zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Nghiên cứu nghiệm xấp xỉ cho hệ phương trình Navier – Stokes

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

17
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Nghiên cứu nghiệm xấp xỉ cho hệ phương trình Navier – Stokes trình bày phương pháp POD là một phương pháp tuyến tính trong đó ta sẽ xác định một hệ cơ sở trực chuẩn. Hệ cơ sở này sẽ xác định một không gian cỡ nhỏ hơn để xây dựng một mô hình rút gọn nhờ phép chiếu Galerkin.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nghiên cứu nghiệm xấp xỉ cho hệ phương trình Navier – Stokes

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 NGHIÊN CỨU NGHIỆM XẤP XỈ CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER – STOKES Nguyễn Thị Lý Trường Đại học Thủy lợi, email:lycs2@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG Trong đó X  H 01 () 2 , M  L20 () . Phương pháp POD là một phương pháp a(u, v )    u.vdxdy , tuyến tính trong đó ta sẽ xác định một hệ cơ  sở trực chuẩn. Hệ cơ sở này sẽ xác định một 1 2  v j w v  không gian cỡ nhỏ hơn để xây dựng một mô a1  u, v, w    ui w j  ui xj j v j dxdy 2  i , j 1  xi hình rút gọn nhờ phép chiếu Galerkin ([1]). i  Phép chiếu Galerkin trên hệ các véc tơ cơ sở với u, v, w  X , và POD đưa vào trong hệ Navier-Stokes sẽ dẫn b(q, v )   qdiv vdxdy . đến một hệ các phương trình vi phân bậc hai.  2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để tìm nghiệm phương pháp số cho Bài toán II, ta sẽ rời rạc hóa Bài toán II. Chúng ta Cho    2 là miền liên thông, bị chặn. sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn cho Xét hệ phương trình không dừng Navier - biến không gian và dùng sơ đồ sai phân hữu Stokes. hạn đối với đạo hàm theo thời gian. Cho L Bài toán I. là số nguyên dương, kí hiệu bước thời gian Tìm u  (u1 , u2 ) , p sao cho với T  0 bởi k  T / L ( T là toàn bộ thời gian): u t  u  (u  )u  p  f trong   (0, T ) t ( n )  nk ; 0  n  L ;  divu  0 trong   (0, T ) (u nh , phn )  X h  M h có xấp xỉ tương ứng  u( x, y, t )  φ( x, y, t ) trên   (0, T ) theo phương pháp phần tử hữu hạn là u( x, y, 0)  φ( x, y, 0) trong  (u (t ( n ) ), p (t ( n ) )  (u n , p n ) . Do đó dùng sơ đồ Trong đó u biểu diễn véc tơ vận tốc, p là nửa ẩn Euler cho thời gian và phương pháp áp suất,  là hằng số (nghịch đảo của số phần tử hữu hạn để đưa bài toán I trở thành Reynolds), f  ( f1 , f 2 ) là trọng lượng, bài toán sau đây: φ( x, y, t ) là hàm véc tơ. Bài toán III Ta viết lại Bài toán I dưới dạng bài toán Tìm (u nh , phn )  X h  M h sao cho khác như sau: Bài toán II. (u nh , v h )  ka (u nh , v h )  Tìm (u, p)  H 1 (0, T ; X )  L2 (0, T ; M ) sao n 1  ka1 (u h , u h , v h )  kb( ph , v h ) n n cho với mọi t  (0, T ) ,  n 1  k ( f , v h )  (u h , v h ) v h  X h n (ut , v )  a (u, v )  a1 (u, u, v )  b( p, v )  (f , v )  b(qh , u h )  0 qh  M h n  v  X  u 0  0 trong  b(q, u)  0 q  M  h u ( x, 0)  0 trong  ở đó 1  n  L . 75
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Xét ma trận K  ( K ij )  R  tương ứng Gọi  với snapshots U i i 1 xác định bởi  X h  X h  M h. Cho: 1 Ui ( x, y )  (u1nhi , u2nih , phni )T (i  1,2,..., ), Kij  (Ui , U j ) Xˆ .  đặt: V  span U1 , U 2 ,..., U  Ma trận K là nửa xác định dương và có là không gian sinh bởi các snapshots U i i1 ,  hạng là l . trong đó giả sử ít nhất có một véc tơ khác Mệnh đề 2: Cho 1  2  ...  l  0 là   các giá trị riêng không âm của K và l không. Gọi ψ j là một cơ sở trực giao i1 v1 , v 2 ,..., v l là các véc tơ riêng trực giao của V , với l  dimV . Khi đó mỗi véc tơ tương ứng. Khi đó cơ sở POD bậc d  l trong không gian được biểu diễn dưới dạng l được xác định bởi U i   ( U i , ψ j ) Xˆ ψ j với i  1,2,...,  . 1  j1 ψi  i  ( vi ) j U j j 1 ở đó: ( U i , ψ j ) Xˆ ψ j Trong đó ( vi ) j là tọa độ thứ j của véc tơ  ((uhni , ψ u j )0 ψ u j ,( phni , p j )0 p j ) riêng v i . Hơn nữa, công thức sai số được xác định (.,.)0 là L2 - tích bên trong, và ψ u j và  p j 2 1  d l là các cơ sở trực giao tương ứng của u và p .   i 1 U i   (U i , ψ j ) Xˆ ψ j   j Ta có: j 1 Xˆ j  d 1 V  span U1 , U 2 ,..., U  Cho V d  span ψ1 , ψ 2 ,..., ψ d  và  span ψ1 , ψ 2 ,..., ψ l  X d  M d  V d với X d  Xh  X và nj b( p , u )  0 (1  i , j   ) ni h h M d  Mh  M . tức là b( p j , ψ u j )  0(1  i, j  l ). Xét phép chiếu Ritz P h : X  X h sao cho: Định nghĩa 1. Phương pháp POD xây Ph  Pd : X h  X d dựng một cơ sở trực chuẩn sao cho với mọi Xh d (1  d  l ) thì trung bình bình phương sai và: số giữa các thành phần U i và d - tổng riêng Ph : X \ X h  X h \ X d tương ứng là nhỏ nhất 2 và L2 - phép chiếu là  d : M  M d được  d 1 min  Ui   ψ j  j 1  i 1 d (Ui , ψ j ) Xˆ ψ j định nghĩa tương ứng là j 1 Xˆ a( P hu, v h )  a(u, v h ) v h  X h sao cho: và: (ψ i , ψ j ) Xˆ   ij với 1  i  d ,1  j  i (  d p, qd )0  ( p, qd )0 q  M d . ở đó: d 1 ở đó u  X và p  M . Toán tử tuyến tính   u1nhi  phni  . 2 2 2 2 Ui  u2nih P h và  d là xác định và bị chặn: Xˆ  0 0  0   ( P d u)  u 0 ,  d p)  p) d Một nghiệm ψ j được gọi là một cơ sở 0 0 0 j1 POD bậc d. u  X và p  M . 76
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 Bổ đề 3 4. KẾT LUẬN Với mọi d (1  d  l ) toán tử chiếu P d và Trong bài báo này, tác giả sẽ xây dựng một  thỏa mãn d cơ sở trực chuẩn bằng phương pháp POD. 1  l Sau đó sử dụng phép chiếu để xây dựng một  (u nhi  P d u nhi  2  j mô hình rút gọn và xấp xỉ nghiệm của hệ  i 1 0 j  d 1 phương trình Navier – Stokes. 1  ni l  u h  P d u nhi  2  Ch 2 j 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO  i 1 0 j  d 1 và: [1] P. Holmes, J.L. Lumley, and G. Berkooz. 1  l Turbulence, Coherent Structures,  ( phni   d phni  2  j Dynamical Systems and Symmetry.  i 1 0 j  d 1 Cambridge Monographs on Mechanics, ở đó u nhi  (u1nhi , u2nih ) và (u1nhi , u2nih , phni )T V . Cambridge University Press, 1996. Do đó, sử dụng V d  X d  M d , chúng ta có thể thu được công thức rút gọn cho Bài toán III. Bài toán IV: Tìm (u nd , pdn ) V d sao cho (u nd , v d )  ka (u nd , v d )  ka1 (u nd1 , u nd , v d )  n 1 kb( pd , v d )  k ( f , v d )  (u d , v d ) v d  X n n d  b(qd , u d )  0 qd  M d n u 0  0  d ở đó 1  n  L. Chú ý: Bài toán IV là mô hình rút gọn MFE dựa trên phương pháp POD của Bài toán III. 77

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.