Phô lôc I : Mét sè ®Ò thi häc kú m«n to¸n a1
§Ò 01
C©u 1: Chøng minh r»ng
333
222
111
2
33333
22222
11111
)1(
cba
cba
cba
x
cbxaxba
cbxaxba
cbxaxba
−=
++
++
++
C©u 2: Cho F={(x1,x2,x3)∈R3:x1+2x2-x3=m , m lµ h»ng sè}
a. T×m m ®Ó F lµ kh«ng gian con cña R3.
b. T×m mét c¬ së cña F khi m=0.
C©u 3: Trong c¬ së
E=
=
=
=
=10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
4321 EEEE
cña kh«ng gian M2x2 c¸c ma trËn vu«ng thùc cÊp 2 cho c¸c
vÐc t¬:
−
=
−
=
−
=
−
−
=31
02
,
12
10
,
02
12
,
10
01
4321 CCCC
a. Chøng minh r»ng hÖ C={C1,C2,C3,C4} lµ mét c¬ së
trong M2x2.
b. Cho to¹ ®é cña A trong c¬ së C lµ A=
−31
02
, h·y t×m
to¹ ®é cña A trong c¬ së E.
C©u 4: Trong c¬ së chÝnh t¾c {e1,e2,e3} cña R3 cho tù ®ång
cÊu g x¸c ®Þnh nh sau:
g(x1,x2,x3)=(x1-x2,x1-2x2+x3,x1+x2+2x3)
a. T×m ma trËn cña g trong c¬ së chÝnh t¾c
{e1,e2,e3}.
b. T×m ma trËn cña g trong c¬ së {e1,2e3,-e2}.
C©u 5: T×m gi¸ trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng cña phÐp biÕn ®æi
tuyÕn tÝnh ϕ cho bëi ma trËn sau
15
A=
−
−
−
100
222
201
Cã tån t¹i mét c¬ së gåm toµn vÐc t¬ riªng cña ϕ kh«ng?
NÕu ®îc h·y chÐo ho¸ ma trËn A.
C©u 6: §a ®êng cong bËc hai cã ph¬ng tr×nh sau ®©y vÒ
d¹ng chÝnh t¾c:
080563845 21
2
221
2
1=+−−++ xxxxxx
víi mäi (x1,x2) thuéc R2.
§Ò 02
C©u 1: T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt ®Ó
10
6
)1(
)31()1(
i
ii n
−
+−+
lµ mét sè thùc.
C©u 2: Cho hÖ ph¬ng tr×nh
=++
=++
=+−
=−+
94
82
2
532
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
λ
a. Gi¶i hÖ víi λ=1.
b. T×m λ ®Ó hÖ cã nghiÖm.
C©u 3: Cho M lµ tËp c¸c hµm sè cã d¹ng
f(x)=a cosx+b sinx+c
Víi phÐp céng hai hµm sè vµ phÐp nh©n hµm sè víi mét sè
th«ng thêng, chøng minh M lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn R.
T×m sè chiÒu vµ c¬ së cña M.
C©u 4: Trong c¬ së chÝnh t¾c cña kh«ng gian R3 cho 3 vÐc
t¬
v1=(2,3,4), v2=(3,5,7), v3=(4,4,6)
vµ phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh f: R3 →R3 x¸c ®Þnh nh sau:
f(x1,x2,x3)=(2x1+x2+x3,3x1+2x2+x3,x1+x2+2x3)
16
a. Chøng minh r»ng hÖ {v1,v2,v3} lµ mét c¬ së cña R3.
T×m to¹ ®é cña vÐc t¬ y=(2,-3,-4) trong c¬ së
{v1,v2,v3}.
b. T×m ma trËn cña f theo c¬ së {v1,v2,v3}.
C©u 5: Trong mét c¬ së (B) cña kh«ng gian M2x2 c¸c ma trËn
vu«ng cÊp hai víi phÐp céng hai ma trËn vµ phÐp nh©n mét
sè víi mét ma trËn th«ng thêng, cho ¸nh x¹ f : M2x2 → M2x2 nh
sau:
f
a. Chøng minh f lµ mét phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh
trªn M2x2.
b. X¸c ®Þnh Kerf vµ dim Kerf.
C©u 6: Trong mét c¬ së trùc chuÈn cña R3 cho d¹ng toµn ph-
¬ng
f(x,x)=
323121
2
3
2
2
2
144822 xxxxxxxxx +−−−+
víi x=(x1,x2,x3)∈R3. §a d¹ng toµn ph¬ng trªn vÒ d¹ng chÝnh
t¾c b»ng phÐp biÕn ®æi trùc giao.
§Ò 03
C©u 1: Cho ph¬ng tr×nh ma trËn
+
=
−
−
5
2
0
14
112
211
λλ
X
a. T×m X khi λ=-2.
b. Ph¬ng tr×nh trªn cã khi nµo v« nghiÖm kh«ng? T¹i
sao?
C©u 2: Trong kh«ng gian vÐc t¬ R3 cho tËp hîp
V=
=∈= 0
212
121:),,(
321
3
321
xxx
Rxxxx
17
Chøng minh r»ng V lµ kh«ng gian con cña R3. T×m sè chiÒu
vµ mét c¬ së cña V.
C©u 3: Trong kh«ng gian P3(x) c¸c ®a thøc hÖ sè thùc bËc
nhá h¬n hoÆc b»ng 3 xÐt ¸nh x¹: f[p(x)]=4p(x)-x2p”(x)
∀p(x)∈P3(x)
a. Chøng minh r»ng f lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.
b. T×m ma trËn cña f trong c¬ së {x2,x3,x,1}.
C©u 4: Trong kh«ng gian c¸c ®a thøc Èn x bËc nhá h¬n
hoÆc b»ng bèn P4(x), chøng minh b»ng tËp c¸c ®a thøc cã
nghiÖm x=a, x=b (a≠b) t¹o thµnh mét kh«ng gian con cña
P4(x). T×m sè chiÒu vµ mét c¬ së cña kh«ng gian con ®ã.
C©u 5: Chøng minh r»ng tån t¹i duy nhÊt mét phÐp biÕn
®æi tuyÕn tÝnh trong R3 biÕn ®æi hÖ c¸c vÐc t¬ a1=(2,1,0),
a2=(0,0,1), a3=(5,3,2) thµnh hÖ c¸c vÐc t¬ b1=(-1,1,1),
b2=(2,1,2), b3=(1,1,1). T×m ma trËn cña phÐp biÕn ®æi
tuyÕn tÝnh ®ã trªn c¬ së chÝnh t¾c.
C©u 6: Trong R2 cho d¹ng toµn ph¬ng
f(x,x)=
2
221
2
1323 xxxx ++
, x=(x1,x2)
a. Dïng phÐp biÕn ®æi trùc giao ®a f(x,x) vÒ d¹ng chÝnh
t¾c.
b. NhËn d¹ng ®êng bËc hai f(x,x)=1.
§Ò 04
C©u 1: TÝnh
n
−
−
23
12
.
C©u 2: Gi¶ sö hÖ c¸c vÐc t¬ {v1,v2,v3} cña kh«ng gian tuyÕn
tÝnh E lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ
a1= v1+v2+v3 a2= v1-v2+v3 a3= v1+v2-v3
Chøng minh r»ng hÖ {a1,a2,a3} lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh.
C©u 3: Trong R3 cho c¸c kh«ng gian con sau:
F={x=(x1,x2,x3)∈R3: x1-2x2+x3=0}
G=={x=(x1,x2,x3)∈R3: 2x1-x2+x3=0}
a. T×m sè chiÒu vµ mét c¬ së t¬ng øng cña F vµ G.
18
b. T×m sè chiÒu vµ mét c¬ së cña kh«ng gian con
F∩G.
C©u 4: PhÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh ϕ trong c¬ së a1=(-3,7),
a2=(1,-2) cã ma trËn
−
−
35
12
, phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh χ
trong c¬ së b1=(6,-7), b2=(-5,6) cã ma trËn
72
31
. T×m
ma trËn cña ϕoχ vµ ϕ+χ trong c¬ së chÝnh t¾c.
C©u 5: Trong kh«ng gian R3 cho mét d¹ng song tuyÕn tÝnh
f(x,y)=
( )
3
2
1
321
02
031
211
y
y
y
m
xxx
∀(x1,x2,x3),
(y1,y2,y3)∈R3
T×m m ®Ó f(x,y) lµ mét tÝch v« híng trªn R3.
C©u 6: Cho d¹ng toµn ph¬ng
f(x,x)=
323121
2
3
2
2
2
13422 xxxxxxxxx −−++−
a. §a d¹ng toµn ph¬ng vÒ d¹ng chÝnh t¾c vµ nªu râ
c¸c chØ sè qu¸n tÝnh trong d¹ng chÝnh t¾c.
b. HÖ c¬ së chÝnh t¾c cña d¹ng toµn ph¬ng cã ph¶i
lµ c¬ së trùc chuÈn kh«ng? T¹i sao?
§Ò 05
C©u 1: Dïng ®¼ng thøc
−
−
=
−
−
25
37
30
02
75
32
1235
617
tÝnh
5
1235
617
−
−
C©u 2: Cho H={(x,y,z)∈R3 : x=5y+2z (y,z∈R)}
a. Chøng minh r»ng H lµ kh«ng gian con cña R3.
b. T×m mét c¬ së cña H.
C©u 3: Cho ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh f: R4→R3 x¸c ®Þnh nh sau
19