zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm: Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số

Chia sẻ: Hòa Phát | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:35

Báo xấu

50
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm cung cấp những kiến thức cần thiết về phương pháp giải toán, những kinh nghiệm cụ thể trong quá trình tìm tòi lời giải giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy lô-gic, phương pháp suy luận và khả năng sáng tạo cho học sinh. Trong đề tài lời giải được chọn lọc với cách giải hợp lí, chặt chẽ, dễ hiểu đảm bảo tính chính xác, tính sư phạm. Học sinh tự đọc có thể giải được nhiều dạng toán cực trị, giúp học sinh có những kiến thức toán học phong phú để học tốt môn toán và các môn khoa học khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số

Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số. MỤC LỤC Nội dung Trang I. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 2 2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài 2 3. Đối tượng nghiên cứu 3 4. Giới hạn của đề tài 3 5. Phương pháp nghiên cứu 3 a) Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận 3 b) Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn 3 c) Phương pháp thống kê toán học 3 II. PHẦN NỘI DUNG 1. Cơ sở lí luận 4 2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu 4 3. Nội dung và hình thức của giải pháp 5 a) Mục tiêu của giải pháp 5 b) Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp 5 c) Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp 27 d) Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên 27 cứu, phạm vi và hiệu quả ứng dụng III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 1. Kết luận 28 Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 1
Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số. 2. Kiến nghị 29 I. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng cao. Trong chương trình Toán ở cấp THCS hiện nay thì phần lớn hệ thống câu hỏi và bài tập đã được biên soạn khá phù hợp với trình độ kiến thức và năng lực của số đông học sinh.Tuy vậy có một số bài tập đòi hỏi học sinh phải có năng lực học nhất định mới có thể nắm được, đó là dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức đại số mà người ta thường gọi chung là tìm cực trị của một biểu thức. Các bài toán này rất phổ biến trong các đề thi học sinh giỏi văn hóa các cấp, các đề thi giải toán trên máy tính cầm tay, các đề thi giải toán bằng tiếng việt và đề thi giải toán bằng tiếng anh qua mạng internet. Việc bồi dưỡng học sinh học toán không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả năng và thói quen suy nghĩ tìm tòi lời giải của một bài toán trên cơ sở các kiến thức đã học. Qua nhiều năm thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 8 và khối lớp 9, tôi nhận thấy học sinh còn lúng túng rất nhiều khi gặp phải dạng toán khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số và thường mắc phải những sai sót khi giải dạng bài tập này, nhiều học sinh thi giải toán qua mạng internet chưa biết tính nhanh kết quả bài toán bằng máy tính cầm tay nên không đủ thời gian để hoàn thành bài thi. Do đó người giáo viên cần phân loại được các dạng bài tập và định hướng phương pháp giải cho từng dạng, sau mỗi dạng toán cần cung cấp thêm cho học sinh phương pháp tìm cực trị của một biểu thức bằng máy tính cầm tay để các em có thể vận dụng linh hoạt trong từng tình huống cụ thể. giúp học sinh hiểu sâu sắc bản chất của từng dạng toán và giải được các dạng bài toán một cách thành thạo. Từ đó rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải toán và tư duy sáng tạo. Với những lý do trên đây, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số” với mong muốn được chia sẻ một vài kinh nghiệm của mình trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong nhận được sự góp ý chân thành của các đồng chí để đề tài được phát huy hiệu quả. 2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài: Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 2
Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số. Đề tài: “Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số” giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của từng dạng bài toán tìm cực trị của một biểu thức, nắm vững phương pháp giải của từng dạng, giúp cho học sinh biết phân loại và vận dụng phương pháp giải một cách linh hoạt và có hiệu quả. Qua đó giúp học sinh phát huy được tính tích cực và tinh thần sáng tạo trong học tập, phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh, tạo động lực thúc đẩy giúp các em học sinh có được sự tự tin trong học tập, hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán và niềm đam mê bộ môn. Thông qua đề tài này nhằm cung cấp những kiến thức cần thiết về phương pháp giải toán, những kinh nghiệm cụ thể trong quá trình tìm tòi lời giải giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy lôgic, phương pháp suy luận và khả năng sáng tạo cho học sinh. Trong đề tài lời giải được chọn lọc với cách giải hợp lí, chặt chẽ, dễ hiểu đảm bảo tính chính xác, tính sư phạm. Học sinh tự đọc có thể giải được nhiều dạng toán cực trị, giúp học sinh có những kiến thức toán học phong phú để học tốt môn toán và các môn khoa học khác. 3. Đối tượng nghiên cứu: Một số kinh nghiệm trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi khi dạy chuyên đề về tìm cực trị của một biểu thức đại số. 4. Giới hạn của đề tài: Đề tài này được nghiên cứu trong khuôn khổ một số dạng toán tìm cực trị của một biểu thức Đối tượng khảo sát: học sinh giỏi khối lớp 8 và khối lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk. Thời gian nghiên cứu: Qua các năm học: 2014 – 2015, 2015 – 2016 và 2016 2017 5. Phương pháp nghiên cứu: a) Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu lí thuyết, tra cứu tài liệu tham khảo, nghiên cứu các tài liệu trên mạng internet, các bài toán tìm cực trị của một biểu thức trong các đề thi học sinh giỏi các cấp qua các năm. Tiến hành phân theo từng dạng bài tập và đề xuất phương pháp giải cho từng thể loại bài tập. Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 3
Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số. Đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận, thống nhất. b) Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Điều tra, khảo sát kết quả học tập của học sinh. Thực nghiệm trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 8 và khối lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk qua các năm học: 2014 – 2015, 2015 – 2016 và 2016 2017 Đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy c) Phương pháp thống kê toán học: Thống kê kết quả học tập của học sinh sau khi áp dụng đề tài. Đối chiếu so sánh giữa các năm học với nhau. II. PHẦN NỘI DUNG 1. Cơ sở lí luận: Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông. Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó. Việc học toán không phải chỉ là học trong sách giáo khoa, không chỉ làm những bài tập do thầy, cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng toán về tìm giá trị lớn nhất và tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số là dạng toán rất quan trọng trong chương trình môn đại số 8 và đại số 9 làm cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này. Có thể nói đây là những bài toán khó thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, các bài toán này rất phong phú về thể loại và về cách giải, đòi hỏi học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức, linh hoạt trong bi ến đổi, sắc sảo trong lập luận và phát huy tối đa khả năng phán đoán. Với mục đích nhằm nâng cao chất lượng dạy và học toán, tôi thiết nghĩ cần phải trang bị cho học sinh kiến thức về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán cực trị một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, phân tích, nhận dạng bài toán, lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Từ đó, hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, kích thích tò mò ham tìm hiểu và đem lại niềm vui cho các em, đồng thời khơi dậy cho các em sự tự tin trong học tập và niềm đam mê bộ môn. Hơn nữa, các bài toán cực trị sẽ Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 4
Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số. gắn toán học với thực tiễn vì việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất chính là việc tìm những cái tối ưu thường đặt ra trong đời sống và kỹ thuật. 2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu: Trong những năm qua, tôi đã trực tiếp tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi khối 8 và khối 9 của trường THCS Lê Đình Chinh và cũng đã trải nghiệm rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó có chuyên đề “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số” và tôi cũng đạt được thành tích trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Tuy nhiên, khi áp dụng chuyên đề trên còn nặng về phương pháp liệt kê các bài toán, chưa phát huy được hiệu quả học tập của học sinh. Chính vì vậy, để học sinh nắm vững và giải thành thạo các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số thì khi dạy chuyên đề đó giáo viên nên phân theo từng dạng bài toán, qua mỗi dạng có ví dụ minh chứng và xây dựng phương pháp giải chung cho từng dạng, đồng thời lồng ghép kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay để tìm cực trị của một biểu thức. Với những ý tưởng đó tôi đã thể hiện trong đề tài nghiên cứu: “Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số” sau khi đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận và áp dụng vào thực tiễn tôi nhận thấy rèn luyện được cho học sinh kĩ năng giải toán có khoa học, lập luận logic và chặt chẽ. Học sinh hứng thú, chủ động hơn trong học tập. 3. Nội dung và hình thức của giải pháp: a) Mục tiêu của giải pháp: Đề tài “Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số” nhằm mục đích tìm tòi, tích lũy các đề toán ở nhiều dạng khác nhau trên cơ sở vận dụng được các kiến thức cơ bản đã học, trang bị cho học sinh giỏi lớp 8 và lớp 9 một cách có hệ thống về phương pháp giải các dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể, giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo. Tạo hứng thú, niềm đam mê, yêu thích các dạng toán cực trị đại số thông qua các bài toán có tính tư duy. b) Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp: Dạng 1: Biểu thức có dạng tam thức bậc hai ax 2 + bx + c ( a 0 ) Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 5
Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số. * Chú ý: Tam thức bậc hai ax 2 + bx + c ( a 0 ) đạt giá trị nhỏ nhất nếu a > 0 và đạt giá trị lớn nhất nếu a 0: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta thực hiện qua ba bước sau: Bước 1: Thêm bớt hạng tử và sử dụng một trong hai hằng đẳng thức: ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 hoặc ( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 để biến đổi biểu thức A sao 2 2 cho A k (với k là hằng số); Bước 2: Tìm giá trị x0 để A = k Bước 3: Kết luận AMin = k khi x = x0. Trường hợp a
Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số. Ấn tiếp phím , máy tính sẽ cho kết quả Y là giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của tam thức bậc hai ax 2 + bx + c ( a 0 ) * Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 2 − x + 3 Giải: 2 1 1 1 1 � 11 Ta có: A = x 2 − 2x. + − + 3 = � �x− �+ 2 4 4 � 2� 4 2 1� Vì � �x − � 0 với mọi x R � 2� 2 1 � 11 11 nên � �x − �+ với mọi x R � 2� 4 4 1 1 Dấu “=” xảy ra x − = 0 � x = 2 2 11 1 Vậy AMin = khi x = 4 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 9x2 + 6x + 5 Giải: Ta có: B = (9x2 + 6x + 1) + 4 = (3x + 1)2 + 4 Vì (3x + 1)2 0 với mọi x R nên (3x + 1)2 + 4 4 với mọi x R 1 Dấu “=” xảy ra 3x + 1 = 0 � x = − 3 1 Vậy BMin = 4 khi x = − 3 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: C = 1 – 6x – x2 Giải: Ta có: C = x2 – 6x + 1 = (x2 + 6x + 9) + 9 + 1 = 10 – (x + 3 )2 Vì (x + 3 )2 0 với mọi x R nên 10 – (x + 3 )2 10 với mọi x R Dấu “=” xảy ra x + 3 = 0 x = 3 Vậy CMax = 10 khi x = − 3 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D = 2x2 + 5x +1 Giải: 2 5 � 5 25 � 25 33 � 5� Ta có: D = −2 � 2 �2 �x − x �+ 1 = −2 �x − 2x. + �+ + 1 = − 2 �x− � � 2 � � 4 16 � 8 8 � 4� Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 7
Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số. 2 2 5� 33 � 5 � 33 Vì 2 � �x − � 0 với mọi x R nên − 2 �x− � với mọi x R � 4� 8 � 4� 8 5 5 Dấu “=” xảy ra x − = 0 � x = 4 4 33 5 Vậy DMax = khi x = 8 4 Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E = ( x − 1) + ( x − 3) 2 2 Đối với biểu thức E ở trên, học sinh dễ bị mắc sai lầm như sau: Vì ( x − 1) 2 0 với mọi x R và ( x − 3) 0 với mọi x R 2 nên ( x − 1) + ( x − 3) 2 2 0 với mọi x R �x − 1 = 0 �x = 1 Dấu “=” xảy ra � � �� x − 3 = 0 �x = 3 Vậy EMax = 0 khi x = 1 và x = 3 Phân tích sai lầm trên như sau: Vì ( x − 1) 2 0 (1) với mọi x R và ( x − 3) 0 (2) với mọi x R 2 Nhưng không thể kết luận được giá trị nhỏ nhất của E bằng 0 vì không đồng thời xảy ra dấu bất đẳng thức ở (1) và (2) . Lời giải đúng như sau: Ta có: E = x 2 − 2x + 1 + x 2 − 6x + 9 = 2x 2 − 8x + 10 = 2(x 2 − 4x + 4) + 2 = 2(x − 2) 2 + 2 Vì 2 ( x − 2 ) 0 với mọi x R 2 nên 2(x − 2) 2 + 2 2 với mọi x R Dấu “=” xảy ra x 2 = 0 � x = 2 Vậy EMin = 2 khi x = 2 * Bài tập tự rèn: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) x 2 − 4x + 5 b) 3x 2 − 11x + 6 c) 5x+2x 2 − 12 d) 49x 2 − 56x + 18 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 1 a) − x 2 + 6x + 15 b) −3x 2 − 2x1 c) 4x − x 2 + 3 d) − x 2 − x 4 Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 8
Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số. Dạng 2: Biểu thức có dạng là phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai b * Chú ý: Cho biểu thức A = Q x trong đó b là hằng số, Q ( x ) là tam ( ) thức bậc hai. Khi đó: Nếu b và Q ( x ) đều có giá trị dương thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất Q ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất. Sẽ không chính xác nếu lập luận rằng phân thức có tử là hằng số nên phân thức lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Lập luận này có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn: Xét bài toán: Tìm giá 1 trị lớn nhất của biểu thức A = x −4 2 Với lập luận như trên: Vì tử thức có giá trị không đổi nên A đạt giá trị lớn nhất khi x2 – 4 đạt giá trị nhỏ nhất, mà giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2 – 1 4 là 4 x = 0. Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức A là khi x = 0 . Điều 4 1 này không đúng vì Không phải là giá trị lớn nhất của biểu thức A ,chẳng 4 1 1 hạn với x = 3 thì A = 5 4 * Phương phap giai: ́ ̉ Biến đổi tam thức bậc hai ở mẫu giống như cách biến đổi ở dạng 1; Từ đó xác định giá trị cực trị theo quy tắc so sánh hai phân thức cùng tử, tử và mẫu đều dương. * Thủ thuật tìm giá trị nhỏ nhất hoặc tìm giá trị lớn nhất của biểu thức dạng 2 trên máy tính cầm tay CASIO 570VN PLUS: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc tìm giá trị lớn nhất của tam thức bậc hai ở mẫu thức bằng cách ấn máy như ở dạng 1 sau đó thay giá trị đó vào mẫu thức của phân thức đã cho rồi tính ra kết quả * Các ví dụ minh họa: 2 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x − 6x + 17 2 Giải: 2 2 Ta có: A = x 2 − 6x + 17 = x − 3 2 + 8 ( ) Vì ( x − 3) 0 với mọi x R nên (x – 3 )2 + 8 8 với mọi x R Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 9
Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số. 2 2 1 = với mọi x R ( x − 3) 2 +8 8 4 Dấu “=” xảy ra x – 3 = 0 x = 3 1 Vậy AMax = khi x = 3 4 −5 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x − 2x + 6 2 Giải: −5 5 1 Ta có: B = x 2 − 2x + 6 = − x 2 − 2x + 6 = − ( x − 1) + 5 2 Vì ( x − 1) 0 Với mọi x R 2 nên ( x − 1) 2 + 5 5 với mọi x R 5 5 = 1 với mọi x R (x − 1) + 5 5 2 5 − −1 với mọi x R (x − 1) 2 + 5 Dấu “=” xảy ra x – 1 = 0 x = 1 Vậy BMin 1 khi x = 1 2 Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = 6x − 5 − 9x 2 2 2 2 Giải: Ta có: C = 6x − 5 − 9x 2 = − 9x 2 − 6x + 5 = − ( 3x − 1) + 4 2 Vì ( 3x − 1) 2 0 với mọi x R nên ( 3x − 1) + 4 4 với mọi x R 2 2 2 1 = với mọi x R ( 3x − 1) 2 +4 4 2 2 1 − 3x − 1 2 + 4 − 2 với mọi x R ( ) 1 Dấu “=” xảy ra 3x – 1 = 0 x = 3 1 1 Vậy CMin = − khi x = 2 3 b Dạng 3: Biểu thức đưa được về dạng a + Q x trong đó a, b là các ( ) hằng số, Q ( x ) là tam thức bậc hai. Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 10
Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số. b * Dấu hiệu nhận biết: Biểu thức A đưa được về dạng A = a + Q x ( ) trong đó a, b là các hằng số, Q ( x ) là tam thức bậc hai thì A phải có dạng: a1 x 2 + b1x + c1 a1 b1 A = trong đó a1 ,a 2 0; = a 2 x 2 + b 2 x + c2 a 2 b2 * Phương phap giai: ́ ̉ b Thực hiện chia tử thức cho mẫu thức, đưa về dạng A = a + Q x ( ) b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q x như ở dạng 2 sau đó thay vào ( ) biểu thức A ta có kết quả cần tìm. * Thủ thuật sử dụng máy tính cầm tay CASIO 570VN PLUS: a Tìm a: a = a 1 2 �a1x 2 + b1x + c1 � 2 Tìm b: Ấn � 2 −a� .a 2 x + b 2 x + c 2 rồi ấn dấu = cho kết quả �a 2 x + b 2 x + c 2 � b bằng b. Khi đó ta có A = a + a x 2 + b x + c 2 2 2 Ấn máy tìm nhỏ nhất của biểu thức a 2 x 2 + b2 x + c 2 như ở dạng 1, sau đó thay giá trị nhỏ nhất đó vào biểu thức A ta có kết quả cần tìm. * Các ví dụ minh họa: 3x 2 + 6x + 11 Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 2 + 2x + 3 Giải: 3x 2 + 6x + 11 2 2 Ta có: A = = 3+ 2 = 3+ x + 2x + 3 x + 2x + 3 ( x + 1) + 2 2 2 A đạt giá trị lớn nhất khi ( x + 1) + 2 đạt giá trị nhỏ nhất 2 ( x + 1) 2 + 2 đạt đạt giá trị nhỏ nhất là 2 khi x = −1 2 Vậy A Max = 3 + = 4 khi x = −1 2 2x 2 + 8x + 10 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x 2 + 4x + 3 Giải: Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 11
Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số. 2x 2 + 8x + 10 4 4 Ta có: B = = 2+ 2 = 2+ x + 4x + 3 x + 4x + 3 ( x + 2) −1 2 2 B đạt giá trị lớn nhất khi ( x + 2 ) − 1 đạt giá trị nhỏ nhất 2 ( x + 2) 2 − 1 đạt đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi x = −2 4 Vậy BMax = 2 + = −2 khi x = −2 −1 Dạng 4: Biểu thức là phân thức có tử là tam thức bậc hai, mẫu là bình phương của nhị thức bậc nhất. * Phương phap giai: ́ ̉ Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức có dạng ax + bx + c 2 , trong đó x là biến. Ta thực hiện như sau: ( ux+v ) 2 Biến đổi tử thức về dạng a ( ux+v ) + p ( ux+v ) + q (p, q là hằng số) 2 a ( ux+v ) + p ( ux+v ) + q 2 2 1 �1 � Phân thức trở thành = a + p. +q� � ( ux+v ) 2 ux+v �ux+v � Từ đó thực hiên tương tự như dạng 1 * Các ví dụ minh họa: x2 − x +1 Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = ( x − 1) 2 Giải: Ta có: x 2 − x + 1 = x 2 − 2x + 1 + x − 1 + 1 = ( x − 1) + ( x − 1) + 1 2 ( x − 1) + ( x − 1) + 1 = 1 + 1 + 1 2 x2 − x +1 A= = ( x − 1) ( x − 1) x − 1 ( x − 1) 2 2 2 2 2 1 � 1 1 1 3 �1 1� 3 = � � � + 2. x 1 . 2 + 4 + 4 = � + �+ �x − 1 � �x − 1 2 � 4 2 1 1� Vì � � + � 0 với mọi x 1 �x − 1 2 � 2 1 1� 3 3 nên � � + �+ với mọi x 1 �x − 1 2 � 4 4 1 1 1 −1 Dấu “=” xảy ra + =0� = x – 1 = 2 x = 1 x −1 2 x −1 2 Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 12
Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số. 3 Vậy AMin = khi x = − 1 4 3x 2 + 14x + 15 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = x 2 + 4x + 4 Giải: Ta có: 3x 2 + 14 x + 15 = 3( x 2 + 4 x + 4) + 2( x + 2) − 1 = 3( x + 2) 2 + 2( x + 2) − 1 2 3x 2 + 14x + 15 3(x + 2) 2 + 2(x + 2) − 1 1 �1 � B= = = 3 + 2. −� � x + 4x + 4 2 (x + 2) 2 ( x + 2) �x + 2 � 2 2 � �1 � 1 � �1 � = −� � �− 2. + 1�+ 4 = − � − 1�+ 4 �x + 2 � � x+2 � �x + 2 � 2 1 Vì � � � − 1� 0 với mọi x −2 �x + 2 � 2 1 nên − � � � − 1�+ 4 4 với mọi x −2 �x + 2 � 1 1 Dấu “=” xảy ra −1 = 0 � = 1 � x = −1 . x+2 x+2 Vậy BMax = 4 khi x = − 1 Cách khác: 3x 2 + 14x + 15 4(x 2 + 4x + 4) − (x 2 + 2x + 1) Ta có: B = = x 2 + 4x + 4 (x + 2) 2 2 4(x + 2) 2 − (x + 1) 2 �x + 1 � = = 4−� � (x + 2) 2 �x + 2 � 2 x +1 � Vì � � � 0 với mọi x −2 �x + 2 � 2 x +1 � nên 4 − � � � 4 với mọi x −2 �x + 2 � Dấu “=” xảy ra x + 1 = 0 � x = −1 Vậy BMax = 4 khi x = − 1 3x 2 − 8x + 6 Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = x 2 − 2x + 1 Giải: 2 ( ) 3x 2 − 8x + 6 3 x − 2x + 1 − 2(x − 1) + 1 2 1 Ta có: C = 2 = = 3 + x − 2x + 1 ( x − 1) x1 ( x − 1) 2 2 2 2 �1 � 1 �1 � = � � 2. + 1 + 2 = � − 1�+ 2 �x1 � x1 �x1 � Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 13
Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số. 2 1 Vì � � � − 1� 0 với mọi x 1 �x1 � 2 1 nên � � � − 1�+ 2 2 với mọi x 1 x1 � � 1 1 Dấu “=” xảy ra −1 � = 1 � x −1 = 1 � x = 2 x1 x1 Vậy CMin = 2 khi x = 2 Cách khác: 3x 2 − 8x + 6 ( 2x − 4x + 2 ) + (x − 4x + 4) ( x − 2) 2 2 2 Ta có: C = 2 = = 2 + x − 2x + 1 ( x 2 − 2x + 1) ( x − 1) 2 2 x−2� Vì � � � 0 với mọi x 1 �x − 1 � ( x − 2) 2 nên 2 + 2 với mọi x 1 ( x − 1) 2 Dấu “=” xảy ra x − 2 = 0 � x = 2 Vậy CMin = 2 khi x = 2 8x 2 − 50x + 79 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = . x 2 − 6x + 9 Giải: 2 8x 2 − 50x + 79 8(x 2 − 6x + 9) − 2(x − 3) + 1 1 �1 � Ta có: D = = = 8 − 2. +� � x − 6x + 9 2 (x − 3) 2 (x − 3) �x − 3 � 2 2 1 � 1 �1 = � � �− 2. .1 + 1 + 7 = � � − 1�+ 7 �x − 3 � x −3 �x − 3 � 2 1 Vì � � � − 1� 0 với mọi x 3 �x − 3 � 2 1 nên � � � − 1�+ 7 7 với mọi x 3 �x − 3 � 1 1 Dấu “=” xảy ra −1 = 0 � =1� x = 4 x −3 x −3 Vậy DMin = 7 khi x = 4 Dạng 5: Biểu thức là phân thức có tử là nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai, mẫu là tam thức bậc hai. * Phương phap giai: ́ ̉ Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 14
Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số. ax 2 + bx + c Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của phân thức , dx 2 + ex + g trong đó x là biến, ta sử dụng một phương pháp gọi là “Phương pháp miền giá trị của hàm số”. Cụ thể như sau: ax 2 + bx + c Đặt y = 2 dx + ex + g Tìm tập xác định của y ax 2 + bx + c y= 2 � y(dx 2 + ex + g) = ax 2 + bx + c dx + ex + g � (yd − a)x 2 + (ye − b)x + yg − c = 0 ( 1) a Xét y = , thay vào (1) để tìm x d a Xét y , phương trình (1) có nghiệm khi V 0 tức là: d (ye − b) 2 − 4(yd − a) ( yg − c ) 0 Giải bất phương trình trên ta được y1 y y2 − ( y1e − b ) − ( y2e − b ) Với y = y1 thì x = và với y = y 2 thì x = 2 ( y1d − a ) 2 ( y2d − a ) − ( y1e − b ) Kết luận: y Min = y1 khi x = 2 ( y1d − a ) − ( y2e − b ) y Max = y2 khi x = 2 ( y2d − a ) * Các ví dụ minh họa: 4x − 3 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x2 +1 4x − 3 Giải: Đặt y = x2 +1 4x − 3 Vì hàm số xác định với mọi x nên ta có: y = � yx 2 − 4x + y + 3 = 0 x +1 2 3 Xét y = 0, ta có −4x + 3 = 0 � x = 4 Xét y 0, phương trình yx 2 − 4x + y + 3 = 0 có nghiệm khi V' 0 tức là: Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 15
Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số. 4 − y ( y + 3) �� 0 y 2 + 3y − 4 �� 0 ( y − 1) ( y + 4 ) �� 0 −4 �� y 1 2 1 Với y = −4 thì x = =− −4 2 2 Với y = 1 thì x = = 2 1 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là 4 khi x = − , giá trị lớn 2 nhất của biểu thức đã cho là 1 khi x = 2 8x + 3 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4x 2 + 1 8x + 3 Giải: Đặt y = 4x 2 + 1 Vì hàm số xác định với mọi x nên ta có: 8x + 3 y= � 4x 2 y + y = 8x + 3 � 4x 2 y − 8x + y − 3 = 0 4x + 1 2 3 Xét y = 0, ta có −8x 3 = 0 � x = − 8 Xét y 0, phương trình 4x 2 y − 8x + y − 3 = 0 có nghiệm khi V' 0 tức là: 16 − 4y ( y − 3) �� 0 −4y 2 + 12y + 16 �0 � y 2 − 3y − 4 �0 � ( y − 4 ) ( y + 1) �0 � −1 �y �4 4 Với y = −1 thì x = 4. −1 = −1 ( ) 4 1 Với y = 4 thì x = = 4.4 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là 1 khi x = −1 , giá trị lớn 1 nhất của biểu thức đã cho là 4 khi x = 4 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2x + 6x + 6 2 x 2 + 4x + 5 2x 2 + 6x + 6 Giải: Đặt y = x 2 + 4x + 5 Vì hàm số xác định với mọi x nên ta có: Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 16
Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số. 2x 2 + 6x + 6 y= � y ( x 2 + 4x + 5 ) = 2x 2 + 6x + 6 � x 2 y + 4xy + 5y = 2x 2 + 6x + 6 x + 4x + 5 2 � (y − 2)x 2 + (4y − 6)x + 5y − 6 = 0 Xét y = 2, ta có ( 4.2 − 6 ) x + 5.2 − 6 = 0 � x = −2 Xét y 2, phương trình (y − 2)x 2 + (4y − 6)x + 5y − 6 = 0 có nghiệm khi V 0 tức là: (4y – 6 )2 – 4.(y – 2 )(5y – 6 ) 0 16y2 – 48y + 36 – 20y2 + 24y + 40y 48 0 4y2 + 16y – 12 0 y2 4y + 3 0 (y – 1 )(y 3 ) = 0 1 y 3 − ( 4.1 − 6 ) 2 Với y = 1 thì x = = = −1 2. ( 1 − 2 ) −2 − ( 4.3 − 6 ) −6 Với y = 3 thì x = = = −3 2. ( 3 − 2 ) 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là 1 khi x = −1 , giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là 3 khi x = −3 * Lưu ý: Tìm cực trị bằng phương pháp miền giá trị của hàm số rất hay và giải quyết nhiều bài toán khó về cực trị. * Bài tập tự rèn: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: x2 x2 − x +1 x 2 − 8x + 7 x 2 + 4 2x + 3 a) b) c) d) x 2 − 5x + 7 x2 + x +1 x2 +1 x2 +1 Dạng 6: Biểu thức là đa thức nhiều biến. * Phương phap giai: ́ ̉ Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đa thức nhiều biến ta thực hiện thêm bớt cùng một hạng tử hoặc tách một hạng tử thành hai hạng tử rồi áp dụng hằng đẳng thức A 2 + 2AB + B2 = (A + B) 2 hoặc A 2 − 2AB + B2 = (A − B) 2 để biến đổi biểu thức đã cho về dạng: A = m + [ f (x, y) ] + [ g(x, y) ] m (m là hằng số) 2 2 Hoặc A = n − [ f (x, y) ] − [ g(x, y) ] n (n là hằng số). 2 2 f ( x, y ) = 0 Dấu “=” xảy ra g ( x, y ) = 0 Kết luận: AMin = m hoặc AMax = n Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 17
Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số. * Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 3x 2 + y2 + 10x − 2xy + 26 Giải: A = 3x 2 + y 2 + 10x − 2xy + 26 = ( x 2 − 2xy + y 2 ) + 2x 2 + 10x + 26 2 2 �2 5 �5 � �5 � � = ( x − y ) + 2 ( x + 5x + 13 ) = ( x − y ) + 2 � 2 2 2 x + 2x. + � �− � �+ 13� � 2 �2 � �2 � � 2 2 � � 5 � 27 � � 5 � 27 = ( x − y) + 2 � �x + �+ �= ( x − y ) + 2 �x + �+ 2 2 � 2� 4 � � � 2� 2 Vì ( x − y ) 2 0 với mọi x, y 2 5� 2 � �x + � 0 với mọi x � 2� 2 5 27 27 nên ( x − y ) + 2 � � 2 �x + �+ với mọi x, y � 2� 2 2 �x − y = 0 �x=y � � 5 Dấu “=” xảy ra � 5 �� 5 �x=y=− �x+ =0 �x=− 2 � 2 � 2 27 5 Vậy AMin = khi x = y = − 2 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 4x 2 + 3y 2 − 4x+30y + 78 � 77 � Giải: B = ( 2x ) − 2.2x.1+12 +3y 2 +30y + 77 = ( 2x − 1) + 3 �y 2 + 10y + � 2 2 � 3 � � 77 � � 2� = ( 2x − 1) + 3 �y 2 + 2y.5 + 52 − 52 + �= ( 2x − 1) + 3 � ( y + 5) + � 2 2 2 � 3 � � 3� = ( 2x − 1) + 3 ( y + 5 ) + 2 2 2 Vì ( 2x − 1) 2 0 với mọi x 2 ( y + 5 ) 2 0 với mọi y nên ( 2x − 1) + 3 ( y + 5 ) + 2 2 với mọi x, y 2 2 1 2x − 1 = 0 x= Dấu “=” xảy ra � � 2 y+5 = 0 y = −5 1 x= Vậy BMin = 2 khi 2 y = −5 Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 18
Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số. Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = x 2 – 2xy + 10y2 + 6y + 5 Giải: A = (x2 – 2xy + y2) + (9y2 + 6y + 1) + 4 = (x – y )2 + (3y +1)2 + 4 Vì ( x − y ) 0 với mọi x, y 2 ( 3y + 1) 0 với mọi y 2 nên (x – y )2 + (3y +1)2 + 4 4 với mọi x, y x−y=0 1 Dấu “=” xảy ra �x=y=− 3y + 1 = 0 3 1 Vậy CMin = 4 khi x = y = − 3 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D = 15 − 10x − 10x 2 + 24xy − 16y 2 Giải: D = − ( x 2 + 10x + 25 ) − ( 9x 2 − 24xy + 16y 2 ) + 40 = 40 − ( x + 5 ) − ( 3x − 4y ) 2 2 Vì ( x + 5) 2 0 với mọi x ( 3x − 4y ) 2 0 với mọi x, y nên 40 − ( x + 5 ) − ( 3x − 4y ) 2 2 40 với mọi x, y x = −5 x +5 = 0 Dấu “=” xảy ra � � 15 3x − 4y = 0 y=− 4 x = −5 Vậy DMax = 40 khi 15 y=− 4 Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E = x − 4xy + 5y 2 + 10x − 22y + 31 2 Giải: E = ( x 2 4xy+4y 2 ) + ( y 2 2y +1) +10 ( x – 2y ) + 25 + 5 = ( x – 2y ) + 2.5. ( x – 2y ) + 52 + ( y − 1) + 5 = ( x – 2y + 5 ) + ( y − 1) + 5 2 2 2 2 Vì ( x − 2y + 5 ) 2 0 với mọi x, y ( y − 1) 2 0 với mọi y nên ( x – 2y + 5 ) + ( y − 1) + 5 5 với mọi x, y 2 2 Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 19
Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số. �x − 2y + 5 = 0 �x = −3 Dấu “=” xảy ra � � �y − 1 = 0 �y = 1 x = −3 Vậy EMin = 2 khi y =1 Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F = 19x 2 + 54y2 + 16z 2 − 16xz − 24yz + 36xy + 5 Giải: F = ( 9x 2 + 36xy + 36y 2 ) + ( 18y 2 − 24yz + 8z 2 ) + ( 8x 2 − 16xz + 8z 2 ) + 2x 2 + 5 = 9 ( x 2 + 4xy + 4y 2 ) + 2 ( 9y 2 − 12yz + 4z 2 ) + 8 ( x 2 − 2xz + z 2 ) + 2x 2 + 5 = 9 ( x + 2y ) + 2 ( 3y − 2z ) + 8 ( x − y ) + 2x 2 + 5 2 2 2 Vì 9 ( x + 2y ) 2 0 với mọi x, y 2 ( 3y − 2z ) 2 0 với mọi y, z 8 ( x − y ) 0 với mọi x, y 2 2x 2 0 với mọi x nên 9 ( x + 2y ) + 2 ( 3y − 2z ) + 8 ( x − y ) + 2x 2 + 5 5 với mọi x, y, z 2 2 2 x + 2y = 0 3y − 2z = 0 Dấu “=” xảy ra � x=y=z=0 x−y=0 x=0 Vậy FMin = 2 khi x = y = z = 0 Dạng 7: Biểu thức là đa thức bậc cao. * Phương phap giai: ́ ̉ Thực hiện phương pháp tương tự như ở dạng 6 * Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 4 − 10x 3 + 26x 2 − 10x + 30 Giải: A = ( x 2 ) − 2x 2 .5x + 25x 2 + x 2 − 2x.5 + 25 + 5 = ( x 2 − 5x ) + ( x − 5 ) + 5 2 2 2 Vì ( x 2 + 5x ) 2 0 với mọi x ( x − 5) 2 0 với mọi x nên ( x 2 − 5x ) + ( x − 5 ) + 5 5 với mọi x 2 2 Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.