Phương pháp đưa về một biến trong bài toán bất đẳng thức

Chia sẻ: Tai Viet | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

289
lượt xem 91
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'phương pháp đưa về một biến trong bài toán bất đẳng thức', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp đưa về một biến trong bài toán bất đẳng thức

A g (t ) t D g (t ) A t D g (t ) A g (t ) A ỳ
x1 , x2 ,..., xn (n 2) x1 x2 ... xn n n x1 x2 ...xn x1 x2 ... xn 2 2 2 2 2 2 ( x1 x2 ... xn )( y1 y2 ... yn ) ( x1 y1 x2 y2 ... xn yn ) 2 x1 x2 xn ... y1 y2 yn 2 2 2 x1 x2 xn ( x1 x2 ... xn ) 2 y1 , y2 ,..., yn (n 2) ... y1 y2 yn y1 y2 ... yn x1 x2 xn ... y1 y2 yn x y z .... x3 y3 xy 2 yx 2 3 2 y y y y 1 x x x x 3 2 2 xn yn xy n 1 xn 1 y (n 2, n N) ỳ
x4 y4 x2 y2 x y 2 ( 2) y4 x4 y2 x2 y x x y x y x y t 2 y x y x y x (t 2 2) 2 2 (t 2 2) t 2 0 3 2 3 2 2 3 2 2 x2 y2 z2 2 3 3 3 P x y z 3 xyz 2 2 P 2 2 2 2 x y z 2 2( xy yz zx ) ( x y z)2 x3 y3 z 3 3 xyz (x y z )( x 2 y2 z2 xy yz zx ) 2 2 2 (x y z)2 2 p (x y z )( x y z xy yz zx ) (x y z )(2 ) 2 t x y z 0 t 6 t2 2 t3 1 p t (2 ) 3t (t 2 ) 2 (t 2 2) 2 2 2 2 2 2 2 t 2 2 2 2 2 2 2 x, y , z 0 1 1 1 15 3 x y z x y z x y z 2 2 1 1 1 1 9 x y z x y z 33 x y z x y z xyz x y z 3 t x y z 0 t 2 ỳ
1 1 1 9 9 27 9 27 15 x y z t t 2 t. x y z t 4t 4t 4t 3 2 4. 2 1 2 x1 , x2 ,..., xn ( n 2) ; x1 x2 ... xn k (k R * ) b 0; ak 2 bn 2 . 1 1 1 bn 2 ak 2 Cmr : a( x1 x2 ... xn ) b( ... ) x1 x2 xn k 1 1 1 bn 2 a( x1 x2 ... xn ) b( ... ) a( x1 x2 ... xn ) x1 x2 xn x1 x2 ... xn bn 2 1 t bn 2 1 bn 2 bn 2 ak 2 at bn 2 ( ) t (a ) bn 2 .2. k (a ) t t k2 k2 k k2 k 3 2 x, y , z 0 1 1 1 51 3 x y z 4( ) x y z x y z 2 2 x, y , z 0 1 1 1 17 3 x2 y2 z2 3. x y z y2 z2 x2 2 2 1 2 4 1 1 4 (x2 )(1 42 ) x x2 (x ) y2 y y2 17 y x, y , z 0 1 1 1 x2 y2 z2 82 x y z 1 x2 y2 z2 2 x, y 0 1 1 (x y) 2 x y 2 x y ỳ
x, y 0 x y 2 x y 1 1 x 1 y 1 x 1 y x1 , x2 ,..., xn (n 2) x1 x2 ... xn m x1 x2 xn mn Cmr:: ... m x1 m x2 m xn n 1 x1 , x2 ,..., xn ( n 2) ; x1 x2 ... xn k (k R * ) b 0; ak 2 bn 2 . 1 1 1 bn 2 ak 2 Cmr : a( x1 x2 ... xn ) b( ... ) x1 x2 xn k x y z 3 x yz y xz z xy 2 x y z a2 b2 c2 3 a2 bc b2 ac c2 ab 2 2 2 (a b c) 2 (a b c) 4 2 a2 bc b2 ac c2 ab a2 bc b2 ac c2 ab (a b c) 4 (a b c) 4 (a b c) 4 3(a 2 b 2 c 2 ab bc ca ) 3[(a b c) 2 3(ab bc ca )] 3[(a b c) 2 3] 33 (abc ) 2 2 33 abc ỳ
t2 3t 15 t 3 3 3.9 15 t 3 3 9 2 . 3(t 3) 12 12 t 3 12 12 t 3 2 2 9 3 2 2 x1 , x2 ,..., xn (n 2) x1 x2 ...xn 1 x1 x2 xn n Cmr: ... x1 x2 x3 ..xn x2 x3 x4 ... n x1 x xn x1 x2 ... n x 1 2 x, y , z 0 x y z 9 P x y z 1 1 x2 1 y2 1 z 2 10 x2 y2 z2 x3 y3 z3 P x(1 ) y (1 ) z (1 ) 1 ( ) 1 x2 1 y2 1 z2 1 x2 1 y2 1 z2 2 x4 y4 z4 x2 y2 z2 1 ( ) 1 x x3 y y3 z z3 x y z x3 y 3 z3 1 t x2 y2 z2 t 3 x3 y3 z3 (x y z )( x 2 y2 z2 xy yz zx ) 3 xyz 1 x2 y2 z2 3 1 t x2 y2 z2 [1 ( x 2 y2 z 2 )] 3 ( )3 t t 2 3 2 2 3 1 2 2 2 ( t )(57t 9) 2t 2t 3t 10t 3 9 9 3 9 9 P 1 1 t t 3t 2 10t 3 10 10 3t 2 10t 3 10 10 1 3t 2t 3t 1 t 2 3 3 1 3 x, y, z (0;1) 2 2 2 3 xyz (1 x)(1 y )(1 z )(1) 4 ỳ
2 2 2 2 3 x y z xyz 3 3 2 2 2 2 x y z 3 0 t 3 2 2 2 4 3 2 1 15 3 3 t t 2t 2 (2t 3) 2 ( t) 27 27 4 4 4 3 1 2 2 (x2 y 2 )3 8 8x2 y 2 8 xy 1 1 (1 x)(1 y )(1 z) x y z 3 3 1 1 (1 x)(1 y )(1 z) x y z 3 C x1 , x2 ,..., xn (n 2) n 1 a an (a x1 )(a x2 )...( a xn ) x1 x2 ... xn n n na ( x1 x2 ... xn ) (a x1 )(a x2 )...( a xn ) n n an 1 an na t na t n n 1a n t (na t ) n 1 0(*) t n n n tnn 1 n (n 1)na (n 1)t (na t )(na t )...( na t ) (n 1) n a n t (na t ) n 1 n n 1a n n (*) ra Cho x1 , x2 ,..., xn (n 2) n 1 n 1 n 1 an 1 n 1 an ( a x1 )( a x 2 )...( a x n ) n x1 x 2 ... x n n n ỳ
x, y , z 0 x y z 27 xyz 30 x y2 z2 3 2 x, y , z 0 x y z 6 xyz x y z 2 x2 y2 z2 2( xy yz zx ) (x y z) 2 0 xy yz zx ( x y z) 6 x, y , z 0 1 10 x2 y2 z2 xyz 1 xy yz zx 3 xyz 1 x y z 3 4 x, y , z 0 y2 z2 x2 x y z x , y , z 0 1 1 1 108 1 2 2 2 x y z x x y y z z 5 2 x y z 1 x, y , z 0 xy yz zx 8( x 2 y 2 z 2 )( x 2 y 2 y2z2 z2x2) xy yz zx x y z x, y, z [1;2] x2 y2 z2 3 4 (y z) 2 4 (z x) 2 4 (x y) 2 4 9xyz x(x y)(x z) y( y z)(y x) z(z x)(z y) 0 4(xy yz zx) (x y z) 2 x y z 2 xyz x2 y2 z2 1 2( xy yz zx ) (x y z) 2 2xyz 1 4(xy yz zx) hay 4(xy yz zx) (x y z) 2 2xyz 1 (9 2t )t 2 9 9 1 t x y z ,t t 27 2 2 9axyz a[ 4( xy yz zx ) (x y z ) 2 ] bxyz ct bxyz ct ; t x y z t a , b, c 0 2a b c ỳ
a( x 2 y2 z 2 ) bxyz c( x y z ) 3a b 3c 2a ( xy yz zx ) 3( x 2 y2 z 2 ) 5 xyz ( x y z ) 1 6( xy yz zx ) xyz 2( x 2 y2 z 2 ) 8 5( x y z) x2 y2 z2 2 xyz 3 (1 x)(1 y )(1 z ) xy yz zx 3 4 xyz 4( x y z) 13 x, y , z [0; ] 3 1 4 27 x y 1 4 27 2 2 1 x4 y4 2 2 t x y x y z 3 x, y, z (0;2) 27 1 1 1 2 (x 2 )( y 2 2 )( z 2 2) 4 x 2 4 y 2 4 z 2 ( x y z)2 x, y , z 0 1 x( y z )4 y( z x) 4 z( x y)4 x y z 1 12 x y z 0 t x( y z) 4 4 4 x( y z ) y( z x) z( x y) t (1 3t ) x2 y 2 z 2 xyz 4 x y z 3 x, y , z 0 xy yz zx x y z x, y, z (0;1] x2 y2 z2 3 (y z x) 2 (z x y) 2 (x y z) 2 x1 , x 2 ,..., x n (n 2, n N) x1 x2 ... xn k (n k 0) . 3 1 1 1 n 2 2 ... 2 x1 x1 x2 x2 xn xn k (n k ) ỳ
x1 , x2 ,..., xn (n 2) x1 x 2 ...x n 1 . Cmr: 1 n2 1 x1 x2 ... xn x1 x2 ... xn n x y z 1 8 xy yz zx xyz x, y , z 0 27 0 z 1 1 z 0 2 x y 2 2 1 z z3 z2 z 1 2 4 1 1 5 8 8 (z ) 2 (z ) 0 z 1 4 3 3 27 27 1 3 x y z 3 5 xyz 2( xy yz zx) (9) x, y , z 0 0 z 1 x y (9 ) 5 xy ( z 2) 2z( x y) 0 5 ( ) 2 (z 2) 2z( x y) 0 2 3 z 2 z3 3z 2 ( z 1) 2 ( z 2) 5 ( ) (z 2) 2 z (3 z) 0 0 0 2 4 4 z [0;1] 0 z 3 ỳ
x y z 3 x, y, z 0 a 0; b 0 a ( xy yz zx ) bxyz ( 3a b) 0 a 4 b 3 3a 0 z 1 a bz 0; z 4 0 b (3 z) 2 a ( xy yz zx ) bxyz (3a b) xy ( a bz ) az ( x y ) (3a b) (a bz ) 4 1 3a az (3 z ) (3a b) b( z 1) 2 ( z 4) 0 4 b a 3 b x2 y2 z2 2( xy yz zx ) ( x y z)2 x y z 3 x2 y2 z2 xyz 4 x, y , z 0 x3 y3 z3 3 xyz (x y z )[( x y z) 2 3( xy yz zx )] x y z 3 2( x 3 y3 z 3 ) 3 xyz 9 x, y , z 0 1 1 1 x y z x y z 1 5 27 xyz 18( xy yz zx ) x, y , z 0 xyz xy yz zx 5 x 2 y 2 z 2 27 xyz 18( x 2 y2 z2) x, y , z 0 x3 y3 z3 3 xyz x y z 3 x3 y3 z3 15 6( xy yz zx ) x, y , z 0 ỳ
x y z 3 x, y , z 0 a 0; b 0 a 2 b 3 a ( xy yz zx ) bxyz ( 3a b) 0 x y z 3 xy yz zx 2 xyz 1 x, y , z 0 x, y , z [0;2] x3 y3 z3 9 x y z 3 1 z 2 x3 y3 z3 3 3 3 3 3 3 3 3 x, y , z 0 xy yz zx xyz 4 4 xy yz zx xyz z 3 3z 2 ( z 1)( z 2) 2 0 0 z 1 4 xyz xy z xy 2 2 ( xy )( xy 2) 0 xy z 1 z 1 ( x y )(1 z ) z xy 0 ỳ
4 xyz xy 4 4z xy(z 2 z) xy z 2 (x y)( z) z xy 1 (1 z) z xy z z 2 2 2 2 4 4z (z 2 z) z2 z 1 z 1 z(1 z)2 0 z (z 1)2 x y z 3 2( x 2 y2 z2) x2 y2z2 7 x, y , z 0 [( x 1)( y 1)][( y 1)( z 1)][( z 1)( x 1)] [( x 1)( y 1)( z 1)] 2 0 ( x 1)( y 1); ( y 1)( z 1); ( z 1)( x 1) ( x 1)( y 1) 0 xy x y 1 2( x 2 y2 z2) x2 y2z2 (x y) 2 2z 2 (x y 1) 2 z 2 (3 z ) 2 2z 2 (2 z ) 2 z 2 z4 4z 3 7z 2 6z 9 ( z 1) 2 ( z 2 2 z 2) 7 7 x y z 3 ( x 1)( y 1) 0 x y z 1 2 2 ( z 1) ( z 2 z 2) 0 xyz 1 17 1 xy yz zx x, y , z [ ;4] 4 2 x y z 1 x, y , z 0 y z 16 xyz xy yz zx 9 xyz 9 xyz 1 4( xy yz zx ) x, y , z 0 3( x y z) xyz 10 xy yz zx 3 2 x y 2 2 x, y [0; ] 2 1 y2 1 x2 3 2 x y 2x x y 0 2 1 y2 1 x2 1 x2 ỳ
x y z 1 x, y , z 0 x2 1 y2 1 z2 1 7 2 2 2 y 1 z 1 x 1 2 xn 1 yn 1 zn 1 7 yn 1 zn 1 xn 1 2 x2 1 y2 1 z2 1 y2 1 z2 1 1 1 3 y2 z2 y2 1 z2 1 x2 1 1 x2 1 x2 1 1 1 3 (y z) 2 x2 2x 4 x2 1 x2 1 x, y, z [0;2] xn yn zn 2n 1 x y z 3 x3 y3 z3 5 xyz f ( x, y , z ) x3 y3 z 3 5 xyz 2 x y z 1 3 f ( x, y, z ) f ( x, y,1) z 5 xyz (1 5 xy ) ( z 1)(1 z z 2 5 xy ) 0 z 1 0;1 z z 2 5 xy 1 z z 2 5 z 2 1 z 4 z 2 4( z 1) 2 3 z 1 0 f ( x, y,1) f ( x,1,1) y 3 5 xy (1 5 x) ( y 1)(1 y y 2 5 x) 0 y 1 0;1 y y 2 5 x 1 y y 2 5 y y 2 4 y 1 ( y 1)( y 2) y 1 0 f ( x, y, z ) f ( x,1,1) x 3 5 x 2 ( x 2)[( x 1) 2 2) 0 x,1 x 2 x y z 3 x, y , z 0 5 xyz 2( xy yz zx ) p(x, y, z) 2 ( xy yz zx ) xyz f ( x, y , z ) 5 f 0 x y z 0 x 1 ỳ
y z y z y z (y z) 2 y z (y z) 2 f ( x, y , z ) f ( x, , ) 2( xy yz zx ) xyz 2( x x ) x 2 2 2 4 2 4 1 y z y z 3 x 3 x x3 3x 2 ( x 2)( y z) 2 0 f ( x, y , z ) f ( x, , ) f ( x, , ) 4 2 2 2 2 4 3 2 x 3x 2 ( x 1) ( x 2) f ( x, y , z ) 5 5 5 5 x;0 x 1 4 4 ( x 2)( y z ) 2 0 x y z 1 x 1 x3 y3 z3 3xyz z y x 0 f ( x, y , z ) x3 y3 z3 3 xyz f (x, y, z) f (x, y, xy) z3 ( xy)3 3xy( xy z) (z xy)(z 2 z xy 2xy) 0 z xy g ( x, y ) f ( x, y , xy ) x3 y3 2 ( xy ) 3 2 g ( x, y ) g ( x, x ) y3 x3 2( ( xy ) 3 x6 ) y3 x3 0 f ( x, y , z ) f ( x, y , xy ) g ( x, y ) g ( x, x ) 0 z xy x y z x y x y z 3 y z z x x y 2 x y z f ( x, y , z ) y z z x x y x y z x y xy f ( x, y , z ) f ( x, y, xy ) y z z x x y y xy xy x x y x( xy z) y ( xy z) z xy x ( xy z) (y z )( y xy ) (z x)( xy x) x y (y z )( y xy ) y 1 x y 1 (z x)( xy x) x y (y x)( y xy ) (y x)( xy x) x y 1 x y 1 ( x y )2 1 . 0 x y y( x y) x( x y) (x y )( x y) xy ỳ
y y x y xy 1 x x f (x, y, xy) xy y xy x x y y y y y 1 1 x x x x 1 t2 t 2 2t 2 t 2 3 3 y t 1 t (t 0) t t2 t 1 t 2 1 2t (t 2 1) 2 2 x xyz 1 (x y )( y z )( z x) 4( x y z 1) x, y , z 0 xy yz zx 6 xyz 9 x y z 3 xyz 6 x, y , z 0 x, y , z 0 x y2 z2 3 2 xy yz zx 9 xyz 9 xyz 1 4 ( xy yz zx ) 2 x, y [0; ] 2 x y 2 2 1 y2 1 x2 3 1 x y z 7 x, y, z [ ;3] 3 x y y z z x 5 xyz 2( x 2 y2 z2) 8 5( x y z) x, y , z 0 3( x y z) xyz 10 xy yz zx 3 x, y , z 0 x y z x2 y2 y2z2 z2x2 x y2 z2 2 3 x, y , z 0 7 ( xy yz zx ) 12 9 xyz x y2 z2 2 3 ỳ
2 x y y z z x 2 1 z x y 2 1 z y x 1 2 1 a b 1 2 4 3 6 3 A B A B C (17) sin A sin B 3 sin C 2 sin cos 3 sin C 2 cos 3 sin C 2 2 2 C cos t 1 t 0 2 C C C 2 cos 3 sin C 2 cos (1 3 sin ) 2t (1 3(1 t 2 ) ) 2 2 2 3 1 3 1 2t (1 3(1 t 2 ) ) 2t (1 .2 (1 t 2 ) ) 2t[1 ( 1 t 2 )] 3t 3 6t 2 3 2 3 6 2 4 4 (t ) (3t 2 6) 6 6 (17' ) 3 3 3 4 3 6 3 A B cos 1 A B 2 C 6 C 2 cos cos 2 3 1 cos A 1 (cos B cos C ) cos B cos sC (18) . 1 cos A cos B cos C ỳ
B C B C 1 2 cos cos 1 cos A 2 2 1 1 (18' ) cos A 1 [cos( B C ) cos( B C ) 2 A A A 1 2 sin 2 4 sin 2 sin 2 1 cos A 2 2 2 VT (18' ) 1 cos A 1 cos A (1 cos A) 2 A A A A A 2 4 sin 2 sin 2 1 4 sin 4 sin 2 (1 2 sin ) 2 2 2 1 2 2 0 2 0 cos A cos A cos A B C cos 1 2 A B C A 1 sin 0 2 3 A 0 A 60 cos 1 2 2 T 3(cos A cos B cos C ) 2(sin A sin B sin B sin C sin C sin A) B C B C B C B C 3(cos A 2 cos cos ) cos( B C ) cos( B C ) 2 sin A.2 sin cos 2 2 2 2 B C A A 2 cos A cos [6 sin 4 sin A cos ] cos( B C ) 2 2 2 A 3 A A A A A sin 0, cos 1 6 sin 4 sin A cos 2 sin (3 4 cos 2 ) 0 2 2 2 2 2 2 2 B C cos 1, cos( B C ) 1 2 A A A A A A T 2 cos A 6 sin 4 sin A cos 1 2(1 2 sin 2 ) 6 sin 8 sin (1 sin 2 ) 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 8t 4t 2t 1 (2t 1) (2t 1) 0 t 0 ỳ
A t sin 2 B C cos 1 2 cos( B C ) 1 A B C A sin 1 2 3 A 60 (20 ') T 1 cos A cos B cos C 3 sin A sin B sin C 1 3 T 1 cos A [cos( B C) cos( B C )] sin A [cos( B C ) cos( B C )] 2 2 1 2 1 3 1 [cos A 3 sin A cos A ] cos( B C )[ cos A sin A ] 2 2 2 1 3 cos A sin A cos( A 60 ) 0 cos( B C ) 1 2 2 1 1 T 1 [ cos 2 A 3 sin A cos A] (cos A 3 sin A) (cos A 1)[1 cos( A 60 )] 0 2 2 3 cos( B C ) 1 A B C cos( A 60 ) 1 1 1 tan A tan B tan C 3 3 A B C 3 3 cot cot cot 2 2 2 A B C 1 1 1 15 sin sin sin 2 2 2 A B C 2 sin sin sin 2 2 2 13 1 cosA cos B cos B cos C cos C cos A (c o s A cos B c o s C) 2 cos A cos B cos C ỳ
3 cos 3 A cos 3 B cos 3 C 2 2 2 1 2 3 2 sin A sin B sin C 1 2 4 A B C 3 3 sin 3 sin sin 2 2 2 2 16 cot A cot B 2 cot C 2 2 2 2 (1 sin )( 1 sin B )( 1 sin C) 4 sin A sin B sin C 2 1 cos A cos B cos C 2 tan A tan B tan C tan A tan B tan C (1) A B B C C A tan tan tan tan tan tan 1 ( 2) 2 2 2 2 2 2 x, y , z 0 3( x y z) xyz 10 xy yz zx 3 3 3 3 x ; y ; z tan A tan B tan C 10 tan A tan B tan B tan C tan C tan A 1 tan A tan B tan C 3 3 A B C A B C 9(tan tan tan ) tan tan tan 30 3 2 2 2 2 2 2 cos 2 A cos 2 B cos 2 C 2 cos A cos B cos C 1 x, y , z 0 xy yz zx xyz 4 ỳ