intTypePromotion=1

Những vấn đề cơ bản và ứng dụng của bất đẳng thức

Chia sẻ: Nguyễn Thị Phương Thuỳ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

0
110
lượt xem
30
download

Những vấn đề cơ bản và ứng dụng của bất đẳng thức

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

AM‐GM hay còn có tên gọi là bđt Cô‐Si! Ứng dụng của bđt này rất đa dạng và phương pháp sử dụng bđt này khá hiệu quả trong việc chứng minh các bài toán bđt hai biến số hoặc ba biến số. Sau đây, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu những ích lợi của bđt được xem là một công cụ mạnh này.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Những vấn đề cơ bản và ứng dụng của bất đẳng thức

  1. HOÀNG NGỌC ANH Tài liệu này được viết dành cho các bạn học sinh chuyên Toán, Toán‐Tin, các thầy cô giáo  dạy Toán và các bạn sinh viên Đại học, Cao Đẳng, các bạn trẻ yêu Toán.   
  2. www.VNMATH.com VẤN ĐỀ 1: ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC AM‐GM      AM‐GM hay còn có tên gọi là bđt Cô‐Si! Ứng dụng của bđt này rất đa dạng và  phương pháp sử dụng bđt này khá hiệu quả trong việc chứng minh các bài toán bđt  hai biến số hoặc ba biến số. Sau đây, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu những ích lợi của bđt  được xem là một công cụ mạnh này.    Ví dụ 1.     1
  3. www.VNMATH.com       Ví dụ 2:       2
  4. www.VNMATH.com       3
  5. www.VNMATH.com         4
  6. www.VNMATH.com       5
  7. www.VNMATH.com       6
  8. www.VNMATH.com       Ví dụ 3.(Võ Quốc Bá Cẩn)        7
  9. www.VNMATH.com         8
  10. www.VNMATH.com   Ví dụ 4. TST‐2001                9
  11. www.VNMATH.com       10
  12. www.VNMATH.com         11
  13. www.VNMATH.com     VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ  Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là bất đẳng thức  Bunhiacôpxky, là một bất đẳng thức thường áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác  nhau của toán học, chẳng hạn có trong đại số tuyến tính dùng cho các vector, trong  giải tích dùng cho các chuỗi vô hạn và tích phân của các tích, trong lý thuyết sác  xuất dùng cho các phương sai và hiệp phương sai. Bất đẳng thức này có rất nhiều  cách chứng minh, nhưng tôi không đi sâu vào phần này mà chỉ khai thác triệt để  công dụng của nó.  1. Những kĩ thuật sử dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu số Bài toán 1: Cho a, b, c là các số thực dương. CMR: a2 + b2 + c2  a+b+c 2 b+c a+c a+b Lời giải: Cách 1: Dùng bđt cauchy-schwarz dạng cộng mẫu số ta được a+b+c 2 VT  (a+b+c) = ĐPCM 2 2(a+b+c) Dấu “=” xảy ra khi a=b=c. 12
  14. www.VNMATH.com Cách 2: Dùng bđt Cô-si ta có a2 + b+c  a. Tương tự ta cũng có: b+c 4 b2 + a+c  b a+c 4 c2 + a+b  c. Cộng 3 bđt này lại ta được ĐPCM. a+b 4 Dấu “=” xảy ra khi a=b=c. Tuy nhiên nhìn qua bđt ở đề bài, ta nên nghĩ ngay cách 1! Bài toán 2: CMR: Nếu a, b, c là các số thực dương thì a b c  1. (CSM-1999) + + b+2c c+2a a+2b Lời giải: Khi đọc lướt qua bài trên ta cảm thấy không giống với dạng toán bài 1 vì trên tử không có bình phương. Nhưng ta có thể giải quyết gọn gàng thông qua việc làm cho tử số của bài toán xuất hiện bình phương: 2 2 2 Ta có: VT = a +b +c a(b+2c) b(c+2a) c(a+2b) (a+b+c)2 Áp dụng bđt cộng mẫu số ta có: VT 3(ab+bc+ca) 2 Đến đây ta cần chứng minh: (a+b+c)  3(ab+bc+ca). Đây là một kết quả quen biết! Dấu “=” xảy ra khi a=b=c. 2. Mộ số kỹ thuật khác  13
  15. www.VNMATH.com 14
  16. www.VNMATH.com 15
  17. www.VNMATH.com 16
  18. www.VNMATH.com 17
  19. www.VNMATH.com 18
  20. www.VNMATH.com Vấn đề 3. BẤT ĐẲNG THỨC THUẦN NHẤT      19
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2