Nghiệm S-tiệm cận tuần hoàn cho hệ vi phân không địa phương tuyến tính

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Nghiệm S-tiệm cận tuần hoàn cho hệ vi phân không địa phương tuyến tính trình bày về công thức nghiệm, tính chính quy và tính ổn định của nghiệm. Mục đích của bài viết là tìm hiểu về tính S-tiệm cận tuần hoàn của hệ

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nghiệm S-tiệm cận tuần hoàn cho hệ vi phân không địa phương tuyến tính

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 NGHIỆM S - TIỆM CẬN TUẦN HOÀN CHO HỆ VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG TUYẾN TÍNH Nguyễn Văn Đắc1, Lê Thị Minh Hải1 1 Trường Đại học Thủy lợi, email: lethiminhhai@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU của phương trình Volterra loại 2 với nhân hoàn toàn dương. Trong bài báo này, chúng tôi xét hệ: d 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU   k *(u  u0 )   Au  f (t ), t  0  dt (1) Phần đầu trình bày một số kiến thức cơ cở, u (0)  u0 sau đó là công thức nghiệm, tiếp theo chúng Trong đó: u nhận giá trị trong không gian tôi chứng minh nghiệm có tính S-tuần hoàn Hilbert khả li H , nhân k  L1loc     , A là tiệm cận khi hàm ngoại lực có tính tuần hoàn tiệm cận. Cuối cùng là một ví dụ minh họa. toán tử tuyến tính không bị chặn, Trong phần này, ta kí hiệu J : [0, ) . f :  0,    H là một hàm cho trước và * Định nghĩa 1. (xem [1]) Một hàm là kí hiệu tích chập Laplace, f  BC  J , H  được gọi là S - tiệm cận tuần t  k * v  (t )   k (t  s)v( s)d s . hoàn chu kỳ  nếu tồn tại   0 sao cho 0 lim f  t     f (t )  0 . t  Điều đáng chú ý trong (1) là khi t  Khi đó  được gọi là một tiệm cận chu kỳ k (t)  g1 (t )  ,   0,1 , thì hạng của f. (1   ) Trong [1] đã chỉ ra rằng tập SAP ( H ) d tử  k *(u  u0 )  là đạo hàm phân thứ kiểu gồm các hàm S - tiệm cận tuần hoàn chu kỳ dt  là một không gian Banach và là không gian Caputo bậc  của hàm trạng thái. Bằng cách con của BC  J , H  . chọn nhân k phù hợp, ta thu được một số kiểu Để đưa ra công thức nghiệm, chúng ta cần phương trình khác như phương trình với đạo giả thiết (K): hàm phân thứ có trọng, đạo hàm phân thứ đa hạng tử… Nói khác đi, hệ trên là mô hình Hàm k  L1loc     không âm và không tổng quát của một số lớp hệ vi phân đang thu tăng, và tồn tại một hàm l  L1loc     sao cho hút sự quan tâm của một số nhà toán học. Hệ trên đã được nghiên cứu bởi các tác giả trong k * l  1 trên  0,  . [2], họ trình bày về công thức nghiệm, tính Gọi s và r là các nghiệm của phương trình chính quy và tính ổn định của nghiệm. Volterra loại 2 Mục đích của chúng tôi là tìm hiểu về tính S- s (t )   . l * s  (t )  1, t0 tiệm cận tuần hoàn của hệ (1). r (t )   . l * r  (t )  l (t ), t  0 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Mệnh đề 1.(xem [2]) Giả sử (K) được thỏa Chúng tôi dùng các ước lượng trên công mãn. Khi đó s  ,   , r  ,    L1loc     với thức nghiệm, sử dụng các tính chất nghiệm mỗi   0 . Thêm nữa, ta có các tính chất: 51
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 (a) Hàm s  ,   không âm và không tăng dễ thấy S (t) và R (t) là các toán tử tuyến tính  t  và thỏa mãn các tính chất được trình bày và s  t ,   1    l   d   1, t  0 , vì thế trong mệnh đề sau:  0  Mệnh đề 2 (xem [2]). nếu l  L    , thì lim s (t ,  )  0 . 1  i) Có S (.)v  C ([0, T ]; H ) ,với mỗi v  H t  và T  0 . Hơn nữa: (b) Hàm r  ,   là không âm và S (t )v  s (t , 1 ) v , t   0, T  . t s  t ,    1    r  ,   d  k * r  ,   t  , t  0 ii) Với g  C  0,T ; H  thì:  R(.)v  C   0,T ; H  và R * g  C  0, T ; H . 0 t nên  r  ,   d   1 , t  0 . Hơn nữa: R (t)v  r (t , 1 ) v , t   0, T  0 t  và ( R * g )(t)   r (t   , 1 ) g ( ) d , t   0, T . Nếu l  L ( ) ,thì  r  ,   d   1,   0 . 1  0 Định nghĩa 2. ([2]) Hàm u  C  0, T  ; H  0 (c) Với mỗi t  0 , các hàm số   s  t ,   được gọi là nghiệm nhẹ của bài toán (1) trên và   r  t ,   không tăng. Để có được công thức nghiệm cho bài  0,T  nếu: t toán, ta cần giả thiết sau cho toán tử A: u (t )  S (t )u0   R(t   ) f ( )d , t   0, T  . Giả thiết (A): Toán tử A là toán tử tuyến 0 tính xác định dương, tự liên hợp, xác định trù Nhận xét: Nếu f  C  0, T ; H  thì bài mật với giải thức compact. Khi đó, ta có thể xét cơ sở của H gồm các toán có nghiệm. Định lí sau đây là nội dung chính. hàm riêng trực chuẩn {en }n 1 của A và Định lí Giả sử (K) và (A) được thỏa mãn.  Av   nvnen , trong đó Aen  nen , n  0 Nếu f  SAP ( H ) thì u  SAP ( H ) . n 1 Chứng minh Ta có với 0  1  2    n   khi n   . u (t   )  u (t )   S (t   )  S (t )  u0  Giả sử: t  t   u (t )   un (t )en , u0   u0,n en , f (t )   f n (t )en .    R(t     ) f ( ) d   R(t   ) f ( ) d 0 0 n 1 n 1 n 1  Thay vào hệ (1), ta thấy un là nghiệm của   S (t   )  S (t )  u 0   R (t     ) f ( ) d du 0 phương trình vô hướng k * n  nu  f n (t ) , t t dt   R(t   ) f (   )d   R(t   ) f ( )d t tức là un (t )  s(t , n )u0   r (t   , n ) f n ( )d . 0 0 0  Từ đó, ta được:   S (t   )  S (t )  u0   R(t     ) f ( ) d    t u (t )   sn (t , n )u0,n en    r (t   ,n ) hn ( ) d  en 0 t   R (t   )  f (   )  f ( )  d . n 1 n 1 0 Dẫn đến định nghĩa các toán tử S (t) và 0 R (t) như sau: Với mỗi   0 , tồn tại hằng số dương L  S (t)v   s (t, n )  v, en  en , t  0, v  H thỏa mãn f (t   )  f (t)   , t  L . n 1  Từ đó cùng với các khẳng định trong R (t)v   r (t, n )  v, en  en , t  0, v  H Mệnh đề 1 và Mệnh đề 2, ta có các ước n 1 lượng sau: 52
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 u (t   )  u (t )  S (t   )  S (t ) . u0  xác định bởi Au   n 2 u ,e n en , giả thiết  n 1   R (t     ) f ( ) d  (A) được thỏa mãn với n  n 2 và 0 L 2   R (t   )( f (   )  f ( )) d en ( y )  sin ny . Nhân  0 t k (t )  g 2 (t )  g 1 (t ) .   R (t   )( f (   )  f ( ) d 3 2 L Như trình bày trong [3], k thỏa mãn điều  kiện tồn tại nhân l sao cho k  l  1 trên  2 s (t , 1 ) u 0  f   R (t     ) d (0, ) và trong trường hợp này L 0 (1  l )(t )  g 4 (t ) khi t   . Do vậy t  R (t   ) d    R (t   ) d 3 2 f  1 0 L s (t ,  )   0 khi t   ,với t  1  1  l  (t )  2 s (t , 1 ) u 0  f   r ( ,  ) d t 1 mọi   0 . Cuối cùng f (t )  cos 2 t là hàm t t  L tuần hoàn và liên tục. Theo kết quả lí thuyết thì bài toán có nghiệm S-tiệm cận tuần hoàn 2 f   t  L r ( , 1 ) d    0 r ( , 1 ) d  với   1 . f  2 s (t , 1 ) u 0    s(t , 1 )  s(t   , 1 ) 4. KẾT LUẬN 1 Bằng các ước lượng trên công thức nghiệm 2 f 1    s(t  L , 1 )  s(t , 1 )   . nhẹ, và những kiến thức về nghiệm phương 1 1 tình Volterra loại 2 với nhân hoàn toàn Từ Mệnh đề 1(a), ta suy ra: dương, chúng tôi chứng minh được bài toán u (t   )  u(t)  0 khi t   . (1) có nghiệm S- tuần hoàn tiệm cận khi Ví dụ minh họa ngoại lực cũng có tính chất đó. Xét phương trình đạo hàm riêng sau: 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO  c 13 1  Dt u(t , y)  Dt u(t , y) c 2 [1 ] Hernán R. Henríquez, Michelle Pierri, Plácido  2 Táboas (2008) On S-asymptotically ω-periodic   2 u(t , y)  cos2 t , t  J , y  0,  functions on Banach spaces and applications  y  J. Math. Anal. Appl., 343, 1119-1130.  u(t ,0)  u(t , )  0, t  J [2] T.D. Ke, N.N. Thang, L.T.P. Thuy, (2020),  u(0, y)  u ( y), y  0,   Regularity and stability analysis for a class  0 of semilinear nonlocal differential equations Đặt H  L2  0,   . Định nghĩa toán tử in Hilbert spaces, J. Math. Anal. Appl., 483, No.2, 123655. d 2u A : D( A)  H  H bởi Au   với [3] V. Vergara, R. Zacher (2015) Optimal decay dy 2 estimates for time-fractional and other miền xác định: nonlocal subdiffusion equations via energy  du d 2u  methods, SIAM J. Math, Anal. 47, 210-239. D( A)  u  H , 2  H , u(0)  u( )  0 [4] I. I Vrabie, (2003) C0 -semigroups and  dy dy  Applications, North-Holland Publishing Khi đó, theo [4], thì A là toán tử sinh của Co., Amsterdam. C0 nửa nhóm S (t)t 0 compact trong H và A 53