MÔĐUN

Chia sẻ: Mai Trần Thúy Hạnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

156
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Định nghĩa Môđun A là một vành có đơn vị 1A ≠ 0A, (M,+) là một nhóm aben Nhóm aben M cùng với ax: ()AMMa,xax×⎯⎯→|⎯⎯→ đgl A–môđun trái (hay môđun trái trên vành A) nếu: (i) a(x + y) = ax + ay (ii) (a + b)x = ax + bx (iii) (ab)x = a(bx) (iv) 1Ax = x ∀a,b∈A, ∀x,y∈M Lưu ý: a0M = 0M , 0Ax = 0M (–a)x = a(–x) = –ax ∀a∈A, ∀x∈M

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: MÔĐUN

MÔĐUN Định nghĩa Môđun A là một vành có đơn vị 1A ≠ 0A, (M,+) là một nhóm aben Nhóm aben M cùng với ax: A × M ⎯⎯→ M ( a,x ) |⎯⎯→ ax đgl A–môđun trái (hay môđun trái trên vành A) nếu: (i) a(x + y) = ax + ay (ii) (a + b)x = ax + bx (iii) (ab)x = a(bx) (iv) 1Ax = x ∀a,b∈A, ∀x,y∈M Lưu ý: a0M = 0M , 0Ax = 0M ∀a∈A, ∀x∈M (–a)x = a(–x) = –ax Môđun con H là môđun con của A–môđun M ⎧ H ≠ ∅, H ⊂ M ⎪ ⇔ ⎨x + y ∈ H ∀x, y ∈ H ⎪ ⎩ax ∈ H ∀a ∈ A, ∀x ∈ H ⎧ H ≠ ∅, H ⊂ M ⇔⎨ ⎩ax + by ∈ H ∀a, b ∈ A, ∀x, y ∈ H ⎧ H ≠ ∅, H ⊂ M ⇔⎨ ⎩x + ry ∈ H ∀r ∈ A, ∀x, y ∈ H Môđun con sinh bởi X Môđun con H của A–môđun M sinh bởi X ⎧H laø moâñun con cuûa M ⎪ ⇔ ⎨X ⊂ H ⎪H nhoû nhaát chöùa X ⇔ ∀Y ⊃ X ⇒ Y ⊃ H ( ) ⎩ Môđun thương H là môđun con của A–môđun M ⇒ M = {x + H x ∈ M} với 2 phép toán H ( x + H) + (y + H) = x + y + H a(x + H) = ax + H ∀a ∈ A, ∀x, y ∈ H
là một A–môđun A–môđun M đgl môđun thương của A–môđun M H Đồng cấu Môđun ax M, N là các A–môđun, h : M ⎯⎯ N → h đgl đồng cấu môđun ⎧ h(x + y) = h(x) + h(y) ∀a ∈ A, ∀x, y ∈ M ⇔⎨ ⎩ h(ax) = ah(x) ⇔ h(ax + by) = ah(x) + bh(y) ñôn aùnh ñgl ñôn caáu (pheùp nhuùng) Ñoàng caáu & toaøn aùnh ñgl toaøn caáu song aùnh ñgl ñaúng caáu Hạt nhân và ảnh của đồng cấu môđun Kerh = {x ∈ M h(x) = 0 N } = h −1 (0 N ) Im h = {h(x) x ∈ M} = h(M) Tính chất của đồng cấu môđun ⎧H laø moâñun con cuûa M ⇒ h(H) laø moâñun con cuûa N a) ⎨ ⎩K laø moâñun con cuûa N ⇒ h (K) laø moâñun con cuûa M −1 ⎧ h ñôn caáu ⇔ Kerh = {0 M } ⎪ b) ⎨ ⎪ h toaøn caáu ⇔ Im h = N ⎩ Định lí đồng cấu môđun Cho p : M ⎯⎯⎯⎯ M toaøn caáu → H chính taéc x |⎯⎯⎯→ x = x + H ñoàng caáu moâñun h : M ⎯⎯⎯⎯⎯→ N s/c H ⊂ Kerh Khi đó: 1) ∃! h : M ñoàng caáu moâñun ⎯⎯⎯⎯⎯→ N s / c h o p = h H ( neáu H = Kerh thì h ñôn caáu ) 2) Im h = Imh và Kerh = Kerh H
Đặc biệt: Nếu h : M ⎯⎯ Im h thì h đẳng cấu. Khi đó: → Kerh M ≅ Im h Kerh Nếu h : M ⎯⎯ N là toàn cấu thì M ≅N → Kerh Lưu ý: Để cm X ≅ Y , ta cm các bước sau: A f : X ⎯⎯ Y là ánh xạ → B1: B2: f là toàn cấu B3: Kerf = A Cấu trúc trên tập hợp những đồng cấu 1) HomA(M,N) là tập hợp tất cả các đồng cấu A–môđun từ M vào N. a) f,g ∈ Hom A (M, N) , ta có: f + g : M ⎯⎯→ N x |⎯⎯→ (f + g)(x) := f(x) + g(x) ( ∀c ∈ Z(A) = {c ∈ A ) ca = ac, ∀a ∈ A} cf : M ⎯⎯→ N và x |⎯⎯→ (cf)(x) := cf(x) là những đồng cấu môđun b) HomA(M,N) cùng phép cộng ( f, g) a f + g xác định bởi (a) là một nhóm aben. c) Nếu K là vành giao hoán, M và N là hai K–môđun thì HomK(M,N) cùng phép cộng và phép nhân với vô hướng (a) là 1 K–môđun. 2) EndA(M) là tập hợp tất cả các tự đồng cấu của M. a) EndA(M) cùng với phép cộng đồng cấu và phép nhân (hợp thành) đồng cấu là một vành có đơn vị.
b) Nếu K là vành giao hoán thì EndK(M) có cấu trúc của một K–đại số. Tích và tổng của môđun ∏ M i = {(x i )i∈I x i ∈ M i , ∀i ∈ I ≠ ∅} với 2 phép toán sau là một i∈I A–môđun. (x i )i∈I + (y i )i∈I = (x i + y i )i∈I , ∀(x i )i∈I ,(y i )i∈I ∈ ∏ M i i∈I a(x i )i∈I = (ax i )i∈I , ∀a ∈ A, ∀(x i )i∈I ∈ ∏ M i i∈I ∏M ∏M A–môđun đgl tích trực tiếp của họ i i i∈I i∈I Phần tử (x i )i∈I ∈ ∏ M i đgl có giá hữu hạn nếu như tập các chỉ số i i∈I ∈ I mà xi ≠ 0 là hữu hạn; nghĩa là xi = 0 với hầu hết i ∈ I trừ nhiều lắm là một số hữu hạn. Tập tất cả các phần tử có giá hữu hạn của tích trực tiếp ∏ M i là i∈I ∏M môđun con của và đgl đối tích hay tổng trực tiếp (ngoài) i i∈I của họ {M i }i∈I các A–môđun, k/h: CM . i i∈I Tổng của một họ {M i }i∈I các môđun con của A–môđun M, k/h: ⎧ ⎫ ∑M = ⎨∑ x i x i ∈ M i , ∀i ∈ I, (x i )i∈I coù giaù höõu haïn ⎬ , là một i ⎩ i∈I ⎭ i∈I môđun con của M. A–môđun M đgl tổng trực tiếp trong của họ {M i }i∈I các môđun con của nó, k/h: M = ⊕ M i , nếu i∈I M = ∑ M i vaø M i I ∑ M j = {0 M } , ∀i ∈ I i∈I i≠ j Môđun tự do Một A–môđun M đgl tự do nếu nó có 1 cơ sở. Lưu ý: Hệ S là một cơ sở nếu nó ĐLTT và là hệ sinh, tức là
⎧ ⎛n ⎞ (S ⊂ M) ÑLTT ⇔ ⎜ ∑ ai x i = 0 ⇒ ai = 0 ∀i = 1, n, ∀x i ∈ S ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ i =1 ⎠ ⎨ n ⎪ ⎪( ∀x ∈ M )( ∃a1 K an ∈ A, x1 K x n ∈ S) : x = ∑ ai x i ⎩ i =1 ĐẠI SỐ Định nghĩa Đại số K là một vành giao hoán có đơn vị 1K ≠ 0K. Một K–đại số, hay đại số trên K, là một tập X được trang bị các phép toán: X × X ⎯⎯→ X phép cộng (1) ( x,y ) |⎯⎯→ x + y phép nhân với vô hướng K × X ⎯⎯→ X (2) ( k,x ) |⎯⎯→ kx X × X ⎯⎯→ X phép nhân (3) ( x,y ) |⎯⎯→ xy sao cho (i) X là một K–môđun (ii) X là một vành ∀k∈K, ∀x,y∈X (iii) k(xy) = (kx)y = x(ky) Đại số con A là đại số con của K–đại số X ⎧ A ≠ ∅, A ⊂ X ⎪ ⇔ ⎨A laø moâñun con cuûa X ⎪A laø vaønh con (chöùa 1 ) cuûa X ⎩ X ⎧A ≠ ∅, A ⊂ X ⎪x + y ∈ A ∀x, y ∈ A ⎪ ⇔⎨ ⎪ kx ∈ A ∀k ∈ K, ∀x ∈ A ⎪xy ∈ A ∀x, y ∈ A ⎩ Iđêan A của K–đại số X A là iđêan của K–đại số X
⎧ A ≠ ∅, A ⊂ X ⎪x + y ∈ A ∀x, y ∈ A ⎪ ⇔⎨ ⎪ kx ∈ A ∀k ∈ K, ∀x ∈ A ⎪xa, ax ∈ A ∀a ∈ A, ∀x ∈ X ⎩ Đại số thương A là iđêan của K–đại số X ⇒ X = {x + A x ∈ X} với 3 phép toán A (x + A) + (y + A) = x + y + A (x + A).(y + A) = xy + A k(x + A) = kx + A ∀k ∈ K, ∀x, y ∈ A là một K–đại số K–đại số X đgl đại số thương của K–đại số X A Đồng cấu Đại số X, Y là các k–đại số, f : X ⎯a⎯ Y x → f đgl đồng cấu đại số ⎧f (x + y) = f(x) + f(y) ⎪ ⇔ ⎨f(kx) = kf(x) ∀k ∈ K, ∀x, y ∈ X ⎪f(xy) = f(x)f(y) ⎩ Hạt nhân và ảnh của đồng cấu đại số Kerf = {x ∈ X f(x) = 0 Y } = f −1 (0 Y ) là 1 iđêan của K–đại số X Im f = {f(x) x ∈ X} = f(X) là 1 đại số con của K–đại số Y Tính chất của đồng cấu đại số ⎧A laø ñaïi soá con cuûa X ⇒ f(A) laø ñaïi soá con cuûa Y ⎨ ⎩B laø iñeâan cuûa Y ⇒ f (B) laø iñeâan cuûa X −1 Định lí đồng cấu đại số ñoàng caáu ñaïi soá Cho f : X ⎯⎯⎯⎯⎯ Y . Giả sử A là iđêan của X và B → là iđêan của Y s/c f(A) ⊂ B
∃! f : X ⎯⎯⎯⎯⎯ Y ñoàng caáu ñaïi soá s / c qf = fp , trong → Khi đó: A B đó p và q là các toàn cấu chính tắc, tức là làm sơ đồ sau giao hoán: ñoàng caáu ñaïi soá f : X ⎯⎯⎯⎯⎯ Y → HQ1: Cho f ' : X Kerf ⎯⎯→ Y là một đơn cấu Khi đó: x + Kerf |⎯⎯→ f(x) f : X ⎯t⎯⎯⎯⎯ Y , A là iđêan của X oaøn caáu ñaïi soá → HQ2: Cho ∃ f : X ⎯⎯⎯⎯⎯ Y toaøn caáu ñaïi soá → Khi đó: A f (A) A ⊃ Kerf ⇒ f đẳng cấu. Hơn nữa,