Lý thuyết toán học: Giới hạn - Đạo hàm - Vi Phân

Chia sẻ: Paradise10 Paradise10 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:152

Thêm vào BST

Báo xấu

283
lượt xem 91
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu giảng dạy về toán đã được giảng dạy với mục đích cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất, có tính hệ thống liên quan tới toán học. Thông qua tài liệu này giúp các bạn hệ thống lại kiến thức toán học phần giới hạn, đạo hàm, vi phân. Chúc các bạn thành công..

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết toán học: Giới hạn - Đạo hàm - Vi Phân

  Lý thuyết toán học Giới hạn - Đạo hàm - Vi Phân ..........., tháng ... năm ........
Nhaéc laïi Giôùi haïn – Ñaïo haøm – Vi phaân 1. Caùc giôùi haïn ñaëc bieät: sin x a) lim =1 x ®0 x x sin u(x) u(x) Heä quaû: lim =1 lim =1 lim =1 x ®0 sin x u(x)®0 u(x) u(x)®0 sin u(x) x æ 1ö b) lim ç 1 + ÷ = e, x Î R xø x ®¥ è 1 ex - 1 ln(1 + x) Heä quaû: lim (1 + x) x = e. lim =1 lim =1 x x x® 0 x® 0 x®0 2. Baûng ñaïo haøm caùc haøm soá sô caáp cô baûn vaø caùc heä quaû: (c)’ = 0 (c laø haèng soá) (x a )' = ax a-1 (ua )' = aua-1u ' æ1ö 1 æ1ö u' ç ÷' = - 2 ç ÷' = - 2 èxø x èuø u ( x )' = 1 ( u ) ' = u' 2x 2u (e )' = ex (e )' = u'.e u x u (ax )' = a x .ln a (a u )' = a u .ln a . u ' 1 u' (ln x )' = (ln u )' = x u 1 u' (loga x ') = (loga u )' = x.ln a u.ln a (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu 1 u' = 1 + tg 2 x = (1 + tg 2 u).u' (tgx)' = (tgu)' = cos x cos u 2 2 -1 - u' = -(1 + cot g 2 x) = - (1 + cot g 2 u).u' (cot gx)' = (cot gu)' = sin x sin u 2 2 3. Vi phaân: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a ; b) vaø coù ñaïo haøm taïi x Î (a; b) . Cho soá gia Dx taïi x sao cho x + Dx Î (a; b) . Ta goïi tích y’.Dx (hoaëc f’(x).Dx) laø vi phaân cuûa haøm soá y = f(x) taïi x, kyù hieäu laø dy (hoaëc df(x)). dy = y’.Dx (hoaëc df(x) = f’(x).Dx AÙp duïng ñònh nghóa treân vaøo haøm soá y = x, thì dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì vaäy ta coù: dy = y’dx (hoaëc df(x) = f’(x)dx) Trang 1
NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN §Baøi 1: NGUYEÂN HAØM 1. Ñònh nghóa: Haøm soá F(x) ñöôïc goïi laø nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) neáu moïi x thuoäc (a ; b), ta coù: F’(x) = f(x). Neáu thay cho khoaûng (a ; b) laø ñoaïn [a ; b] thì phaûi coù theâm: F '(a+ ) = f(x) vaø F '(b - ) = f(b) 2. Ñònh lyù: Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) thì : a/ Vôùi moïi haèng soá C, F(x) + C cuõng laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng ñoù. b/ Ngöôïc laïi, moïi nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) ñeàu coù theå vieát döôùi daïng: F(x) + C vôùi C laø moät haèng soá. Ngöôøi ta kyù hieäu hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) laø ò f(x)dx. Do ñoù vieát: ò f (x)dx = F(x) + C Boå ñeà: Neáu F¢(x) = 0 treân khoaûng (a ; b) thì F(x) khoâng ñoåi treân khoaûng ñoù. 3. Caùc tính chaát cuûa nguyeân haøm: ( ò f(x)dx ) ' = f(x) · ò af(x)dx = aò f(x)dx (a ¹ 0) · ò [ f(x) + g(x)] dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx · ò f(t)dt = F(t) + C Þ ò f [ u(x)] u'(x)dx = F [ u(x)] + C = F(u) + C (u = u(x)) · 4. Söï toàn taïi nguyeân haøm: Ñònh lyù: Moïi haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a ; b] ñeàu coù nguyeân haøm treân ñoaïn ñoù. · Trang 2
BAÛNG CAÙC NGUYEÂN HAØM Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá hôïp thöôøng gaëp (döôùi ñaây u = u(x)) ò dx = x + C ò du = u + C x a+1 ua+1 ò x dx = a + 1 + C ò u du = a + 1 + C (a ¹ -1) (a ¹ -1) a a dx du ò ò = ln x + C (x ¹ 0) = ln u + C (u = u(x) ¹ 0) x u ò e dx = e ò e du = e x x u u +C +C ax au ò a dx = ò a du = x u +C (0 < a ¹ 1) +C (0 < a ¹ 1) ln a ln a ò cos xdx = sin x + C ò cos udu = sin u + C ò sin xdx = - cos x + C ò sin udu = - cos u + C dx du ò cos2 x = ò (1 + tg x)dx = tgx + C ò cos2 u = ò (1 + tg u)du = tgu + C 2 2 dx du ò sin = ò (1 + cot g 2 x)dx = - cot gx + C ò sin = ò (1 + cot g 2 u)du = - cot gu + C x u 2 2 dx du ò2 ò2 = x +C (x > 0) = u +C (u > 0) x u 1 ò cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C (a ¹ 0) 1 ò sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C (a ¹ 0) a dx 1 ò ax + b = a ln ax + b + C 1 òe ax + b dx = eax + b + C (a ¹ 0) a dx 2 ò ax + b + C (a ¹ 0) = ax + b a Trang 3
Vaán ñeà 1: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG ÑÒNH NGHÓA Baøi toaùn 1: CMR F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b) PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: + Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) + Böôùc 2: Chöùng toû raèng F '(x) = f(x) vôùi "x Î (a; b) Chuù yù: Neáu thay (a ; b) baèng [a ; b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau: + Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) Xaùc ñònh F’(a+) Xaùc ñònh F’(b–) ìF '(x) = f(x), "x Î (a ; b) ï + Böôùc 2: Chöùng toû raèng íF '(a + ) = f(a) ï îF '(b ) = f(b) - Ví duï 1: CMR haøm soá: F(x) = ln(x + x 2 + a) vôùi a > 0 1 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = treân R. x2 + a Giaûi: 2x 1+ (x + x 2 + a)' 2 x2 + a Ta coù: F '(x) = [ln(x + x 2 + a)]' = = x + x2 + a x + x2 + a x2 + a + x 1 = f(x) = = x 2 + a(x + x 2 + a) x2 + a Vaäy F(x) vôùi a > 0 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R. ìex khi x ³ 0 ï Ví duï 2: CMR haøm soá: F(x) = í 2 ïx + x + 1 khi x < 0 î ìex khi x ³ 0 Laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = í treân R. 2x + 1 khi x < 0 î Giaûi: Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ta ñi xeùt hai tröôøng hôïp: a/ Vôùi x ¹ 0 , ta coù: ìe x khi x > 0 F '(x) = í î2x + 1 khi x < 0 b/ Vôùi x = 0, ta coù: Trang 4
Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 = 0. · x 2 + x + 1 - e0 F(x) - F(0) F '(0 - ) = lim- = lim = 1. x-0 x x ® 0- x®0 Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 = 0. · ex - e0 F(x) - F(0) F '(0 + ) = lim+ = lim+ = 1. x-0 x x®0 x®0 Nhaän xeùt raèng F '(0 - ) = F '(0 + ) = 1 Þ F '(0) = 1. ìe x khi x ³ 0 Toùm laïi: F '(x) = í = f(x) î2x + 1 khi x < 0 Vaäy F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R. Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa tham soá ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b). PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: + Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) + Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b), ñieàu kieän laø: F '(x) = f(x) vôùi "x Î (a; b) Duøng ñoàng nhaát cuûa haøm ña thöùc Þ giaù trò tham soá. Chuù yù: Neáu thay (a ; b) baèng [a ; b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau: + Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) Xaùc ñònh F’(a+) Xaùc ñònh F’(b–) + Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b), ñieàu kieän laø: ìF '(x) = f(x), "x Î (a ; b) ï íF '(a ) = f(a) Þ giaù trò cuûa tham soá. + ï îF '(b ) = f(b) - Baøi toaùn 3: Tìm haèng soá tích phaân PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Duøng coâng thöùc ñaõ hoïc, tìm nguyeân haøm: F(x) = G(x) + C · Döïa vaøo ñeà baøi ñaõ cho ñeå tìm haèng soá C. · Thay giaù trò C vaøo (*), ta coù nguyeân haøm caàn tìm. Trang 5
ìx2 khi x £ 1 Ví duï 3: Xaùc ñònh a , b ñeå haøm soá: F(x) = í îax + b khi x > 1 ì2x khi x £ 1 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá: f(x) = í treân R. î2 khi x > 1 Giaûi: Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ta ñi xeùt hai tröôøng hôïp: ì2x khi x < 1 a/ Vôùi x ¹ 1 , ta coù: F '(x) = í î2 khi x > 1 b/ Vôùi x = 1, ta coù: Ñeå haøm soá F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1, tröôùc heát F(x) phaûi lieân tuïc taïi x = 1, do ñoù : lim F(x) = lim F(x) = f(1) Û a + b = 1 Û b = 1 - a (1) - + x ®1 x ®1 · Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá y = F(x) taïi ñieåm x = 1. x2 - 1 f(x) - F(1) F'(1) = lim = lim = 2. x -1 x ®1- x - 1 x ®1 · Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0 = 0. F(x) - F(1) ax + b - 1 ax + 1 - a - 1 F '(1+ ) = lim = lim = lim = a. x -1 x -1 x -1 + + + x ®1 x ®1 x ®1 Haøm soá y = F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1 Û F '(1- ) = F '(1+ ) Û a = 2. (2) Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc b = –1. Vaäy haøm soá y = F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1, neáu vaø chæ neáu a = 2, b = –1. Khi ñoù: F’(1) = 2 = f(1) Toùm laïi vôùi a = 2, b = 1 thì F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x). Ví duï 4: Xaùc ñònh a , b , c ñeå haøm soá: F(x) = (ax 2 + bx + c)e -2x laø moät nguyeân haøm cuûa F(x) = - (2x 2 - 8x + 7)e-2 x treân R. Giaûi: Ta coù: F '(x) = (2ax + b)e-2 x - 2(ax 2 + bx + c)e -2x = é-2ax 2 + 2(a - b)x + b - 2cùe-2x ë û Do ñoù F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân R Û F '(x) = f(x), "x Î R Û - 2ax 2 + 2(a - b)x + b - 2c = - 2x 2 + 8x - 7, "x Î R ìa = 1 ìa = 1 ï ï Û ía - b = 4 Û í b = -3 ï ï î b - 2c = -7 îc = 2 Vaäy F(x) = (x 2 - 3x + 2)e-2x . Trang 6
BAØI TAÄP æ x pö Baøi 1. Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) = ln tg ç + ÷ è2 4ø 1 Töø ñoù suy ra nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = . cos x ì ln(x 2 + 1) ,x¹0 ï Baøi 2. Chöùng toû raèng haøm soá F(x) = í x ï0 ,x = 0 î ì2 ln(x 2 + 1) ,x¹0 - ï2 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = í x + 1 x2 ï1 ,x=0 î Baøi 3. Xaùc ñònh a, b, c sao cho haøm soá F(x) = (ax 2 + bx + c).e- x laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = (2x 2 - 5x + 2)e- x treân R. ÑS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1. x 3 + 3x 2 + 3x - 7 Baøi 4. a/ Tính nguyeân haøm F(x) cuûa f(x) = vaø F(0) = 8. (x + 1)2 x æ pö p Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa f(x) = sin 2 b/ vaø F ç ÷ = . 2 è2ø 4 x2 8 1 ÑS: a/ F(x) = +x+ ; b/ F(x) = (x - sin x + 1) 2 x +1 2 Baøi 5. a/ Xaùc ñònh caùc haèng soá a, b, c sao cho haøm soá: F(x) = (ax 2 + bx + c) 2x - 3 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá: 20x 2 - 30x + 7 æ3 ö f(x) = treân khoaûng ç ; + ¥ ÷ è2 2x - 3 ø b/ Tìm nguyeân haøm G(x) cuûa f(x) vôùi G(2) = 0. b/ G(x) = (4x 2 - 2x + 10) 2x - 3 - 22. ÑS: a/ a = 4; b = -2; c = 1; Trang 7
Vaán ñeà 2: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG VIEÄC SÖÛ DUÏNG BAÛNG CAÙC NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN 1 ò f(ax + b)dx = a F(ax + b) + C vôùi a ¹ 0. Ví duï 1: CMR , neáu ò f(x)dx = F(x) + C thì Giaûi: 1 Ta luoân coù: f(ax + b)dx = f(ax + b)d(ax + b) vôùi a ¹ 0. a 1 1 ò f(ax + b)dx = a ò (ax + b)d(ax + b) a F(ax + b) + C (ñpcm) . AÙp duïng tính chaát 4, ta ñöôïc: Ghi chuù: Coâng thöùc treân ñöôïc aùp duïng cho caùc haøm soá hôïp: ò f(t)dt = F(t) + C Þ ò f(u)du = F(u) + C, vôùi u = u(x) Ví duï 2: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: 2e x (2 ln x + 1)2 c/ ò d/ ò ò (2x + 3) dx b/ ò cos4 x.sin xdx a/ dx dx 3 ex + 1 x Giaûi: 1 (2x + 3)4 (2x + 3)4 1 a/ Ta coù: ò (2x + 3) dx = ò (2x + 3) d(2x + 3) = . 3 3 +C= + C. 2 2 4 8 cos5 x b/ Ta coù: ò cos4 x.sin xdx = - ò cos 4 xd(cos x) = - +C 5 2ex d(ex + 1) ò ex + 1 dx = 2 ò x = 2 ln(e x + 1) + C c/ Ta coù: e +1 (2 ln x + 1)2 1 1 d/ Ta coù: ò dx = ò (2 ln x + 1)2 d(2 ln x + 1) = (2 ln x + 1)3 + C. x 2 2 Ví duï 3: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: x tgx ò 2sin d/ ò b/ ò cot g2 xdx c/ ò tgxdx 2 a/ dx dx 2 cos3 x Giaûi: x a/ Ta coù: ò 2sin 2 dx = ò (1 - cos x)dx = x - sin x + C 2 æ1 ö b/ Ta coù: ò cot g 2 xdx = ò ç 2 - 1 ÷ dx = - cot gx - x + C è sin x ø sin x d(cos x) c/ Ta coù: ò tgxdx = ò dx = - ò = - ln cos x + C cos x cos x Trang 8
tgx sin x d(cos x) 1 1 ò cos dx = ò dx = - ò = - cos -3 x + C = - d/ Ta coù: + C. x cos x cos x 3 3cos3 x 3 4 4 Ví duï 4: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: x 1 ò 1 + x dx òx a/ b/ dx - 3x + 2 2 2 Giaûi: 1 d(1 + x 2 ) 1 x ò 1 + x2 dx = ò = ln(1 + x 2 ) + C a/ Ta coù: 2 1+ x 2 2 1 1 æ1 1ö òx dx = ò dx = ò ç b/ Ta coù: ÷dx - 2 - 3x + 2 (x - 1)(x - 2) è x - 2 x -1 ø x-2 = ln x - 2 - ln x - 1 + C = ln + C. x -1 BAØI TAÄP Baøi 6. Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: x a/ f(x) = cos2 ; b/ f(x) sin 3 x. 2 1 1 - cos x + cos3 x + C. ÑS: a/ (x + sin x) + C ; b/ 2 3 Baøi 7. Tính caùc tích phaân baát ñònh : ex 2 2 x.3x.5x ò 2x dx ; ò 10x dx . ò e (2 - e a/ )dx; b/ c/ x -x e2-5x + 1 ex ò ex dx; ò ex + 2dx d/ e/ 6x ex ÑS: a/ 2e - x + C; b/ c/ +C x + C; ln 6 (1 - ln 2)2 x 1 - e2-6 x - e- x + C; e/ d/ ln(ex + 2) + C . 6 Baøi 8. Tính caùc tích phaân baát ñònh : ò ò òx a/ x 4 + x -4 + 2 dx ; b/ x 5 x dx ; c/ x 2 + 1 dx ; 3 3 - 4 ln x ò ò (1 - 2x) d/ dx; e/ dx 2001 x x3 1 55 7 12 (x + 1) x 2 + 1 + C ; ÑS: a/ - + C; b/ x + C; c/ 3x 7 3 1 (1 - 2x)2002 1 d/ -. + C; e/ (3 + 4 ln x) 3 + 4 ln x + C. 2 2002 6 Trang 9
Vaán ñeà 3: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH Phöông phaùp phaân tích thöïc chaát laø vieäc söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc ñeå bieán ñoåi bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân thaønh toång caùc bieåu thöùc maø nguyeân haøm cuûa moãi bieåu thöùc ñoù coù theå nhaän ñöôïc töø baûng nguyeân haøm hoaëc chæ baèng caùc pheùp bieán ñoåi ñôn giaûn ñaõ bieát. Chuù yù quan troïng: Ñieåm maáu choát laø pheùp phaân tích laø coù theå ruùt ra yù töôûng cho rieâng mình töø moät vaøi minh hoaï sau: Vôùi f(x) = (x 3 - 2)2 thì vieát laïi f(x) = x 6 - 4x 3 + 4. · x 2 - 4x + 5 2 Vôùi f(x) = thì vieát laïi f(x) = x - 3 + . · x -1 x -1 1 1 1 Vôùi f(x) = thì vieát laïi f(x) = · - x - 5x + 6 x -3 x -2 2 1 1 Vôùi f(x) = thì vieát laïi f(x) = ( 3 - 2x - 2x + 1) · 2 2x + 1 + 3 - 2x Vôùi f(x) = (2 x - 3x )2 thì vieát laïi f(x) = 4 x - 2.6 x + 9 x. · Vôùi f(x) = 8 cos3 x.sin x thì vieát laïi f(x) = 2(cos3x + 3cos x).sin x · = 2 cos3x.sin x + 6 cos x.sin x = sin 4x - sin 2x + 3sin 2x = sin 4x + 2 sin 2x. tg 2 x = (1 + tg 2 x) - 1 · cot g 2 x = (1 + cot g 2 x) - 1 · x n (1 + x 2 ) + 1 1 = xn + . · 1+ x 1 + x2 2 Ñoù chæ laø moät vaøi minh hoaï mang tính ñieån hình. Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x(1 - x)2002 dx. Giaûi: Söû duïng ñoàng nhaát thöùc : x = 1 – (1 – x) ta ñöôïc: x(1 - x)2002 = [1 - (1 - x)](1 - x)2002 = (1 - x)2002 - (1 - x)2003 . Khi ñoù: I = ò (1 - x)2002 dx - ò (1 - x)2003 dx = - ò (1 - x)2002 d(1 - x) + ò (1 - x)2003 d(1 - x) (1 - x)2003 (1 - x)2004 + C. =- + 2003 2004 I = ò x(ax + b)a dx, vôùi a ¹ 0 Toång quaùt: Tính tích phaân baát ñònh: 1 1 Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: x = .ax = [(ax + b) - b] a a Trang 10
Ta ñöôïc: 1 1 x(ax + b)a = [(ax + b) - b)(ax + b)a = [ò (ax + b)a+1 d(ax + b) - ò (ax + b)a d(ax + d)] a a Ta xeùt ba tröôøng hôïp : 1 2ò [ (ax + b)-1 d(ax + b) - ò (ax + b)-2 d(ax + b)] Vôùi a = 2, ta ñöôïc: I = · a 1 1 [ln ax + b + ] + C. = a ax + b 2 Vôùi a = –1, ta ñöôïc: · 1 1 2ò [ d(ax + b) - ò (ax + b)-1 d(ax + b)] = 2 [ax + b - ln ax + b ] + C. I= a a 1 (ax + b)a+ 2 (ax + b)a+1 Vôùi a Î R \ {-2; - 1}, ta ñöôïc: I= [ ] + C. · + a2 a+2 a +1 dx òx Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: I = - 4x + 3 2 Giaûi: 1 1 1 (x - 1) - (x - 3) 1 æ 1 1ö Ta coù: =. = .ç = - ÷ 2 x - 4x + 3 (x - 3)(x - 1) 2 (x - 3)(x - 1) 2 è x - 3 x -1ø 1 æ dx dx ö 1 d(x - 3) d(x - 1) 1 Khi ñoù: I = . ç ò -ò ÷ = [ò -ò ' = .(ln x - 3 - ln x - 1) + C 2 è x -3 x -1 ø 2 x -3 x -1 2 1 x -3 ln + C. = 2 x -1 dx ò Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: I = x +2 + x -3 Giaûi: Khöû tính voâ tæ ôû maãu soá baèng caùch truïc caên thöùc, ta ñöôïc: 1 1 1 1 I = ò ( x + 2 + x - 3)dx = [ò (x + 2) d(x + 2) + ò (x - 3) 2 d(x - 3)] 2 5 5 2 = [ (x + 2)3 + (x - 3)3 ] + C. 15 dx ò sin x.cos Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh: I = . x 2 Giaûi: Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: sin 2 x + cos2 x = 1, Trang 11
1 1 sin 2 x + cos2 x sin x 1 sin x 1 +2. Ta ñöôïc: . = = + = cos2 x sin x cos2 x cos2 x tg x sin x.cos 2 x sin x.sin 2 x 2 2 æ xö 1 d ç tg ÷ sin x d(cos x) 1 x +ò è 2ø = 2 Suy ra: I = ò dx + ò dx = - ò + ln tg + C. xx x cos x cos x cos x 2 2 2 cos2 tg tg 22 2 dx ò cos Ví duï 5: Tính tích phaân baát ñònh: I = . x 4 Giaûi: dx Söû duïng keát quaû: = d(tgx) cos2 x 1 dx 1 ta ñöôïc: I = ò = ò (1 + tg 2 x)d(tgx) = ò d(tgx) + ò tg 2 xd(tgx) = tgx + tg3x + C. . cos2 x cos2 x 3 BAØI TAÄP Baøi 9. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: 2 x - x 3ex - 3x 2 a/ f(x) = (1 - 2x 2 )3 ; b/ f(x) = ; x3 (2 + x )2 1 c/ f(x) = d/ ; f(x) = x 3x + 4 - 3x + 2 12 5 8 7 4 ÑS: a/ x - 2x 3 + x - x +C ; b/ - e x + ln x + C; - 5 7 3x x 24 6 3 1é 3ù c/ 6 3 x 2 + x x + x 3 x 2 + C; 3 d/ ë (3x - 4) + (3x + 2) û + C. 7 5 9 Baøi 10. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: 4x 2 + 6x + 1 1 a/ f(x) = ; b/ f(x) = ; x - 6x + 5 2x + 1 2 4x 3 + 4x 2 - 1 -4x 3 + 9x + 1 c/ f(x) = ; d/ f(x) = ; 2x + 1 9 - 4x 2 1 x-5 1 b/ x 2 + 2x - ln 2x + 1 + C; ÑS: a/ ln + C; 4 x -1 2 x2 1 2 1 1 1 2x - 3 c/ x 3 + x 2 - x - ln 2x + 1 + C ; d/ - ln + C. 3 2 2 4 2 12 2x + 3 Baøi 11. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: Trang 12
pö pö æ æ a/ (sin x + cos x)2 ; b/ cos ç 2x - ÷ .cos ç 2x + ÷ ; c/ cos3 x; 3ø 4ø è è d/ cos 4 x; e/ sin 4 x + cos4 x; f/ sin 6 2x + cos6 2x. 1 1 7p ö 1 æ pö æ ÑS: a/ x - cos2x + C ; b/ sin ç 5x + ÷ + sin ç x - ÷ + C 2 10 è 12 ø 2 è 12 ø 3 1 3 1 1 c/ sin x + si n3x + C; d/ x + si n2x + si n4x + C; 4 12 8 4 31 3 sin 4x 5 3 e/ x+ + C; f/ x + sin 8x + C. 4 16 8 64 Trang 13
Vaán ñeà 4: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ Phöông phaùp ñoåi bieán soá ñöôïc söû duïng khaù phoå bieán trong vieäc tính caùc tích phaân baát ñònh. Phöông phaùp ñoåi bieán soá ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm coù hai daïng döïa treân ñònh lyù sau: Ñònh lyù: a/ Neáu ò f(x)dx = F(x) + C vaø u = j(x) laø haøm soá coù ñaïo haøm thì ò f(u)du = F(u) + C . b/ Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc thì khi ñaët x = j(t) trong ñoù j(t) cuøng vôùi ñaïo haøm cuûa noù ò f(x)dx = ò f[j(t)].j '(t)dt. (j’(t) laø nhöõng haøm soá lieân tuïc, ta seõ ñöôïc: Töø ñoù ta trình baøy hai baøi toaùn veà phöông phaùp ñoåi bieán nhö sau: Baøi toaùn 1: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 1 tích tích phaân baát ñònh I = ò f(x)dx. PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc: + Böôùc 1: Choïn x = j(t), trong ñoù j(t) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp. + Böôùc 2: Laáy vi phaân dx = j’(t)dt + Böôùc 3: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt + Böôùc 4: Khi ñoù I = ò g(t)dt. Löu yù: Caùc daáu hieäu daãn tôùi vieäc löïa choïn aån phuï kieåu treân thoâng thöôøng laø: Daáu hieäu Caùch choïn p p é ê x = a sin t vôùi - 2 £ t £ 2 a2 - x 2 ê ê x = x cos t vôùi 0 £ t £ p ë a é é p pù x= vôùi t Î ê - ; ú \ {0} ê sin t ë 2 2û ê x 2 - a2 a p ê ê x = cos t vôùi t Î[0; p] \ { 2 } ë p p é x = a tgt vôùi - < t < ê 2 2 a2 + x 2 ê ë x = a cot gt vôùi 0 < t < p ê a+ x a-x hoaëc x = acos2t a-x a+x x = a + (b – a)sin2t (x - a)(b - x) dx ò Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = . (1 - x 2 ) Giaûi: p p Ñaët x = sin t; -
dx cos tdt dt Suy ra: dx = cos tdt & = d(tgt) = = cos t cos2 t 3 (1 - x 2 )3 x Khi ñoù: I = ò d(tdt) = tgt + C = + C. 1- x 2 x Chuù yù: Trong ví duï treân sôû dó ta coù: (1 - x 2 )3 = cos3 t vaø tgt = 1 - x2 ì cos2 t = cos t p p ï laø bôûi: - < t < Þ cos t > 0 Þ í 2 2 ïcos t = 1 - sin 2 t = 1 - x 2 î x 2 dx ò Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: I = x2 - 1 Giaûi: Vì ñieàu kieän x > 1 , ta xeùt hai tröôøng hôïp : Vôùi x > 1 · 1 2 cos 2tdt p Ñaët: x = ;0
dx ò (1 + x 2 )3 Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: I = Giaûi: cos3 tdt dt dx p p Ñaët: x = tgt; - < t < . Suy ra: dx = & = cos tdt. = 2 2 cos2 t cos2 t (1 + x 2 )3 x Khi ñoù: I = ò cos tdt = sin t + C = +C 1 + x2 Chuù yù: 1 x 1. Trong ví duï treân sôû dó ta coù: = cos t vaø sin t = 1 + x2 1 + x2 ì cos2 t = cos t p p ï laø bôûi: - < t < Þ cos t > 0 Þ í x 2 2 ïsin t = tgt.cos t = 1 + x2 î 2. Phöông phaùp treân ñöôïc aùp duïng ñeå giaûi baøi toaùn toång quaùt: dx ò I= , vôùi k Î Z. (a + x 2 )2 k +1 2 Baøi toaùn 2: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 2 tích tích phaân I = ò f(x)dx. PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc: + Böôùc 1: Choïn t = y(x), trong ñoù y(x) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp + Böôùc 2: Xaùc ñònh vi phaân dt = y '(x)dx. + Böôùc 3: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt + Böôùc 4: Khi ñoù I = ò g(t)dt. Daáu hieäu Caùch choïn Haøm soá maãu coù t laø maãu soá Haøm soá f (x, j(x) t = j(x) a.sin x + b.cos x x x Haøm f(x) = t = tg (vôùi cos ¹ 0) c.sin x + d.cos x + e 2 2 · Vôùi x + a > 0 & x + b > 0, ñaët: 1 t = x+a + x+b Haøm f(x) = (x + a)(x + b) · Vôùi x + a < 0 & x + b < 0, ñaët: t = x - a + -x - b Trang 16
Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x 3 (2 - 3x 2 )8 dx. Giaûi: Ñaët: t = 2 - 3x . Suy ra: dt = 6xdx 2 2-t 2-t 8 æ 1 ö 1 9 x3 (2 - 3x2 )8 dx = x2 (2 - 3x2 )8 xdx = .t .ç - dt ÷ = (t - 2t 8 )dt. = 3 3 è 6 ø 18 1 1 æ 1 10 2 9 ö 1 10 1 9 ò (t - 2t )dt = 18 ç 10 t - 9 t ÷ + C = 180 t - 81 t + C 9 8 Khi ñoù: I = 18 è ø x 2dx ò Ví duï 5: Tính tích phaân baát ñònh: I = 1- x Giaûi: Ñaët: t = 1 - x Þ x = 1 - t 2 x 2 dx (1 - t 2 )2 ( -2tdt) Suy ra: dx = - 2tdt & = 2(t 4 - 2t 2 + 1)dt = t 1- x æ1 2 2 ö Khi ñoù: I = 2 ò (t 4 - 2t 2 + 1)dt = -2 ç t 5 - t 3 + t ÷ + C = - (3t 4 - 10t 2 + 15)t + C è5 3 15 ø 2 2 [3(1 - x)2 - 10(1 - x) + 15] 1 - x + C = - (3x 2 + 4x + 8) -1x + C =- 15 15 Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x 5 3 (1 - 2x 2 )2 dx. Giaûi: 1 - t3 3 3 2 2 . Suy ra: 2xdx = - t 2 tdt, Ñaët: t = 1 - 2x Þ x = 2 2 1 - t3 2 æ 3 2 ö 3 7 4 x 5 3 (1 - 2x 2 )2 dx = x 2 3 (1 - 2x 2 )2 xdx = .t ç - t dt ÷ = (t - t )dt. 2 è4 ø8 374 3æ1 8 1 5 ö 3 8ò (5t 6 - 8t 3 )t 2 + C Khi ñoù: I = (t - t )dt = ç t - t ÷+C= 8è8 5ø 320 3 [5(1 - 2x 2 )2 - 8(1 - 2x 2 )] 3 (1 - 2x 2 )2 + C = 320 3 (20x 4 - 4x 2 - 3) 3 (1 - 2x 2 )2 + C. = 320 Ví duï 7: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò sin 3 x cos xdx. Giaûi: Ñaët: t = cos x Þ t 2 = cos x dt = sinxdx, Trang 17
sin 3 x cos xdx = sin 2 x cos x sin xdx = (1 - cos2 x) cos x sin x dx = (1 - t 4 ).t.(2tdt) = 2(t 6 - t 2 )dt. æ1 1ö 2 Khi ñoù: I = 2 ò (t 6 - t 2 )dt = 2 ç t 7 - t 3 ÷ + C = (3t 6 - 7t 2 )t + C è7 3ø 21 2 (cos3 x - 7 cos x) cos x + C. = 21 cos x.sin 3 xdx Ví duï 8: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 1 + sin 2 x Giaûi: Ñaët: t = 1 - x Þ x = 1 - t 2at = 1 + sin 2 x Suy ra: dt = 2sin x cos xdx, cos x.sin 3 xdx sin 2 x.cos x.sin xdx (t - 1)dt 1 æ 1 ö = ç 1 - ÷ dt. = = 1 + sin 2 x 1 + sin 2 x 2t 2è t ø 1 æ 1ö 1 ò ç1 - t ÷ dt = f12(t - ln t + C = 2 [1 + sin x - ln(1 + sin x)] + C 2 2 Khi ñoù: I = 2è ø cos2 xdx ò sin8 x . Ví duï 9: Tính tích phaân baát ñònh: I = Giaûi: Ñaët: t = cotgx 1 Suy ra: dt = - dx, sin 2 x cos2 xdx cos2 x dx 1 dx dx = cot g 2 x 4 = cot g 2 x.(1 + cot g2 x)2 = sin x sin x sin x sin x sin x sin 2 x 8 6 2 2 = t 2 .(1 + t 2 )2 dt. æ1 2 1ö Khi ñoù: I = ò t 2 .(1 + t 2 )dt = ò (t 6 + 2t 4 + t 2 )dt = ç t 7 + t 5 + t 3 ÷ + C è7 5 3ø 1 (15cot g 7 x + 42 cot g 5x + 35cot g3 x) + C. = 105 dx òe Ví duï 10: Tính tích phaân baát ñònh: I = - ex / 2 x Giaûi: Ñaët: t = e- x / 2 1 dx Suy ra: dt = - ex / 2 dx Û - 2dt = x / 2 , 2 e e- x / 2 dx dx dx -2tdt 1 = 2(1 + )dt =x = x/2 = x x/2 -x / 2 -x / 2 e -e e (1 - e ) e (1 - e ) 1 - t t -1 Trang 18
1ö æ Khi ñoù: I = 2 ò ç 1 + -x / 2 + ln e- x / 2 + 1) + C. ÷ dt = 2(e è t -1 ø Chuù yù: Baøi toaùn treân ñaõ duøng tôùi kinh nghieäm ñeå löïa choïn cho pheùp ñoåi bieán t = e - x / 2 , tuy nhieân vôùi caùch ñaët t = ex / 2 chuùng ta cuõng coù theå thöïc hieän ñöôïc baøi toaùn. dx ò Ví duï 11: Tính tích phaân baát ñònh: I = . 1 + ex Giaûi: Caùch 1: Ñaët: t = 1 + ex Û t 2 = 1 + e x 2tdt dx 2tdt 2tdt Suy ra: 2tdt = e x dx Û dx = & . =2 =2 2 t -1 1 + ex t(t - 1) t - 1 dt t -1 1 + ex - 1 Khi ñoù: I = 2 ò 2 = ln + C = ln +C t -1 t +1 1 + ex + 1 Caùch 2: Ñaët: t = e- x / 2 1 dx Suy ra: dt = e - x / 2dx Û - 2dt = x / 2 , 2 e dx dx dx -2dt = = = 1 + ex ex (e- x + 1) ex / 2 e- x + 1 t2 + 1 dt Khi ñoù: I = - 2 ò = - 2 ln t + t 2 + 1 + C = -2 ln e- x / 2 + e - x + 1 + C t +1 2 dx ò Ví duï 12: Tính tích phaân baát ñònh: I = , vôùi a ¹ 0. . x +a 2 Giaûi: Ñaët: t = x + x + a 2 x x2 + a + x dx dt æ ö Suy ra: dt = ç 1 + ÷ dx = dx Û = t x +a ø x +a x +a 2 2 2 è dt Khi ñoù: I = ò = ln t + C = ln x + x 2 + a + C. t dx Ví duï 13: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò . (x + 1)(x + 2) Giaûi: Ta xeùt hai tröôøng hôïp: ìx + 1 > 0 · Vôùi í Û x > -1 îx + 2 > 0 Ñaët: t = x + 1 + x + 2 Trang 19