BUỔI 12: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG: ax + b = 0
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Ngày soạn : 31 - 01 - 2010
A. MỤC TIÊU :
* Củng cố , hệ thống kiến thức về phương pháp giải phương trình đưa về dạng ax + b;
phương trình tích
* Nâng cao kỷ năng giải phương trình cho HS
* Vận dụng thành thạo kỹ nănggiải Pt vào các bài toán cụ thể
B. BÀI TẬP :
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
1. Ví dụ 1
Giải các Pt:
a) 8(3x - 2) - 14x = 2(4 - 7x) + 15x
Biến đổi Pt như thế nào?
b)
2
5 2 3 4 3 5
x x x x
Thực hiện phép nhân, thu gọn Pt để dưa
về dạng ax = - b
c) x(x + 3)2 - 3x = (x + 2)3 + 1
Hãy biến đổi tương đương để giải Pt này
d)
4 3 1 9 2 3 1
3 4 8 12
x x x x
Biến đổi để giải Pt này như thế nào?
2. Ví dụ 2: Giải các Pt
a)1909 1907 1905 1903
4 0
91 93 95 97
x x x x
Ta có nên quy đồng mẫu hay không? Vì
sao ?
Em có nhận xét gì về tổng của tử và mẫu
của mỗi phân thức
a) 8(3x - 2) - 14x = 2(4 - 7x) + 15x
24x - 16 - 14x = 8 - 14x + 15x
24x - 14x + 14x - 15x = 8 + 16
9x = 24
x =
24
9
x =
8
3
b)
2
5 2 3 4 3 5
x x x x
2 2
7 10 12 9 25 10
x x x x x
6
5 6
5
x x
c) x(x + 3)2 - 3x = (x + 2)3 + 1
x(x2 + 6x + 9) - 3x = x3 + 6x2 +12x + 8 + 1
x3 + 6x2 + 9x - 3x = x3 + 6x2 +12x + 9
6x = 12x + 9
- 6x = 9
x =
3
2
d)
4 3 1 9 2 3 1
3 4 8 12
x x x x
8(x - 4) - 6(3x + 1) = 3(9x - 2) + 2(3x - 1)
8x - 32 - 18x - 6 = 27x - 6 + 6x - 2
-10x - 38 = 33x - 8
- 43x = 30
x =
30
43
HS ghi đề bài, tìm cách giải
HS trả lời
a) 1909 1907 1905 1903
4 0
91 93 95 97
x x x x
Vậy, ta biến đổi Pt như thế nào?
b) 999 896 789
6
99 101 103
xxx

3. Ví dụ 3
Giải các phương trình :
a) (x-1)3 + x3 + ( x + 1 )3 = ( x + 2 )3
Ta biến đổi Pt như thế nào?
Thu gọn pt
(x2 + x +1) ( x – 4 ) = 0 khi nào?
b) ( x + 3 ) (x – 3 ) ( x2 – 11 ) + 3 = 2
Hãy biến đổi Pt trên
Ta nên giải Pt theo phương pháp nào?
Đặt : x2 – 9 = y ; thì (1)
?
c) 2x3 + 7x2 +7x + 2 = 0
Phân tích vế trái thành nhân tử như thế
nào?
d) ( x +3)4 + ( x + 5 )4 = 2 (2)
Đặt x + 4 = y ; thì pt (2)
?
Biến đổi Pt thành Pt tích
(2000 - x)
1 1 1 1
91 93 95 97

= 0
2000 - x = 0
x = 2000
b) 999 896 789
6
99 101 103
xxx

999 896 789
1 2 3 0
99 101 103
x x x
1098 1098 1098
0
99 101 103
x x x

(x - 1098)
1 1 1
99 101 103
= 0
x = 1098
a) (x-1)3 + x3 + ( x + 1 )3 = ( x + 2 )3
x3 – 3x2 + 3x – 1 + x3 + x3 + 3x2 + 3x + 1
= x3 + 6x2 + 12x + 8
x3 – 3x2 – 3x – 4 = 0
x3 - 1 - 3x2 -3x - 3 = 0
( x – 1 )( x2 + x +1) - 3(x2 + x +1) = 0
(x2 + x +1) ( x – 4 ) = 0
x – 4 = 0
x = 4 (vì x2 + x +1 = (x +
1
2
)2 +
3
4
> 0 với
x R
)
b) ( x + 3 ) (x – 3 ) ( x2 – 11 ) + 3 = 2
(x2 – 9 ) (x2 – 11 ) +1 = 0 (1)
Đặt : x2 – 9 = y ; thì (1)
y ( y – 2 ) + 1 = 0
y2 – 2y + 1 = 0
( y + 1)2 = 0
y + 1 = 0
y = - 1
x2 – 9 = 1
x2 = 10
10
x
c) 2x3 + 7x2 +7x + 2 = 0
2x3 + 2x2 + 5x2 + 5x + 2x + 2 = 0
…
(x+1)(x+2)(2x+1) = 0
…
d) ( x +3)4 + ( x + 5 )4 = 2 (2)
Đặt : x + 4 = y ; thì
(2)
(y – 1)4 + ( y + 1 )4 – 2 = 0
2 2
2 2
1 1 2 0
y y
2
2 2 2 2
1 1 2 1 1 2 0
y y y y
e) x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1 = 0 (*)
x = 0 có phaỉ là nghiệm của Pt (*) ?
Chia 2 vế cho x2 ta được pt nào?
Giải Pt (**) như thế nào?
Đặt : 2 2
2
1 1
2
x y x y
x x
.
Thì Pt (2) trở thành Pt nào?
4. Ví dụ 4:
Giải các Pt sau :
a) x3 – (a +b +c) x2 + (ab +ac+bc) x = abc
Hãy biến đổi về dạng Pt tích?
b)
2 2 2
31
0
x x x x x x
x
a ac b bc c ab abc
Biến đổi Pt này bằng cách nào?
22
22
1 1 2 1 1 2 1 2 0
y y y y y
…
4 2 2 2
2 12 0 ( 6) 0
y y y y
0
y
(Vì 2
6 0
y
)
Với : y = 0 thì x = - 4
e) x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1 = 0 (*)
Nhận xét : x = 0 không phaỉ là nghiệm của Pt ,
Nên chia cả 2 vế Pt (*) cho x2 ta có : (*)
2
2
1 1
3x x
x x
+ 4 = 0 (**)
HS trả lời
Đặt : 2 2
2
1 1
2
x y x y
x x
. Thì
(**)
2
1
3 2 0 1 2 0
2
y
y y y y y
+Với y =1 thì ta có Pt : x2 – x + 1 = 0
2
1 3
0
2 4
x
, Pt vô nghiệm
+Với y = 2 , ta có : x2 – 2x + 1 =
0
2
1 0 1
x x
a) x3 – ( a + b + c ) x2 + ( ab + ac + bc ) x = abc
x3 – ax2 – bx2 – cx2 + abx + acx + bcx – abc
= 0
...
(x – a) (x2 – bx – cx – bc ) = 0
(x – a) [x(x – b) – c(x – b)] = 0
(x – a)(x – b)(x – c) = 0
...
b)
2 2 2
31
0
x x x x x x
x
a ac b bc c ab abc
2 2 2
31
0
x x x x x x
xa c ac b ab bc abc
21 1 1 1 1
0
x x
x x x x x
a c a b a bc a
2
1 1
0
x x
x x
a b c bc
c) x7 + x5 + x4 + x3 + x2 +1 = 0
Phân tích vế trái của Pt thành nhân tử
bằng phương pháp nào?
d) x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1 = 0
hãy giải tương tự như câu trên
5. Ví dụ 5: Cho Pt
x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m – 2) = 0 (1)
a) Xác định m để Pt có nghiệm bằng 1
b) Giải Pt tương ứng với giá trị m vừa tìm
b) Thay : m2 – m = 0 Vào Pt (1) ta có (1)
trở thành Pt nào?
1 1 1 1
0
x x x x
a b c b
1 1 1
0
x x x
abc
...
c) x7 + x5 + x4 + x3 + x2 +1 = 0
(x7 + x5 + x3 ) +( x4 + x2 +1) = 0
x3 (x4 + x2 + x ) +( x4 + x2 +1) = 0
( x4 + x2 +1) (x3 + 1) = 0
3
3
4 2
1 0
1 0 1
1 0
xx x
x x
Vì x4 + x2 +1 =
2
21 3
x + 0
2 4
. Với
x
d) x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1 = 0
x6 (x4 + x2 + 1) + (x4 + x2 + 1) = 0
(x6 + 1)( x4 + x2 + 1) = 0
(x6 + 1) [( x +
1
2
)2 +
3
4
] = 0
6
2
1 0
1 3
0
2 4
x
x
Vì : x6 + 1
1 với mọi x
R; Nên Pt : x6 + 1 = 0
vô nghiệm
( x +
1
2
)2 +
3
4
3
4
với mọi x
R . nên Pt :
( x +
1
2
)2 +
3
4
= 0 vô nghiệm
Vậy Pt đã cho vô nghiệm
a)Vì x = 1 là nghiệm của Pt (1) , nên ta có : 1 –
(m2 – m + 7) – 3m2 +3m + 6 = 0
2
m = 0
- 4m + 4m = 0
m = 1
b) Thay : m2 – m = 0 Vào Pt (1) ta có :
3 3
2
1 x - 7x + 6 = 0 (x x ) - ( 6x - 6 ) = 0
(x - 1) ( x x - 6 ) = 0
1 0 1
( 1)( 2)( 3) 0 2 0 2
3 0 3
x x
x x x x x
x x
Bài tập về nhà
1) Giải Pt :
a) (x - 2)(x + 2) - (2x + 1)2 = x(2 - 3x)
b)
x - 4 3x - 2 2x - 5 7x + 2
+ - x = -
5 10 3 6
c)
1 3 5 7
65 63 61 59
x x x x

d) x - 29 x - 27 x - 25 x - 23 x - 1970 x - 197
2 x - 1974 x - 1976
+ + + + + + +
1970 1972 1974 1976 29 27 25 23
- 8 = 0
2) Giải các Pt sau :
a) x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0 c)(x – 2)4+ (x – 3)4 = 1
b) 6x4 – x3 – 7x2+ x + 1 = 0 d) x6 – 9 x3 + 8 = 0
e) (x2 + 10x + 16)( x2 + 10x + 24) +16 = 0
3) Cho Pt : x3 + (m2 – 2)x2 – (m – 1)x – 2 = 0
a) Xác định m , biết Pt có một nghiệm : x = - 1
b) Tìm nghiệm còn lại của Pt với m vừa xác định