Luận văn tốt nghiệp đại học: Định lý hàm số Cosin trong chương trình Toán – Hình học 10 ở trường phổ thông

Chia sẻ: đinh Công Chánh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:114

Thêm vào BST

Báo xấu

242
lượt xem 58
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn tốt nghiệp đại học: Định lý hàm số Cosin trong chương trình Toán – Hình học 10 ở trường phổ thông sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về định lý hàm số Cosin và có thể vận dụng tốt nó vào giải các bài toán cụ thể trong chương trình toán phổ thông.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn tốt nghiệp đại học: Định lý hàm số Cosin trong chương trình Toán – Hình học 10 ở trường phổ thông

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN TOÁN ------ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC ĐỊNH LÝ HÀM SỐ COSIN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN – HÌNH HỌC 10 Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện: PGS.TS Nguyễn Phú Lộc Lê Thị Bích Liễu MSSV: 1080051 Lớp: Sư Phạm Toán K34 CẦN THƠ 04/2012
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Phú Lộc đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành đề tài: “ Định lý hàm số Cosin trong chương trình Toán – Hình học 10 ở trường phổ thông”. Em xin cảm ơn quý thầy cô bộ môn Toán, khoa Sư phạm, trường Đại học Cần Thơ đã hướng dẫn chúng em học tập và nghiên cứu trong suốt qua trình chúng em học tập tại trường. Em xin cảm ơn các thầy cô Tổ Toán – Tin, trường THPT Tầm Vu 2 đã cung cấp một số tài liệu giúp em hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp của mình. Tuy có nhiều sự cố gắng trong quá trình thực hiện đề tài này, nhưng chắc chắn đề tài vẫn còn nhiều thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô. Xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Lê Thị Bích Liễu
Mục lục PHẦN MỞ ĐẦU............................................................................................................1 Chương 1 ĐỊNH LÝ HÀM SỐ COSIN VÀ CÁC KIẾN THỨC CÓ LIÊN QUAN.....3 1.1 Định lý hàm số Cosin ......................................................................................3 1.2 Các kiến thức có liên quan ..............................................................................6 1.2.1 Định lý Pythagore ....................................................................................6 1.2.2 Tổng, hiệu của hai vectơ..........................................................................6 1.2.3 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.........................8 1.2.4 Tích vô hướng của hai vectơ....................................................................9 1.2.5 Định lý Ptolemy .....................................................................................10 1.3 Chứng minh định lý hàm số Cosin................................................................10 Chương 2 PHÂN TÍCH NỘI DUNG ĐỊNH LÝ HÀM SỐ COSIN TRONG CHƯƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA HÌNH HỌC 10 ..........................................21 2.1 Phân tích nội dung định lý hàm số Cosin trong chương trình hình học lớp 10 ban cơ bản ................................................................................................................21 2.1.1 Về thời lượng giảng dạy, cách hình thành và chứng minh định lý.............21 2.1.2 Về ví dụ và bài tập áp dụng định lý hàm số Cosin trong SGK hình học 10 ban cơ bản ............................................................................................................22 2.2 Phân tích nội dung định lý hàm số Cosin trong chương trình hình học lớp 10 ban nâng cao.............................................................................................................25 2.2.1 Về thời lượng giảng dạy, cách hình thành và chứng minh định lý.............25 2.2.2 Về ví dụ và bài tập ứng dụng định lý hàm số Cosin trong SGK hình học 10 nâng cao ...............................................................................................................26 2.3 So sánh nội dung của định lý hàm số Cosin trong hai SGK Hình học 10 ở hai ban cơ bản và nâng cao ......................................................................................27 Chương 3ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ HÀM SỐ COSIN VÀO GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỤ THỂ .......................................................................................................................29 3.1 Dạng bài tập giải tam giác.............................................................................29 3.1.1 Yêu cầu bài toán ....................................................................................29 3.1.2 Cách giải ................................................................................................29 3.1.3 Bài tập minh họa ....................................................................................30 3.2 Dạng bài tập ứng dụng thực tế ......................................................................40 3.2.1 Yêu cầu bài toán ....................................................................................40 3.2.2 Cách giải ................................................................................................40 3.2.3 Bài tập minh họa ....................................................................................40 3.3 Dạng bài tập chứng minh đẳng thức hình học ..............................................44 3.3.1 Yêu cầu bài toán ....................................................................................44 3.3.2 Cách giải ................................................................................................45 3.3.3 Bài tập minh họa ....................................................................................45 3.4 Dạng bài tập chứng minh bất đẳng thức hình học.........................................65 3.4.1 Yêu cầu bài toán ....................................................................................65 3.4.2 Cách giải ................................................................................................65 3.4.3 Bài tập minh họa ....................................................................................65 3.5 Dạng bài tập nhận dạng tam giác ..................................................................73 3.5.1 Yêu cầu bài toán ....................................................................................73 3.5.2 Cách giải ................................................................................................73 111
3.5.3 Bài tập minh họa ....................................................................................74 3.6 Dạng toán ứng dụng định lý hàm số Cosin vào giải một số bài toán đại số .77 3.6.1 Yêu cầu bài toán ....................................................................................77 3.6.2 Cách giải ................................................................................................77 3.6.3 Bài tập minh họa ....................................................................................77 Chương 4 CÁC GIÁO ÁN ĐỀ NGHỊ SỬ DỤNG GIẢNG DẠY ĐỊNH LÍ HÀM SỐ COSIN TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC 10..................................................81 4.1 Giáo án 1 .......................................................................................................81 4.2 Giáo án 2 .......................................................................................................83 4.3 Giáo án 3 .......................................................................................................88 4.4 Giáo án 4 .......................................................................................................92 4.5 Giáo án 5 .......................................................................................................96 4.6 Giáo án 6 .....................................................................................................100 4.7 Giáo án 7 .....................................................................................................103 PHẦN KẾT LUẬN....................................................................................................108 TÀI LIỆU THAM KHẢO..........................................................................................109 112
PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Sau cách mạng 1789 ở Pháp, người ta quyết định xây dựng một hệ thống đo lường phổ cập, trong đó có đo độ dài. Nhưng bằng cách nào để có được một mét làm mẫu? Hai nhà thiên văn học Pierre Méchain và Jean Derlambre đã xét dãy các tam giác sắp xếp kề nhau theo đường kinh tuyến đi qua hai thành phố Dunkerque (Bắc Pháp) và Barclona (Tây Ban Nha). Bằng cách giải các tam giác này họ đã tính toán để tìm ra được mẫu một mét bằng bạch kim đạt tại Viên đo lường Paris. Đây là mẫu một mét cho “mọi thời đại”, “mọi dân tộc”. Ngoài ra, giải tam giác còn được áp dụng rất nhiều cho các phép đo đạc trong thực tế. Một trong những cách giải tam giác thường được sử dụng là định lý hàm số Cosin trong tam giác. Định lý này được phát minh ra bởi nhà toán học và thiên văn học Al Kashi ở vùng Đông Á. Định lý hàm số Cosin được đưa vào giảng dạy trong chương trình hình học lớp 10. Và đây là một trong những kiến thức quan trọng trong suốt quá trình học toán ở trường trung học phổ thông. Từ khi học ở bậc trung học cơ sở, học sinh đã trở nên quen thuộc với những hệ thức lượng trong một tam giác vuông. Khi đến bậc trung học phổ thông các em bắt đầu được làm quen với việc giải tìm các yếu tố trong tam giác thường, chứng minh những đẳng thức và bất đẳng thức trong một tam giác bất kì, đó là một kiến thức mới đối với các em và việc tiếp nhận cũng gây cho các em không ít khó khăn. Đặc biệt là việc các em phải lựa chọn cách nào để giải tam giác một cách chính xác nhất. Nhằm giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về định lý hàm số Cosin và có thể vận dụng tốt nó vào giải các bài toán cụ thể trong chương trình toán phổ thông, tôi quyết định chọn đề tài cho luận văn tốt nghiệp của mình là “Định lý hàm số Cosin trong chương trình môn Toán – Hình học 10 ở trường phổ thông”. Thông qua đề tài này tôi muốn hệ thống lại một số dạng bài tập áp dụng định lý hàm số Cosin như giải tam giác, chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác trong tam giác. Qua đó hình thành được một phương pháp dạy học hiệu quả định lý hàm số Cosin trong chương trình hình học lớp 10 cả ban cơ bản và nâng cao. 1
2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu nhằm hệ thống hóa lại các dạng bài tập sử dụng định lý hàm số Cosin và đề nghị được một số giáo án dạy học định lý hàm số Cosin trong chương trình môn Toán – hình học 10 giúp học sinh nắm được định lý và cách vận dụng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu định lý hàm số Cosin trong môn Toán ở trường trung học phổ thông trong chương trình Hình học 10. - Tìm hiểu các cách chứng minh khác nhau của định lý hàm số Cosin. - Tìm hiểu các dạng bài tập áp dụng định lý hàm số Cosin để giải. - Soạn được các giáo án giảng dạy định lý hàm số Cosin. 4. Phương pháp nghiên cứu - Phân tích nội dung chương trình sách giáo khoa ( SGK ) hình học 10 liên quan đến định lý hàm số Cosin. - Phân loại và hệ thống hóa các dạng toán áp dụng định lý hàm số Cosin trong chương trình hình học 10. 5. Đối tượng nghiên cứu - Nội dung định lý Cosin. - Các dạng bài tập có áp dụng định lý hàm số Cosin. - Các mô hình dạy học định lý toán học. 6. Cấu trúc về nội dung của luận văn Luận văn gồm 4 chương: Chương 1: Định lý hàm số Cosin và các kiến thức có liên quan. Chương 2: Phân tích nội dung định lý hàm số Cosin trong chương trình phổ thông. Chương 3: Ứng dụng định lý hàm số Cosin vào giải các bài toán cụ thể. Chương 4: Các giáo án đề nghị sử dụng giảng dạy định lý hàm số Cosin trong chương trình Hình học 10. 2
Chương 1 ĐỊNH LÝ HÀM SỐ COSIN VÀ CÁC KIẾN THỨC CÓ LIÊN QUAN Trong chương này trình bày nội dung định lý hàm số Cosin, các kiến thức liên quan dùng để chứng định lý này. Bên cạnh đó, trong chương này còn trình bày sáu cách chứng minh khác nhau định lý hàm số Cosin. 1.1 Định lý hàm số Cosin Trước khi trình bày nội dung của định lý hàm số Cosin, trong phần này sẽ trình bày một số thông tin về định lý hàm số Cosin. Định lý hàm số Cosin được phát minh ra bởi nhà toán học Al Kashi. Al Kashi ( 1380 – 22/06/1429) được sinh ra ở vùng Kashan, Iran. Ông là một nhà toán học, thiên văn học lớn của vùng Trung Á và là một trong những nhà bác học lớn cuối cùng của trường phái Samarkand đầu thế kỷ XV. Do đó, trong nhiều tài liệu người ta còn gọi định lý hàm số Cosin là định lý Al Kashi. Định lý hàm số Cosin là mở rộng của định lý Pythagore. Nếu định lý Pythagore cung cấp cho chúng ta một công cụ hiệu quả để tìm một cạnh còn thiếu trong một tam giác vuông, thì định lý hàm số Cosin đưa ra một phương pháp giúp ta tìm được một cạnh của tam giác thường khi biết được hai cạnh và góc xen giữa chúng, các góc của một tam giác khi biết các cạnh của một tam giác, cạnh thứ ba của một tam giác nếu biết hai cạnh và góc đối của một trong hai cạnh đó. Vào thế kỷ III trước công nguyên, có một định lý được phát biểu dưới dạng hình học do nhà toán học Euclide đưa ra mà được xem là tương đương với định lý hàm số Cosin. Định lý của Euclide được phát biểu như sau: “Trong một tam giác tù, bình phương của cạnh đối diện góc tù lớn hơn so với tổng bình phương của của hai cạnh kề góc tù là hai lần diện tích của hình chữ nhật bao gồm một cạnh bằng một trong hai cạnh kề góc tù của tam giác ( cụ thể là cạnh có đường cao hạ xuống nó ) và đoạn thẳng đã được cắt giảm từ đường thẳng kéo dài của cạnh đó về phía góc tù bởi đường cao trên.” Định lý trên đã được Thomas L. Heath phiên dịch lại. Và nếu như ta xét tam giác ABC có góc C là góc tù ( hình 1.1 ), ta có thể phát biểu dưới dạng đại số: AB 2 = AC 2 + BC 2 + 2. AC.CH 3
Hình 1.1. Tam giác tù ABC với đường cao BH Định lý hàm số Cosin Trong một tam giác, ta phát biểu định lý hàm số Cosin như sau: Trong một tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng của hai cạnh kia trừ đi hai lần tích của chúng với cosin của góc xen giữa hai cạnh đó. Trong tam giác ABC, với AB = c, BC = a, AC = b ta có A c b H C a Hình 1.2. Tam giác ABC a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A; b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B; c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C. Từ định lý hàm số Cosin có thể dễ dàng suy ra được các biểu thức tính giá trị cosA, cosB, cosC theo ba cạnh của tam giác ABC như sau: b2 + c2 − a 2 cos A = ; 2bc a 2 + c2 − b2 cos B = ; 2ac a 2 + b2 − c2 cos C = . 2ab Bên cạnh đó, việc áp dụng định lý hàm số Cosin có thể giúp ta tìm được độ dài các đường trung tuyến theo ba cạnh của một tam giác. 4
Trong tam giác ABC, với AB = c, BC = a, AC = b. Nếu đặt các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt là ma, mb, mc thì: 2 (b2 + c2 ) − a 2 ma = 2 ; 4 2 ( a + c2 ) − b2 2 mb 2 = ; (1.1) 4 2 ( a + b2 ) − c2 2 mc 2 = . 4 Việc chứng minh công thức (1.1) chủ yếu là áp dụng định lý hàm số Cosin. A c b ma B a C M 2 Cho tam giác ABC, với AB = c, BC = a, AC = b. Gọi M là trung điểm cạnh BC, ma là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A. Áp dụng định lý hàm số Cosin cho tam giác AMB ta có: 2 a a a2 ma 2 = c 2 +   − 2c cos B = c 2 + − ac cos B . 2 2 4 Xét trong tam giác ABC : a 2 + c2 − b2 cos B = . 2ac Khi đó : a 2 + c2 − b2 2 (b + c ) − a 2 2 2 a2 ma 2 = c 2 + − ac = . 4 2ac 4 2 (b2 + c2 ) − a 2 Vậy ma = 2 . 4 Chứng minh tương tự ta được: 2 ( a 2 + c2 ) − b2 mb = 2 ; 4 5
2 ( a 2 + b2 ) − c2 mc 2 = . 4 1.2 Các kiến thức có liên quan 1.2.1 Định lý Pythagore Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Xét tam giác vuông ABC tại A, với AB = c, BC = a, AC = b. Khi đó: a 2 = b2 + c2 Chứng minh: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A. Đặt BC = a, AC = b, AB = c. A c b B a C d H e Kẻ đường cao AH từ đỉnh A tới cạnh BC. Xét hai tam giác vuông HAC và ABC có:  AB ⊥ AC  = ABC  nên ∆ABC  ∆HAC .  ⇒ CAH  BC ⊥ AH a b Khi đó ta có: = ⇔ b 2 = ae. (1) b e Tương tự ta có hai tam giác vuông ABC và HBA đồng dạng. a c Khi đó ta có : = ⇔ c 2 = ad . (2) c d Từ (1) và (2) ta có: b2 + c 2 = a ( d + e ) ⇔ b2 + c 2 = a 2 (đpcm). 1.2.2 Tổng, hiệu của hai vectơ  Tổng của hai vectơ        Cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A tùy ý, vẽ AB = a và BC = b . Vectơ AC       được gọi là tổng của hai vectơ a và b . Ta ký hiệu tổng của hai vectơ a và b là a + b .    Vậy AC = a + b . Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ. 6
B   b  a   a+b C a A  b Hình 1.3. Tổng hai vectơ Từ định nghĩa tổng của hai vectơ ta suy ra được hai quy tắc sau đây :    Quy tắc ba điểm : Với ba điểm bất kì A, B, C ta có : AB + BC = AC . B A C Hình 1.4. Quy tắc ba điểm    Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD là hình bình hành. Khi đó : AB + AD = AC . A B D C Hình 1.5. Quy tắc hình bình hành  Hiệu của hai vectơ    Hai vectơ đối nhau : Nếu tổng của hai vectơ a và b là vectơ không, thì a là    vectơ đối của b , hoặc b là vectơ đối của a .   Vectơ đối của a kí hiệu là - a .   Khi đó ta định nghĩa hiệu của hai vectơ như sau : Hiệu của hai vectơ a và b , kí     hiệu a − b , là tổng của a và vectơ đối của b . Phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ. Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ ta suy ra được quy tắc sau :    Với ba điểm O, A, B tùy ý ta có : AB = OB − OA . 7
A O B Hình 1.6. Hiệu hai vectơ 1.2.3 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương Định nghĩa    Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Nếu một vectơ c có thể biễu diễn      dưới dạng c = ma + nb ( m, n ∈  ) thì khi đó vectơ c biểu thị được qua hai vectơ a và  b. Định lý    Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Khi đó mọi vectơ x đều có thể biễu   thị một cách duy nhất qua hai vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số thực m và n    sao cho x = ma + nb . Chứng minh   Cho hai vectơ không cùng phương a và b .  A’ a   x A b  a  O x  X b B B’       Từ một điểm O nào đó, ta vẽ các vectơ OA = a , OB = b ,OX = x. Khi đó ta xét các trường hợp sau :  Trường hợp 1 : X nằm trên đường thẳng OA. Khi đó OX cùng phương với       OA do đó tồn tại duy nhất số thực m sao cho OX = mOA. Vậy ta có : x = ma + 0b .  Trường hợp 2 : X nằm trên đường thẳng OB. Khi đó OX cùng phương với       OB do đó tồn tại duy nhất số thực n sao cho OX = nOB. Vậy ta có : x = 0a + nb . Trường hợp 3 : X không nằm trên cả hai đường thẳng OA và OB. 8
Ta lấy hai điểm A’, B’ lần lượt trên OA và OB sao cho OA’XB’ là hình bình hành nhận OX làm đường chéo.    Theo quy tắc hình bình hành ta có OX = OA ' + OB '. (1) Mà :     OA ' cùng phương với OA do đó tồn tại duy nhất số thực m sao cho OA ' = mOA . Và     OB ' cùng phương với OB do đó tồn tại duy nhất số thực n sao cho OB ' = nOB .    Thế vào (1) ta được : OX = mOA + nOB .    Vậy tồn tại cặp số thực m, n thỏa x = ma + nb .    Giả sử tồn tại cặp số thực m’, n’ cũng thỏa x = m ' a + n ' b .       Khi đó ta có : m ' a + n ' b = ma + nb ⇔ ( m '− m ) a = ( n − n ') b .  n − n'    Nếu m ≠ m ' thì a = b , suy ra hai vectơ a , b cùng phương ( trái với giả thiết ). m '− m Nên m = m’. Tương tự ta có n = n’. Vậy sự tồn tại cặp số m, n là duy nhất. 1.2.4 Tích vô hướng của hai vectơ Định nghĩa      Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0 . Tích vô hướng của a và b là một số, kí  hiệu là a.b , được xác định bởi công thức :      a.b = a b cos a, b .( ) Nhận xét     Khi có ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng 0 ta quy ước a.b = 0.       Khi a và b đều khác vectơ 0 ta có a.b = 0 ⇔ a ⊥ b.    2 Khi a = b tích vô hướng a.a được kí hiệu là a và số này được gọi là bình phương vô  hướng của a . 2   2 Ta có : a = a . a cos00 = a . Biểu thức tọa độ của tích vô hướng :    ( ) Trên mặt phẳng tọa độ O; i, j cho hai vectơ a = ( a1 ; a2 ) , b = ( b1 ; b2 ) , khi đó tích vô   hướng a.b là : a.b = a1b1 + a2b2 . 9
Chứng minh biểu thức tọa độ của tích vô hướng : Ta có :      ( )( a.b = a1 i + a2 j b1 i + b2 j ) 2   2 = a1b1 i + a1b2 i. j + a2b1 j.i + a2b2 j . 2 2   Mà i = j = 1 và i. j = j.i = 0 .  Nên ta có : a.b = a1b1 + a2b2 . 1.2.5 Định lý Ptolemy Định lý Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường đường tròn. Khi đó ta có hệ thức : AC .BD = AB.CD + BC . AD . Chứng minh B A E C D  = BDC Trên AC ta lấy một điểm E sao cho ADE  . Xét hai tam giác ADE và BDC ta  = BDC có : ADE .  = DBC Và CAD  ( chắn cùng một cung ). AD AE Nên ∆ADE  ∆BDC . Do đó ta có : = ⇔ AD.BC = AE.BD. (1) BD BC CD CE Tương tự ∆CDE  ∆BDA. Ta có : = ⇔ AB.CD = CE.BD. (2) BD AB Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được : AB.CD + AD.BC = BD ( AE + CE ) ⇔ AB.CD + AD.BC = AC.BD. Vậy định lý Ptolemy được chứng minh xong. 1.3 Chứng minh định lý hàm số Cosin Các cách chứng minh định lý hàm số Cosin dưới đây chủ yếu có nguồn từ Internet và một số sách tham khảo, có rất nhiều cách khác nhau để chứng minh định 10
lý này. Tuy nhiên tôi chỉ trình bày bảy cách với các kiến thức chủ yếu như : phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, định lý Pythagore, định lý Ptolemy, hệ thức lượng trong tam giác vuông và các phép toán vectơ. Cách 1 Theo nguồn [19], ta có thể trình bày cách chứng minh như sau. Cho tam giác ABC với BC = a, AC = b, AB = c. y C b a B A ≡O H c x Từ C kẻ đường cao CH. Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, khi đó ta có: A(0;0), B( c;0). Gọi C ( x; y ) trong đó:  x = b cos A  . Khi đó C ( b cos A; b sin A ) .  y = b sin A  ⇒ BC = ( b cos A − c; bsinA ) . Mà :  a = BC = ( b cos A − c ) + ( bsinA) 2 2 ⇒ a 2 = ( b cos A − c ) + ( bsinA ) = b 2 + c 2 − 2bc cos A. 2 2 Vậy a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A. Chứng minh tương tự ta được: b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B; c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C. Định lý được chứng minh. Cách 2 Theo [18, tr. 126 – 127], ta có thể trình bày cách chứng minh này như sau: Cho tam giác ABC, với BC = a, AC = b, AB = c. Khi đó: c 2 = a 2 + b2 − 2ab cos C (1) . Chứng minh 11
Kẻ đường cao AD đến cạnh BC. Khi đó ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1: D ≡ B A b c a C D≡B a Khi đó: cos C = thế vào công thức (1) ta được: b a c 2 = a 2 + b 2 − 2ab b = b2 − a 2 . Vậy c 2 = a 2 − b2 đúng theo định lý Pythagore. Trường hợp 2: D ≡ C A c b a B D≡C Chứng minh tương tự trường hợp 1 ta được: c 2 = a 2 + b2 đúng theo định lý Pythagore. Trường hợp 3: D khác B và C. Khi đó hoặc D ở giữa B và C hoặc B nằm ngoài đoạn thẳng BC. Ta xét ba trường hợp sau đây: A A A c c c b b b B C B a C D a D a C D B Hình 1 Hình 2 Hình 3 Theo hình 1 ta có: 12
DB 2 + AD 2 = AB 2 ⇒ DB 2 + AD 2 = c 2 (*). Theo hình 2 ta có: DC 2 + AD 2 = AC 2 ⇒ DC 2 + AD 2 = b 2 (**). Từ (*) và (**) ta suy ra : c 2 − DB 2 = b 2 − DC 2 . (2) Giả sử D ở giữa B và C. Khi đó : BC = ( BD + DC ) hay a = ( BD + DC ) . Khi đó : a 2 = BD 2 + 2.BD.DC + DC 2 ⇒ BD 2 = a 2 − 2.BD.DC − DC 2 . Thế vào công thức (2) ta được : b 2 − DC 2 = c 2 − ( a 2 − 2.BD.DC − DC 2 ) ⇔ c 2 = a 2 + b 2 − 2( BD + DC ).DC ⇔ c 2 = a 2 + b 2 − 2 BC.DC ⇔ c 2 = a 2 + b 2 − 2.a.DC. Mà xét trong tam giác vuông ADC trong hình 3 ta có: DC = b.cos C . Vậy c 2 = a 2 + b2 − 2.a.b.cos C . Định lý được chứng minh xong. Cách 3 Theo [21], cách chứng minh này được trình bày như sau : Cho tam giác ABC, với BC = a, AC = b, AB = c. Khi đó: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A; b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B; c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C. Ta chứng minh công thức : a 2 = b2 + c 2 − 2bc cos A . Trường hợp 1 : Góc A là góc nhọn C b a A c B H Xét trong tam giác vuông AHC ta có : 13
CH = b sin A; AH = b cos A. Xét tam giác vuông BHC và áp dụng định lý Pythagore ta có : a 2 = HB 2 + CH 2 ⇔ a 2 = ( c − AH ) + CH 2 2 ⇔ a 2 = ( c − b cos A ) + ( b sin A ) 2 2 ⇔ a 2 = c 2 − 2bc cos A + b 2 cos 2 A + b 2 sin 2 A ⇔ a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A. Vậy a 2 = b2 + c 2 − 2bc cos A . Trường hợp 2 : Góc A là góc vuông C a b A B c Khi đó : cos A = 0 . Ta xét công thức định lý hàm số Cosin : a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A ⇔ a 2 = b2 + c2 . Công thức đúng theo định lý Pythagore. Trường hợp 3 : Góc A là góc tù Chứng minh tương tự như trường hợp 1 ta được điều phải chứng minh. Thật vậy, Ta xét tam giác ABC với góc A là góc tù. C a b B H A c Xét trong tam giác vuông AHC ta có :  ) = b sin( − C CH = b sin(CAH   AB) = b sin C AB = b sin A;  ) = b cos( − C AH = b cos(CAH  AB) = −b cos CAB = −b cos A. Xét trong tam giác vuông BHC và áp dụng định lý Pythagore ta có : 14
a 2 = HB 2 + CH 2 ⇔ a 2 = ( c + AH ) + CH 2 2 ⇔ a 2 = ( c − b cos A ) + ( b sin A ) 2 2 ⇔ a 2 = c 2 − 2bc cos A + b 2 cos 2 A + b 2 sin 2 A ⇔ a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A. Vậy a 2 = b2 + c 2 − 2bc cos A . Ta xét hai công thức : b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B; c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C. Khi đó việc chứng minh hai công thức này hoàn toàn tương tự với việc chứng minh công thức a 2 = b2 + c 2 − 2bc cos A . Vậy định lý đã được chứng minh xong. Cách 4 Cách chứng minh dưới đây được lấy ý tưởng chứng minh định lý hàm số Cosin của chính nhà toán học Al Kashi – người đã phát minh ra định lý này. Theo [20], ta có thể trình bày cách chứng minh này như sau: Cho tam giác ABC, với BC = a, AC = b, AB = c. Lần lượt kẻ các đường cao AH, BK, CL. Trường hợp 1: Cả ba góc A, B, C đều nhọn A c K b L C B H a Lần lượt xét các tam giác vuông sau: Trong tam giác vuông AHB có: BH = c.cosB. Trong tam giác vuông AHC có: CH = b.cosC. Trong tam giác vuông ALC có: AL = b.cosA. Trong tam giác vuông BLC có: BL = a.cosB. Trong tam giác vuông AKB có: AK = c. cosA. Trong tam giác vuông BKC có: CK = a.cosC. 15
Ta có: a = CH + BH = b cos C + c cos B ⇒ a = ab cos C + ac cos B. (1) 2 b = AK + CK = c cos A + a cos C ⇒ b 2 = bc cos A + ab cos C. (2) c = AL + BL = b cos A + a cos B ⇒ c = bc cos A + ac cos B. (3) 2 Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: a 2 − b 2 − c 2 = ( ab cos C + ac cos B ) − ( bc cos A + ab cos C ) − ( bc cos A + ac cos B )  2 b − a − c = ( bc cos A + ab cos C ) − ( ab cos C + ac cos B ) − ( bc cos A + ac cos B ) 2 2  2 c − a − b = ( bc cos A + ac cos B ) − ( ab cos C + ac cos B ) − ( bc cos A + ab cos C ) 2 2 a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A  ⇔ b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C.  Trường hợp 2: Tam giác ABC có một góc vuông. Không mất tính tổng quát giả sử A là góc vuông. C a b B A c c b Do A là góc vuông nên ta có : cos A = 0; cos B = ; cos C = . a a a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A  Khi đó : b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C  16