Phương pháp giải phương trình tự chọn-Phạm Kim Chung

Chia sẻ: Trần Bá Trung5 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

193
lượt xem 73
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu " Phương pháp giải phương trình tự chọn-Phạm Kim Chung " giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập toán học một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình.Chúc các bạn học tốt

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp giải phương trình tự chọn-Phạm Kim Chung

Th¸ng 08 – 2007...Ph¹m Kim Chung HÖ ph−¬ng tr×nh I. HÖ ph−¬ng tr×nh d¹ng ho¸n vÞ vßng quanh. Bµi 1. ( §Ò thi HSG quèc gia n¨m 1994 ) ( ⎧ x 3 + 3 x − 3 + ln x 2 − x + 1 = y ⎪ ) ⎪ ( Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ y 3 + 3 y − 3 + ln y 2 − y + 1 = z ) ⎪ 3 ⎪ z + 3z − 3 + ln z − z + 1 = x ⎩ 2 ( ) Gi¶i : ( XÐt hµm sè : f ( t ) = t 3 + 3t − 3 + ln t 2 − t + 1 ) 2t 2 − 1 Ta cã : f' ( t ) = 3t 2 + 1 + > 0, ∀x ∈ R t2 − t + 1 VËy hµm sè f ( t ) ®ång biÕn trªn R. Ta viÕt l¹i hÖ ph−¬ng tr×nh nh− sau : ⎧ f (x) = y ⎪ ⎨ f (y) = z ⎪ f ( z) = x ⎩ Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö : x = min { x, y, z} . Lóc ®ã : x ≤ y ⇒ f ( x ) ≤ f ( y ) ⇒ y ≤ z ⇒ f ( y ) ≤ f ( z ) ⇒ z ≤ x . Hay : x ≤ y ≤ z ≤ x ⇒ x = y = z ( Víi : x = y = z , xÐt ph−¬ng tr×nh : x 3 + 2 x − 3 + ln x 2 − x + 1 = 0 ) ( ) Do hµm sè : ϕ ( x ) = x 3 + 2 x − 3 + ln x 2 − x + 1 ®ång biÕn trªn R nªn pt cã nghiÖm duy nhÊt : x = 1 . VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt : x = y = z = 1 . Bµi to¸n tæng qu¸t 1 . XÐt hÖ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng : ⎧ f ( x1 ) = g ( x2 ) ⎪ ⎪ f ( x 2 ) = g ( x3 ) ⎪ ⎨ .... ⎪ f (x ) = g(x ) ⎪ n −1 n ⎪ f ( x n ) = g ( x1 ) ⎩ NÕu hai hµm sè f vµ g cïng t¨ng trªn tËp A vµ ( x1 , x2 ..., xn ) lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh , trong ®ã xi ∈ A, ∀i = 1, 2,..., n th× x1 = x2 = ... = xn . Chøng minh : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö : x1 = min { x1 , x2 ..., x n } . Lóc ®ã ta cã : x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) ⇒ g ( x2 ) ≤ g ( x3 ) ⇒ x2 ≤ x3 ... ⇒ x n ≤ x1 . VËy : x1 ≤ x2 ≤ .... ≤ xn ≤ x1 Tõ ®ã suy ra : x1 = x2 = ... = xn . 1
Bµi 2. ⎧⎛ 1 ⎞2 x + x 3 2 ⎪⎜ ⎟ =y ⎪⎝ 4 ⎠ ⎪ 2 y3 + y 2 ⎪⎛ 1 ⎞ Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ ⎜ ⎟ =z ⎪⎝ 4 ⎠ ⎪ 2 z3 + z 2 ⎪ ⎛1⎞ =x ⎪⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎩ Gi¶i: V× vÕ tr¸i cña c¸c ph−¬ng tr×nh trong hÖ ®Òu d−¬ng nªn hÖ chØ cã nghiÖm : x, y, z > 0 . 2 t3 +t2 2 t3 +t2 ⎛1⎞ ⎛1⎞ XÐt hµm sè : f ( t ) = ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ( , ta cã : f' ( t ) = − ( 2 ln 4 ) 3t 2 + t ) .⎜ ⎟ ⎝4⎠ < 0, ∀t > 0 . VËy hµm sè f ( t ) nghÞch biÕn trªn kho¶ng ( 0; + ∞ ) . Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö : x = min { x, y, z} . Lóc ®ã : x ≤ y ⇒ f ( x) ≥ f ( y) ⇒ y ≥ z ⇒ f ( y) ≤ f (z) ⇒ z ≤ x ⇒ x = z ⇒ f ( x ) = f (z) ⇒ y = x . 1 VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt : x = y = z = . 2 Bµi to¸n tæng qu¸t 2 . XÐt hÖ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng (víi n lÎ ): ⎧ f ( x1 ) = g ( x2 ) ⎪ ⎪ f ( x 2 ) = g ( x3 ) ⎪ ⎨ .... ⎪ f (x ) = g(x ) ⎪ n −1 n ⎪ f ( x n ) = g ( x1 ) ⎩ NÕu hµm sè f gi¶m trªn tËp A , g t¨ng trªn A vµ ( x1 , x2 ..., x n ) lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh , trong ®ã xi ∈ A, ∀i = 1, 2,..., n th× x1 = x2 = ... = xn víi n lÎ . Chøng minh : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö : x1 = min { x1 , x2 ..., x n } . Lóc ®ã ta cã : x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) ⇒ g ( x2 ) ≥ g ( x3 ) ⇒ x2 ≥ x3 ... ⇒ x n ≤ x1 ⇒ f ( xn ) ≥ f ( x1 ) ⇒ x1 ≥ x2 . ⇒ x1 = x2 Tõ ®ã suy ra : x1 = x2 = ... = xn . Bµi 3. ⎧( x − 1)2 = 2 y ⎪ ⎪ ( y − 1) = 2 z 2 ⎪ Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ ⎪ ( z − 1) = 2 t 2 ⎪ ⎪ ( t − 1) = 2 x 2 ⎩ 2
Gi¶i : V× vÕ tr¸i cña c¸c ph−¬ng tr×nh trong hÖ kh«ng ©m nªn ph−¬ng chØ cã nghiÖm : x, y, z, t ≥ 0 . f ( s ) = ( s − 1) , ta cã : f' ( s ) = 2 ( s − 1) . Do ®ã hµm sè t¨ng trªn kho¶ng (1; + ∞ ) vµ gi¶m 2 XÐt hµm sè : trªn [ 0; 1] ( Do f(s) liªn tôc trªn R ). Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö : x = min { x, y, z, t} . + NÕu x ∈ (1; + ∞ ) ⇒ x, y, z, t ∈ (1; + ∞ ) , do ®ã theo bµi to¸n tæng qu¸t 1, hÖ cã nghiÖm duy nhÊt : x = y = z = t = 2 + 3 . + NÕu x ∈ [ 0; 1] ⇒ 0 ≤ f ( x ) ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 2 y ≤ 1 , hay y ∈ [ 0;1] , t−¬ng tù ⇒ z, t ∈ [ 0; 1] . VËy x, y, z, t ∈ [ 0; 1] . Do ®ã ta cã : x ≤ y ⇒ f ( x) ≥ f ( y) ⇒ y ≥ z ⇒ f ( y) ≤ f (z) ⇒ z ≤ x ⇒ x = z . Víi x = z ⇒ f ( x ) = f ( z ) ⇒ y = t . ⎧( x − 1)2 = 2 y ⎧( x − 1)2 = 2 y ⎪ ⎪ Lóc ®ã hÖ ph−¬ng tr×nh trë thµnh : ⎨ ⇔ ⎨ ⎡x = y ⇔ x = y = 2− 3 ⎪( y − 1) = 2 x 2 ⎩ ⎪⎢ ⎩ ⎣ x = −y VËy hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm : x = y = z = t = 2 + 3 vµ x = y = 2 − 3 . Bµi to¸n tæng qu¸t 3 . XÐt hÖ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng (víi n ch½n ): ⎧ f ( x1 ) = g ( x2 ) ⎪ ⎪ f ( x 2 ) = g ( x3 ) ⎪ ⎨ .... ⎪ f (x ) = g(x ) ⎪ n −1 n ⎪ f ( xn ) = g ( x1 ) ⎩ NÕu hµm sè f gi¶m trªn tËp A , g t¨ng trªn A vµ ( x1 , x2 ..., x n ) lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh , trong ⎡ x = x3 = ... = x n −1 ®ã xi ∈ A, ∀i = 1, 2,..., n th× ⎢ 1 víi n ch½n . ⎣ x2 = x 4 = ... = x n Chøng minh : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö : x1 = min { x1 , x2 ..., xn } . Lóc ®ã ta cã :. x1 ≤ x3 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x3 ) ⇒ g ( x2 ) ≥ g ( x 4 ) ⇒ x2 ≥ x 4 ⇒ f ( x 2 ) ≤ f ( x 4 ) ⇒ g ( x3 ) ≤ g ( x5 ) ⇒ x3 ≤ x5 ......... ⇒ f ( xn −2 ) ≤ f ( x n ) ⇒ g ( x n −1 ) ≤ g ( x1 ) ⇒ x n −1 ≤ x1 ......... ⇒ f ( xn −1 ) ≥ f ( x1 ) ⇒ g ( x n ) ≥ g ( x2 ) ⇒ x n ≥ x2 VËy : x1 ≤ x3 ≤ .... ≤ xn −1 ≤ x1 ⇒ x1 = x3 = ... = xn −1 ; x2 ≥ x4 ≥ .... ≥ xn ≥ x2 ⇒ x2 = x4 = ... = xn 3
PhÇn bμi tËp øng dông ph−¬ng ph¸p ⎧2 x 3 − 7 x 2 + 8 x − 2 = y ⎪ 3 ⎨ 2 y − 7y + 8y − 2 = z 2 1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎪ 2 z3 − 7 z 2 + 8z − 2 = x ⎩ 2. Chøng minh víi mçi a ∈ R , hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ x 2 = y3 + y + a ⎪ 2 ⎨y = z +z+a 3 cã mét nghiÖm duy nhÊt . ⎪ z2 = x 3 + x + a ⎩ ⎧x2 = y + a ⎪ 2 3. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨y = z + a ⎪ 2 ⎩z = x + a T×m a ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh chØ cã nghiÖm víi d¹ng x = y = z . 4. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ x 31 − 3 x1 + 2 = 2 x2 ⎪ 3 ⎪ x 2 − 3 x 2 + 2 = 2 x3 ⎪ ⎨ ......... ⎪ x 3 − 3x + 2 = 2 x ⎪ 99 99 100 ⎪ x 100 − 3 x100 + 2 = 2 x1 ⎩ 3 5. Cho n lµ sè nguyªn lín h¬n 1. T×m a ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ x 21 = x 32 − 4 x2 + ax2 ⎪ 2 ⎪ x 2 = x 3 − 4 x3 + ax3 3 ⎪ ⎨ ......... cã mét nghiÖm duy nhÊt . ⎪ x 2 = x 3 − 4 x + ax ⎪ n −1 n n n ⎪ x n = x 1 − 4 x1 + ax1 ⎩ 2 3 6. Cho n lµ sè nguyªn lín h¬n 1 vµ a ≠ 0 . Chøng minh hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ x 21 = x 32 − 4 x2 + ax2 ⎪ 2 ⎪ x 2 = x 3 − 4 x3 + ax3 3 ⎪ ⎨ ......... cã nghiÖm duy nhÊt . ⎪ x 2 = x 3 − 4 x + ax ⎪ n −1 n n n ⎪ x n = x 1 − 4 x1 + ax1 ⎩ 2 3 7. Chøng minh víi mçi a ∈ R , hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ x 2 = y3 + y2 + y + a ⎪ 2 ⎨ y = z + z + z + a cã mét nghiÖm duy nhÊt . 3 2 ⎪ z2 = x 3 + x 2 + x + a ⎩ 4
Ii. HÖ ph−¬ng tr×nh gi¶i ®−îc b»ng ph−¬ng ph¸p l−îng gi¸c ho¸. ⎧ x 1 − y2 + y 1 − x2 = 1 ⎪ (1) 1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ ⎪(1 − x )(1 + y ) = 2 ⎩ (2) ⎧1 − x 2 ≥ 0 ⎧ ⎪ x ≤1 Gi¶i. §K : ⎨ ⇔⎨ ⎩1 − y ≥ 0 ⎪ y ≤1 2 ⎩ §Æt x = cosα ; y=cosβ víi α ,β ∈ [ 0; π ] , khi ®ã hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ π ⎧cosα .sinβ + cosβ .sinα =1 ⎪ α + β = ⇔⎨ ⇔⎨ 2 ⎩ (1 − cosα )(1 + cosβ ) = 2 ⎪sinα − cosα − sinα .cosα − 1 = 0 ⎩ 1 − t2 §Æt t = sinα − cosα , t ≤ 2 ⇒ sinα .cosα = 2 1− t 2 Khi ®ã ta cã : t − − 1 = 0 ⇔ t 2 + 2t − 3 ⇒ t = 1 2 ⎛ π⎞ π ⎧x = 0 Víi t = 1 , ta cã : 2sin ⎜ α − ⎟ = 1 ⇒ α = ⇒ β = 0 ⇒ ⎨ ⎝ 4⎠ 2 ⎩y = 1 NÕu : x ≤ a ( a > 0 ) , ta ®Æt x = acosα , víi α ∈ [ 0; π ] ⎧ 2 ( x − y )(1 + 4 xy ) = 3 ⎪ ( 1) 2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ 2 ⎪x + y =1 ⎩ 2 (2) Gi¶i . Do x 2 + y 2 = 1 ⇒ x, y ∈ [ −1; 1] . §Æt x = sinα , y = cosα víi α ∈ [ 0; 2π ] . Khi ®ã (1) ⇔ 2 ( sinα − cosα )(1 + 2sin2α ) = 3 ⎛ π⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ π ⎞⎛ π⎞ ⇔ 2. 2sin ⎜ α − ⎟ .2. ⎜ sin2α + ⎟ = 3 ⇔ 4sin ⎜ α − ⎟ ⎜ sin2α + sin ⎟ = 3 ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 4 ⎠⎝ 6⎠ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎡ π ⎛ π ⎞⎤ ⇔ 8sin ⎜ α − ⎟ sin ⎜ α − ⎟ cos ⎜ α − ⎟ = 3 ⇔ 4cos ⎜ α + ⎟ ⎢ cos − cos ⎜ 2α − ⎟ ⎥ = 3 ⎝ 4⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎣ 3 ⎝ 6 ⎠⎦ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π⎞ ⇔ 2cos ⎜ α − ⎟ − 4cos ⎜ α − ⎟ cos ⎜ 2α − ⎟ = 3 ⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎝ 6⎠ ⎛ π ⎞ ⎡ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞⎤ ⎛ π⎞ ⇔ 2cos ⎜ α − ⎟ − 2 ⎢ cos ⎜ 3α − ⎟ + cos ⎜ α − ⎟ ⎥ = 3 ⇔ −2cos ⎜ 3α − ⎟ = 3 ⎝ 12 ⎠ ⎣ ⎝ 4⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎦ ⎝ 4⎠ ⎛ π⎞ 3 ⎡α = −35 + k120 0 0 cos ⎜ 3α − ⎟ = − ⇔⎢ (k ∈ R) ⎝ 4⎠ ⎣ α = 65 + k120 0 0 2 Tõ ®ã suy ra hÖ cã 6 nghiÖm ( x, y ) = {( sin650 , cos650 ) , ( −sin350 , cos350 ) , ( sin850 , cos850 ) , ( −sin5 , − cos5 ) , ( -sin25 , − cos25 ) , ( sin305 , cos305 ) } 0 0 0 0 0 0 5
NÕu : x 2 + y 2 = a ( a > 0 ) , ta ®Æt x = asinα , y = acosα , víi α ∈ [ 0; 2π ] ⎧2 x + x 2 y = y ⎪ ⎨2 y + y z = z 2 3. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎪ ⎩2 z + z x = x 2 Gi¶i : Tõ c¸c ph−¬ng tr×nh cña hÖ , suy ra : x, y, z ≠ ±1 . Do ®ã ta cã : ⎧ 2x ⎪ y = 1 − x 2 (1) ⎪ ⎪ 2y ⎨z = (2) ⎪ 1 − y2 ⎪ 2z ⎪x = (3) ⎩ 1 − z2 ⎛ π π⎞ §Æt §Æt x = tgα víi α ∈ ⎜ − ; ⎟ (4) vµ sao cho tgα , tg2α , tg4α ≠ ±1 (5). ⎝ 2 2⎠ ⎛ kπ 2kπ 4kπ ⎞ T−¬ng tù bµi 2. HÖ ph−¬ng tr×nh cã 7 nghiÖm ⎜ x = tg , y = tg , z = tg , k = 0, ± 1,..., ±3 ⎝ 7 7 7 ⎟⎠ ⎛ π π⎞ Víi mäi sè thùc x cã mét sè α víi α ∈ ⎜ − ; ⎟ sao cho x = tgα ⎝ 2 2⎠ ⎧ x − 3z 2 x − 3z + z 3 = 0 ⎪ ⎨ y − 3x y − 3x + x = 0 2 3 4. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎪ z − 3y 2 z − 3y + y 3 = 0 ⎩ Gi¶i . ViÕt l¹i hÖ ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng : ( ⎧ x 1 − 3z 2 = 3z − z 3 ⎪ ) ⎪ 2 ( ⎨ y 1 − 3x = 3x − x 3 ) (I) ⎪ ⎩ 2 ( ⎪ z 1 − 3y = 3y − y 3 ) 1 Tõ ®ã, dÔ thÊy nÕu ( x , y, z ) lµ nghiÖm cña hÖ ®· cho th× ph¶i cã x, y, z ≠ ± . Bëi thÕ : 3 ⎧ 3z − z 3 ⎪ x= (1) ⎪ 1 − 3z 2 ⎪ 3x − x 3 (I) ⇔ ⎨ y = (2) (II) ⎪ 1 − 3x 2 ⎪ 3y − y 3 ⎪ z= (3) ⎩ 1 − 3y 2 ⎛ π π⎞ 1 §Æt x = tgα víi α ∈ ⎜ − ; ⎟ (4) vµ sao cho tgα , tg3α , tg9α ≠ ± (5). ⎝ 2 2⎠ 3 Khi ®ã tõ (2), (3), (1) sÏ cã : y = tg3α , z = tg9α vµ x = tg27α 6
Tõ ®©y dÔ dµng suy ra ( x, y, z ) lµ nghiÖm cña (II) khi vµ chØ khi y = tg3α , z = tg9α , x = tgα , víi α ®−îc x¸c ®Þnh bëi (4), (5) vµ tgα = tg27α (6). L¹i cã : ( 6 ) ⇔ 26α = kπ ( k ∈ Z ) kπ V× thÕ α tho¶ m·n ®ång thêi (4) vµ (6) khi vµ chØ khi α = víi k nguyªn tho¶ m·n : 26 −12 ≤ k ≤ 12 . DÔ dµng kiÓm tra ®−îc r»ng, tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ α ®−îc x¸c ®Þnh nh− võa nªu ®Òu tho¶ m·n (5). VËy tãm l¹i hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã tÊt c¶ 25 nghiÖm, ®ã lµ : ⎛ kπ 3kπ 9 kπ ⎞ ⎜ x = tg 26 , y = tg 26 , z = tg 26 ⎟ , k = 0, ± 1,... ± 12 ⎝ ⎠ 5. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎪ 3⎜ x + ⎟ = 4 ⎜ y + ⎟ = 5⎜ z + ⎟ ⎨ ⎝ x⎠ ⎝ y⎠ ⎝ z⎠ ⎪ xy + yz + zx = 1 ⎩ Gi¶i. NhËn xÐt : xyz ≠ 0; x, y, z cïng dÊu . NÕu ( x, y, z ) lµ mét nghiÖm cña hÖ th× ( − x, − y, − z ) còng lµ nghiÖm cña hÖ, nªn chóng ta sÏ t×m nghiÖm x, y, z d−¬ng . ( ) §Æt x = tgα ; y = tgβ ; z = tgγ 0 < α , β , λ < 90 0 . ⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎪ 3 ⎜ tgα + ⎟ = 4 ⎜ tgβ + ⎟ = 5 ⎜ tgγ + ⎟ ( 1) HÖ ⎨ ⎝ tgα ⎠ ⎝ tgβ ⎠ ⎝ tgγ ⎠ ⎪tgα tgβ + tgβ tgγ + tgγ tgα = 1 (2) ⎩ ⎛ 1 + tg2α ⎞ ⎛ 1 + tg2 β ⎞ ⎛ 1 + tg2γ ⎞ 3 4 5 (1) ⇔ 3 ⎜ ⎟ = 4⎜ ⎟ = 5⎜ ⎟ ⇔ = = ⎝ tgα ⎠ ⎝ tgβ ⎠ ⎝ tgγ ⎠ sin2α sin2β sin2γ ( tgα + tgβ ) = tg Tõ (2) suy ra : tgγ ( tgα + tgβ ) = 1 − tgβ tgα ⇒ cotgγ = (α + β ) 1 − tgβ tgα ⎛π ⎞ π ⇒ tg ⎜ − γ ⎟ = tg (α + β ) ⇔ α + β + γ = . ⎝2 ⎠ 2 ⎧ 3 4 5 = ⎪ sin2α sin2β sin2γ = ⎪ Do ⎨ nªn 2α,2β,2γ lµ c¸c gãc cña mét tam gi¸c cã sè ®o 3 c¹nh 3,4,5. ⎪0 < α , β , γ < π ;α + β + γ = π ⎪ ⎩ 2 2 Do tam gi¸c cã 3 c¹nh 3,4,5 lµ tam gi¸c vu«ng nªn 2γ = 900 ⇒ γ = 450 ⇒ z = tgγ = 1 2tgα 3 2x 3 1 tg2α = = ⇔ = ⇒x= 1 − tg α 4 2 1− x 2 4 3 2tgβ 4 2y 4 1 tg2β = = ⇔ = ⇒y= 1 − tg β 3 2 1− y 2 3 2 7
TuyÓn tËp c¸c bμi to¸n hay II . HÖ ph−¬ng tr×nh 2 Èn. ⎧ 4 698 ⎪ x +y = 2 (1) 1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ 81 ⎪ x 2 + y 2 + xy − 3 x − 4 y + 4 = 0 ⎩ (2) Gi¶i : Gi¶ sö hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm . Ta thÊy (2) t−¬ng ®−¬ng víi : x 2 + ( y − 3) x + ( y − 2 ) = 0 2 §Ó ph−¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm ®èi víi x ta ph¶i cã : 7 Δ = ( y − 3) − 4 ( y − 2 ) ≥ 0 ⇔ 1 ≤ y ≤ 2 2 (3) 3 MÆt kh¸c ph−¬ng tr×nh (2) còng t−¬ng ®−¬ng víi : y 2 + ( x − 4 ) y + x 2 − 3 x + 4 = 0 §Ó ph−¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm ®èi víi y ta ph¶i cã : ( ) Δ = ( x − 4) − 4 x 2 − 3x + 4 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 4 3 (4) 256 49 697 698 Tõ (3) vµ (4) ta cã : x 4 + y 2 ≤ + = < , kh«ng tho¶ m·n (1). 81 9 81 81 VËy hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm . 2. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 1995-1996.B¶ng A ) ⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎪ 3x ⎜1 + ⎟=2 ⎪ ⎝ x+y⎠ Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ ⎪ 7y ⎛ 1 − 1 ⎞ = 4 2 ⎪ ⎜ ⎟ ⎩ ⎝ x+y⎠ 3. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 1995-1996.B¶ng A ) H·y biÖn luËn sè nghiÖm thùc cña hÖ ph−¬ng tr×nh víi Èn x, y : ⎧ x 3 y − y 4 = a2 ⎨ 2 ⎩ x y + 2 xy + y = b 2 3 2 Gi¶i . §iÒu kiÖn cã nghÜa cña hÖ : x, y ∈ R . ViÕt l¹i hÖ d−íi d¹ng : ( ) ⎧ y x 3 − y 3 = a 2 ( 1) ⎪ ⎨ ⎪ y ( x + y ) = b2 (2) 2 ⎩ XÐt c¸c tr−êng hîp sau : Tr−êng hîp 1 : b = 0 . Khi ®ã : ⎪y=0 ⎧ ⎨ (I) ⎧y = 0 (⎩ ) ⎡ ⎪y x − y = a 3 3 2 (2) ⇔ ⎨ vµ do vËy : HÖ ®· cho ⇔ ⎢ ⎩y = −x ⎣ ⎧ y = −x ⎪ ⎨ ( II ) (⎩ 3 ) ⎪y x − y = a 3 2 8
⎧ y = −x Cã (II) ⇔ ⎨ ⎩ −2 x = a 4 2 Tõ ®ã : + NÕu a ≠ 0 th× (I) vµ (II) cïng v« nghiÖm, dÉn ®Õn hÖ v« nghiÖm . + NÕu a = 0 th× (I) cã v« sè nghiÖm d¹ng ( x ∈ R, y = 0 ) , cßn (II) cã duy nhÊt nghiÖm ( x = 0, y = 0 ) . V× thÕ hÖ ®· cho cã v« sè nghiÖm . Tr−êng hîp 2 : b ≠ 0 . Khi ®ã, tõ (1) vµ (2) dÔ thÊy , nÕu ( x, y ) lµ nghiÖm cña hÖ ®· cho th× b ph¶i cã x, y >0 . V× thÕ (2) ⇔ x = −y ( 3) . y ⎡⎛ b ⎞ 3 ⎤ ThÕ (3) vµo (1) ta ®−îc : y ⎢⎜ − y ⎟ − y 3 ⎥ = a2 ⎢⎜ y ⎟ ⎥ ⎣⎝ ⎠ ⎦ §Æt y = t > 0 . Tõ (4) ta cã ph−¬ng tr×nh sau : ⎡⎛ b ⎞ 3 ⎤ ( ) + a2 t = 0 ( 5 ) 3 t2 ⎢⎜ − t ⎟ − t 6 ⎥ = a 2 ⇔ t 9 − b − t 3 2 ⎢⎝ t ⎣ ⎠ ⎥ ⎦ XÐt hµm sè : f ( t ) = t 9 − ( b − t 3 ) + a 2 t x¸c ®Þnh trªn [ 0;+ ∞ ) cã : 3 ( f' ( t ) = 9t 8 + 9 b − t 3 ) t 2 + a 2 ≥ 0, ∀t ∈ [ 0; + ∞ ) . 2 Suy ra hµm sè f ( t ) ®ång biÕn trªn [ 0; + ∞ ) , vµ v× thÕ ph−¬ng tr×nh (5) cã tèi ®a 1 nghiÖm trong [ 0; + ∞ ) . Mµ f ( 0 ) = − b < 0 vµ f 3 ( b )= b 3 3 + b a 2 > 0 , nªn ph−¬ng tr×nh (5) cã duy nhÊt ⎛ b ⎞ nghiÖm, kÝ hiÖu lµ t0 trong ( 0; + ∞ ) . Suy ra hÖ cã duy nhÊt nghiÖm ⎜ x = − t0 2 , y = t0 2 ⎟ . ⎝ t0 ⎠ VËy tãm l¹i : + NÕu a = b = 0 th× hÖ ®· cho cã v« sè nghiÖm . ` + NÕu a tuú ý , b ≠ 0 th× hÖ ®· cho cã duy nhÊt nghiÖm . + NÕu a ≠ 0, b = 0 th× hÖ ®· cho v« nghiÖm . ⎧2 x 2 + xy − y 2 = 1 4. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ 2 (1) cã nghiÖm . ⎩ x + xy + y 2 = m ⎧2 x = 1 2 1 Gi¶i . + Víi y = 0 hÖ trë thµnh ⎨ 2 . HÖ cã nghiÖm khi m = ⎩x = m 2 x + Víi y ≠ 0 , ®Æt = t , hÖ trë thµnh y ⎧ 2 1 ⎧ 2 ⎪2 t + t − 1 = y 2 1 ⎪ ⎪ 2t + t − 1 = y 2 ⎨ ⇔⎨ (2) ⎪ t2 + t + 1 = m ⎪ y2 ⎪t 2 + t + 1 = m 2 t 2 + t − 1 ⎩ ( ) ⎩ VËy hÖ PT (1) cã nghiÖm ( x, y ) khi vµ chØ khi hÖ PT (2) cã nghiÖm ( t, y ) . 9
⎡ t < −1 1 XÐt hÖ (2), tõ 2t + t − 1 = 2 suy ra 2t + t − 1 > 0 ⇔ ⎢ 2 2 . Do ®ã hÖ (2) cã nghiÖm ( t, y ) y ⎢t > 1 ⎢ ⎣ 2 t2 + t + 1 ⎛1 ⎞ t2 + t + 1 ⇔m= cã nghiÖm t ∈ ( −∞, −1) ∪ ⎜ , + ∞ ⎟ . XÐt hµm sè f ( t ) = 2 trªn kho¶ng 2t 2 + t − 1 ⎝2 ⎠ 2t + t − 1 t 2 + 6t + 2 ⎡ t = −3 − 7 ( −∞, −1) ∪ ⎛ ⎞ 1 ⎜ , + ∞ ⎟ . Ta cã : f' ( t ) = − , f' ( t ) = 0 ⇔ ⎢ ⎝2 ⎠ ( ) 2 2t 2 + t − 1 ⎢ t = −3 + 7 ⎣ LËp b¶ng biÕn thiªn : −∞ −3 − 7 -1 −3 − 7 1 −∞ t 2 f’(t) - 0 + + 0 - 1 +∞ +∞ 2 f(t) 1 −∞ −∞ 14 + 5 7 2 28 + 11 7 14 + 5 7 Nh×n vµo b¶ng biÕn thiªn ta thÊy ®Ó hÖ cã nghiÖm : m ≥ . 28 + 11 7 ⎧ x 3 ( 2 + 3y ) = 1 ⎪ ( 1) 5. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ ⎪ x y −2 =3 ⎩ 3 ( ) (2) Gi¶i . Râ rµng nÕu y = 3 2 hÖ v« nghiÖm. 3 Víi y ≠ 3 2 , tõ (2) suy ra x = , thay vµo (1) ta cã : y −2 3 27 ( 2 + 3y ) = 1 (3) . XÐt hµm sè : f ( y ) = 27 ( 2 + 3y ) − 1 , ta cã : f' ( y ) = − ( 81 8y 3 + 6 y 2 + 2 ) (y ) (y ) (y ) 3 3 3 3 −2 3 −2 3 −2 Suy ra : f' ( y ) = 0 ⇔ y = −1 Ta cã b¶ng biÕn thiªn : 3 y −∞ -1 2 +∞ f’(y) + 0 - - 0 +∞ f (y) −∞ −∞ −∞ 10
Nh×n vµo b¶ng biÕn thiªn suy ra pt(3) kh«ng cã nghiÖm trªn c¸c kho¶ng ( −∞; −1) vµ −1; 3 2 . ( ) Ph−¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm y = −1 vµ 1 nghiÖm trong kho¶ng ( 3 2, + ∞ ) DÔ thÊy y = 2 lµ 1 nghiÖm thuéc kho¶ng ( 3 2, + ∞ . ) ⎛1 ⎞ VËy hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm : ( −1; −1) vµ ⎜ ; 2 ⎟ . ⎝2 ⎠ 6. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 2004 –B¶ng B ) ⎧ x 3 + 3 xy 2 = −49 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh sau : ⎨ 2 ⎩ x − 8 xy + y = 8 y − 17 x 2 7. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 1998-1999 –B¶ng A ) ⎧(1 + 4 2 x − y ) .51−2 x + y = 1 + 22 x − y +1 ⎪ Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ 3 ⎪ y + 4 x + 1 + ln ( y + 2 x ) = 0 2 ⎩ Gi¶i . §K: y 2 + 2 x > 0 §Æt t = 2 x − y th× ph−¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ trë thµnh : 1 + 4 t 1 + 2 t +1 (1 + 4 ) .5 t 1− t = 1 + 2 t +1 ⇔ 5t = 5 (1) VÕ tr¸i lµ hµm nghÞch biÕn, vÕ ph¶i lµ hµm ®ång biÕn trªn nªn t=1 lµ nghiÖm duy nhÊt cña (1). y +1 VËy 2 x − y = 1 ⇒ x = thÕ vµo ph−¬ng tr×nh thø hai cña hÖ ta ®−îc : 2 ( ) y 3 + 2 y + 3 + ln y 2 + y + 1 = 0 ( 2 ) VÕ tr¸i lµ hµm ®ång biÕn do ®ã y =-1 lµ nghiÖm duy nhÊt cña (2). §¸p sè : x = 0, y = −1 . 8. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 2000-2001 –B¶ng B ) ⎧ 7x + y + 2 x + y = 5 ⎪ Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ ⎪ 2x + y + x − y = 2 ⎩ Gi¶i : §K cã nghÜa cña hÖ ph−¬ng tr×nh : min {7 x, 2 x} ≥ − y §Æt : 7x + y = a vµ 2x + y = b . Tõ hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho ta cã hÖ : ⎧a + b = 5 ⎪ (1 ) ⎨ ⎪b + x − y = 2 ⎩ (2) NhËn thÊy : a 2 − b2 = 5 x . KÕt hîp víi (1) suy ra : b = ( 5 − x ) , thÕ vµo (2) ta ®−îc : 2 5− x + x − y = 2 ⇔ x = 2y − 1 ( 3) 2 11 − 77 ThÕ (3) vµo (2) ta cã : 5y − 2 + y − 1 = 2 ⇒ y = 2 11 − 77 ThÕ vµo (3) suy ra nghiÖm cña hÖ lµ: x = 10 − 77, y= . 2 11
9. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh 2 Èn x, y : ( ⎧ k x 2 + 3 x 4 + 3 x 2 + 1 = yx ⎪ ) ⎨ ( ) ⎪ k 3 x 8 + x 2 + 3 x 2 + 1 + ( k − 1) 3 x 4 = 2 y 3 x 4 ⎩ 1. X¸c ®Þnh k ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm . 2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh víi k = 16. 10. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 1995-1996 –B¶ng A ) ⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎪ 3x . ⎜1 + ⎟=2 ⎪ ⎝ x+y⎠ Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ ⎪ 7y . ⎛ 1 − 1 ⎞ = 4 2 ⎪ ⎜ ⎟ ⎩ ⎝ x+y⎠ Gi¶i . §K cã nghÜa cña hÖ : x ≥ 0, y ≥ 0 vµ x 2 + y 2 ≠ 0 . DÔ thÊy , nÕu ( x, y ) lµ nghiÖm cña hÖ ®· cho th× ph¶i cã x >0, y>0 . Do ®ã : ⎧⎛ 1 ⎞ 2 ⎧ 1 1 2 2 ⎪⎜ 1 + ⎟= ⎪ = − ( 1) ⎪⎝ x+y⎠ 3x ⎪x + y 3x 7y HÖ ®· cho ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎪ ⎛1 − 1 ⎞ = 4 2 ⎪1 = 1 + 2 2 ⎪⎝⎜ x+y⎠ ⎟ ⎪ (2) ⎩ 7y ⎩ 3x 7y Nh©n (1) víi (2) theo vÕ ta ®−îc : 1 1 8 = − ⇔ 21xy = ( x + y )( 7 y − 3 x ) ⇔ ( y − 6 x )( 7 y + 4 x ) = 0 ⇔ y = 6 x ( v× x >0, y>0) x + y 3x 7y 11 + 4 7 22 + 8 7 Thay vµo (2) vµ gi¶i ra ta ®−îc : x = , y= .Thö l¹i ta thÊy tho¶ m·n yªu cÇu bt. 21 7 Iii. HÖ ph−¬ng tr×nh 3 Èn. 1. ( §Ò thi HSG TØnh Qu¶ng Ng·i 1995-1996) ⎧ y 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = 0 ⎪ 3 ⎨ z − 6 y + 12 y − 8 = 0 2 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎪ x 3 − 6 z 2 + 12 z − 8 = 0 ⎩ ⎧12 x 2 − 48 x + 64 = y 3 ⎪ ⎨12 y − 48y + 64 = z 2 3 4. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎪12 z 2 − 48z + 64 = x 3 ⎩ ⎧ x 19 + y 5 = 1890 z + z 2001 ⎪ 19 5 ⎨ y + z = 1890 x + x 2001 5. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎪ z19 + x 5 = 1890 y + y 2001 ⎩ Gi¶i . Chóng ta sÏ chøng minh hÖ ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm duy nhÊt x = y = z = 0 . 12
Gi¶ sö ( x, y, z ) lµ mét nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh khi ®ã ( − x, − y, − z ) còng lµ mét nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh , nªn kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ thiÕt : cã Ýt nhÊt hai trong ba sè x, y, z kh«ng ©m. VÝ dô x ≥ 0, y ≥ 0 . Tõ ph−¬ng tr×nh thø nhÊt ta suy ra z ≥ 0 . MÆt kh¸c nÕu 0 < u ≤ 1 th× 1890 + u2000 > 2 ≥ u18 + u4 NÕu u > 1 th× 1890 + u2000 > 1 + u2000 > 2. u2000 = 2.u1000 > u18 + u4 Do ®ã 1890u + u2001 > u19 + u5 víi mäi u>0. Bëi vËy nÕu céng tõng vÕ cña HPT ta suy ra x = y = z = 0 .®pcm 6. T×m ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ cña m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt : ⎧ x 2 = ( 2 + m ) y 3 − 3y 2 + my ⎪ 2 ⎨ y = ( 2 + m ) z − 3z + mz 3 ⎪ z 2 = ( 2 + m ) x 3 − 3 x + mx ⎩ 7. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 2004 –B¶ng A ) ⎧ x 3 + x ( y − z )2 = 2 ⎪ ⎪ Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh sau : ⎨ y 3 + y ( z − x ) = 30 2 ⎪ 3 ⎪ z + z ( x − y ) = 16 2 ⎩ ( ) ⎧ x 2 ( x + 1) = 2 y 3 − x + 1 ⎪ ⎪ 2 8. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ( ⎨ y ( y + 1) = 2 z − y + 1 3 ) ⎪ 2 ( ⎪ z ( z + 1) = 2 x − z + 1 ⎩ 3 ) Gi¶i . ViÕt l¹i hÖ ®· cho d−íi d¹ng : ⎧ x 3 + x 2 + 2 x = 2 y3 + 1 ⎧ f ( x) = g ( y) ⎪ 3 ⎪ ⎨ y + y + 2 y = 2z + 1 2 3 hay ⎨ f ( y ) = g ( z ) ⎪ z3 + z 2 + 2 z = 2 x 3 + 1 ⎪ f ( z) = g ( x ) ⎩ ⎩ Trong ®ã f ( t ) = t 3 + t 2 + 2t vµ g ( t ) = 2t 3 + 1 . NhËn xÐt r»ng g(t), f(t) lµ hµm ®ång biÕn trªn R v× : f' ( t ) = 3t 2 + 2t + 2 > 0, g ( t ) = 6t 2 ≥ 0, ∀t ∈ R. ⎧x = y = z Suy ra hÖ ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ : ⎨ ( 4) ⎩h ( x ) = 0 Trong ®ã h ( t ) = t 3 − t 2 − 2t + 1 . NhËn xÐt r»ng h ( t ) liªn tôc trªn R vµ : h ( −2 ) < 0, h ( 0 ) > 0, h (1) < 0, h ( 2 ) > 0 nªn ph−¬ng tr×nh h ( t ) = 0 cã c¶ 3 nghiÖm ph©n biÖt ®Òu n»m trong ( −2; 2 ) §Æt x = 2cosu, u ∈ ( 0; π ) . Khi ®ã sinu ≠ 0 vµ (4) cã d¹ng : ⎧ x = y = z = 2cosu, u ∈ ( 0; π ) ⎧ x = y = z = 2cosu, u ∈ ( 0; π ) ⎪ ⎨ hay ⎨ ⎩8cos u − 4cos u − 4cosu + 1 = 0 3 2 ⎩ 3 ( ⎪sinu 8cos u − 4cos u − 4cosu + 1 = 0 2 ) ⎧ x = y = z = 2cosu, u ∈ ( 0; π ) Hay ⎨ (5). ⎩ sin4u = sin3u 13
⎧ x = y = z = 2cosu, u ∈ ( 0; π ) ⎧ π 3π 5π ⎫ ⎪ Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh (5) ta thu ®−îc u ∈ ⎨ ; ; ⎬ vµ ⎨ ⎧ π 3π 5π ⎫ ⎩7 7 7 ⎭ ⎪u∈⎨ 7 ; 7 ; 7 ⎬ ⎩ ⎩ ⎭ 9. T×m tÊt c¶ c¸c bé ba sè d−¬ng ( x, y, z ) tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧2 x 2004 = y 6 + z 6 ⎪ 2004 ⎨2 y = z6 + x 6 ⎪ 2004 = x 6 + y 6 ⎩2 z Gi¶i : Gi¶ sö ( x, y, z ) lµ mét bé ba sè d−¬ng tho¶ m·n hÖ PT ®· cho . Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t , gi¶ sö 0 < x ≤ y ≤ z . Nh− vËy : ⎧2 x 2004 = y 6 + z 6 ≥ x 6 + x 6 ⎧ x 2004 ≥ x 6 ⎧x ≥ 1 ⎨ 2004 ⇒ ⎨ 2004 ⇒⎨ ⇒ x = y = z =1 = x +y ≤z +z ≤z ⎩z ≤ 1 6 6 6 6 6 ⎩ 2z ⎩z §¶o l¹i, dÔ thÊy x = y = z = 1 lµ mét bé ba sè d−¬ng tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n . 10. T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm : ⎧ x 2 + y 2 − z 2 + xy − yz − zx = 1 ⎪ 2 2 ⎨ y + z + yz = 2 ⎪ x 2 + z 2 + xz = m ⎩ ⎧x5 − x 4 + 2 x2 y = 2 ⎪ 5 ⎨ y − y + 2y z = 2 4 2 11. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎪ z5 − z 4 + 2 z 2 x = 2 ⎩ ( ⎧ x 3 y 2 + 3y + 3 = 3y 2 ⎪ ) ⎪ 3 2 12. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ( ⎨ y z + 3z + 3 = 3z 2 ) ⎪ 3 2 ( ⎪z x + 3x + 3 = 3x ⎩ 2 ) 13. T×m tÊt c¶ c¸c sè thùc a sao cho hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm thùc x, y, z : ⎧ ⎪ x −1 + y −1 + z −1 = a −1 ⎨ ⎪ x +1 + y +1 + z +1 = a +1 ⎩ Gi¶i. §K: x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1 HÖ ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi hÖ ph−¬ng tr×nh : ( ) ( ) ( ⎧ x − 1 + x + 1 + y − 1 + y + 1 + z − 1 + z + 1 = 2a ⎪ ) ⎨ ( ) ( ⎪ x +1 − x −1 + y +1 − y −1 + z +1 − z −1 = 2 ⎩ ) ( ) §Æt u = x − 1 + x + 1 ; v = y − 1 + y + 1 ; s = z − 1 + z + 1 Do x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1 nªn u ≥ 2, v ≥ 2, s ≥ 2 . Ng−îc l¹i nÕu u ≥ 2, v ≥ 2, s ≥ 2 , ta cã : 2 2 1⎛ 2⎞ 1⎛ 4⎞ x +1 − x −1 = = ⇒ x + 1 = ⎜ u + ⎟ ⇒ x = ⎜ u2 + 2 ⎟ ≥ 1 x +1 + x −1 u 2⎝ u⎠ 4⎝ u ⎠ T−¬ng tù ®èi víi y, z . 14
Do ®ã bµi to¸n cña ta ®−a vÒ bµi to¸n t−¬ng ®−¬ng : T×m tÊt c¶ c¸c sè thùc a sao cho hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm u ≥ 2, v ≥ 2, s ≥ 2 : ⎧u + v + s = 2 a ⎪ ⎨1 1 1 ( 1) ⎪u + v + s =1 ⎩ + §iÒu kiÖn cÇn : Gi¶ sö hÖ ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm . Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhia ta cã : ⎛ 1 1 1⎞ 9 2a = ( u + v + s ) ⎜ + + ⎟ ≥ 9 ⇒ a ≥ ⎝u v s⎠ 2 9 + §iÒu kiÖn ®ñ : Gi¶ sö a ≥ . Chóng ta sÏ chøng minh hÖ ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm 2 ⎧ u + v = 2a − 3 ⎪ LÊy s = 3 ( tho¶ m·n s ≥ 2 ) . Khi ®ã (1) t−¬ng ®−¬ng víi : ⎨ 3 ( 2a − 3) ⎪u.v = ⎩ 2 3 ( 2a − 3 ) ⇔ u, v lµ hai nghiÖm cña tam thøc bËc hai : t 2 − 2 ( 2 a − 3 ) t + 2 2a − 3 ± ( 2a − 3 )( 2a − 9 ) ⇒ u, v = 2 ( ) > ( h + 3 ) > h ( h + 6 ) . Tøc lµ : 2 2 Chó ý : §Æt h = 2a − 9 ≥ 0 ⇒ h + 6 − 2 2 ( 2a − 3 ) − 2 2> ( 2a − 3)( 2a − 9 ) ⇒ u > 2, v > 2 . Nh− vËy hÖ ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm u ≥ 2, v ≥ 2, s ≥ 2 . 9 Tãm l¹i c¸c sè thùc a cÇn t×m lµ tÊt c¶ c¸c sè thùc a ≥ . 2 14. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎪20 ⎜ x + ⎟ = 11 ⎜ y + ⎟ = 2007 ⎜ z + ⎟ ⎨ ⎝ x⎠ ⎝ y⎠ ⎝ z⎠ ⎪ xy + yz + zx = 1 ⎩ 15. ( §Ò thi HSG Quèc Gia n¨m 2005-2006 –B¶ng A ) ⎧ x 2 − 2 x + 6.log ( 6 − y ) = x ⎪ 3 ⎪ 2 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ y − 2 y + 6.log3 ( 6 − z ) = y ⎪ 2 ⎪ z − 2 z + 6.log3 ( 6 − x ) = z ⎩ Gi¶i . §K x¸c ®Þnh x, y, z < 6 . HÖ ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi : ⎧ x ⎪ log3 ( 6 − y ) = (1 ) ⎪ x − 2x + 6 2 ⎪ ⎪ y ⎨ log3 ( 6 − z ) = (2) ⎪ y − 2y + 6 2 ⎪ z ⎪log3 ( 6 − x ) = ( 3) ⎪ ⎩ z2 − 2 z + 6 15
x NhËn thÊy f ( x ) = lµ hµm t¨ng, cßn g ( x ) = log3 ( 6 − x ) lµ hµm gi¶m víi x
18 . Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ x2 + y2 = −y ( x + z) ⎪ 2 ⎨ x + x + y = −2 yz ⎪3 x 2 + 8 y 2 + 8 xy + 8yz = 2 x + 4 z + 2 ⎩ Gi¶i . HÖ ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi : ⎧ x ( x + y) + y ( y + z) = 0 ⎪ ⎪ ⎨ x ( x + 1) + y ( 2 z + 1) = 0 ⎪ ⎪ 4 ( x + y ) + 4 ( y + z ) = ( x + 1) + ( 2 z + 1) 2 2 2 2 ⎩ XÐt : a = ( x; y ) , b = ( x + y; y + z ) , c = ( x + 1; 2 z + 1) ⇒ a.b = 0, a.c = 0, 4 b = c 2 2 1 + NÕu a = 0 th× x = y = 0, z = − . 2 1 + NÕu a ≠ 0 th× b vµ c céng tuyÕn nªn : c = ±2 b , tõ ®ã ta cã : x = 0, y = z = . 2 ⎛ 1⎞ ⎛ 1 1⎞ Tãm l¹i hÖ cã hai nghiÖm : ⎜ 0; 0; − ⎟ , ⎜ 0; ; ⎟ . ⎝ 2⎠ ⎝ 2 2⎠ iV. HÖ ph−¬ng tr×nh n Èn. ( n >3, n∈ N ) 1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ x1 + x2 = x31996 ⎪ ⎪ x 2 + x3 = x 4 1996 ⎪ ⎨ ......... ⎪ x + x = x 1996 ⎪ 1995 1996 1 ⎪ x1996 + x1 = x2 ⎩ 1996 Gi¶i : Gäi X lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c nghiÖm xi , i = 1,...1996 vµ Y lµ gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña chóng. ThÕ th× tõ ph−¬ng tr×nh ®Çu ta cã : 2X ≥ x1 + x2 = x31996 Tõ ®ã ®èi víi c¸c ph−¬ng tr×nh cña hÖ ta cã : 2X ≥ x k1996 , ∀k = 1, 2,....,1996 Hay lµ ta cã : 2X ≥ X1996 suy ra : 2 ≥ X1995 ( v× X >0 ) (1) LËp luËn mét c¸ch t−¬ng tù ta còng ®i ®Õn : 2 ≤ Y1995 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra X1995 = Y1995 = 2 NghÜa lµ ta cã : x1 = x2 = .... = x1996 = 1995 2 ⎧ x1 − a1 x2 − a2 x −a ⎪ = = ... = n n 2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ b1 b2 bn ⎪ x + x + .... + x = c ⎩ 1 2 n n víi b1 , b2 ,..., bn ≠ 0, ∑b i =1 i ≠0 17
x1 − a1 x2 − a2 x −a Gi¶i . §Æt : = = ... = n n = t b1 b2 bn ⎛ n ⎞ ⎜ c − ∑ ai ⎟ ⇒ c = ∑ ai + t ∑ bi ⇒ t = ⎝ n i =1 ⎠ n n n n n Ta cã : xi = tbi + ai ⇒ ∑ xi = ∑ ai + t ∑ bi i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 ∑ bi i =1 ⎛ ⎞ n ⎜ c − ∑ ai ⎟ ⇒ xi = ai + bi ⎝ n i =1 ⎠ ∑ bii =1 18