zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Nghiên cứu phương pháp phép chiếu trực giao với phép toán tích trong với trọng trên không gian hữu hạn chiều

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

16
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết nghiên cứu phương pháp phân tích trực giao với phép toán tích trong với trọng trên không gian hữu hạn chiều. Ở đây tác giả đã mở rộng bằng cách xét phép toán tích trong với trọng là một ma trận đối xứng xác định dương, bài toán tối ưu được viết lại đối với phép toán mới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nghiên cứu phương pháp phép chiếu trực giao với phép toán tích trong với trọng trên không gian hữu hạn chiều

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP PHÉP CHIẾU TRỰC GIAO VỚI PHÉP TOÁN TÍCH TRONG VỚI TRỌNG TRÊN KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU Nguyễn Đức Hậu Trường Đại học Thủy lợi, email: ndhau.dhtl@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG  D 0   U T YV   , Phương pháp POD (Proper orthogonal  0 0 decomposition) là một phương pháp xấp xỉ với D  diag  1 ,..., d   ¡ d d . tối ưu từ một hệ cơ sở trực chuẩn. Phương pháp POD được áp dụng trong nhiều lĩnh vực Khi đó với mọi l  1,..., d  nghiệm của: 2 như: xử lý ảnh, nghiên cứu cấu trúc của dòng l n chảy rối [1],… Phương pháp POD là một  Pl : max m  u1 ,...,ul ¡  y j , ui ¡ m , i 1 j 1 phương pháp tuyến tính trong đó ta sẽ xác định một hệ sơ sở trực chuẩn để xấp xỉ (một sao cho u i , u j m   ij ; 1  i, j  l được xác ¡ cách tối ưu) các dữ liệu ban đầu là tập hợp l định bởi ui i 1 là l cột đầu tiên của U . rời rạc hoặc liên tục có cỡ lớn (các kết quả thực nghiệm hay là các kết quả số tại các thời Hơn nữa: l l điểm khác nhau). Hệ cơ sở này sẽ xác định arg max  P l     i 2   i . một không gian cỡ nhỏ hơn để xây dựng một i 1 i 1 mô hình rút gọn nhờ phép chiếu Galerkin. Định nghĩa 2.2. Với l  1,..., d  các véc tơ Phép chiếu Galerkin trên hệ các véc tơ cơ sở l POD đưa vào trong hệ Navier-Stokes sẽ dẫn ui i 1 được gọi là hệ cơ sở POD với hạng l. đến một hệ các phương trình vi phân bậc hai. Hệ quả 2.3. (Tối ưu hóa hệ cơ sở POD) Trong bài báo này tác giả nghiên cứu Với các giả thiết trong định lý trên xảy ra. phương pháp POD với phép toán tích trong µd  ¡ md là ma trận ứng với Giả sử rằng U với trọng trên không gian hữu hạn chiều. các véc tơ vuông góc đôi một với các véc tơ 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU u$i và: Y U µd C d , Phương pháp POD trong không gian hữu ở đó: hạn chiều đã được nghiên cứu trong [2]. Các Cijd  u$i , y j m ; 1  i  d ;1  j  n . kết quả chính được trình bày trong định lý ¡ 2.1 và các hệ quả 2.3; 2.4. Khi đó với l  1,..., d  ta có: Định lý 2.1. Cho Y   y1 ,..., yn  là ma trận Y  U l Bl µl C l  Y U , cỡ m  n có hạng là d  min m, n với phép F F phân tích SVD Y  U V T ở đó: trong đó . F là chuẩn Frobenius được định U  u1 ,..., um   ¡ mm , nghĩa như sau: m n V   v1 ,..., vn   ¡ nn 2 A F   A ij  trace  AT A  , mn là các ma trận trực giao và   ¡ có dạng: i 1 j 1 89
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 và U l là ma trận l cột đầu của U ; B l là ma trận Thay  P1  bởi: µl và C l . l cột đầu của B , tương tự đối với U n 2 Chú ý: Hệ cơ sở POD hạng l là tối ưu n  P :max  1 W u¡ m y j ,u W ; u W  1. j 1 theo nghĩa lấy trung bình của các cột  y j  m j 1 Toán tử Lagrange L : ¡  ¡  ¡ đối với của Y như là một tổ hợp tuyến tính của một hệ cơ sở trực chuẩn với hạng l :  P1W  được xác định bởi: 2  l n y j , ui ¡ m 2   l i 2 L  u,     y j , u W   1 u  W 2 . i 1 j 1 i 1 l l n 2 Giả sử u  ¡ m là nghiệm của  P1W  thì nó   i   y j , u$i m , là nghiệm của: ¡ i 1 i 1 j 1 L  u ,    0 . n   với u$i i 1 là một hệ véc tơ trực chuẩn bất kỳ. Vì W đối xứng nên ta nhận được 2 Hệ quả 2.4. Với các giả thiết của định lý L   n m m trên chúng ta nhận được  u,      Y jT W k uk  ui ui  j 1 k 1  1 n m m  y j , ui y j , uk   Bijl Bkjl   i2 ik ,   ¡ m ¡ m  1   u W k uk   j 1  k 1  1  ở đó 1  i, k  l .  2 WYY T Wu  Wu  . Nếu n  m chúng ta có thể xác định hệ cơ hay là sở hạng l như sau: Tính các véc tơ v1 ,..., vn  ¡ n bằng việc giải bài toán n  n giá  u L  u ,    2 WYY T Wu  Wu   0 . trị riêng: Do vậy chúng ta phải giải bài toán giá trị Y T Yvi  i vi với i  1,..., l . riêng T Trong trường hợp này phương pháp POD WY WY  u  Wu . (1) thường được gọi là phương pháp snapshots. mn Mặt khác, với m  n chúng ta sẽ giải bài toán Định lý 3.1. Cho Y  ¡ là ma trận có hạng là d  min m, n , W là ma trận đối m  m giá trị riêng. xứng, xác định dương, và Y  W 1/2Y 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU l  1,..., d  . Cho phép phân tích SVD của Y : T Chúng ta sẽ mở rộng định lý 2.1 bằng cách Y  U V mm ở đó U  u1 ,..., um   ¡ ; đưa vào trong không gian Euclid ¡ m phép toán tích trong với trọng như sau: V  v1 ,..., vn   ¡ nn u , u%  uTW u%  u,W u%  Wu , u% , m m là các ma trận trực giao và  có dạng W ¡ ¡ ở đó u , u%  ¡ m , W  ¡ mm là ma trận đối T  D 0 U YV       ¡ mn . xứng, xác định dương.  0 0 Chuẩn trong trường hợp này được xác Khi đó nghiệm của định bởi: l n 2 u W  u, u W ; u¡ m .  P : W l max m  u1 ,...,ul ¡  y j , ui W , i 1 j 1 Khi W  I thì tích trong xác định ở trên trùng với tích Euclid thông thường. sao cho u i , u j   ij ; 1  i, j  l W 90
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 được xác định bởi ui  W 1/2 ui ; i  1,..., l . Đặt 1 Hơn nữa: l l ui  W 1/ 2 ui  i   W 1/ 2 Y vi arg max  P W     i   i . l 2 i 1 i 1 1 1 Các bước chứng minh chính của định lý  W 1/ 2W 1/ 2Y vi  Y vi . i i 3.1 như sau: Bởi vì W là ma trận đối xứng, xác định Chú ý rằng dương nên nó có các giá trị riêng  ij  j ui , u j  uiTWu j với 1  i, j  l . 1 ,   2  ...   m  0 và W i  j W  QDQT , Khi mà m ? n dùng phương pháp ở đó D  diag 1 , 2 ,..., m  và Q là một ma snapshots tính toán trên máy tính sẽ nhanh hơn rất nhiều so với phương pháp POD trận trực giao. thông thường. Đặt W   Qdiag 1 ,...,1  QT ,   ¡ . Nhận xét: 4. KẾT LUẬN 1 W    W  Trong bài báo này tác giả nghiên cứu phương pháp phân tích trực giao với phép và W     W  W  ,  ,   ¡ . toán tích trong với trọng trên không gian hữu Ta có: hạn chiều. Ở đây tác giả đã mở rộng bằng u , u%  W 1/2 u ,W 1/2 u%m , u, u% ¡ m cách xét phép toán tích trong với trọng là một W ¡ ma trận đối xứng xác định dương, bài toán tối 1/ 2 m và || u ||W || W u ||¡ m , u  ¡ . ưu được viết lại đối với phép toán mới. Giải Đặt u  W 1/ 2 u  ¡ m và Y  W 1/2Y  ¡ mxn . bài toán giá trị riêng cho phép xác định được hệ cơ sở POD đối với bài toán mới. Nhân hai vế của (1) với W 1/ 2 đưa đến bài toán giá trị riêng: 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO T Y Y u  u . (2) [1] P. Holmes, J.L. Lumley, and G. Berkooz. Ta có u1  W 1/ 2 u1 là nghiệm của  P 1 W , Turbulence, Coherent Structures, Dynamical Systems and Symmetry. T ở đó u1 là véc tơ riêng của YY ứng với giá Cambridge Monographs on Mechanics, Cambridge University Press, 1996. trị riêng lớn nhất 1 với ||| u1 ||¡ m  1 . Từ [2] Nguyễn Đức Hậu. Nghiên cứu phương pháp phương pháp SVD ta có u1 được xác định từ POD trên tập hợp các kết quả của mô hình T số tính toán dòng chảy. Tuyển tập hội nghị bài toán giá trị riêng Y Y v1  1 v1 , ở đó thường niên trường Đại học Thủy lợi 2019, T Y Y  Y T WY . tr. 165-167. Tương tự chúng ta có thể tìm véc tơ thứ hai u  ¡ m với u , u1 W  0 để cực đại n  j 1 | yj ,u |2 . W l Hệ quả 3.2. Hệ cơ sở POD ui i 1 với hạng l có thể được xác định bằng phương pháp snapshots như sau: Giải bài toán giá trị riêng Y TWY vi  i vi với i  1,..., l . 91

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.