ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC 3

Chia sẻ: Cao Thi Nhu Kieu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

163
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC 3 (Trung tâm Luyện thi đại học Vĩnh Viễn) Giả sử : y = ax3 + bx2 + cx + d với a 6ax + 2b 1) y” = 0 x = (a 0) 0 có đồ thị là (C). y’ = 3ax2 + 2bx + c, y” = x = là hoành độ điểm uốn. Đồ thị hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. 2) i) ii) iii) Để vẽ đồ thị 1 hàm số bậc 3, ta cần biết các trường hợp sau : a 0 và y’ = 0 vô nghiệm a ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC 3

ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC 3 (Trung tâm Luyện thi đại học Vĩnh Viễn) Giả sử : y = ax3 + b x2 + cx + d với a 0 có đồ thị là (C). y’ = 3ax2 + 2bx + c, y” = 6ax + 2b x = (a 0) 1) y” = 0 x = là hoành độ điểm uốn. Đồ thị hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. Để vẽ đồ thị 1 hàm số bậc 3, ta cần biết các trường hợp sau : 2) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng) i) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm) ii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 iii) h àm số đạt cực đại tại x1 và đ ạt cực tiểu tại x2. Ngoài ra ta còn có : x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn. + hàm số tăng trên ( + , x1) hàm số tăng trên (x2, + ) + hàm số giảm trên (x1, x2) + a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 iv) h àm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có : hàm số giảm trên ( + , x1) hàm số giảm trên (x2, + ) + hàm số tăng trên (x1, x2) +
Giả sử y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y = k(Ax + B)y’ + r x + q với k là hằng 3) số khác 0; thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y = r x + q (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt 4) Giả sử a > 0 ta có : 5) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân b iệt > i) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân b iệt < ii) Tương tự khi a < 0 . Tiếp tuyến : Gọi I là điểm uốn. Cho M (C). 6) Nếu M I thì ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M. Nếu M khác I thì ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M. Biện luận số tiếp tuyến qua 1 điểm N không n ằm trên (C) ta có nhiều trường hợp hơn. (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cách đ ều nhau y’ = 0 có 2 n ghiệm phân b iệt 7) và y(x0) = 0 (x0 là hoành độ điểm uốn)
Biện luận số nghiệm của phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1) (a 0 ) kh i x 8) là 1 nghiệm của (1). = Nếu x = là 1 nghiệm của (1), ta có )(ax2 + b1x + c1) ax3 + bx2 + cx + d = (x - nghiệm của (1) là x = với nghiệm của ph ương trình ax2 + b1x + c1 = 0 (2). Ta có các trường hợp sau: nếu (2) vô nghiệm thì (1) có duy nhất n ghiệm x = i) nếu (2) có nghiệm kép x = th ì (1) có duy nhất n gh iệm x = ii) nếu (2) có 2 n ghiệm phân biệt th ì (1) có 3 nghiệm phân biệt iii) nếu (2) có 1 n ghiệm x = và 1 nghiệm khác th ì (1) có 2 nghiệm. iv) nếu (2) có nghiệm kép thì (1) có 2 nghiệm v) BÀI TẬP ÔN VỀ HÀM BẬC 3 Cho h ọ đường cong bậc ba (Cm) và họ đường thẳng (Dk) lần lượt có phương trình là x3 + mx2 m và y = kx + k + 1. y= (I) PHẦN I. Trong phần này cho m = 3. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trên cung 1) AB với M khác A , Bø . Ch ứng minh rằng trên (C) ta tìm đư ợc hai điểm tại đó có tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến tại M với (C). Gọ i là đường thẳng có phương trình y = 1. Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ 2) từ E với (C). đ ể qua E có ba tiếp tuyến với (C) và có hai tiếp tuyến vuông góc 3) Tìm E với nhau.
Định p để trên (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này 4) chứng tỏ trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định. (C) đ ể qua M chỉ có một tiếp tuyến với (C). 5) Tìm M (II) PHẦN I I.Trong phần n ày cho tham số m thay đổi. Tìm đ iểm cố định của (Cm). Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định này 6) vuông góc nhau. Định m để (Cm) có 2 điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm 7) cực trị. Định m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt. 8) Định m để : a) h àm số đồng biến trong (1, 2). b) hàm số nghịch biến trong (0, 9) + ). Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng. 10) Tìm điều kiện giữa k và m để (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt. Tìm k đ ể 11) (Dk) cắt (Cm) thành hai đoạn bằng nhau. Viết phương trình tiếp tuyến với (C¬m) và đi qua điểm (-1, 1). 12) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (Cm) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có 13) hệ số góc lớn nhất. BÀI GIẢI PHẦN I : m = 3 Kh ảo sát và vẽ đồ thị (độc giả tự làm)
Gọi n là hoành độ của M. Vì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = 1) hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k1 = – 3n2 + 6n 2 n ên 0 < n < 2; y' = – 3x2 + 6x (0, 2)). Đư ờng thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k2 = (0, 3 ] (vì n (với 0 < k1 3). Hoành độ của tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến M là nghiệm của – 3x2 – 6 x = 0. Phương trình này có a.c < 0, 3x2 + 6x = (= k2) k1 (0, 3] nên có 2 nghiệm phân biệt, (0, 3]. Vậy trên (C) luôn có 2 điểm phân biệt m à tiếp k1 tuyến đó vuông góc với tiếp tuyến tại M. . Phương trình tiếp tuyến qua E có dạng y = h(x – e) + 1 (D). (D) 2) E (e, 1) tiếp xúc (C) hệ có nghiệm. Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là : – x3 + 3x2 – 3 = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ 1 (1) – x3 + 3x2 – 4 = x(– 3 x + 6)(x – e) (x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2 )(x – e) x = 2 h ay x2 – x – 2 = 3 x2 – 3 ex x = 2 h ay 2x2 – (3e – 1 )x + 2 = 0 (2) (2) có = (3e – 1)2 – 16 = (3e – 5 )(3e + 3) (2) có nghiệm x = 2 8 – 2(3e – 1) + 2 = 0 e=2 Ta có >0 e < – 1 hay e > . Biện luận: Nếu e < – 1 hay < e < 2 hay e > 2 i) (1) có 3 nghiệm phân biệt có 3 tiếp tuyến. Nếu e = – 1 hay e = hay e = 2 ii) (1) có 2 nghiệm có 2 tiếp tuyến.
Nếu – 1 < e < (1) có 1 nghiệm có 1 tiếp tuyến. iii) Nh ận xét : Từ đồ thị, ta có y = 1 là tiếp tuyến tại (2, 1) n ên phương trình (1) chắc chắn có nghiệm x = 2, e. Vì y = 1 là tiếp tuyến qua E (e, 1), e và đư ờng x = không là tiếp tuyến nên 3) yêu cầu bài toán. (2) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa : y'(x1).y'(x2) = – 1 Tiếp điểm của tiếp tuyến (với (C)) có hệ số góc bằng p là nghiệm của : 4) y' = p 3 x2 – 6 x + p = 0 (3) Ta có ' = 9 – 3p > 0 p
Do đó, có đúng 1 tiếp tuyến qua M (x0, y0) (C) Suy ra, y0 = 1. Vậy M(1, –1) (điểm uốn). Nhận xét : vì x0 là 1 hoành độ tiếp điểm nên pt (5) chắc chắn có nghiệm kép là x0 Phần II : Tham số m thay đổi. y' = – 3x2 + 2mx 6) (Cm) qua (x, y), m y + x3 = m (x2 – 1) , m Vậy (Cm) qua 2 điểm cố định là H(1, –1) và K(–1, 1). Vì y' = – 3x2 + 2mx nên tiếp tuyến với (Cm) tại H và K có hệ số góc lần lượt là : a1 = y'(1) = – 3 + 2m và a2 = y'(–1) = –3 – 2m. 2 tiếp tuyến tại H và K vuông góc nhau. 9 – 4m2 = – 1 m= . a1.a2 = – 1 Hàm có cực trị y' = 0 có 2 nghiệm phân b iệt. 7) 3x2 = 2mx có 2 nghiệm phân biệt. x = 0 và x = là 2 nghiệm phân biệt. 0. Kh i đó, ta có : m
và phương trình đường thẳng qua 2 cực trị là : (v ớ i m 0) 0 , gọi x1, x2 là nghiệm của y' = 0, ta có : 8) Khi m x1.x2 = 0 và x1 + x2 = y(x1).y(x2) = = = Với m 0, ta có y(x1).y(x2) < 0 Vậy (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt. Nh ận xét : Khi thì ph ương trình y = 0 có 2 nghiệm âm và 1 nghiệm dương. i) Khi thì phương trình y = 0 có 2 nghiệm dương và 1 nghiệm âm. ii) a) Hàm đồng biến trên (1,2) 0, x (1,2). Nếu m 0 ta có 9) – 3x2 + 2mx hoành độ 2 điểm cực trị là 0 và . Nếu m < 0 th ì hàm chỉ đồng biến trên . Vậy loại trường hợp m < 0 i) Nếu m = 0 hàm luôn nghịch b iến (loại). ii) Nếu m > 0 th ì hàm chỉ đồng biến trên iii) Do đó, ycbt m > 0 và b) Từ câu a, ta loại trường hợp m > 0.
0 ta có h àm số nghịch biến trên và hàm số cũng nghịch biến trên [0, Khi m + ). Vậy để hàm nghịch biến trên [0, + ) thì m 0. Ghi chú : nên lập bảng biến thiên để thấy rõ ràng hơn. x= 10) y" = – 6x + 2m , y" = 0 (Cm) cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau. y = 0 có 3 nghiệm phân biệt và điểm uốn nằm trên trục hoành. Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (Dk) là 11) – x3 + mx2 – m = kx + k + 1 m(x2 – 1) = k(x + 1) + 1 + x3 m(x – 1) = k + 1 – x + x2 x+1=0 x = – 1 hay x2 – (m + 1)x + k + m + 1 = 0 (11) Do đó, (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt a) (11) có 2 nghiệm phân biệt khác – 1 (*) Vì (Dk) qua đ iểm K(–1,1) (Cm ) nên ta có : b) (Dk) cắt (Cm) thành 2 đo ạn bằng nhau. (Dk) qua điểm uốn của (Cm) (**) Vậy ycbt k thỏa (*) và (**).
Phương trình tiếp tuyến với (Cm) đi qua (–1,1) có dạng : 12) y = k(x + 1) + 1 (Dk) Vậy, phương trình hoành độ tiếp điểm của (Dk) và (Cm) là : – x3 + mx2 – m = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 (12) m(x2 – 1) = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 + x3 m (x – 1) = – 3x2 + 2mx + 1 – x + x2 x+1=0 x = – 1 hay 2x2 + (1 – m )x – m – 1 = 0 (13) x=–1 y' (–1) = – 2m – 3 = (m2 – 2m – 3) Vậy phương trình của 2 tiếp tuyến qua (–1, 1) là : y = – (2m + 3)(x + 1) + 1 y = (m2 – 2m – 3)(x + 1) + 1 Nh ận xét : Có 1 tiếp tuyến tại tiếp điểm (–1, 1) nên phương trình (12) ch ắc chắn có nghiệm kép là x = – 1 và phương trình (13) chắc chắn có nghiệm là x = – 1. Các tiếp tuyến với (Cm) tại tiếp điểm của ho ành độ x có hệ số góc là : 13) h = – 3 x2 + 2mx Ta có h đ ạt cực đại và là max khi (hoành độ điểm uốn) Vậy tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất. Nh ận xét : Ghi chú : Đối với hàm bậc 3 y = ax3 + bx2 + cx + d, ta có : Nếu a > 0 th ì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. i)
Nếu a < 0 th ì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất. ii) PHẠM HỒNG DANH (Trung tâm Luyện thi đại học Vĩnh Viễn)