Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Tương giao hàm số bậc 3 (Phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Nguyễn Oanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

163
lượt xem 29
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu luyện thi ĐH môn Toán 2015 về "Tương giao hàm số bậc 3 (Phần 1)" cung cấp kiến thức lý thuyết, 1 số bài tập ví dụ và bài tập tự luyện. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi Đại học 2015 cũng như các kỳ thi Đại học sau này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Tương giao hàm số bậc 3 (Phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 04. TUƠNG GIAO HÀM B C BA – P1 Th y Xét các hàm s y = f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d có ng Vi t Hùng th là (C) và ư ng th ng d : y = mx + n Ta có phương trình hoành giao i m : ax 3 + bx 2 + cx + d = mx + n ⇔ Ax3 + Bx 2 + Cx + D = 0 ⇔ h( x) = 0 th ã cho. TH S nghi m c a phương trình là s giao i m c a hai D NG 1. BÀI TOÁN TÌM S TH1 : Phương trình hoành GIAO I M C A HAI giao i m nh m ư c nghi m x = x0 S giao i m c a th hàm s (C) v i ư ng th ng (d) chính là s nghi m c a phương trình h(x) = 0. Thông thư ng trong bài thi i h c thì thư ng s nh m ư c nghi m c a phương trình. Các nghi m thư ng g p là ±1; ±2; ±3; ±m; ±2m… Kĩ thu t nh m nghi m ây là cô l p tham s m, cho h s ch a m b ng 0. N u ta nh m ư c m t  x = xo nghi m x = xo thì ta có h( x) = 0 ⇔ ( x − xo ) Ax 2 + Bx + C = 0 ⇔   g ( x) = 0 ( ) g ( x) Thí d : V i phương trình h( x) = x + ( m − 2 ) x + m − 1 = 0 ⇔ x3 − 2 x − 1 + m ( x + 1) = 0. 3 Cho x = –1 ta th y th a mãn phương trình, chia theo lư c Hoorne ta ư c h( x) = ( x + 1) x 2 − x + m − 1 = 0. ( ) Ta xét m t s trư ng h p thư ng g p: TH1: (d) c t (C) t i 3 i m phân bi t ⇔ h(x) = 0 có 3 nghi m phân bi t.  ∆ g > 0 Phương trình h(x) = 0 có 3 nghi m phân bi t khi   g ( xo ) ≠ 0  TH2: (d) c t (C) t i 2 i m phân bi t ⇔ h(x) = 0 có 2 nghi m phân bi t. Phương trình h(x) = 0 có 2 nghi m phân bi t khi phương trình g(x) = 0 có nghi m kép khác xo ho c phương trình g(x) = 0 có hai nghi m phân bi t, trong ó có m t nghi m b ng xo  ∆ g = 0     g ( xo ) ≠ 0 Ta có i u ki n:    ∆ g > 0  g ( x ) = 0   o TH3: (d) c t (C) t i 1 i m phân bi t ⇔ h(x) = 0 có 1 nghi m phân bi t. Phương trình h(x) = 0 có 1 nghi m phân bi t khi phương trình g(x) = 0 vô nghi m ho c có nghi m kép chính là xo. i u ∆ g < 0  ∆ =0 ó tương ương v i   g  − B   = xo  2 A  Chú ý: Trong trư ng h p mà ta không th nh m ư c nghi m c a h(x) = 0 thì ta ph i cô l p tham s ưa v bài toán bi n lu n s nghi m c a phương trình b ng th ho c d a vào b ng bi n thiên. cô l p ư c m thì hàm s y = h(x) ph i là hàm b c nh t c a m, còn trong trư ng h p h(x) ch a lũy th a c a m b c cao hơn (ví d m2, m3) thì dùng yC .yCT c c tr .  x = −1 h( x ) = x3 + ( m − 2 ) x + m − 1 = 0 ⇔ ( x + 1) x 2 − x + m − 1 = 0 ⇔  2  g( x ) = x − x + m − 1 = 0 Thí d : − x3 − 1 h( x ) = x3 + ( m + 2 ) x + m + 1 = 0 ⇔ m ( 2 x + 1) = − x3 − 1 ⇔ m = = g( x ) 2x + 1 Trên ây là hai ví d cho th lo i nh m ư c nghi m và không nh m ư c nghi m ph i s d ng cô l p tham s . ( ) Ví d 1: [ VH]. Cho hàm s y = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 6 , có th là (C) t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y Tìm m PT hoành NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 ư ng th ng d : y = mx − 2m − 4 c t (C) t i 3 i m phân bi t. Hư ng d n gi i: 3 2 giao i m c a (C) và (d): x − 6 x + 9 x − 6 = mx − 2m − 4 ⇔ ( x − 2)( x 2 − 4 x + 1 − m) = 0 x = 2 ⇔ 2  g ( x) = x − 4 x + 1 − m = 0 ∆ > 0  (d) c t (C) t i ba i m phân bi t khi g(x) = 0 có 2 nghi m phân bi t khác 2 ⇔  ⇔ m > −3.  g ( 2) ≠ 0  Ví d 2: [ VH]. Cho hàm s y = x3 – (m + 1)x2 + (m – 1)x + 1, (1). th hàm s (1) c t tr c hoành t i ba i m phân bi t. Hư ng d n gi i: Phương trình hoành giao i m c a th (1) và tr c Ox là x3 – (m +1)x2 + (m – 1)x + 1 = 0, (*) // Gi chúng ta th i nh m xem (*) có nghi m nào nhé x = α là m t nghi m c a (*) thì các bi u th c có nhân th chung là tham s m ph i tri t triêu nhau, ây ta tách ra ư c m t nhân t có ch a m là m(–x2 + x). Cho –x2 + x = 0 ta ư c x = 0 ho c x = 1 Thay vào phương trình ch có x = 1 là nghi m. V y (*) có 1 nghi m là x = 1 // x −1 = 0 (*) ⇔ ( x − 1)( x 2 − mx − 1) = 0 ⇔  2  g ( x) = x − mx − 1 = 0 Do g(x) = x2 – mx – 1 = 0 có ∆ = m2 + 4 > 0 ∀m và g(1) = m ≠ 0 (theo gi thiêt), khi ó g(x) = 0 luôn có hai nghi m phân bi t và khác 1. Ví d 3: [ VH]. Cho hàm s y = x3 – 3x + 2, có th là (C) G i d là ư ng th ng i qua A(3; 20) và có h góc là k. Tìm k ư ng th ng d c t (C) t i 3 i m phân bi t. Hư ng d n gi i: d là ư ng th ng qua A(3 ; 20) và có h s góc là k nên d có phương trình d : y = k(x – 3) + 20 Phương trình hoành giao i m: x3 – 3x + 2 = k(x – 3) + 20 ⇔ x3 – (k + 3)x + 3k – 18 = 0, (*) // nh m nghi m c a (*) ta cho tri t tiêu i h s ch a k : k(x – 3) = 0 ⇒ x = 3, thay x = 3 vào th y th a mãn (*). V y (*) có 1 nghi m là x = 3 // CMR khi m ≠ 0 ( *) ⇔ ( x − 3 ) ( x 2 + 3 x − k + 6 ) = 0 ⇔  x − 3 = 0 2  g ( x) = x − 3x − k + 6 = 0 (*) có 3 nghi m phân bi t thì phương trình g(x) = 0 ph i có 2 nghi m phân bi t và khác 3 15    ∆ g > 0 9 − 4 ( 6 − k ) > 0 k > i u ó x y ra khi  ⇔ ⇔ 4  g (3) ≠ 0 6 − k ≠ 0   k ≠ 6  15  k > V yv i  4 thì ư ng th ng d c t th ã cho t i 3 i m phân bi t. k ≠ 6  Ví d 4: [ VH]. Cho hàm s y = x3 – 3x2 + 1, có th là (C) Tìm m ư ng th ng d : y = ( 2m − 1) x − 4m − 1 c t (C) t i 2 i m phân bi t. giao i m c a hai Hư ng d n gi i: th : x – 3 x 2 – (2m – 1) x + 4m + 2 = 0 ⇔ ( x − 2)( x 2 – x – 2m – 1) = 0 3 Phương trình hoành x = 2 ⇔ 2  g ( x) = x − x − 2m − 1 = 0, (1) (d) c t (C) t i úng 2 i m phân bi t khi phương trình (1) có nghi m kép khác x = 2 ho c có hai nghi m phân bi t trong ó có m t nghi m là x = 2.  ∆ = 0  8m + 5 = 0   5   b  1 m = − 8 − ≠2 ≠2   Ta có các i u ki n tương ng   2a ⇔  2 ⇔   1 m =  ∆>0  8m + 5 > 0 2   g (2) = 0  −2m + 1 = 0   { { Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y 5 1 V y m = − ; m = là các giá tr c n tìm. 8 2 NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 Ví d 5: [ VH]. Cho hàm s Tìm m y = x3 + (m − 1) x 2 + 2mx + 1 và ư ng th ng d : y = 5 x − 1. th (C) ư ng th ng d c t a) t i ba i m phân bi t b) t i hai i m phân bi t c) t i m t i m Ví d 6: [ VH]. Cho hàm s Tìm k y = − x3 + x 2 + 3 x − 2 . G i d là ư ng th ng i qua A(2 ; 0) và có h s góc k. d c t (C) t i ba i m phân bi t. TH2: Phương trình hoành giao i m không nh m ư c nghi m N u h(x) = 0 không nh m ư c nghi m thì ta s d ng phương pháp cô l p tham s , phân tích h(x) = 0 thành d ng h ( x, m ) = 0 ⇔ g ( x ) = k ( m ) , trong ó ó g(x) là hàm s ch ch a x, còn k(m) là hàm ch ch a m (hay còn g i là hàm h ng v i x).  y = g ( x) Khi ó, s nghi m c a (1) chính là s giao i m c a hai th   y = k (m) // Ox Ta l p b ng bi n thiên cho hàm s y = g(x). Khi ó, (1) có 3 nghi m phân bi t khi gCT < k(m) < gC Khi ó, (1) có 1 nghi m khi k(m) < gCT ho c k(m) > gC th c t tr c Ox t i 3 i m phân bi t. Hư ng d n gi i: Xét phương trình hoành giao i m c a th v i tr c Ox : x3 – 3x2 – 9x + m = 0, (1) th . th c t Ox t i 3 i m phân bi t thì (1) ph i có 3 nghi m S nghi m c a (1) chính là s giao i m c a hai phân bi t. (1) ⇔ x3 – 3x2 – 9x = –m, (2).  y = g ( x) = x 3 − 3 x 2 − 9 x  S nghi m c a (2) l i chính là s giao i m c a hai th   y = −m   x = −1 Ta có g ′( x) = 3 x 2 − 6 x − 9 = 0 ⇔  x = 3 B ng bi n thiên: x −∞ −1 3 +∞ g’ g −∞ −27 + 0 5 − 0 + +∞ Ví d 1: [ VH]. Cho hàm s y = x3 – 3x2 – 9x + m. Tìm m T b ng bi n thiên ta th y, (2) có 3 nghi m phân bi t khi –27 < –m < 5 ⇔ –5 < m < 27. th c t tr c Ox t i úng 2 i m phân bi t. Hư ng d n gi i: th c t tr c hoành t i úng hai i m phân bi t thì (Cm) ph i có 2 i m c c tr . ⇒ y′ = 0 có 2 nghi m phân bi t ⇔ 3x 2 − 3m2 = 0 ⇔ x 2 = m2 ⇒ m ≠ 0 V y hàm s có hai i m c c tr khi m ≠ 0. Khi ó y ' = 0 ⇔ x = ± m . (Cm) c t Ox t i úng 2 i m phân bi t ⇔ yC = 0 ho c yCT = 0 Ví d 2: [ VH]. Cho hàm s y = x3 – 3mx2 + 2m, (Cm) Tìm m Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95  y ( − m ) = 0 ⇔ 2m 3 + 2m = 0 ⇔ m = 0 Ta có  3  y (m) = 0 ⇔ −2m + 2m = 0 ⇔ m = 0; m = ±1  i chi u v i i u ki n ta ư c m = ± 1 là giá tr c n tim. Ví d 3: [ VH]. Cho hàm s Tìm m y = x3 + 3 x 2 − 9 x + 3m − 1 th c t tr c Ox t i 3 i m phân bi t. y = x3 − mx 2 + 2m Ví d 4: [ VH]. Cho hàm s Tìm m th c t tr c Ox t i duy nh t m t i m. BÀI T P LUY N T P Bài 1: [ VH]. Cho hàm s y = x3 – 6x2 + 9mx. Tìm m a) 1 i m. b) 3 i m phân bi t. Bài 2: [ VH]. Cho hàm s y = x3 – 3x + 2, có th là (C). ư ng th ng (d) c t th (C) t i 3 i m ư ng th ng y = x c t th hàm s ã cho t i G i (d) là ư ng th ng i qua A(3; 20) và có h góc là k. Tìm k phân bi t. Bài 3: [ VH]. Cho hàm s y = x3 – 3x – 2, có G i A là i m thu c th và có hoành th là (C). xA = 0, (d) là ư ng th ng i qua A và có h s góc k. Xác nh k d c t (C) t i 3 i m phân bi t. Bài 4: [ VH]. Cho hàm s y = –x3 + 3x2 + 1, có (C) và (d) c t nhau t i a) 3 i m phân bi t. b) 1 i m. Bài 5: [ VH]. Cho hàm s y = x3 + mx2 – x – m Tìm m th hàm s c t tr c hoành t i 3 i m phân bi t. th là (C). ư ng th ng dk c t (C) t i Bài 6: [ VH]. Cho hàm s y = 2x3 – 3x2 – 1, có th (C) và ư ng th ng (d): y = m(x – 1) + 3. Tìm m G i (dk) là ư ng th ng i qua M(0; –1) và có h s góc b ng k. Tìm k a) 3 i m phân bi t. b) 3 i m phân bi t, trong ó hai i m có hoành Bài 7: [ VH]. (Trích 3 2 dương. thi H kh i A – 2010) Cho hàm s y = x – 2x + (1 – m)x + m Tìm m th c t tr c Ox t i ba i m phân bi t có hoành các 2 2 x1, x2, x3 th a mãn x12 + x2 + x3 < 4. Bài 8: [ VH]. Tìm m a) y = x3 – 3x2 – m2 + 5m b) y = 1 3 x −x+m 3 th hàm s sau c t tr c Ox t i 3 i m phân bi t? c) y = x3 + 3x2 – 9x + m Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 Bài 9: [ VH]. Cho hàm s Tìm m /s: m > −3 y = x3 + mx + 2 có th (Cm) th (Cm) c t tr c hoành t i m t i m duy nh t. y = 2 x3 − 3(m + 1) x 2 + 6mx − 2 có Bài 10: [ VH]. Cho hàm s Tìm m th (Cm) th (Cm) c t tr c hoành t i m t i m duy nh t. /s: 1 − 3 < m < 1 + 3 Bài 11: [ VH]. Cho hàm s Tìm m /s: m = ±1 y = x3 − 3m 2 x + 2m có th (Cm). th (Cm) c t tr c hoành t i úng hai i m phân bi t. Bài 12: [ VH]. Cho hàm s y = x3 − 3 x 2 + 1 . Tìm m ư ng th ng (∆): y = (2m − 1) x − 4m − 1 c t th (C) t i úng hai i m phân bi t. 1 5 /s: m = ; m = − 2 8 Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015!