Phương pháp vec tơ trong không gian-Phạm kim Chung

Chia sẻ: Trần Bá Trung5 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

254
lượt xem 123
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu " Phương pháp vec tơ trong không gian-Phạm kim Chung " giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập toán học một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình.Chúc các bạn học tốt

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp vec tơ trong không gian-Phạm kim Chung

Lêi nãi ®Çu. Khi d¹y h×nh häc kh«ng gian t«i c¶m thÊy rÊt phiÒn khi lóc nµo còng ph¶i mang c¸i th−íc bªn m×nh ®Ó cã thÓ vÏ ®−îc nh÷ng c¸i h×nh kh«ng gian phøc t¹p , lóc cßn lµ häc sinh t«i còng c¶m gi¸c r»ng nh÷ng bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian lµ nh÷ng bµi to¸n khã v× ®Ó gi¶i quyÕt nã buéc t«i ph¶i cã nh÷ng t−ëng t−îng kh«ng gian phong phó vµ t«i còng c¶m nhËn ®−îc ®iÒu nµy tr−íc sù “nh¨n nhã” cña häc sinh . T«i vÉn mong muèn r»ng cã thÓ ®äc ®−îc mét tµi liÖu nµo ®ã mµ cã thÓ cho t«i mét ph−¬ng ph¸p ®ì t− duy trªn h×nh vÏ h¬n ; T«i ®· cè g¾ng t×m tßi vµ ®äc ®−îc mét sè tµi liÖu hay nh−: T¹p chÝ TH&TT; Quy tr×nh gi¶i c¸c bµi to¸n h×nh häc b»ng pp vÐc t¬ (NguyÔn V¨n Léc); To¸n n©ng cao h×nh häc (Phan Huy Kh¶i) ; H×nh häc KG(TrÇn V¨n H¹o) ; Gi¶i to¸n h×nh häc (TrÇn Thµnh Minh) ; H×nh häc kh«ng gian (Sa-r−-gin) vµ mét sè tµi liÖu kh¸c …trong ®ã cã rÊt nhiÒu ph−¬ng ph¸p t«i t©m ®¾c nh− ph−¬ng ph¸p vÐc t¬, ph−¬ng ph¸p ®¹i sè ho¸, ph−¬ng ph¸p tr¶i tø diÖn , ph−¬ng ph¸p chiÕu vu«ng gãc,song song, ph−¬ng ph¸p sö dông c¸c phÐp biÕn h×nh… T«i còng ®· thö nghiÖm mét vµi ph−¬ng ph¸p khi d¹y trªn líp , vµ t«i nhËn thÊy pp vÐc t¬ lµ kh¸ phï hîp víi n¨ng lùc hs ®ång thêi cã thÓ gióp häc sinh cã nh÷ng chuÈn bÞ tèt khi häc h×nh gi¶i tÝch (líp 12). V× vËy t«i cè g¾ng viÕt ra mét tµi liÖu cho riªng t«i, phï hîp víi phong c¸ch gi¶ng d¹y cña t«i h¬n ; Nh−ng t«i vÉn c¶m thÊy r»ng nã ch−a thËt võa ý , nh©n tiÖn tæ cã ®−a ra yªu cÇu viÕt mét chuyªn ®Ò nªn t«i cã dÞp ®−a nã ra ®Ó m×nh cã thÓ thu thªm nhiÒu ý kiÕn ®ãng gãp ,phª b×nh quý b¸u cho c«ng t¸c gi¶ng d¹y sau nµy. Trong bµi viÕt t«i thiªn vÒ viÖc gi¶i quyÕt nh÷ng bµi to¸n SGK , cßn nh÷ng bµi to¸n kh¸c chØ mang tÝnh chÊt phô ho¹ cho ph−¬ng ph¸p vÐc t¬ mµ th«i. V× thêi gian viÕt chuyªn ®Ò qu¸ ng¾n nªn mét sè phÇn nh−: gãc, thÓ tÝch,mÆt cÇu, bÊt ®¼ng thøc h×nh häc…ch−a kÞp lµm, hy väng r»ng víi sù gãp ý cña c¸c thÇy c« t«i sÏ viÕt ®−îc mét tµi liÖu cã “chÊt” h¬n. RÊt mong ®−îc sù ®ãng gãp quý b¸u cña c¸c thÇy c«! Thanh Long ngµy 18/03/2007. Ph¹m Kim Chung 1
a, lý thuyÕt Ph−¬ng ph¸p vÐc t¬: I). Quy tr×nh gi¶i to¸n B−íc 1: Lùa chän “ HÖ vÐc t¬ gèc”.-> “Phiªn dÞch” c¸c gi¶ thiÕt , kÕt luËn cña bµi to¸n h×nh häc ®· cho ra ng«n ng÷ “vÐc t¬”. B−íc 2: Thùc hiÖn c¸c yªu cÇu cña bµi to¸n th«ng qua viÖc tiÕn hµnh c¸c phÐp biÕn ®æi c¸c hÖ thøc vÐc t¬ theo hÖ vÐc t¬ gèc . B−íc 3: ChuyÓn c¸c kÕt luËn “vÐc t¬” sang c¸c tÝnh chÊt h×nh häc t−¬ng øng . VD1: (Bµi tËp 7.Tr27-SGK11) Cho h×nh tø diÖn ABCD .Gäi M,N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña AB,CD vµ G lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MN. a). Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng AG ®i qua träng t©m A’ cña tam gi¸c BCD. Ph¸t biÓu kÕt luËn t−¬ng tù ®èi víi c¸c ®−êng th¼ng BG,CG vµ DG. b). Chøng minh GA=3GA’. A BG: { } Chän hÖ A, AB, AC , AD lµm c¬ së. *Phiªn dÞch gi¶ thiÕt , kÕt luËn theo hÖ vÐc t¬ gèc. +Gi¶ thiÕt: (H.1) 1 M lµ trung ®iÓm cña AB ⇔ AM = AB M 2 1 N lµ trung ®iÓm CD ⇔ AN = ( AD + AC ) 2 G . D G lµ trung ®iÓm ®o¹n MN B ( 1 2 ) 1 ( ⇔ AG = AM + AN = AB + AC + AD .(1) 4 ) A’ N 1 ( A’ lµ träng t©m tam gi¸c BCD ⇔ AA ' = AB + AC + AD .(2) 3 ) + DÔ thÊy yªu cÇu cña bµi to¸n t−¬ng ®−¬ng víi yªu cÇu chøng minh C 2 AG = AA ' 3 Tõ (1),(2) ta dÔ dµng gi¶i quyÕt bµi to¸n trªn. II, Mét sè tÝnh chÊt cÇn ghi nhí §Ó gi¶i quyÕt mét bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian b»ng ph−¬ng ph¸p vÐc t¬ häc sinh cÇn n¾m v÷ng c¸c kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt sau: 1). Quy t¾c 3 ®iÓm: AB + BC = AC , víi A,B,C lµ 3 ®iÓm bÊt k× trong kh«ng gian. 2). Quy t¾c hiÖu 2 vÐc t¬ chung gèc: AB lµ mét vÐc t¬ cho tr−íc th× víi mäi ®iÓm O bÊt k× , ta cã: AB = OB − OA . 3). Quy t¾c h×nh b×nh hµnh: NÕu tø gi¸c OABC lµ h×nh b×nh ta lu«n cã : OB = OA + OC . 4). TÝnh chÊt trung ®iÓm: NÕu M lµ trung ®iÓm ®o¹n AB th×: + MB + MA = 0 . + OA + OB = 2OM , víi mäi ®iÓm O. 5).TÝnh chÊt träng t©m cña tam gi¸c : NÕu G lµ träng t©m tam gi¸c ABC th×: + GA + GB + GC = 0 . + OA + OB + OC = 3OG víi mäi ®iÓm O. 2
6). TÝch v« h−íng cña 2 vÐc t¬: AB.CD = AB CD cos AB, CD . ( ) 7). §iÒu kiÖn ®Ó 2 vÐc t¬ cïng ph−¬ng : VÐc t¬ a cïng ph−¬ng víi vÐc t¬ b(b ≠ 0) ⇔ ∃k ∈ R : a = kb . 8). §iÒu kiÖn ®Ó 3 ®iÓm th¼ng hµng. §K cÇn vµ ®ñ ®Ó 3 ®iÓm A,B,C ph©n biÖt th¼ng hµng lµ: ∃k ≠ 0 : AB = k AC . 9). §iÒu kiÖn ®Ó 2 vÐc t¬ vu«ng gãc: AB ⊥ CD ⇔ AB.CD = 0 . 10). Ba vÐc t¬ ®ång ph¼ng: Ba vÐc t¬ gäi lµ ®ång ph¼ng nÕu 3 ®−êng th¼ng chøa chóng cïng song song víi mét mÆt ph¼ng. 11).C«ng thøc vÒ mèi liªn hÖ gi÷a ®é dµi vµ tÝch v« h−íng 2 vÐc t¬: ( + a.b = ⎡ a + b − a − b ⎤ 1 ) 2 2 2 2⎢⎣ ⎥ ⎦ ( + a.b = − ⎡ a − b − a − b ⎤ 1 ) 2 2 2 2⎣⎢ ⎥ ⎦ ⎧ x1 = x2 ⎪ 12). NÕu a, b, c lµ 3 vÐc t¬ kh«ng ®ång ph¼ng tho¶ m·n : x1 a + y1 b + z1 c = x2 a + y2 b + z2 c th×: ⎨ y1 = y2 . ⎪z = z ⎩ 1 2 OA − kOB 13). §iÓm M chia ®o¹n th¼ng AB theo tØ sè k ≠ 1 th× víi ®iÓm O bÊt k× ta cã: OM = . 1− k { } 14). Trong kh«ng gian cho hÖ O, OA, OB, OD . §iÓm D ∈ mp ( ABC ) th× OD = α OA + β OB + γ OC ,(α + β + γ = 1; α , β , γ ∈ R ) b, C¸c d¹ng bμi tËp *Bμi tËp h×nh thμnh ph−¬ng ph¸p . D¹ng 1 . Bμi tËp ph©n tÝch mét vÐc t¬ theo 3 vÐc t¬ kh«ng ®ång ph¼ng (Xem kh¸i niÖm 3 vÐc t¬ ®ång ph¼ng môc A-II-10) VD2: Cho tø diÖn ABCD . C¸c trung tuyÕn AA1 vµ BB1 cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i M . Cã thÓ biÓu diÔn vÐc t¬ DM theo bé ba vÐc t¬ nµo ,trong c¸c bé ba vÐc t¬ ®· cho sau ®©y? 1). DA, DC , DB 2). DA, AA1 , BB1 . D 3). AB, DA, A1 B1 . 1). DM = 1 3 (DA + DB + DC ) 2 (H.2) 2). DM = DA + AA1 + 0.BB1 3 3). Do A1B1//AB nªn 3 vÐc t¬ trªn lµ ®ång ph¼ng , mÆt kh¸c vÐc t¬ DM kh«ng ®ång A B ph¼ng víi 2 vÐc t¬ nµo trong 3 vÐc t¬ trªn , do vËy DM M kh«ng biÓu diÔn ®−îc theo c¸c vÐc t¬: AB, DA, A1 B1 B1 A1 VD3: Cho tø diÖn ABCD . §iÓm M lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC . C H·y biÔu diÔn DM theo c¸c vÐc t¬: DA, AC , CB . 3
HD: (Xem h×nh 2.). M lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC nªn: DM = 1 3 ( ) DA + DB + DC . VËy ®Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n ta cÇn biÓu diÔn DB, DC theo 3 vÐc t¬ DA, AC , CB .Ta cã: + DB = DA + AC + CB vµ DC = DA + AC Tõ ®ã suy ra: DM = 1 3 (3DA + 2 AC + CB . ) Bμi tËp tù gi¶i: 1).Cho tø diÖn ABCD . M vµ N lµ trung ®iÓm DB vµ DC . H·y ph©n tÝch c¸c vÐc t¬ AM , BN , MN theo DA, DB, DC . 2). Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O . a). H·y ph©n tÝch SD theo SA, SB, SC . b). H·y ph©n tÝch c¸c vÐc t¬ SA, SB, SC , SD theo c¸c vÐc t¬ AB, AC , SO . 3).Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’ . Gäi O lµ t©m cña h×nh lËp ph−¬ng vµ I lµ t©m cña mÆt CDD’C’ . H·y ph©n tÝch c¸c vÐc t¬ AO, AI theo AB, AD, AA ' . 4). Cho h×nh l¨ng trô tam gi¸c ABCA1B1C1. a). §Æt AC1 = c; BA1 = a; CB1 = b . H·y ph©n tÝch vÐc t¬ AA1 theo a, b, c . b). M lµ trung ®iÓm ®o¹n B1C . H·y ph©n tÝch vÐc t¬ AM theo AA1 , AB, AC . MD NA 5). Cho tø diÖn ABCD . M vµ N lµ c¸c ®iÓm chia c¸c ®o¹n th¼ng DB, AC theo tØ sè = m; = n . H·y ph©n MB NC tÝch vÐc t¬ MN theo AB, DA, BC . 6). Cho mÆt cÇu t©m O b¸n kÝnh R. Tõ ®iÓm S vÏ 3 tiÕp tuyÕn SA, SB, SC víi mÆt cÇu (A,B,C lµ c¸c tiÕp ®iÓm ). H·y ph©n tÝch vÐc t¬ SO theo SA, SB, SC biÕt r»ng ba vÐc t¬ nµy tõng cÆp t¹o víi nhau gãc 600. ---------------------------------------------------------------------------- D¹ng 2: Bμi tËp lùa chän “ hÖ vÐc t¬ gèc ”. * ViÖc lùa chän hÖ vÐc t¬ gèc lµ rÊt quan träng khi gi¶i quyÕt mét bµi to¸n b»ng ph−¬ng ph¸p vÐc t¬ . Nãi chung viÖc lùa chän hÖ vÐc t¬ gèc ph¶i tho¶ m·n 2 yªu cÇu: + HÖ vÐc t¬ gèc ph¶i lµ 3 vÐc t¬ kh«ng ®ång ph¼ng . + HÖ vÐc t¬ gèc nªn lµ hÖ vÐc t¬ mµ cã thÓ chuyÓn nh÷ng yªu cÇu cña bµi to¸n thµnh ng«n ng÷ vÐc t¬ mét c¸ch ®¬n gi¶n nhÊt. VD4: (Bµi tËp 6- Tr27-SGK11) Cho h×nh tø diÖn ABCD víi P,Q lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD . Gäi R lµ ®iÓm n»m trªn c¹nh BC sao cho BR=2RC vµ S lµ giao ®iÓm cña c¹nh AD víi mp(PRQ) . Chøng minh r»ng AS=2SD. BG: A (H.3) { } Chän hÖ A, AB, AC , AD lµm c¬ së. Ta cã: P 1 S P lµ trung ®iÓm AB ⇒ AP = AB 2 D 1 Q lµ trung ®iÓm CD ⇒ AQ = 2 AC + AD ( ) B 1 2 R n»m trªn BC vµ BR=2RC ⇒ AR = AB + AC Q 3 3 R 2 Yªu cÇu bµi to¸n t−¬ng ®−¬ng víi viÖc chøng minh : AS = 2 SD hay AS = AD . C 3 4
Gi¶ sö AS = k AD . §iÓm S thuéc mp(PQR) do ®ã tån t¹i α , β , γ ∈ R sao cho: AS = α AP + β AQ + γ AR ;(α + β + γ = 1) (Xem môc A-II-14) ⎛1 ⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛1 2 ⎞ 1 Hay k AD = α AB + β 2 1 2 ( ) 2 AC + AD + γ ⎜ AB + AC ⎟ ⇔ k AD = ⎜ α + γ ⎟ AB + ⎜ β + γ ⎟ AC + β AD ⎝3 3 ⎠ ⎝2 3 ⎠ ⎝2 3 ⎠ 1 2 ⎧α + β + γ = 1 ⎪1 ⎪ α + 1γ = 0 ⎪2 ⎪ 3 2 ⇔ ⎨1 2 ⇒ k = (Xem môc A-II-12), suy ra ®pcm. ⎪2 β + 3 γ = 0 3 ⎪ ⎪ k=1β ⎪ ⎩ 2 B×nh luËn : Víi chøng minh trªn ta nhËn thÊy pp vÐc t¬ cã thÓ tr¸nh cho chóng ta ph¶i kÎ thªm nhòng h×nh phô phøc t¹p, ®ã còng chÝnh lµ ®iÓm yÕu cña häc sinh khi häc h×nh häc kh«ng gian. Ta sÏ xÐt sang VD kh¸c , ®Ó nhËn thÊy râ h¬n −u ®iÓm cña ph−¬ng ph¸p vÐc t¬. VD5:(Bµi tËp 5-Tr86-SGK11) Chøng minh r»ng nÕu ®−êng th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh AB vµ CD cña tø diÖn ABCD lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña AB vµ CD th× AC=BD, AD=BC. BG: A Gi¶ sö M,N lµ trung ®iÓm cña AB, CD. { } Chän hÖ A, AB, AC , AD lµm c¬ së. (H.4) 1 M M lµ trung ®iÓm cña AB ⇔ AM = AB . 2 1 N lµ trung ®iÓm CD ⇔ AN = ( AD + AC ) . B 2 D ⇒ MN = AN − AM = 1 2 (AC + AD − AB . ) N CD = AD − AC . C + MN vu«ng gãc víi AB nªn: MN . AB = 0 ⇔ 1 4 ( AC + AD − AB . AB = 0 . ) 2 ⇔ 0 = AB. AC + AB. AD − AB (1) + MN vu«ng gãc víi CD nªn: MN .CD = 0 ⇔ 1 4 (AC + AD − AB )( AD − AC ) = 0 2 ⇔ AD 2 = AC − AB. AC + AB. AD (2) ( ) 2 LÊy (2)-(1) theo vÕ ta ®−îc: AD 2 = AB − AC = BC 2 ⇒ AD = BC . Céng vÕ theo vÕ ta ®−îc AC=BD. Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. B×nh luËn: +MÆc dï lµ bµi tËp SGK ,tuy nhiªn bµi to¸n trªn lµ bµi tËp khã kÓ c¶ víi nh÷ng HSG , v× viÖc vÏ h×nh phô ®Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n b»ng ph−¬ng ph¸p h×nh häc KG thuÇn tuý lµ kh«ng ®¬n gi¶n. + Bµi to¸n cßn cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p ®¹i sè ho¸ b»ng c¸ch ®Æt AB=x; AC=y; AD=z sau ®ã ¸p dông c«ng thøc trung tuyÕn còng lµ mét ph−¬ng ph¸p hay. 5
Bμi tËp tù gi¶i: 1)(Bµi tËp 4-Tr41-SGK11).Chøng minh r»ng tæng b×nh ph−¬ng tÊt c¶ c¸c ®−êng chÐo cña h×nh hép b»ng tæng b×nh ph−¬ng tÊt c¶ c¸c c¹nh cña h×nh hép ®ã. 2)(Bµi tËp 1-Tr59-SGK11). Cho h×nh hép ABCD.A’B’C’D’ cã tÊt c¶ c¸c c¹nh ®Òu b»ng nhau . Chøng minh r»ng : AC ⊥ B ' D ', AB' ⊥ CD ', AD' ⊥ CB ' . 3)(Bµi tËp 2-Tr59-SGK11) .Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh b»ng a , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . TÝnh cosin cña gãc ( AB, DM ) . 4)( Bµi tËp 3-Tr59-SGK11). Cho tø diÖn ABCD cã AB=CD=a, AC=BD=b, AD=BC=c. a). Chøng minh r»ng c¸c ®o¹n nèi trung ®iÓm c¸c cÆp c¹nh ®èi th× vu«ng gãc víi hai c¹nh ®ã . b). TÝnh cosin cña gãc hîp bëi c¸c ®−êng th¼ng AC vµ BD. 5)( Bµi tËp 3-Tr69-SGK11). Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi t©m O . BiÕt r»ng SA=SC, SB=SD. Chøng minh r»ng : a). SO ⊥ mp ( ABCD ) . b). AC ⊥ SD . 6) ( Bµi tËp 5-Tr69-SGK11). Cho tø diÖn ABCD . Chøng minh r»ng nÕu AB ⊥ CD vµ AC ⊥ BD th× AD ⊥ BC . 7) ( Bµi tËp 7-Tr69-SGK11). Cho tø diÖn OABC cã ba c¹nh OA, OB, OC ®«i mét vu«ng gãc . KÎ OH ⊥ mp ( ABCD ) H n»m trªn mp(ABC) . Chøng minh : a) H lµ trùc t©m tam gi¸c ABC 1 1 1 1 b) 2 = + + . OH OA OB OC 2 2 2 8) ( Bµi tËp 8-Tr86-SGK11) H×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a vµ SA=SB=SC=SD = a 2 . Gäi I vµ J lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña AD vµ BC . a). Chøng minh mp(SIJ) vu«ng gãc víi mp(SBC). b).TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng AD vµ SB. -------------------------------------------------------------------- *bμi tËp ph©n theo c¸c d¹ng to¸n gi¶i ®−îc b»ng pp vÐc t¬. Mét c©u hái th−êng gÆp ë häc sinh khi d¹y ph−¬ng ph¸p vÐc t¬ lµ : Nh÷ng bµi to¸n cã d¹ng nh− thÕ nµo th× gi¶i ®−îc b»ng ph−¬ng ph¸p vÐc t¬ ?, d¹ng to¸n nµo th× ph−¬ng ph¸p vÐc t¬ lµ −u ®iÓm ? , ®−êng lèi gi¶i quyÕt nã nh− thÕ nµo ? Thùc ra ®Ó tr¶ lêi ®−îc c©u hái ®ã lµ rÊt khã v× c¸c bµi to¸n s¬ cÊp nãi chung vµ h×nh häc kh«ng gian nãi riªng lµ khã t×m mét ph−¬ng ph¸p nµo lµ cã thÓ gi¶i quyÕt hÕt c¸c bµi to¸n nÕu nh− kh«ng muèn nãi lµ kh«ng thÓ. Tuy nhiªn ®èi víi c¸c bµi tËp SGK chóng ta cã thÓ lµm râ ®−îc phÇn nµo, vÝ dô ®èi víi nh÷ng hs trung b×nh cã thÓ dõng l¹i ë c¸c bµi to¸n cã gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn ®¬n gi¶n nh− trung ®iÓm, träng t©m , vu«ng gãc; ®èi víi nh÷ng hs kh¸ cã thÓ n©ng cao lªn ë nh÷ng bµi to¸n kho¶ng c¸ch , tÝnh gãc , th¼ng hµng, ®¼ng thøc h×nh häc…; ®èi víi nh÷ng hs giái cã thÓ thªm nh÷ng d¹ng to¸n vÒ sù ®ång ph¼ng , ®ång quy,bÊt ®¼ng thøc h×nh häc, quan hÖ song song ,vu«ng gãc … ë møc ®é khã h¬n. D¹ng 1: Bμi tËp vÒ träng t©m tam gi¸c , tø diÖn. 1 + M lµ trung ®iÓm AB ⇔ OM = OA + OB 2 ( ) 1 +G lµ träng t©m tam gi¸c ABC ⇔ OG = OA + OB + OC 3 ( ) (Víi mäi ®iÓm O bÊt k× trong kh«ng gian ) VD6: Cho h×nh hép ABCD.A’B’C’D’. MÆt ph¼ng (A’BD) c¾t ®−êng chÐo AC’ t¹i M. Chøng minh M lµ träng t©m cña tam gi¸c A’BD. 6
B C { HD: Chän hÖ vÐc t¬ c¬ së A, AA ', AB, AD } Ph©n tÝch bµi to¸n: *Gi¶ thiÕt: A D MÆt ph¼ng (A’BD) c¾t ®−êng chÐo AC’ t¹i M. Suy ra: M + M ∈ AC ' ⇒ ∃k ∈ R : AM = k AC ' (H.5) ( hay AM = k AA ' + AB + AB ) B’ M ∈ mp( A ' BD) C’ ⇒ AM = α AA ' + β AB + γ AD (α , β , γ ∈ R : α + β + γ = 1) A’ D’ *Yªu cÇu bµi to¸n t−¬ng ®−¬ng víi viÖc chøng 1 minh: AM = AA ' + AB + AD 3 ( ) Víi viÖc lËp hÖ ph−¬ng tr×nh vµ gi¶i quyÕt t−¬ng tù VD4 , ta suy ra ®pcm. Bμi tËp tù gi¶i: 1). Cho h×nh hép xiªn ABCD.A’B’C’D’ . Gäi P,Q,R lµ ¶nh ®èi xøng cña ®iÓm D’ qua c¸c ®iÓm A, B’, C . Chøng tá r»ng B lµ träng t©m cña tø diÖn PQRD’. 2). Cho tø diÖn ABCD . Gäi M,N,P,Q lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña AB,BC,CD,DA . Chøng minh 2 tam gi¸c ANP vµ CMQ cã chung träng t©m. 3). Chøng minh r»ng hai tø diÖn ABCD vµ A’B’C’D’ cã cïng träng t©m khi vµ chØ khi: AA ' + BB ' + CC ' + DD ' = 0 . 4). Cho tø diÖn ABCD . Gäi A’, B’, C’ ,D’ lÇn l−ît lµ c¸c ®iÓm trªn c¸c c¹nh AB,BC,CD,DA sao cho: A ' A B ' B CC ' D ' D = = = =k. A ' B B 'C C ' D D ' A Chøng minh hai tø diÖn ABCD vµ A’B’C’D’ cã cïng träng t©m. 5). Cho h×nh hép ABCD.A1B1C1D1 . Gäi P,R theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB, A1D1 ; Gäi P1 ,Q ,Q1 ,R1 theo thø tù lµ giao ®iÓm cña c¸c ®−êng chÐo cña c¸c mÆt (ABCD), (CDD1C1), (A1B1C1D1),(ADD1A1).B a). Chøng minh r»ng : PP + QQ1 + RR1 = 0 . 1 b). Chøng minh hai tam gi¸c PRQ vµ P1R1Q1 cã cïng träng t©m. ---------------------------------------------------------------------------------- D¹ng 2: bμi tËp vÒ c¸c ®iÓm th¼ng hμng. §Ó chøng minh 3 ®iÓm P, M, N th¼ng hµng ta chøng minh: AP = α AM + β AN (α ,β ∈ R:α + β = 1) trong ®ã A lµ ®iÓm bÊt k× (th«ng th−êng A lµ gèc cña hÖ c¬ së). VD7: Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’ c¹nh a . Gäi P,Q lµ c¸c ®iÓm x¸c ®Þnh bëi : AP = − AD ' , C ' Q = −C ' D ; M lµ trung ®iÓm BB’ . Chøng minh r»ng P, M, Q th¼ng hµng . HD: { } Chän hÖ A ', A ' A = a, A ' B ' = b, A ' D ' = c lµm c¬ së. 7
Ph©n tÝch bµi to¸n: * Gi¶i thiÕt : AP = − AD ' ⇒ AP = − AD ' ⇒ A ' P = 2a − d C ' Q = −C ' D ⇒ C ' Q = −C ' D ⇒ A ' Q = 2b + d − a 1 ( M lµ trung ®iÓm BB’ ⇒ A ' M = A ' B + A ' B ' = a + b 2 ) 1 2 * Yªu cÇu cña bµi to¸n t−¬ng ®−¬ng víi viÖc chøng minh: ∃α , β : A ' M = α A ' P + β A ' Q (α + β = 1) . 1 Thay c¸c ®¼ng thøc trªn vµ gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ta ®−îc α = β = . 2 Bμi tËp tù gi¶i : 1). Cho h×nh hép ABCD.A1B1C1D1 . Gäi P lµ trung ®iÓm cña c¹nh B1C1 . §−êng th¼ng d qua P c¾t ®−êng th¼ng AB t¹i M vµ c¾t ®−êng th¼ng DD1 t¹i N . Chøng minh P lµ trung ®iÓm cña ®o¹n MN. 2).Cho tø diÖn OABC . Gäi M,N ,P lÇn l−ît lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng víi O ®èi víi trung ®iÓm c¸c c¹nh tam gi¸c ABC . Chøng minh r»ng , ®iÓm O vµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC , MNP th¼ng hµng. 3). Cho tø diÖn OABC . Gäi P, Q,R lÇn l−ît lµ träng t©m c¸c tam gi¸c AOB, BOC, COA . Chøng minh r»ng ®iÓm O vµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC, PQR th¼ng hµng. 4). Chøng minh r»ng trong tø diÖn trùc t©m : träng t©m , trùc t©m, t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp cïng n»m trªn mét ®−êng th¼ng (®−êng th¼ng ¥-le trong tø diÖn) 3 5). Cho h×nh hép ABCD.A1B1C1D1 . P lµ ®iÓm trªn ®−êng th¼ng CC1 sao cho : CP = CC1 . M lµ ®iÓm trªn ®−êng 2 MD th¼ng AD, N lµ ®iÓm trªn ®−êng th¼ng BD1 sao cho ba ®iÓm M, N, P th¼ng hµng . TÝnh : . MA ------------------------------------------------------------------------- D¹ng 3: quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®−êng th¼ng vμ mÆt ph¼ng. VD8. (Bµi tËp 3-Tr69-SGK11) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi t©m O . BiÕt r»ng SA=SC, SB=SD. Chøng minh r»ng: a). SO ⊥ mp ( ABCD ) . b). AC ⊥ SD . Chän hÖ vÐc t¬ c¬ së: S O, OA, OB, OS { } a). Ta cã: SA = OA − OS (H.6) B ( SC = OC − OS = − OA + OS ) Theo bµi ra : SA=SC ( ) = (OA + OS ) A 2 2 O SA2 = SC 2 ⇒ OA − OS C ⇒ OA.OS = 0 ⇒ OA ⊥ OS . D T−¬ng tù ta chøng minh ®−îc : OB ⊥ OS , suy ra: SO ⊥ mp ( ABCD ) . ( b). Ta cã : AC = −2OA ; SD = OD − OS . Do ®ã: AD.SD = −2OA. OD − OS = 0 ⇒ AC ⊥ SD . ) VD9.(Bµi tËp 5-Tr69-SGK11) .Cho tø diÖn ABCD. Chøng minh r»ng nÕu AB ⊥ CD, AC ⊥ BD th×: AD ⊥ BC 8
{ } HD: Chän hÖ A, AB, AC , AD lµm c¬ së. ( ) ⎧ AB ⊥ CD ⇒ AB. AD − AC = 0 ⇒ AB. AD − AB. AC = 0 ⎪ Ta cã: ⎨ ⇒ AC. AD − AB. AD = 0 (1) ⎪ ⎩ ( ) AC ⊥ BD ⇒ AC AD − AB = 0 ⇒ AC. AD − AC. AB = 0 . ( ) Nªn: AD.BC = AD AC − AB = 0 ⇒ AD ⊥ BC ®pcm. + §Ó chøng minh AB ⊥ CD , ta chøng minh: AB.CD = 0 + §Ó chøng minh AB ⊥ (α ) , ta chøng minh AB vu«ng gãc víi 2 ®−êng th¼ng c¾t nhau thuéc mp (α ) . + §Ó chøng minh (α ) ⊥ ( β ) , ta chøng minh 1 ®−êng th¼ng thuéc mÆt ph¼ng nµy vu«ng gãc víi 2 ®−êng th¼ng thuéc mÆt ph¼ng kia. Bμi tËp tù gi¶i : 1). Cho h×nh chãp S.ABCD , ®¸y ABC lµ tam gi¸c c©n ®Ønh A, D lµ trung ®iÓm BC , vÏ DE ⊥ AB ( E ∈ AB ) , biÕt SE ⊥ mp ( ABC ) . Gäi M lµ trung ®iÓm DE. Chøng minh : AM ⊥ mp ( SEC ) . 2).Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A1B1C1D1. Gäi M, N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AD vµ BB1. Chøng minh: MN ⊥ A1C . 3). Cho h×nh chãp S.ABC cã SA=SB=SC , ®¸y ABC lµ tam gi¸c c©n (AB=AC) . VÏ SO ⊥ mp ( ABC ) , D lµ trung ®iÓm c¹nh AB, E lµ träng t©m tam gi¸c ADC. Chøng minh : CD ⊥ mp ( SOE ) . 4). Cho h×nh l¨ng trô tam gi¸c ®Òu ABC.A’B’C’ cã tÊt c¶ c¸c c¹nh ®Òu b»ng a. M vµ N lµ c¸c ®iÓm lÇn l−ît thuéc c¸c ®−êng chÐo A’B vµ B’C. BiÕt r»ng : 3 2 A ' M = A ' B ; B ' N = B 'C . 5 5 Chøng minh r»ng : MN ⊥ A ' B vµ MN ⊥ B ' C . 5). Tæng hai gãc ph¼ng cña gãc tam diÖn b»ng 1800. Chøng minh r»ng ®−êng vu«ng gãc chung cña chóng vu«ng gãc víi ph©n gi¸c cña gãc ph¼ng thø ba. ------------------------------------------------------------------------------- D¹ng 4: TÝnh gãc gi÷a hai ®−êng th¼ng. ⎡ a 2 + b2 − a − b ( ) ⎤ 2 ( ) cos a, b = a.b 1 ⎢ = a b 2⎢ a b ⎥ ⎥ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ VD10(Bµi tËp2-Tr59-SGK11). Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh b»ng a, gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . 9
( TÝnh cosin cña gãc AB, DM . ) A { Chän hÖ vÐc t¬ c¬ së B, BA, BC , BD . Ta cã: } (H.7) 1 DM = BM − BD = BC − BD . 2 D ( Do ®ã: cos AB, DM = ) AB.DM DM AB B a 3 M DÔ thÊy : AB=a ; DM= 2 C ⎛1 ⎞ 1 π 1 π 1 AB.DM = − BA ⎜ BC − BD ⎟ = BD.BA − BA.BC = a 2 .cos − a 2 .cos = a 2 . Do ®ã ⎝2 ⎠ 2 3 2 3 4 ( cos AB, DM = 6 ) 3 >0 ( ⇒ cos AB, DM = 6 ) 3 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Chó ý : cos a, b > 0 ⇒ a, b = a, b ; cos a, b < 0 ⇒ a, b = π − a, b ( ) Bμi tËp tù gi¶i : 1)( Bµi tËp3-Tr59-SGK11). Cho tø diÖn ABCD cã AB=CD=a , AC=BD=b, AD=BC=c. a). Chøng minh c¸c ®o¹n nèi trung ®iÓm c¸c cÆp c¹nh ®èi th× vu«ng gãc víi hai c¹nh ®ã. b). TÝnh cosin cña gãc hîp bëi c¸c ®−êng th¼ng AC vµ BD. 2)(VÝ dô 1-Tr56-SGK). Cho tø diÖn ABCD . Gäi M,N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh BC vµ AD. Cho biÕt AB=CD=2a vµ MN= a 3 . TÝnh gãc AB, CD . ( ) 3). Trong h×nh chãp tam gi¸c ABCD tÊt c¶ c¸c c¹nh cã ®é dµi b»ng nhau . §iÓm M lµ trung ®iÓm c¹nh AD, ®iÓm O lµ träng t©m tam gi¸c ABC , ®iÓm N lµ trung ®iÓm c¹nh AB vµ ®iÓm K lµ trung ®iÓm c¹nh CD. T×m gãc gi÷a c¸c ®−êng th¼ng MO vµ KN. 4). Cho l¨ng trô ®øng tam gi¸c ABC.A1B1C1 : BC=a; AC=b ; AB=c; AA1=h. TÝnh cosin cña gãc: a). Gi÷a c¸c ®−êng chÐo AB1 vµ BC1. b). Gi÷a c¸c c¹nh AB vµ c¸c ®−êng chÐo B1C. 5)*. BiÕt c¸c gãc ph¼ng cña gãc tam diÖn SABC: BSC = α ; CSA = β ; ASB = γ . TÝnh cosin cña c¸c gãc : a). Gi÷a c¹nh SC vµ ph©n gi¸c gãc ASB . b). Gi÷a c¸c ph©n gi¸c gãc ASB vµ ASC . c). Gi÷a c¹nh SC vµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña nã trªn mÆt ph¼ng chøa mÆt ®èi diÖn. { } ----------------------------------------------------------------------------------- 10
D¹ng 5: quan hÖ song song gi÷a ®−êng th¼ng vμ mÆt ph¼ng. 1).Hai ®−êng th¼ng song song. §Ó chøng minh ®−êng th¼ng AB//CD ta chøng minh : AB = kCD (k ∈ R) VD11. Cho l¨ng trô tam gi¸c ABC.A1B1C1 . Gi¶ sö M, N, E, F lÇn l−ît lµ träng t©m B cña c¸c tam gi¸c AA1B ,A1B1C1 ,ABC , BCC1. Chøng minh MN//EF. B B1 { Chän hÖ vÐc t¬ c¬ së: A, AA1 = a, AB = b, AC = c } N A1 C1 Theo bµi ra ta cã: M M lµ träng t©m tam gi¸c AA1B1 ⇒ AM = B 1 3 ( AA1 + AB1 . ) (H.8) F N lµ träng t©m tam gi¸c A1B1C1 ⇒ AN = 1 3 ( AA1 + AB1 + AC1 ) B 1 E lµ träng t©m tam gi¸c ABC ⇒ AE = AB + AC 3 ( ) A E C 1 F lµ träng t©m tam gi¸c BCC1 ⇒ AF = AB + AC + AC1 3 ( ) Ta cÇn chøng minh : ∃k : MN = k EF . 1 ( 1 ) ( ) ThËt vËy: MN = AN − AM = a + c ; EF = a + c tõ ®ã suy ra: MN = EF ⇒ MN//EF 3 3 2).§−êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng. §Ó chøng minh ®−êng th¼ng d//mp( α ) ta lÊy trªn d mét vÐc t¬ a , vµ trªn ( α ) hai vÐc t¬ b, c sau ®ã chøng minh 3 vÐc t¬ trªn ®ång ph¼ng, nghÜa lµ chøng minh ∃k , l ∈ R : a = kb + lc VD12. Cho h×nh hép ABCD.A1B1C1D1. Gi¶ sö M vµ N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AA1 vµ B1C1. Chøng B minh r»ng MN song song víi mÆt ph¼ng (DA1C1). B1 N C1 Chän hÖ vÐc t¬ c¬ së: A1 D1 {D, DA = a, DC = b, DD = c} 1 (H.9) M Ta cã: MN = DN − DN = 1 2 ( 2b − a + c (1) ) B C Ta cÇn chøng minh : A D ( ) ( ∃x, y ∈ R : MN = xDC1 + yDA1 = x b + c + y a + c (2) ) 11
1 Tõ (1) vµ (2) suy ra : x=1;y= − . Do ®ã MN//mp(DA1C1) 2 ⎧ x1 = x2 ⎪ Chó ý: NÕu a, b, c lµ 3 vÐc t¬ kh«ng ®ång ph¼ng tho¶ m·n : x1 a + y1 b + z1 c = x2 a + y2 b + z2 c th×: ⎨ y1 = y2 . ⎪z = z ⎩ 1 2 3).Hai mÆt ph¼ng song song. §Ó chøng minh 2 mÆt ph¼ng (P)//(Q), ta lÊy trªn (P) 2 vÐc t¬ a, b , vµ trªn (Q) 2 vÐc ( ) ( ) t¬ x, y . Sau ®ã chøng minh c¸c bé 3 vÐc t¬ a, x, y ; b, x, y lµ ®ång ph¼ng. VD13. Cho l¨ng trô tam gi¸c ABC.A1B1C1. Gäi M, N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm AA1 vµ CC1; G lµ träng t©m B cña tam gi¸c A1B1C1. Chøng minh r»ng mp(MGC1)//mp(AB1N). B B1 G1 A1 C1 Chän hÖ vÐc t¬ c¬ së: {A, AA1 = a, AB = b, AC = c } (H.10) N Ta cÇn chøng minh tån t¹i x,y,x1,y1 sao cho: M ⎧ MG = x AB1 + y AN ⎪ B ⎨ ⎪ MC1 = x1 AB1 + y1 AN ⎩ A C TÝnh to¸n ta cã: 1 1 1 ⎛ 1 ⎞ 1 MG = a + b + c = ⎜ x + y ⎟ a + xb + yc ⇒ x = y = . T−¬ng tù ⇒ x1 = 0; y1 = 1 , suy ra ®pcm. 2 3 3 ⎝ 2 ⎠ 3 Bμi tËp tù gi¶i : 1).Cho h×nh hép ABCD.A1B1C1D1. Gi¶ sö E lµ t©m cña mÆt ABB1A1; N, I lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña CC1 vµ CD . Chøng minh EN//AI. 2). Cho l¨ng trô tam gi¸c ABC.A1B1C1 . Gi¶ sö M,N lÇn l−ît lµ träng t©m cña c¸c tam gi¸c ABA1 vµ ABC . Chøng minh r»ng MN//mp(AA1C1). 3). Cho l¨ng trô tam gi¸c ABC.A1B1C1 . Gi¶ sö M,N,E lÇn l−ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh BB1, CC1 , AA1 ; G lµ träng t©m tam gi¸c A1B1C1 . Chøng minh: a). mp(MGC1)//mp(BA1N) b). mp(A1GN)//mp(B1CE). 4). Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O. Gäi M,N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña SA ,SD. a). Chøng minh: mp(OMN)//(SBC). b). Gäi P vµ Q lµ trung ®iÓm cña AB vµ ON . Chøng minh : PQ//mp(SBC). ------------------------------------------------------------------------------------ 12
D¹ng 6: bèn ®iÓm hay ba vÐc t¬ ®ång ph¼ng. + Cho ba vÐc t¬ a, b, c trong ®ã a vµ b kh«ng cïng ph−¬ng. Khi ®ã ba vÐc t¬ a, b, c ®ång ph¼ng nÕu vµ chØ nÕu cã c¸c sè k vµ l sao cho: c = ka + lb . + Bèn ®iÓm A,B,C,D cïng thuéc mét mÆt ph¼ng khi vµ chØ khi tån t¹i c¸c sè thùc α , β sao cho: OA = α OB + β OC + (1 − α − β ) OD ,∀ ®iÓm O. VD14. Chøng minh r»ng ba vÐc t¬ x, y, z x¸c ®Þnh bëi c¸c biÓu thøc sau ®ång ph¼ng : x = a − b; y = c − a; z = −2a + b + c . Víi a, b, c lµ ba vÐc t¬ cho tr−íc kh«ng ®ång ph¼ng. ( ) HD: Ta cã : y − x = c − a − a − b = −2a + b + c = z . Suy ra c¸c vÐc t¬ x, y, z ®ång ph¼ng. VD15. Cho tø diÖn ABCD vµ c¸c ®iÓm I, K, E, F lµ c¸c ®iÓm tho¶ m·n : 2 IB + IA = 0 ; 2 KC + KD = 0 ; 2 EB + 3EC = 0 ;2 FA + 3FD = 0 . Chøng minh r»ng: a). C¸c vÐc t¬ BC , IK , AD ®ång ph¼ng. b). C¸c vÐc t¬ BA, EF , CD ®ång ph¼ng. c). Bèn ®iÓm I, E, K, F cïng thuéc mét mÆt ph¼ng. { } HD: Chän hÖ A, AB = x, AC = y, AD = z lµm c¬ së. 2 2 2 1 2 1 Theo gi¶ thiÕt ta cã : 2 IB + IA = 0 ⇒ AI = AB = x ; 2 KC + KD = 0 ⇒ AK = AC + AD = y + z ; 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 3 2 EB + 3EC = 0 ⇒ AE = AB + AC = x + y ; 2 FA + 3FD = 0 ⇒ AF = AD = z 5 5 5 5 5 5 Ta cÇn chøng minh tån t¹i α , β sao cho: AI = α AE + β AK + (1 − α − β ) AF (1) Thay c¸c biÓu thøc vÐct¬ trªn vµo (1), ta cã : 2 ⎛2 3 ⎞ ⎛2 1 ⎞ 3 x = α ⎜ x + y ⎟ + β ⎜ y + z ⎟ + (1 − α − β ) z . ¸p dông (A-II-12) ta t×m ®−îc α , β . 3 ⎝5 5 ⎠ ⎝3 3 ⎠ 5 VD16. Cho tø diÖn ABCD . Gäi M,N lµ trung ®iÓm AB vµ CD ; P, Q lµ hai ®iÓm theo thø tù thuéc hai c¹nh PA QB AC, BD sao cho: = . Chøng minh r»ng 4 ®iÓm M, N ,P,Q cïng thuéc mét mÆt ph¼ng. PC QD PA QB AP BQ A §Æt = ⇒ = := k . Do P, Q thuéc c¹nh AC, BD nªn: PC QD AC BD AP = k AC (1) P ⇒ BQ = k BD (2) (H.11) M Bèn ®iÓm M,N,P,Q cïng thuéc mét mÆt ph¼ng khi vµ chØ khi tån t¹i c¸c sè thùc α , β sao cho: B AQ = α AM + β AN + (1 − α − β ) AP .(3) Q BiÓu diÔn c¸c vÐc t¬ AQ, AP, AM , AN theo c¬ së D råi thay vµo (3) suy ra : α = 2 (1 − k ) ; β = 2k ⇒ ®pcm N C 13
Bμi tËp tù gi¶i : 1). Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A1B1C1D1 . C¸c ®iÓm M,N lÇn l−ît thuéc c¸c c¹nh AD, BB1 sao cho AM=BN. Chøng minh r»ng ba vÐc t¬ MN , AB, B1D ®ång ph¼ng. 2). Cho hai h×nh b×nh hµnh ABCD vµ A1B1C1D1 kh«ng cïng thuéc mét mÆt ph¼ng . Chøng minh r»ng c¸c vÐc t¬ BB1 , CC1 , DD1 ®ång ph¼ng. 3). Cho tø diÖn ABCD . Gäi A’,B’,C’,D’ lÇn l−ît lµ c¸c ®iÓm chia ®o¹n th¼ng AB, BC, CD, DA theo cïng tØ sè k, tøc lµ : A ' A B ' B C 'C D ' D = = = =k. A ' B B 'C C ' D D ' A Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× 4 ®iÓm A’ , B’, C’, D’ ®ång ph¼ng. 4).(Bµi tËp 7-Tr60-SGK12) Cho tø diÖn ABCD ; P,Q lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD . Hai ®iÓm M,N lÇn l−ît chia hai ®o¹n th¼ng BC vµ AD theo cïng tØ sè k. Chøng minh r»ng bèn ®iÓm P, Q, M, N n»m trªn cïng mét mÆt ph¼ng. -------------------------------------------------------------------------------------- D¹ng 7: chøng minh ®¼ng thøc ®é dμi, tÝnh ®é dμi ®o¹n th¼ng. 1⎡ ( a +b −a −b ⎤ ) 2 2 2 + a.b = 2⎣⎢ ⎥ ⎦ ( + a.b = − ⎡ a − b − a − b ⎤ 1 ) 2 2 2 2⎣⎢ ⎥ ⎦ ( + a.b = ⎡ a + b − a − b ⎤ 1 ) ( ) 2 2 4⎢⎣ ⎥ ⎦ VD17. C¸c c¹nh AB vµ CD cña tø tø diÖn ABCD vu«ng gãc víi nhau. Chøng minh r»ng : AC 2 − AD 2 = BC 2 − BD 2 { Chän hÖ vÐc t¬ c¬ së: A, AB, AC , AD . Ta cã: } ( ) 2 2 2 BC = AC − AB ⇒ BC 2 = AC − AB = AC − 2 AC. AB + AB (1) = ( AD − AB ) 2 2 2 BD = AD − AB ⇒ BD 2 = AD − 2 AD. AB + AB (2) ( ) Tõ (1),(2) ⇒ BC 2 − BD 2 = AC 2 − AD 2 + 2 AB AD − AC = AC 2 − AD 2 + 2 AB.CD = AC 2 − AD 2 ,®pcm. VD18.(§Ò thi HSG TØnh11).Cho h×nh chãp SABCD . §¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh . Mét mÆt ph¼ng (P) SA SC SB SD c¾t SA, SB,SC,SD theo thø tù t¹i K,L,M,N . Chøng minh r»ng : + = + . SK SM SL SN S Chän hÖ vÐc t¬ c¬ së: (H.12) K N {S , SA = a, SB = b, SC = c} . M L D A C 14 B
SK SL SM SN §Æt : = x, = y, = z, = t. SA SB SC SD ( ) Tõ ®ã ta cã : SK = xa, SL = yb, SM = z b + c − a , SN = tc . V× K,L,M,N ®ång ph¼ng nªn: ∃α , β , γ ∈ R : SM = α SK + β SL + γ SN (α + β + γ = 1) . ⎧ z ⎪α = − x ⎧α x = − z ⎪ ( ) ⎪ ⎪ Tõ ®ã suy ra: z b + c − a = α xa + β yb + γ tc ⇔ ⎨ β y = z ⇔ ⎨ β = z y mµ: α + β + γ = 1 , nªn ta cã: ⎪ γt = z ⎪ ⎩ ⎪ z ⎪γ= ⎩ t z z z 1 1 1 1 SA SC SB SD − + + =1⇒ + = + ⇒ + = + . ®pcm. x y t z x y t SK SM SL SN 2 §Ó tÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng AB, ta biÓu diÔn vÐc t¬ AB theo c¬ së sau ®ã tÝnh: AB VD19. Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh a. E lµ trung ®iÓm c¹nh CD, F lµ trung ®iÓm ®−êng cao BL cña mÆt ABD. C¸c ®iÓm M,N lÇn l−ît thuéc c¸c ®−êng th¼ng AD vµ BC. BiÕt r»ng ®−êng th¼ng MN c¾t ®−êng th¼ng EF vµ MN vu«ng gãc víi EF . TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng MN. A { Chän hÖ vÐc t¬ c¬ së: B, BA = a, BC = c, BD = d } Theo gi¶ thiÕt: (H.13) ⎧ MN ⊥ EF ⇒ MN.EF = 0 ⎪ ⎨ ⎪ M, N, E, F ®ång ph¼ng ⇒ BE = α BF + β BN + (1 − α − β ) BM (1) ⎩ L F M B V× M,N thuéc BC,AD ta cã thÓ gi¶ sö C N + BM = k BC = kc ;BN = lBA + (1 − l ) BD ( ) ( ) E 1 1 + BE = BC + BD = c + d 2 2 D 1 2 ( ) 1 2 1 + BL = BA + BD ⇒ BF = BL = a + d 4 ( ) + MN = BN − BM = la + (1 − l ) d − kc 1 1 1 ⎛ π 1 2⎞ + EF = BF − BE = a− c− d. ⎜ ac = ad = cd = a cos 3 = 2 a ⎟ 2 4 2 4 ⎝ ⎠ 1 2 * MN.EF = 0 ⇒ a ( 4 k − 2l − 3 ) = 0 ⇒ 2l = 3 − 4 k (2) 8 * Tõ (1) suy ra : 1 2 ( ) 1 ( ) c + d = α a + d + β ⎡la + (1 − l ) d ⎤ + (1 − α − β ) kc 4 ⎣ ⎦ 1 1 1 1 ⇒ α + l β = 0 vµ = α + (1 − l ) vµ β = (1 − α − β ) k 4 2 4 2 15
1 2 ⇒ 1 − 2l = k (3). Tõ (2) vµ (3) suy ra: l = ; k = ⇒ 6 MN = a + 5d − 4c 6 3 ( ) 65 2 130 2 ⇒ 36 MN 2 = a + 5d − 4c = a ⇒ MN = a. 2 12 Bμi tËp tù gi¶i : 1).Cho tø diÖn ABCD cã AB=CD=c , BC=DA=a, CA=BD=b. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó c¸c trung tuyÕn cña tø diÖn (®t kÎ tõ ®Ønh xuèng träng t©m mÆt ®èi diÖn) AA1 vµ CC1 vu«ng gãc víi nhau lµ: a2+c2=3b2. 2).(Bµi tËp 5-Tr78-SGK11). Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A’B’C’D’ cã AB=a, BC=b, CC’=c. Chøng minh r»ng c¸c ®−êng chÐo cña h×nh hép ®ã b»ng nhau vµ b»ng a2 + b2 + c 2 . 3). Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’ c¹nh a. Gäi P vµ Q lµ c¸c ®iÓm x¸c ®Þnh bëi: AP = D ' A, C ' Q = DC ' . TÝnh ®é dµi PQ . 4). Cho tø diÖn ABCD. C¸c ®iÓm M,N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB,CD. C¸c ®iÓm P,Q thuéc c¸c c¹nh PA QB AC,BD sao cho: = k . BiÕt r»ng MN c¾t PQ . TÝnh tØ sè . PC QD 5).(§Ò thi HSG TØnh 12 n¨m 1999-2000) . Cho tø diÖn SABC, trªn c¸c c¹nh SA,SB,SC lÇn l−ît lÊy c¸c ®iÓm D,E,F. BiÕt r»ng c¸c mÆt ph¼ng (ABF),(BCD),(ACE) c¾t nhau t¹i M vµ ®−êng th¼ng SM c¾t mÆt ph¼ng (DEF) t¹i NP MP N, c¾t mÆt ph¼ng (ABC) t¹i P. Chøng minh : =3 . NS MS ------------------------------------------------------------------------------------- D¹ng 7: kho¶ng c¸ch. 1). Kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm tíi mét ®−êng th¼ng. §Ó tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a ®iÓm M vµ ®−êng th¼ng d, ta lÊy trªn d hai ®iÓm A,B vµ thùc hiÖn c¸c b−íc sau: ⎧ MN ⊥ AB ⎧ ⎪ MN. AB = 0 +B1: Gi¶ sö N lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn d ⇒ ⎨ ⇒⎨ . ⎩N, A, B th¼ng hµng ⎪ON = α OA + (1 − α ) OB ⎩ +B2: Thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi vÒ hÖ vÐc t¬ c¬ së (gèc O lµ gèc cña hÖ c¬ së) ⇒ MN = ? 2 +B3: TÝnh MN = MN VD20.(Bµi tËp 1-Tr85-SGK11). Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’ c¹nh a. Chøng minh r»ng kho¶ng c¸ch tõ c¸c ®iÓm B, C, D, A’, B’, D’ tíi ®−êng chÐo AC’ b»ng nhau. TÝnh kho¶ng c¸ch ®ã. A B D C (H.14) Chän hÖ vÐc t¬ c¬ së: A’ {B, BA = a, BB ' = b, BC = c} B’ Gi¶ sö H lµ h×nh chiÕu cña B lªn AC’. D’ C’ 16
Suy ra: AC ' = BC ' − BA = b + c − a .Do BH ⊥ AC ' ⇒ BH .AC ' = 0 ( )( (Chó ý: a.b = a.c = b.c = 0 ). Do ®ã ta cã: ⎡α a + (1 − α ) b + c ⎤ b + c − a = 0 ⇒ a 2 ( 2 − 3α ) = 0 ⇒ α = ⎣ ⎦ 2 3 ) 2 a 6 Hay 3 BH = 2 a − b − c ⇒ 9 BH = 6 a 2 ⇒ BH = . 3 B×nh luËn: MÆc dï bµi tËp lµ kh«ng khã , tuy nhiªn chóng ta thÊy ®−îc râ lîi thÕ cña ph−¬ng ph¸p vÐc t¬ lµ ta kh«ng cÇn x¸c ®Þnh râ rµng vÞ trÝ cña ®iÓm H trªn h×nh vÏ. 2). Kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm tíi mét mÆt ph¼ng. §Ó tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a ®iÓm M vµ mÆt ph¼ng (ABC) nµo ®ã, ta gäi H lµ h×nh chiÕu cña M trªn (ABC). +B1: Suy ra ®¼ng thøc vÐc t¬ dùa vµo sù ®ång ph¼ng cña: A,B,C,H.(NÕu chän gèc trïng víi A,B,C viÖc tÝnh to¸n sÏ dÔ dµng h¬n). +B2: Dùa vµo sù vu«ng gãc cña MH víi mp(ABC) ®Ó t×m c¸c yÕu tè biÓu diÔn HM qua c¬ së. 2 +B3: TÝnh HM ⇒ HM . VD21. Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A’B’C’D’ cã AB=a; BC=b; CC’=c. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ B tíi mp(DA’C’). A B D C (H.15) A’ B’ D’ C’ { } Chän hÖ vÐc t¬: B, BA = a, BB ' = b, BC = c . Gäi H lµ h×nh chiÕu cña B trªn mp(DC’A’). Do H, D, C’, A’ ®ång ph¼ng nªn: BH = α BD + β BC ' + (1 − α − β ) BA ' = α a + c + β c + b + (1 − α − β ) a . L¹i ( ) ( ) cã: ( ) ( ) + DC ' = BC ' − BD = b + c − c + a = b − a . + DA ' = BA ' − BD = ( a + b ) − ( a + c ) = b − c . (Chó ý: a.b = a.c = b.c = 0 ). Do BH .DC ' = 0, BH.DA ' = 0 nªn ta cã hÖ: ⎧ a2 β= 2 2 ⎧ ⎡(1 − β ) a + β b + (α + β ) c ⎤ b − a = 0 ⎪⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⇒⎨ ( a +b ) ⇒ BH = 2 b2 a+ 2 a2 b+ 2 2 a 2b 2 ⎨ a 2 ( b2 − c 2 ) c ⎪⎣⎡(1 − β ) a + β b + (α + β ) c ⎤ b − c = 0 ( ⎪α = ) a + b2 a + b2 c ( a + b2 ) ⎩ ⎦ ⎪ ⎩ c 2 ( a 2 + b2 ) BH = 2 a 2b 4 + a 4b 2 + a 4b 4 ⇒ BH = ab ( c 2b 2 + c 2 a 2 + a 2 b 2 ). (a + b2 ) (a + b2 ) c2 ( a 2 + b2 ) c ( a 2 + b2 ) 2 2 2 2 2 17
3). Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng chÐo nhau. * Chó ý: §iÓm M ∈ AB ⇒ ∃α ∈ R : OM = α OA + (1 − α ) OB . §Ó tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng chÐo nhau ta thùc hiÖn c¸c b−íc sau: +B1: Gäi HK lµ ®−êng vu«ng gãc chung , biÕn ®æi HK theo c¬ së.(cã chøa tham biÕn) +B2: Dùa vµo tÝnh chÊt vu«ng gãc cña HK víi 2 ®−êng th¼ng thiÕt lËp hÖ pt. 2 +B3: Gi¶i hÖ pt, t×m biÓu thøc vÐc t¬ theo c¬ së cña HK , ¸p dông: HK = HK VD22(VÝ dô 2-Tr84-SGK11). Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh b»ng a, SA vu«ng gãc víi ®¸y vµ SA=a. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng : a). SC vµ BD. b). AC vµ SD. { Chän hÖ vÐc t¬ c¬ së: A, AS = s, AD = d , AB = b } Gi¶ sö HK lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña SC vµ BD ( H ∈ SC , K ∈ BD ) S ( Do H ∈ SC ⇒ AH = α AC + (1 − α ) AS = α b + d + (1 − α ) s ) K ∈ BD ⇒ AK = β AB + (1 − β ) AD = β b + (1 − β ) d (H.16) H ⇒ HK = AK − AH = ( −α + β ) b − (1 − α ) s − (α + β − 1) d . L¹i cã: A B SC = b + d − s ; BD = d − b K Chó ý: c.s = c.d = s.d = 0 . D C ⎧ 2 ⎧ HK .SC = 0 ⎪α = 3 ⎪ Do HK lµ ®−êng vu«ng gãc chung nªn: ⎨ ⎪ ⇒⎨ ⇒ 6 HK = − b + 2s + d ( ) ⎪ HK .BD = 0 ⎩ ⎪β = 1 ⎪ ⎩ 2 2 a 6 ⇒ 36 HK = 6a 2 ⇒ HK = . 6 T−¬ng tù hs gi¶i c©u b). Bμi tËp tù gi¶i : 1). Gi¶i c¸c bµi tËp (2->8)-Tr86-SGK11. 2).Cho h×nh chãp S.ABC ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng ë C, c¹nh SA vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ®¸y , AC=a; BC=b, SA=h. Gäi M vµ N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AC vµ SB. a). TÝnh ®é dµi MN. b). T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a,b,h ®Ó MN lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña AC vµ SB. 3). Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ nöa lôc gi¸c ®Òu néi tiÕp trong ®−êng trßn ®−êng kÝnh AD=2a vµ cã c¹nh SA vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ®¸y (ABCD) víi SA= a 6 . a). TÝnh c¸c kho¶ng c¸ch tõ A vµ B ®Õn mp(SCD). b). TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®−êng th¼ng AD ®Õn mÆt ph¼ng (SBC). ---------------------------------------------------------------------------- 18
D¹ng 7: Gãc gi÷a ®−êng th¼ng ,mÆt ph¼ng vμ mÆt ph¼ng. 1).Gãc gi÷a ®−êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng. M +B1: Gäi N lµ h×nh chiÕu cña M trªn (P) +B2: BiÓu diÔn c¸c vÐc t¬ : AM , AN, a, b theo c¬ së +B3: MN ⊥ a; MN ⊥ b , suy ra c¸c ®¼ng thøc vÐc t¬ P) ( ) +B4: T×m gãc AM , AN . KÕt luËn b A M N a VD23.Cho l¨ng trô ®øng tam gi¸c ABC.A1B1C1 : BC=a, AC=b, AB=c, AA1=h . TÝnh cosin gãc gi÷a A C B A1 C1 B1 19