Tóm tắt Luận án Tiến sỹ Toán học: Các phương pháp hiệu chỉnh lặp newton kantorovich và điểm gần kề cho phương trình toán tử không chỉnh phi tuyến đơn điệu

Chia sẻ: Lê Thị Hồng Nhung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

42
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung chính của luận văn là đưa ra và chứng minh sự hội tụ mạnh của một cải biên mới của phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich (0.6) của I.P. Ryazantseva để giải bài toán (0.1) với A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào không gian đối ngẫu E ∗ , trong đó đã khắc phục được các hạn chế như đã nêu của phương pháp (0.6). Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sỹ Toán học: Các phương pháp hiệu chỉnh lặp newton kantorovich và điểm gần kề cho phương trình toán tử không chỉnh phi tuyến đơn điệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ............***............ NGUYỄN DƯƠNG NGUYỄN CÁC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP NEWTON-KANTOROVICH VÀ ĐIỂM GẦN KỀ CHO PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ KHÔNG CHỈNH PHI TUYẾN ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 9 46 01 12 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018
Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học 1: GS. TS. Nguyễn Bường Người hướng dẫn khoa học 2: PGS. TS. Đỗ Văn Lưu Phản biện 1: . . . . . . Phản biện 2: . . . . . . Phản biện 3: . . . . . . Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi .... giờ ...’, ngày .... tháng .... năm 2018 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam
Mở đầu Nhiều vấn đề trong trong khoa học, công nghệ, kinh tế và sinh thái như quá trình xử lý ảnh, chụp cắt lớp vi tính, chụp cắt lớp địa chấn trong địa chất công trình, đo sâu bằng âm thanh trong xấp xỉ sóng, bài toán quy hoạch tuyến tính dẫn đến việc giải các bài toán dạng phương trình toán tử sau (A. Bakushinsky và A. Goncharsky, 1994; F. Natterer, 2001; F. Natterer và F. W¨ ubbeling, 2001): A(x) = f, (0.1) trong đó A là một toán tử (ánh xạ) từ không gian mêtric E vào không e và f ∈ E. gian mêtric E e Tuy nhiên, tồn tại một lớp bài toán trong số các bài toán này mà nghiệm của chúng không ổn định theo dữ kiện ban đầu, tức là một thay đổi nhỏ của các dữ kiện có thể dẫn đến sự sai khác rất lớn của nghiệm. Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh. Vì vậy, yêu cầu đặt ra là phải có những phương pháp giải các bài toán đặt không chỉnh sao cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuất phát. Nếu E e là không gian Banach với chuẩn k.k thì trong một số trường hợp của ánh xạ A, bài toán (0.1) có thể hiệu chỉnh bằng phương pháp cực tiểu phiếm hàm làm trơn Tikhonov: Fαδ (x) = kA(x) − fδ k2 + αkx − x+ k2 , (0.2) cùng với việc chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ) > 0 thích hợp, ở đây fδ là xấp xỉ của f thỏa mãn kfδ − f k ≤ δ & 0 và x+ là phần tử được chọn trong E nhằm giúp cho ta tìm một nghiệm của (0.1) theo ý muốn. Nếu A là một ánh xạ phi tuyến thì phiếm hàm Fαδ (x) nói chung là không lồi. Do đó, không thể áp dụng những kết quả đã đạt được trong việc cực tiểu phiếm hàm lồi để tìm thành phần cực tiểu của Fαδ (x). Vì vậy, để giải bài toán (0.1) với A là một ánh xạ phi tuyến đơn điệu, người ta đã đưa ra một dạng mới của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, có tên là phương
2 pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov. Năm 1975, Ya.I. Alber đã xây dựng phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov để giải bài toán (0.1) khi A là ánh xạ phi tuyến đơn điệu như sau: A(x) + αJ s (x − x+ ) = fδ . (0.3) Ta thấy, trong trường hợp E không phải là không gian Hilbert thì J s là ánh xạ phi tuyến và do đó, (0.3) là bài toán phi tuyến, ngay cả khi A là ánh xạ tuyến tính. Đây là lớp bài toán khó giải trong thực tế. Hơn nữa, một vài thông tin của nghiệm chính xác, ví dụ như độ trơn, có thể sẽ không được giữ nguyên trong nghiệm hiệu chỉnh vì ánh xạ J s xác định trên toàn không gian nên ta không thể biết được nghiệm hiệu chỉnh nằm đâu trong E. Vì vậy, vào năm 1991, Ng. Bường đã thay ánh xạ J s bằng ánh xạ tuyến tính và đơn điệu mạnh B để đưa ra phương pháp: A(x) + αB(x − x+ ) = fδ . (0.4) Trường hợp E ≡ H là không gian Hilbert thì phương pháp (0.3) có dạng đơn giản nhất với s = 2. Khi đó, phương pháp (0.3) trở thành: A(x) + α(x − x+ ) = fδ . (0.5) Năm 2006, Ya.I. Alber và I.P. Ryazantseva đã đưa ra sự hội tụ của phương pháp (0.5) khi A là một ánh xạ J-đơn điệu trong không gian Banach E dưới điều kiện ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của E liên tục yếu theo dãy. Rất tiếc là lớp không gian Banach vô hạn chiều có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy là quá nhỏ (chỉ có không gian lp ). Năm 2013, Ng. Bường và Ng.T.H. Phương đã chứng minh được sự hội tụ của phương pháp (0.5) mà không đòi hỏi tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J. Tuy nhiên, ta thấy, nếu A là ánh xạ phi tuyến thì (0.3), (0.4) và (0.5) là các bài toán phi tuyến. Chính vì lí do đó, một phương pháp ổn định khác để giải bài toán (0.1), có tên là phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich đã được quan tâm nghiên cứu. Phương pháp này được đề xuất bởi A.B. Bakushinskii vào năm 1976 để giải bài toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ phi tuyến đơn điệu. Đây là phương pháp hiệu chỉnh được xây dựng dựa trên phương pháp nổi tiếng trong giải tích số là phương pháp Newton-Kantorovich. Năm 1987, dựa trên cơ sở phương pháp của A.B. Bakushinskii, để tìm nghiệm của bài
3 toán (0.1) trong trường hợp A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào không gian đối ngẫu E ∗ , I.P. Ryazantseva đã đưa ra phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich: A(zn ) + A0 (zn )(zn+1 − zn ) + αn J s (zn+1 ) = fδn . (0.6) Tuy nhiên, do phương pháp (0.6) sử dụng ánh xạ đối ngẫu J s làm thành phần hiệu chỉnh nên nó có những hạn chế giống như phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov (0.3). Trường hợp A là ánh xạ J-đơn điệu trên không gian Banach E, để tìm nghiệm của bài toán (0.1), cũng dựa trên tư tưởng của phương pháp của A.B. Bakushinskii, năm 2005, Ng. Bường và V.Q. Hùng đã nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich: A(zn ) + A0 (zn )(zn+1 − zn ) + αn (zn+1 − x+ ) = fδ , (0.7) dưới các điều kiện kA(x) − A(x∗ ) − J ∗ A0 (x∗ )∗ J(x − x∗ )k ≤ τ kA(x) − A(x∗ )k, ∀x ∈ E (0.8) và A0 (x∗ )v = x+ − x∗ , (0.9) ở đây τ > 0, x∗ là nghiệm của bài toán (0.1), A0 (x∗ ) là đạo hàm Fréchet của ánh xạ A tại x∗ , J ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E ∗ và v là phần tử nào đó trong E. Ta thấy, các điều kiện (0.8) và (0.9) sử dụng đạo hàm Fréchet của ánh xạ A tại nghiệm chưa biết x∗ nên chúng là hết sức chặt chẽ. Năm 2007, A.B. Bakushinskii và A. Smirnova đã chứng minh sự hội tụ của phương pháp (0.7) đến nghiệm của bài toán (0.1) khi A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Hilbert H vào H (trong không gian Hilbert, khái niệm J-đơn điệu trùng với khái niệm đơn điệu) dưới điều kiện là kA0 (x)k ≤ 1, kA0 (x) − A0 (y)k ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ H, L > 0. (0.10) Nội dung thứ nhất của luận án này trình bày các kết quả mới về phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với toán tử loại đơn điệu (đơn điệu và J-đơn điệu) trong không gian Banach mà chúng tôi đạt được, trong đó đã khắc phục được các hạn chế của các kết quả đã nêu ở trên.
4 Tiếp theo, ta xét bài toán: Tìm phần tử p∗ ∈ H sao cho 0 ∈ A(p∗ ), (0.11) trong đó H là không gian Hilbert, A : H → 2H là ánh xạ đa trị và đơn điệu cực đại. Một trong những phương pháp đầu tiên để tìm nghiệm của bài toán (0.11) phải kể đến phương pháp điểm gần kề do B. Martinet giới thiệu vào năm 1970 để tìm cực tiểu của một phiếm hàm lồi và được tổng quát hóa bởi R.T. Rockafellar vào năm 1976 như sau: xk+1 = Jk xk + ek , k ≥ 1, (0.12) trong đó Jk = (I + rk A)−1 được gọi là toán tử giải của A với tham số rk > 0, ở đây ek là vectơ sai số và I là ánh xạ đơn vị trên H. Vì A là ánh xạ đơn điệu cực đại nên Jk là ánh xạ đơn trị (F. Wang và H. Cui, 2015). Do vậy, ưu điểm nổi bật của phương pháp điểm gần kề là đã đưa bài toán đa trị về bài toán đơn trị để giải. R.T. Rockafellar đã chứng minh được rằng phương pháp (0.12) hội tụ yếu tới một không điểm của ánh xạ A dưới giả thiết tập không điểm của ánh xạ A khác rỗng, ∞ k P k=1 ke k < ∞ và rk ≥ ε > 0, với mọi k ≥ 1. Năm 1991, O. G¨uler đã chỉ ra rằng phương pháp điểm gần kề chỉ đạt được sự hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh trong không gian vô hạn chiều. Với mục đích đạt được sự hội tụ mạnh, một số cải biên của phương pháp điểm gần kề để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert (O.A. Boikanyo và G. Morosanu, 2010, 2012; S. Kamimura và W. Takahashi, 2000; N. Lehdili và A. Moudafi, 1996; G. Marino và H.K. Xu, 2004; Ch.A. Tian và Y. Song, 2013; F. Wang và H. Cui, 2015; H.K. Xu, 2006; Y. Yao và M.A. Noor, 2008) cũng như của ánh xạ J-đơn điệu trong không gian Banach (L.C. Ceng và đồng tác giả, 2008; S. Kamimura và W. Takahashi, 2000; X. Qin và Y. Su, 2007; Y. Song, 2009) đã được nghiên cứu. Sự hội tụ mạnh của tất cả các cải biên này đều được đưa ra dưới các điều kiện dẫn tới dãy tham số của toán tử giải của ánh xạ A không khả tổng, tức là ∞ P k=1 rk = +∞. Vì vậy, một câu hỏi đặt ra là: có tồn tại một cải biên của phương pháp điểm gần kề mà sự hội tụ mạnh của nó được đưa ra dưới điều kiện dãy tham số của toán tử giải là khả tổng, tức là ∞ P k=1 rk < +∞? Để trả lời câu hỏi này, nội dung thứ hai của luận án giới thiệu các cải biên mới của phương pháp điểm gần kề mà chúng tôi đã đạt được để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại
5 trong không gian Hilbert, trong đó sự hội tụ mạnh của các phương pháp được đưa ra dưới giả thiết dãy tham số của toán tử giải là khả tổng. Các kết quả thu được trong luận án là: 1) Đưa ra và chứng minh sự hội tụ mạnh của một cải biên mới của phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich (0.6) của I.P. Ryazantseva để giải bài toán (0.1) với A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào không gian đối ngẫu E ∗ , trong đó đã khắc phục được các hạn chế như đã nêu của phương pháp (0.6). 2) Đưa ra và chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich (0.7) để tìm nghiệm của bài toán (0.1) trong trường hợp A là ánh xạ J-đơn điệu trên không gian Banach E với việc đã loại bỏ được các điều kiện (0.8), (0.9), (0.10) và không đòi hỏi tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J. 3) Đưa ra hai cải biên mới của phương pháp điểm gần kề để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert, trong đó sự hội tụ mạnh của các cải biên này được chúng tôi chứng minh dưới giả thiết dãy tham số của toán tử giải là khả tổng. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án được bố cục gồm ba chương. Chương 1 có tính chất bổ trợ, trình bày một số khái niệm và tính chất trong không gian Banach, khái niệm về bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh. Chương này cũng trình bày phương pháp Newton-Kantorovich và một số cải biên của phương pháp điểm gần kề để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert. Chương 2 trình bày về phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich để giải phương trình toán tử không chỉnh phi tuyến loại đơn điệu trong không gian Banach, bao gồm: đưa ra các phương pháp và định lí về sự hội tụ của các phương pháp này. Cuối chương đưa ra ví dụ số minh họa cho kết quả nghiên cứu đạt được. Chương 3 trình bày các cải biên của phương pháp điểm gần kề mà chúng tôi đã đạt được để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert, bao gồm: giới thiệu các phương pháp cũng như các kết quả về sự hội tụ của các phương pháp này. Một ví dụ số được đưa ra ở mục cuối của chương này nhằm minh họa cho các kết quả nghiên cứu đạt được.
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày các kiến thức cần thiết nhằm phục vụ cho việc trình bày các kết quả nghiên cứu chính của luận án ở các chương sau. 1.1. Không gian Banach và các vấn đề liên quan 1.1.1. Một số tính chất trong không gian Banach Mục này trình bày một số khái niệm và tính chất trong không gian Banach. 1.1.2. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh • Mục này đề cập đến khái niệm bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh. • Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình A(x) = f, (1.1) với A là một ánh xạ từ không gian Banach E vào không gian Banach E. e Nếu (1.1) là bài toán đặt không chỉnh thì yêu cầu đặt ra là phải sử dụng các phương pháp giải (1.1) sao cho khi δ & 0 thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm của (1.1). Như đã trình bày trong phần Mở đầu, trong trường hợp A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào không gian đối ngẫu E ∗ , bài toán (1.1) có thể được giải bằng phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder-Tikhonov (0.3) (xem trang 2) hoặc (0.4) (xem trang 2). Trường hợp A là ánh xạ J-đơn điệu trên không gian Banach E, một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi để giải bài toán (1.1) là phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder-Tikhonov (0.5) (xem trang 2). Ng. Bường và Ng.T.H. Phương (2013) đã chứng minh được kết quả sau cho sự hội tụ mạnh của phương pháp (0.5): Định lí 1.17. Cho E là một không gian Banach thực, phản xạ, lồi chặt, có chuẩn khả vi Gâteaux đều và A là ánh xạ m-J-đơn điệu trên E. Khi đó, với mỗi α > 0 và fδ ∈ E, phương trình (0.5) có nghiệm duy nhất xδα . Hơn
7 nữa, nếu tham số α được chọn sao cho δ/α → 0 khi α → 0 thì dãy {xδα } hội tụ mạnh tới phần tử x∗ ∈ E là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân sau x∗ ∈ S ∗ : hx∗ − x+ , j(x∗ − y)i ≤ 0, ∀y ∈ S ∗ , (1.2) ở đây S ∗ là tập nghiệm của (1.1) và S ∗ khác rỗng. Ta thấy, Định lí 1.17 đưa ra sự hội tụ mạnh của dãy nghiệm hiệu chỉnh {xδα } sinh bởi phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov (0.5) đến nghiệm x∗ của bài toán (1.1) mà không đòi hỏi tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J. Kết quả này là một sự cải tiến đáng kể so với kết quả của Ya.I. Alber và I.P. Ryazantseva (2006) (xem phần Mở đầu). Do khi A là ánh xạ phi tuyến thì (0.3), (0.4) và (0.5) là các bài toán phi tuyến nên để khắc phục hạn chế này, trong Chương 2, chúng tôi sẽ trình bày một phương pháp hiệu chỉnh khác, có tên là phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich. Đây là phương pháp hiệu chỉnh được xây dựng dựa trên phương pháp nổi tiếng trong giải tích số là phương pháp Newton-Kantorovich sẽ được trình bày khái quát lại ở Mục 1.2. 1.2. Phương pháp Newton-Kantorovich Mục này trình bày phương pháp Newton-Kantorovich và định lí hội tụ của phương pháp này. 1.3. Phương pháp điểm gần kề và một số cải biên Trong mục này, ta xét bài toán: Tìm phần tử p∗ ∈ H sao cho 0 ∈ A(p∗ ), (1.3) trong đó H là không gian Hilbert và A : H → 2H là ánh xạ đơn điệu cực đại. Ký hiệu Jk = (I + rk A)−1 là toán tử giải của A với tham số rk > 0, ở đây I là ánh xạ đơn vị trên H. 1.3.1. Phương pháp điểm gần kề Mục này trình bày phương pháp điểm gần kề của R.T. Rockafellar (1976) để tìm nghiệm của bài toán (1.3) và khẳng định của O. G¨ uler (1991) rằng phương pháp điểm gần kề chỉ đạt được sự hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh trong không gian vô hạn chiều.
8 1.3.2. Một số cải biên của phương pháp điểm gần kề Mục này trình bày một số cải biên của phương pháp điểm gần kề cũng như sự hội tụ mạnh của các cải biên này để tìm nghiệm của bài toán (1.3) bao gồm các kết quả của N. Lehdili và A. Moudafi (1996), H.K. Xu (2006), O.A. Boikanyo và G. Morosanu (2010; 2012), Ch.A. Tian và Y. Song (2013), S. Kamimura và W. Takahashi (2000), G. Marino và H.K. Xu (2004), Y. Yao và M.A. Noor (2008), F. Wang và H. Cui (2015). Nhận xét 1.6. Sự hội tụ mạnh của các cải biên của phương pháp điểm gần kề nêu ở trên đều sử dụng một trong các điều kiện (C0) exists constant ε > 0 such that rk ≥ ε for every k ≥ 1. (C0’) lim inf k→∞ rk > 0. (C0”) rk ∈ (0; ∞) for every k ≥ 1 and limk→∞ rk = ∞. Các điều kiện này đều dẫn tới dãy tham số {rk } của toán tử giải là không ∞ P khả tổng, tức là rk = +∞. Trong Chương 3, chúng tôi sẽ đưa ra hai k=1 cải biên mới của phương pháp điểm gần kề mà sự hội tụ mạnh của các phương pháp này được đưa ra dưới điều kiện về dãy tham số của toán tử giải hoàn toàn khác so với các kết quả đã biết. Cụ thể, chúng tôi sử dụng ∞ P điều kiện dãy tham số của toán tử giải là khả tổng, tức là rk < +∞. k=1
Chương 2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với toán tử loại đơn điệu Chương này trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich để tìm nghiệm của phương trình phi tuyến với ánh xạ loại đơn điệu. Các kết quả của chương này được trình bày dựa vào các công trình [20 ], [30 ] và [40 ] trong danh mục các công trình đã công bố. 2.1. Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với toán tử đơn điệu trong không gian Banach Xét phương trình toán tử phi tuyến A(x) = f, f ∈ E ∗ , (2.1) trong đó A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào không gian đối ngẫu của nó là E ∗ , với D(A) = E. Giả sử tập nghiệm của (2.1), ký hiệu là S, khác rỗng và thay cho f ta chỉ biết xấp xỉ của nó là fδ thỏa mãn kfδ − f k ≤ δ & 0. (2.2) Nếu A không có thêm tính chất đơn điệu mạnh hoặc đơn điệu đều thì phương trình (2.1) nói chung là bài toán đặt không chỉnh. Do khi A là ánh xạ phi tuyến thì các phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder-Tikhonov (0.3) (xem trang 2) và (0.4) (xem trang 2) là các bài toán phi tuyến nên để giải (2.1), trong mục này, ta xét một phương pháp hiệu chỉnh khác, có tên là phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich. Phương pháp hiệu chỉnh này được đề xuất bởi A.B. Bakushinskii (1976) dựa trên phương
10 pháp Newton-Kantorovich để tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân sau trong không gian Hilbert H: Tìm phần tử x∗ ∈ Q ⊆ H sao cho hA(x∗ ), x∗ − wi ≤ 0, ∀w ∈ Q, (2.3) trong đó A : H → H là ánh xạ đơn điệu, Q là tập lồi và đóng trong H. A.B. Bakushinskii đã đưa ra phương pháp lặp để giải bài toán (2.3) như sau:  z ∈ H, 0 (2.4) hA(z ) + A0 (z )(z n n n+1 − zn ) + αn zn+1 , zn+1 − wi ≤ 0, ∀w ∈ Q. Dựa trên cơ sở phương pháp của A.B. Bakushinskii, để tìm nghiệm của phương trình (2.1) khi A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Hilbert H vào H, A.B. Bakushinskii và A. Smirnova (2007) đã chứng minh được sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich: z0 = x+ ∈ H, A(zn ) + A0 (zn )(zn+1 − zn ) + αn (zn+1 − x+ ) = fδ , (2.5) với việc sử dụng nguyên lý độ lệch suy rộng kA(zN ) − fδ k2 ≤ τ δ < kA(zn ) − fδ k2 , 0 ≤ n < N = N (δ), (2.6) và điều kiện kA0 (x)k ≤ 1, kA0 (x) − A0 (y)k ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ H. (2.7) Nhận xét 2.1. Phương pháp (2.5) có ưu điểm nổi bật bởi tính chất tuyến tính của nó. Phương pháp này là một công cụ quan trọng để giải bài toán (2.1) trong trường hợp A là ánh xạ đơn điệu trong không gian Hilbert. Tuy nhiên, ta thấy điều kiện (2.7) là khá chặt và cần khắc phục để phương pháp (2.5) có thể áp dụng với lớp các ánh xạ rộng hơn. Khi E là không gian Banach, để giải phương trình (2.1) trong trường hợp thay cho f , ta chỉ biết xấp xỉ của nó fδn ∈ E ∗ , thỏa mãn (2.2), trong đó δ được thay thế bởi δn , I.P. Ryazantseva (1987, 2006) cũng đã phát triển phương pháp (2.4) để đưa ra phương pháp hiệu chỉnh lặp: z0 ∈ E, A(zn ) + A0 (zn )(zn+1 − zn ) + αn J s (zn+1 ) = fδn . (2.8) Sự hội tụ của phương pháp (2.8) đã được I.P. Ryazantseva đưa ra với giả thiết E là không gian Banach có tính chất ES, không gian đối ngẫu E ∗ là
11 lồi chặt và ánh xạ A thỏa mãn điều kiện kA00 (x)k ≤ ϕ(kxk), ∀x ∈ E, (2.9) ở đây ϕ(t) là hàm không âm và không giảm. Nhận xét 2.2. Ta thấy ngay các không gian lp và Lp (Ω) (1 < p < +∞) là các không gian Banach có tính chất ES và không gian đối ngẫu là lồi chặt. Tuy nhiên, do phương pháp (2.8) sử dụng ánh xạ đối ngẫu J s làm thành phần hiệu chỉnh nên nó có những nhược điểm giống như phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov (0.3) đã nêu ở trên. Để khắc phục các hạn chế này, trong [30 ], chúng tôi đưa ra phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich mới như sau: z0 ∈ E, A(zn ) + A0 (zn )(zn+1 − zn ) + αn B(zn+1 − x+ ) = fδn , (2.10) ở đây B là ánh xạ tuyến tính và đơn điệu mạnh. Trước hết, để tìm nghiệm của phương trình (2.1) trong trường hợp không có nhiễu cho f , ta có phương pháp lặp sau: z0 ∈ E, A(zn ) + A0 (zn )(zn+1 − zn ) + αn B(zn+1 − x+ ) = f. (2.11) Sự hội tụ của phương pháp (2.11) được đưa ra bởi định lí sau: Định lí 2.4. Cho E là không gian Banach thực, phản xạ, B là ánh xạ tuyến tính, mB -đơn điệu mạnh với D(B) = E, R(B) = E ∗ và A là ánh xạ đơn điệu, L-liên tục Lipschitz và hai lần khả vi Fréchet trên E thỏa mãn điều kiện (2.9). Giả sử dãy {αn } và điểm xuất phát z0 trong (2.11) thỏa mãn các điều kiện sau: a) {αn } là dãy đơn điệu giảm với 0 < αn < 1 và tồn tại số σ > 0 sao cho αn+1 ≥ σαn , với mọi n = 0, 1, ...; b) ϕ0 kz0 − x0 k ≤ q < 1, ϕ0 = ϕ(d + γ), (2.12) 2mB σα0 d ≥ max kB(x+ − x∗ )k/mB + kx∗ k, LkB(x+ − x∗ )k/m2B , trong đó số dương γ được tìm từ bất đẳng thức 2mB σα0 /ϕ0 ≤ γ, (2.13) x∗ là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân x∗ ∈ S, hB(x+ − x∗ ), x∗ − yi ≥ 0, ∀y ∈ S
12 và x0 là nghiệm của phương trình sau với với n = 0: A(x) + αn B(x − x+ ) = f. c) αn − αn+1 2 2mB σ 3 ≤ c(q − q ), c = . αn3 ϕ0 d Khi đó, zn → x∗ , ở đây zn được xác định bởi (2.11). Bây giờ, ta có kết quả sau cho sự hội tụ của phương pháp (2.10): Định lí 2.5. Cho không gian E và các ánh xạ A, B như trong Định lí 2.4 và fδn là phần tử trong E ∗ thỏa mãn (2.2), trong đó δ được thay thế bởi δn . Giả sử dãy {αn }, số thực d và điểm xuất phát z0 trong (2.10) thỏa mãn các điều kiện a), b) trong Định lí 2.4 và c) αn − αn+1 2 mB σ 3 δn 2 m2B σ 2 ≤ c1 (q − q ), c1 = , ≤ c2 (q − q ), c2 = . (2.14) αn3 ϕ0 d αn2 ϕ0 Khi đó, zn → x∗ , ở đây zn được xác định bởi (2.10). Nhận xét 2.3. Ta thấy, (2.10) và (2.11) là các bài toán tuyến tính. Việc đưa ra các phương pháp này đã khắc phục được tính chất "phi tuyến" của các phương pháp trước đây để tìm nghiệm của phương trình không chỉnh phi tuyến với ánh xạ đơn điệu trong không gian Banach. Về sự hội tụ mạnh, phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich (2.8) chỉ áp dụng đối với không gian Banach E có tính chất ES và không gian đối ngẫu E ∗ là lồi chặt, trong khi các phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton- Kantorovich (2.10) và (2.11) có thể sử dụng trong không gian Banach thực và phản xạ bất kỳ. Tuy nhiên, các phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich (2.10) và (2.11) đòi hỏi điều kiện A là ánh xạ liên tục Lipschitz. 2.2. Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với toán tử J-đơn điệu trong không gian Banach Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình phi tuyến A(x) = f, f ∈ E, (2.15)
13 trong đó A là ánh xạ J-đơn điệu trên không gian Banach E. Giả sử tập nghiệm của (2.15), ký hiệu là S ∗ , khác rỗng và thay cho f ta chỉ biết xấp xỉ của nó là fδ ∈ E thỏa mãn (2.2). Nếu A không có thêm tính chất J-đơn điệu mạnh hoặc J-đơn điệu đều thì bài toán (2.15), nói chung, là bài toán đặt không chỉnh. Một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi để giải bài toán (2.15) là phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov (0.5) (xem trang 2). Tuy nhiên, nếu A là ánh xạ phi tuyến thì (0.5) là bài toán phi tuyến. Để khắc phục hạn chế này, Ng. Bường và V.Q. Hùng (2005) đã nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich sau để tìm nghiệm của bài toán (2.15) trong trường hợp thay cho f ta chỉ biết xấp xỉ của nó là fδn ∈ E thỏa mãn điều kiện (2.2), trong đó δ được thay thế bởi δn : z0 ∈ E, A(zn ) + A0 (zn )(zn+1 − zn ) + αn (zn+1 − x+ ) = fδn . (2.16) Sự hội tụ mạnh của phương pháp (2.16) đã được Ng. Bường và V. Q. Hùng đưa ra dưới giả thiết E cùng với không gian đối ngẫu E ∗ là các không gian lồi đều, E có tính chất xấp xỉ và ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện kA(x) − A(x∗ ) − J ∗ A0 (x∗ )∗ J(x − x∗ )k ≤ τ kA(x) − A(x∗ )k, ∀x ∈ E (2.17) và A0 (x∗ )v = x+ − x∗ , (2.18) ở đây τ là hằng số dương nào đó, x∗ ∈ S ∗ được xác định duy nhất bởi (2.17), J ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E ∗ và v là phần tử nào đó trong E. Nhận xét 2.4. Ta thấy, (2.16) có ưu điểm là bài toán tuyến tính. Tuy nhiên, sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton- Kantorovich này cần thỏa mãn các điều kiện (2.17) và (2.18). Đây là các điều kiện tương đối chặt bởi vì chúng sử dụng đạo hàm Fréchet của ánh xạ A tại nghiệm chưa biết x∗ . Gần đây, trong [20 ], để giải phương trình (2.15), chúng tôi đã chứng minh sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich sau: z0 ∈ E, A(zn ) + A0 (zn )(zn+1 − zn ) + αn (zn+1 − x+ ) = fδ , (2.19)
14 mà không cần sử dụng các điều kiện (2.7), (2.17) và (2.18). Các kết quả của chúng tôi được chứng minh dựa trên Định lí 1.17. Do đó, sự hội tụ mạnh của phương pháp (2.19) cũng không cần sử dụng giả thiết liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J. Trước hết, xét phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich cho trường hợp không có nhiễu cho f : x0 ∈ E, A(xn ) + A0 (xn )(xn+1 − xn ) + αn (xn+1 − x+ ) = f. (2.20) Định lí 2.7. Cho E là không gian Banach thực, phản xạ, lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux đều, A là ánh xạ m-J-đơn điệu và hai lần khả vi Fréchet trên E với điều kiện (2.9). Giả sử dãy {αn }, số thực d và điểm xuất phát x0 thỏa mãn các điều kiện sau: a) {αn } là dãy đơn điệu giảm với 0 < αn < 1 và tồn tại σ > 0 sao cho αn+1 ≥ σαn , với mọi n = 0, 1, ...; b) ϕ0 kx0 − xα0 k ≤ q < 1, ϕ0 = ϕ(d + γ), 2σα0 số dương γ được tìm từ bất đẳng thức 2σα0 /ϕ0 ≤ γ, d ≥ 2kx∗ − x+ k + kx+ k, (2.21) trong đó x∗ ∈ S ∗ là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân (1.2) và xα0 là nghiệm của phương trình sau với n = 0: A(x) + αn (x − x+ ) = f. (2.22) c) αn − αn+1 q − q2 ϕ0 d 2 ≤ ; c1 = 2 . αn c1 2σ Khi đó, xn → x∗ , ở đây xn được xác định bởi (2.20). Định lí 2.8. Cho không gian E và ánh xạ A như trong Định lí 2.7. Ánh xạ A thỏa mãn thêm tính chất L-liên tục Lipschitz. Giả sử dãy {αn } thỏa mãn điều kiện a) của Định lí 2.7. Số τ > 1 trong (2.6) được chọn sao cho ˜ 0 − xα0 k ϕkz 3dL ≤ q, 0 < q < 1 − , 2σα0 τ˜σ (2.23) √ ϕ˜ = ϕ0 + 2L2 /˜ τ , τ˜ = ( τ − 1)2 ,
15 trong đó d được xác định như trong Định lí 2.7, số dương γ được tìm từ bất đẳng thức (2.21) với ϕ0 được thay thế bởi ϕ˜ và αn − αn+1 d 2Lσ + ≤ q. (2.24) αn2 τ˜ ϕ˜ ˜τ Khi đó, 1. Với n = 0, 1, ..., N (δ), ˜ n − xαn k ϕkz ≤ q, (2.25) 2σαn ở đây zn là một nghiệm của (2.19) và N (δ) được chọn bởi (2.6). 2. lim kzN (δ) − yk = 0, ở đây y ∈ S ∗ . Nếu N (δ) → ∞ khi δ → 0 thì y = x∗ , δ→0 trong đó x∗ ∈ S ∗ là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân (1.2). Nhận xét 2.5. Ngoài việc không cần sử dụng các điều kiện (2.7), (2.17), (2.18) và tính chất liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J, giả thiết về không gian Banach E trong các kết quả của chúng tôi cũng nhẹ hơn so với kết quả của Ng. Bường và V.Q. Hùng (2005). Cụ thể, trong các Định lí 2.7 và Định lí 2.8, chúng tôi chỉ cần giả thiết E là không gian phản xạ, lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux đều thay vì E cùng với không gian đối ngẫu E ∗ là các không gian lồi đều và E có tính chất xấp xỉ như trong kết quả của N. Bường và V.Q. Hùng. Tuy nhiên, sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich (2.19) cần bổ sung thêm điều kiện liên tục Lipschitz của ánh xạ A. 2.3. Ví dụ số về xấp xỉ hữu hạn chiều cho phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich Để giải phương trình (2.1), ta có thể sử dụng phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder-Tikhonov (0.4) hoặc phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich (2.10). Tuy nhiên, để có thể sử dụng được (0.4) và (2.10) cho việc giải các bài toán thực tế bằng máy tính thì nhiệm vụ trước tiên là phải xấp xỉ (0.4) và (2.10) bởi các phương trình tương ứng trong các không gian hữu hạn chiều. Ng. Bường (1996; 2001) đã đưa ra phương pháp xấp xỉ hữu hạn chiều cho nghiệm xδα của (0.4) như sau: An (x) + αBn (x − x+ ) = fnδ , (2.26)
16 với An = Pn∗ APn , Bn = Pn∗ BPn , fnδ = Pn∗ fδ , Pn là phép chiếu tuyến tính từ E lên không gian con En của E thỏa mãn En ⊂ En+1 , với mọi n, kPn k ≤ c, với c là hằng số và Pn∗ là ánh xạ liên hợp của Pn . Ta có kết quả sau cho sự hội tụ của dãy nghiệm {xδαn } của (2.26) đến nghiệm xδα của (0.4): Định lí 2.9. (Ng. Bường, 2001) Giả sử Pn∗ BPn x → Bx, với mọi x ∈ D(B). Điều kiện cần và đủ để với mỗi α > 0 và fδ ∈ E ∗ , dãy nghiệm {xδαn } của (2.26) hội tụ mạnh đến nghiệm xδα của (0.4) là Pn x → x khi n → ∞, với mọi x ∈ E. Áp dụng phương pháp (2.26) cho (2.10) với αn = α cố định, ta được An (zn ) + A0n (zn )(zn+1 − zn ) + αBn (zn+1 − x+ ) = fnδn . (2.27) Cho k(t, s) là hàm số thực hai biến số liên tục, không suy biến và không âm trên hình vuông [a, b] × [a, b] thỏa mãn: tồn tại một hằng số q 6= 2, 1 < q < ∞ sao cho Z bZ b |k(t, s)|q dsdt < +∞. (2.28) a a Khi đó, ánh xạ A được xác định bởi Z b (Ax)(t) = k(t, s)x(s)ds, x(s) ∈ Lp [a, b], (2.29) a 1 1 là ánh xạ đi từ không gian Lp [a, b] vào không gian Lq [a, b] với+ =1 p q và liên tục (S. Banach, 1932). Vì k(t, s) là hàm số liên tục và không âm trên hình vuông [a, b] × [a, b] nên A là ánh xạ đơn điệu trên Lp [a, b]. Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày việc áp dụng phương pháp (2.27) để giải phương trình tích phân kiểu Hammerstein sau: Z b (Ax)(t) = k(t, s)x(s)ds = f (t), (2.30) a với f (t) ∈ Lq [a, b]. Giả sử rằng nghiệm x(t) của (2.30) hai lần khả vi Fréchet và thỏa mãn điều kiện biên x(a) = x(b) = 0. Lấy Bx(t) = x(t) − x00 (t), với x(t) ∈ D(B) là bao đóng của tất cả các hàm trong C 2 [a, b] theo metric của Wq2 [a, b], thỏa mãn x(a) = x(b) = 0. Cho {tn0 = a < tn1 < · · · < tnn = b} là một phân hoạch đều của đoạn [a, b]. Xấp xỉ không gian E bởi dãy các không gian con tuyến tính En = L{ψ1 , ψ2 , ..., ψn }, trong đó ( 1, nếu t ∈ (tni−1 , tni ] ψi (t) = / (tni−1 , tni ]. 0, nếu t ∈
17 Chọn phép chiếu n X Pn x(t) = x(tni )ψi (t). (2.31) i=1 Xét phương trình (2.30) với a = 0, b = 1, k(t, s) = |t − s|. Rõ ràng Z 1Z 1 Z 1Z 1 |k(t, s)|3/2 dsdt = |t − s|3/2 dsdt < +∞. (2.32) 0 0 0 0 Vì vậy, ta xét q = 3/2 và p = 3. Với nghiệm chính xác là x∗ (s) = s(1 − s), ta tính được f (t) = −(1/6)t4 + (1/3)t3 − (1/6)t + 1/12. Sau đây là kết quả tính toán với việc lấy x+ (t) = 2,22 và fδn = f + δn , ở đây δn = 1/(1 + n)2 : Bảng 2.1. Kết quả tính toán với α = 0,5. n kzn+1 − x∗ k3 n kzn+1 − x∗ k3 4 0,2689666069 64 0,0424663883 8 0,1620043546 128 0,0298464819 16 0,1003942097 256 0,0230577881 32 0,0640826159 1024 0,0203963532 Bảng 2.2. Kết quả tính toán với α = 0,1. n kzn+1 − x∗ k3 n kzn+1 − x∗ k3 4 0,2600031372 64 0,0388129413 8 0,1534801504 128 0,0269295563 16 0,0936525099 256 0,0204623013 32 0,0591546836 1024 0,0176684288 Bảng 2.3. Kết quả tính toán với α = 0,01. n kzn+1 − x∗ k3 n kzn+1 − x∗ k3 4 0,1948813288 64 0,0295640389 8 0,1176798737 128 0,0196621910 16 0,0739066898 256 0,0138863679 32 0,0461148835 1024 0,0099425015 Qua các kết quả trên, ta thấy, việc áp dụng phương pháp (2.27) cho kết quả hội tụ tới nghiệm của phương trình (2.30) là khá tốt. Đặc biệt, với α càng nhỏ và tiến tới 0 thì zn+1 càng tiến gần tới nghiệm chính xác x∗ .
Chương 3 Phương pháp lặp để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert Chương này trình bày các cải biên của phương pháp điểm gần kề mà chúng tôi đã đạt được để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert. Nội dung của chương này được trình bày dựa vào các công trình [10 ] và [40 ] trong danh mục các công trình đã công bố. 3.1. Bài toán tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại • Mục này giới thiệu bài toán: Tìm phần tử p∗ ∈ H sao cho 0 ∈ A(p∗ ), (3.1) trong đó H là không gian Hilbert và A : H → 2H là ánh xạ đơn điệu cực đại. • Một trong những phương pháp được đưa ra đầu tiên để tìm nghiệm của bài toán (3.1) phải kể đến phương pháp điểm gần kề (0.12). Tuy nhiên, phương pháp điểm gần kề (0.12) chỉ đạt được sự hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh trong không gian vô hạn chiều. Với mục đích đạt được sự hội tụ mạnh, một số cải biên của phương pháp điểm gần kề đã được đưa ra (xem Mục 1.3.2). Như Nhận xét 1.6 trong Mục 1.3.2, sự hội tụ mạnh của các cải biên này đều được chứng minh dưới các điều kiện dẫn tới dãy tham số ∞ P của toán tử giải của ánh xạ A không khả tổng, tức là rk = +∞. k=1 • Để tìm p∗ ∈ H là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân p∗ ∈ C : hF p∗ , p∗ − pi ≤ 0, ∀p ∈ C, (3.2) với C = ZerA là tập các không điểm của ánh xạ A, F là ánh xạ L-liên tục Lipschitz và η-đơn điệu mạnh trên H, S. Wang (2012) đã đề xuất phương