MỘT SỐ ĐỀ THI HỌC KỲ MÔN TOÁN A1

Chia sẻ: Nguyễn Quốc Thắng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

276
lượt xem 86
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'một số đề thi học kỳ môn toán a1', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: MỘT SỐ ĐỀ THI HỌC KỲ MÔN TOÁN A1

Phô lôc I : Mét sè ®Ò thi häc kú m«n to¸n a1 §Ò 01 C©u 1: Chøng minh r»ng a1 + b1 x a1 x + b1 c1 a1 b1 c1 a 2 + b2 x a 2 x + b2 c 2 = (1 − x 2 ) a 2 b2 c2 a3 + b3 x a3 x + b3 c3 a3 b3 c3 3 C©u 2: Cho F={(x1,x2,x3)∈R :x1+2x2-x3=m , m lµ h»ng sè} a. T×m m ®Ó F lµ kh«ng gian con cña R3. b. T×m mét c¬ së cña F khi m=0. C©u 3: Trong c¬ së  1 0  0 1  0 0  0 0  E=  E1 =   0 0 , E 2 =  0 0 , E 3 = 1 0 , E 4 =  0 1                 cña kh«ng gian M2x2 c¸c ma trËn vu«ng thùc cÊp 2 cho c¸c vÐc t¬:  −1 0  2 1 0 1   2 0 C1 =   0 − 1, C 2 =  − 2 0 , C 3 =  2 − 1, C 4 = 1 − 3                 a. Chøng minh r»ng hÖ C={C 1,C2,C3,C4} lµ mét c¬ së trong M2x2. 2 0 b. Cho to¹ ®é cña A trong c¬ së C lµ A=  1 − 3  , h·y t×m    to¹ ®é cña A trong c¬ së E. C©u 4: Trong c¬ së chÝnh t¾c {e 1,e2,e3} cña R3 cho tù ®ång cÊu g x¸c ®Þnh nh sau: g(x1,x2,x3)=(x1-x2,x1-2x2+x3,x1+x2+2x3) a. T×m ma trËn cña g trong c¬ së chÝnh t¾c {e1,e2,e3}. b. T×m ma trËn cña g trong c¬ së {e1,2e3,-e2}. C©u 5: T×m gi¸ trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng cña phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh ϕ cho bëi ma trËn sau 15
1 0 − 2   A=  2 2 − 2 0 0 − 1   Cã tån t¹i mét c¬ së gåm toµn vÐc t¬ riªng cña ϕ kh«ng? NÕu ®îc h·y chÐo ho¸ ma trËn A. C©u 6: §a ®êng cong bËc hai cã ph¬ng tr×nh sau ®©y vÒ d¹ng chÝnh t¾c: 5 x12 + 4 x1 x 2 + 8 x 2 − 3x1 − 56 x 2 + 80 = 0 2 víi mäi (x1,x2) thuéc R2. §Ò 02 C©u 1: T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt ®Ó (1 + i ) 6 (−1 + i 3 ) n (1 − i )10 lµ mét sè thùc. C©u 2: Cho hÖ ph¬ng tr×nh 2 x1 + 3 x 2 − x3 = 5  x − x +x =2  1 2 3   x1 + 2 x 2 + λx3 = 8 4 x1 + x 2 + x3 = 9  a. Gi¶i hÖ víi λ=1. b. T×m λ ®Ó hÖ cã nghiÖm. C©u 3: Cho M lµ tËp c¸c hµm sè cã d¹ng f(x)=a cosx+b sinx+c Víi phÐp céng hai hµm sè vµ phÐp nh©n hµm sè víi mét sè th«ng thêng, chøng minh M lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn R. T×m sè chiÒu vµ c¬ së cña M. C©u 4: Trong c¬ së chÝnh t¾c cña kh«ng gian R 3 cho 3 vÐc t¬ v1=(2,3,4), v2=(3,5,7), v3=(4,4,6) vµ phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh f: R3 →R3 x¸c ®Þnh nh sau: f(x1,x2,x3)=(2x1+x2+x3,3x1+2x2+x3,x1+x2+2x3) 16
a. Chøng minh r»ng hÖ {v1,v2,v3} lµ mét c¬ së cña R3. T×m to¹ ®é cña vÐc t¬ y=(2,-3,-4) trong c¬ së {v1,v2,v3}. b. T×m ma trËn cña f theo c¬ së {v1,v2,v3}. C©u 5: Trong mét c¬ së (B) cña kh«ng gian M 2x2 c¸c ma trËn vu«ng cÊp hai víi phÐp céng hai ma trËn vµ phÐp nh©n mét sè víi mét ma trËn th«ng thêng, cho ¸nh x¹ f : M 2x2 → M2x2 nh sau:  a b   a + c b−d f  c  =   a − c   d   b+d  a. Chøng minh f lµ mét phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh trªn M2x2. b. X¸c ®Þnh Kerf vµ dim Kerf. C©u 6: Trong mét c¬ së trùc chuÈn cña R 3 cho d¹ng toµn ph- ¬ng f(x,x)= 2 x12 + 2 x 2 − x3 − 8 x1 x 2 − 4 x1 x3 + 4 x 2 x3 2 2 víi x=(x1,x2,x3)∈R3. §a d¹ng toµn ph¬ng trªn vÒ d¹ng chÝnh t¾c b»ng phÐp biÕn ®æi trùc giao. §Ò 03 C©u 1: Cho ph¬ng tr×nh ma trËn 1 1 − 2  0      2 −1 1 X =  2  4 1 λ  λ + 5     a.T×m X khi λ=-2. b. Ph¬ng tr×nh trªn cã khi nµo v« nghiÖm kh«ng? T¹i sao? C©u 2: Trong kh«ng gian vÐc t¬ R3 cho tËp hîp  x1 x 2 x3    V=  x = ( x1 , x 2 , x3 ) ∈ R : 1 1 = 0 3 2  2 1 2    17
Chøng minh r»ng V lµ kh«ng gian con cña R 3. T×m sè chiÒu vµ mét c¬ së cña V. C©u 3: Trong kh«ng gian P3(x) c¸c ®a thøc hÖ sè thùc bËc nhá h¬n hoÆc b»ng 3 xÐt ¸nh x¹: f[p(x)]=4p(x)-x 2p”(x) ∀p(x)∈P3(x) a. Chøng minh r»ng f lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. b. T×m ma trËn cña f trong c¬ së {x2,x3,x,1}. C©u 4: Trong kh«ng gian c¸c ®a thøc Èn x bËc nhá h¬n hoÆc b»ng bèn P4(x), chøng minh b»ng tËp c¸c ®a thøc cã nghiÖm x=a, x=b (a≠b) t¹o thµnh mét kh«ng gian con cña P4(x). T×m sè chiÒu vµ mét c¬ së cña kh«ng gian con ®ã. C©u 5: Chøng minh r»ng tån t¹i duy nhÊt mét phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh trong R3 biÕn ®æi hÖ c¸c vÐc t¬ a 1=(2,1,0), a2=(0,0,1), a3=(5,3,2) thµnh hÖ c¸c vÐc t¬ b 1=(-1,1,1), b2=(2,1,2), b3=(1,1,1). T×m ma trËn cña phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh ®ã trªn c¬ së chÝnh t¾c. C©u 6: Trong R2 cho d¹ng toµn ph¬ng f(x,x)= 3 x12 + 2 x1 x 2 + 3x 2 2 , x=(x1,x2) a. Dïng phÐp biÕn ®æi trùc giao ®a f(x,x) vÒ d¹ng chÝnh t¾c. b. NhËn d¹ng ®êng bËc hai f(x,x)=1. §Ò 04 n 2 −1  C©u 1: TÝnh  3 − 2 .    C©u 2: Gi¶ sö hÖ c¸c vÐc t¬ {v 1,v2,v3} cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh E lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ a1= v1+v2+v3 a2= v1-v2+v3 a3= v1+v2-v3 Chøng minh r»ng hÖ {a1,a2,a3} lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. C©u 3: Trong R3 cho c¸c kh«ng gian con sau: F={x=(x1,x2,x3)∈R3: x1-2x2+x3=0} G=={x=(x1,x2,x3)∈R3: 2x1-x2+x3=0} a. T×m sè chiÒu vµ mét c¬ së t¬ng øng cña F vµ G. 18
b. T×m sè chiÒu vµ mét c¬ së cña kh«ng gian con F∩G. C©u 4: PhÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh ϕ trong c¬ së a1=(-3,7),  2 −1 a2=(1,-2) cã ma trËn   5 − 3  , phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh χ    1 3 trong c¬ së b1=(6,-7), b2=(-5,6) cã ma trËn  2  . T×m  7  ma trËn cña ϕoχ vµ ϕ+χ trong c¬ së chÝnh t¾c. C©u 5: Trong kh«ng gian R3 cho mét d¹ng song tuyÕn tÝnh 1 1 2  y1     f(x,y)= ( x1 x 2 x3 ) 1 3 0  y 2  ∀(x1,x2,x3),  2 0 m  y    3  (y1,y2,y3)∈R3 T×m m ®Ó f(x,y) lµ mét tÝch v« híng trªn R3. C©u 6: Cho d¹ng toµn ph¬ng f(x,x)= x12 − 2 x 2 + 2 x3 + 4 x1 x 2 − 3 x1 x3 − x 2 x3 2 2 a. §a d¹ng toµn ph¬ng vÒ d¹ng chÝnh t¾c vµ nªu râ c¸c chØ sè qu¸n tÝnh trong d¹ng chÝnh t¾c. b. HÖ c¬ së chÝnh t¾c cña d¹ng toµn ph¬ng cã ph¶i lµ c¬ së trùc chuÈn kh«ng? T¹i sao? §Ò 05 C©u 1: Dïng ®¼ng thøc 17 − 6   2 3  2 0  − 7 3   35 − 12   5 7  0 3  5 − 2  =          5 17 −6  tÝnh   35 − 12    C©u 2: Cho H={(x,y,z)∈R3 : x=5y+2z (y,z∈R)} a. Chøng minh r»ng H lµ kh«ng gian con cña R3. b. T×m mét c¬ së cña H. C©u 3: Cho ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh f: R4→R3 x¸c ®Þnh nh sau 19
f(x1,x2,x3,x4)= (4 x1 − 2 x 2 + x3 − x 4 , x 2 − x3 , x1 ) a. T×m ma trËn A cña ¸nh x¹ f. b. T×m Ker f vµ dim Im f. C©u 4: T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña λ sao cho d¹ng toµn ph¬ng sau lµ x¸c ®Þnh d¬ng trong R3: f(x,x)= 4 x12 + x 2 + x3 + 2λx1 x 2 + 6 x1 x3 + 10 x 2 x3 2 2 víi x=(x1,x2,x3) ∈R3.  1 4 0   C©u 5: Cho ma trËn A=  − 1 − 3 0  0 0 4   a. T×m gi¸ trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng cña A. b. Ma trËn A cã chÐo ho¸ ®îc kh«ng? NÕu ®îc viÕt ma trËn chÐo B díi d¹ng B=T -1AT vµ ma trËn chuyÓn T. C©u 6: Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh  x + ay + a 2 z = a 3   x + by + b z = b 2 3  x + cy + c 2 z = c 3  §Ò 06 C©u 1: T×m miÒn biÓu diÔn h×nh häc c¸c sè phøc 2 z −1 + z 2 − 3y 2 = 1 víi z=x+iy. C©u 2: T×m f(A) biÕt 2 1 1   f(x)=x2-x-1 víi A=  3 1 2 1 − 1 0   4 C©u 3: Trong kh«ng gian R xÐt tËp 20
 2 x1 + 3 x 2 − x3 + x 4 = 0 A=  x = ( x1 , x 2 , x3 , x 4 ) ∈ R : 4   2 x1 − 3 x 2 + x3 + x 4 = 0 a. Chøng minh r»ng A lµ kh«ng gian con cña R4. b. T×m sè chiÒu vµ mét c¬ së cña A. C©u 4: T×m ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn 2 − i 0 0   A= 1 + 2i 2 + i 0 3 − i i 2   4 C©u 5: Trong mét c¬ së trùc chuÈn cña R cho c¸c vÐc t¬ a1=(3,-1,5,1), a2=(0,2,-4,1) vµ b=(1,λ,0,µ) a. T×m λ,µ ®Ó vÐc t¬ b trùc giao víi hai vÐc t¬ a1,a2. b. Víi λ,µ t×m ®îc h·y trùc giao ho¸ hÖ {b,a 1,a2}. C©u 6: Cho ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh f víi ma trËn −1 3 − 1   A=  − 3 5 − 1 − 3 3 1   a. T×m gi¸ trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng cña A. b. Ma trËn A cã chÐo ho¸ ®îc kh«ng? NÕu ®îc viÕt ma trËn chÐo B díi d¹ng B=T –1AT. §Ò 07 3 +i C©u 1: §a sè phøc sau vÒ d¹ng lîng gi¸c z = 3 −i C©u 2: T×m ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn 1 − i 2 + i 1 − 2i    A=  0 1 −i   0 0 1+ i    21
C©u 3: T×m ®a thøc bËc hai p(x)=ax 2+bx+c biÕt p(1)=-1, p(-1)=9, p(2)=-3. C©u 4: Cho E lµ kh«ng gian Euclide trªn R vµ a∈E, a≠θ. Gäi L={x∈E: =0} a. Chøng minh r»ng L lµ kh«ng gian con cña E. b. Cho {e1,e2,...,em} lµ mét c¬ së cña L. Chøng minh r»ng {e1,e2,...,em,a} lµ mét c¬ së cña E. C©u 5: BiÕt r»ng ma trËn vu«ng A cÊp n cã n gi¸ trÞ riªng lµ λ1, λ2,..., λn . T×m c¸c gi¸ trÞ riªng cña A3. C©u 6: Trong R3 cho hÖ vÐc t¬ {x,e 1,e2,e3}víi e1=(1,1,1), e2=(1,1,2), e3=(1,2,3), x=(6,9,14). a. T×m h¹ng cña hÖ trªn b. Hái {e1,e2,e3} cã lµ mét c¬ së cña R3 kh«ng? V× sao? c. BiÓu diÔn vÐc t¬ x qua {e 1,e2,e3}. BiÓu diÔn ®ã cã duy nhÊt kh«ng? §Ò 08 C©u 1: §a sè phøc sau vÒ d¹ng lîng gi¸c π π π z = sin (sin + i cos ) 3 4 3 C©u 2: Víi abcde≠0 t×m ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn 0 a 0 0 0   0 0 0 b 0 A=  c 0 0 0 0   0 0 0 0 d 0 0 e 0 0   C©u 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh  x1 + x 2 − 3 x3 = −1 2 x + x − 2 x = 1  1 2 3   x1 + x 2 + x3 = 3  x1 + 2 x 2 − 3 x3 = 1  22
C©u 4: Cho f: R2 →R2 x¸c ®Þnh bëi f(x,y)=(2x-y, -x+2y). H·y t×m mét c¬ së cña R2 ®Ó trong c¬ së ®ã ma trËn cña f cã d¹ng ®êng chÐo vµ t×m ma trËn ®êng chÐo ®ã. C©u 5: Trong mét c¬ së trùc chuÈn cña kh«ng gian Euclide R4 cho a1=(1,1,0,1), a2=(0,1,1,0). Víi kh«ng gian con L={x∈R4:=0,=0} a. T×m mét c¬ së cña L. b. Trùc giao ho¸ hÖ gåm c¸c vÐc t¬ a 1,a2, vµ c¸c vÐc t¬ trong c¬ së cña L võa t×m ®îc. C©u 6: Cho ¸nh x¹ f: R3→R3 x¸c ®Þnh bëi f(x,y,z)=(x+2y+2z,2x+y+2z,2x+2y+z) a. Chøng tá f lµ phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh b. T×m mét c¬ së trùc chuÈn gåm c¸c vÐc t¬ riªng cña f, viÕt ma trËn cña f trªn c¬ së ®ã. c. Chøng tá f lµ song ¸nh trªn R3, h·y x¸c ®Þnh f –1. §Ò 09 C©u 1: TÝnh 3 4 − 4i C©u 2: Cho ph¬ng tr×nh ma trËn 1 2 λ  −1      2 7 2λ + 1 X =  2  3 9 4λ   1     a. Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn khi λ=0. b. T×m λ ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh trªn cã v« sè nghiÖm. C©u 3: Cho ma trËn 1 − 1 0   A=  0 2 − 1 1 1 3   Hái ma trËn A cã chÐo ho¸ ®îc kh«ng? V× sao?. NÕu ®îc, h·y t×m ma trËn T ®Ó ®a ma trËn A vÒ d¹ng ma trËn ®êng chÐo B=T -1AT. C©u 4: Cho ¸nh x¹ f: R3 → R3 x¸c ®Þnh bëi f(x,y,z)=(2x-y+z,-x+2y-z,z+m) 23
1. T×m m ®Ó f lµ mét phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh. 2. T×m ma trËn cña f theo c¬ së chÝnh t¾c khi m=0. C©u 5: Trong mét c¬ së trùc chuÈn cña kh«ng gian Euclide R4 cho c¸c vÐc t¬ a1=(1,-1,0,-1), a2=(0,1,-1,-1). Cho kh«ng gian con L={x∈R4: =0, =0} a. T×m mét c¬ së cña L. b. Trùc giao ho¸ hÖ gåm c¸c vÐc t¬ a 1,a2 vµ c¸c vÐc t¬ trong c¬ së võa t×m ®îc cña L. C©u 6: Gäi M3x4 lµ kh«ng gian c¸c ma trËn 3 hµng, 4 cét vµ F a b c d   lµ tËp c¸c ma trËn cã d¹ng  b c a b  . Chøng minh c c d c   r»ng F lµ kh«ng gian con cña M 3x4. T×m sè chiÒu vµ mét c¬ së cña F. §Ò 10 2π 2π C©u1: Cho ε = cos + i sin . H·y biÓu diÔn sè phøc 3 3 (1+ε)n díi d¹ng lîng gi¸c. C©u 2: T×m ma trËn X tho¶ m·n ®¶ng thøc 1 − 1 1   6 2 −7  X 1 0 − 1 =  15  1  2 − 13   1 − 2  C©u 3: Cho L(X) lµ kh«ng gian con sinh bëi c¸c vÐc t¬ cña tËp X={a1,a2,a3,a4} víi a1=(2,1,3,-1), a2=(-1,1,-3,1), a3=((4,5,3,- 1), a4=(1,5,-3,1). a. X¸c ®Þnh sè chiÒu vµ c¬ së cña L(X). b. H·y t×m tÊt c¶ c¬ së cña L(X) cã thÓ lÊy ®îc tõ tËp X. C©u 4: Cho ¸nh x¹ f: R3 →R3 x¸c ®Þnh bëi f(x,y,z)=(6x-2y-2z,-2x+3y,2x+3z) 24
a. Chøng tá f lµ mét phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh, t×m ma trËn cña f theo c¬ së chÝnh t¾c. b. T×m gi¸ trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng cña f. C©u 5: Trong mét c¬ së trùc chuÈn cña kh«ng gian Euclide R4, cho c¸c vÐc t¬ a1=(1,-1,2,1), a2=(0,1,-1,1) vµ b=(-1,β,1,γ). a. T×m β,γ ®Ó vÐc t¬ b trùc giao víi hai vÐc t¬ a 1 vµ a2. b. Víi β,γ t×m ®îc h·y trùc giao ho¸ hÖ {a1,a2,b}. C©u 6: Chøng minh r»ng nghÞch ®¶o cña ma trËn tam gi¸c trªn kh«ng suy biÕn lµ mét ma trËn tam gi¸c trªn. §Ò 11 1 C©u 1: NÕu z + = 2 cosθ chøng minh 2 1 z m + m = 2 cos mθ 2 C©u 2: T×m h¹ng cña ma trËn 1 3 −4 2   3 2 −1 −1 A=  Víi λ∈R 2 −1 λ − 3   1 −4 7 −5   3 C©u 3: Trong R xÐt tËp  x1 + x 2 − x3 = 0  L=  x = ( x1 , x 2 , x3 )   − 2 x1 + x 2 + 2 x3 = 0 a. Chøng tá L lµ kh«ng gian con cña R3. b. T×m sè chiÒu vµ mét c¬ së cña L. C©u 4: Víi (x1,x2,x3) ∈R3, cã gi¸ trÞ nµo cña λ ®Ó d¹ng toµn ph¬ng sau lµ d¹ng x¸c ®Þnh d¬ng trong R3 kh«ng? f(x,x)= 2 x12 + x 2 + 3 x3 + 2λx1 x 2 + 2 x1 x3 − x 2 x3 2 2 C©u 5: Cho ma trËn 25
 0 1 0   A=  − 4 4 0  0 0 1   a. T×m gi¸ trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng cña A. b. Ma trËn A cã chÐo ho¸ ®îc kh«ng? T¹i sao? NÕu ®îc h·y t×m ma trËn T ®Ó ma trËn B=T –1AT lµ ma trËn ®êng chÐo. C©u 6: Chøng minh r»ng nghÞch ®¶o cña ma trËn tam gi¸c díi kh«ng suy biÕn lµ mét ma trËn tam gi¸c díi. §Ò 12 C©u 6: Cho ph¬ng tr×nh ma trËn 1 1 − 2  0       4 −1 1 X =  2  4 1 λ   λ + 5     a. T×m X khi λ=-2. b. Ph¬ng tr×nh trªn cã bao giê v« nghiÖm kh«ng? T¹i sao? C©u 3: Trong kh«ng gian R3 cho  5 x − 4 y = 0 L= ( x, y, z ) ∈ R : 3   3y − z = 0  a. Chøng minh r»ng L lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh. b. T×m sè chiÒu vµ mét c¬ së cña L. C©u 4: Cho ma trËn 0 −2 0   A=  2 4 0 0 0 1   a. T×m gi¸ trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng cña A. b. Ma trËn A cã chÐo ho¸ ®îc kh«ng? T¹i sao? NÕu ®îc h·y t×m ma trËn T ®Ó ma trËn B=T –1AT lµ ma trËn ®êng chÐo. 26
C©u 5: Cho R3 lµ kh«ng gian Euclide víi tÝch v« híng th«ng thêng. Cho v1=(1,1,0), v2=(0,1,1), v3=(1,0,1). a. T×m vÐc t¬ trùc giao víi v1,v2. b. T×m vÐc t¬ u trùc giao víi v1 sao cho (u,v2,v3) phô thuéc tuyÕn tÝnh. C©u 6: T×m c¸c sè thùc a,b,c ®Ó ph¬ng tr×nh (1+ai)x4+(2a+bi)x3 - (5+ci)x2+(b+ci)x+4+ai=0 sau nhËn ±1,±2 lµm nghiÖm, víi i lµ ®¬n vÞ ¶o. §Ò 13 C©u 1: Chøng minh r»ng n  1 + itgx  1 + itgnx   1 − itgx  = 1 − itgnx    C©u 2: Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè a 2ax + y + z = 1   x + 2ay + z = 2a  x + y + 2az = 4a 2  C©u 3: T×m a ®Ó ma trËn sau x¸c ®Þnh d¬ng. 1 a a   A=  a 1 a a a 1   C©u 4: Chøng minh r»ng c¸c gi¸ trÞ riªng cña ma trËn nghÞch ®¶o A-1 b»ng nghÞch ®¶o c¸c gi¸ trÞ riªng cña ma trËn A.  1 4 0   C©u 5: Cho ma trËn A=  − 1 −3 0  0 0 4   a. T×m gi¸ trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng cña A. b. Ma trËn A cã chÐo ho¸ ®îc kh«ng? T¹i sao? NÕu ®îc h·y t×m ma trËn T ®Ó ma trËn B=T –1AT lµ ma trËn ®êng chÐo. 27
C©u 6: T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña α sao cho d¹ng toµn ph¬ng sau lµ x¸c ®Þnh d¬ng f(x,x)= x12 + x 2 + 4 x3 + 6 x1 x3 + 10 x1 x 2 + 2αx 2 x3 2 2 §Ò 14 a a a a a b b b C©u 1: TÝnh ®Þnh thøc ∆ = a b c c a b c d C©u 2: Cho n ®êng th¼ng trªn mÆt ph¼ng x¸c ®Þnh bëi ∆1: a1x+b1y+c1=0 ∆2: a2x+b2y+c2=0 ... ∆n: anx+bny+cn=0 T×m ®iÒu kiÖn ®Ó n ®êng th¼ng trªn cïng ®i qua mét ®iÓm. C©u 3: Gäi M2x2 lµ kh«ng gian c¸c ma trËn vu«ng cÊp 2 trªn R. Cho 1 0 1 1 1 1  4 1 1 e’1= 0  , e’2=   0  , e’3=   1  , e’ =   1   0  0  0  1  a. Chøng minh r»ng hÖ {e’ 1,e’2,e’3,e’4} lµ mét c¬ së cña M2x2. 3 1 b. T×m to¹ ®é cña  0  theo c¬ së ®ã.  1 C©u 4: Cho ph¬ng tr×nh ma trËn AX=B cã nghiÖm X 1,X2. T×m ma trËn C sao cho ph¬ng tr×nh AX=C cã nghiÖm a. X1+X2 b. K.X1 C©u 5: Gäi P2(x) lµ kh«ng gian c¸c vÐc t¬ ®a thøc hÖ sè thùc cã bËc nhá h¬n hoÆc b»ng 2. Cho ¸nh x¹ f: P2(x) →P2(x) x¸c ®Þnh bëi f(p)=p”-2p’+3p ∀p∈P2(x) 28
a. Chøng minh r»ng f lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. b. T×m ma trËn cña f trong c¬ së {1,x,x 2}. c. f cã ph¶i lµ song ¸nh kh«ng? T¹i sao? 3 0 2   C©u 6: Cho ma trËn A=  0 1 2 2 2 2   a. T×m gi¸ trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng cña A. b. Ma trËn A cã chÐo ho¸ ®îc kh«ng? NÕu ®îc viÕt ma trËn chÐo B díi d¹ng B=T -1AT. Tµi liÖu tham kh¶o 29
1. Ng« Thóc Lanh §¹i sè tuyÕn tÝnh N.X.B. Gi¸o Dôc 1978 2. Sze -Tsen Hu §¹i sè tuyÕn tÝnh vµ ph¬ng tr×nh vi ph©n N.X.B.§¹i Häc vµ T.H.Chuyªn NghiÖp_1979 3. NguyÔn §×nh TrÝ §¹i sè tuyÕn tÝnh N.X.B Gi¸o Dôc 1997 4. §oµn Quúnh vµ c¸c t¸c gi¶ §¹i sè tuyÕn tÝnh N.X.B. Gi¸o Dôc 1996 5. NguyÔn Xu©n Hoµng Bµi gi¶ng §¹i sè tuyÕn tÝnh §.H. Giao Th«ng VËn T¶i Hµ Néi 6. TrÇn v¨n Dòng , TrÇn V¨n Minh Bµi gi¶ng To¸n A4 §.H.Giao Th«ng VËn T¶i Hµ Néi 7. TrÇn V¨n Minh Ph¬ng ph¸p sè vµ ch¬ng tr×nh b»ng Turbo Pascal N.X.B. Khoa Häc Kü ThuËt 1998. 8. NguyÔn Quèc ChiÕn vµ c¸c t¸c gi¶ Gi¸o tr×nh Quy ho¹ch tuyÕn tÝnh_ §.H.Giao Th«ng VËn T¶i Hµ Néi_1994. 9. TrÇn Tóc Bµi gi¶ng Quy ho¹ch tuyÕn tÝnh §.H.Kinh TÕ Quèc D©n _ 1997. 10. Faddeeva V.N.Computatonal Methods of Linear Algebra, Mir Pulishers 1973 11. David Kincaid and ward Choney Numerical analysis Mathmatics of scientific computing The University of Texas Austin 1990 30
12. NguyÔn §×nh TrÝ Bµi TËp To¸n Cao CÊp TËp 1 Nhµ XuÊt B¶n Gi¸o Dôc_1999 13. TrÇn V¨n Minh, PhÝ ThÞ V©n Anh NguyÔn Huy Hoµng, NguyÔn V¨n PhÊn §¹i sè tuyÕn tÝnh N.X.B Giao Th«ng VËn T¶i 2000. môc lôc Ch¬ng 1: Kh¸i niÖm më ®Çu vÒ mét sè cÊu tróc ®¹i sè 1.1 TËp hîp 1.2 ¸nh x¹ 1.3 S¬ lîc vÒ LogÝc mÖnh ®Ò 1.4 Quan hÖ 1.5 Nhãm, Vµnh, Trêng 1.6 Trêng sè phøc C 1. BiÓu diÔn cña sè phøc 2. C¸c phÐp to¸n trªn tËp c¸c sè phøc 1.7 NghiÖm cña ®a thøc trªn trêng sè phøc Ch¬ng 2: Ma trËn vµ ®Þnh thøc 2.1 Ma trËn 2.2 §Þnh thøc 2.3 Ma trËn ®¶o 2.4 H¹ng cña ma trËn Ch¬ng 3: Kh«ng gian tuyÕn tÝnh 3.1 Kh¸i niÖm vÒ kh«ng gian tuyÕn tÝnh 3.2 C¬ së vµ chiÒu cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh 3.3 Kh«ng gian con Ch¬ng 4: HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh 4.1 Kh¸i niÖm vÒ hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh 4.2 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh 4.3 HÖ thuÇn nhÊt 31
1. TËp nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt lµ mét kh«ng gian con 2. T×m hÖ nghiÖm c¬ së cña hÖ thuÇn nhÊt 3. C¬ së cña giao hai kh«ng gian con Ch¬ng 5: ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh 5.1 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh 5.2 Nh©n vµ ¶nh cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh 5.3 §¼ng cÊu cña hai kh«ng gian tuyÕn tÝnh 5.4 Tù ®ång cÊu vµ phÐp chuyÓn c¬ së Ch¬ng 6: CÊu tróc cña tù ®ång cÊu TrÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng 1. Kh«ng gian con bÊt biÕn 2. TrÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng 3. §iÒu kiÖn ®Ó ma trËn cña tù ®ång cÊu cã d¹ng ®êng chÐo 4. §a thøc ®Æc trng 5. ThuËt to¸n chÐo ho¸ ma trËn Ch¬ng 7: D¹ng song tuyÕn tÝnh D¹ng toµn ph¬ng 7.1 D¹ng song tuyÕn tÝnh 7.2 D¹ng toµn ph¬ng 7.3 Kh«ng gian víi tÝch v« híng 7.4 ChÐo ho¸ ma trËn ®èi xøng b»ng ma trËn trùc giao 7.5 Ph©n lo¹i ®êng vµ mÆt bËc hai Phô lôc 32
33