Một vài ứng dụng mô hình biến ngẫu nhiên phức hợp trong các nghiên cứu thủy lợi - PGS.TS. Nguyễn Văn Bảo

Mét vµi øng dông m« h×nh biÕn ngÉu nhiªn phøc hîp trong c¸c<br /> nghiªn cøu Thñy lîi<br /> <br /> <br /> PGS.TS. NguyÔn H÷u B¶o<br /> Phã Tr­ëng khoa CNTT - Tr­ëng Bé m«n To¸n häc<br /> <br /> <br /> 1. §Æt vÊn ®Ò<br /> Kh¸i niÖm vÒ c¸c biÕn ngÉu nhiªn phøc hîp ®­îc ®· ®­a ra trong [1] tõ n¨m 1989 vµ<br /> tõ ®ã tíi nay hµng lo¹t c¸c kÕt qu¶ cña t¸c gi¶ nghiªn cøu biÕn ngÉu nhiªn phøc hîp ®·<br /> ®­îc c«ng bè. §Þnh nghÜa vÒ biÕn ngÉu nhiªn phøc hîp lµ biÕn ngÉu nhiªn  sao cho nã<br /> ®­îc ph©n tÝch thµnh mét tæng mét sè ngÉu nhiªn c¸c biÕn ngÉu nhiªn k, k = 1, 2 ... N víi<br /> N còng lµ 1 biÕn ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ nguyªn, kh«ng ©m vµ ®éc lËp víi mäi k.<br /> N<br />    v (1)<br /> k 1<br /> <br /> §©y lµ mét m« h×nh xuÊt hiÖn nhiÒu trong nghiªn cøu cña "lý thuyÕt trß ch¬i", "lý<br /> thuyÕt phôc vô ®¸m ®«ng", ... vµ ch¾c ch¾n cã nhiÒu øng dông trong nghiªn cøu kinh tÕ, kü<br /> thuËt, ®Æc biÖt lµ nghiªn cøu Thñy lîi.<br /> VÝ dô trong lÜnh vùc nghiªn cøu thñy v¨n, viÖc tÝnh to¸n tæ hîp l­u l­îng lò trong<br /> mét l­u vùc s«ng cè ®Þnh ph¶i lµ dùa trªn tæng c¸c l­u l­îng cña c¸c nh¸nh s«ng, l­îng<br /> m­a trong cïng thêi ®iÓm, l­îng x¶ cña ®Ëp, l­îng nhËp khu gi÷a, v.v.... m· sè c¸c thµnh<br /> phÇn tham gia còng ngÉu nhiªn.<br /> VÝ dô trong nghiªn cøu kü thuËt tµi nguyªn n­íc, l­îng n­íc t­íi (hoÆc tiªu) trong<br /> canh t¸c c©y trång t¹i 1 l­u vùc cè ®Þnh kh«ng thÓ chØ gåm tæng h÷u h¹n c¸c nhu cÇu mµ sè<br /> nhu cÇu nµy còng ph¶i coi lµ ngÉu nhiªn (vÝ nhu cÇu t­íi cho c¸c gièng c©y trång ®­îc thay<br /> ®æi kh«ng cè ®Þnh cho 1 lo¹i c©y trång nµo, l­îng n­íc x¶ tõ ®Ëp thñy ®iÖn ®­îc coi lµ<br /> ngÉu nhiªn khi phô thuéc l­îng m­a còng ngÉu nhiªn cïng thêi ®iÓm v.v...<br /> Trong nghiªn cøu kinh tÕ tµi nguyªn n­íc, vÝ dô râ rÖt nhÊt lµ tÝnh to¸n tæng nhu cÇu<br /> tiªu thô n­íc s¹ch cho sinh ho¹t (®Ó tÝnh to¸n chi phÝ n­íc s¹ch t¹i 1 thêi ®iÓm vµ t¹i 1 ®Þa<br /> bµn d©n c­ lµ tæng mét sè ngÉu nhiªn c¸c thµnh phÇn tiªu thô n­íc t¹i thêi ®iÓm ®ã.<br /> Vµ cßn nhiÒu vÝ dô kh¸c trong hµng lo¹t lÜnh vùc nghiªn cøu thñy lîi kh¸c. RÊt tiÕc lµ<br /> cho tíi nay, c¸c øng dông thèng kª vÉn chØ dõng ë viÖc nghiªn cøu c¸c ph©n phèi ®¬n lÎ<br /> nh­ ChuÈn, Mò, Poisson, Piecson 3 v.v... liÖu cã thÓ më réng c¸c kÕt qu¶ vÒ ­íc l­îng vµ<br /> kiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt cho c¸c ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn phøc hîp ®­îc hay kh«ng ?<br /> 2. Bµi to¸n ­íc l­îng tham sè cho biÕn ngÉu nhiªn phøc hîp<br /> C©u tr¶ lêi lµ hoµn toµn cã thÓ ®­îc khi nghiªn cøu ­íc l­îng c¸c kú väng vµ ph­¬ng<br /> sai cña  x¸c ®Þnh ë biÓu thøc (1) nÕu ®· biÕt d¹ng hµm ph©n phèi cña c¸c k vµ cña N.<br /> Sau ®©y lµ 1 vÝ dô cô thÓ.<br /> Bµi to¸n: XÐt 1, 2... N ®éc lËp cã cïng ph©n phèi mò víi tham sè . XÐt N lµ biÕn ngÉu<br /> nhiªn cã ph©n phèi Poisson víi tham sè . Khi ®ã (xem [2]) hµm ®Æc tr­ng cña  cã d¹ng.<br /> 1<br /> ( 1)<br /> 1it<br />  (t )  e (2)<br /> Vµ  cã kú väng E() = ; ph­¬ng sai D() = 22<br /> Chóng ta h·y x©y dùng 1 ­íc l­îng cho E() vµ D() dùa trªn c¸c quan s¸t trªn<br /> kh«ng gian mÉu cña .<br /> ¸p dông ph­¬ng ph¸p moment ta thu ®­îc hÖ ph­¬ng tr×nh.<br /> <br /> Z  ˆ.ˆ vµ S n2  2ˆ.ˆ 2 (3)<br /> <br /> Trong ®ã Z lµ trung b×nh mÉu trªn kh«ng gian mÉu cña  cßn S2 lµ ph­¬ng sai mÉu<br /> <br /> trªn kh«ng gian mÉu cña .<br /> <br /> Tõ ®©y ta cã thÓ gi¶i ra ®­îc c¸c ­íc l­îng ˆ vµ ˆ cÇn t×m<br /> S2 2( Z ) 2<br /> ˆ  ; ˆ  (4)<br /> 2Z S 2<br /> <br /> Tõ ®ã ta cã ­íc l­îng cho kú väng vµ ph­¬ng sai cÇn t×m<br /> <br /> 3. Bµi to¸n kiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt cho biÕn ngÉu nhiªn phøc hîp<br /> Bµi to¸n: Gi¶ sö biÕt (Z1, Z2.... Zn) lµ mét mÉu ngÉu nhiªn trªn kh«ng gian gi¸ trÞ cña<br /> biÕn phøc hîp . H·y kiÓm ®Þnh.<br /> * Gi¶ thiÕt H:  cã ph©n phèi phøc hîp Poisson - Mò.<br /> * §èi thiÕt K:  kh«ng cã ph©n phèi phøc hîp Poisson - Mò.<br /> Ta cã thÓ tiÕn hµnh t­¬ng tù tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh Chi - Square. Khã kh¨n nhÊt lµ tÝnh<br /> x¸c suÊt P {a    b}. Ta cã thÓ tÝnh nh­ sau:<br /> 1<br /> l e  ita  e  itb  (1it 1)<br /> P{a    b}   it .e dt<br /> 2<br /> (V× hµm ®Æc tr­ng cña  trªn miÒn gi¶ thiÕt cã d¹ng ë biÓu thøc (2))<br /> MÆt kh¸c:<br />  e  ita  e  itb cos ta  cos b  i sin tb  i sin ta<br /> <br /> it it<br /> cos ta  cos b i sin tb  i sin ta<br />  <br /> it it<br /> Chó ý lµ:<br /> 1 <br /> (<br /> 1it<br /> ) 2 2 t t<br /> e  e 1 t .(cos 2 2<br />  i sin )<br /> 1 t 1   2t 2<br /> Nªn ta cã thÓ t×m ®­îc:<br /> <br /> <br /> <br /> 1 2t 2  cos ta  cos tb t sin tb  sin ta t <br /> 2e P{a    b}   e  sin  . sin dt<br />  t 2 2<br /> 1 t t 1   2t 2 <br /> <br /> Tõ ®ã tÝnh ®­îc:<br /> <br /> 1 2t 2<br /> 1  e  t t <br /> P{a    b}   sin(tb  1   2t 2 )  sin(ta  1   2t 2  dt (5)<br /> e  0 t<br /> TÝch ph©n nµy hoµn toµn tÝnh ®­îc nhê c¸c phÇn mÒm MATLAB hoÆc MAPLE<br /> VÝ dô ¸p dông: Gi¶ sö cã 100 quan s¸t cña biÕn ngÉu nhiªn  trong 1 thÝ nghiÖm<br /> nghiªn cøu Thñy v¨n cho bëi b¶ng sau:<br /> Zi<br /> 35 - 65 65 - 95 95 - 125 125 - 155 155 - 185 185 - 215<br /> (m3/s)<br /> mi 9 10 11 10 10 8<br /> <br /> <br /> Zi<br /> 215 - 245 245 - 275 275 - 305 305 - 335 335 - 365 365 - 395 > 395<br /> (m3/s)<br /> mi 6 7 6 6 6 5 5<br /> <br /> Ta t×m ®­îc Z = 203,37 vµ S2 = 11708,09 vµ tõ ®ã c¸c ­íc l­îng cho ˆ = 29,076<br /> <br /> vµ ˆ = 7.006<br /> KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt:<br /> - H:  cã ph©n phèi phøc hîp Poisson - Mò<br /> - K:  cã ph©n phèi phøc hîp Poisson - Mò<br /> <br /> TiÕn hµnh tÝnh Pi = P {xi-1 <  < xi} theo c«ng thøc (5) víi viÖc thay thÕ  bëi ˆ vµ <br /> <br /> bëi ˆ .<br /> Ta tÝnh ®­îc chØ tiªu kiÓm ®Þnh:<br />  13<br /> ni  nf i ) 2<br /> 2    11,84<br /> i 1 nPi<br /> <br /> Vµ tra b¶ng ph©n phèi 2 ®Ó t×m gi¸ trÞ tíi h¹n nÕu møc ý nghÜa  = 0,05, víi 13 - 2 -<br /> 1 bËc tù do t×m ®­îc gi¸ tù tíi h¹n lµ 18,31. V× vËy chÊp nhËn gi¶ thiÕt  lµ biÕn ngÉu nhiªn<br /> Poisson - Mò (víi møc ý nghÜa  = 0,05).<br /> <br /> <br /> Tµi liÖu tham kh¶o<br /> 1. NguyÔn H÷u B¶o, "æn ®Þnh ®Æc tr­ng c¸c ph©n phèi x¸c suÊt", LuËn ¸n TiÕn sü<br /> To¸n häc - §¹i häc Tæng hîp - 1989.<br /> 2. Ph¹m V¨n Ch÷ng, "æn ®Þnh ®Æc tr­ng mét sè biÕn ngÉu nhiªn phøc hî". LuËn ¸n<br /> TiÕn sü To¸n häc - Trung t©m NCKHCN Bé quèc phßng, Ng­êi h­íng dÉn chÝnh: PGS.TS.<br /> NguyÔn H÷u B¶o, 8/2009.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Some Applycations of the Model of the Composed Random<br /> Variables in Water Ressourses reseachs<br /> Assc. Prof. Nguyen Huu Bao, Department of Mathematic<br /> <br /> <br /> Let us consider<br /> N<br />    v<br /> k 1<br /> <br /> Where 1, 2... are i.i.d. random variables and N is nonegative integer valued random<br /> variable which is independent of all k. The random variable  is called the Composed<br /> Random Variable.<br /> This paper consider some applycations of the Model of the Composed Random (such<br /> as the Estimations of the parematers or the Test of the hypothesis of the Composed -<br /> Random variable's Distribution functions) in Water resouces reseachs.<br />