Một số sai lầm thường gặp của sinh viên khi tiếp cận, vận dụng khái niệm biến ngẫu nhiên và giải pháp

HNUE JOURNAL OF SCIENCE<br /> Educational Sciences, 2018, Volume 63, Issue 5, pp. 3-8<br /> This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn<br /> <br /> DOI: 10.18173/2354-1075.2018-0056<br /> <br /> MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA SINH VIÊN KHI TIẾP CẬN,<br /> VẬN DỤNG KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ GIẢI PHÁP<br /> <br /> Thái Phương Thảo và Phạm Sỹ Nam<br /> Khoa Toán - Ứng dụng, Trường Đại học Sài Gòn<br /> Tóm tắt. Biến ngẫu nhiên (BNN) và các ứng dụng của nó giữ một vai trò quan trọng trong các hoạt<br /> động thực tiễn và nghiên cứu khoa học. Khái niệm biến ngẫu nhiên là một khái niệm khó tiếp cận,<br /> trong quá trình dạy học Xác suất - Thống kê sinh viên (SV) thường vấp phải sai lầm khi tiếp cận và<br /> vận dụng khái niệm này. Hơn nữa, những sai lầm liên quan đến khái niệm của BNN ảnh hưởng đến<br /> việc xác định luật phân phối xác suất của nó. Bài báo phân tích những sai lầm thường gặp của SV,<br /> từ đó vận dụng thuyết kiến tạo để nghiên cứu nguyên nhân của các sai lầm và đề xuất các giải pháp<br /> nhằm giúp SV sửa chữa những sai lầm này.<br /> Từ khóa: Biến ngẫu nhiên, sai lầm, lí thuyết kiến tạo.<br /> <br /> 1. Mở đầu<br /> Khái niệm BNN là một khái niệm khó và trừu tượng đối với SV. Khi trình bày về kiến thức<br /> này giáo trình Xác suất thống kê và ứng dụng dành cho SV khối ngành Ngân hàng, Tài chính,<br /> Kinh tế, Kĩ thuật do tác giả Lê Sĩ Đồng chủ biên đã bắt đầu từ ví dụ “số khách hàng đến mua hàng<br /> tại một cửa hàng” và quan tâm đến việc con số này sẽ thay đổi như thế nào? Sau đó, tác giả đi đến<br /> khái niệm BNN: “Biến ngẫu nhiên là một hàm xác định trên không gian các biến cố sơ cấp nhận<br /> mỗi giá trị tương ứng với một xác suất nào đó” [5]. Khái niệm này rất cô đọng khiến SV gặp khó<br /> khăn trong việc hiểu và dễ mắc sai lầm khi xác định BNN.<br /> Có nhiều quan điểm khác nhau về sai lầm và giải pháp sửa chữa sai lầm. Chẳng hạn, thuyết<br /> hành vi thường quan niệm rằng sai lầm đó là một hiện tượng tiêu cực, có hại cho việc lĩnh hội<br /> kiến thức và do đó cần tránh và nếu gặp thì cần khắc phục. Biện pháp sửa chữa sai lầm là: truyền<br /> thụ đầy đủ và chính xác các khái niệm, định lí; dự đoán và phòng tránh sai lầm; rèn luyện cho SV<br /> tránh ngộ nhận trực quan, biết sử dụng các quy tắc suy luận. Tuy nhiên, Shaughnessy (1977) cho<br /> rằng khi học xác suất các quan niệm sai lầm vẫn tiếp tục xuất hiện ngay cả sau khi phương pháp<br /> tiếp cận đúng đã được giảng dạy. Đôi khi, những quan niệm sai lầm thậm chí còn tồn tại cùng với<br /> cách tiếp cận đúng (Clement, 1982a). Trong khi đó, thuyết kiến tạo có cái nhìn tích cực hơn về sai<br /> lầm: “Sai lầm thực sự đóng một vai trò quan trọng và cần thiết cho học tập”, “Học qua sai lầm là<br /> điều rất có ý nghĩa” [4, tr.64]. Các quan điểm nền tảng của thuyết kiến tạo đã nhấn mạnh: “tri thức<br /> được kiến tạo nên một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức, chứ không phải tiếp thu một cách thụ<br /> động từ bên ngoài...” Glaserfeld (1989) (dẫn theo [11, tr.32]), “nhận thức là quá trình thích nghi<br /> và tổ chức lại thế giới quan của chính mỗi người. Nhận thức không phải là khám phá một thế giới<br /> độc lập đang tồn tại bên ngoài ý thức chủ thể” (dẫn theo [11, tr.33]). G. Bachelard (1968) nhấn<br /> mạnh: Cần phải tổ chức dạy học thông qua việc phá hủy một cách có hệ thống các sai lầm.<br /> Ngày nhận bài: 19/2/2018. Ngày sửa bài: 19/4/2018. Ngày nhận đăng: 2/5/2018.<br /> Tác giả liên hệ: Phạm Sỹ Nam. Địa chỉ e-mail: phamsynampbc@gmail.com<br /> <br /> 3<br /> <br /> Thái Phương Thảo và Phạm Sỹ Nam<br /> <br /> Những quan điểm như vậy cho thấy việc phát hiện và sửa chữa sai lầm đòi hỏi sự chủ động,<br /> tích cực từ người học và việc vận dụng lí thuyết kiến tạo có ưu thế trong việc nghiên cứu và đề ra<br /> các giải pháp để sửa chữa sai lầm.<br /> Trong bài viết này, chúng tôi tập trung vào các câu hỏi nghiên cứu sau:<br /> - Những quy trình (dạng thức) hành động nào, những quan niệm nào được SV vận dụng đã<br /> góp phần tạo ra sai lầm khi học về biến ngẫu nhiên và ứng dụng?<br /> - Những giả thuyết nào có thể đặt ra về nguồn gốc của những quy trình hay quan niệm đó?<br /> - Trong dạy học giảng viên cần thực hiện hoạt động gì để giúp SV phát hiện và sửa chữa<br /> được sai lầm khi học về biến ngẫu nhiên và ứng dụng?<br /> <br /> 2. Nội dung nghiên cứu<br /> 2.1. Cơ sở lí luận<br /> Lí thuyết kiến tạo (dẫn theo [6]) cho rằng tất cả các tri thức đều nhất thiết là một sản phẩm<br /> của những hoạt động nhận thức của chính chúng ta. Bằng cách xây dựng trên những kiến thức đã<br /> kiến tạo được, học sinh có thể nắm bắt tốt hơn các khái niệm và có thể đi từ nhận biết sự vật sang<br /> hiểu nó.<br /> Trí tuệ của người học không bao giờ trống rỗng. Ngay cả khi một đối tượng kiến thức nào đó<br /> chưa được giảng dạy, thì họ cũng đã có những biểu tượng, những dạng thức hành động ngầm ẩn<br /> liên quan đến đối tượng kiến thức này. Một số biểu tượng có trong cấu trúc trí tuệ của người học<br /> tạo nên những điều kiện thuận lợi cho việc học tập kiến thức mới. Nhưng cũng có những biểu<br /> tượng, dạng thức hành động khá bền vững tạo nên những chướng ngại và thường là nguyên nhân<br /> dẫn người học tới những sai lầm.<br /> Theo Brousseau (1976), “Sai lầm không chỉ đơn giản do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu<br /> nhiên sinh ra...mà còn là hậu quả của một kiến thức trước đây đã từng hữu ích và đem lại thành<br /> công, nhưng bây giờ tỏ ra sai hoặc đơn giản là không còn thích hợp nữa” (dẫn theo [1, tr.57])...<br /> Sai lầm còn là sự thể hiện của một kiến thức (tự phát hay đã có từ trước) của học sinh, kiến thức<br /> mà cần phá hủy hay làm mất sự ổn định để thay thế nó bởi một kiến thức thích ứng hơn.<br /> Brousseau (1976) cho rằng: “Trong hoạt động giảng dạy, sai lầm bao giờ cũng góp phần hình<br /> thành nên nghĩa của kiến thức thu nhận được” (dẫn theo [1, tr.57]).<br /> Thuyết kiến tạo chủ trương sửa chữa sai lầm bằng các đặt học sinh (HS) vào những tình<br /> huống học tập mới gắn liền với sai lầm đó. Tình huống nhắm tới tạo ra ở HS những xung đột nhận<br /> thức, cho phép họ tự nhận ra không chỉ sai lầm mà chủ yếu nhận ra rằng các quy trình hay quan<br /> niệm mà họ đã vận dụng sẽ dẫn tới những kết quả mâu thuẫn hay nghịch lí. Các tình huống cũng<br /> phải tạo thuận lợi cho HS phá hủy hay điều chỉnh quy trình, quan niệm cũ của mình để xây dựng<br /> kiến thức mới thích ứng.<br /> <br /> 2.2. Thiết kế nghiên cứu<br /> 2.2.1. Kế hoạch thiết kế của giảng viên<br /> - Tập trung vào các hoạt động nhằm đặt SV vào các tình huống dễ phát sinh các sai lầm.<br /> - Giảng viên cần có kế hoạch cho các hoạt động để ứng phó với câu trả lời sai của SV.<br /> 2.2.2. Ý tưởng thiết kế giảng dạy<br /> Trong nghiên cứu này, chúng tôi thiết kế ba hoạt động giảng dạy: hoạt động 1, hoạt động 2<br /> và hoạt động 3. Cả ba hoạt động này đều là những hoạt động dễ vấp sai lầm, qua các hoạt động<br /> như vậy khi SV bộc lộ sai lầm, chúng tôi tiến hành nhận dạng sai lầm để từ đó phán đoán nguyên<br /> nhân; trên cơ sở đó tiến hành hoạt động nhằm giúp SV phát hiện sai lầm và sau đó tiến hành các<br /> hoạt động nhằm giúp SV sửa chữa sai lầm.<br /> 4<br /> <br /> Một số sai lầm thường gặp của sinh viên khi tiếp cận, vận dụng khái niệm biến ngẫu nhiên và giải pháp<br /> <br /> Hoạt động 1: xây dựng các câu hỏi nhằm tạo các tình huống mà SV dễ dẫn đến sai lầm khi<br /> tiếp cận BNN rời rạc.<br /> Hoạt động 2: xây dựng các câu hỏi nhằm tạo các tình huống mà SV dễ dẫn đến sai lầm khi<br /> tiếp cận BNN liên tục.<br /> Câu hỏi 1 được xây dựng nhằm tạo cơ sở để chúng tôi có thể phát hiện ra sai lầm của SV<br /> thông qua câu hỏi 2.<br /> Câu hỏi 2 là câu hỏi chúng tôi tạo nên tình huống để SV dễ dàng bộc lộ sai lầm khi cho rằng<br /> /<br /> F ( x) luôn bằng f ( x) .<br /> Hoạt động 3: xây dựng câu hỏi vận dụng khái niệm BNN trong thực tiễn.<br /> 2.2.3. Thiết kế và tiến hành thực hiện các hoạt động cụ thể<br /> Trong phần này, chúng tôi yêu cầu SV thực hiện các hoạt động theo ý tưởng thiết kế giảng<br /> dạy nêu trên. Khi thực hiện các hoạt động SV bộc lộ các sai lầm, từ các sai lầm đó chúng tôi dự<br /> đoán nguyên nhân. Các nguyên nhân sai lầm là cơ sở quan trọng để chúng tôi tiến hành tổ chức<br /> các hoạt động tiếp theo nhằm giúp SV phát hiện ra các sai lầm và từ đó đặt ra các yêu cầu mới<br /> nhằm giúp SV sửa chữa các sai lầm đó. Việc tổ chức các hoạt động nhằm giúp SV phát hiện ra sai<br /> lầm được dựa trên đề xuất cách thức để ứng phó với các câu trả lời sai SV của Pham Sy Nam,<br /> Max Stephens [7], đó là: Nêu quan niệm sai trước lớp và yêu cầu tất cả các nhóm kiểm chứng.<br /> Giảng viên có thể sử dụng các cách sau để hỗ trợ việc kiểm chứng của SV:<br /> - Giảng viên đưa ra một phản ví dụ và yêu cầu SV kiểm tra đối chứng với câu trả lời.<br /> - Giảng viên yêu cầu SV thực hiện thêm hoạt động để thông qua hoạt động đó HS nhận ra<br /> được sai lầm.<br /> - Giảng viên yêu cầu SV sử dụng kiến thức đã học để kiểm tra kết quả của mình.<br /> Những cách thức như trên tạo cơ hội để SV tự nhận ra được sai lầm. Việc tự nhận ra được sai<br /> lầm nhằm giúp SV ý thức được lỗi sai và đây là một trong những điều quan trọng để SV không<br /> lặp lại sai lầm cũ.<br /> Hoạt động 1: Thực hiện phép thử tung một đồng xu đồng chất một lần. Nếu đồng xu xuất<br /> hiện mặt ngửa thì được thưởng 5000 đồng. Nếu đồng xu xuất hiện mặt sấp thì mất 2000 đồng.<br /> Hãy xác định biến ngẫu nhiên của phép thử trên?<br /> Khi thực hiện hoạt động này, SV bộc lộ sai lầm sau đây:<br /> Sai lầm 1: Trong câu hỏi 1, phần lớn SV chọn biến cố của phép thử chính là BNN.<br /> Nhằm tạo cơ hội để SV phát hiện sai lầm, chúng tôi tiến hành nêu quan niệm này ra trước lớp<br /> và yêu cầu SV giải thích, thì họ cho rằng: “Biến là cái có thể thay đổi, ngẫu nhiên là khi người ta<br /> chưa xác định được cái gì đó, thì người ta gọi đó là ngẫu nhiên”. Vì vậy, hầu hết sinh viên đều cố<br /> gắng sử dụng vốn kiến thức có sẵn của họ để giải thích cho một khái niệm mới.<br /> Dự đoán nguyên nhân sai lầm 1: Sinh viên đã vận dụng dạng thức của hành động khi bị ảnh<br /> hưởng bởi kiến thức cũ “biến cố ngẫu nhiên” đã được học trước đó. Khi thực hiện phép thử để<br /> quan sát một hiện tượng có xảy ra hay không, hiện tượng có xảy ra hoặc không trong kết cục của<br /> phép thử được gọi là “biến cố ngẫu nhiên”. Vì vậy, SV chỉ quan tâm đến kết quả xuất hiện một<br /> cách ngẫu nhiên của phép thử chính là mặt Sấp hoặc mặt Ngửa. Do đó, SV sẽ dễ dàng mắc sai lầm<br /> khi cho rằng kết quả phép thử chính là biến ngẫu nhiên. Sai lầm này là do SV chưa có sự điều tiết<br /> thích ứng với định nghĩa mới đó là họ phải thực hiện một quy tắc cho tương ứng giữa không gian<br /> biến cố sơ cấp và không gian giá trị thực nhận được cùng với xác suất tương ứng. Vì thế, khi gặp<br /> tình huống mới, SV sẽ có thói quen lặp lại dạng thức hành động cũ mà không có sự điều tiết thích<br /> ứng. Điều này là nguyên nhân chủ yếu sai lầm 1.<br /> Giảng viên ứng phó với sai lầm 1: nhằm giúp SV phát hiện ra sai lầm, chúng tôi đặt ra yêu<br /> cầu “Nêu định nghĩa BNN?”. Yêu cầu này nhằm hướng SV nhớ lại khái niệm BNN: “Hàm xác<br /> 5<br /> <br /> Thái Phương Thảo và Phạm Sỹ Nam<br /> <br /> định trên không gian biến cố sơ cấp và nhận mỗi giá trị thực tương ứng với một xác suất nào đó<br /> thì hàm đó là biến ngẫu nhiên”. Việc nhắc lại định nghĩa nhằm giúp SV tập trung vào khái niệm,<br /> sau đó nhằm giúp HS tập trung vào dấu hiệu hàm để đối chiếu với tình huống chúng tôi đặt ra câu<br /> hỏi như sau: “Hãy căn cứ vào định nghĩa, cho biết hàm này xác định trên không gian nào? Hãy<br /> nhận xét các giá trị mà hàm này nhận được?”.<br /> Hoạt động sửa chữa sai lầm 1: Chúng tôi đặt câu hỏi: “Chúng ta cần thực hiện thêm thao tác<br /> gì đối với biến cố để có kết luận đúng?”<br /> Câu hỏi 2: Chọn ngẫu nhiên 3 sinh viên từ 10 sinh viên (5 nam, 5 nữ). Gọi X là số sinh viên<br /> nữ chọn được. Hỏi X có phải là biến ngẫu nhiên hay không? Hãy cho biết các giá trị của X có thể<br /> nhận được.<br /> Khi tiến hành hoạt động 2, SV đưa ra lời giải sai sau đây:<br /> X là số sinh viên nữ được chọn. Do giá trị của X có thể bị thay đổi qua các phép thử khác<br /> nhau nên X là biến ngẫu nhiên. Các giá trị của X có thể nhận được là {1,2,3}.<br /> Sai lầm 2: Xác định không đầy đủ không gian mẫu của phép thử.<br /> Dự đoán nguyên nhân sai lầm 2: Sinh viên đã vận dụng dạng thức của hành động khi cho<br /> rằng tập các số tự nhiên là tập bao gồm các số nguyên dương được bắt đầu bởi số 1 {1,2,3,...} . Vì<br /> vậy, đối với SV tập các số tự nhiên được dùng với mục đích đếm và họ hiển nhiên bắt đầu đếm từ 1.<br /> Do đó, số 0 không hề nằm trong nhận thức phép đếm của họ.<br /> Giảng viên ứng phó với sai lầm 2: Chúng tôi yêu cầu SV thực hiện thêm các hoạt động sau:<br /> - Hãy liệt kê các trường hợp có khả năng xảy ra của phép thử.<br /> - Yêu cầu SV thực hiện phép gán và so sánh giá trị nhận được với kết quả.<br /> Hoạt động sửa chữa sai lầm 2: Chúng tôi đặt câu hỏi: “Ta cần điều chỉnh kết luận như thế<br /> nào?”.<br /> Hoạt động 2<br /> Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác suất như sau:<br /> 0 x  0<br /> <br /> F ( x)   x 2 0  x  1<br /> 1 x  1.<br /> <br /> <br /> Câu hỏi 1: Hãy tìm hàm mật độ của X.<br /> Câu hỏi 2: Hỏi x : 0  x  1 thì F / ( x) có bằng f ( x) hay không?<br /> Đối với câu hỏi 1, SV không gặp khó khăn khi hoàn thành. SV vận dụng mối liên hệ giữa<br /> hàm phân phối xác suất và hàm mật độ xác suất như sau: nếu cho F ( x) yêu cầu tìm f ( x), SV sẽ<br /> lấy đạo hàm của hàm F ( x) , ngược lại nếu cho f ( x) yêu cầu tìm F ( x) SV sẽ lấy tích phân. Vì<br /> vậy, tất cả SV đều đưa ra hàm mật độ xác suất như sau:<br /> 0 x  0<br /> <br /> f ( x)   2 x 0  x  1<br /> 0 x  1.<br /> <br /> <br /> Tuy nhiên, sai lầm xuất hiện ở câu hỏi 2<br /> Sai lầm 3: SV cho rằng: “ x : 0  x  1 thì F / ( x)  f ( x) .”<br /> “ F / ( x)  f ( x), x  R ”.<br /> Dự đoán nguyên nhân sai lầm 3: SV vận dụng định lí: “Nếu X là BNN liên tục thì<br /> F / ( x)  f ( x) tại những điểm F ( x) khả vi”. SV nhận thức rằng muốn tìm hàm mật độ khi đã biết<br /> <br /> 6<br /> <br /> Một số sai lầm thường gặp của sinh viên khi tiếp cận, vận dụng khái niệm biến ngẫu nhiên và giải pháp<br /> <br /> hàm phân phối thì họ sẽ lấy đạo hàm. Tuy nhiên, không phải lúc nào hàm F ( x) cũng tồn tại đạo<br /> hàm. Vì vậy, SV chỉ chú ý đến kết quả F / ( x)  f ( x) mà không quan tâm đến F ( x) có khả vi tại<br /> điểm đó hay không.<br /> Giảng viên ứng phó với sai lầm 3: SV cho rằng: “ F / ( x)  f ( x ), x  R ”, nhằm giúp SV nhận<br /> ra sai lầm chúng tôi đặt câu hỏi: “Xét tính khả vi của hàm số F ( x) tại x0  1 ”. Do đó, hàm mật độ<br /> f ( x) chính xác sẽ là:<br /> 0 x  0<br /> <br /> f ( x)   2 x 0  x  1<br /> 0 x  1.<br /> <br /> <br /> Như vậy, tại x  1 thì giá trị hàm f ( x) sẽ như thế nào? Ta sẽ tự quy ước f (1)  0 hoặc<br /> f (1)  2 .<br /> Hoạt động sửa chữa sai lầm 3: Chúng tôi đặt câu hỏi: “Chúng ta cần điều chỉnh giả thiết của<br /> câu trả lời trên như thế nào để có kết luận đúng?”<br /> Thông qua sai lầm trên cho giảng viên kinh nghiệm đó là: khi dạy các định lí cần chú trọng<br /> đến các điều kiện đủ của định lí. Các định lí toán học nói chung và XSTK nói riêng thường được<br /> diễn đạt theo cấu trúc A  B . A là điều kiện đủ cho biết dùng định lí khi nào, B sẽ cho biết kết<br /> luận suy ra được gì khi có A . Định lí: “Nếu X là BNN liên tục thì F / ( x)  f ( x) tại những điểm<br /> F ( x) khả vi”. Đối với định lí này ta có thể diễn đạt lại như sau: “Nếu X là BNN liên tục và tại<br /> những điểm F ( x) khả vi thì F / ( x)  f ( x) ”. Do đó, “tại những điểm F ( x) khả vi” được coi như là<br /> một điều kiện của định lí. Vì vậy, giảng viên cần cho ví dụ có nội dung tương tự hoạt động 2<br /> nhằm giúp SV nhận ra rằng khi muốn áp dụng định lí cần kiểm tra các điều kiện đủ của định lí.<br /> Hơn nữa, trong quá trình dạy, định lí phát biểu dạng A  B , nhằm giúp SV nhận ra chiều<br /> ngược lại B  A không đúng, giảng viên cần cho các phản ví dụ nhằm tạo ấn tượng sâu sắc. Ví<br /> dụ xét mệnh đề sau: “Nếu F ( x) là hàm phân phối xác suất của BNN X thì 0  F ( x)  1, x R ”.<br /> Như vậy, ta sẽ tìm hàm thỏa 0  F ( x)  1, x R nhưng hàm đó không là hàm phân phối xác suất<br /> của BNN X nào đó. Ví dụ hàm F ( x)  1, x R .<br /> Hoạt động 3: Thực hiện phép thử tung một đồng xu đồng chất một lần. Nếu đồng xu xuất<br /> hiện mặt ngửa thì được thưởng 5000 đồng. Nếu đồng xu xuất hiện mặt sấp thì mất 2000 đồng. Hỏi<br /> ta có nên tham gia trò chơi này nhiều lần hay không? Giải thích.<br /> Khi thực hiện hoạt động, SV bộc lộ sai lầm sau đây:<br /> Sai lầm 4: Gọi Y là số tiền trung bình nhận được khi tham gia trò chơi.<br /> Y = (5000 - 2000)/2 = 1500, Y > 0, vậy ta nên tham gia trò chơi nhiều lần.<br /> Dự đoán nguyên nhân sai lầm 4: Do thói quen khi tính trung bình cộng của những giá trị cố<br /> định. SV lấy tất cả giá trị xuất hiện của BNN cộng lại rồi chia số giá trị xuất hiện.<br /> Giảng viên ứng phó với sai lầm 4: Chúng tôi yêu cầu SV tính trung bình của dãy số liệu sau:<br /> 2322432432<br /> Hoạt động sửa chữa sai lầm 4: Nhằm giúp SV sửa chữa sai lầm, chúng tôi đặt ra câu<br /> hỏi:“Gọi n là số lần thực hiện phép thử, x là số lần mặt sấp xuất hiện, y là số lần mặt ngửa xuất<br /> hiện. Chúng ta cần thêm điều kiện gì của n để có kết luận đúng?”.<br /> <br /> 3. Kết luận<br /> Khái niệm BNN là một trong những kiến thức quan trọng trong xác suất – thống kê. Việc<br /> hiểu khái niệm giúp SV biết được quy luật phân phối xác suất, qua đó có thể tính được xác suất.<br /> 7<br /> <br />