ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình
Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 1
http://trungtamquangminh.tk
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Phương trình, bất phương trình chứa căn thức là một phần quan trọng của môn
Đại số ở bậc phổ thông. Đây cũng là dạng toán khiến các bạn học sinh gặp khó khăn vì
dạng bài tập phong phú, đòi hỏi nhiều kỹ năng tính toán và biến đổi. Chúng tôi xin
giới thiệu Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình chứa căn thức
để giúp các bạn học sinh cơ bản nắm được cách giải quyết các bài toán dạng này.
I. Một số dạng cơ bản của phương trình, bất phương trình chứa căn thức.
1. Phương trình
a)
() () ()
() ()
0fx
fx gx
f
xgx
⎧≥
⎪
=⇔
⎨=
⎪
⎩
b)
() () ()
() ()
2
0gx
fx gx
f
xgx
⎧≥
⎪
=⇔
⎨
=
⎡⎤
⎪
⎣
⎦
⎩
Vd1: Giải phương trình sau:
()
232 11xx x−+=−
Hướng dẫn:
Nhận xét: Phương trình có dạng
() ()
f
xgx= nên ta giải như sau
Ta có
() ()
2
2
10
132 1
11
1
x
xx x
xx
x
−≥
⎧
⎪
⇔⎨
−
+= −
⎪
⎩
≥
⎧
⇔⇔=
⎨=
⎩
Vậy
{
}
1S=
Vd2: Giải phương trình:
()
22
54 2 312 2xx xx−+=− −+
Hướng dẫn: Ta có
()
22
2
22
2542312
540
54 2 312
xx xx
xx
xx xx
⇔−+=−−+
⎧−+≥
⎪
⇔⎨−+=− −+
⎪
⎩
(
)
(
)
2
140
3280
xx
xx
⎧− − ≥
⎪
⇔⎨−−=
⎪
⎩
ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình
Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 2
http://trungtamquangminh.tk
1
48
26
8
6
x
x
x
x
x
⎧≤
⎡
⎪⎢≥
⎣
⎪
⎪
⇔⇔=
⎨=
⎡
⎪⎢−
⎪⎢=
⎪⎣
⎩
Vậy 8
6
S⎧⎫
=−
⎨⎬
⎩⎭
2. Bất phương trình
a)
() () ()
() ()
2
0
0
gx
fx gx
f
xgx
⎧≥
⎪
<⇔
⎨≤<⎡⎤
⎪
⎣
⎦
⎩
b)
() ()
()
()
()
() ()
2
0
0
0
gx
fx
fx gx gx
f
xgx
⎡⎧<
⎪
⎢⎨≥
⎢⎪
⎩
>⇔
⎢⎧≥
⎢⎪
⎢⎨>⎡ ⎤
⎢⎪
⎣
⎦
⎩
⎣
Vd3: Giải các bất phương trình sau:
a)
()
2
12 1xx+≥ −
b) 2
25 43xxx−<− + −, 14
1; 5
S⎡⎞
=⎟
⎢
⎣⎠
Hướng dẫn
a) Ta có :
()
()
()
2
22
10
12 1 12 10
x
xx xx
+≥
⎧
⎪
+≥ − ⇔
⎨+≥ −≥
⎪
⎩
2
2
1
230
10
x
xx
x
≥−
⎧
⎪
⇔
−−≤
⎨
⎪−≥
⎩
11
13
13
1
1
xx
xx
x
x
⎧
⎪≥−
⎪=−
⎡
⎪
⇔−≤ ≤⇔
⎨⎢≤≤
⎣
⎪≤−
⎡
⎪⎢
⎪≥
⎣
⎩
Vậy tập nghiệm
[]
{
}
1; 3 1S=∪−
b)Ta có 2
25 43xxx−<− + −
()
() ()
2
22
250 1
430
250
2
25 43
x
xx
x
xxx
⎡−<
⎧
⎢⎨−+ −≥
⎩
⎢
⇔⎢−≥
⎧
⎪
⎢⎨
⎢−<−+−
⎪
⎩
⎣
ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình
Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 3
http://trungtamquangminh.tk
Giải (1)
()
55
11
22
13
xx
x
⎧<
⎪
⇔⇔≤<
⎨
⎪≤≤
⎩
Giải (2)
()
2
5
5514
2
2214 25
2
524280 5
x
xx
x
xx
⎧
⎧≥
⎪
≥
⎪⎪
⇔⇔⇔≤<
⎨⎨
⎪⎪
<<
−+<
⎩⎪
⎩
Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình là 14
1; 5
S
⎡
⎞
=⎟
⎢
⎣
⎠
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP
1. Phương pháp bình phương liên tiếp
Sử dụng phương pháp bình phương liên tiếp nhằm biến đổi phương trình, bất phương trình
về dạng không còn chứa căn thức. Tuy nhiên khi bình phương hai vế của phương trình, bất
phương trình nhớ đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu (đối với phương trình có thể giải bằng
phương trình hệ quả sau đó thử lại kết quả, còn đối với bất phương trình bắt buộc phải đặt điều
kiện cho hai vế cùng dấu)
Vd1: Giải phương trình 31 21 6
x
xx+− −= −
Hướng dẫn:
Điều kiện
310 1
210 6
2
60
x
xx
x
+≥
⎧
⎪⎧
−≥ ⇔ ≤ ≤
⎨⎨
⎩
⎪−≥
⎩
Với điều kiện trên ta có
31 21 6
31 6 21
316 2126 21
2426 21
xx x
xxx
x
xx xx
xxx
+− −= −
⇔+=−+−
⇔+=−+−+ − −
⇔−= − −
26 21
x
xx⇔−= − −
(
)
2x≥
()
22
2
44 2 136
317100
5
2
3
x
xxx
xx
x
xl
⇔−+=− + −
⇔−+=
=
⎡
⎢
⇔⎢=
⎣
Vậy
{
}
5S=
ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình
Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 4
http://trungtamquangminh.tk
Vd2: Giải bất phương trình
()
13
23 92 2
22
xx−− − ≥
Hướng dẫn
Điều kiện 30 9
3
92 0 2
xx
x
−≥
⎧⇔≤≤
⎨−≤
⎩
Với điều kiện trên ta có
()
()()
13
22392
22
193
43 92 92
442
16 48 18 2 6 9 2
xx
x
xx
xxx
⇔−≥−+
⇔−≥−++−
⇔−≥−+−
()()
2
18 64 0
933392 933 992
x
xx
x
x
−≥
⎧
⎪
⇔−≥−⇔
⎨−≥−
⎪
⎩
2
32
32 9
4
28
9
81 576 1008 0 9
4
x
xx
x
xx
x
⎧≥
⎪
⎧≥⎪
⎪
⇔⇔⇔≥
⎡
⎨⎨
≤
⎢
⎪⎪
−+≥
⎩⎢
⎪≥
⎣
⎩
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là 9
4; 2
S
⎡
⎤
=
⎢
⎥
⎣
⎦
2. Phương pháp đặt ẩn phụ
Mục đích của phương pháp đặt ẩn phụ là đưa phương trình bất phương trình về dạng cơ
bản hoặc là dạng đã biết cách giải. Từ nghiệm của phương trình, bất phương trình mới ta suy ra
nghiệm của phương trình, bất phương trình ban đầu.
Chú ý:
Phương trình, bất phương trình mới không tương đương với phương trình bất phương
trình cũ (vì khác tập hợp nghiệm) mà chỉ tương đương theo nghĩa từ phương trình ,bất phương
trình này ta suy ra nghiệm của phương trình, bất phương trình kia và ngược lại.
Dạng 1. Đặt ẩn phụ khi thấy các biểu thức có dạng giống nhau. Đặt
()
tfx
=
, đưa phương
trình, bất phương trình theo biến
x
về phương trình bất phương trình theo biến t (Chú ý đặt
điều kiện cho biến t (nếu có)).
Vd1: Giải phương trình 22
3293227xx xx−++ −+=
Nhận xét:
Ta thấy biểu thức dưới dấu căn đều có số hạng 2
32
x
x
−
, và đây là biểu thức chung, chú ý rằng
chúng ta quan tâm đến nhũng biểu thức chung chứa biến, còn nếu có thêm hằng số cũng không quan
trọng, và ta có thể đặt ẩn 2
32tx x=−
, để đưa phương trình về dạng cơ bản, tuy nhiên để bài toán
được gọn hơn ta thường đặt ẩn phụ cho nguyên biểu thức căn, tức là đặt 2
322txx
=
−+
ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình
Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 5
http://trungtamquangminh.tk
Ta giải bài toán này như sau:
Đặt 2
322txx=−+ điều kiện 0t≥. Khi đó 22
329 7xx t
−
+= +. Phương trình trở thành
() ( )
2
2
2
2
22
77
77
77 dk 7
71449
3
tt
tt
tt t
ttt
t
++=
⇔+=−
⇔+=− ≤
⇔+=−+
⇔=
Với 3t= ta có
2
2
2
3223
3229
3270
122
3
122
3
xx
xx
xx
x
x
−+=
⇔−+=
⇔−−=
⎡+
=
⎢
⎢
⇔⎢−
=
⎢
⎣
Vậy 122122
;
33
S⎛⎞
+−
=⎜⎟
⎝⎠
Vd2: Giải bất phương trình
()( )
2
145 528xx xx++< ++
Hướng dẫn:
Ta có:
()( )
2
22
145 528
545 528
xx xx
xx xx
++< ++
⇔++<++
Đặt 2528txx=++ điều kiện 0t≥. Khi đó bất phương trình trở thành:
224 5tt−<
25240
38
tt
t
⇔−+<
⇔−<<
Kết hợp với điều kiện ta có 08t<< (1)
Với 8t< ta có:
()
2
2
2
2
5288
5280 94 2
5360
52864
xx
x
xx x
xx
xx
++<
∈
⎧++≥ ⎧
⎪
⇔⇔⇔−<<
⎨⎨
+−<
++<
⎪⎩
⎩
\
Với 2
05280txx x>⇔ + + >⇔∈\ (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có nghiệm của bất phương trình là
(
)
9; 4S
=
−
Vd3: Giải bất phương trình:
()
2
211 1
x
xxx−+> −+