Mô hình khối lượng tập trung của bộ thu thập năng lượng có kết cấu dầm công xôn với hai lớp áp điện phi tuyến

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo "Mô hình khối lượng tập trung của bộ thu thập năng lượng có kết cấu dầm công xôn với hai lớp áp điện phi tuyến" tập trung xây dựng hệ phương trình liên kết cơ điện của bộ thu thập năng lượng có kết cấu dầm công xôn với hai lớp áp trong đó có kể tới biến dạng lớn của kết cấu dầm cơ sở. Trước tiên, phương trình dao động uốn của dầm ghép áp điện dựa trên mô hình dầm EulerBernoulli, và phương trình liên kết giữa điện tích và biến dạng được thiết lập. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Mô hình khối lượng tập trung của bộ thu thập năng lượng có kết cấu dầm công xôn với hai lớp áp điện phi tuyến

153 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 Mô hình khối lượng tập trung của bộ thu thập năng lượng có kết cấu dầm công xôn với hai lớp áp điện phi tuyến Nguyễn Văn Mạnh1*, Nguyễn Đông Anh2,3 và Nguyễn Ngọc Linh4 1 Khoa cơ khí, Trường đại học xây dựng Hà Nội 2 Khoa cơ học kỹ thuật và tự động hóa, Trường đại học công nghệ, Đại học quốc gia Hà Nội 3 Viện cơ học, Viện Hàn Lâm Khoa học và công nghệ Việt Nam 4 Khoa cơ khí, Trường đại học Thủy lợi *Email: manhnv@huce.edu.vn Tóm tắt. Bài báo này tập trung xây dựng hệ phương trình liên kết cơ điện của bộ thu thập năng lượng có kết cấu dầm công xôn với hai lớp áp trong đó có kể tới biến dạng lớn của kết cấu dầm cơ sở. Trước tiên, phương trình dao động uốn của dầm ghép áp điện dựa trên mô hình dầm Euler- Bernoulli, và phương trình liên kết giữa điện tích và biến dạng được thiết lập. Sau đó, kỹ thuật giảm bậc cho mô hình được sử dụng dựa trên phương pháp Ritz-Galerkin, thu được mô hình khối lượng tập trung được mô tả bởi một hệ phương trình liên kết cơ điện, gồm một phương trình vi phân phi tuyến cấp hai và một phương trình vi phân tuyến tính cấp một. Tính phi tuyến do biến dạng lớn của kết cấu dầm cơ sở có dạng Duffing. Từ khóa: bộ thu thập năng lượng áp điện, dầm ghép áp điện công xôn, giảm bậc mô hình, mô hình khối lượng tập trung. 1. Mở đầu Thu thập, khai thác chuyển đổi năng lượng dao động từ môi trường xung quanh dựa trên hiệu ứng áp điện đã và đang là một chủ đề thu thút số lượng lớn các nghiên cứu. Các ứng dụng điển hình có thể kể đến là các thiết bị công suất thấp, như các thiết bị điện tử vi mô trong công nghiệp, thiết bị theo dõi sức khỏe trong lĩnh vực y tế, các thiết bị theo dõi, cảnh báo trong giám sát kết cấu công trình, hệ thống hạ tầng, giao thông [1], [2]. Một trong những dạng kết cấu phổ biến nhất của các bộ thu thập năng lượng áp điện (piezoelectric energy harvester – PEH) là dạng dầm công xôn mà trên đó gắn một hoặc nhiều lớp áp điện, ngoài ra có thể bổ sung thêm một khối lượng gắn tại đầu dầm công xôn hoặc không [3]. Trước đây, phần lớn các nghiên cứu tập trung vào phát triển các PEH dựa trên hiện tưởng cộng hưởng của dao động tuyến tính, với mục đích nhằm cải thiện hiệu suất thiết bị trong vùng cộng hưởng chính. Ở ngoài vùng cộng hưởng, lượng điện năng thu thập được bị giảm mạnh. Để khắc phục những hạn chế này, một cách tiếp cận khác được phát triển dựa trên hiệu ứng dao động phi tuyến. Một số nghiên cứu cho thấy PEH dựa trên dao động phi tuyến có thể có lượng điện năng thu được tốt hơn so với PEH dựa trên dao động tuyến tính, dải tần số làm việc rộng hơn [4]. Tính phi tuyến của PEH với kết cấu dầm công xôn được thể hiện ở tính chất phi tuyến của kết cấu dầm cơ sở, hay của lớp vật liệu áp điện gắn trên dầm [7]- [16]. Mahmoodi và cộng sự [7], đã nghiên cứu kết cấu dầm công xôn có một lớp áp điện, với tính chất phi tuyến hình học và phi tuyến vật liệu dạng bậc hai, bậc ba. Từ kết quả phân tích lý thuyết sử dụng phương pháp nhiều độ đo và kết quả thực nghiệm, các tác giả cho rằng hệ phi tuyến sẽ có các đáp ứng tốt hơn hệ tuyến tính tương ứng. Vì những lí do nêu trên, bài báo này tập trung xây dựng mô hình khối lượng tập trung của PEH có kết cấu dầm công xôn với hai lớp áp điện, trong đó có kể tới biến dạng lớn của kết cấu dầm cơ sở. Công việc được tiến hành dựa trên mô hình dầm Euler-Bernoulli và phương pháp Ritz-Galerkin. 2. Hệ phương trình liên kết cơ điện của dầm công xôn áp điện phi tuyến 2.1. Phương trình dao động uốn của dầm ghép áp điện có tính phi tuyến hình học
154 Nguyễn Văn Mạnh1*,Nguyễn Đông Anh2 và Nguyễn Ngọc Linh3 Để xây dựng phương trình dao động uốn của dầm ghép áp điện khi quan hệ giữa biến dạng và dịch chuyển là phi tuyến, trong báo cáo này các tác giả sử dụng phương pháp năng lượng. Xét dao động uốn của dầm, có mặt cắt ngang tiết diện A (Hình 1. 1 b)). Ở trạng thái chưa biến dạng, trục của kết cấu dầm trùng với trục x của hệ tọa độ vuông góc Oxyz . Các đầu của dầm có tọa độ x = 0 và = Ls L= L . Giả thiết các trục quán tính chính tại giao điểm của tiết diện với trục x song song với x = p các trục y và z và trục của dầm chỉ bị uốn cong trong mặt phẳng ( x, z ) . 2 R A x(t) 1 0 A 3 Ls z(t) a) F(t) B* A* hp w+dw u y(t) w hs h 0 A B x(t) z(t) hp b s ds u+du b=bs=b p z(t) b) c) Hình 1. 1 Kết cấu dầm công xôn hai lớp áp điện Xét PEH có dầm công xôn với hai lớp áp điện chịu kích động nền, có trục tọa độ địa phương Oxyz được mô tả trên Hình 1. 1 với lớp áp điện được giới hạn bởi hai điện cực phẳng có chiều dày không đáng kể, được nối với điện trở tải R và dán trên toàn bộ hai mặt của kết cấu dầm cơ sở. Dầm có một đầu ngàm, đầu tự do. Nền tại đầu ngàm có dịch chuyển F(t), đầu tự do có dịch chuyển tương đối so với đầu ngàm. Giả định rằng chiều dày của dầm nhỏ so với chiều dài, có thể bỏ qua biến dạng do lực cắt và quán tính. Kết cấu dầm cơ sở tuân theo mô hình Euler-Bernoulli, có chiều dài L s , chiều rộng của dầm cơ sở (b s ) và chiều cao (h s ). Từ lý thuyết của dầm có ứng suất trước [23], [24], [25] biến dạng tỷ đối của lớp cách trục trung hòa (trục x ) một đoạn z ≠ 0 có dạng ∂2w ε x = ε x 0 ( x, t ) − z ( x, z , t ) (1) ∂x 2 Do đó, ta có quan hệ phi tuyến giữa biến dạng và dịch chuyển tại lớp z ≠ 0 , với dầm cơ sở [23], [23], [24], [25], có dạng: 2 ∂ 2 w ∂u 1  ∂w  ∂2w ε x =0 − z 2 = +   − z 2 εx (2) ∂x ∂x 2  ∂x  ∂x Với lớp áp điện dán trên dầm, giả thiết bỏ qua sự ảnh hưởng của biến dạng uốn, quan hệ giữa biến dạng và độ võng [21], [23], có dạng
155 Mô hình khối lượng tập trung của kết cấu dầm công xôn áp điện phi tuyến ∂2w S x− p = − z (3) ∂x 2 Như vậy, ta xem biến dạng dài tỷ đối tại các điểm của dầm cơ sở nằm trên đường vuông góc với trục trung hòa là khác nhau khi z ≠ 0 và chúng phụ thuộc vào dịch chuyển theo biểu thức (2) hoặc (3). Giả thiết vật liệu của dầm cơ sở đàn hồi tuyến tính tuân theo định luật Hooke: σ x = Eε x (4) Với lớp áp điện, quan hệ giữa ứng suất, dịch chuyển điện với biến dạng và điện trường [21], [23], lần lượt là: σ x − p = E p S x − p − e31 E3 (5) = e31S x − p + ε 33 E3 ; D3 Trong các biểu thức (4) và (5), σ x ;σ x − p là ứng suất, ε x ; S x − p là biến dạng, Es ; E p là mô đun của Young dầm cơ sở và lớp áp điện ; e31 là hằng số ứng suất áp điện, ε 33 là hằng số biến dạng áp điện và E3 là điện trường; Với dầm có 2 lớp áp điện, theo [21], ta có: vp E3 = − (6) 2h p Khi đó, công biến dạng của một đơn vị thể tích của dầm cơ sở, [21], [23]: 1 Ws = Es ε x − s ; 2 (7) 2 Và từ các biểu thức (3) và (5) công biến dạng của một đơn vị thể tích trên lớp áp điện [21], [23], được xác định bởi: v p (t ) 1 v 2 (t ) = Wp 1 2 ( σ p S x − p − E3 D p = 1 2 ) E p S x − p + e31S x − p 2 2h p 8 − ε 2 p hp (8) Do đó, từ (7) và (8) tổng công biến dạng của một đơn vị thể tích của dầm ghép gắn lớp áp điện bao gồm [21]: 1 1 vp v2 W = Esε x − s + E p S x − p + e31S x − p −ε 2 2 2 p (9) 2 2 2h p 8h p Tích phân biểu thức (9) trên toàn bộ mặt cắt ngang của dầm, thu được biểu thức của công biến dạng trên một đơn vị chiều dài dầm [21]: 1 1 v p (t ) 1 v 2 (t ) ∫∫ W = Es ε x − s dydz + E p ∫∫ S x − p dydz + ∫∫ dydz − ∫∫ ε 33 p 2 dydz 2 2 S x− p (10) 2 A− s 2 A− p A− p 2h p 8 A− p hp Từ các biểu thức (2) và (3) ta có: 2  ∂u 1  ∂w  2  ∂ 2 w  ∂u 1  ∂w   2  ∂ 2 w  2 2 ε =    − 2z 2  +    + z  2  2  + (11)  ∂x 2  ∂x   ∂x  ∂x 2  ∂x    ∂x  x    
156 Nguyễn Văn Mạnh1*,Nguyễn Đông Anh2 và Nguyễn Ngọc Linh3 2  ∂u 1  ∂w  2  ∂ 2 w  ∂u 1  ∂w   2  ∂ 2 w  2 2 ε 2 x−s =   +   − 2z 2  +   +z  2  (12)  ∂x 2  ∂x     ∂x  ∂x 2  ∂x      ∂x  2  ∂2w  2 S x− p =z  2  2 (13)  ∂x  Từ các biểu thức (11), (12), (13) và từ (9), (10) thu được: 2 1  ∂u 1  ∂w  2  ∂ 2 w  ∂u 1  ∂w   2 W =s  +  E ∫∫   dydz − Es z 2  +  2 A − s  ∂x 2  ∂x     A− s ∂x  ∂x 2  ∂x      dydz  ∫∫ 2 1  ∂2w  + Es ∫∫ z 2  2  dydz + 2 A − s  ∂x  (14) 2 2∂ w  ∂ 2 w  v p (t ) 1 2 1 v 2 (t ) + Ep ∫∫ z  2  dydz + 2 A − p  ∂x   − z 2  e31 A− p  ∂x  2h p ∫∫ dydz − 8 A− p ε 33 p 2 dydz hp ∫∫ Ký hiệu mômen quán tính tiết diện dầm bởi [23], [24], [25]: I ( x) = ∫∫ z dydz 2 (15) A Khi đó biểu thức (14) có dạng: 2  ∂u 1  ∂w  2  1 2 1  ∂2w  W =Ws + W p = Es As ( x)  +    + Es I s ( x )  2  + 2  ∂x 2  ∂x   2    ∂x  2 1  ∂2w  ∂2w v 2 (t ) + E p I p ( x)  2  − 2 ϑ v p (t ) − ε 33 p Ap (16) 2  ∂x  ∂x 8h p2 2  ∂u 1  ∂w  2  1  ∂ 2 w  ∂ 2 w 2 1 v 2 (t ) = EA  +    + EI  2  − 2 ϑ v p (t ) − ε 33 p Ap  ∂x 2  ∂x   2  ∂x  ∂x 2 2   8h p trong đó: Es= EA; EI Es I s ( x) + E p I p ( x); As ( x) = =Is bhs3 = ;Ip 2 ( bhp 4hp + 6hp hs + 3hs2 = =; Ep e31 ;Cp ε 33bL p ) (17) 12 12 d31 2h p Tích phân biểu thức (16) theo chiều dài của dầm và sử dụng biểu thức (17), thu được biểu thức công biến dạng đàn hồi của dầm ghép áp điện 2  ∂u 1  ∂w  2  2 Lp Lp 1  ∂2w   ∂2w  v 2 (t ) L L 1 ∫ Wel = EA  +   dx + ∫  dx − ∫  2 ϑ v p (t )  dx − ∫ A ( x)ε p  EI  dx (18)  ∂x 2  ∂x   2  ∂x 2   ∂x p 2 0 2   0 0  0 8h p Động năng trong mỗi lớp được phân bố theo chiều dài của kết cấu dầm cơ sở và lớp áp điện lần lượt được xác định bởi
157 Mô hình khối lượng tập trung của kết cấu dầm công xôn áp điện phi tuyến 1 Ls  ∂u  2  ∂w ∂z  2  =Ts 2 ∫   +  +   ρ s As ( x)dx;  ∂t   ∂t ∂t   0   (19)  ∂u 2  ∂w ∂z 2  Lp 1 = Tp 2 ∫ 0   +  +   ρ p Ap ( x)dx;  ∂t   ∂t ∂t     (20) Trong đó, chỉ số dưới của ký hiệu L biểu thị các biến được đánh giá tại x=L s , L p , ρ s ; ρ p là khối lượng riêng của dầm cơ sở và của lớp vật liệu áp điện. Theo [21], [23], công ảo của thành phần cản nhớt và điện tích lần lượt được xác định bởi: L ∂w( x, t ) t2 t2 L ∂w( x, t ) m − ∫ ct δ Wnc = δ w( x, t )dx → ∫ − ∫ ∫ ct δ Wnc dt = m δ w( x, t )dxdt (21) 0 ∂t t1 t1 0 ∂t Rdq t2 t2 L δ Wnc =)δ q = δ q  ∫ δ Wnc dt = ∫ v(t )δ qdxdt e v(t → e ∫ (22) dt t1 t1 0 Áp dụng nguyên lý Hamilton, ta xây dựng phiếm hàm S có dạng t2 = ∫ (W − Ts − Tp + Wnc + Wnc )dt m e S el (23) t1 Cụ thể là t2 Ls 1 ∂u ∂u ∂w ∂ 2 w ∂w ∂q S= 2t ∫∫ 0 f1 ( , , , , , )dxdt ∂x ∂t ∂x ∂x 2 ∂t ∂t (24) 1 Trong đó hàm f1 có dạng   2 2   2  2  2 2    Es As ( x)  ∂u + 1  ∂w   + EI  ∂ w  −  ρ s As ( x) + ρ p Ap ( x)   ∂u  +  ∂w + ∂z          ∂t   ∂t ∂t    ∂x 2  ∂x    ∂x       2      f1 =   (25)  ∂ w 2 2 v p (t ) ∂w( x, t )  −2 2 ϑ v p (t ) − Ap ( x)ε 33 − ct δ w( x, t ) − v(t )δ q   ∂x  4h p2 ∂t   Phương trình Euler của phiếm hàm (25) có dạng  ∂ ∂f ∂ ∂f  ∂x  ∂u  + ∂t  ∂u  = 0 (26.1)  ∂  ∂    ∂x   ∂t   (26)  ∂ ∂f − ∂ ∂f ∂ ∂f 2 + = 0 (26.2) ∂x  ∂w  ∂x 2  ∂ 2 w  ∂t  ∂w   ∂  ∂x  ∂ 2  ∂      ∂x   ∂t  Sau khi xác định các biểu thức đạo hàm riêng, với giả thiết dầm là đồng nhất và có tiết diện không đổi ( ρ , I , A là hằng số), ta được phương trình dao động uốn của dầm công xôn có hai lớp áp điện, xét đến tính phi tuyến hình học của kết cấu dầm cơ sở:
158 Nguyễn Văn Mạnh1*,Nguyễn Đông Anh2 và Nguyễn Ngọc Linh3 Phương trình thứ nhất, suy ra từ phiếm hàm (26.1) khi xác định các đạo hàm riêng của biểu thức (25) có dạng: ∂  ∂u 1  ∂w   2 ∂ 2u ρ A( x) − EA  +   = 0 (27) ∂t 2 ∂x  ∂x 2  ∂x     Phương trình thứ hai, suy ra từ phiếm hàm (26.2) khi xác định các đạo hàm riêng của biểu thức (25) có dạng: ∂  ∂w  ∂u 1  ∂w    2 ∂ 2 w ct ∂w ∂4w   ρA 2 + + EI 4 − EA   +    − ∂t 2 ∂t ∂x ∂x  ∂x  ∂x 2  ∂x       (28)  d δ ( x) d δ ( x − L p )  ∂2 z − ϑ v p (t )  −  −ρ A 2 ; =  dx dx  ∂t Trong đó: bp ϑ= 2 ( hs + hp e31) ∞ d (n) δ ( x − x0 ) df ( n ) ( x0 ) ∫ −∞ dx ( n ) f ( x)dx = (−1) n dx ( n ) ; (29) =  ρ s As ( x) + ρ p Ap ( x)  ; ρ A( x)   ∂u Giả thiết là nhỏ, từ (27) ta có ∂t ∂  ∂u 1  ∂w   2  +   = 0 (30) ∂x  ∂x 2  ∂x     Từ đó, biến dạng dài tỷ đối của lớp trung hòa ε x 0 với kết cấu dầm cơ sở không phụ thuộc vào tọa độ x mà chỉ phụ thuộc vào thời gian t . Do a = a(t ) nên  1 1 ∫ 0 a (t )dx = a (t ) =  a (t ) (31) Từ (31) suy ra 1  ∂u 1  ∂w   L 2 L 2 1 1 1  ∂w  ε x 0 (t ) =∫  +    dx = [u ( L, t ) − u (0, t )] + ∫   dx (32) L 0  ∂x 2  ∂x     L L 0 2  ∂x  Sử dụng (30), (32), phương trình (28) có dạng ∂ 4 w EA ∂ 2 w   L 2 ∂ 2 w ct ∂w 1  ∂w  ρA 2 + + EI 4 − [u (, t ) − u (0, t ) ] +  ∫ dx  ∂t 2 ∂t ∂x L ∂x 2  0 2  ∂x    (33) ϑ  d δ ( x) d δ ( x − L p )  ∂2 z − v p (t )  −  −ρ A 2 ; = 2  dx dx  ∂t Sử dụng giả thiết u (, t ) − u (0, t ) = (33) thu được 0 cho
159 Mô hình khối lượng tập trung của kết cấu dầm công xôn áp điện phi tuyến ∂ 4 w EA ∂ 2 w   ∂w    dδ ( x) dδ ( x − L p )  L 2 ∂ 2 w ct ∂w ∂2 z ρA + ∂t 2 2 ∂t + EI 4 − ∂x    2 L ∂x 2  0  ∂x   ∫ dx  − ϑ v p (t )     dx − dx   −ρ A = 2 ∂t (34) (34) là phương trình đạo hàm riêng mô tả dao động uốn của dầm công xôn gắn 02 lớp áp điện có tính phi tuyến hình học. 2.2. Phương trình liên kết cơ điện của kết cấu dầm cơ sở Theo [21], [23], với vật liệu áp điện tuyến tính, quan hệ giữa độ dịch chuyển điện D p với biến dạng S x − p xác định bởi biểu thức (3) và điện trường E3 được mô tả bởi biểu thức sau:  ∂2w  v p (t ) D p =31S x − p + ε 33 E3 =31  − z 2  − ε 33 e e (35)  ∂x  2h p Điện tích q (t ) được xác định bằng cách tích phân dịch chuyển điện trên diện tích của điện cực như sau [23]: b Lp  ∂2w   v p (t )   Lp    ∂2w  v p (t )   = 0 x q (= t) ∫ ∫ dy e31  − z 2  − ε 33   ∂x  0=  2h p   =   ∫  dx x 0 e31b  − z 2  − ε 33b  ∂x  2h p   dx  (36) Tiếp theo, đạo hàm (36) thu được biểu thức của dòng điện dq (t ) Lp   ∂3w   ε 33bL p dv p (t ) dt ∫ i (t ) == 31b  − z 2   dx − x =0    e  ∂x ∂ t    2h p dt (37) Từ (37) cho thấy hàm dòng điện có hai thành phần: số hạng thứ nhất đại diện cho dao động của dầm ε 33bL p ghép và số hạng thứ hai đại diện cho điện áp và điện dung của lớp áp điện, cụ thể là C p = . Vì 2h p điện dung này được nối với điện trở R tạo thành mạch điện RC song song như trong Hình 1.1, ta có phương trình mạch điện như sau dv p vp Lp  ∂3w    Cp dt + R −ϑ = ∫   dx x = 0  ∂x 2∂ t    (38) 2.3. Mô hình giảm bậc của PEH phi tuyến hình học Hệ hai phương trình (34) và (38) của PEH phi tuyến hình học chứa các đạo hàm riêng bậc cao, có thể được chuyển đổi về hệ phương trình vi phân thường bằng phương pháp Ritz-Galerkin. Các điều kiện biên được áp dụng cho dầm công xôn là ∂2w ∂2w w= w(l, L) 0, (0, L) = =(0, t ) = 0 ( L, t ) (39) ∂x 2 ∂x 2 Theo phương pháp Ritz-Galerkin, dịch chuyển của dầm ghép được xấp xỉ bởi w( x, t ) = X ( x) y (t ) (40) trong đó X ( x) là hàm dạng được chọn sao cho nghiệm của (40) thỏa mãn các điều kiện biên (39), y (t ) là hàm phụ thuộc thời gian. Tại đây, hàm dạng được chọn là
160 Nguyễn Văn Mạnh1*,Nguyễn Đông Anh2 và Nguyễn Ngọc Linh3 πx X ( x) = sin( ) L (41) Thay (41) vào (40) được : πx w( x, t ) = sin( ) y (t ) (42) L Sau khi đạo hàm các cấp của hàm riêng thu được: M 1 (t ) + c f y (t ) + K1 y (t ) + K 3 y 3 (t ) + θ v p (t ) =(t ); y  − M 1 z (43) Trong đó: ρ AL cL π4 EA π 4 = M1 =;c f = EI = ; K1 ; K3 ; 2 4 2 L3 4 L3 (44) πx  d δ ( x) d δ ( x − L p )  πx L L ∂2 z EI K ∫ (t ) =− − 2 sin( )dx; ω0 = 2 π = 1 ;θ = ϑ  − ∫ 2 z  sin( )dx 0 ∂t L mL4 M1 0  dx dx  L Từ các đạo hàm riêng, phương trình (38) bây giờ có dạng dv p vp Cp + θy  =(t ) (45) dt R Phương trình (43) và (45) là hệ phương trình vi phân thường liên kết mô tả dao động của kết cấu dầm công xôn gắn lớp áp điện tại tần số cơ bản khi có kích động nền [21], [23].  M 1 (t ) + c f y (t ) + K1 y (t ) + K 3 y 3 (t ) + θ v p (t ) =(t ); y  − M 1 z (46.a)   dv p v p (46)  Cp + θy =(t ) (46.b)  dt R Rõ ràng, phương trình thứ nhất (46.a) trong hệ phương trình liên kết cơ điện (46) chứa hạng số phi tuyến bậc ba của dịch chuyển, tương ứng với dịch chuyển tương đối của mỗi điểm trên dầm so với đầu ngàm khi xét đến biến dạng lớn của dầm cơ sở. Phương trình thứ hai (46.b) của hệ phương trình liên kết cơ điện (46) là phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất, mô tả quan hệ tuyến tính giữa ứng suất – biến dạng và điện trường trong lớp vật liệu áp điện dán trên dầm công xôn cơ sở. 3. Kết Luận Báo cáo, áp dụng phương pháp năng lượng nhằm thiết lập phương trình dao động uốn của kết cấu dầm công xôn gắn hai lớp áp điện phủ trên toàn bề mặt dầm. Hệ phương trình vi phân sau khi chuẩn hóa và mô hình khối lượng tập trung của kết cấu dầm công xôn hai lớp áp điện, khi xét tới biến dạng lớn của kết cấu dầm cơ sở được xây dựng. Các biểu thức dạng hiển trong hệ phương trình vi phân liên kết cơ điện chỉ rõ tính phi tuyến hình học của kết cấu dầm cơ sở được mô tả bởi phương trình phi tuyến kiểu Duffing và phù hợp với các kết quả trong các mô hình giảm bậc của những nghiên cứu trước đó khi xét tới các yếu tố phi tuyến hình học. Tài liệu tham khảo [1] Sodano, H., Inman, D., Park, G, A review of power harvesting from vibration using piezoelectric materials, The Shock and Vibration Digest., pp. 36, 197–205 (2004) [2] Anton, S.R. and Sodano, H.A., A Review of Power Harvesting Using Piezoelectric Materials (2003-2006), Smart Materials and Structures, 16, pp. R1-R21. (2007)
161 Mô hình khối lượng tập trung của kết cấu dầm công xôn áp điện phi tuyến [3] Ibrahim, S. W., Ali, W. G, A review on frequency tuning methods for piezoelectric energy harvesting systems”, Journal of Renewable and Sustainable Energy, 4(6), 062703 (2012) [4] Sarker, M. R., Julai, S., Sabri, M. F. M., Said, S. M., Islam, M. M., Tahir, M., Review of piezoelectric energy harvesting system and application of optimization techniques to enhance the performance of the harvesting system, Sensors and Actuators A: Physical, 111634 (2019) [5] Mahmoodi, S. N., & Jalili, N. (2007). Non-linear vibrations and frequency response analysis of piezoelectrically driven microcantilevers. International Journal of Non-Linear Mechanics, 42(4), 577-587. [6] Masana, R., & Daqaq, M. F. (2011). Electromechanical modeling and nonlinear analysis of axially loaded energy harvesters. Journal of vibration and acoustics, 133(1). [7] Sebald, G., Kuwano, H., Guyomar, D., & Ducharne, B. (2011). Simulation of a Duffing oscillator for broadband piezoelectric energy harvesting. Smart Materials and Structures, 20(7), 075022. [8] Abdelkefi, A., Nayfeh, A. H., & Hajj, M. R. (2012). Effects of nonlinear piezoelectric coupling on energy harvesters under direct excitation. Nonlinear Dynamics, 67(2), 1221-1232. [9] Abdelkefi, A., Nayfeh, A. H., & Hajj, M. R. (2012). Global nonlinear distributed-parameter model of parametrically excited piezoelectric energy harvesters. Nonlinear Dynamics, 67(2), 1147-1160. [10] Shooshtari, A., Hoseini, S. M., Mahmoodi, S. N., & Kalhori, H. (2012). Analytical solution for nonlinear free vibrations of viscoelastic microcantilevers covered with a piezoelectric layer. Smart Materials and Structures, 21(7), 075015. [11] Hosseini, S. M., Shooshtari, A., Kalhori, H., & Mahmoodi, S. N. (2014). Nonlinear-forced vibrations of piezoelectrically actuated viscoelastic cantilevers. Nonlinear Dynamics, 78(1), 571-583. [12] Yang, Y., & Upadrashta, D. (2016). Modeling of geometric, material and damping nonlinearities in piezoelectric energy harvesters. Nonlinear Dynamics, 84(4), 2487-2504. [13] Derayatifar, M., Tahani, M., & Moeenfard, H. (2017). Nonlinear analysis of functionally graded piezoelectric energy harvesters. Composite Structures, 182, 199-208. [14] Wang, K. F., Wang, B. L., Gao, Y., & Zhou, J. Y. (2020). Nonlinear analysis of piezoelectric wind energy harvesters with different geometrical shapes. Archive of Applied Mechanics, 90(4), 721-736. [15] Li, J., He, X., Yang, X., & Liu, Y. (2020). A consistent geometrically nonlinear model of cantilevered piezoelectric vibration energy harvesters. Journal of Sound and Vibration, 486, 115614. [16] Chen, Y., & Yan, Z. (2021). Nonlinear analysis of unimorph and bimorph piezoelectric energy harvesters with flexoelectricity. Composite Structures, 259, 113454. [17] N. D. Anh, Nguyen Ngoc Linh, Nguyen Van Manh, Vu Anh Tuan, Nguyen Van Kuu, Anh Tay Nguyen, Isaac Elishakoff: Efficiency of mono-stable piezoelectric Duffing energy harvester in the secondary resonances by averaging method Part 1. Sub-harmonic resonance. International Journal of Non-Linear Mechanics, Vol. 126 (2020) [18] Linh, N. N., Nguyen, A. T., Van Manh, N., Tuan, V. A., Van Kuu, N., Anh, N. D., & Elishakoff, I. (2021). Efficiency of mono-stable piezoelectric Duffing energy harvester in the secondary resonances by averaging method, Part 2: Super-harmonic resonance. International Journal of Non-Linear Mechanics, 137, 103817. [19] Mitropolsky, Iu.A.: Averaging Method in Nonlinear Mechanics. Naukova Dumka, Kiev, in Russian : s.n. (1971) [20] Yuri, A. Mitropolsky, Nguyen Van Dao: Applied asymptotic methods in nonlinear oscillations. s.l. : Springer Netherlands (1997) [21] Yang, Z., Erturk, A., Zu J.: On the efficiency of piezoelectric energy harvesters. Extreme Mechanics Letters , pp. 15: 26–37 (2017); [22] Erturk A and Inman D J, A distributed parameter electromechanical model for cantilevered piezoelectric energy harvesters, J. Vib. Acoust. 130 041002, 2008 [23] A. Erturk, D.J. Inman, Piezoelectric Energy Harvesting, John Wiley & Sons, New Jersey, 2011 [24] Reddy, Junuthula Narasimha. Mechanics of laminated composite plates and shells: theory and analysis. CRC press, 2003. [25] Nayfeh, Ali H., and P. Frank Pai. Linear and nonlinear structural mechanics. John Wiley & Sons, 2008. [26] Ventsel, Eduard, Theodor Krauthammer, and E. J. A. M. R. Carrera, Thin plates and shells: theory, analysis, and applications, Appl. Mech. Rev. 55.4 (2002): B72-B73.