của toán tử ∂ và ∂ thành một dạng vi phân bất kì. Một dạng vi phân f được gọi là thuộc loại (p,q) nếu nó được viết dưới dạng ∑∑ f J =f I ,J dz I ∧ d z =I p= J q trong đó I = (i1 ,..., i p ) và J = ( j1 ,..., jq ) là các đa chỉ số, nghĩa là dãy các chỉ số nằm giữa 1 và n. Ở đây chúng ta đã dùng kí hiệu J dz I ∧ d z = dzi1 ∧ ... ∧ dzi p ∧ d z j1 ∧ ...d z jq Mỗi dạng vi phân có thể được viết một cách duy nhất như là tổng của dạng loại (p,q): 0 ≤ p, q ≤ n . Nếu f thuộc loại (p,q) thì dạng vi phân ngoài của nó là ∑ df J = df I ,J ∧ dz I ∧ d z Có thể viết dưới dạng df = ∂f + ∂ f trong đó: ∑ ∂f ∑∂ f J J ∂f = I ,J ∧ dz I ∧ d z , ∂ f = I ,J ∧ dz I ∧ d z I ,J I ,J lần lượt là các dạng thuộc loại (p+1,q) và (p,q+1). ( ) 2 Vì 0 = d 2 f = ∂ 2 f + ∂∂ + ∂∂ f + ∂ f và tất cả các số hạng của tổng trên là khác
nhau nên ta thu được: 2 ∂ 2 = 0, ∂∂ + ∂∂ = 0, ∂ = 0 Do đó phương trình ∂u =f (1.1.2) trong đó f thuộc loại (p,q+1) không thể có nghiệm u trừ khi ∂ f =0. Điều đó chỉ ra rằng nếu ta quan tâm đến phương trình Cauchy – Riemann (1.1.2) với ẩn là hàm u, thì một cách tự nhiên ta sẽ phải nghiên cứu toán tử ∂ cho dạng thuộc loại (0,1), và do đó các dạng thuộc loại (0,2),… Nếu u là một ánh xạ chỉnh hình xác định trên miền Ω ⊂  n vào trong v và nếu ∑f J =f I ,J du I ∧ du là một dạng xác định trong một lân cận thuộc miền giá trị của u, ta có thể xác định một dạng f  u trong Ω như sau ∑f J =f u I ,J (u ( z ))du I ∧ du trong đó duk và duk với k = 1,..., v lần lượt là những dạng vi phân trên Ω tương ứng thuộc loại (1,0) và (0,1) bởi uk là hàm giải tích. Do đó f  u thuộc loại (p,q) nếu f thuộc loại (p,q) và bởi d ( f  u ) = (df )  u nên ta thu được ∂( f  u) = ( ∂f )  u , ∂ ( f  u ) = ∂f u ( ) Nếu F là không gian các hàm thì ta sẽ dùng kí hiệu F( p ,q ) là không gian các dạng thuộc loại (p,q) với các hệ số thuộc vào F. 1.2. Tích chập và hàm suy rộng Định nghĩa 1.2.1 Ta kí hiệu: χ :  N →  là hàm được xác định như sau:  1 C , neáu x ≤ 1 χ ( z ) =  e x −1 2 0 , neáu x > 1  trong đó C là hằng số sao cho ∫ χ ( x)dx = 1. Với mỗi ε > 0 ta đặt N
x χε ( x) = ε − N χ ( ) (1.2.1) ε thì hàm χε có các tính chất: i) χε ∈ Co∞ ( N ) , suppχε ⊆ B (0, ε ) và χε ( x) > 0 với mọi x ∈  N . ii) χε là hàm chỉ phụ thuộc vào x và ∫ χε ( x)dx = 1. n Với mỗi hàm f ∈ L2 ( N , loc) và 0 < ε < d ( x, ∂Ω) đặt ∫ f ( y) χε ( x − y)dy ( f χε )( x) = fε ( x) =∗ N Phép toán “ ∗ ” được gọi là tích chập. Đồng thời ta cũng nhận xét rằng tích chập có tính chất giao hoán và supp u ∗ v ⊂ supp u + supp v Định lý 1.2.2 Cho f ∈ L2 ( N , loc) . Khi đó ta có các kết luận sau: 1) fε ∈ C ∞ ( N ) 2) Nếu supp f= K ⊂⊂  N thì fε ∈ Co∞ ( N ) , supp fε ⊂ Kε ={ x ∈  N | d ( x, K ) ≤ ε } 3) Nếu f ∈ C ( N ) thì lim fε ( x) = f ( x) đều trên K ⊂⊂  N ε →0 4) Nếu f ∈ L2 ( N ) thì fε ∈ L2 ( N ) và fε  → f khi ε → 0+ 2 L Chứng minh 1) Khẳng định được chứng minh từ đẳng thức sau :   Dxα  ∫ f ( y ) χε ( x −= y )dy  ∫ f ( y ) Dxα χε ( x − y )dy  N    N 2) Do supp f= K ⊂⊂  N nên f= ε ( x) ∫ f ( y ) χε ( x − y= )dy ∫ f ( y) χε ( x − y)dy N K Khi đó với mỗi x ∉ Kε , nghĩa là d ( x, K ) > ε hay x − y > ε với mọi y ∈ K . Mà suppχε ⊆ B (0, ε ) nên χε ( x − y ) = 0 với mọi y ∈ K . Do đó fε ( x) = 0 khi x ∉ Kε hay supp fε ⊂ Kε .
1 3) Với x ∈ K ⊂⊂  N và 0 < ε < d ( K , ∂Ω) , ta có 2 fε ( x) − f ( x= ) ∫ [ f ( x − ε y) χε ( y) − f ( x) χε ( y)] dy= ∫ [ f ( x − ε y) − f ( x)] χε ( y)dy N N Mà f ∈ C ( N ) có f liên tục đều trên từng tập compact K ⊂  N . Khi đó: ∀ε o > 0, ∃δ > 0 : ∀ε < δ , ∀y ∈ B (0,1) ⇒ f ( x) − f ( x − ε y ) < ε o với mọi x ∈ K Suy ra: fε ( x) − f ( x) < ε o ∫ χε ( y)dy = ε với mọi x ∈ K . o N Do đó: lim fε ( x) = f ( x) đều trên K. ε →0 4) Từ bất đẳng thức Minkowski’s cho tích chập ta có fε L2 ≤ Co f L2 trong đó: Co = ∫ χε ( x) dx . Suy ra fε ∈ L2 ( n ) . N Áp dụng 3) ta có fε → f đều nếu f ∈ Co∞ ( N ) . Mà Co∞ ( N ) là tập trù mật trong L2 ( N ) nên từ đó suy ra fε → f trong L2 ( N ) với mọi f ∈ L2 ( N ) . ■ 1.3. Miền chỉnh hình, miền giả lồi và tính đa điều hòa dưới Chứng minh chi tiết của các kết quả được bỏ qua trong mục này có thể được tham khảo trong [7]. Định nghĩa 1.3.1 Một hàm f ∈ A ( Ω ) được gọi là không thể mở rộng qua ∂Ω tại z0 ∈ ∂Ω khi với mọi lân cận Bz0 của z0 không tồn tại hàm f ∈ A Bz0 ( ) mà hạn chế của nó trên một thành phần liên thông mở nào đó của Bz0  Ω. bằng f . Khi đó ta còn nói f không có mở rộng f tại z0 . Một miền Ω ⊂  n được gọi là miền chỉnh hình nếu với mọi điểm biên z0 ∈ ∂Ω mà tại đó tồn tại f z0 ∈ A ( Ω ) không thể mở rộng qua ∂Ω tại z0 . Định nghĩa 1.3.2. Nếu K là tập con compact của Ω thì ta định nghĩa Ω - bao  Ω= chỉnh hình ( hay A(Ω) -bao) của K là K {z ∈ Ω : f ( z ) ≤ sup f K ∀f ∈ A(Ω) . }
Định nghĩa 1.3.3 Ta gọi hàm khoảng cách xác định trên  n là hàm liên tục không âm δ :  n → [0, ∞) sao cho i) δ ( z ) = 0 khi và chỉ khi z = 0 ii) δ (λ z ) = λ δ ( z ) với mọi z ∈  n Định lý 1.3.4 Cho Ω là miền chỉnh hình. Nếu f ∈ A(Ω) và f ( z ) ≤ δ Ω ( z ), z ∈ K , với K là tập con compact của Ω , thì Ω f ( z ) ≤ δ Ω ( z ), z ∈ K Đặc biệt, khi f là hàm hằng ta có : inf δ ( z − w) = inf  , w∈ n \ Ω δ ( z − w) z∈K , w∈ n \ Ω z∈K Ω Định nghĩa 1.3.5 Một hàm γ xác định trên một tập mở Ω ⊂  n nhận giá trị trong [ − ∞,+∞) được gọi là hàm đa điều hòa dưới nếu i) γ là nửa liên tục trên ii) Với bất kì z , w ∈  n , hàm τ → γ ( z + τ w) là hàm điều hòa dưới trong {τ ∈  : z + τ w ∈ Ω} Mệnh đề 1.3.6 Một hàm u ∈ C 2 (Ω) là hàm đa điều hòa dưới nếu và chỉ nếu biểu diễn dạng Lêvi của nó không âm, nghĩa là: n ∂ 2u ( z ) ∑ j , k =1 ∂z j ∂ zk w j wk ≥ 0 với mọi z ∈ Ω và w ∈  n n ∂ 2u ( z ) Một hàm đa điều hòa dưới u ∈ C 2 (Ω) được gọi là ngặt nếu ∑ j , k =1 ∂z j ∂ z k w j wk > 0 với mọi z ∈ Ω và 0 ≠ w ∈  n . Cho Ω là tập mở trong  n , δ là hàm khoảng cách, ta định nghĩa hàm δ -khoảng cách : δ Ω ( z) đến biên của Ω như sau= inf δ ( z − w) . Ta có δ Ω là hàm liên tục theo z. w∈ n \ Ω Định nghĩa 1.3.7 Miền Ω là được gọi là miền giả lồi nếu − log δ Ω ( z ) là hàm đa
điều hòa dưới trên Ω . Nhận xét: Bằng cách đặt ψ ( z ) = − log δ Ω + z thì ψ sẽ là hàm vét kiệt đa điều hòa 2 dưới trên Ω nghĩa là với mỗi c ∈  thì tập K= c {z ∈ Ω:ψ (z) 0 trong Ω ∩ ( n \ ω ) c) { x ∈ Ω | u ( x) < c} ⊂⊂ Ω với mọi c ∈  Hàm u trong định lý được gọi là hàm vét kiệt đa điều hòa dưới ngặt. Bổ đề 1.3.10 Cho Ω ⊂  n là miền giả lồi và µ là hàm giá trị thực, bị chặn địa phương trên Ω . Khi đó sẽ tồn tại hàm ψ là đa điều hòa dưới thuộc lớp C ∞ xác định trên Ω sao cho ψ ≥ µ . Chứng minh chi tiết xem trong [6]. Định lý 1.3.11 Giả sử Ω ⊆  n là miền giả lồi, có thể vét kiệt được. Khi đó sẽ tồn tại một dãy các tập con compact K j ( j ∈ * ) thỏa mãn: K1 ⊂⊂ K 2 ⊂⊂ ... ⊂⊂ Ω và  j K j = Ω . Đồng thời cũng tồn tại dãy (η j ) ∈ Co∞ (Ω) thỏa mãn η j = 1 trên K j , j supp η j ⊆ K j +1 , 0 ≤ η j ≤ 1 với j = 1, 2,... và một hàm ψ ∈ C ∞ (Ω) sao cho ∂η j 2 n ∑ ∂z k =1 k ≤ eψ với mọi j = 1, 2,...
Chứng minh Sử dụng tính vét kiệt được của Ω ta sẽ xây dựng các tập compact K j ( j ∈ * ) cùng dãy (η j ) ∈ Co∞ (Ω) thỏa tính chất như được mô tả trong định lý như sau. j  1  Đặt K= j  z ∈ Ω : δ Ω ( z ) > , z ≤ j  với j = 1, 2,... . Ta lấy hàm χε như trong định  j  1 nghĩa 1.2.1 và gọi v j là hàm đặc trưng của tập K j . Đặt η= j v j ∗ χ r mà r = . Khi 2j đó giá của η j nằm trong K 2 j và η j = 1 trong lân cận của K j /2 . Bằng cách đánh số lại khi cần thiết ta có được các tập K j ( j ∈ * ) như mô tả. ∂η j ∂η j ∂η Với các hàm η j được xây dựng như trên ta có : = dz1 + ... + j dzn có giá ∂z ∂z1 ∂zn nằm trong K j \ K j /2 . Từ đó suy ra : ∂η j ∂η ∂χ ∂χ ∂zk ( z ) =j ( z ) = ∂ zk ∂zk ∫ v j ∗ r ( z) = B (0, r ) v j ( z − ζ ) r (ζ )d λ (ζ ) ∂zk (1.3.1) 1 ∂χ r 4c1 ≤ ∫ (ξ ) d λ (ξ ) = 2 jc1 < r B (0,1) ∂zk δ Ω ( z)
∂χ r Trong đó c1 = ∫ (ξ ) d λ (ξ ) là hằng số chỉ phụ thuộc vào số chiều của không B (0,1) ∂zk gian và chuẩn đang xét, do cách đặt tập K j và giá của ∂η j nằm trong K j \ K j /2 nên 2 δΩ ( z) < . Khi đó từ (1.3.1) ta có : j ∂ηl n 2 c2 ∑ k =1 ∂ zk ≤ δΩ ( z) c2 Đặt µ ( z ) = log , áp dụng bổ đề 1.3.10 sẽ tồn tại hàm ψ ∈ C ∞ (Ω) sao cho: δ Ω ( z) ψ ≥ µ trên Ω . ■ Định lý 1.3.12 Giả sử Ω ⊆  n là miền giả lồi. Khi đó tồn tại một hàm φ : Ω →  thỏa mãn φ ∈ C ∞ và ∂ 2φ n n 2 ∑ ∂z ∂ z k j k ∑ 2 ψ w w ≥ 2( ∂ψ + e ) wj với mọi w ∈  n =j ,k 1 =j j 1 (hàm ψ được chọn như trong định lý 1.3.11). Chứng minh Do Ω là miền giả lồi nên áp dụng định lý 1.3.9 ta có thể chọn được hàm vét kiệt đa điều hòa dưới ngặt, xác định dương α ∈ C ∞ (Ω) sao cho: = Kc { z : z ∈ Ω,α ( z ) < c} ⊂⊂ Ω với mỗi c ∈  Giả sử ∂ 2α n n 2 = ∑ ∂z ∂ z k j j ,k 1 = w w k ≥ m ( z ) ∑ j 1 wj j với m là hàm số dương liên tục trên Ω . Nếu có một hàm β :  + →  là hàm lồi, tăng thuộc lớp C ∞ và φ = β  α ta có: ∂ 2φ nn 2 = ∑ ∂z ∂ z k w j wk ≥ β (α )m( z )∑ j ,k 1 = ' j 1 wj j Do đó hàm φ thỏa mãn định lý nếu
2 β ' (α )m( z ) ≥ 2( ∂ψ + eψ ) Hay  2( ∂ψ 2 + eψ )  β ' (t ) ≥ sup    Kt  m( z )    Nhận thấy rằng vế phải của bất đẳng thức trên là một hàm xác định hữu hạn với t ≥ min α , đồng thời tăng theo t. Do đó sẽ tồn tại hàm β lồi, tăng thuộc lớp C ∞  2( ∂ψ 2 + eψ )  thỏa mãn β ' (t ) ≥ sup  . ■  Kt  m( z )   
Chương 2 TOÁN TỬ ∂ TRÊN KHÔNG GIAN L2( p ,q ) (Ω,φ ) Trong chương 2 này ta sẽ xây dựng toán tử ∂ trên không gian L2( p ,q ) (Ω, φ ) như là toán tử tuyến tính không bị chặn, đóng và xác định trù mật. Đồng thời ta cũng sẽ mô tả một cách rõ ràng toán tử liên hợp của toán tử ∂ , điều này hết sức cần thiết khi sử dụng bổ đề 2.1.9 để giải bài toán phương trình ∂ ở chương 3. Trước hết ở mục 2.1 ta chuẩn bị một số kiến thức về toán tử tuyến tính không bị chặn trên không gian Hilbert 2.1. Toán tử tuyến tính không bị chặn trên không gian Hilbert Cho H 1 , H 2 là hai không gian Hilbert có tích vô hướng và chuẩn tương ứng là (.,.)i , . i với i ∈1, 2 . Cho D là không gian con trù mật trong H1 và T: D→ H 2 , là một toán tử tuyến tính mà ta giả sử là không bị chặn. Để thuận tiện ta viết DT thay vì D là miền xác định của T. Trường hợp này ta nói rằng T xác định trù mật trên H 1 . Có thể kiểm tra được H1 × H 2 là không gian Hilbert với tích vô hướng được xác định bởi (h1 , h2 ),(h= '1 , h '2 ) (h1 , h '1 )1 + (h2 , h '2 ) 2 . Định nghĩa 2.1.1 Toán tử tuyến tính T đóng nếu đồ thị của nó = GT {( x, Tx) : x ∈ DT } ⊆ H1 × H 2 là tập hợp đóng. Nhận xét rằng nếu T là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert H 1 vào không gian Hilbert H 2 thì toán tử liên hợp T* của nó luôn tồn tại và được xác định trên toàn bộ H 2 bởi công thức (y,Tx) 2 =(T*y,x)1 . Trong trường hợp ta đang xét T : DT → H 2 là toán tử tuyến tính không bị chặn, với DT là không gian con trù mật trong H1 , việc xác định toán tử liên hợp T* có chút ít phức tạp hơn. Gọi D T* là miền xác định của toán tử liên hợp T* cần xác định. Ta đưa ra định nghĩa sau Định nghĩa 2.1.2 Cho ψ ∈ H 2 . Ta nói rằng ψ ∈ DT * nếu tồn tại hằng số
=C C (ψ ) > 0 sao cho (Tφ ,ψ ) 2 ≤ C φ 1 với mọi φ ∈ DT (2.1.1) Định nghĩa trên có nghĩa do mệnh đề sau: Mệnh đề 2.1.3 Nếu y ∈ DT * thì có duy nhất một phần tử z ∈ H1 sao cho (x,z)1 =(Tx,y) 2 với mọi x ∈ DT . Chứng minh Với y ∈ H 2 , thì ánh xạ ϕ y ( x) = ( y, Tx) 2 xác định phiếm hàm tuyến tính xác định trên D T và nhận giá trị trong  . Do điều kiện (2.1.1) DT * ⊂ H 2 là tập chứa các phần tử y sao cho ϕ y bị chặn trên D T . Ta có DT * ≠ ∅ vì 0 ∈ DT * và D T* là không gian con đóng của H 2 . Do đó ϕ y có thể mở rộng lên thành một toán tử tuyến tính bị chặn xác định trên toàn bộ H 1 . Áp dụng định lý biểu diễn Riesz, có duy nhất phần tử z ∈ H1 sao cho ϕ y ( x) = ( z , x)1 . Khi đó ( y, Tx = ) 2 ( z , x)1 , ∀x ∈ DT . ■ Đặt T * y = z với mỗi y ∈ H 2 thỏa điều kiện (2.1.1) thì T* là toán tử liên hợp của T. Tính hợp lý của T* được suy ra từ tính trù mật của D T . Thật vậy, giả sử T * y = z , T * y = v thì ( y,= z , x)1 (v, x)1 với mọi x ∈ DT . Khi đó Tx) 2 (= 0 với mọi x ∈ DT ( z − v, x)1 = Vì D T trù mật trong H 1 nên tồn tại (un ) ⊂ DT : un → z − v , do đó ( z − v, un )1 = 0 với mọi n và nhờ vào tính liên tục của tích vô hướng nên lim ( z − v, un )1 = ( z − v, z − v)1 = 0 ⇒ z − v 1 = 0 ⇒ z = v 2 n →+∞ Tóm lại ta có định nghĩa T* như sau: Giả sử T là toán tử tuyến tính không bị chặn, xác định trù mật trên H 1 . Toán tử liên hợp của T là T * : DT * ⊂ H 2 → H1 là toán tử với miền xác định DT * = {ψ ∈ H 2 : ∃C (ψ ) > 0 sao cho (Tφ ,ψ ) 2 ≤ C φ 1 ,∀φ ∈ DT } Như vậy D T* là một không gian con của H 2 và T* là ánh xạ tuyến tính. Thật vậy, lấy y, z ∈ DT * bất kì và ∀α , β ∈  , ∀x ∈ DT . Ta có: