Một số phương pháp điều khiển hệ cơ có mô hình Euler-Lagrange bất định

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết này giới thiệu một số phương pháp điều khiển cho hệ cơ có mô hình Lagrange bất định cả về tham số và cấu trúc. Các phương pháp giới thiệu ở đây được phát triển từ những phương pháp đã có. Kỹ thuật phát triển ở đây khá đơn giản, dựa trên nền tuyến tính từng đoạn dọc trục thời gian và tối ưu hóa từng đoạn để bù bất định, song lại mang tính hiệu quả ứng dụng rất cao. Điều đó được bài báo chứng thực thông qua kết quả mô phỏng trên một vài hệ robot.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số phương pháp điều khiển hệ cơ có mô hình Euler-Lagrange bất định

Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 93-97, DOI 10.15625/vap.2019000262 Một số phương pháp điều khiển hệ cơ có mô hình Euler-Lagrange bất định Nguyễn Doãn Phước(1,*), Nguyễn Hoài Nam(1) (1) Bộ môn Điều khiển Tự động – Viện Điện, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (*) E-mail: phuoc.nguyendoan@hust.edu.vn Tóm tắt 2. Mô hình chứa vector gồm m tham số hằng không Bài báo cáo này giới thiệu một số phương pháp điều khiển cho xác định được chính xác, còn gọi là mô hình bất định hệ cơ có mô hình Lagrange bất định cả về tham số và cấu trúc. tham số: Các phương pháp giới thiệu ở đây được phát triển từ những M (q , )q  C (q ,q, )q  g (q , )  u , (2) phương pháp đã có. Kỹ thuật phát triển ở đây khá đơn giản, dựa trong đó   1,  ,m  là các hằng số bất định. T trên nền tuyến tính từng đoạn dọc trục thời gian và tối ưu hóa từng đoạn để bù bất định, song lại mang tính hiệu quả ứng dụng Ở loại mô hình này, bên cạnh hai các tính chất đối rất cao. Điều đó được bài báo chứng thực thông qua kết quả mô xứng xác định dương và phản đối xứng của phỏng trên một vài hệ robot. M (q ),C (q ,q) , thì sự phụ thuộc của  vào mô hình là tuyến tính, tức là luôn tồn tại một ma trận Từ khóa: Tối ưu hóa từng đoạn trên trục thời gian, tuyến tính F (q ,q,q) kiểu n  m để có [2, 4]: hóa từng đoạn, ổn định ISS. M (q , )q  C (q ,q, )q  g (q , )  F (q ,q,q) . (3) 3. Mô hình chứa vector gồm n tham số hàm không 1. Mở đầu xác định được (còn gọi là mô hình bất định cấu trúc): M (q )q  C (q ,q)q  g (q )  u   (q ,q,q,t ) , (4) Để điều khiển một đối tượng bất kỳ người ta cần phải với   1,  ,n  T biết thông tin về đối tượng điều khiển đó. Thông tin tạm là vector các hàm bất định. được xem là tương đối đầy đủ cho việc phân tích và điều 4. Mô hình vừa bất định tham số, vừa bất định cấu trúc: khiển, tức là đủ cho việc thiết kế được bộ điều khiển, M (q , )q  C (q ,q, )q  g (q , )  u   (q ,q,q,t ) . (5) được hiểu là mô hình toán. Tuy nhiên, không thể và cũng không bao giờ hy vọng là sẽ có được một mô hình toán Đã có rất nhiều phương pháp phân tích và thiết kế bộ mô tả chính xác tuyệt đối đối tượng điều khiển. Nói cách điều khiển cho những dạng mô hình Euler-Lagrange trên khác, giữa mô hình toán và đối tượng luôn tồn tại một sai được công bố trong nhiều năm qua. Đơn cử là tuyến tính lệch. Bởi vậy khi phân tích hay thiết kế bộ điều khiển hóa chính xác, hay còn gọi là bù trọng trường, và tuyến luân phải lưu ý tới các sai lệch này. tính hóa chính xác thích nghi theo nguyên tắc giả định rõ Những sai lệch mô hình chính có thể biểu diễn hoặc giới thiệu ở [2], điều khiển trượt và ổn định ISS [2, 3], thông qua tham số bất định của mô hình, hoặc thông qua điều khiển thụ động [4]. các thành phần nhiễu thay đối cấu trúc mô hình. Các Bài báo này sẽ dựa trên một số các phương pháp cơ dạng mô hình toán như vậy được gọi là mô hình bất định. bản đó để phân tích và phát triển lên thành phương pháp Đối với các hệ cơ đủ cơ cấu chấp hành mà mô hình mới, đơn giản, nhưng áp dụng hiệu quả được cho những toán được xây dựng với phương pháp Euler-Lagrange hệ bất định hằng số hoặc hàm số hoặc cả hai. Với mục [1], đều rơi vào một trong những dạng như sau: đích như vậy, trước tiên, ở Phần 2, bài báo sẽ nhắc lại hai 1. Mô hình tường minh (không có sai lệch): phương pháp cơ bản được sử dụng làm nền tảng cho sự M (q )q  C (q ,q)q  g (q )  u , (1) phát triển sau này là phương pháp bù trọng trường và tuyến tính hóa chính xác thích nghi [2]. Tiếp theo, bài trong đó q  (q1,  ,qn )T , u  (u1,  ,un )T lần lượt báo sẽ trình bày hai phương pháp phát triển từ đó ở Phần là vector của n biến khớp và vector của n tín hiệu 3. Cuối cùng, ở Phần 4, bài báo sẽ minh họa tính hiệu quả điều khiển, M (q ),C (q ,q), g (q ) là hai ma trận và của các phương pháp phát triển này thông qua ví dụ số. vector tham số mô hình. Các ma trận tham số mô hình này thỏa mãn [2, 3]: 2. Các phương pháp điều khiển cơ bản  M (q ) là ma trận đối xứng xác định dương. 2.1. Điều khiển bù trọng trường  Cặp ma trận M (q ),C (q ,q) thỏa mãn tính phản đối Phương pháp này đã được trình bày chi tiết tại các tài xứng, tức là M (q )  C (q ,q)  C T (q ,q) . liệu [2, 3, 4]. Một số phiên bản mở rộng của nó cũng như  Ở nhiều mô hình tường minh (1) các tham số còn những phân tích, nhận xét ưu nhược điểm của phương pháp thỏa mãn thêm [4]: C (q ,q)  C T (q ,q) cũng đã được trình bày tại [5]. Nó có nội dung như sau:
Nguyễn Doãn Phước, Nguyễn Hoài Nam Định lý 1: Bộ điều khiển 2. Ở mô hình loại 2 có: u  M (q )(r  K1e  K 2e )  C (q ,q)q  g (q ) (6) d (q ,q,q,t )  M (q , p )  M (q , )  q trong đó e  r  q , K1, K 2 kiểu n  n là hai ma trận  C (q ,q, p )  C (q ,q, )  ,q  g (q , ) đối xứng xác định dương được chọn sao cho trong đó p là hằng số tùy chọn và  0 In  A n  M (q )  M (q , p ), C (q ,q)  C (q ,q, p )  K1 K 2  với 0n , I n là ma trận không và ma trận đơn vị kiểu 3. Ở mô hình loại 3 có d (q ,q,q,t )   (t )  g (q ) . n  n , là ma trận Hurwitz, sẽ làm cho các biến khớp q 4. Ở mô hình loại 4 có: của hệ (1) bám tiệm cận theo được quỹ đạo mẫu đặt d (q ,q,q,t )   (t )  M (q , p )  M (q , )  q trước r  (r1,  , rn )T . Chứng minh: Xem [2,5]. ■  C (q ,q, p )  C (q ,q, )  ,q  g (q , ) Bàn thêm: Việc chọn hai ma trận đối xứng xác định Như vậy, bất cứ một phương pháp điều khiển nào áp dương K1, K 2 kiểu n  n có thể được thực hiện đơn dụng được cho hệ (10) cũng đều sử dụng được cho một giản với: trong bốn loại hệ Euler-Lagrange ở trên. K1  diag(k1i ), K 2  diag(k 2i ) thỏa k 22i  k1i  0 . (7) 3.1. Điều khiển bền vững ISS 2.2. Điều khiển tuyến tính hóa chính xác thích nghi Phương pháp này được hình thành từ suy nghĩ rằng Đây là phương pháp áp dụng cho lớp hệ có mô hình điều gì sẽ xảy ra khi áp dụng bộ điều khiển (6) nêu trong bất định tham số hằng (2). Tư tưởng của phương pháp là định lý 1 cho hệ có thành phần bất định hàm (10), ngay tạm thay vector hằng bất định  bởi vector hàm p (t ) cả khi có: d (q ,q,q,t )   (t )  g (q ) (11) rồi sử dụng bộ điều khiển (6), tức là: u  M (q , p ) r  K1e  K 2e   C (q ,q, p )q  g (q , p ) . (8) khi chuyển hệ 3 về thành (10). Từ lời chứng minh định lý 1 trong [5] thì có thể thấy Tiếp theo, dựa vào tính chất (3) của  đối với mô hình câu trả lời rằng, khi đó bộ điều khiển trên sẽ không làm để xác định quy luật chỉnh định cho p (t ) để vẫn có cho các biến khớp q của hệ (10), bám tiệm cận theo được chất lượng bám ổn định như sau: được quỹ đạo mẫu r mà thay vào đó nó chỉ tiệm cận tới p  EBT Px , (9) một lân cận của quỹ đạo mẫu có sai lệch bám phụ thuộc trong đó: vào: 1. E là ma trận kiểu m  m đối xứng xác định dương d  sup d (q ,q,q,t ) . (12) tùy chọn. t 2. P là nghiệm đối xứng xác định dương của phương Vậy, hiển nhiên để nâng cao chất lượng điều khiển ta trình Lyapunov: cần phải giảm sai lệch bám này. Để làm được điều đó, ta AT P  PA  Q sẽ đưa thêm vào bộ điều khiển một tín hiệu bổ sung s (t ) có Q là ma trận kiểu n  n đối xứng xác định sao cho với nó sai lệch bám được nhỏ đi. Đó cũng chính dương cũng tùy chọn và là nội dung của định lý sau. e   0 In   0n m  Định lý 3: Bộ điều khiển x   , A   n , B     K1 K 2  1    u  M (q )(s  r  K1e  K 2e )  C (q ,q)q (13) e   M (q , p ) F (q ,q ,q )  3. K1, K 2 kiểu n  n là hai ma trận đối xứng xác định với e  r  q , K1  diag(k1i ), K 2  diag(k 2i ) là hai ma dương được chọn sao cho A là Hurwitz. trận đường chéo kiểu n  n có k 22i  k1i  0 và s (t ) là Định lý 2: Bộ điều khiển (8) cùng cơ cấu chỉnh định (9) sẽ hàm tùy chọn, miễn rằng có được: làm cho các biến khớp q của hệ bất định (2) bám tiệm p  s  M (q )1d cận theo được quỹ đạo mẫu đặt trước r  (r1,  , rn )T . thỏa mãn điều kiện bị chặn: Chứng minh: Xem [2,5]. ■ p   với  cho trước. 3. Những phương pháp phát triển sẽ đưa được sai lệch bám x  col(e ,e) của hệ (10) về tới Trước tiên có thể thấy rằng tất cả các dạng bất định lân cận gốc: của mô hình Euler-Lagrange (1)-(5) đều đưa được về một      x  R 2n x   cấu trúc chung như sau:    M (q )q  C (q ,q)q  u  d (q ,q,q,t ) , (10) trong đó trong đó d là thành phần bất định hàm. Chẳng hạn:   max k1i , k 2i  ,   min k12i , k 22i  k1i  . i i 1. Ở mô hình loại 1 có d (q ,q,q,t )  g (q ) . Chứng minh: Xem [5]. ■
Một số phương pháp điều khiển hệ cơ có mô hình Euler-Lagrange bất định Bàn thêm: Có thể thấy ngay rằng nếu chọn:  x   0n In   0n  k11  k12    k1n  a  0 x   1    1C (x , x )  x  u  d  1   x  2  n 0 M (x 1 ) 1 2   M (x 1 )  k 21  k 22    k 2n  ab với b  a  1  A(x )x  B (x ) u  d  sẽ có được   a ,   a 2 nên cũng có: (15) lim mes   0 , trong đó x 1  q , x 2  q và a  tức là khi a được chọn càng lớn, sai lệch bám sẽ càng  0n In   0n  A(x )    , B (x )   1  (16) nhỏ. Khi a   thì sai lệch bám sẽ bằng 0.  0n M (x 1 )1C (x 1, x 2 )   M (x 1 )  là các ma trận phụ thuộc trạng thái. 3.2. Điều khiển bù bất định 2. Tiếp theo ta chọn một khoảng dịch chuyển trên trục Có thể thấy ngay rằng trong trường hợp d  0 thì thời gian Ts với tk  kTs , k  0,1,  cách đều bộ điều khiển (6), mà bây giờ được cải biên thành: nhau. Đây là những thời điểm mà d (t ) sẽ được ước u  M (q )(r  K1e  K 2e )  C (q ,q)q (14)  lượng xấp xỉ thành d k  d (tk ) . sẽ làm cho các biến khớp q của hệ (10) bám tiệm cận Ở đây ta cần giả thiết rằng ma trận B (x ) là đủ hạng theo được quỹ đạo mẫu r cho trước. Như vậy, nếu vẫn tại mọi điểm trạng thái x k  x (tk ) , tức là có: muốn sử dụng bộ điều khiển (14) cho trường hợp có d  0 thì đơn giản nhất là ta thêm vào bộ điều khiển một rank B (x k )  n , x k .   cơ cấu ước lượng thành phần bất định hàm d  d như 3. Tùy chọn z 1 và d 1 . Gán x 1  0, k  0 . mô tả ở hình 1. 4. Đo x k  x (tk ) . Tính: Akx  I 2n  Ts A(x k 1 ), Akz  I 2n  Ts A(z k 1 ), Bk  Ts B (x k 1 ),  z k  Akz z k 1  Bk u  d k 1     1 d k  BkT Bk  BkT x k  z k  Akz z k 1  Akx x k 1  Hình 1: Bù thành phần bất định hàm ở đầu vào 5. Đưa u  d k trong đó u lấy từ (14), vào điều khiển đối tượng. Nói cách khác, tín hiệu đầu vào sau bù của Có khá nhiều cơ cấu ước lượng thành phần bất định đối tượng sẽ là: hàm hiện được sử dụng, trong đó nhiều nhất là mạng  neural. Ở đây, trong bài báo này, thay vì sử dụng mạng u  d k  d (tk )  neural chúng tôi sẽ sử dụng cơ cấu ước lượng d  d như được mô tả ở hình 3. được giới thiệu ở tài liệu [6] theo nguyên tắc tối ưu từng 6. Gán k : k  1 rồi quay về 4. đoạn trên trục thời gian như mô tả ở hình 2. Khác với Định lý 4: Nếu trạng thái sau bù x k  x (tk ) đo được từ mạng neural mà ở đó cơ cấu ước lượng luôn phụ thuộc hệ ở thời điểm tk biểu diễn chính xác được bởi: vào bộ điều khiển được sử dụng, bộ ước lượng của [6]  không cần sử dụng tới bộ điều khiển nên có thể nói nó áp x k  Akx x k 1  Bk u  d k 1  d (tk )  (17) dụng được cho mọi hệ điều khiển. Ngoài ra, nếu so sánh thì: với mạng neural, bộ ước lượng của [6] có cấu trúc đơn  giản hơn rất nhiều và tốc độ ước lượng cũng rất nhanh do d k  d (tk ) . không cần phải mất thời gian để huấn luyện mạng. Chứng minh: Xem [6]. ■ Hình 3: Cấu trúc điều khiển bù bất định Hình 2: Nguyên tắc ước lượng tối ưu từng đoạn Bàn thêm: Định lý trên khẳng định rằng sai lệch ước lượng hoàn toàn phụ thuộc vào việc lượng tử hóa hệ song Nguyên tắc làm việc của bộ ước lượng thành phần tuyến (15) thành (17). Ngoài ra, có thể thấy thêm rằng bất định hàm nêu trong tài liệu [6] được tóm tắt như sau: phương pháp bù bất định này áp dụng được cho cả những 1. Trước tiên ta chuyển hệ (10) về dạng song tuyến: hệ không dừng, tức là những hệ có ma trận tham số
Nguyễn Doãn Phước, Nguyễn Hoài Nam không những phụ thuộc trạng thái mà còn phụ thuộc cả chuyển mô hình robot về dạng (15) với: thời gian: d (q ,t )   (t )  g (q ) x  A(x ,t )x  B (x ,t ) u  d  . cũng nhhư các ma trận A(x ), B (x ) theo (16). Quỹ đạo mẫu r đặt trước là hai hằng số: 4. Ví dụ minh họa r   0.5 , 0.7  . T (18) Trong bài báo này chúng tôi sẽ chỉ tập trung vào minh họa phương pháp điều khiển bù bất định, cũng là vì Hằng số thời gian dịch chuyển trên trục thời gian được phương pháp này tổng quát hơn phương pháp điều khiển chọn là Ts  0.1 . ổn định ISS, do nó còn có thể áp dụng được cho cả Bộ điều khiển có nhiệm vụ đo hai giá trị biến khớp những lớp hệ bất định cấu trúc. hiện thời q  q1 , q 2  T ở thời điểm tk hiện tại, tính Đối tượng được chúng tôi chọn để minh họa chất toán ra hai biến điều khiển u  u1 , u 2  T lượng bộ điều khiển bù bất định này là hệ robot planar có là các giá trị thành phần bất định hàm đầu vào (hình 4): moment áp đặt cho động cơ quay biến khớp, sao cho cuối M (q )q  C (q ,q)q  g (q )  u   cùng đầu ra bám tiệm cận theo được các giá trị đặt và trong đó: chất lượng bám đó không phụ thuộc thành phần bất định hàm d (q ,t ) .  M M2   c11 c12   g1  M (q )   1  , C (q ,q)    , g (q )    M  2 M 3 c c  21 22   g2  Bảng 1 là nội dung chi tiết của bộ điều khiển khi đã được cài đặt trên MatLab. Nó gồm hai phần, phần u  q  chương trình chính có tên là runPlanar.m được thực u   1 , q   1  u  2 q2  hiện ứng với k  0,1,  để đưa tín hiệu điều khiển vào với [2]: đối tượng robot và phần thực hiện các phép tính mô m1l12  l2  phỏng động học của robot trong từng khoảng thời gian M1   1  m 2  l12  2  l1l 2 cosq 2    2 được điều khiển kTs  t  (k  1)Ts có tên là Planar.m. 4  4  m 2l 2  Các kết quả mô phỏng chất lượng được thể hiện từ l  M2   l1  2  l1 cosq 2    2 hình 4 đến hình 6, trong đó hình 4 và hình 5 là tín hiệu 2  2       T m 2l 2 nhận dạng được d  d1 , d 2 của thành phần bất định M3   2 2 cùng giá trị thực d  d1 , d 2  T của nó và hình 6 là hai c11  2c12  q2m 2l1l 2 sin q 2 giá trị biến khớp của robot. m 2l1l 2 c21  q1 sin q 2 , c22  0 2 m gl  l  g1  1 1 cosq1  m 2g  l1 cosq1  2 cos q1  q 2   2  2  m 2gl 2 g2  cos q1  q 2  2 và g  9.81 là gia tốc trọng trường, m1  m 2  0.3 là khối lượng hai cánh tay robot, 1   2  0.6 là moment quán tính các khớp quay, l1  1, l 2  0.7 là độ dài hai cánh tay robot. Thành phần bất định hàm được giả định là:  0.1sin  0.3t   0.2cos  0.1t   Hình 4: Kết quả nhận dạng thành phần bất định hàm d1 (t ) .  (t )    .  0.3cos  0.2t   0.2sin  0.5t   Nó bao gồm tất cả các thành phần sai lệch mô hình cũng như các sai lệch tín hiệu điều khiển do cơ cấu chấp hành gây nên. Hình 5: Kết quả nhận dạng thành phần bất định hàm d 2 (t ) . Hình 4: Robot phẳng 2 bậc tự do Để cài đặt bộ điều khiển bù bất định, trước tiên ta
Một số phương pháp điều khiển hệ cơ có mô hình Euler-Lagrange bất định bộ điều khiển tuyến tính hóa chính xác. Thậm chí tốc độ nhận dạng là rất nhanh, chỉ sau khoảng 2s . Ở hình 6 ta thấy được quỹ đạo biến khớp cũng đã bám theo được hai giá trị mẫu đặt trước (18) chỉ sau khoảng 7s . 5. Kết luận Từ kết quả nhận xét và phân tích về những phương pháp điều khiển hiện có cho hệ Euler-Lagrange chứa các thành phần bất định, bài báo đã đưa ra hai phương pháp Hình 6: Quỹ đạo hai biến khớp của robot. cải biên chúng đề tổng quát hóa cho tất cả các dạng bất định khác nhau, kể cả cho trường hợp hệ có sai lệch Bảng 1: Chương trình điều khiển bù bất định cho robot Planar. không cấu trúc của mô hình. runPlanar.m Với ví dụ minh họa cho trường hợp đối tượng là global g w w_d w_dd m1 m2 l1 l2 delta1 delta2 u Ax Bx robot Planar có chứa bất định hàm, đại diện cho tất cả các dh d g=9.81; w=[0.5;0.7]; w_d=[0;0]; w_dd=[0;0]; thành phần bất định của mô hình (tham số mô hình, sai m1=0.3; m2=0.3; l1=1; l2=0.7; lệch mô hình không cấu trúc) cũng như nhiễu đầu vào, delta1=0.6; delta2=0.6; x0=[0 0 -2 2]; z0=x0'; t0=0; bài báo cũng đã khẳng định được chất lượng của bộ điều N=200; Ts=0.1; dh=[0;0]; khiển bù đề xuất. Từ đó có thể thấy phương pháp điều px=[]; ti=[]; pd=[]; pdh=[]; for i=1:N+1 khiển này đã sẵn sàng áp dụng được vào thực tế. [t,x]=ode45(@Planar,[t0 t0+Ts],x0); k=length(t); t0=t(k); ti=[ti (i-1)*Ts]; px=[px;x0]; Tài liệu tham khảo Mz1=(m1*l1^2)/4+delta1+m2*(l1^2+l2^2/4+l1*l2*cos( z0(2)))+delta2; 1 David Morin: Introduction to Classical Mechanics: With Mz2=((m2*l2)/2)*(l1+l2/2+l1*cos(z0(2)))+delta2; Mz3=(m2*l2)/2+delta2; Problems and Solutions. Cambridge University 2008. Mz=[Mz1 Mz2;Mz2 Mz3]; cz11=-z0(4)*m2*l1*l2*sin(z0(2)); 2 Frank L.Lewis, Darren M.Dawson and Chaouki cz12=-z0(4)*(m2*l1*l2)/2*sin(z0(2)); cz21=-z0(3)*(m2*l1*l2)/2*sin(z0(2)); T.Abdallah: Robot Manipulator Control. Theory and cz22=0; Practice. Marcel Dekker, Inc. 2004. Cz=[cz11 cz12;cz21 cz22]; Az=[0 0 1 0;0 0 0 1;zeros(2) -Mz¥Cz]; 3 Jean-Jacques E Slotine and Weiping Li: Applied Nonlinear B=Ts*Bx; A_x=eye(4)+Ts*Ax; A_z=eye(4)+Ts*Az; z=A_z*z0+B*(u-dh); Control. Prentice Hall 1991. dh=(inv(B'*B)*B')*(x(k,:)'-z+A_z*z0-A_x*x0'); z0=z; x0=x(k,:); 4 Ortega, R; Loria, A.; Nicklasson, P.J. and Ramirez, H.S.: pd=[pd d]; pdh=[pdh dh]; end Passivity bassed Control of Euler-Lagrange Systems. figure(1); Springer Verlag 1998. plot(ti,px(:,1),ti,px(:,2)); legend('q1','q2'); figure(2); 5 Phước, N.D.: Phân tích và điều khiển hệ phi tuyến. NXB plot(ti,pd(1,:),ti,pdh(1,:)); legend('d1','dh1'); figure(3); Bách khoa 2012. plot(ti,pd(2,:),ti,pdh(2,:)); legend('d2','dh2'); 6 Phuoc D. Nguyen and Nam H. Nguyen: Unknown Input Planar.m Disturbance Estimator for Time-Varying Bilinear Systems function dx = Planar(t,x) global g w w_d w_dd m1 m2 l1 l2 delta1 delta2 u Ax Bx based on Time Receding Optimization. Submitted in IEEE dh d M1=(m1*l1^2)/4+delta1+m2*(l1^2+l2^2/4+l1*l2*cos(x(2 Trans. on Automatic Control, 15.7.2019. )))+delta2; M2=((m2*l2)/2)*(l1+l2/2+l1*cos(x(2)))+delta2; M3=(m2*l2)/2+delta2; M=[M1 M2;M2 M3]; c11=-x(4)*m2*l1*l2*sin(x(2)); c12=-x(4)*(m2*l1*l2)/2*sin(x(2)); c21=-x(3)*(m2*l1*l2)/2*sin(x(2)); c22=0; C=[c11 c12;c21 c22]; g1=m1*g*l1/2*cos(x(1))+m2*g*(l1*cos(x(1))+l2/2*cos( x(1)+x(2))); g2=m2*g*l2/2*cos(x(1)+x(2)); d=[0.1*sin(0.3*t)+0.2*cos(0.1*t);0.3*cos(0.2*t)+0.2 *sin(0.5*t)]-[g1;g2]; e=w-[x(1);x(2)]; e_dot=w_d-[x(3);x(4)]; K1=eye(2); K2=2*eye(2); u=M*(w_dd+K1*e+K2*e_dot)+C*[x(3);x(4)]; Ax=[0 0 1 0;0 0 0 1;zeros(2) –inv(M)*C]; Bx=[0 0;0 0;inv(M)]; dx=Ax*x+Bx*(u+d-dh); end Các kết quả mô phỏng trên đã khẳng định được chất lượng điều khiển bù giống như đã thiết kế. Hai thành phần bất định hàm đã được nhận dạng tốt phục vụ cho điều khiển bù. Bộ điều khiển (hình 3) được sử dụng ở đây chỉ đơn giản là bộ điều khiển (14) được cải biên từ