Chương 1. I. Đưa phương trình về dạng chính tắc và phân dạng Cho phương trình: aU xx + bU xy + cU yy + F( x , y, U, U x , U y ) = 0 Xét phương trình đặc trưng: a ( y' ) 2 − by'+ c = 0
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
- PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
Chương 1.
I. Đưa phương trình về dạng chính tắc và phân dạng
Cho phương trình: aU xx + bU xy + cU yy + F( x , y, U, U x , U y ) = 0
Xét phương trình đặc trưng: a ( y' ) 2 − by'+ c = 0 và ∆ = b 2 − 4ac
* Nhận dạng phương trình chính tắc:
Nếu: ∆ > 0 thì pt chính tắc có dạng U αβ = F1 (α, β, U, U α , U β ) , thuộc loại
hyperbol.
∆ < 0 thì pt chính tắc có dạng U αα + U ββ = F2 (α β U, U α , U β ) ,
,,
thuộc loại ellip.
∆ = 0 thì pt chính tắc có dạng U ββ = F3 (α, β, U, U α , U β ) , thuộc loại
parabol.
* Tìm phương trình chính tắc:
- Giải phương trình đặc trưng: a ( y' ) 2 − by'+ c = 0 (*)
Trường hợp 1. ∆ > 0 . Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
y + f ( x ) = C1 và y + g( x ) = C 2 . Đặt α( x, y) = y + f ( x ); β( x , y) = y + g( x )
Trường hợp 2. ∆ < 0 . Phương trình (*) có 2 nghiệm phức liên hợp
f ( x, y) ± g ( x ).i = C . Đặt α( x, y) = f ( x , y); β( x , y) = g( x )
Trường hợp 3. ∆ = 0 . Phương trình (*) có nghiệm kép y + f ( x ) = C . Đặt
D(α, β)
α( x, y) = y + f ( x ) và chọn β( x , y) = g( x , y) thỏa mãn ≠ 0.
D( x , y)
- Sử dụng phương pháp đổi biến đưa phương trình về dạng chính tắc.
II. Giải phương trình vi phân tìm nghiệm tổng quát
- Đưa phương trình về dạng chính tắc.
- Giải phương trình chính tắc tìm nghiệm tổng quát.
- Thay α, β bởi x, y ta được phương trình cần tìm.
1
- Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOL
I. Bài toán Cauchy
U tt = a 2 U xx + f ( x, t ); ( x, t ) ∈ R × ( 0,+ ∞)
U( x,0) = g( x )
U ( x,0) = h ( x )
t
Phương trình nghiệm tổng quát như sau:
1 t x +aη
1 x +at
1
U( x, t ) = [ g( x + at ) + g( x − at )] + ∫ h ( y)dy + 2a ∫ ∫ f (ξ, η) dξ dη
2 2a x −at 0 x − aη
II. Bài toán biên ban đầu
U tt = a 2 U xx + f ( x, t ); ( x, t ) ∈ [ 0, l] × ( 0,+ ∞)
U( x,0) = g( x ); U t ( x,0) = h ( x )
U(0, t ) = U(l, t ) = 0
Trường hợp 1. f ( x, t ) = 0 , ta có công thức nghiệm:
nπa nπa nπ
∞
U( x , t ) = ∑ A n cos t + B n sin t sin x
n =1 l
l l
nπ nπ
2l 2l
Trong đó: A n = ∫ g ( x ).sin xdx ; B n = ∫ h (x ).sin l xdx
nπa 0
l0 l
Trường hợp 2. f ( x, t ) ≠ 0 , ta có công thức nghiệm:
nπ
∞
U( x , t ) = ∑ Tn ( t ) sin x
l
n =1
nπa nπ
2t l
∫ sin l (t − τ)dτ∫ f (x, τ).sin l xdx
Trong đó: Tn =
nπa 0 0
nπa
lt
nπa ∫
= f n (τ) sin ( t − τ)dτ với
l
0
nπ
2l
f n (τ) = ∫ f ( x , τ).sin xdx
l0 l
2
- Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH ELLIP
I. Bài toán Dirichlet trong hình tròn S bán kính R
∆U = U xx + U yy = 0
U ∂S = f (S)
Bằng cách đổi tọa độ cực x = r cos θ; y = r sin θ ta có công thức nghiệm
n
r
∞
tổng quát: U(r , θ) = ∑ ( A n cos nθ + B n sin nθ) trong đó:
n =0 R
1 2π 1 2π 1 2π
2π ∫
f (θ)dθ ; A n = ∫ f (θ) cos nθdθ ; . B n = ∫ f (θ) sin nθdθ
A0 =
π0 π0
0
II. Bài toán Dirichlet trong hình chữ nhật
U xx + U yy = 0; ( x, y) ∈ [ 0, a ] × [ 0, b]
U( x,0) = U( x, b) = g ( x )
U(0, y) = U(a , y) = h ( y)
Ta có phương trình nghiệm tổng quát:
− y
nπ nπ
nπ
∞ y
U( x , y) = ∑ A n e + B n e a .sin x
a
a
n =1
U( x ,0) = U( x, b) = g ( x )
để tìm A n , B n .
Giải hệ phương trình
U(0, y) = U(a , y) = h ( y)
3
- Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH PARABOL
I. Bài toán Cauchy
U t = a 2 U xx , ( x, t ) ∈ R × (0, + ∞)
U( x,0) = g( x )
( ξ− x ) 2
+∞
1 −
∫e
Ta có công thức nghiệm: U( x , t ) = .g(ξ)dξ
4a 2t
2a πt −∞
II. Bài toán biên ban đầu thứ nhất
U t = a 2 U xx + f ( x , t ); ( x , t ) ∈ Vt
U( x,0) = g( x ); 0 ≤ x ≤ l
U(0, t ) = U(l, t ) = 0
Trường hợp 1. f ( x, t ) = 0 , ta có phương trình nghiệm tổng quát:
2
nπa
nπ
+∞ − t
U( x, t ) = ∑ C n e l
.sin x
l
n =1
nπ
2l
Trong đó: C n = ∫ g( x ).sin xdx
l0 l
Trường hợp 2. f ( x, t ) ≠ 0 , ta có phương trình nghiệm tổng quát:
nπ
+∞
U( x, t ) = ∑ Tn ( t ).sin x
l
n =1
2
nπa
nπ
2l
( t −τ )
t
l −
dτ với f n (τ) = ∫ f ( x , τ).sin xdx
nπa ∫
Trong đó: Tn ( t ) = f n (τ).e l
l0 l
0
4
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
