intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề ôn thi Toán: Mũ và Logarit

Chia sẻ: Nhu Duc | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:7

Thêm vào BST
Báo xấu
315
lượt xem 101
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình, hệ thống mũ và logarit giúp trang bị và hệ thống cho các bạn kiến thức nhằm chuẩn bị tốt cho những kì thi học sinh giỏi, thi quốc gia và tuyển sinh đại học.Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b)...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi Toán: Mũ và Logarit

  1. ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI http://laisac.page.tl Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit CHUYÊN ĐỀ MŨ VÀ LOGARIT Hàm số mũ I. • y = a x ; TXĐ D=R • Bảng biến thiên a>1 01 0
  2. ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI http://laisac.page.tl Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit Với a>0, b>0; m, n∈R ta có: an 1 1 − − = a n − m ;( n =a m ; a0=1; a 1= ); anam =an+m; m a a a n an a m   = m; (an)m =anm ; n nn (ab) =a b ; = n am . a n b b 2. Công thức logarit: logab=c⇔ac=b (00) Với 00; 0 0] . +logaf(x)= logag(x)⇔ f ( x ) > 0 +logaf(x)=g(x)⇔  f ( x) = a g( x)  f ( x) = g ( x)  4Đặt ẩn phụ. 2. Bất phương trình mũ−logarit a. Bất phương trình mũ: a > 0 a > 0 4 af(x)>ag(x) ⇔ 4 af(x)≥ ag(x) ⇔ ; . ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ] > 0 ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ] ≥ 0 Đặt biệt: ⇔ * Nếu a>1 thì: af(x)>ag(x) f(x)>g(x); af(x)≥ag(x) ⇔ f(x)≥g(x). ⇔ f(x)< g(x); * Nếu 0logag(x)⇔ f ( x ) > 0, g ( x ) > 0 4logaf(x)≥logag(x)⇔  f ( x ) > 0, g ( x ) > 0 ; . ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) > 0] ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ≥ 0]   Đặt biệt: ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
  3. ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI http://laisac.page.tl Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit  f ( x) > g( x) ⇔ + Nếu a>1 thì:  logaf(x)>logag(x) ; g ( x) > 0  f ( x) < g( x) + Nếu 0 0 ============================ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH−BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT I. Biến đổi thành tích ( ) − 1 . ( 22 x − 4 ) = 0 . 2 2 2 +x −x −x − 4.2 x − 22 x + 4 = 0 � 2 x x Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta ph ải phân ( ) − 1 . ( 22 x − 4 ) = 0 . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. 2 −x x tích thành tích: 2 ( ) Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 ( log 9 x ) = log 3 x.log 3 2 2x + 1 − 1 . Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: ( ) � 3 x − 2 log 3 2 x + 1 − 1 � 3 x = 0 . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. log .log � � Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không th ể bi ến đ ổi đ ể đ ặt ẩn ph ụ đ ược thì ta biến đổi thành tích. II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình: 9 x + 2( x − 2)3x + 2 x − 5 = 0 . Đặt t = 3x (*), khi đó ta có: t 2 + 2 ( x − 2 ) t + 2 x − 5 = 0 � t = −1, t = 5 − 2 x . Thay vào (*) ta tìm được x. Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi ∆ là số chính phương. Ví dụ 2: Giải phương trình: log 3 ( x + 1) + ( x − 5 ) log 3 ( x + 1) − 2 x + 6 = 0 . Đặt t = log3(x+1), ta có: 2 t 2 + ( x − 5 ) t − 2 x + 6 = 0 � t = 2, t = 3 − x ⇒ x = 8 và x = 2. III. Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (k∈R) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng ( a;b) thì ∀u, v ∈(a,b) ta có f (u ) = f ( v ) � u = v . Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì F ( b) − F ( a ) ∃ c ∈ ( a; b ) : F ' ( c ) = . Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì b−a ∃c � a; b ) : F ' ( c ) = 0 � F ' ( x ) = 0 có nghiệm thuộc (a;b). ( Định lý Rolle: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D. ( Xem thêm bài viết “ Nghệ thuật giải toán phổ thông” của tác giả.) Ví dụ 1: Giải phương trình: x + 2.3log2 x = 3 . Hướng dẫn: x + 2.3log2 x = 3 � 2.3log2 x = 3 − x , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch bi ến nên phương trình có nghiệm duy nhất x=1. Ví dụ 2: Giải phương trình: 6 x + 2 x = 5 x + 3x . Phương trình tương đương 6 x − 5 x = 3x − 2 x , giả sử phương trình có nghiêm α. Khi đó: 6 α − 5 α = 3α − 2 α . ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
  4. ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI http://laisac.page.tl Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit Xét hàm số f ( t ) = ( t + 1) − t , với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại α α ( c α −1 − cα −1 � 0 � α = 0, α = 1 , thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là f ' ( c ) = 0 � α � + 1) ( 2;5) sao cho: = c � � nghiệm của phương trình. 2 Ví dụ 3: Giải phương trình: −2 x + 2 x −1 = ( x − 1) 2 . Viết lại phương trình dưới dạng −x + x 2 − x , xét hàm số f ( t ) = 2 + t là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy phương t 2 2 x −1 + x − 1 = 2 x −x trình được viết dưới dạng: f ( x − 1) = f ( x − x ) � x − 1 = x − x � x = 1 . 2 2 Ví dụ 4: Giải phương trình: 3x + 2 x = 3 x + 2 . Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. Ta cần chứng minh không còn nghiệm nào khác. Xét hàm số f ( x ) = 3x + 2 x − 3x − 2 � f '' ( x ) = 3x ln 2 3 + 2 x ln 2 2 > 0 � Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm. y e x = 2007 − y −12 Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > x e = 2007 − y x2 − 1 0. x HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số f ( x ) = e + − 2007 . x x2 − 1 Nếu x < −1 thì f ( x ) < e − 2007 < 0 suy ra hệ phương trình vô nghiệm. −1 Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh. b a 1 1 Ví dụ 6: Cho a ≥ b > 0 . Chứng minh rằng � a + a � � b + b �(ĐH Khối D−2007) 2 2 � �� � 2�� 2� � 1 1 ln � a + a � ln � b + b � 2 2 � � � � 2 � Xét hàm số HD: BĐT �+b�+ 2a . 1� 1� 2� � � ln � a ln � b 2 � a� � � a b 2b � 2� � � �x + 1 � ln �2 � 2 x �với x > 0 f ( x) = � x Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với a ≥ b > 0 ta có f (a ) ≤ f ( b ) (Đpcm). IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên. 1.Dạng 1: Khác cơ số: Ví dụ: Giải phương trình log7 x = log3 ( x + 2) . Đặt t = log 7 x � x = 7t . Khi đó phương trình trở t t �7� 1 7t + 2 � 1 = � �+ 2. � � t = log 3 ( 7t + 2) � 3t = thành: . �� 3� 3 �� � 2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp Ví dụ 1: Giải phương trình log 6 ( x 2 − 2 x − 2) = 2 log 5 ( x 2 − 2 x − 3 ) . 4 Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có log 6 ( t + 1) = log 5 t . ( ) log x Ví dụ 2: Giải phương trình log 2 x + 3 6 = log 6 x . Đặt t = log 6 x , phương trình tương t 3 đương 6t + 3t = 2t � 3t + � � = 1 . �� 2 �� 3. Dạng 3: ( Điều kiện: b = a + c ) logb ( x +c ) =x a Ví dụ 1: Giải phương trình 4log7 ( x +3) = x . Đặt t = log 7 ( x + 3) � 7t = x + 3 , ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
  5. ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI http://laisac.page.tl Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit t t 4 1 phương trình tương đương 4t = 7t − 3 � � �+ 3. � �= 1 . �� �� 7 7 �� �� Ví dụ 2: Giải phương trình 2 log3 ( x +5 ) = x + 4 . Đặt t = x+4 . phương trình tương đương: 2 log3 ( t +1) = t Ví dụ 3: Giải phương trình 4log3 ( x +1) − ( x − 1) 2log3 ( x +1) − x = 0 . =c log ( dx + ) + x +β , với d = ac + α , e = bc + β 4. Dạng 4: s α ax +b e s Phương pháp: Đặt ay + b = log s (dx + e) rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình một ta được: s ax +b + acx = s ay +b + acy . Xét f ( t ) = s at +b + act . Ví dụ: Giải phương trình 7 x −1 = 6 log 7 (6 x − 5) + 1 . Đặt y − 1 = log 7 ( 6 x − 5) . Khi đó chuyển thành hệ � = 6 ( y − 1) + 1 7 x −1 7 x −1 � = 6y − 5 � 7 x −1 + 6 x = 7 y −1 + 6 y . Xét hàm số f ( t ) = 7t −1 + 6t suy ra x=y, � � y −1 � y − 1 = log 7 ( 6 x − 5 ) 7 = 6x − 5 Khi đó: 7 x −1 − 6 x + 5 = 0 . Xét hàm số g ( x ) = 7 x −1 − 6 x + 5 . Áp dụng định lý Rolle và nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2. 5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình. 2x 8 18 + = x−1 1− x Ví dụ: Giải phương trình x −1 x 2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2 8 1 18 HD: Viết phương trình dưới dạng x −1 + 1− x = x −1 1− x , đặt 2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2 u = 2 x −1 + 1, v = 21− x + 1.u , v > 0 . 81 18 += Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ: u v u + v u.v = u + v BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Giải các phương trình sau: a. ( 2 + 3 ) + ( 2 − 3 ) − 4 = 0 x x ( ) +( ) x x 2− 3 2+ 3 =4 b. c. ( 7 + 4 3 ) − 3 ( 2 − 3 ) + 2 = 0 x x d. ( 3 + 5 ) + 16 ( 3 − 5 ) = 2 x +3 x x ( )( ) x x ĐS: x=1, x=−1. 2 −1 + 2 + 1 − 2 2 = 0 (ĐH_Khối B 2007) e. f. 3.8x+4.12x−18x−2.27x=0. (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1. g. 2 x + x − 4.2 x − x − 22 x + 4 = 0 (ĐH_Khối D 2006) 2 2 ĐS: x=0, x=1. ĐS: x=−1, x=2. k. 2 x − x − 22+ x − x = 3 (ĐH_Khối D 2003) 2 2 i. 3.16 x + 2.8 x = 5.32 x 1 1 1 j. 2.4 x + 6 x = 9 x Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: 5 x + y = 125 4 x+ y = 128 a. b. 53 x −2 y −3 = 1 2 4( x − y ) −1 = 1 2 x + 2 y = 12 c. x+ y =5 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
  6. ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI http://laisac.page.tl Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit log 2 ( x + y ) = 1 + log ( xy ) 2 2 2 (ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (−2;−2) d. x 2 − xy + y 2 = 81 3 x −1 + 2 − y =1 (ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2). e. 3log 9 ( 9 x 2 ) − log 3 y 3 = 3 1 log 1 ( y − x ) − log 4 =1 y (ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4) f. 4 x + y = 25 2 2 23 x = 5 y 2 − 4 y (ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4). g. 4 x + 2 x +1 =y 2 +2 x Bài 3: Giải và biện luận phương trình: a . ( m − 2 ) .2 x + m.2 − x + m = 0 . b . m.3x + m.3− x = 8 . Bài 4: Cho phương trình log 3 x + log3 x + 1 − 2m − 1 = 0 (m là tham số). (ĐH_Khối A 2002) 2 2 a. Giải phương trình khi m=2. b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn � 3 � 1; 3 . �� , b. 0 ≤ m ≤ 2 ĐS: a. x = 3 3 ( ) x −1 x Bài 5: Cho bất phương trình 4 − m. 2 + 1 > 0 16 a. Giải bất phương trình khi m= . 9 b. Định m để bất phương trình thỏa ∀x R . Bài 6: Giải các phương trình sau: a. log5 x = log5 ( x + 6 ) − log5 ( x + 2 ) b. log 5 x + log 25 x = log 0,2 3 ( ) x+3 2 d. lg( x 2 + 2 x − 3) + lg c. log x 2 x − 5 x + 4 = 2 =0 x −1 e. log2x−1(2x2+x−1)+logx+1(2x−1)2=4 (ĐH Khối A_2008) ĐS: x=2; x=5/4. f. log 2 ( x + 1) − 6 log 2 x + 1 + 2 = 0 (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3. 2 1 g. log 2 ( 4 + 15.2 + 27 ) + 2 log 2 =0 x x (ĐH_Khối D 2007) ĐS: x=log23. 4.2 − 3 x Bài 7: Giải bất phương trình: a. 2 log3 (4 x − 3) + log 1 ( 2 x + 3) 2 (ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4 ≤ x ≤ 3. 3 x2 + x � � < (ĐH_Khối B 2008) ĐS: −4< x < −3, x > 8. b. log 0,7 � 6 log �0 x+4 � � c. log 5 ( 4 + 144 ) − 4 log 5 2 < 1 + log 5 ( 2 + 1) x−2 x (ĐH_Khối B 2006) ĐS: 2 < x < 4. x 2 − 3x + 2 )( (ĐH_Khối D 2008) ĐS: � − 2;1 U 2; 2 + 2 � d. log 1 0 2 . � � x 2 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6 Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
  7. ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI http://laisac.page.tl Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2