zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Luyện thi ĐH môn Toán: Phương pháp từng phần tìm nguyên hàm - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Nguyễn Thị Oanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

257
lượt xem 33
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Luyện thi ĐH môn Toán: Phương pháp từng phần tìm nguyên hàm - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về phương pháp từng phần tìm nguyên hàm thật hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi ĐH môn Toán: Phương pháp từng phần tìm nguyên hàm - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PP TỪNG PHẦN TÌM NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP: Công thức nguyên hàm từng phần I = ∫ P ( x).Q ( x)dx = ∫ udv = uv − ∫ vdu Độ ưu tiên khi lựa chọn đặt u: Hàm logarith, lnx → hàm đa thức → hàm lượng giác = hàm mũ. Nếu I có chứa ln n [ g ( x)] thì đặt u = ln n [ g ( x)]  ( ) → du = ln n [ g ( x)] ' Nếu I có chứa hàm đa thức (không chứa hàm loga) thì đặt u = P(x) Nếu I có chứa cả hàm lượng giác và hàm mũ thì ta có thể đặt tùy ý, tuy nhiên qua trình tính sẽ gồm các vòng lặp. Để việc tính toán đúng thì trong mỗi vòng lặp, các thao tác đặt u phải cùng dạng hàm với nhau. Chú ý: Với các bài toán tìm nguyên hàm từng phần, chúng ta có thể sử dụng cách giải truyền thống (đặt u, tìm v) hoặc cách giải nhanh(chuyển nguyên hàm cần tính về dạng ∫ udv ) mà không cần đặt u, v. Tuy nhiên cách giải nhanh chỉ có thể dùng được khi học sinh phải rất thành thạo vi phân. Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ∫ a) I1 = x sin x dx ∫ b) I 2 = xe3 x dx ∫ c) I 3 = x 2 cos x dx ∫ d) I 4 = x ln x dx Hướng dẫn giải: ∫ a) I1 = x sin x dx u = x du = dx Cách 1: Đặt  ← → sin xdx = dv v = − cos x  ∫ ∫ → I1 = x sin xdx = − x cos x + cos xdx = − x cos x + sin x + C. Cách 2: I1 = x sin x dx = − xd (cos x) = −  x cos x − cos x dx  = − x cos x + sin x + C ∫ ∫ ∫   ---------------------------------------------------- ∫ b) I 2 = xe3 x dx du = dx u = x  Cách 1: Đặt  3 x ← → 1 3x e dx = dv v = 3 e 1 1 1 1 3x 1 1  ∫ 3 3∫ → I 2 = xe3 x dx = xe3 x − e3 x dx = xe3 x − 3 9∫e d (3 x) = xe3 x − e3 x + C 3 9 ∫ ( ) 1 1 1 1 3x  1 1  ∫ Cách 2: I 2 = xe3 x dx = x d e3 x =  xe3 x − e3 x dx  =  xe3 x − ∫ ∫ e d (3 x)  =  xe3 x − e3 x  + C 3 3   3 3  3 3  ------------------------------------------------------------ ∫ c) I 3 = x 2 cos x dx u = x 2  du = 2 xdx Cách 1: Đặt  ← → cos x dx = dv v = sin x ∫ ∫ Khi đó I 3 = x 2 cos x dx = x 2 sin x − 2 x sin x dx = x 2 sin x − 2 J u = x  du = dx Xét J = ∫ x sin x dx. Đặt  sin x dx = dv ← → v = − cos x  ∫ → J = − x cos x + cos xdx = − x cos x + sin x  → I 3 = x 2 sin x − 2 ( − x cos x + sin x ) + C. ∫ ∫ ∫ ∫ Cách 2: I 3 = x 2 cos x dx = x 2 d (sin x) = x 2 sin x − sin x d ( x 2 ) = x 2 sin x − 2 x sin x dx Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ∫ ∫ = x 2 sin x + 2 xd (cos x) = x 2 sin x + 2 x cos x − 2 cos x dx = x 2 sin x + 2 x cos x − 2sin x + C. ------------------------------------------------------------ ∫ d) I 4 = x ln x dx  dx u = ln x  du = x x2 x 2 dx x 2 x2 Cách 1: Đặt   x dx = dv ← → v = x 2  → I 4 = x ln x dx = 2 ln ∫ x − 2 x . = 2 ln x − 4 + C. ∫  2  x2  x2 x2 x2 x 2 dx x 2 x2 ∫ ∫ Cách 2: I 4 = x ln x dx = ln x d   = ln x − d ( ln x ) = ln x − ∫ = ln x − + C. ∫  2  2 2 2 2 x 2 4 Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ∫ a) I 5 = x 2 ln x dx b) I 6 = x ln 2 ( x + 1) dx ∫ c) I 7 = ∫ ln ( x + ) 1 + x 2 dx d) I8 = ∫e x sin x dx Hướng dẫn giải: ∫ a) I 5 = x 2 ln x dx  dx  du = u = ln x  x x3 x 3 dx x 3 x3 ← →  → = = ∫ − = − + C. ∫ 2 Cách 1: Đặt  2 I 5 x ln x dx ln x . ln x  x dx = dv 3 v = x 3 3 x 3 9  3  x3  x3 x3 x3 x3 dx x3 x3 ∫ ∫ Cách 2: I 5 = x 2 ln x dx = ln x d   = ln x − d ( ln x ) = ln x − ∫ = ln x − + C. ∫  3  3 3 3 3 x 3 9 ------------------------------------------------------------ b) I 6 = x ln 2 ( x + 1) dx ∫  x2  x2 Ta có I 6 = x ln 2 ( x + 1) dx = ln 2 ( x + 1) d   = ln 2 ( x + 1) − ∫ ∫ x2 d ln 2 ( x + 1) ∫ ( )  2  2 2 x 2 x 2ln ( x + 1) 2 x 2 x 2 x2 = ln 2 ( x + 1) − . ∫ dx = ln 2 ( x + 1) − ∫ ln ( x + 1) dx = ln 2 ( x + 1) − J 2 2 x +1 2 x +1 2 x 2 ( x − 1) + 1 2  1  Xét J = ∫ ln ( x + 1) dx = ln ( x + 1) dx =  x − 1 + ∫ ∫  ln ( x + 1) dx = x +1 x +1  x +1  x2  = ln ( x + 1) d  − x  + ln ( x + 1) d ( ln ( x + 1) ) = dx = ∫ ( x − 1) ln ( x + 1) dx + ln ( x + 1) ∫ ∫ ∫ x +1  2  x 2  x 2  ln ( x + 1)  x 2 2  1 x2 − 2 x ln 2 ( x + 1) =  − x  ln ( x + 1) −  − x  d ( ln ( x + 1) ) + ∫ =  − x  ln ( x + 1) − dx + ∫  2   2  2  2  2 x +1 2 x − 2x 2  3  x 2 Xét K = x +1 ∫ dx =  x − 3 +  x +1 ∫  dx = 2 − 3x + 3ln x + 1  x2  1  x2  ln 2 ( x + 1)  → J =  − x  ln ( x + 1) −  − 3x + 3ln x + 1  + + C.  2  2 2  2 x 2 ln 2 ( x + 1)  x 2  1  x2  ln 2 ( x + 1) Từ đó ta được I 6 = −  − x  ln ( x + 1) +  − 3x + 3ln x + 1  − + C. 2  2  2 2  2 ------------------------------------------------------------ ∫ ( c) I 7 = ln x + 1 + x 2 dx ) Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x 1+ ( ) ( ) ( Ta có I 7 = ln x + 1 + x 2 dx = x ln x + 1 + x 2 − xd  ln x + 1 + x 2  = x ln x + 1 + x 2 − ∫   ∫ ) 1 + x 2 x dx x + 1 + x2 ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) 1 d x +1 ( ) 2 x dx = x ln x + 1 + x 2 − ∫ 1 + x2 = x ln x + 1 + x 2 − 2 ∫ 1+ x 2 = x ln x + 1 + x 2 − 1 + x 2 + C. ( Vậy I 7 = x ln x + 1 + x 2 − 1 + x 2 + C. ) ------------------------------------------------------------ ∫ d) I8 = e x sin x dx ∫ ( ) Ta có I8 = e x sin x dx = sin x d e x = e x sin x − e x d ( sin x ) = e x sin x − e x cos x dx = e x sin x − cos x d e x ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) = ex sin x − ∫ cos x d ( e ) = e x x sin x − e x cos x − e x d ( cos x )  = e x sin x −  e x cos x + e x sin x dx  ∫ ∫     e x sin x − e x cos x = e x sin x −  e x cos x + I8  = e x sin x − e x cos x − I8  → I8 = + C. 2 Nhận xét: Trong nguyên hàm I8 chúng ta thấy rất rõ là việc tính nguyên hàm gồm hai vòng lặp, trong mỗi vòng ta đều nhất quán đặt u là hàm lượng giác (sinx hoặc cosx) và việc tính toán không thể tính trực tiếp được. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:  1 a) I1 = ∫  x +  ln x dx b) I 2 = ∫ x ln(3 + x 2 )dx x  c) I 3 = ∫ ( x 2 + 2 x)sin x dx d) I 4 = ∫ ln ( x 2 + x ) dx Bài 2: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: a) I 5 = ∫ x ln( x 2 + 1) dx b) I 6 = ∫ x tan 2 x dx c) I 7 = ∫ x 2 ln( x 2 + 1) dx d) I8 = ∫ x sin x dx Bài 3: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: ln( x − 1) ln(2 x + 1) a) I 9 = ∫ dx b) I10 = ∫ dx (2 x + 1)2 (1 − 3 x)2 x2e x c) I11 = ∫ x.sin x.cos 2 x dx d) I12 = ∫ dx ( x + 2) 2 Bài 4: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 1+ x a) I13 = ∫ x.ln dx b) I14 = ∫ ln( x + 1 + x 2 ) dx 1− x x ln( x + 1 + x 2 ) x ln( x + 1 + x 2 ) c) I15 = ∫ dx d*) I16 = ∫ dx 1 + x2 x + 1 + x2 Bài 5: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: x ln x 17) I17 = ∫ x ln( x + 1 + x 2 ) dx b) I18 = ∫ dx ( x 2 + 1) 2 d) I 20 = ∫  1  1 19) I19 = ∫ cos(ln x)dx − 2  dx  ln x ln x  Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.