Nghiên cứu tính chất nén tổng, nén hiệu và tính phản chùm của trạng thái hai mode kết hợp SU(2)lẻ

NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NÉN TỔNG, NÉN HIỆU VÀ<br /> TÍNH PHẢN CHÙM CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE<br /> KẾT HỢP SU(2)LẺ<br /> HUỲNH VŨ - TRƯƠNG MINH ĐỨC<br /> Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế<br /> TRẦN QUANG ĐẠT<br /> Trường Đại học Giao thông Vận tải, TP Hồ Chí Minh<br /> <br /> Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu tính chất nén tổng,<br /> nén hiệu và tính phản chùm của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ.<br /> Kết quả thu được cho thấy trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ không<br /> thể hiện tính chất nén tổng hai mode nhưng lại thể hiện tính chất nén<br /> hiệu hai mode, tổng số photon hai mode càng tăng thì tính chất nén<br /> hiệu càng được thể hiện mạnh. Bằng việc sử dụng tiêu chuẩn tính phản<br /> chùm hai mode để khảo sát trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ chúng<br /> tôi nhận thấy rằng trạng thái này chỉ thể hiện tính phản chùm với tổng<br /> số photon hai mode phù hợp và phụ thuộc vào r.<br /> Từ khóa: trạng thái kết hợp, nén tổng, nén hiệu<br /> 1<br /> <br /> GIỚI THIỆU<br /> <br /> Ngày nay với nhiều sự tiến bộ vượt bậc của khoa học kỹ thuật thì sự bảo mật thông tin<br /> được đặt lên hàng đầu. Do đó lĩnh vực thông tin lượng tử và máy tính lượng tử được các<br /> nhà khoa học tập trung nghiên cứu để tạo ra sự bảo mật tuyệt đối về thông tin. Vì lí do<br /> này mà việc tạo ra các trạng thái phi cổ điển được các nhà khoa học quan tâm hàng đầu,<br /> điển hình là trạng thái nén, trạng thái kết hợp chẵn lẻ. Trạng thái hai mode kết hợp SU(2)<br /> là một trạng thái phi cổ điển đã được Schwinger đưa ra như sau<br /> |ζ, ji = exp(β Jˆ+ − β ∗ Jˆ− ) |j, −ji<br /> N<br /> <br /> = (1 + |ζ|2 )− 2<br /> <br /> N<br /> X<br /> <br /> 1<br /> <br /> n 2 n<br /> (CN<br /> ) ζ |n, N − ni ,<br /> <br /> n=0<br /> <br /> Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế<br /> ISSN 1859-1612, Số 04(36)/2015: tr. 14-23<br /> <br /> (1)<br /> <br /> 15<br /> <br /> NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NÉN TỔNG, NÉN HIỆU...<br /> <br /> trong đó β = γ/2 exp(−iψ) (0 ≤ γ ≤ π, 0 ≤ ψ ≤ 2π), ζ = tan(γ/2) exp(−iψ) và na = n,<br /> nb = N − n. Từ đó ta đưa ra trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ như sau<br /> |α− i = N− [|ζ, ji − |−ζ, ji]<br /> N −1<br /> 1<br /> <br /> 2<br /> X<br /> 2<br /> N!<br /> 2N−<br /> ζ 2n+1 |2n + 1, N − 2n − 1i ,<br /> =<br /> N<br /> 2<br /> (2n<br /> +<br /> 1)!(N<br /> −<br /> 2n<br /> −<br /> 1)!<br /> (1 + |ζ| ) 2 n=0<br /> trong đó<br /> 1<br /> N− = √<br /> 2<br /> <br /> <br /> 1−<br /> <br /> 1 − |ζ|2<br /> 1 + |ζ|2<br /> <br /> 2j !− 12<br /> .<br /> <br /> Các tính chất nén của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ bậc thấp đã được nghiên cứu.<br /> Tuy nhiên, các tính chất nén tổng, nén hiệu và tính phản chùm vẫn chưa được khảo sát.<br /> Vì vậy, trong bài báo này chúng tôi tiến hành khảo sát mức độ thể hiện tính chất nén tổng<br /> hai mode, nén hiệu hai mode, tính phản kết chùm của trạng thái hai mode kết hợp SU(2)<br /> lẻ.<br /> <br /> 2<br /> <br /> KHẢO SÁT TÍNH CHẤT NÉN TỔNG HAI MODE CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE<br /> KẾT HỢP SU(2) LẺ<br /> <br /> Để khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ, chúng tôi sử<br /> dụng điều kiện nén tổng được đưa ra bởi Hillery vào năm 1989 [2]. Toán tử nén tổng trong<br /> trường hợp này được định nghĩa như sau<br /> <br /> 1  iφ +ˆ+<br /> ˆˆb ,<br /> (2)<br /> e a<br /> ˆ b + e−iφ a<br /> Vˆφ =<br /> 2<br /> trong đó a<br /> ˆ† và a<br /> ˆ tương ứng là toán tử sinh và toán tử hủy của mode thứ nhất, ˆb† và ˆb là<br /> toán tử sinh và toán tử hủy của mode thứ hai. Một trạng thái thể hiện tính nén tổng nếu<br /> D E D E2 1<br /> S = Vˆφ2 − Vˆφ − hˆ<br /> na + n<br /> ˆ b + 1i < 0,<br /> (3)<br /> 4<br /> trong đó n<br /> ˆa, n<br /> ˆ b lần lượt là toán tử số hạt của mode a và mode b và mức độ nén thể hiện<br /> <br /> <br /> càng mạnh nếu S càng âm. Khi đó, với Vˆφ = 1 eiφ a<br /> ˆ+ˆb+ + e−iφ a<br /> ˆˆb ta có tham số nén<br /> 2<br /> <br /> S=<br /> <br /> 1<br /> 4<br /> <br /> <br /> <br /> eiφ a<br /> ˆ+ˆb+<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> 2<br /> 1 nD iφ +ˆ+ E D −iφ ˆEo2<br /> −iφ ˆ<br /> +ˆ+ ˆ<br /> + e a<br /> ˆb + 2ˆ<br /> a b a<br /> ˆb −<br /> e a<br /> ˆ b + e a<br /> .<br /> ˆb<br /> 4<br /> <br /> <br /> (4)<br /> <br /> Sử dụng trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ đã được nêu ra ở trên và lấy trung bình<br /> trạng thái này để tính biểu thức (4) ta tính được tham số nén<br /> N −1<br /> 2<br />
2n+1<br /> 2|N− |2 X<br /> N!<br /> S=<br /> |ζ|2<br /> (2n + 1)(N − 2n − 1),<br /> 2<br /> N<br /> (1 + |ζ| )<br /> (2n + 1)!(N − 2n − 1)!<br /> <br /> n=0<br /> <br /> 16<br /> <br /> HUỲNH VŨ và cs.<br /> <br /> trong đó ζ = tan(γ/2) exp(−iψ), (0 ≤ γ ≤ π, 0 ≤ ψ ≤ 2π). Để thuận tiện cho việc khảo<br /> sát chúng tôi đặt γ = 2r với 0 ≤ r ≤ π/2. Từ đó chúng tôi có tham số nén tổng hai mode<br /> dưới dạng<br /> <br /> <br />  −1<br /> 2r N<br /> N −1<br /> 1 − 1−tan<br /> 2<br /> 1+tan2 r<br /> X<br />
2n+1<br /> N!<br /> tan2 r<br /> (2n + 1)(N − 2n − 1).<br /> S=<br /> N<br /> (2n + 1)!(N − 2n − 1)!<br /> (1 + tan2 r)<br /> n=0<br /> (5)<br /> <br /> Hình 1: Sự phụ thuộc của S vào r với N = 11, 9, 7. (Đường biểu diễn các tham số<br /> theo thứ tự từ trên xuống dưới)<br /> Kết quả khảo sát sự phụ thuộc của mức độ nén tổng hai mode theo r và tổng số photon<br /> hai mode N thể hiện trên hình 1. Đồ thị cho thấy S > 0 với mọi giá trị của r, nghĩa là<br /> điều kiện nén tổng hai mode không được thể hiện. Vậy trạng thái hai mode kết hợp SU(2)<br /> lẻ không thể hiện tính chất nén tổng hai mode.<br /> <br /> 3<br /> <br /> KHẢO SÁT TÍNH CHẤT NÉN HIỆU HAI MODE CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE<br /> KẾT HỢP SU(2) LẺ<br /> <br /> Tương tự như trường hợp nén tổng hai mode, theo Hillery [2] toán tử nén hiệu được định<br /> nghĩa như sau<br /> <br /> <br /> ˆ φ = 1 eiφ a<br /> W<br /> ˆˆb+ + e−iφ a<br /> ˆ+ˆb .<br /> 2<br /> Một trạng thái thể hiện tính nén hiệu nếu<br /> D<br /> E D<br /> E2<br /> ˆ2 − W<br /> ˆ φ − 1 hˆ<br /> D= W<br /> na − n<br /> ˆbi < 0 ,<br /> φ<br /> 4<br /> <br /> (6)<br /> <br /> (7)<br /> <br /> NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NÉN TỔNG, NÉN HIỆU...<br /> <br /> 17<br /> <br /> trong đó n<br /> ˆa, n<br /> ˆ b lần lượt là toán tử số hạt của mode a và mode b và mức độ thể hiện càng<br /> <br /> <br /> +ˆ<br /> ˆb+ + e−iφ a<br /> ˆ φ = 1 eiφ a<br /> mạnh nếu D càng âm. Khi đó, với W<br /> ˆ<br /> ˆ<br /> b<br /> ta có được<br /> 2<br /> <br /> <br /> 2 <br /> 2<br /> 1<br /> iφ ˆ+<br /> −iφ +ˆ<br /> +<br /> +<br /> +<br /> +<br /> e a<br /> ˆb<br /> + e a<br /> ˆ b +a<br /> ˆˆb a<br /> ˆ ˆb + a<br /> ˆ ˆbˆ<br /> aˆb<br /> D=<br /> 4<br /> 1 nD iφ ˆ+ E D −iφ +ˆEo2 1<br /> −<br /> e a<br /> ˆb + e a<br /> ˆ b<br /> − hˆ<br /> na − n<br /> ˆbi .<br /> (8)<br /> 4<br /> 4<br /> Bằng cách lấy trung bình trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ chúng tôi thu được tham<br /> số nén hiệu hai mode như sau<br /> " N −1<br /> 2<br /> X<br /> |N− |2<br /> N!<br /> D =<br /> (|ζ|2 )2n+1<br /> 2<br /> N<br /> (1 + |ζ| )<br /> (2n + 1)!(N − 2n − 1)!<br /> n=0<br /> <br /> <br /> ×<br /> <br /> −1<br />  N<br /> 2<br /> X<br /> 2(2n + 2)(N − 2n − 1) +<br /> <br /> n=0<br /> <br /> ×<br /> <br /> <br /> <br /> N!<br /> (|ζ|2 )2n+1<br /> (2n + 1)!(N − 2n − 1)!<br /> #<br /> <br /> <br /> (N − 2n − 1)(N − 2n − 2) (ζ 2 e2iφ + ζ ∗2 e−2iφ ) ,<br /> <br /> (9)<br /> <br /> trong đó ζ = tan(γ/2) exp(−iψ), (0 ≤ γ ≤ π, 0 ≤ ψ ≤ 2π). Để thuận tiện cho việc khảo<br /> sát chúng tôi đặt γ = 2r với 0 ≤ r ≤ π/2. Từ đó chúng tôi có tham số nén tổng hai mode<br /> dưới dạng<br /> <br /> D =<br /> <br /> <br /> <br /> N −1<br /> 1−tan2 r<br /> " N −1<br /> 1 − 1+tan2 r<br /> 2<br /> X<br /> 2 (1 +<br /> <br /> <br /> N<br /> tan2 r)<br /> <br /> n=0<br /> <br /> N!<br /> (tan2 r)2n+1<br /> (2n + 1)!(N − 2n − 1)!<br /> <br /> −1<br />  N<br /> 2<br /> X<br /> 2(2n + 2)(N − 2n − 1) +<br /> <br /> N!<br /> (tan2 r)2n+2<br /> (2n + 1)!(N − 2n − 1)!<br /> n=0<br /> #<br /> <br />
<br /> ×<br /> 2(N − 2n − 1)(N − 2n − 2) cos 2(φ − ψ)<br /> .<br /> ×<br /> <br /> Từ biểu thức trên thì tham số nén D chỉ có thể âm khi cos(2(φ−ψ)) < 0. Hình 2 trình bày<br /> đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của tham số nén D vào r cho trường hợp 2(φ − ψ) = π. Kết<br /> quả khảo sát sự phụ thuộc mức độ nén hiệu của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ theo<br /> r và tổng số photon của hai mode N thể hiện trên hình 2 ứng với trường hợp 2(φ − ψ) = π.<br /> Mỗi đường biểu diễn cho ta mức độ nén hiệu khác nhau. Đường trên cùng ứng với N = 21,<br /> đường tiếp theo ứng với N = 15, đường phía dưới ứng với N = 11. Đồ thị cho thấy D < 0<br /> ứng với giá trị r nhất định, đường cong chứng tỏ khi r tăng thì mức độ nén tăng nhưng<br /> sau đó lại giảm và N càng lớn thì mức độ nén càng thể hiện rõ với giá trị r nhất định. Vậy<br /> trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ thể hiện tính chất nén hiệu và N càng lớn tính chất<br /> nén hiệu càng được thể hiện mạnh.<br /> <br /> 18<br /> <br /> HUỲNH VŨ và cs.<br /> <br /> Hình 2: Sự phụ thuộc của D vào r cho trường hợp N = 21, 15, 11. (Các tham số được<br /> chọn theo thứ tự từ trên xuống dưới.)<br /> <br /> 4<br /> <br /> KHẢO SÁT TÍNH PHẢN CHÙM CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU(2)<br /> LẺ<br /> <br /> Theo Lee. C. T [3], tiêu chuẩn cho sự tồn tại tính phản kết chùm cho trạng thái hai mode<br /> trong trường bức xạ được viết dưới dạng sau<br /> D<br /> R (l, p) =<br /> <br /> D<br /> E<br /> (p−1) (l+1)<br /> + n<br /> ˆa<br /> n<br /> ˆb<br /> D<br /> E D<br /> E<br /> −1