Nghiên cứu phương pháp POD trên tập hợp các kết quả của mô hình số tính toán dòng chảy

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Nghiên cứu phương pháp POD trên tập hợp các kết quả của mô hình số tính toán dòng chảy nghiên cứu phương pháp POD (proper orthogonal decomposition) trên tập hợp các kết quả của mô hình số tính toán dòng chảy, thường là tập con của không gian hữu hạn chiều Rm, xuất phát từ phương pháp SVD (singular value decomposition) của ma trận hình chữ nhật.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nghiên cứu phương pháp POD trên tập hợp các kết quả của mô hình số tính toán dòng chảy

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8 NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP POD TRÊN TẬP HỢP CÁC KẾT QUẢ CỦA MÔ HÌNH SỐ TÍNH TOÁN DÒNG CHẢY Nguyễn Đức Hậu Trường Đại học Thủy lợi, email: ndhau.dhtl@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU U ∈ \ m×m với các cột {ui }i =1 và V ∈ R n×n với m Phương pháp POD là một phương pháp các cột {vi }i =1 sao cho: n xấp xỉ tối ưu từ một hệ cơ sở trực chuẩn vuông góc. Phương pháp POD được áp dụng ⎡ D 0⎤ U T YV = ⎢ ⎥ = Σ ∈ \ m×n (2) trong nhiều lĩnh vực như: xử lý ảnh, nghiên ⎣ 0 0⎦ cứu cấu trúc của dòng chảy rối [1],… Phương ở đó D = diag (σ 1 ,...,σ d ) ∈ \ d ×d . Hơn nữa pháp POD là một phương pháp tuyến tính {ui }i=1 và {vi }i=1 thỏa mãn: d d trong đó ta sẽ xác định một hệ sơ sở trực chuẩn để xấp xỉ (một cách tối ưu) các dữ liệu Yvi = σ iui và Y T ui = σ i vi , i = 1,..., d (3) ban đầu là tập hợp rời rạc hoặc liên tục có cỡ T lớn (các kết quả thực nghiệm hay là các kết Chúng là các véc tơ riêng của YY và quả số tại các thời điểm khác nhau). Hệ cơ sở Y Y với giá trị riêng là λi = σ i 2 > 0 . Các véc T này sẽ xác định một không gian cỡ nhỏ hơn tơ {ui }i =d +1 và {vi }i =d +1 là các véc tơ riêng của m n để xây dựng một mô hình rút gọn nhờ phép chiếu Galerkin. Phép chiếu Galerkin trên hệ YY T và Y T Y ứng với các giá trị riêng bằng các véc tơ cơ sở POD đưa vào trong hệ không. Navier-Stokes sẽ dẫn đến một hệ các phương Từ (2) ta suy ra: trình vi phân bậc hai. Trong bài báo này tác Y = U ΣV T . giả sẽ nghiên cứu phương pháp POD (proper orthogonal decomposition) trên tập hợp các 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU kết quả của mô hình số tính toán dòng chảy, Ta có thể viết lại Y dưới dạng: thường là tập con của không gian hữu hạn Y = U d Σ (V T ) d chiều R m , xuất phát từ phương pháp SVD (4) (singular value decomposition) của ma trận ở đó U d ∈ \ m×d ; V d ∈ \ n×d xác định bởi: hình chữ nhật. U ijd = U ij , 1 ≤ i ≤ m;1 ≤ j ≤ d , 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Vijd = Vij , 1 ≤ i ≤ n;1 ≤ j ≤ d . Cho Y = [ y1 ,..., yn ] là ma trận cỡ m × n có Đặt B d = D (V d ) ∈ \ d ×n khi đó (4) được T hạng là d = min {m, n} . Trung bình các cột viết lại là: của Y được định nghĩa như sau: Y = U d Bd . 1 n y = ∑ yj (1) Ta có: n j =1 ( )u. d d y j = ∑ BijdU .,di = ∑ D (V d ) T Theo phương pháp SVD tồn tại các số i thực σ 1 ≥ ... ≥ σ d > 0 và các ma trận trực giao i =1 i =1 ij 165
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8 Vì U là trực giao nên ta có: Do đó YY T có m giá trị riêng không âm ( ) u. λ1 ≥ ... ≥ λm ≥ 0 và có thể chọn các véc tơ d y j = ∑ (U d ) U d D (V d ) T T i i =1 ij riêng tương ứng đôi một trực giao. Sử dụng (4) ta nhận được: Từ ∇ λ L ( u , λ ) = 0 dẫn đến: ( ) u = ∑ ⎛⎜⎝ ∑U Y ⎞⎟⎠ u , d d m y j = ∑ (U d ) Y T i d ki kj i u \m =1 (7b) i =1 ij i =1 k =1 Vậy nếu u1 là nghiệm của (7a,b) và: do đó: n n 2 ∑ = ∑ y j , u1 d y j = ∑ y j , ui ui (5) y j , u1 m y j , u1 \ \m \m \m j =1 j =1 i =1 n Gọi bài toán xấp xỉ các véc tơ cột y j là: =∑ y j , u1 y j , u1 \m \m n 2 j =1 ( P ): max ∑ 1 y j ,u với u 2 = 1. n ⎛ m ⎞ = ∑ ⎜ ∑ Ykj ( u1 )k ⎟ y j , u1 u∈\ m \m \m j =1 j =1 ⎝ k =1 ⎠ Xét hàm e : R m → R xác định bởi: \m e ( u ) = 1 − u \m . 2 ⎛m n ⎞ = ∑ ⎜ ∑ Y., jY jk T ( u1 ) k ⎟ , u1 Ràng buộc ( P1 ) có thể được diễn đạt bởi k =1 ⎝ j =1 ⎠ \m e ( u ) = 0 . Chú ý rằng ∇e ( u ) = 2u T nếu = YY T u1 , u1 \m 2 u ≠ 0 . Hay nói cách khác các nghiệm của = λ1 u1 , u1 \m = λ1 u1 \m = λ1 . ( P1 ) là các nghiệm không tầm thường. Ta sẽ chứng minh rằng u1 cũng thỏa mãn Xét toán tử Lagrange L : \ × \ → \ xác m (P ) . 1 định bởi: Thật vậy, giả sử rằng u ∈ \ m là một véc tơ ( ). n 2 L ( u, λ ) = ∑ y j , u 2 + λ 1− u \m bất kì thỏa mãn u m = 1 . Do {ui }i =1 là một m \m j =1 \ Giả sử u là nghiệm của ( P 1 ) khi đó: hệ cơ sở trực giao trong \ m ta có: m ∇L ( u , λ ) = 0 . u = ∑ u , ui ui . \m i =1 Ta có: Do đó: 2 ∂ n m m Lui ( u , λ ) = (∑ ∑ Ykj uk + λ (1 − ∑ uk 2 )) 2 n 2 n m ∂ui j =1 k =1 k =1 ∑ j =1 y j ,u \m = ∑ y j , ∑ u , ui j =1 i =1 \m ui \m ⎛n ⎞ m = 2∑ ⎜ ∑ Ykj uk ⎟ Yij − 2λui n m m j =1 ⎝ k =1 ⎠ = ∑∑∑ ( y j , u, ui ui y j , u , uk uk ) \m \m \m \m j =1 i =1 k =1 m ⎛ n ⎞ = 2∑ ⎜ ∑ YijY jkT uk ⎟ Yij − 2λui , n m m = ∑∑∑ ( y j , ui u, ui y j , uk u , uk ) k =1 ⎝ j =1 ⎠ \m \m \m \m j =1 i =1 k =1 hay là: m m n = ∑∑ ( ∑ ∇ u L ( u , λ ) = 2 (YY u − λu ) = 0 T y j , ui y j , uk u, ui u , uk ) (6) i =1 k =1 j =1 \m \m \m Từ đó dẫn đến bài toán giá trị riêng sau: m m YY T u = λu (7a) = ∑∑ ( λiui , uk \m u , ui u , uk ) \m \m i =1 k =1 Chú ý rằng YY T là ma trận dương đối m 2 xứng thỏa mãn: = ∑ λi u , ui u T (YY T ) = (Y T u ) Y T u = Y T u T 2 \m i =1 ≥ 0. \n 166
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8 m 2 Định nghĩa. Với l ∈ {1,..., d } các véc tơ ≤ λ1 ∑ u , ui \m {ui }i=1 được gọi là hệ cơ sở POD với hạng l . l i =1 m 2 = λ1 ∑ u , ui m Hệ quả. (Tối ưu hóa hệ cơ sở POD) Với \ i =1 các giả thiết trong định lý trên xảy ra. Giả sử = λ1 u = λ1 rằng Ul d ∈ \ m×d là véc tơ vuông góc đôi một \m n 2 với các véc tơ u i và: = ∑ y j , u1 . j =1 \ m l dCd , Y =U Vậy u1 thỏa mãn ( P1 ) và: ở đó: Cijd = u i , y j ; 1 ≤ i ≤ d ;1 ≤ j ≤ n . arg max ( P1 ) = σ 12 = λ1 . \m Chúng ta tìm véc tơ nghiệm thứ hai vuông Khi đó với l ∈ {1,..., d } ta có: góc với u1 và thỏa mãn các ràng buộc: Y −U l B l l lC l ≤ Y −U , 2 F n F ( P ): 2 maxm ∑ y j , u u∈\ \m với u 2 \m = 1, trong đó . F là chuẩn Frobenius được định j =1 nghĩa như sau: và u , u1 \m = 0. m n ∑∑ A = trace ( AT A ) , 2 Tương tự ta tìm nghiệm u2 của ( P 2 ) và A F = ij i =1 j =1 thỏa mãn: và U l là ma trận l cột đầu của U ; B l là ma arg max ( P 2 ) = σ 2 2 = λ2 , ll trận l cột đầu của B , tương tự đối với U u2 được chọn tối ưu trong các véc tơ u và C l . trong span {u1} và ta có: ⊥ 4. KẾT LUẬN n 2 n 2 ∑ y j ,u \m ≤ λ2 = ∑ y j ,u2 \m . Từ các dữ liệu là kết quả của mô hình tính j =1 j =1 toán dòng chảy, tác giả nghiên cứu phương Tổng quát hóa ý tưởng trên bằng ta nhận pháp SVD trong cách nhìn từ các bản chất được định lý sau: “trực chuẩn” của phương pháp POD trong Định lý. Cho Y = [ y1 ,..., yn ] là ma trận cỡ không gian hữu hạn chiều. Nghiệm tối ưu đối m × n có hạng là d = min {m, n} với phép bài toán SVD trong cách tiếp cận “trực chuẩn” được xem xét và chứng minh bằng phân tích SVD Y = U ΣV T ở đó: phương pháp quy nạp. Từ mối liên hệ gần gũi U = [u1 ,..., um ] ∈ \ m×m , V = [ v1 ,..., vn ] ∈ \ n×n của hai phương pháp trên ta thu được bài là các véc tơ trực giao và Σ ∈ \ m×n có dạng toán tối ưu hóa đối với phương pháp POD. (2). Khi đó với mọi l ∈ {1,..., d } nghiệm của: 2 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO l n ( P ):l max u1 ,...,ul ∈\ m ∑∑ y j , ui \m , [1] P. Holmes, J.L. Lumley, and G. Berkooz. i =1 j =1 Turbulence, Coherent Structures, sao cho u i , u j = δ ij ; 1 ≤ i, j ≤ l được xác Dynamical Systems and Symmetry. \m Cambridge Monographs on Mechanics, định bởi {ui }i =1 chính là l cột đầu tiên của U l Cambridge University Press, 1996. hơn nữa: l l arg max ( P l ) = ∑ σ i 2 = ∑ λi (2.8) i =1 i =1 167