Phương pháp sai nhân với phương trình Elliptic có bước nhảy gián đoạn

Chia sẻ: Đặng Thành Lợi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:65

Thêm vào BST

Báo xấu

109
lượt xem 26
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Những năm gần đây đã có không ít công trình nghiên cứu về lĩnh vực tìm nghiệm đúng của lớp các bài toán mà biên chủ yếu là phương trình elliptic cấp hai, mục đích chính của cá phương pháp là đưa bài toán vi phân về bài toán rời rạc trên một điểm lưới. Nếu miền hình học là miền phức tạp các hệ số của phương trình là gián đoạn thì việc áp dụng phương pháp só cho cả miền là trở nên khó khăn...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp sai nhân với phương trình Elliptic có bước nhảy gián đoạn

Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C KHOA H C QU N TH T QUYÊN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN V I PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CÓ BƯ C NH Y GIÁN ĐO N LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C KHOA H C QU N TH T QUYÊN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN V I PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CÓ BƯ C NH Y GIÁN ĐO N Chuyên ngành: TOÁN NG D NG Mã s : 60.46.36 LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C TS.VŨ VINH QUANG Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
i M cl c M cl c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i M đ u 1 N i dung 3 1 CÁC KHÁI NI M CƠ B N 3 1.1 Các khái ni m v phương trình đ o hàm riêng . . . . . . . . 3 1.1.1 Khái ni m v phương trình đ o hàm riêng . . . . . . 3 1.1.2 Phân lo i phương trình tuy n tính c p hai . . . . . . 4 1.2 Phương pháp lư i gi i phương trình đ o hàm riêng . . . . . 7 1.2.1 Bài toán vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Hàm lư i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Đ o hàm lư i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4 Bài toán sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.5 Lư i sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.6 Bài toán biên elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.7 Gi i thi u v thư vi n RC2009 . . . . . . . . . . . . 11 2 PHƯƠNG PHÁP CIM (Coupling Interface Method) 17 2.1 Gi i thi u v bài toán biên v i m t phân cách gián đo n. . . 17 2.2 Phương pháp CIM trong không gian m t chi u . . . . . . . 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
i 2.2.1 Phương pháp CIM1 trong không gian m t chi u. . . 19 2.2.2 Phương pháp CIM2 trong không gian m t chi u. . . 22 2.3 Phương pháp CIM không gian hai chi u. . . . . . . . . . . . 27 2.3.1 Phương pháp CIM1 trong không gian 2 chi u . . . . 28 2.3.2 Phương pháp CIM2 trong không gian 2 chi u . . . . 30 2.4 Phương pháp CIM trong không gian d chi u . . . . . . . . . 34 2.4.1 Phương pháp CIM1 trong không gian d chi u. . . . 34 2.4.2 Phương pháp CIM2 trong không gian d chi u . . . . 36 2.5 M t s s li u th c nghi m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 MÔ HÌNH TÍNH TOÁN SONG SONG Đ I V I BÀI TOÁN BIÊN GIÁN ĐO N QUA M T PHÂN CÁCH 43 3.1 Phương pháp chia mi n đ i v i bài toán gián đo n qua m t phân cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Mô hình tính toán song song . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3 Các k t qu th nghi m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 K t lu n 57 Tài li u tham kh o 60 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1 M đ u Nh ng năm g n đây đã có không ít công trình nghiên c u v lĩnh v c tìm nghi m đúng c a l p các bài toán biên mà ch y u là phương trình elliptic c p hai, m c đích chính c a các phương pháp là đưa bài toán vi phân v bài toán r i r c trên m t đi m lư i. N u mi n hình h c là mi n ph c t p, các h s c a phương trình là gián đo n thì vi c áp d ng phương pháp s cho c mi n là tr nên khó khăn. Chính vì v y, các công trình nghiên c u đã t p trung đưa ra các hư ng nghiên c u ch y u là đưa ra các phương pháp sai phân, đ c bi t là xung quanh lân c n kỳ d ho c các biên phân chia đ đưa bài toán đang xét v h phương trình sai phân và vi c tìm nghi m b ng s c a bài toán chuy n v vi c gi i h phương trình đ i s b ng các phương pháp đúng ho c g n đúng. Hư ng th hai là s d ng phương pháp chia mi n chuy n bài toán trên mi n đang xét v hai bài toán không ch a các đi m kỳ d , sau đó xu t phát t l i gi i các bài toán trên hai mi n ta thu đư c nghi m c a bài toán g c. Lu n văn g m 3 chương: Chương 1: Các khái ni m cơ b n Trình bày các ki n th c cơ b n v phương trình đ o hàm riêng, cơ s phương pháp lư i và gi i thi u thư vi n chương trình gi i phương trình elliptic v i h s h ng s trong mi n ch nh t. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2 Chương 2: Phương pháp CIM (Coupling Interface Method) Trình bày cơ s phương pháp CIM bao g m: phương pháp CIM1, CIM2 trong không gian m t chi u,hai chi u và d chi u, các thu t toán cơ b n v các phương pháp tương ng, các k t qu th c nghi m đ i v i các bài toán c th . Chương 3: Mô hình tính toán song song đ i v i bài toán biên gián đo n qua m t phân cách Trình bày cơ s phương pháp chia mi n đ i v i bài toán biên gián đo n qua m t phân cách, mô hình tính toán song song trong trư ng h p t n t i nhi u biên phân chia trong mi n, xây d ng các sơ đ l p gi i bài toán biên elliptic t n t i m t gián đo n theo hư ng hi u ch nh giá tr hàm trên biên, xây d ng các chương trình th c nghi m. Tác gi xin bày t lòng bi t ơn sâu s c đ i v i th y giáo hư ng d n TS. Vũ Vinh Quang đã t n tình hư ng d n tác gi trong su t quá trình làm lu n văn. Tác gi xin chân thành c m ơn các Th y, Cô giáo Vi n Toán,Trư ng Đ i h c Khoa h c – Đ i h c Thái Nguyên đã tham gia gi ng d y, giúp đ tác gi trong quá trình h c t p và nghiên c u. Tác gi xin chân thành c m ơn! Thái Nguyên, tháng 10 năm 2011. Tác gi Qu n Th T Quyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3 Chương 1 CÁC KHÁI NI M CƠ B N Trong Chương này lu n văn s trình bày các ki n th c cơ b n bao g m: các khái ni m v phương trình đ o hàm riêng, phương pháp lư i gi i phương trình đ o hàm riêng và gi i thi u thư vi n RC2009 gi i s bài toán biên elliptic v i h s h ng s . Các ki n th c cơ b n đư c tham kh o trong các tài li u [1,2,3,4]. 1.1 Các khái ni m v phương trình đ o hàm riêng 1.1.1 Khái ni m v phương trình đ o hàm riêng Hàm s m t bi n y = y (x) ta có khái ni m đ o hàm y (x) y(x + ∆x) − y(x) y (x) = lim ∆x→0 ∆x Khái ni m phương trình vi phân y (x) = f (x, y) và khái ni m bài toán Cauchy: Tìm hàm s y = y (x) xác đ nh t i x ∈ [x0 , X] th a mãn: y (x) = f (x, y), x0 < x ≤ X, y(x0 ) = η Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4 trong đó: f (x, y), x0 , x, X, η là hàm s cho trư c. Xét bài toán hai bi n s u = u(x, y) ta có đ o hàm riêng c p 1 đ i v i bi n x: ∂u y(x + ∆x) − y(x) = lim . ∂x ∆x→0 ∆x đ o hàm riêng c p 1 đ i v i bi n y: ∂u y(x + ∆x) − y(x) = lim . ∂y ∆y→0 ∆y và các đ o hàm riêng c p 2: ∂ 2u ∂ ∂u ∂ 2u ∂ ∂u = , 2 = , ∂x2 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y ∂ 2u ∂ ∂u ∂ 2u ∂ ∂u = , = . ∂x∂y ∂y ∂x ∂y∂x ∂x ∂y ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u N u và là các hàm liên t c thì = . ∂x∂y ∂y∂x ∂x∂y ∂y∂x Phương trình: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u A(x, y) 2 + B(x, y) + C(x, y) 2 + D(x, y) + E(x, y) + ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y F (x, y)u = f (x, y). là phương trình đ o hàm riêng c p 2. 1.1.2 Phân lo i phương trình tuy n tính c p hai Gi s u = u(p, q) là hàm s c a hai bi n đ c l p p, q . kí hi u: ∂u ∂u up = , uq = , ∂p ∂q ∂ 2u ∂ 2u upp = 2, uqq = 2. ∂p ∂q ∂ 2u upq = uqp = . ∂q∂p Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5 Xét phương trình đ o hàm riêng c p 2 tuy n tính: Aupp + 2Buqp + Cuqq = F. (1.1) v i A, B, C, F là nh ng hàm s ph thu c p, q, up , uq . Gi s phương trình (1.1) có nghi m là u = u(p, q) đ trơn. Xét Γ là m t đư ng cong nào đó c a m t ph ng Opq n m trong mi n xác đ nh c a hàm u = u(p, q) và có phương trình q = q (p) , hay ϕ(p, q) = 0. Ta có: d(up ) = upp dp + upq dq ; d(uq ) = uqq dq + uqp dp . Ta có h :   Aupp + 2Buqp + Cuqq = F (p, q, u, up , uq ) u d + uqp dq = d(up )  pp p uqq dq + uqp dp = d(uq ) hay d ng ma tr n:      A 2B C upp F  dp dq 0   uqp  =  d (up )  0 dq dp uqq d (uq ) Do gi s phương trình (1.1) có nghi m u = u(p, q) đ trơn nên h trên luôn có nghi m. ma tr n c a h :   A 2B C M =  dp dq 0  0 dq dp N u Det(M ) = 0 trên Γ thì h trên có nghi m duy nh t trên Γ , nghĩa là trên Γ các đ o hàm c p hai c a u đư c xác đ nh m t cách duy nh t theo v ph i. N u Det(M ) = 0 trên Γ thì h trên v n có nghi m duy nh t trên Γ vì ta đã xu t phát t gi thi t phương trình (1.1) có nghi m u , nhưng nghi m đó không duy nh t, nghĩa là trên Γ các đ o hàm c p hai c a u Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6 xác đ nh m t cách không duy nh t theo v ph i. Trong trư ng h p này ta g i là m t “đư ng đ c trưng” c a phương trình đ o hàm riêng (1.1). Như v y đư ng đ c trưng xác đ nh b i đi u ki n Det(M ) = 0 , đi u ki n này vi t như sau: Det(M ) = A (dq )2 + 2B(dq dp ) + C (dp )2 . (1.2) hay: 2 dq dq A + 2B( ) + C = 0, (1.3) dp dp dq trong đó là h s góc c a ti p tuy n c a đư ng đ c trưng, ngư i dp dq ta g i là phương đ c trưng t i đi m (p, q). V y phương trình (1.3) xác dp đ nh phương đ c trưng, nó là phương trình vi phân c a đư ng đ c trưng. dq Phương trình (1.3) là m t phương trình b c hai đ i v i . dp Xét ∆ = B 2 − AC • N u B 2 − AC > 0 t i (p, q) ∈ mi n Ω nào đó thì phương trình (1.3) có hai nghi m th c khác nhau t i (p, q) ∈ Ω : √ dq −B ± B 2 − AC = dp A Khi đó t i m i (p, q) ∈ Ω có hai phương trình đ c trưng th c khác nhau, ta nói phương trình (1.1) thu c lo i hypebol trong Ω . • N u B 2 − AC = 0 t i (p, q) ∈ mi n Ω nào đó thì phương trình (1.3) có hai nghi m th c trùng nhau t i (p, q) ∈ Ω : dq B = dp A Khi đó t i m i (p, q) ∈ Ω có hai phương trình đ c trưng trùng nhau, ta nói phương trình (1.1) thu c lo i parabol trong Ω . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7 • N u B 2 − AC < 0 t i (p, q) ∈ mi n Ω nào đó thì phương trình (1.3) không có hai nghi m th c nào mà ch có hai nghi m ph c liên h p t i (p, q) ∈ Ω : √ dq −B ± i B 2 − AC = dp A Khi đó t i m i (p, q) ∈ Ω không có phương trình đ c trưng th c nào mà ch có hai phương trình đ c trưng o liên h p, ta nói phương trình (1.1) thu c lo i ellip trong Ω. 1.2 Phương pháp lư i gi i phương trình đ o hàm riêng Phương pháp lư i (hay còn g i là phương pháp sai phân) là phương pháp đư c áp d ng r ng rãi trên nhi u lĩnh v c khoa h c, k thu t. N i dung c a nó là d n đ i tư ng c n xét v vi c gi i phương trình sai phân (t c là h th c ho c các h th c liên h các giá tr c a các hàm s t i các đi m khác nhau). 1.2.1 Bài toán vi phân Cho hai s a và b v i a < b. Tìm hàm u = u(x) xác đ nh t i a < x < b th a mãn: Lu = −(ku ) + qu = f (x); a < x < b (1.4) u(a) = α; u(b) = β, (1.5) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8 trong đó k = k(x), q = q(x), f (x) là nh ng hàm s cho trư c đ trơn th a mãn: 0 < c0 ≤ k(x) ≤ c1 ; c0 , c1 = const; q(x) ≥ 0, (1.6) v i α và β là nh ng s cho trư c. Gi s bài toán (1.4) – (1.5) có nghi m duy nh t u đ trơn trên [a, b]. Đây chính là bài toán biên c a phương trình elip m t chi u. 1.2.2 Hàm lư i Ta chia đo n [a, b] b i n đi m chia a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b. b−a Đ t: h = , xi = a + ih, (i = 0, 1, 2, .., n) . n T p các đi m x0 , x1 , x2 , .., xn đư c g i là không gian lư i kí hi u là Ωh . Nh ng hàm s xác đ nh t i các nút c a lư i Ωh đư c g i là hàm lư i. Giá tr c a hàm lư i v t i nút xi vi t là vi . M t hàm s u(x) xác đ nh t i m i x ∈ [a, b] s t o ra hàm lư i u có giá tr t i nút xi là ui = u(xi ). 1.2.3 Đ o hàm lư i Xét hàm lư i v . Đ o hàm lư i ti n c p m t c a v , ký hi u là vx , có giá tr t i nút xi là: vi+1 − vi vxi = h Đ o hàm lư i lùi c p m t c a v , ký hi u là vx , có giá tr t i nút xi là: vi − vi−1 vxi = h Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9 Khi h đ bé thì đ o hàm lư i “x p x ” đ o hàm thư ng. Đ o hàm lư i c p hai vxx : vxi +1 − vxi vi+1 − vi vi − vi−1 vi+1 − 2vi + vi−1 vxx = = − /h = h h h h2 N u a là m t hàm lư i n a thì: ai+1 vxi +1 − ai vxi ai+1 vi+1 − (ai+1 + ai ) vi + ai vi−1 avxx = = h h2 1.2.4 Bài toán sai phân Ta tìm cách tính g n đúng giá tr c a nghi m đúng u(xi ) t i các nút xi ∈ Ωh G i các giá tr g n đúng đó là vi . Đ tìm vi ta thay bài toán (1.4) – (1.5) b i bài toán sai phân: − Lh v ≡ − avx xi + qi vi = fi , vo = α, vn = β h Trong đó: ai = k xi − ; qi = q (xi ) ; fi = f (xi ) 2 1.2.5 Lư i sai phân Xét bài toán : −∆u = f, x ∈ Ω, (1.7) u = g, x ∈ ∂Ω. trong đó Ω = (x, y) ∈ R2 , a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, ch n 2 s nguyên (b − a) (d − c) N > 1 và M > 1, đ t h = g i là bư c lư i theo x, k = N M g i là bư c lư i theo y . Đ t xi = a + ih, yj = c + jh, i = 1...N, j = 1...M , m i đi m (xi , yj ) g i là m t nút lư i ký hi u là nút (i, j). T p t t c các nút trong ký hi u là Ωhk . Nút trên biên Γ g i là nút biên; t p t t c các nút biên ký hi u là Γhk , t p Ωhk = Ωhk ∪ Γhk g i là m t lư i sai phân trên Ω . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10 1.2.6 Bài toán biên elliptic Xét bài toán biên:   k (x) ∂u + k (x) ∂u + c (x) u = f (x), x ∈ Ω 1 2 ∂x21 ∂x2 2 (1.8) lu = g(x), x ∈ ∂Ω  Trong đó: Ω là mi n hình ch nh t có kích thư c hai c nh là L1 và L2 , l là toán t đi u ki n biên, g(x) và l(x) là các hàm s cho trư c. Xét trư ng h p t ng quát khi đi u ki n biên lu = g(x) là đi u ki n biên Dirichlet ho c Neumann trên các ph n biên khác nhau trong đó t n t i ít nh t m t đi u ki n biên Dirichlet trên m t c nh đ đ m b o bài toán có nghi m duy nh t. Đ gi i s bài toán trên, trong lý thuy t toán h c tính toán thư ng s d ng các phương pháp g n đúng như phương pháp sai phân, phương pháp ph n t h u h n v i ý tư ng chung là đưa bài toán vi phân v bài toán r i r c trên m t lư i đi m. Đưa vào không gian lư i: L1 L2 Ωkh = xij = (ik, jh), i = 0, M , j = 0, N , v i k = ,h = M N Khi đó bài toán vi phân đang xét luôn đư c đưa v các h phương trình vectơ ba đi m có d ng: −Yj−1 + CYj − Yj+1 , j = 0, N − 1 (1.9) Y0 = F0 , YN = FN   CY0 − 2Y1 = F0 −Yj−1 + CYj − Yj+1 , j = 0, N − 1 (1.10)  2YN −1 + CYN = FN Trong trư ng h p bài toán Neumann, trong đó C là ma tr n ba đư ng chéo tr i, Yj là các vector nghi m, các vector Fj ch a các giá tr hàm v ph i và giá tr hàm ho c đ o hàm trên biên. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11 Đ gi i đư c bài toán (1.8) b ng phương pháp s , đi u quan tr ng nh t là ta ph i xác đ nh đư c thu t toán nhanh gi i các h phương trình vector ba đi m (1.9),(1.10) là các h phương trình đ i s tuy n tính. Do tính ch t đ c bi t c a h , trong n i dung này lu n văn gi i thi u phương pháp thu g n kh i lư ng tính toán c a Samarskij-Nicolaev đ xu t [8] v i đ ph c t p tính toán O(MNlogN) cùng v i các k t qu xây d ng thư vi n chương trình tìm nghi m b ng s c a bài toán elliptic v i các đi u ki n biên khác nhau đư c thi t k trên môi trư ng MATLAB. 1.2.7 Gi i thi u v thư vi n RC2009 Đ gi i bài toán biên elliptic (1.8), s d ng phương pháp sai phân xây d ng lư c đ sai phân cho các bài toám biên, chuy n bài toán vi phân (1.8) v các bài toán sai phân tương ng v i các phương trình vesctơ ba đi m. Sau đó áp d ng phương pháp thu g n kh i lư ng tính toán gi i các h phương trình đ i s đư c d n đ n. Các k t qu đư c công b trong công trình [3]. a. Bài toán biên Dirichlet Xét bài toán 2 2   k (x) ∂ u + k (x) ∂ u + c (x) u = f (x) , x ∈ Ω 1 2 ∂x21 ∂x22 (1.11) u = g (x) , x ∈ ∂Ω  Trong đó : k1 , k2 , c là các h ng s , Ω là hình ch nh t có kích thư c hai c nh là L1 , L2 . Xu t phát t phương pháp lư i chia mi n Ω thành L1 L2 (M × N ) đi m lư i, trong đó N = 2n , n > 0. Ký hi u h1 = , h2 = M N là các bư c lư i, ϕ là vectơ hàm v ph i c a phương trình. T phương pháp sai phân v i đ chính xác O(h2 + h2 ) chuy n bài toán vi phân (1.11) 1 2 v bài toán sai phân tương ng v i h phương trình vectơ ba đi m. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12 −Yj−1 + CYj − Yj+1 = Fj , Y0 = F0 , YN = FN , j = 1, N − 1 trong đó: Yj là các vectơ nghi m, Fj là các vectơ c p (M − 1), C là ma tr n h s c p (M − 1) × (M − 1) đư c xác đ nh như sau: Yj = u1,j , u2,j , . . . , uM −1,j , j = 1, N F0 = g1,0 , g2,0 , . . . , gM −1,0 , FN = (g1,N , g2,N , . . . , gM −1,N ) Ma tr n C có d ng:   d −r 0 ... 0 0 0  h2   −r d −r ... 0 0 0  2 ϕ1,j + rg0,j   0 −r d ... 0 0 0    k2 h2     2 k2 ϕ2,j   . . . . . . . ,F =  . C= . . . . . . .  j  .  . . . . . . .  .   h2    0 0 0 ... d −r 0  k2 ϕM −2,j 2        0 0 0 ... −r d −r  h2 k2 ϕM −1,j + rgM,j 2 0 0 0 ... 0 −r d k1 h2 2 h2 trong đó: r = , d = 2(r + 1) + c 2 k2 h2 1 k2 Trên cơ s thu t toán th nh t ti n hành cài đ t gi i h phương trình trên v i ngôn ng l a ch n là Matlab version 8.0. Thi t k các hàm RC0000(ϕ, b1 , b2 , b3 , b4 , l1 , l2 , k1 , k2 , c, N, M, n) th c hi n thu t toán thu g n, trong đó ϕ là hàm v ph i b1 , b2 , b3 , b4 l n lư t là các vectơ giá tr đi u ki n biên Dirichlet ho c Neumann trên các biên trái, ph i, dư i, trên c a mi n ch nh t. Hàm v0000(ϕ, b1 , b2 , b3 , b4 , l1 , l2 , k1 , k2 , c, N, M, n, p1 , p2 , q1 , q2 ) tr l i ma tr n nghi m x p x c a bài toán (1.11) b t đ u t t a đ (p1 , q1 ) đ n (p2 , q2 ). b. Bài toán biên Neumann Xét bài toán biên h n h p: 2 2   k (x) ∂ u + k (x) ∂ u + c (x) u = f (x) , x ∈ Ω 1 2 ∂x21 ∂x22 (1.12) lu = g (x) , x ∈ ∂Ω  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13 trong đó l là toán t đi u ki n biên (lu = u n u đi u ki n biên là ∂u Dirichlet, lu = n u đi u ki n biên là Neumann). ∂v Trư ng h p 1: Đi u ki n trên c nh trên c a hình ch nh t là d ng Neumann T phương pháp sai phân v i đ chính xác O(h2 + h2 ) chuy n bài 1 2 toán vi phân (1.12) v bài toán sai phân tương ng v i h phương trình vectơ ba đi m. Yj−1 +CYj −Yj+1 = Fj , Y0 = F0 , −2YN −1 +CYN = FN , j = 1, N − 1. trong đó Yj là các vectơ nghi m, Fj là các vectơ c p (M − 1), C là ma tr n h s c p (M − 1) × (M − 1) đư c xác đ nh như sau: Yj = u1,j , u2,j , . . . , uM −1,j j = 0, N − 1. F0 = (b3 (1) , b3 (2) , . . . , b3 (M − 1)) h2   k2 ϕ1,N + 2h2 b4 (1) + rb1 (N ) 2  h2  k2 ϕ2,N + 2h2 b4 (2) 2    FN =  . .   .   2 h2 k2 ϕM −2,N + 2h2 b4 (M − 2)     2 h2 k2 ϕM −1,N + 2h2 b4 (M − 1) + rb2 (N )   d −r 0 . . . 0 0 0   −r d −r . . . 0 0 0     0 −r d . . . 0 0 0   C= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        0 0 0 . . . d −r 0    0 0 0 . . . −r d −r  0 0 0 . . . 0 −r d Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14 h2   k2 ϕ1,j + rb1 (j) 2  h2  k2 ϕ2,j 2    Fj =  . .   .   h2 k2 ϕM −2,j 2     h2 k2 ϕM −1,j + rb2 (j) 2 k1 h2 2 h2 trong đó: r = 2 , d = 2(r + 1) + c 2 k2 h1 k2 Trên cơ s c a thu t toán th hai áp d ng trong trư ng h p đã bi t vectơ F0 , ti n hành cài đ t gi i h phương trình vectơ ba đi m trên b ng cách: Thi t k hàm RC0001(ϕ, b1 , b2 , b3 , b4 , l1 , l2 , k1 , k2 , c, N, M, n) th c hi n thu t toán thu g n hàm v0001(ϕ, b1 , b2 , b3 , b4 , l1 , l2 , k1 , k2 , c, N, M, n, p1 , p2 , q1 , q2 ) tr l i ma tr n nghi m x p x c a bài toán (1.12) t t a đ (p1 , q1 ) đ n (p2 , q2 ). Trong trư ng h p khi đi u ki n biên trên m t trong các c nh còn l i là d ng Neumann, s d ng phương pháp bi n đ i t a đ trên cơ s c a hàm chu n RC0001(. . . ) xây d ng các hàm v0010(. . . ) ,v0100(. . . ),v1000(. . . ) tr l i nghi m b ng s c a các bài toán tương ng. Trư ng h p 2: Đi u ki n biên trên ba c nh c a hình ch nh t là d ng Neumann Tương t như trên, thi t k hàm RC0003(ϕ, b1 , b2 , b3 , b4 , l1 , l2 , k1 , k2 , c, N, M, n) th c hi n thu t toán thu g n kh i lư ng và xây d ng các hàm v0111(. . . ) , v1110(. . . ),v1101(. . . ), v1011(. . . ) tr l i nghi m b ng s cho các bài toán tương ng. Trư ng h p 3: Đi u ki n biên trên t t c các c nh c a hình ch nh t là Neumann Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15 V i đ chính xác O(h2 + h2 ) chuy n bài toán vi phân (1.12) v bài 1 2 toán sai phân tương ng v i h phương trình vectơ ba đi m. −Yj−1 +CYj −Yj+1 = Fj ; CY0 −2Y1 = F0 ; −2YN −1 +CYN = FN , j = 1, N Trong đó Yj là các vectơ nghi m, Fj là các vectơ c p (M + 1), C ma tr n h s c p (M + 1) × (M + 1) đư c xác đ nh như sau: Yj = u0,j , u1,j , . . . , uM,j j = 0, N  h2  k2 ϕ0,0 − 2h2 b3 (1) − rh1 b1 (1) 2 h2 k2 ϕ1,0 − 2h2 b3 (2)  2     F0 =  . .   .   2 h2 k2 ϕM −1,0 − 2h2 b3 (M − 1)     h2 k2 ϕM,0 2 − 2h2 b3 (M ) + 2rh1 b2 (1) h2   k2 ϕ0,N + 2h2 b4 (1) + rb1 (N ) 2  h2  k2 ϕ1,N + 2h2 b4 (2) 2    FN =  . .   .   2 h2 k2 ϕM −1,N + 2h2 b4 (M − 1)     2 h2 k2 ϕM,N + 2h2 b4 (M ) + rb2 (N )   d −r 0 . . . 0 0 0   −r d −r . . . 0 0 0     0 −r d . . . 0 0 0   C= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        0 0 0 . . . d −r 0    0 0 0 . . . −r d −r  0 0 0 . . . 0 −r d Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16 h2   k2 ϕ0,j + rb1 (j) 2  h2  k2 ϕ1,j 2    Fj =  . .   .   h2 k2 ϕM −1,j 2     h2 k2 ϕM,j + rh1 b2 (j) 2 K t lu n: Trong chương 1 lu n văn đã đưa ra các ki n th c cơ b n v phương trình đ o hàm riêng, đ c bi t gi i thi u v thư vi n RC2009 gi i s phương trình đ o hàm riêng. Các k t qu này là công c đ s d ng th c nghi m các bài toán đư c đưa ra trong Chương 2 và Chương 3 c a lu n văn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn