Luật mạnh số lớn cho dãy các vectơ ngẫu nhiên phụ thuộc đôi một theo khối và phụ thuộc âm theo tọa độ trong không gian Hilbert

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết này thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy các vectơ ngẫu nhiên phụ thuộc đôi một theo khối và phụ thuộc âm theo tọa độ trong không gian Hilbert trường hợp phân phối không xác định, nhận các giá trị thực trong không gian Hilbert có thể phân tách.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luật mạnh số lớn cho dãy các vectơ ngẫu nhiên phụ thuộc đôi một theo khối và phụ thuộc âm theo tọa độ trong không gian Hilbert

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Luật mạnh số lớn cho dãy các vectơ ngẫu nhiên phụ thuộc đôi một theo khối và phụ thuộc âm theo tọa độ trong không gian Hilbert Strong law of large numbers for sequences of random vectors that are double-dependent in blocks and negatively dependent on coordinates in Hilbert space Nguyễn Thị Hồng*, Nguyễn Thị Diệp Huyền *Tác giả liên hệ: nguyenhong.sd@gmail.com Trường Đại học Sao Đỏ Ngày nhận bài: 18/4/2022 Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 10/3/2023 Ngày chấp nhận đăng: 31/3/2023 Tóm tắt Bài viết này thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy các vectơ ngẫu nhiên phụ thuộc đôi một theo khối và phụ thuộc âm theo tọa độ trong không gian Hilbert trường hợp phân phối không xác định, nhận các giá trị thực trong không gian Hilbert có thể phân tách. Từ khóa: Luật mạnh số lớn; không gian Hilbert; phụ thuộc đôi một theo khối và phụ thuộc âm theo tọa độ. Abstract This article establishes the strong law of large numbers for sequences of blockwise pairwise and coordinatewise negatively dependent random vectơrs taking values in real separable Hilbert spaces non-identically distributed cases. Keywords: Strong law of large numbers; Hilbert space; blockwise pairwise and coordinatewise negative dependence. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ theo khối và phụ thuộc âm theo tọa độ của dãy vectơ ngẫu nhiên trong không gian Hilbert. Luật số lớn trong lý thuyết xác suất có nhiều ứng dụng trong thống kê, toán kinh tế, khoa học tự nhiên và một 2. MỘT SỐ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ số lĩnh vực khác, nó khẳng định trung bình cộng của các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối hội tụ Định nghĩa 1 [1]. Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên, hầu chắc chắn (h.c.c) hoặc hội tụ theo xác suất (a.s) ℝ ta nói X và Y phụ thuộc âm nếu. về kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên đó. Bên cạnh đó tính độc lập của các biến ngẫu nhiên cũng đóng vai P( X £ x, Y £ y) £ P( X £ x) P( X £ x) "x, y Î! . trò quan trọng, nhưng trong thực tế ta gặp nhiều hiện tượng ngẫu nhiên nhiên phụ thuộc lẫn nhau, vì vậy Định nghĩa 2 [1]. Dãy biến ngẫu nhiên {Xi, i ≥ 1} được việc nghiên cứu sự phụ thuộc khác nhau của các biến cho là phụ thuộc âm đôi một nếu Xi và Xj phụ thuộc ngẫu nhiên sẽ phù hợp với các ứng dụng trong thực tế. âm với i ≠ j. Có nhiều tác giả nghiên cứu về luật số lớn nhận giá trị Định nghĩa 3 [2]. Một dãy các biến ngẫu nhiên (có giá trong các không gian trừu tượng như metric, Banach, trị thực) {Xi, i ≥ 1} được cho là phụ thuộc âm đôi một Hilbert,.. theo khối nếu với mỗi k ≥ 1, tập hợp {Xi, i ∈ [2k-1, 2k]} là Khái niệm phụ thuộc âm đôi một của các biến ngẫu phụ thuộc âm đôi một. nhiên có giá trị thực được đưa ra bởi Lehmann [1]. Các Gọi H là một không gian Hilbert thực có thể phân tách khái niệm về các vectơ ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi được với tích vô hướng ×, × , chuẩn tương ứng × và một và phụ thuộc theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert đã được giới thiệu bởi N. T. T. Hiền [2]. cơ sở trực chuẩn {ej, j ∈ B}. Mục tiêu bài báo này là: Mở rộng luật mạnh số lớn Định nghĩa 4 [2]. Một dãy {Xn, n ≥ 1} các vectơ ngẫu Loève cổ điển thành khối ngẫu nhiên phụ thuộc đôi một nhiên trong H được gọi là phụ thuộc đôi một theo khối và phụ thuộc âm theo tọa độ nếu với mỗi j ∈ B, dãy các Người phản biện: 1. PGS. TS. Khuất Văn Ninh { } biến ngẫu nhiên Xn , ej , n ³ 1 là phụ thuộc đôi một theo khối. Ta ký hiệu Xn , ej bằng Xn j ) . ( 2. TS. Nguyễn Viết Tuân 52 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, Số 1 (80) 2023
NGÀNH TOÁN HỌC Bổ đề 1 [2]. Gọi {Xn, n ≥ 1} là dãy vectơ ngẫu nhiên phụ j ) = -bn I Xn j ) < -b)n + Xnj ) I Xjn)j ) £ bn) ( Yn (j) ( (j thuộc đôi một theo khối và phụ thuộc âm theo tọa độ, Y = -bn I Xn < -bn + Xn I Xn £ bn n ( ( ( (j ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) ) 2 kỳ vọng 0 trong H thỏa mãn E X n < ¥ với mọi n ≥ 1. + bn I Xnj ) > bn ) , Yn = å Yn j ) ej . ( j ) ( (j ( Khi đó với n ≥ 1, ta có: + bn I Xn > bn ,jYn = å Yn ej . ÎB j ÎB æ k 2 ö n Các kết luận sau đây được đưa ra bởi L. V. Thành [14]. E ç max ç 1£ k£ n å Xi ÷ £ log2 ( 2n) å E Xi 2 . ÷ Lưu ý rằng chúng tôi không sử dụng bất kỳ cấu trúc è i =1 ø i =1 phụ thuộc nào của dãy {Xn, n ≥ 1} để có được những kết luận này. Khái niệm về hàm biến đổi chính quy được trình bày ( )+P rn (j 2 trong [9, Chương 1]. E Xn ) I Xn ) £ bn (j E Xn ) ( j (X (j) ) xác suất ( Ω, ℱ, ℙ ) và A , n ³ 1 là dãy các biến cố. n > bn £ 2 , n ³ 1, j Î B, Bổ đề 2 [10] (Bổ đề Borel - Cantelli). Cho không gian 2 bn r bnn (4) n { } ¥ å P ( Xn ¹ Yn ) < ¥, Khi đó: å ℙ ( A ) < ¥ thì ℙ (limsup A ) = 0. ¥ n=1 i) Nếu Và n n å ( An ) = ¥ và ℙ ( Ai Aj ) £ℙ ( Ai )ℙ ( Aj ) ℙ n =1 ¥ n ii) Nếu å EYi (5) Với i ¹ j thì ℙ ( limsup An ) = 1. i =1 n =1 ® 0 a.s. as n ® ¥. bn với Theo định nghĩa của Yn, Bổ đề 3 [11] (Bổ đề Toeplitz). Cho {ank, 1≤ k ≤ kn, n ≥1} 2 å E ( Yn( ) ) là mảng các số thực thỏa mãn với mọi k ³ 1, lim ank = 0 ¥ E Yn - EYn ¥ log2 n 2 å log2 n £ å j n®¥ kn 2 2 bn bn sup å ank < ¥. Cho {xn, n ≥1} là dãy các số thực. n=1 n=1 j ÎB và æ ( ) ö 2 n ³1 k =1 (j) (j) ç E Xn I Xn £ bn ( ) ÷ 2 ¥ Khi đó £ ååç + P Xn ) > bn (j ÷ log n (6) kn 2 n=1 j ÎB ç bn ÷ i) Nếu lim xn = 0 thì lim å ank xk = 0. ç è ÷ ø ℝ n®¥ n®¥ k =1 rn kn E Xn ) (j £ bn lim å ank = 1 ¥ ii) Nếu lim xn = x Î! và thì £ 2å å r log2 n < ¥. (theo (2)) n®¥ n ®¥ bnn k =1 n=1 j ÎB kn lim å ank xk = x. Đặt: n ®¥ k =1 j 1 Tk = b2k+1 - b2k k maxk+1 å (Yi - EYi ) , k ³ 0. 3. KẾT QUẢ CHÍNH 2 £ j
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC b2k+1 k b2 j +1 - b2 j Với k ≥ 0. = b2k å b2k+1 Tj (8) 2 j =0 æ 1 j ö k b2 j +1 - b2 j ETk2 £ CE ç max ç b k+1 log 2 k+1 2k £ j
NGÀNH TOÁN HỌC [3]. V. T. N. Anh and N. T. T. Hien (2021), On the [9]. E. Seneta (1976), Regularly Varying Functions, weak laws of large numbers for weighted sums of Vol. 508 of Lecture Notes in Mathematics, dependent identically distributed random vectơrs Springer, Berlin. in Hilbert spaces, Rend. Circ. Mat. Palermo, [10]. V. V. Petrov (2002), A note on the Borel-Cantelli Ser. 2 70, 1245-1256 http://link.springer.com/ lemma, Statist. Probab. Lett., 58, 283-286 Ed.; article/10.1007/s12215-020-00555-w. Springer-Verlag, New York. [4]. N. T. T. Hien and L. V. Thanh (2015), On the weak [11]. M. Lo–ve (1977), Probability Theory I, 4th Ed.; laws of large numbers for sums of negatively Springer-Verlag, New York. associated random vectơrs in Hilbert spaces, Stat. Probab. Lett. 107, 236-245 [12]. N. H. Bingham, C. M. Goldie and J. L. Teugels (1989), Regular Variation, Vol. 27 of Encyclopedia [5]. [5]. M. H. Ko, T. S. Kim and K. H. Han (2009), of Mathematics and its Applications (Cambridge A note on the almost sure convergence for Univ. Press, Cambridge). dependent random variables in a Hilbert space, J. Theor. Probab. 22, 506-513. [13]. V. Pipiras and M. S. Taqqu (2017), Long-Range Dependence and Self-Similarity, Cambridge Univ. [6]. L. V. Thanh (2013), On the almost sure Press, Cambridge. convergence for dependent random vectơrs in Hilbert spaces, Acta Math. Hung. 139, 276-285 [14]. L. V. Thanh (2013), On the almost sure convergence for dependent random vectors in [7]. A. R. Dabrowski and H. Dehling (1988), A Berry- Hilbert spaces, Acta Math. Hung. 139, 276-285. Esseen theorem and a functional law of the iterated logarithm for weakly associated random [15]. S. Csorg¨ o, K. Tandori and V. Totik (1983), On vectơrs, Stoch. Process. Appl. 30, 277-289). the strong law of large numbers for pairwise independent random variables, Acta Math. Hung. [8]. V. T. N. Anh, N. T. T. Hien, L. V. Thanh and V. T. 42, 319-330. H. Van (2021), The Marcinkiewicz-Zygmund type strong law of large numbers with general normalizing sequences, J. Theor. Prob. 34, 331-348. AUTHORS INFORMATION Nguyen Thi Hong*, Nguyen Thi Diep Huyen *Corresponding Author: nguyenhong.sd@gmail.com Sao Do University. Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, Số 1 (80) 2023 55