Phân tích dao động tự do của thanh có xét đến biến dạng trượt ngang bằng phương pháp chuyển vị cưỡng bức - lời giải số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

38
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài viết này, tác giả cũng dùng phương pháp chuyển vị cưỡng bức nêu trên, kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn để xây dựng và giải bài toán dao động tự do của thanh có xét đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang theo lời giải số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phân tích dao động tự do của thanh có xét đến biến dạng trượt ngang bằng phương pháp chuyển vị cưỡng bức - lời giải số

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC nNgày nhận bài: 27/8/2021 nNgày sửa bài: 12/9/2021 nNgày chấp nhận đăng: 25/9/2021 Phân tích dao động tự do của thanh có xét đến biến dạng trượt ngang bằng phương pháp chuyển vị cưỡng bức - lời giải số Analysis of bar's free vibration with considering lateral shear strain by forced displacement method - numerical solution > A.PROF.PHD DOAN VAN DUAN Faculty of Engineering - Vietnam Maritime University Email: duandv.ct@vimaru.edu.vn - Tel: 0945 092348 TÓM TẮT: ABSTRACT Phương trình dao động tự do của thanh là phương trình trị riêng, The equation of free vibration of the bar is an eigenvalue equation, có vế phải bằng không, để giải phương trình này các tác giả trong with the right side equals zero, to solve this equation domestic và ngoài nước đã sử dụng các phương pháp truyền thống là đưa and foreign authors have used the traditional methods to bring ma trận hệ số của phương trình dao động tự do của thanh về dạng the coefficient matrix of the equation of free vibration of the bar đường chéo hoặc dạng ma trận băng, dải dọc theo đường chéo to diagonal or band matrix form, strip along the main diagonal by chính bằng các thuật toán khác nhau, như thuật toán Jacobi [4], different algorithms, such as Jacobi algorithm [4], LR [4], [5], LR [4], [5], QR[5], không gian con [5]....rất phức tạp, để lấy tích QR[5], subspace [5].... is very complicated, to get the product of của số hạng đó cho ta phương trình đa thức đặc trưng để xác định that term gives us the characteristic polynomial equation to các trị riêng. Vì vậy, để đơn giản hóa việc giải các bài toán, trong determine the eigenvalues. Therefore, to simplify in solving the bài báo này tác giả sử dụng một phương pháp mới trong [2], [3] problems in this paper, the author uses a new method in [2], [3] “Phương pháp chuyển vị cưỡng bức” để tìm trị riêng và véc tơ "Forced displacement method" to find eigenvalues and riêng của các bài toán theo lời giải số. eigenvectors of problems according to numerical solutions. Từ khóa: chuyển vị cưỡng bức; dao động; trị riêng, véc tơ riêng. Keywords: forced displacement; oscillate; eigenvalues, eigenvectors. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ xây dựng và giải bài toán dao động tự do của thanh có xét đến ảnh Các phương pháp [4], [5] mặc dù phải biến đổi ma trận phức hưởng của biến dạng trượt ngang theo lời giải số. tạp nhưng đôi khi cho lời giải không đủ tin cậy vì độ hội tụ của bài toán còn phụ thuộc vào tính chất của ma trận, đối xứng hay không 2. BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA THANH CÓ XÉT ĐẾN đối xứng, xác định dương hay không xác định dương... Khác với BIẾN DẠNG TRƯỢT NGANG các phương pháp truyền thống, phương pháp chuyển vị cưỡng Xét thanh thẳng, có tiết diện bức có cách nhìn đơn giản, dễ hiểu, bằng cách kích chuyển vị tại không đổi, có khối lượng m phân một điểm bất kỳ trên thanh cho phép ta đưa phương trình trị riêng bố đều trên thanh. Khi có chuyển của thanh dao động tự do về phương trình vi phân có vế phải, giải vị ngang, thì ngoài nội lực M và Q, phương trình này ta nhận được ngay các tần số dao động của còn phải xét đến lực quán tính f m . thanh mà không cần thông qua các phép biến đổi ma trận phức Lực quán tính f m bằng tích của tạp. Trong [2], [3] tác giả đã sử dụng phương pháp chuyển vị cưỡng bức để giải các bài toán trị riêng nói trên, theo lời giải bán khối lượng với gia tốc của chuyển giải tích. động và có phương tác dụng là Trong bài báo này, tác giả cũng dùng phương pháp chuyển vị phương của chuyển động cưỡng bức nêu trên, kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn để (phương của độ võng) của thanh. Hình 1. Thanh ngàm -Tự do 42 10.2021 ISSN 2734-9888
Như vậy, lực quán tính có tác dụng giống như lực ngang, trong trường Hai hàm y  y ( x ) và Q  Q ( x ) đều là hàm của tọa độ x. Hệ (7) hợp này là lực ngang phân bố, đặt tại trục thanh. Nếu khối lượng m không phụ thuộc vào biến t, là hệ hai phương trình vi phân tuyến phân bố trên chiều cao của tiết diện thanh thì do tiết diện thanh bị tính có hệ số không đổi. Khi không xét biến dạng trượt, cho G xoay, còn có lực quán tính xoay của tiết diện thanh. Để đơn giản   hoặc cho h  0 thì hai phương trình đầu của hệ (7) và của nghiên cứu, ta không xét lực quán tính xoay này. hệ (3.7a) trở thành phương trình dao động của thanh theo lý Với nguyên lý D’Alambert, xem lực quán tính f m như là ngoại thuyết dầm Euler-Bernoulli, giải phương trình này tìm được độ lực cản tác dụng lên thanh, và vì lực quán tính là hàm của thời gian võng y rồi dùng phương trình thứ hai để tính Q. nên hàm độ võng và các hàm nội lực trong thanh đều là hàm của Phương pháp chung để giải hệ (7) là giải hai phương trình đặc tọa độ và thời gian: W  W ( x , t ) là hàm độ võng, M  M ( x , t ) là trưng của chúng và xây dựng nghiệm y và Q trên cơ sở các nghiệm hàm momen uốn, V  V ( x , t ) là hàm lực cắt. (trị riêng) của các phương trình đặc trưng. Tuy nhiên, ta sẽ dùng Lực quán tính của thanh được tính như sau phương pháp chuyển vị cưỡng bức để giải. 2W fm  m 2 (1) 3. PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ CƯỠNG BỨC t Khi xây dựng bài toán theo phương pháp nguyên lý cực trị Xem lực quán tính f m như là ngoại lực cản phân bố tác dụng Gauss, có thể dùng các đại lượng biến phân (chuyển vị ảo và biến lên thanh, viết ngay được hai phương trình vi phân cân bằng dạng ảo) không phụ thuộc thời gian 2M   y    fm  0 (a )   x  Q;  x   x  x 2  GF x  (2)  M  2 y  Q   V 0 ( b)   x  2   (8) x  x GF x  Khi xét biến dạng trượt trong thanh, biến dạng trượt , góc  M x EJ X  xoay do momen uốn , biến dạng uốn  và nội lực momen xác   định theo các biểu thức sau: Kí tự x ở chân các đại lượng để chỉ rằng đại lượng chỉ phụ  W  thuộc x.   V;      GF x Bài toán dao động tự do của thanh được dẫn về bài toán tìm   2 W  V  cực tiểu của lượng cưỡng bức chuyển động tại một thời điểm t bất    (3) kì: x 2 GF x  Z  M x dx   V x dx   f m ydx  min l l l  M  EJ   (9)  0 0 0  Đại lượng trong ngoặc vuông của phiếm hàm (9) là đại lượng Đưa các biểu thức (1) và (3) vào (2) nhận được biến phân.  4W   3V  2W  Từ điều kiện cực tiểu EJ    3   m  0 (a )   x GF x  t  Mdx   V dx   f m W dx  4 2 l l l  Z  0 (10)  (4)  W   V 0 0 0  3 2 EJ     V  0 ( b ) và dùng phép tính biến phân sẽ nhận được lại hai phương  x 3 GF x 2    trình (6) và vì bài toán tuyến tính theo t nên lại có hệ (7). Nghiệm của hệ (4) có thể viết dưới dạng Như vậy, bài toán dao động tự do của thanh bằng cách dùng W ( x , t )  y ( x ) cos(  t ) y cos( t )  biến đổi (5) dẫn về giải hệ (7) là hệ không chứa biến t. Nghiệm  (5) y  0 (nghiệm không tầm thường) của hệ (7) tùy thuộc vào các V ( x , t )  Q( x ) cos( t ) Q cos( t )  thông số m, EJ,  và chiều dài thanh. Thông thường, các thông số Khi đó hệ (3.4) có dạng m, EJ và chiều dài thanh đã biết nên tần số là hàm của các đại  d4y  d 3Q    EJ ( 4  )  m2 y  cos(t )  0 lượng này. 3  dx GF dx   Sử dụng các đại lượng không chứa biến thời gian t, bài toán (9)  (6)   d 2Q  có dạng  3 d y  EJ ( 3   )  Q  cos(t ) 0  Z  M x  x dx   Q x dx   f x ydx  min l l l  dx GF dx 2    (11) 0 0 0 Vì thành phần trong ngoặc không phụ thuộc t nên hệ (6) được Ở đây M x EJ x ,   f x m2 y (12) giản hóa như sau Để giải bài toán (3.11) ta dùng phương pháp chuyển vị cưỡng d4y  d 3Q  EJ ( 4  )  m 2 y  0  bức bằng cách cho một điểm nào đó của thanh, ví dụ điểm x1 , dx GF dx 3  (7)  chuyển vị cưỡng bức y0. d 3y  d 2Q  g y( x 1 )  y 0 0 (13) EJ ( 3  )Q  0  1 dx GF dx 2 Bài toán cực tiểu (11) với ràng buộc (13) là bài toán tĩnh tính Hay thanh chịu chuyển vị cưỡng bức tại điểm x1, có ẩn là tần số  cho d 4 y h 2 d 3 Q  nên có thể được gọi là bài toán dao động tự do của thanh. Viết EJ   m2 y  0  dx 4 6 dx 3  phiếm hàm Lagrange mở rộng F của (11) và (13), ta có điều kiện  (7a) d 3 y h 2 d 2 Q cực trị EJ 3  Q  0  dx 6 dx 2  ISSN 2734-9888 10.2021 43
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC l  d 2 y  dQ l    Có thể chọn phần tử hai nút, mỗi nút có hai thông số là chuyển vị F  M x  2  dx   Q Qdx W và góc xoay  tại nút đó, hình 2. 0  dx GF dx  0  GF  (14)   W1 1 W2  2   f x ydx  g1  0 l  0 0  trong (3.14) là thừa số Lagrange và là ẩn mới của bài toán. Từ -1 1 (3.14) nhận được hai phương trình cân bằng (hai phương trình Hình 2. Phần tử chuyển vị hai nút Euler) : Để tính toán được tổng quát, chiều dài phần tử lấy bằng hai  d4y  d 3Q  x1  đơn vị, gốc tọa độ đặt ở giữa. Như vậy, nếu biết được các thông số  , x  EJ  4    m 2 y   3   W1,W2, 1, 2 thì chuyển vị mỗi điểm nằm trong phần tử xác định  dx GF dx   0, x  x 1   (15) theo đa thức bậc ba sau đây.  d 3y  d 2Q   W( x ) f1W1  f 2 W2  f 31  f 32 (18)  EJ  3   Q  0  dx GF dx 2    trong đó: cùng với phương trình (13). Hệ phương trình (15) có vế phải là 1 1  f1  ( x  1) 2 ( x  2); f 2  ( x  1) 2 (  x  2)  . 4 4   Xét về cơ học,  có thứ nguyên là lực và đó là lực giữ để 1 1 f 3  ( x  1) ( x  1); f 4  ( x  1) ( x  1)  2 2 chuyển vị tại điểm x=x1 của thanh bằng chuyển vị cưỡng bức y0 4 4  (phương trình (13)). Lực giữ do ta đưa vào nên phải bằng không. Ta dùng đa thức bậc nhất để xấp xỉ hàm lực cắt của phần tử, phần Về toán học thì phương trình dao động là phương trình không có tử lực cắt chứa hai nút, hình 3, mỗi nút có một thông số chưa biết Qi là vế phải (hệ (3.7)) cho nên  cũng phải bằng không. Vì vậy ta có lực cắt phần tử tại vị trí đó.  0 (16) Q1 Q2 Nghiệm của phương trình (3.16) cũng là nghiệm của vế trái (3.15) hoặc của hệ (7). Như vậy, phương trình (16) là phương trình 0 đa thức xác định trị riêng, khi các hàm y(x) và Q(x) thỏa mãn các -1 1 điều kiện biên thì nó là phương trình đa thức xác định tần số riêng Hình 3. Phần tử lực cắt hai nút của dao động tự do của thanh. Trong trường hợp này  là hàm Chiều dài phần tử lấy bằng hai đơn vị, gốc tọa độ đặt ở giữa của  ,    () . phần tử. Nếu biết các lực cắt Q1, Q2, tại hai nút thì lực cắt V tại điểm bất kỳ của phần tử tính theo công thức. Bài toán dao động tự do của thanh được đưa về bài toán (11) V( x ) f5Q1  f 6Q 2 (19) với ràng buộc (13) và sẽ được giải trực tiếp trên phiếm hàm Lagrange mở rộng để tìm được hàm  () , giải phương trình (16) trong đó: sẽ nhận được các tần số riêng, tương tự như bài toán xác định lực 1 1 f 5  (1  x ); f 3  (1  x ) tới hạn của thanh [4]. Chú ý,  là thừa số Lagrange của ràng buộc 2 2 (13). Như vậy, mỗi phần tử có hai chuyển vị nút W1, W2 hai góc xoay Ta đang xét trường hợp khối lượng phân bố đều trên thanh. 1, 2 và hai lực cắt nút Q1, Q2, tổng cộng có sáu thông số (6 ẩn) cần Bài toán có vô số bậc tự do nên có vô số tần số riêng. Chúng tạo xác định. thành dải tần số riêng dao động của thanh có biên dưới là tần số cơ Gọi X là véc tơ cột chứa sáu ẩn của phần tử theo thứ tự sau. bản và biên trên là vô cùng lớn,    . Các thanh có liên kết khác X  W1 W2 1  2 Q1 Q 2  T (20) nhau sẽ dao động với tần số riêng khác nhau. Tần số riêng dao thì có thể viết lại các biểu thức (10) và (11) dưới dạng ma trận động tự do của thanh có các điều kiện liên kết khác nhau được tính như sau. theo phương pháp chuyển vị cưỡng bức được trình bày dưới đây. W( x )  f1 f 2 f 3 f 4 0 0X (21) 4. BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA THANH - LỜI GIẢI SỐ V( x )  0 0 0 0 f 5 f 6  X 4.1. Phương pháp phần tử hữu hạn Sau khi đã biết các hàm chuyển vị và hàm lực cắt thì dễ dàng Phương pháp phần tử hữu hạn chia công trình thành những tính được biến dạng uốn  x , nội lực mômen M x , biến dạng trượt phần nhỏ được gọi là các phần tử, tính toán công trình được dẫn  x , góc xoay  (do mômen gây ra) của phần tử như sau. về tính toán những phần tử nhỏ sau đó kết nối các phần tử đó lại với nhau ta lại được lời giải của một công trình hoàn chỉnh.  d 2 W 2  dV   x     (22) Thông thường đối với phần tử dầm chịu uốn thì dùng đa thức  dx 2 GF dx  bậc 3 để mô tả chuyển vị.  M x EJ x (23)  y a 0  a 1x  a 2 x 2  a 3 x 3 (17)  Ta thấy có 4 thông số cần xác định. Tuy nhiên để tiện dùng ta  x  0 0 0 0 f 5 f 6 X (24) GF thay 4 thông số a0 , a1, a2, a3 bằng chuyển vị, góc xoay của phần tử hai nút như, hình 2.  dW       V (25) Do dùng hàm bậc 3 cho nên các lực tác dụng lên phần tử đều  dx GF  phải quy về nút kể cả lực quán tính trong bài toán động. Trong các công thức trên   2 là hệ số đưa chiều dài hai a. Hàm nội suy phần tử chịu uốn x Đối với phần tử chịu uốn như thanh thường dùng đa thức bậc đơn vị của phần tử về chiều dài thật x của nó. ba để tính chuyển vị của nó, do đó có bốn thông số cần xác định. b. Ma trận độ cứng phần tử 44 10.2021 ISSN 2734-9888
Biết được hàm độ võng, hàm lực cắt của phần tử thì dễ dàng Biết được ma trận độ cứng phần tử thì dễ dàng xây dựng được tính được ma trận độ cứng phần tử. Theo phương pháp nghuyên ma trận độ cứng tổng thể của thanh. Giả sử thanh chỉ có một phần lý cực trị Gauss ta viết lượng cưỡng bức đối với bài toán tĩnh như tử thì ma trận [ae] chính là ma trận độ cứng tổng thể của thanh. sau. Giả sử chuyển vị tại nút (1) bằng không thì ta bỏ dòng 1 cột 1 của ma trận [ae], giả sử lực cắt Q2=0 thì ta bỏ dòng 6 cột 6 của [Ae] bởi Z   M x  x dx   V x dx  Min 1 1 (26) 1 1 vì chúng ta không có hai ẩn này.  x và  x là các biểu thức chứa các ẩn X(i) cho nên điều kiện 4.2. Ví dụ tính toán Để ngắn gọn, dễ hiểu trong trình bày mà không làm mất đi dừng của (26) được viết lại như sau. tính tổng quát của bài toán, tác giả trình bày lời giải số của bài Z  M x  x dx   V x dx  1 1 0 hay toán dao động tự do của thanh bằng cách kết hợp phương pháp 1 1 phần tử hữu hạn và phương pháp chuyển vị cưỡng bức thông qua 1   x   các ví dụ cụ thể sau:   Mx  dx  x  1  X(i)   Thanh đầu ngàm - đầu tự do A e  Z   0 (27) Cho thanh thẳng đầu ngàm - đầu tự do, chiều dài thanh L, có 2  1   x     1V  X(i) dx  khối lượng phân bố đều trên suốt chiều dài thanh, thanh có độ     cứng uốn EJ=const, hình 4a. Xác định tần số dao động riêng và X(i) với (i=16) lần lượt là các ẩn chuyển vị, góc xoay và lực cắt dạng dao động riêng của thanh. (W1, W2, 1, 2, Q1, Q2) tại hai đầu phần tử, theo (20) được viết lại như sau: X e   W1 W2 1  2 Q1 Q 2  T Hệ số x/2 để đưa tích phân từ (-1) đến (1) về tích phân theo 2 3 0 1 chiều dài phần tử. Ứng với mỗi (i) ta được một hàng 6 cột, lần lượt cho i chạy từ 1 đến 6 và tính (27) ta nhận được ma trận độ cứng phần tử [ae] có kích thước (6x6), như sau: ae  1 2 3 4 5 6  12 EJ 12EJ 6EJ 6EJ   L 3  3 L L 2 L2 0 0  1    12EJ 12 EJ 6EJ 6EJ 0  2   L3  2  2 1 0 0 2 4 L3 L L   W   6EJ 6EJ 4 EJ 2 EJ  0.2 *  0.2 *  3 (28)  2  2    4  L  4 L  10   L L L L 10       Hình 4. Thanh đầu ngàm - đầu tự do  6 EJ 6 EJ 2 EJ 4 EJ  0.2 *  0.2 *  4  2   4 L    4  L   L2 L L L 10      10    a. Ẩn số của bài toán và cách đánh số ẩn  0.2 *  0.2 *  0.667  L3  0.333  L3  5  0   4 L    4 L      0 10  10   * 10 5  EJ  * 10 5  EJ  Đánh số ẩn theo thứ tự từ trái sang phải đối với dầm, từ dưới           lên trên đối với cột, theo các ẩn như sau:  0.2 *  0.2 *  0.333  L3  0.667  L3  6   0 0    4  L 10   4 L 10       * 10 5  EJ      * 10 5  EJ     X  W1 W2 1  2 Q1 Q 2  T (a)  Nguyên tắc đánh số ẩn là: tại nút nào của phần tử có chuyển vị Các tích phân trong (19) có thể tính chính xác hoặc tính theo thẳng W bằng không (nút tại ngàm, tại gối tựa ..) thì đánh số ẩn là các tích phân gần đúng (tích phân số) của Gauss. Sau khi tính, “0”, tại nút nào có lực cắt Q bằng không (nút tại đầu tự do) thì cũng nhận được ma trận [ae](6x6) theo (28). đánh số ẩn là “0”, các nút còn lại đánh số ẩn từ 1n (với n là tổng số Ma trận [ae] gọi là ma trận độ cứng phần tử, L là độ dài một ẩn của bài toán). phần tử. Bởi vì hàm độ võng của phần tử là đa thức bậc ba nên các Với bài toán trên hình 4, nếu xem cả thanh là một phần tử thì lực tác dụng, lực quán tính của các phần tử đều phải phân bổ về số ẩn được đánh như hình 4c, d, e. nút của nó. Theo hình 4b, tại nút (1) chân ngàm có chuyển vị thẳng bằng Có sáu ẩn ta có được sáu phương trình và có dạng sau. không, ta đánh W(1)=0, tại nút (2) đầu tự do của phần tử có lực cắt A e X e   Be  (29) bằng không, ta đánh Q(2)=0, các ẩn khác không ta đánh theo thứ Trong đó: tự từ 14, cụ thể là W(2)=1, (1)=2, (2)=3 và Q(1)=4. Như vậy, bài - B e  là véc tơ lực nút phần tử (đối với bài toán tĩnh), nếu như toán có tổng số ẩn là 4, được sắp đặt từ trái sang phải như sau: tại nút (1) có lực tác dụng P thì vế phải B(1)=P... X W2 1  2 Q1  1 T 2 3 4 T (b) - B e   0 là véc tơ “0” (đối với bài toán dao động tự do), nếu b. Ma trận độ cứng phần tử khối lượng m đặt tại nút (1) (phần tử chuyển vị) và lực quán tính Từ ma trận độ cứng phần tử chung [ae] theo (28), ta bỏ hàng 1 fm=m2W1 thì thành phần này được đưa vào ma trận ae tại vị trí cột 1 và hàng 6 cột 6 (vì W(1)=0, Q(2)=0), cuối cùng ta nhận được sau: ae(1,1)=m2. ma trận độ cứng phần tử ae1 như sau: Thông thường, ta sẽ đưa các lực quán tính vào ma trận tổng thể của thanh. ISSN 2734-9888 10.2021 45
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC 1 2 3 4 1 2 3 4  12 EJ 6 EJ 6EJ  1  12 EJ 6EJ 6 EJ  1  x 3   0   x 3  2  2 0  x 2 x 2 x x      6EJ 4 EJ 2 EJ  0.2 *   6EJ 4 EJ 2 EJ  0.2 *   2    4  L  2 (c)  2    4 L  2 (d)  L L L  10    L L L  10   ae1    0.2 *  A   6EJ  0.2 *    6EJ 2 EJ 4 EJ  L  3  2 EJ 4 EJ  L  3  L2 L L  4    L2 L L  4    10    10     0.2 *  0.2 *  0.667  L 3   0.2 *  0.2 *  0.667  L 3      4  L        4  L    0  10  4  L  * 10 5  EJ  4  0  10 4  L  * 10 5  EJ  4   10       10     c. Ma trận độ cứng tổng thể Thuật toán lắp lắp ghép ma trận độ cứng tổng thể như sau: Chú ý ngoài các ẩn chuyển vị, góc xoay, lực cắt của thanh còn Bước 1: Từ ma trận độ cứng phần tử [ae(6x6)] chung, đánh số phải xét thêm các ẩn là các thừa số Lagrange  của các điều kiện mã theo số ẩn của từng phần tử thứ i (i=1n) theo nguyên tắc từ liên kết ở hai đầu thanh. trái sang phải, từ trên xuống dưới, từ bé đến lớn. Trong bài này, ta còn thêm hai ẩn 1, 2 là hai thừa số Lagrange Bước 2: Trong [ae] chung (28), ta tiến hành xóa hàng, cột liên ứng với hai điều kiện ràng buộc là góc xoay tại ngàm chân thanh quan đến ẩn có số mã bằng “0” (nếu có) của phần tử (1), phần còn bằng không và chuyển vị cưỡng bức tại đầu tự do của thanh bằng lại (không bị xóa) chính là ma trận độ cứng của phần tử (1). y0. Cụ thể như sau: Bước 3: Coi như chưa xóa hàng cột theo Bước 2, từ [ae] chung  dW   g 1   1   V 0 GF  phantu (1) tai x 1 ban đầu ta xóa hàng, cột liên quan đến ẩn có số mã bằng “0” (nếu có) của phần tử (2), phần còn lại chính là ma trận độ cứng của  dx phần tử (2). Các phần tử tiếp theo làm tương tự. Cuối cùng ta nhận g 2  2 y( npt,2)  y0 0 (e) được các ma trận độ cứng phần tử [ae](i) (i=1n). Như vậy, ma trận độ cứng tổng thể [A] sẽ được mở rộng thêm Bước 4: Tạo ma trận [0] tổng thể [A(0)] có kích thước là tổng số hai hàng, hai cột như sau: ẩn của bài toán. A  Bước 5: Lần lượt lấy các số hạng trong từng ma trận độ cứng 1 2 3 4 5 6 phần tử đã tìm ở bước 3 đặt vào vị trí có số mã hàng (i), cột (j)  12 EJ   tương ứng trong ma trận độ cứng tổng thể [A(0)] . Nếu tại cùng  3     L  6EJ 6EJ một vị trí có nhiều số hạng xếp chồng lên nhau (cùng i, j) thì được   0 0 1 1  1 2  L2 L2  cộng dồn lại với nhau. Cuối cùng ta thu dược ma trận độ cứng  2 EJk1 L      tổng thể của toàn hệ [A].   0.2 *    2 6EJ 4 EJ 2 EJ    4  L 0  2 (f) Xem toàn bộ thanh là một phần tử, gồm hai nút, nút 1 tại chân  L L L 1  10  ngàm của thanh, nút hai tại đầu tự do của thanh, các ẩn chuyển vị    6EJ 2 EJ 4 EJ  0.2 *  W, góc xoay , và lực cắt Q tại hai đầu thanh, như hình 4c, d, e.   L2   4 L 10  0 0 3  L L    Tổng số ẩn của bài toán là 4 nên kích thước ma trận độ cứng     0.2 *  0.2 *  0.667  L3  1 L  2 tổng thể là [A(4x4)] (chưa kể đến điều kiện biên và điều kiện 0  4 L   4 L 10  10     * 10 5  EJ    50000 EJ  0  4           chuyển vị cưỡng bức tại đầu thanh).   Biết được ma trận độ cứng phần tử [ae] đã tính được theo (28)  1 L2   0 1 0  0 0  5 và biết được kích thước của ma trận tổng thể [A(4x4)] thì ta dễ  50000 EJ  dàng xây dựng được ma trận độ cứng tổng thể của toàn thanh.  1 0 0 0 0 0  6 Giả sử ma trận tổng thể là ma trận “0” có kích thước (4x4) như sau: Trong ma trận độ cứng tổng thể ta thấy trong số hạng a(1,1) 1 2 3 4 xuất hiện lực 0 0 0 0  1 m2 0 fm   m2 y( x )   EJ y( x )  EJk1 y( x ) 0  2 (g) 0 0 A    EJ 0 0 0 0  3 m2 EJ   k1  ;  k1 (h) 0 0 0 0  4 EJ m fm: là lực quán tính, m là khối lượng trên một đơn vị chiều dài, Vì W(1)=0 nên trong [ae] ta xóa hàng 1 cột 1, Q(2)=0 nên ta xóa tại các nút có khối lượng tập trung (mL), tại đầu tự do là (mL/2). Lực hàng 6 cột 6, thu được [ae(4x4)]. Ta cộng từng số hạng ae(j,j) trong quán tính tác dụng tại các nút sẽ là: [ae] với phần tử a(i,j) tương ứng về vị trí trong [A], cuối cùng ta fmi= - m2WiL (i là các nút giữa) dành được ma trận tổng thể như sau: fmi= - m2WiL/2 (i là các nút tại đầu tự do) Vì ở đây coi thanh là một phần tử có chiều dài L, nên lực quán tính tại đầu thanh bằng: 1 f m  EJk 21 L 2 46 10.2021 ISSN 2734-9888
Sau này thay bằng việc tìm tần số dao động riêng i của thanh, 60=0.4x10-32y0xej*(.64327x1062k138*l76- ta đi tìm trị riêng k1, khi có k1 dựa vào (h) để tính . .34067x1069k136l72+.5764x1075*k134l68-.45118x1081k132l64 Như vậy, sau khi mở rộng thêm hai hàng, hai cột, ta nhận được +.19405x1087k130l60-.50562x1092k128l56+.84735x1097k126*l52- ma trận độ cứng tổng thể cuối cùng là [A] kích thước (6x6) theo (f), .94832x10102k124l^48+.72498k122l44-.383e112k120l40+ tương ứng với sáu phương trình có dạng: .14011e117k118l36-.35250x10121k116l32 AX  B (i) +.59971x10125k114*l28-.67010x10129*k112l24 +.46941x10133k110l20-.19146x10137*k18l16 Trong đó: X là véc tơ ẩn và véc tơ lực nút B là véc tơ cột có +.40209x10140*k16l12-.34605x10143*k14*l8+ kích thước là (6x1), tất cả các số hạng thuộc véc tơ {B} đều bằng .72072x10145k12l4-.76262x10146)=0 (l) không, ngoại trừ B(6,1)=y0. Giải hai phương trình (k) và (l) ta nhận được dòng thứ nhất và W1  1 0 1 dòng thứ 3 của bảng 1. Ta thấy 60 là đa thức bậc 38 của k1 nên giải   2 0 2 60=0 ta nhận được 38 tần số dao động riêng i của bài toán ứng  2   với hai trường hợp h/L=1/100 và h/L=1/3, ở đây chỉ đưa ra 3 tần số   0 X   3  3 3 4 B    4 dao động đầu tiên (bảng 1) cùng với ba dạng dao động và ba dạng đường lực cắt tương ứng, hình 5, 6.  Q1  0  1  5 0 5 Bảng 1. Tần số dao động riêng của thanh đầu ngàm - đầu tự     do tính cho ba trường hợp h/l. Chia thanh 19 phần tử   2  6  y0  6 EJ Ba tần số đầu tiên i  k 1i Tỷ lê h/l mL4 Giải hệ phương trình (i) thì ta nhận được phương trình 2 (ẩn số 6, do chuyển vị cưỡng bức tại đầu thanh bằng y0 mà có, theo (e )), k11 k12 k13 phương trình 2 có dạng sau: 1/100 3.5113 21.9306 61.2063 h/L=1/100 (không xét đến biến dạng trượt ngang) 1/10 3.4953 21.2631 57.0592  (-.4.10 33 + 6666966 1/3 3.3425 16.7431 37.8256  32   2  0.7996x10 EJ.y0666666666666666L3  Bảng 2. So sánh tần số dao động riêng của thanh đầu ngàm -  6666666667.k 2 .L4 )  1  đầu tự do trong hai trường hợp không xét và có xét biến dạng giải phương trình 2=0 ta nhận được: k1= 2.45/L2 trượt ngang. EJ EJ thay k1 vào (34), ta có:  2,45 Ba tần số đầu tiên i  k 1i Trường hợp mL4 mL4 Nhận xét: Vì xem thanh là một phần tử, trên thanh có một lực k11 k12 k13 quán tính tập trung tại đầu thanh (hệ một bậc tự do) nên chỉ nhận Không xét 3.5113 21.9306 61.206 được một tần số cơ bản với sai số lớn hơn 30% so với kết quả chính 3 xác, muốn nhận được kết quả tiệm cận với kết quả chính xác ta cần có xét 3.3425 16.7431 37.825 rời rạc hóa thanh thành nhiều phần tử hơn, chẳng hạn chia thanh 6 thành 19 phần tử ta nhận được kết quả trong hai trường hợp Chênh lệch (%) 4.807 23.654 38.199 không xét (h/L=1/100) và có xét (h/L=1/10; va h/L=1/3) đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang, như bảng 1: Bảng 3. So sánh tần số dao động riêng của thanh đầu ngàm - Khi chia thanh thành thành 19 phần tử, bài toán sẽ có tổng đầu tự do xác định theo PPPTHH và kết quả chính xác: cộng 60 ẩn số, gồm (19 ẩn chuyển vị, 20 ẩn góc xoay, 19 ẩn lực cắt và hai thừa số Lagrange 59, 60 ứng với hai điều kiện ràng buộc, EJ Ba tần số đầu tiên i  k 1i góc xoay tại ngàm chân thanh bằng không và chuyển vị cưỡng Trường hợp mL4 bức tại đầu thanh bằng y0), ma trận độ cứng tổng thể [A](60X60), k11 k12 k13 Do vậy, ta nhận được 60 phương trình có dạng (i): Chính xác 3.516 22.034 61.696 AX  B PTHH 3.511 21.930 61.206 Giải phương trình này, ta nhận được 60 có dạng sau: Chênh lệch (%) 0.14 0.47 0.79 Trường hợp 1: h/L=1/100 (không xét đến biến dạng trượt Nhận xét: ngang), ta có: - Theo bảng 1, 2 ta thấy, khi xét biến dạng trượt ngang tần số 60=0.137931x10-33(-0.26902x1086k132*l64- dao động của thanh giảm đáng kể, tần số sau giảm nhiều hơn tần 0.23361x10112k124l48+0.27869x10118k122l44+ số trước. 0.91510x1079k134l68-.22505x10124k120l40-0.40806x10135k116l32+ - Theo bảng 3 ta thấy khi rời rạc hóa thanh thành càng nhiều 0.84291x10140k114l28+0.63774x1064k138l76-.17038x10155k18l16- phần tử thì kết quả nhận được càng gần hơn với kết quả chính xác, .21458x1072k136l72+0.13459x10106k126l52- Thật vây, tần số riêng k11=3.511/L2 (số phần tử bằng 19) xấp xỉ với .99121x10145k112l24+.12002x10130k118l36+0.219034x10165k12l4+0.6068 kết quả giải tích. 9x10150k110l20-.53577x10099k128l56+ Với các tần số dao động nhận được ở trên, ta có các dạng dao 0.14647x1093k1^30l^60+0.18100x10159k16l12-0.52726x10162k14l8- động và dạng đường lực cắt tương ứng, dưới đây tác giả trình bày .2620x10166)y0xej (k) ba dạng dao động và ba dạng, dạng đường lực cắt tương ứng ba Trường hợp 2: h/L=1/3 ( xét đến biến dạng trượt ngang) tần số dao động đầu tiên, hình 5, 6. ISSN 2734-9888 10.2021 47
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Kết quả nhận được trong hai trường hợp có xét và không xét 1.4 đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang thay đổi lớn (tần số dao form 1 form 2 form 3 động riêng giảm lần lượt 4.807%, 23.654% và 38.199% ứng với ba 1.2 tần số dao động đầu tiên - bảng 2) đối với thanh đầu ngàm - đầu tự do. Điều này cho thấy cần phải xét đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang khi (h/L 1/10). 1 Khi không xét đến biến dạng trượt ngang (G) hoặc (h0) các biểu thức, ma trận độ cứng và kết quả nhận được trùng với bài 0.8 toán xây dựng theo lý thuyết Euler - Bernoulli truyền thống. Khi dùng phương pháp chuyển vị cưỡng bức để giải bài toán 0.6 dao động tự do của thanh cho ta ngay phương trình đa thức xác định tần số dao động riêng của thanh mà không phải thông qua 0.4 các phép biến đổi phức tạp để đưa ma trận về ma trận đường chéo và không cần phải tra bảng. Phương pháp phần tử hữu hạn kết 0.2 hợp với phương pháp chuyển vị cưỡng bức được trình bày ở đây -3 cho ta một thuật toán rất hiệu quả, một cách tiếp cận mới để đánh x 10 0 giá tần số dao động của bài toán trị riêng của thanh và hệ thanh. -2 -4 -6 -8 -10 -12 8 6 4 2 0 Đó có thể là ưu điểm nổi bật nhất của bài báo này. Hình 5. Ba dạng dao động ứng với ba tần số đầu tiên Kiến nghị: Dùng cách tiếp cận mới đã xây dựng ở trên để tìm trị riêng và véc tơ riêng của các bài toán cơ học nói riêng và tìm 1.4 nghiệm của bài toán có vế phải bằng không nói chung. form 1 form 2 form 3 Lời cảm ơn 1.2 Nghiên cứu này được tài trợ bởi Trường Đại học Hàng hải Việt Nam trong đề tài mã số: DT21-22.80 1 TÀI LIỆU THAM KHẢO 0.8 1. Ha Huy Cuong (2005), Gaussian extreme principle method, Scientific and technical journal, IV Page 112 to 114. 2. Doan Van Duan (2014), Forced displacement method to solve eigenvalues and 0.6 eigenvectors, Construction Journal, no. 11. Pages 82 to 84. 3. Doan Van Duan (2016), Study on elastic stability of bar system structure with 0.4 consideration of lateral shear strain, Contruction publisher, 156 pages. 4. Alan Jennings. Matrix Computation for Engineers and Scientists, John Wiley & Sons 0.2 - Chicheste - New York - Brisbane - Toronto. PP. 65-69. 5. Lin T. Y. and Yong B. W. (1965), Two large shells of posttensoned precast concrete, 0 Civil Engineering. ASCE, pp. 56-59. -1 -2 -3 -4 5 4 3 2 1 0 6. Cornelius Lanczos (1949), The variational principles of Mechanics, University of Hình 6. Ba dạng đường lực cắt ứng với ba tần số đầu tiên Torono Press, Nhận xét: 7. Ferdinand P. Beer - E. Russell Johnston, Jr. - John T. DeWolf (2006), Mechanics of Theo hình 5, ta thấy rằng đồ thị biểu diễn ba dạng dao động Materials (fourth edition), McGraw-Hill Companies, INC, New york, 787 pages. tương ứng với ba tần dao động đầu tiên giao nhau tại đầu thanh 8. G. Korn - T. Korn (1961), Mathematical Handbook for sientists and Engineers, (đây là vị trí kích chuyển vị cưỡng bức bằng y0; hình 6 là đồ thị biểu McGraw-Hill, New york (Russian translation, edited by I. Bramovich, Nauka - Moscow diễn ba dạng đường lực cắt tương ứng với ba tần dao động đầu Publisher, 1964). tiên giao nhau tại đầu thanh (đây là vị trí có lực cắt bằng không), 9. O.C. Zienkiewicz - R.L. Taylor (1991), The finite element method (fourh editon) dạng đường lực cắt trùng với trục thanh (lực cắt bằng không). Volume 2, McGraw-Hill Book Company, INC, 807 pages. 10. Stephen P. Timoshenko - J. Goodier (1970), Theory of elasticity, McGraw-Hill, New 4. KẾT LUẬN york (Russian translation, edited by G. Shapiro, Nauka - Moscow Publisher, 1979), 560 Với việc kết hợp phương pháp chuyển vị cưỡng bức và phương pages. pháp phần tử hữu hạn, tác giả đã xây dựng thành công bài toán 11. Stephen P. Timoshenko - Jame M. Gere (1961), Theory of elastic stability, dao động tự do của thanh có xét đến ảnh hưởng của biến dạng McGraw-Hill Book Company, INC, New york - Toronto - London, 541 Tr. trượt ngang, tìm được lời giải số của các bài toán hoàn toàn phù William T. Thomson, First Edition (2014), Pearson New International Edition, 523 hợp với kết quả giải bằng các phương pháp hiện có. Khi chia thanh pages. thành nhiều phần tử, ta sẽ nhận được nhiều nghiệm chính xác. Các tần số dao động nhận được theo phương pháp PTHH gần như trùng khớp với kết quả nhận được theo phương pháp giải tích trong trường hợp không xét đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang (h/L=1/100), sai số không đáng kể, chẳng hạn thanh đầu ngàm - đầu tự do kết quả nhận được so với kết quả chính xác có sai số 0,14%, 0,47% và 0,79% tương ứng với ba tần số dao động đầu tiên (bảng 3), điều này chứng tỏ độ tin cậy và hiệu quả của phương pháp phần tử hữu hạn đối với với bài toán dao động của thanh. 48 10.2021 ISSN 2734-9888