Phương pháp chuẩn hóa trong toán

Chia sẻ: Trần Bá Trung1 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

623
lượt xem 114
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

PHƯƠNG PHÁP CHUẨN HOÁ Để giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập toán học một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình, tài liệu sẽ giúp các bạn đòa sâu kiến thứu về toán. Tài liệu rất hay

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp chuẩn hóa trong toán

PHƯƠNG PHÁP CHUẨN HOÁ 1. Đặt vấn đề: Cho H(x, y, z) là một đa thức đẳng cấp bậc k, nghĩa là H(tx, ty, tz) = tk H(x, y, z) và h/s F(x, y, z) thỏa mãn F(x, y, z) = F(  x,  y,  z). Khi đó giá trị của F(x, y, z) trên miền {(x, y, z)/H(x, y, z) = a, a > 0} không thay đổi khi a thay đổi. Thật vậy, giả sử M(x, y, z): H (x, y, z) = a1 M’(x’, y’, z’): H(x’, y’, z’) = a2; a1 ạ a2; a1, a2 > 0 a2 Ta có H  x, y, z =a1  H(x, y, z) =a2 a1 k  a2   a2 a a   k  H(x, y, z) =a2  H  k x, k 2 y, k 2 z =a2  a1   a1 a1 a1  a a a đặt x' = k 2 x, y' = k 2 y, z' = k 2 z a1 a1 a1 Ta có: H(x', y', z') =a2  F(x', y', z') =F(x, y, z) Mặt khác : M   H(x, y, z) =a1  M'   H(x', y', z') =a2 Như vậy để tìm giá trị của F(x, y, z) trên miền H(x, y, z) ta chỉ cần tìm giá trị của F(x, y, z) trên miền H(x, y, z) = a cố định thích hợp. 2. Các bài toán áp dụng. Bài toán1: Cho a, b, c> 0. Tìm max a(b +c) b(c +a) c(a +b) Q =F(a, b, c) = 2 2 + 2 2 + (b +c) +a (c +a) +b (a +b)2+c2 ( Olimpic 30 - 4- 2006). Lời giải: Do F(a, b, c) = F(ta, tb, tc) nên ta tìm giá trị Q trên miền a + b + c = 1 Ta có: a(1- a) b(1- b) c(1- c) Q= 2 + 2 + 1 - 2a +2a 1- 2b +2b 1- 2c +2c2 Theo Côsi: 2  2a +1- a  (a +1)2 2a(1- a)   = 4  2  2 (a+ 2 (1- a)(a +3) 1)  1- 2a +2a =1- 2a(1- a)³  1 - = 0 4 4
a(1- a) 4a(1- a) 4  3    = =4 1 - 2 1- 2a +2a (1- a)(a +3) a +3  a +3    3   3   3     1 1 1    Q  4  1- a +3 +  1- b +3 +  1 - c +3 =4 3 - 3 a +3 + b +3 + c +3             Ta có: 1 1 1 9 9 9 6 + +  =  Q  4(3 - 3. ) = a +3 b +3 c +3 a +b +c +9 10 10 5 6 Suy ra : maxQ = khi a = b = c 5 Bài toán 2: Cho a, b, c > 0. Tim min (a +b +c)2 1 a3 +b3 +c3 a2 +b2 +c2  Q= 2 2 2 +  -  (1) a +b +c 2 abc ab +bc +ca  Lời giải: Do F(a, b, c) = F(ta, tb, tc). Ta chỉ tìm giá trị của Q trên miền a2 + b2 + c2 = 3 Khi đó: (a +b +c)2=a2+b2+c2+2ab +2bc +2ca  (a +b +c)2=3 +2(ab +bc +ca) a3+b3+c3=3abc +(a +b +c) 3 - (ab +bc +ca) a3+b3+c3 1 1 1  =3 +( + + ) 3 - (ab +bc +ca) abc ab bc ca 1 1 1 9 Đặt  =ab +bc +ca  3;  = + +  ab bc ca  Suy ra: 5 2 9 3 2 12  6 Q   (3  )   2    2  2(  ) 2 3 2 2 3  3  1  6  3 3 3  3 3      3( )1/ 3  Q  2  2   4 3  3      Suy ra: minQ =4 , khi a = b = c > 0 Bài toán 3: Cho a, b, c > 0. Chứng minh 7(a +b +c)(ab +bc +ca)  9abc +2(a +b +c)3 (1) 7(ab +bc +ca) 9abc Lời giải: (1)  F(a, b, c) = - 2 (a +b +c)2 (a +b +c)3
Do F(a , b, c) = F(ta, tb, tc). Ta có thể xem a + b + c = 1. Suy ra: F(a, b, c) =7(ab +bc +ca) - 9abc =7a(1 - a) +bc(7 - 9a) Giả sử: 0
3 2 2 2 2 2 2 2 6(a +b +c)(a +b +c )  27abc +10(a +b +c ) (1) (Olimpic Việt Nam 2004 ) Lời giải: BĐT đúng khi a = b = c = 0 Nếu a2+b2+c2 >0 Chuẩn hóa a2+b2+c2=9 (1)  2(a +b +c) - abc  10 Giả sử : 2 b2+c2 9 - a2 a  b  c  a  3 bc  =  3 2 2 VT =a(2 - bc) +2(b +c)  VT 2 =  a(2 - bc) +2(b +c) 2   a2+(b +c)2   (2 - bc)2+4 Đặt : t =bc  t   -3; 3 VT 2 =(9 +2t)  (2 - t)2+4 =f(t); t   -3;3 f(t)  f(t)  100  VT  10 (đpcm) Bài toán 5: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng (b +c- a)(a +c - b) +(a +b - c)(a +c - b) +(a +b - c)(b +c - a)   abc( a+ b + c) (1) Lời giải: Đặt a = x2, b = y2, c = z2. (1)  x4+y4+z4+xyz(x +y +z)  2(x2y2+y2z2+z2x2) (2) Chuẩn hóa: x  y  z  1. Ta có: (2)  1 +9xyz  4(xy +yz +zx)  4(xy +yz +zx) - 9xyz  1 (*) 1 Giả sử: 0
1 1. (a +b)(b +c)(c +a) +abc  (a +b +c)3; a, b, c >0 3 a2+b2+c2 8abc 2. +  2; a, b, c>0 ab +bc +ca (a +b)(b +c)(c +a) 1 1 1 4abc 3. (a +b+c)( + + )+  5; a, b, c >0 a +b b +c c +a (a +b)(b +c)(c +a)