Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Bài toán tìm điểm trên đồ thị - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Nguyễn Oanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

109
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu luyện thi ĐH môn Toán 2015 về "Bài toán tìm điểm trên đồ thị" cung cấp kiến thức lý thuyết, 1 số bài tập ví dụ và bài tập tự luyện. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi Đại học 2015 cũng như các kỳ thi Đại học sau này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Bài toán tìm điểm trên đồ thị - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 BÀI TOÁN TÌM Th y Ki n th c cơ b n: 1) Kho ng cách gi a hai i m A, B: AB = 2) Kho ng cách t c bi t: i m M ( x 0 ; y0 ) I M TRÊN ng Vi t Hùng TH ( x B − x A )2 + ( yB − y A )2 ax 0 + by0 + c a2 + b2 n ư ng th ng ∆: ax + by + c = 0 : d ( M , d ) = + N u ∆: x = a thì d ( M , ∆) = x0 − a + N u ∆: y = b thì d ( M , ∆) = y0 − b + T ng các kho ng cách t M n các tr c to là: x0 + y0 . 2 1 1 AB. AC.sin A = AB2 . AC 2 − ( AB. AC ) 2 2  x + x = 2 xI i x ng nhau qua i m I ⇔ IA + IB = 0 ⇔  A B  y A + yB = 2 yI 3) Di n tích tam giác ABC: S = 4) Các i m A, B 5) Các i m A, B c bi t:  i x ng nhau qua ư ng th ng ∆ ⇔  AB ⊥ ∆ (I là trung i m AB). I ∈ ∆ A i x ng nhau qua tr c Ox ⇔  B  yB = − y A A i x ng nhau qua tr c Ox ⇔  B yB = − y A  + A, B + A, B x = x x = x 6) Kho ng cách gi a ư ng th ng ∆ v i ư ng cong (C) b ng kho ng cách nh nh t gi a m t i m M ∈ ∆ và m t i m N ∈ (C). 7) i m M ( x; y) ư c g i là có to nguyên n u x, y u là s nguyên. Ví d 1: [ VH]. Cho hàm s y = − x 3 + 3 x + 2 (C). Tìm 2 i m trên th hàm s sao cho chúng i x ng nhau qua tâm M(–1; 3). Hư ng d n gi i: G i A ( x0 ; y0 ) , B là i m i x ng v i A qua i m M (−1;3) ⇒ B ( −2 − x0 ;6 − y0 )  y = − x 3 + 3x + 2  0 0 A, B ∈ (C ) ⇔  0 3 6 − y0 = −(−2 − x 0 ) + 3(−2 − x0 ) + 2  3 2 ⇔ 6 = − x 0 + 3 x0 + 2 − ( −2 − x0 ) + 3 ( −2 − x0 ) + 2 ⇔ 6 x 0 + 12 x0 + 6 = 0 ⇔ x0 = −1 ⇒ y0 = 0 3 V y 2 i m c n tìm là: (−1; 0) và (−1;6) Ví d 2: [ VH]. Cho hàm s Tìm trên y=− x3 11 + x 2 + 3x − . 3 3 th (C) hai i m phân bi t M, N i x ng nhau qua tr c tung. Hư ng d n gi i:  x2 = − x1 ≠ 0   y1 = y2  Hai i m M ( x1; y1 ), N ( x2 ; y2 ) ∈ (C ) i x ng nhau qua Oy ⇔   x2 = − x1 ≠ 0  x1 = 3  x1 = −3   3 ⇔  x3 2  1 x2 11 11 ⇔  x = −3 ho c  x = 3 3  2  2    − + x1 + 3 x1 − = − + x2 + 3 x 2 − 3 3 3  3 Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y NG VI T HÙNG  16   16   , N  −3;  . 3  3  Facebook: LyHung95 V y hai i m thu c th (C) và i x ng qua Oy là: M  3; Ví d 3: [ VH]. Cho hàm s y = − x 3 + 3 x + 2 (C). Tìm trên (C) hai i m i x ng nhau qua ư ng th ng d: 2 x − y + 2 = 0 . Hư ng d n gi i: G i M ( x1; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) thu c (C) là hai i m i x ng qua ư ng th ng d I là trung i m c a AB nên I   x1 + x2 y1 + y2  ;  , ta có I ∈ d 2   2 3 3 − x1 + 3 x1 + 2 + − x2 + 3 x2 + 2 y1 + y2 x +x Ta có = = 2. 1 2 + 2 2 2 2 x + x = 0 3 ⇒ − ( x1 + x2 ) + 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) + 3 ( x1 + x2 ) = 2 ( x1 + x2 ) ⇒  1 2 2 2  x1 − x1x2 + x2 = 1  ( ) ( ) M t khác: MN ⊥ d ⇒ ( x2 − x1 ) .1 + ( y2 − y1 ) .2 = 0 2 2 2 2 ⇒ 7 ( x2 − x1 ) − 2 ( x2 − x1 ) x1 + x1 x2 + x2 = 0 ⇒ x1 + x1 x2 + x2 = ( ) 7 2 7 7 ; x2 = 2 2  2 9 2 2  2  x + x2 = 4  x1 − x1x2 + x2 = 1  1 - Xét  2 ⇒ vô nghi m 7⇔ 2  x1 + x1 x2 + x2 = x x = 5  2  1 2 4  - Xét x1 + x2 = 0 ⇒ x1 = ± V y 2 i m c n tìm là:   7 1 7  7 1 7 ;2 −  ;  − ;2 +   2   2 2  2 2 2   1 3 5 3 Ví d 4: [ VH]. Cho hàm s y = x 3 + x 2 − 3 x + . G i A, B là các giao i m c a (C) v i tr c Ox. Ch ng minh r ng trên o n AB dư i m t góc vuông. Hư ng d n gi i: PT hoành giao i m c a (C) v i tr c hoành:   1 3 5 3 th (C) t n t i hai i m cùng nhìn 1 3 5 x = 1 x + x 2 − 3x + = 0 ⇔  3 3  x = −5 ⇒ A(−5;0), B(1;0) . G i M  a; a3 + a2 − 3a +  ∈ (C ), M ≠ A, B ⇒ AM =  a + 5; a3 + a2 − 3a +  , BM =  a − 1; a3 + a2 − 3a +  1 AM ⊥ BM ⇔ AM .BM = 0 ⇔ (a + 5)(a − 1) + (a + 5)2 (a − 1)4 = 0 9 1 ⇔ 1 + (a − 1)3 (a + 5) = 0 ⇔ a4 + 2a3 − 12a2 + 14a + 4 = 0 (*) 9   1 3 5 3   1 3 5 3 t y = a4 + 2a3 − 12a2 + 14a + 4 = 0 , có t p xác nh D = R. 7 2043 y′ = 4a3 + 6a2 − 12a + 14 ; y′ = 0 có 1 nghi m th c a0 ≈ − ⇒ y0 ≈ − 2 16 D a vào BBT ta suy ra (*) luôn có 2 nghi m khác 1 và –5. V y luôn t n t i 2 i m thu c (C) cùng nhìn o n AB dư i m t góc vuông. Ví d 5: [ VH]. Cho hàm s y = x 4 − 2 x 2 + 1 . Tìm to hai i m P, Q thu c (C) sao cho ư ng th ng PQ song song v i tr c hoành và kho ng cách t i m c c i c a (C) n ư ng th ng PQ b ng 8. Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 Hư ng d n gi i: i m c c i c a (C) là A(0;1) . PT ư ng th ng PQ có d ng: y = m (m ≥ 0) . Vì d ( A, PQ) = 8 nên m = 9 . Khi ó hoành các i m P, Q là nghi m c a phương trình: x 4 − 2 x 2 − 8 = 0 ⇔ x = ±2 . V y: P(−2;9), Q(2;9) ho c P(2;9), Q(−2;9) . Ví d 6: [ VH]. Cho hàm s y = x 4 + mx 2 − m − 1 (Cm). Ch ng minh r ng khi m thay i thì (Cm) luôn luôn i qua hai i m c t i A và B vuông góc v i nhau. Hư ng d n gi i: Hai i m c nh A(1; 0), B(–1; 0). Ta có: y′ = 4 x 3 + 2mx . nh A, B. Tìm m các ti p tuy n 3 5 Các ti p tuy n t i A và B vuông góc v i nhau ⇔ y′ (1).y′ (−1) = −1 ⇔ (4 + 2m)2 = 1 ⇔ m = − ; m = − . 2 2 Ví d 7: [ VH]. Cho hàm s y = Tìm nh ng i m trên x+2 . 2x −1 th (C) cách u hai i m A(2; 0) và B(0; 2). Hư ng d n gi i: là nghi m c a PT: PT ư ng trung tr c an AB: y = x . Nh ng i m thu c th cách u A và B có hoành x+2 1− 5 1+ 5 = x ⇔ x2 − x − 1 = 0 ⇔ x = ;x= 2x −1 2 2 1− 5 1− 5  1+ 5 1+ 5  Hai i m c n tìm là:  , , ;   2   2   2 2    Ví d 8: [ VH]. Cho hàm s y = Tìm các i m thu c (C) cách G i M ( x; y) ∈ (C) và cách 3x − 4 (C). x −2 u 2 ti m c n. Hư ng d n gi i: u 2 ti m c n x = 2 và y = 3. 3x − 4 x x x = 1 −2 ⇔ x −2 = ⇔ = ±( x − 2) ⇔  x −2 x −2 x −2 x = 4 2x + 1 x +1 Ta có: x − 2 = y − 3 ⇔ x − 2 = V y có 2 i m tho mãn bài là : M1( 1; 1) và M2(4; 6) (C). n hai ti m c n c a (C) nh nh t. Hư ng d n gi i: Ví d 9: [ VH]. Cho hàm s y = Tìm trên (C) nh ng i m có t ng kho ng cách G i M ( x0 ; y0 ) ∈ (C), ( x0 ≠ −1 ) thì y0 = 2 x0 + 1 1 =2− x0 + 1 x0 + 1 1 x0 + 1 G i A, B l n lư t là hình chi u c a M trên TC và TCN thì: MA = x0 + 1 , MB = y0 − 2 = Áp d ng B T Cô-si ta có: MA + MB ≥ 2 MA.MB = 2 x0 + 1 . ⇒ MA + MB nh nh t b ng 2 khi x0 + 1 = 2x −1 . x +1 1 =2 x0 + 1 x = 0 1 ⇔ 0 . x0 + 1  x0 = −2 V y ta có hai i m c n tìm là (0; 1) và (–2; 3). Ví d 10: [ VH]. Cho hàm s y = Tìm t a i m M ∈ (C) sao cho kho ng cách t i m I(−1; 2) t i ti p tuy n c a (C) t i M là l n nh t. t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y  3  NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 Hư ng d n gi i: Gi s M  x0 ; 2 −  ∈ (C ) . PTTT ∆ c a (C) t i M là:   x0 + 1   y−2+ 3 3 = ( x − x0 ) ⇔ 3( x − x0 ) − ( x 0 + 1)2 ( y − 2) − 3( x0 + 1) = 0 2 x 0 + 1 ( x + 1) 0 3(−1 − x0 ) − 3( x 0 + 1) 9 + ( x 0 + 1) 4 Kho ng cách t I(−1;2) t i ti p tuy n ∆ là: d = = 6 x0 + 1 9 + ( x0 + 1)4 = 6 9 ( x 0 + 1)2 + ( x0 + 1) 2 . Theo B T Cô–si: 9 ( x0 + 1) 2 + ( x0 + 1)2 ≥ 2 9 = 6 ⇒ d ≤ 6 . 6 khi 9 ( x0 + 1) 2 Kho ng cách d l n nh t b ng = ( x0 + 1)2 ⇔ ( x0 + 1)2 = 3 ⇔ x 0 = −1 ± 3 . V y có hai i m c n tìm là: M ( −1 + 3 ;2 − 3 ) ho c M ( −1 − 3 ;2 + 3 ) Ví d 11: [ VH]. Cho hàm s Tìm trên (C) hai i m y= 2x − 4 . x +1 i x ng nhau qua ư ng th ng MN bi t M(–3; 0) và N(–1; –1). Hư ng d n gi i: MN = (2; −1) ⇒ Phương trình MN: x + 2 y + 3 = 0 . Phương trình ư ng th ng (d) ⊥ MN có d ng: y = 2 x + m . Phương trình hoành giao i m c a (C) và (d): 2x − 4 = 2 x + m ⇔ 2 x 2 + mx + m + 4 = 0 ( x ≠ −1) x +1 (1) (d) c t (C) t i hai i m phân bi t A, B ⇔ ∆ = m 2 − 8m − 32 > 0 (2) Khi ó A( x1;2 x1 + m), B( x2 ;2 x2 + m) v i x1, x2 là các nghi m c a (1)   m m ; x1 + x2 + m  ≡ I  − ;  (theo  2   4 2 A, B i x ng nhau qua MN ⇔ I ∈ MN ⇔ m = −4  Suy ra (1) ⇔ 2 x 2 − 4 x = 0 ⇔  x = 0 ⇒ A(0; –4), B(2; 0). x = 2 Trung i m c a AB là I   x1 + x2 nh lý Vi-et) Ví d 12: [ VH]. Cho hàm s y = Tìm trên 2x x −1 . nh A v i A(2; 0). th (C) hai i m B, C thu c hai nhánh sao cho tam giác ABC vuông cân t i Hư ng d n gi i: 2 x −1 Ta có (C ) : y = 2 + . G i B  b;2 +    2   , C  c;2 +  v i b 0, b > 0 ) là 2 i m thu c 2 nhánh c a (C) a  b  2 2 1 1   16  16  64 AB = (a + b) + 16  +  = (a + b)2 1 + ≥ 4ab 1 + = 4ab + ≥ 32 2 2 2 2 ab a b  a b   a b  AB nh nh t ⇔ AB = 4 2 ⇔  Khi ó: A ( −1 − 4 4;1 + 4 64 ) , B ( −1 + 4 4;1 − 4 64 ) . Ví d 14: [ VH]. Cho hàm s y= −x + 1 . x −2 a = b a = b  ⇔a=b=44 16 ⇔  4 4ab = a = 4  ab  Tìm trên th (C), các i m A, B sao cho th ng d : y = x . dài o n AB b ng 4 và ư ng th ng AB vuông góc v i ư ng Hư ng d n gi i: PT ư ng th ng AB có d ng: y = − x + m . PT hoành giao i m c a (C) và AB: −x + 1 = − x + m ⇔ g( x ) = x 2 − (m + 3) x + 2m + 1 = 0 (1) ( x ≠ 2) x −2 ∆ > 0 có 2 i m A, B thì (1) ph i có 2 nghi m phân bi t khác 2 ⇔  g  g(2) ≠ 0 2  ⇔ (m + 3) − 4(2m + 1) > 0 ⇔ ∀m . 4 − (m + 3).2 + 2m + 1 ≠ 0 x + x = m + 3 Ta có:  A B . M t khác y A = − x A + m; yB = − xB + m  x A .x B = 2 m + 1  Do ó: AB = 4 ⇔ ( xB − x A )2 + ( yB − y A )2 = 16 ⇔ m 2 − 2m − 3 = 0 ⇔  m = −1 . m = 3  + V i m = 3 , thay vào (1) ta ư c: x 2 − 6 x + 7 = 0 ⇔  x = 3 + 2 ⇒ y = − 2 x = 3 − 2 ⇒ y = 2 ⇒ A(3 + 2; − 2), B(3 − 2; 2) ho c A(3 − 2; 2), B(3 + 2; − 2)  + V i m = −1 , thay vào (1) ta ư c: x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔  x = 1 + 2 ⇒ y = −2 − 2  x = 1 − 2 ⇒ y = −2 + 2 ⇒ A(1 + 2; −2 − 2); B(1 − 2; −2 + 2) ho c A(1 − 2; −2 + 2); B(1 + 2; −2 − 2) Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015!