Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:63

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu cơ sở toán học của việc xây dựng các sơ đồ lặp dựa trên dãy lặp đơn điệu và phương pháp dựa trên phương trình toán tử, tìm hiểu các thuật toán xây dựng và giải các hệ phương trình lưới từ đó cài đặt các chương trình tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán phi tuyến tính cấp 4 được mô tả bằng các sơ đồ lặp thông qua các ví dụ cụ thể. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HÀ HOÀNG VIỆT PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP 4 THÁI NGUYÊN, 10/2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HÀ HOÀNG VIỆT PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP 4 Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 846 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS. VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN, 10/2018
1 Mục lục Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt 3 Danh mục các bảng 4 Danh mục các hình vẽ, đồ thị 5 Lời nói đầu 6 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản 9 1.1. Một số kiến thức cơ bản về phương pháp lưới . . . . 9 1.1.1. Lưới sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2. Hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3. Đạo hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4. Quy ước viết vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5. Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.6. Liên hệ giữa đạo hàm và hàm lưới . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Phương pháp số giải bài toán Cauchy . . . . . . . . . . 12 1.2.1. Phương pháp Euler 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2. Phương pháp Euler 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3. Thuật toán RK4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. Phương pháp số giải bài toán biên cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với độ chính xác cấp cao . . 15 1.3.1. Thuật toán truy đuổi 3 đường chéo . . . . . . . . . . . 15 1.3.2. Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao 17 1.3.3. Lược đồ sai phân giải bài toán biên cho phương trình cấp hai với độ chính xác bậc cao . . . . . . . . . . . . . 21 Chương 2 Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn 26 2.1. Mô hình bài toán phi tuyến tổng quát . . . . . . . . . 26 2.2. Mô hình bài toán phi tuyến cấp 4 với hệ điều kiện biên thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 2.2.1. Sự tồn tại duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2. Phương pháp lặp xây dựng dãy lặp đơn điệu . . . . . . 31 2.3. Mô hình bài toán phi tuyến cấp 4 với hệ điều kiện đầu thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.1. Mô hình bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.2. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm . . . . . . . . . . . 33 Chương 3 Một số kết quả thực nghiệm 41 3.1. Mô hình bài toán cấp 4 phi tuyến với giá trị biên . . 41 3.2. Mô hình bài toán cấp 4 phi tuyến với giá trị ban đầu 47 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 Phần phụ lục 57
3 Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt N Lưới sai phân Ωk Không gian lưới ρ(h) Vô cùng bé so với h hα Vô cùng bé bậc α ∆x Số gia hàm RK4 Phương pháp Runge-Kutta A Ma trận Aij cấp n × n Pn (x) Đa thức bậc n Lk (x) Nhân tử Lagrange bậc k kvk Chuẩn trong không gian Rn G(x, t) Hàm Green B[O, M ] Hình cầu tâm O, bán kính M R+ Nửa dương của đường thẳng thực
4 Danh mục các bảng Bảng 1.1: Sai số ε trên lưới điểm c0 = 1; c1 = 2; d0 = 2; d1 = 3 Bảng 1.2: Sai số ε trên lưới điểm c0 = 1; c1 = 0; d0 = 1; d1 = 0 Bảng 3.1: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.1) Bảng 3.2: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.2) Bảng 3.3: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.3) Bảng 3.4: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.4) Bảng 3.5: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.5) Bảng 3.6: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.6) Bảng 3.7: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.7) Bảng 3.8: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.8)
5 Danh mục các hình vẽ, đồ thị Hình 3.1: Đồ thị nghiệm dương (Bài toán 3.1) Hình 3.2: Đồ thị nghiệm dương (Bài toán 3.2) Hình 3.3: Đồ thị nghiệm dương (Bài toán 3.3) Hình 3.4: Đồ thị nghiệm dương (Bài toán 3.4) Hình 3.5: Đồ thị nghiệm dương (Bài toán 3.5) Hình 3.6: Đồ thị nghiệm dương (Bài toán 3.6) Hình 3.7: Đồ thị nghiệm dương (Bài toán 3.7) Hình 3.8: Đồ thị nghiệm dương (Bài toán 3.8)
6 Lời nói đầu Bài toán cơ học mô tả bởi phương trình vi phân phi tuyến tính với hệ điều kiện biên đầy đủ là một bài toán khó, được các tác giả trên thế giới cũng như trong nước quan tâm. Đã có rất nhiều tài liệu đề cập tới việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán, tuy nhiên việc xác định nghiệm đúng của bài toán bằng phương pháp giải tích là khó thực hiện, vì vậy người ta chú ý đến việc nghiên cứu các phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ của bài toán bằng phương pháp chuyển bài toán phi tuyến về một dãy các bài toán tuyến tính thông qua một sơ đồ lặp, từ đó dựa trên phương pháp chuyển các bài toán vi phân tuyến tính về các bài toán sai phân được mô tả bằng các hệ phương trình đại số sau đó xây dựng các phương pháp giải các hệ đại số tuyến tính. Có hai vấn đề cần quan tâm là cơ sở toán học của việc xây dựng các sơ đồ lặp cùng với sự hội tụ của sơ đồ và các thuật toán giải các hệ phương trình sai phân với độ chính xác cao. Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu cơ sở toán học của việc xây dựng các sơ đồ lặp dựa trên dãy lặp đơn điệu và phương pháp dựa trên phương trình toán tử, tìm hiểu các thuật toán xây dựng và giải các hệ phương trình lưới từ đó cài đặt các chương trình tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán phi tuyến tính cấp 4 được mô tả bằng các sơ đồ lặp thông qua các ví dụ cụ thể. Luận văn “Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4” gồm phần mở đầu, ba chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1: Một số kiến thức cơ bản Trong chương này luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về phương pháp lưới, thuật toán truy đuổi giải hệ phương trình lưới và phương pháp
7 số giải bài toán biên cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với độ chính xác cấp cao. Chương 2: Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn Chương này, luận văn sẽ giới thiệu một số phương pháp lặp để tìm nghiệm gần đúng cho một số mô hình mô tả bởi phương trình vi phân phi tuyến bậc 4 bao gồm lý thuyết về phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới, phương pháp lặp dựa trên phương trình toán tử áp dụng cho trường hợp tổng quát. Chương 3: Một số kết quả thực nghiệm Trong chương này luận văn đưa ra một số kết quả số để khẳng định tính đúng đắn về lý thuyết đối với sự hội tụ của các sơ đồ lặp đã được đưa ra trong Chương 2. Mô hình các bài toán được tham khảo trong các tài liệu [5, 6]. Các kết quả số được thực hiện bằng các chương trình trong môi trường MATLAB trên máy tính PC. Mặc dù đã rất nghiêm túc và cố gắng thực hiện luận văn này, nhưng luận văn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định. Kính mong sự góp ý của các thầy cô để luận văn này được hoàn chỉnh và ý nghĩa hơn. Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Vũ Vinh Quang. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác và nghiên cứu của bản thân. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K10A; Nhà trường và các phòng chức năng của trường, Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình và các bạn đồng nghiệp đã
8 động viên, ủng hộ cũng như tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu và học tập. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018 Tác giả Hà Hoàng Việt
9 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản Nội dung chính của Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản về phương pháp lưới, một số thuật toán giải số các phương trình vi phân cấp 1 và cấp 2 với hệ điều kiện đầu và điều kiện biên. Các kiến thức trình bày được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 3, 7, 8]. 1.1. Một số kiến thức cơ bản về phương pháp lưới Cho khoảng [x0 , X]. Tìm hàm u = u(x) xác định trên [x0 , X] và thỏa mãn: u0 = f (x, u), x0 ≤ x < X, (1.1) u (x0 ) = η, (1.2) trong đó f (x, u) là một hàm cho trước và η là một số cho trước. Giả sử bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm u = u(x) đủ trơn, nghĩa là nó có đạo hàm liên tục đến cấp mà ta cần. 1.1.1. Lưới sai phân Ta chia đoạn [x0 , X] thành N đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con có (a − b) độ dài h = bởi các điểm xi = x0 + ih, i = 0, 1, ..., N . Tập điểm N xi gọi là một lưới sai phân trên [x0 , X] ký hiệu là Ωh . 1.1.2. Hàm lưới Giá trị của hàm lưới v tại nút xi viết là vi . Một số hàm u(x) xác định tại mọi x ∈ [a, b] sẽ tạo ra hàm lưới u có giá trị tại nút xi là ui = u (xi ).
10 1.1.3. Đạo hàm lưới Xét hàm lưới v. Đạo hàm lưới cấp một của v ký hiệu là vx , có giá trị tại nút xi là: vi+1 − vi vxi = . h Đạo hàm lưới lùi cấp một của v, ký hiệu là vx , có giá trị tại nút xi là: vi − vi−1 vxi = . h Ta sẽ thấy rằng khi h đủ bé thì đạo hàm lưới "xấp xỉ" được đạo hàm thường. 1.1.4. Quy ước viết vô cùng bé Khái niệm xấp xỉ liên quan đến khái niệm vô cùng bé. Để viết các vô cùng bé một cách đơn giản ta sẽ áp dụng qui ước sau đây: Giả sử đại lượng ρ(h) là một vô cùng bé khi h → 0. Nếu tồn tại α > 0 và hằng số M > 0 sao cho: | ρ (h) | 6 M hα thì ta viết: ρ (h) = O (hα ). Cách viết như trên có nghĩa là: Khi h nhỏ thì ρ(h) là một đại lượng nhỏ và khi h → 0 thì ρ(h) tiến đến số 0 không chậm hơn M hα . 1.1.5. Công thức Taylor Giả sử F (x) là một hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp m + 1 trong khoảng (α, β) chứa x và x + ∆x, ∆x có thể âm hay dương. Khi đó ta có công thức khai triển 0 (∆x)2 00 F (x + ∆x) = F (x) + ∆xF (x) + F (x) + ... m 2! m+1 (∆x) (∆x) ... + F (m) (x) + F (m+1) (c) m! (m + 1)! trong đó c là một điểm ở trong khoảng từ x đến x + ∆x. Có thể viết c = x + θ∆x với 0
θ(m+1) < 1.
Ta giả thiết thêm:
F (x)
6 M = const, x ∈ [α, β]. Khi đó (∆x)(m+1) (m+1) F (c) là một vô cùng bé khi ∆x → 0 (m + 1)!
11 tức là tồn tại hằng số K > 0 không phụ thuộc vào ∆x sao cho:
(∆x)(m+1)