Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6

Chia sẻ: Convetxao | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài là muốn học sinh đọc hiểu và có khả năng vận dụng kiến thức vào giải các bài tập liên quan nên tôi đã mạnh dạn thực hiện sưu tầm, lựa chọn một số dạng bài tập áp dụng về đại số tổ hợp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6

MỤC LỤC Tên đề mục Trang MỤC LỤC 1 PHỤ LỤC: CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI 2 PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ 4 PHẦN THỨ HAI: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 4 1. Những nội dung lí luận liên quan 4 2. Thực trạng vấn đề 4 3. Các biện pháp tiến hành 5 3.1. Nghiên cứu, phân loại các dạng bài tập sao cho phù hợp với từng 5 đối tượng học sinh và từng phần kiến thức cụ thể. 3.1a. Quy tắc nhân, quy tắc cộng, chỉnh hợp lặp 5 3.1b. Chỉnh hợp 6 3.1c. Hoán vị 7 3.1d. Tổ hợp 9 3.1e. Một số dạng bài tập 10 3.2.Thực hiện giảng dạy theo phương pháp mới là hướng người học 32 làm trung tâm. 3.3. Thường xuyên động viên, khuyến khích học sinh trong quá trình 32 giảng dạy trên lớp để các em thêm tự tin, hứng thú học tập. 4. Kết quả thực hiện 33 Phần thứ ba: Kết luận, kiến nghị 34 Tài liệu tham khảo 35 1
PHỤ LỤC: CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI 1) THCS: trung học cơ sở 2) THPT: trung học phổ thông 3) SKKN: sáng kiến kinh nghiệm 2
PHẦN THỨ NHẤT ĐẶT VẤN ĐỀ Căn cứ vào thực tế dạy và học hệ thống bài tập về đại số tổ hợp (chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp,... tôi thấy hệ thống bài tập SGK, SBT do Bộ giáo dục – Đào tạo ấn hành còn đơn điệu, chưa sâu, chưa đáp ứng đủ yêu cầu của dạng toán này. Bởi trên thực tế bài tập về đại số tổ hợp rất đa dạng, phong phú (chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp) và là một loại toán khó của Đại số THCS. Khi dạy phần này, nhất là đối với học sinh khá, giỏi đòi hỏi giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn các dạng bài tập, các ví dụ ...Vì thế mà nội dung giảng dạy chưa có hệ thống, chưa chuyên sâu. Là giáo viên chúng ta luôn mong muốn cung cấp cho học sinh “chiếc chìa khóa” để giải từng dạng bài tập. Chính vì nhìn thấy tầm quan trọng của việc khải thác có hệ thống các đơn vị kiến thức theo dạng bài tập cơ bản liên quan và được sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của tập thể giáo viên dạy bộ môn Toán trong nhà trường, tôi mạnh dạn đi sâu suy nghĩ khai thác và đúc kết thành sáng kiến kinh nghiệm “Một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6” trong dạy học. PHẦN THỨ HAI GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Những nội dung lý luận liên quan 1.1.Cơ sở lý luận: Muốn đổi mới phương pháp dạy học phù hợp với mục tiêu của chương trình cải cách và nội dung SGK mới thì giáo viên trước hết phải dạy cho học sinh những tri thức, phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách đọc tài liệu, biết cách suy luận, biết cách tìm lại những cái đã quên và phát hiện kiến thức mới. Bên cạnh đó đòi hỏi học sinh phải cố gắng, có trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nghiên cứu kiến thức mới. Muốn dạy cho học sinh nắm được những tri thức về phương pháp học tập thì người giáo viên phải thường xuyên suy nghĩ dạy một vấn đề, một đơn vị kiến thức đặt ra trước mắt theo cách nào, theo hướng nào, để học sinh hiểu và vận dụng hiệu quả cao hơn. 3
1.2. Cơ sở thực tiễn: Trong chương trình toán THCS và THPT thì đại số tổ hợp vẫn luôn là một đề tài hay và khó đối với học sinh . Các bài toán về đại số tổ hợp thường xuyên có mặt tại các kì thi. Đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi các khối lớp ở THCS. Đây là một dạng bài tập tương đối khó và chỉ áp dụng vào đối tượng học sinh khá, giỏi. Vì vậy, qua quá trình bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi tôi đã tích luỹ được một số kinh nghiệm với mong muốn giúp các em học sinh khá, giỏi, đặc biệt là học sinh lớp 6 làm quen với dạng toán này, bước đầu hình thành cho mình một số vấn đề cơ bản và một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp. 2. Thực trạng vấn đề Trong chương trình bộ môn toán cấp THCS nhiều bài tập, đặc biệt là các bài thi đối với học sinh giỏi có liên quan rất nhiều đến đại số tổ hợp, nhưng thời lượng chương trình dành cho học sinh vận dụng không nhiều. Các dạng toán áp dụng đại số tổ hợp tương đối trừu tượng, khó nên học sinh ngại học, ngại nghiên cứu các dạng toán này. Ngoài ra tài liệu chuyên sâu về việc áp dụng đại số tổ hợp trong giải toán chưa nhiều, còn rất thiếu và chưa có hệ thống. Vì vậy muốn học sinh đọc hiểu và có khả năng vận dụng kiến thức vào giải các bài tập liên quan nên tôi đã mạnh dạn thực hiện sưu tầm, lựa chọn một số dạng bài tập áp dụng về đại số tổ hợp và tiến hành nghiên cứu trong đề tài: “Một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6” giúp cho việc dạy và học, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi đạt kết quả cao. 3. Các biện pháp tiến hành 3.1. Nghiên cứu, phân loại các dạng bài tập sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh và từng phần kiến thức cụ thể. 3.1.a. Quy tắc nhân, quy tắc cộng, chỉnh hợp lặp: 3.1.a1. Quy tắc nhân: Giả sử một hành động H được tiến hành gồm k giai đoạn liên tiếp. Ở giai đoạn 1 có m1 cách chọn, ở giai đoạn 2 có m2 cách chọn,..., ở giai đoạn k có mk cách chọn (với m1 ; m2 ;...; m k  N * ) . Khi đó có tất cả: m1m2...mk cách chọn để thực hiện hành động H. 4
Ví dụ: Khi đi từ A đến B phải qua C, biết rằng từ A đến C có 3 đường đi và từ C đến B có 2 đường đi. Như vậy có 3.2 = 6 đường đi từ A đến B 3.1.a2. Quy tắc cộng: Một hành động H được tiến hành gồm k hành động H1, H2, ...,Hk độc lập nhau và mỗi hành động Hi có mi cách chọn. Khi đó hành động H sẽ có m1 + m2 + m3 + ....+mk cách chọn. Ví dụ: Khi đi từ A đến B phải qua C và D. Biết rằng từ A đến C có 3 đường đi, từ C đến B có 2 đường đi, từ A đến D có hai đường đi và từ D đến B có 4 đường đi. Hỏi có bao nhiêu đường đi từ A đến B, biết rằng giữa C và D không có đường đi. Bài giải: Từ A đến B qua C có: 3.2 = 6 đường đi Từ A đến B qua D có : 2.4 = 8 đường đi Vậy từ A đến B có tất cả: 6 + 8 = 14 đường đi 3.1.a3. Chỉnh hợp lặp: a) Định nghĩa: cho tập hợp X gồm n phần từ. Một dãy có độ dài m các phần tử của X, trong đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần, sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập m của n phần tử. Kí hiệu chỉnh hợp lặp chập m của n phần tử là Fnm Ví dụ: các dãy: (a, a, d); (b, d, d); (d, a, b);....; là các chỉnh hợp lặp chập 3 của 4 phần tử của tập hợp {a, b, c, d} b) Định lí: Fnm  n m 5
3.1.b. Chỉnh hợp: 3.1.b1. Định nghĩa: Cho tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1) lấy ra k phần tử (1 ≤ k ≤ n) và sắp xếp k phần tử này theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. 3.1.b2. Công thức: Tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử: Ta có n cách chọn phần tử đứng đầu, có n – 1 cách chọn phần tử thứ hai, có n – 2 cách chọn phần tử thứ ba,..., có n – (k – 1) cách chọn phần tử đúng thứ k. Do đó chỉnh hợp chập k của n phần tử là: n! Ank   n(n  1)(n  2)...(n  k  1) (n  k )! 3.1.b3. Tính chất: n! Nếu k = 1 thì An1  n (n  1)! n! Nếu k = n thì Ann   n! (n  n)! Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số, các chữ khác nhau, lập bởi ba chữ số trong năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5? Bài giải: Các số phải đếm có dạng: abc Có 5 cách chọn chữ số a (là 1, 2, 3, 4, 5) Với mỗi cách chọn a, có 4 cách chọn b (là 1, 2, 3, 4, 5 nhưng khác a) Với mỗi cách chọn ab , có 3 cách chọn c (là 1, 2, 3, 4, 5 nhưng khác a và b) Vậy có tất cả: 5.4.3 = 60 (số phải đếm) Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách xếp thứ tự nhất, nhì, ba trong sáu đội bóng thi đấu? Bài giải: Có 6 cách xếp đội đứng thứ nhất Với mỗi cách trên, có 5 cách xếp đội đứng thứ nhì Với mỗi cách xếp nhất, nhì, có 4 cách xếp đội đứng thứ ba Vậy số cách xếp phải tìm là: 6.5.4 = 120 cách xếp. 3.1.c. Hoán vị: 6
3.1.c1. Định nghĩa: Mỗi cách sắp đặt các phần tử của tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) theo một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của n phần tử. Kí hiệu: số hoán vị của n phần tử là: Pn 3.1.c2. Công thức: Tính số hoán vị của n phần tử: Số hoán vị của n phần tử cũng là số chỉnh hợp chập n của n phần tử. Do đó số hoán vị của n phần tử bằng tích của n thừa số. Pn = n! = 1.2.3.....(n – 2).(n – 1) .n Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách gọi tên tam giác có ba đỉnh là A, B, C? Bài giải: Có 3 cách chọn đỉnh đầu tiên (là A, B, C) Với mỗi cách chọn trên, có 2 cách chọn đỉnh thứ hai. Với mỗi cách chọn 2 đỉnh trên, có 1 cách chọn đỉnh thứ ba Vậy có tất cả: 3.2.1 = 6 cách gọi tên Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách giao hoán các thừa số của tích abcd? Bài giải: Có 4 cách chọn số đứng đầu (a) Với mỗi cách chọn a, có 3 cách chọn thừa số thứ hai b Với mỗi cách chọn 2 số trên, có 2 cách chọn thừa số thứ ba c Với mỗi cách chọn 3 thừa số trên, có 1 cách chọn thừa số thứ tư d Vậy có tất cả: 4.3.2.1 = 24 (cách giao hoán) Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách xếp 5 người ngồi: a) Trên một ghế dài b) Chung quanh một bàn tròn Bài giải: a) 5 người ngồi trên một ghế dài chính là hoán vị của 5 Nên có tất cả: 5! = 5.4.3.2.1 = 120 cách xếp 7
b) Khác với ngồi trên một ghế dài, người đầu tiên ngồi quanh bàn tròn có thể ngồi ở vị trí nào cũng được. Còn lại 4 người , có 4! = 4.3.2.1 = 24 cách xếp chỗ. Vậy tất cả có 24 cách xếp chỗ. 3.1.d. Tổ hợp: 3.1.d1. Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập hợp con của A gồm k phần tử (0 ≤ k ≤ n) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Kí hiệu: tổ hợp chập k của n phần tử là: C nk 3.1.d2. Công thức: Tính số tổ hợp chập k của n phần tử Trước hết ta đếm số các nhóm có k phần tử trong n phần tử đã cho, nếu các phần tử được xếp theo thứ tự, đó chính là chỉnh hợp chập k của n phần tử n(n – 1)(n – 2)...(n – k + 1) Do yêu cầu k phần tử được xếp theo thứ tự nên mỗi nhóm đã được tính k! lần Vậy số tỏ hợp chập k của n phần tử là: n! n(n  1)(n  2)...(n  k  1) C nk   k!(n  k )! k! Đặc biệt, số tổ hợp chập 2 của n phần tử là: n(n – 1) : 2 Số tổ hợp chập 3 của n phần tử là: n(n – 1)(n – 2) : 6 3.1.d3. Tính chất: a)C n0  C nn  1 b)C kn  C nn k n  k  1 k 1 c)C nk  C nk1  C nk11 d)C kn  .C n (1  k  n) k Ví dụ 1: Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu là hai điểm trong năm điểm đã cho? Bài giải: Qua một điểm ta nối được 4 đoạn thẳng với 4 đoạn thẳng còn lại. Có tất cả 5 điểm nên kẻ được: 4.5 = 20 (đoạn thẳng) Do mỗi đoạn thẳng đã được tính hai lần nên số đoạn thẳng là 20 : 2 = 10 Ví dụ 2: Cho 9 điểm trên mặt phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác mà đỉnh là ba trong chín điểm ấy? Bài giải: 8
Có 9 cách chọn đỉnh thứ nhất Với mỗi đỉnh trên, có 8 cách chọn đỉnh thứ hai Với mỗi cách chọn hai đỉnh trên, có 7 cách chọn đỉnh thứ ba Do mỗi tam giác đã được tính 3! lần nên số tam giác có được là: 9.8.7  84 3! Ví dụ 3: Có m đường thẳng đứng và n đường thẳng nằm ngang đôi một cắt nhau. Chúng tạo thành bao nhiêu hình chữ nhật? (Hình vuông cũng là một hình chữ nhật) Bài giải: Số cặp đường thẳng đứng là số tổ hợp chập 2 của m phần tử và bằng: m(m  1) 2 Số cặp đường thẳng nằm ngang là số tổ hợp chập 2 của n phần tử và bằng: n(n  1) 2 Mỗi cặp đường thẳng đứng và một cặp đường thẳng nằm ngang cắt nhau tạo thành một hình chữ nhật mn(m  1)(n  1) Vậy có tất cả: hình chữ nhật 4 Ví dụ 4: Trong số 4 học sinh giỏi Văn và 9 học sinh giỏi Toán, lập ra một nhóm gồm 7 học sinh, trong đó có ít nhất 2 học sinh giỏi Văn. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm? Bài giải: Số cách chọn 2 trong 4 học sinh giỏi Văn là số tổ hợp chập 2 của 4 phần tử và bằng: 4.3 : 2 = 6 Chọn xong 2 học sinh trên, còn 2 học sinh giỏi Văn và 9 học sinh giỏi Toán, cần chọn 5 người trong số 11 học sinh, đó là số tổ hợp chập 5 của 11 phần tử và 11.10.9.8.7 bằng:  462 5! Vậy có tất cả: 6. 462 = 2772 (cách lập nhóm) 3.1.e. Một số dạng bài tập 3.1.e1. Áp dụng đại số tổ hợp trong số học: 9
Dạng 1: Các bài toán liên quan đến phép đếm, tính số phần tử của tập hợp. Phương pháp giải: Xác định đúng dạng bài tập nói về chỉnh hợp, hoán vị hay tổ hợp để áp dụng công thức và tính toán phù hợp. Bài toán 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10 Bài giải: Gọi số cần tìm là: abcde (Trong đó a, b, c, d, e là các số tự nhiên) Vì số đó chia hết cho 10 nên có 1 cách chọn e là e = 0 Vì a là chữ số hàng chục nghìn nên a có 9 cách chọn (a có thể từ 1 đến 9) Với mỗi cách chọn a, e ta có 8 cách chọn b (b có thể từ 0 đến 9 nhưng phải khác a, e) Với mỗi cách chọn các số trên, có 7 cách chọn c (c có thể từ 0 đến 9 nhưng phải khác a,b,e) Với mỗi cách chọn các số trên, có 6 cách chọn d (d có thể từ 0 đến 9 nhưng phải khác a, b, c, e) Vậy tất cả có: 9.8.7.6.1 = 3024 số cần tìm (theo quy tắc nhân) Bài toán 2: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số khác nhau Bài giải: Gọi số cần tìm là: x  abcd (Với a, b, c, d là các số tự nhiên) Vì x là số lẻ nên d có 5 cách chọn ( d  1,3,5,7,9 ) Do a là chữ số hàng nghìn nên a có 8 cách chọn (a có thể từ 1 đến 9 nhưng phải khác d) Với mỗi cách chọn 2 số trên, có 8 cách chọn b (b có thể từ 0 đến 9 nhưng phải khác a,d) Với mỗi cách chọn 3 số trên, có 7 cách chọn c (c có thể từ 0 đến 9 nhưng phải khác a,b,d) Vậy có tất cả: 5.8.8.7 = 2240 số cần tìm (theo quy tắc nhân) Bài toán 3: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 6 chữ số và chia hết cho 9? 10
Bài giải: Gọi số cần tìm là x  abc deg (với a, b, c, d, e, g là các số tự nhiên) Vì x là số lẻ nên có 5 cách chọn g ( g  1,3,5,7,9) Các số b, c, d, e mỗi chữ số đều có 10 cách chọn (từ 0 đến 9) Lấy tổng các chữ số T = b + c + d + e + g chia cho 9. Nếu T chia cho 9 được dư là 0, 1, 2, ...,8 thì a chọn tương ứng là 9, 8, 7, ..., 1, ta sẽ có x chia hết cho 9 Vậy có tất cả: 5.104 = 50000 số lẻ gồm 6 chữ số và chia hết cho 9 Bài toán 5: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ? Bài giải: Xét một số tự nhiên gồm 4 chữ số: abcd (Với a, b, c, d là các Số tự nhiên) Nếu a + b + c + d là một số chẵn thì lấy một số e  1,3,5,7,9 để được tổng a + b + c + d + e là số lẻ. Khi đó có 5 cách chọn e Nếu a + b + c + d là số lẻ thì lấy e  0,2,4,6,8 để được tổng a + b + c + d + e là số lẻ. Khi đó e cũng có 5 cách chọn Do đó số abcd có 9.10.10.10 = 9. 103 cách chọn Vậy có tất cả: 5.9.103 = 45000 số thỏa mãn đề bài Bài toán 6: Có bao nhiêu số có 6 chữ số mà: a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau? b) Chữ số đầu và chữ số cuối khác nhau? c) Số có hai chữ số đầu và số có hai chữ số cuối giống nhau? Bài giải: a) Số cách chọn 4 chữ số ở giữa là chỉnh hợp lặp chập 4 của 10 phần tử Nên ta có F104 = 104 cách chọn Vậy có 9.104 = 90000 số có 6 chữ số mà chữ số đầu và cuối giống nhau. b) Tương tự có F106  F105  9.10 5 số có 6 chữ số. 11
Vậy có 9.105 – 9.104 = 810.000 số có 6 chữ số mà chữ số đầu và chữ số cuối khác nhau. c) Tương tự có: F102  F101  90 số có hai chữ số. Do đó có 90 cách chọn hai chữ số đầu và cuối giống nhau Vậy có F210 = 100 cách chọn hai chữ số ở giữa. Vậy có tất cả: 90.100 = 9000 số thỏa mãn *Tổng quát: Với n > 2m > 2 (với n, m là số tự nhiên) thì có: ( F10m  F101 ) F10n 2 m số có n chữ số mà số có m chữ số đầu và số có m chữ số cuối giống nhau. Bài toán 7: Có bao nhiêu số chẵn lớn hơn 5000 gồm 4 chữ số khác nhau? Bài giải: Giả sử x  a1 a 2 a3 a 4 là số cần tìm Nếu a1 là số lẻ thì a1 có 3 cách chọn ( a1 có thể là 5,7,9), a4 có 5 cách chọn (a4 có thể là 0, 2, 4, 6, 8), a2 có 8 cách chọn và a3 có 7 cách chọn. Vậy có tất cả: 3.5.8.7 = 840 số chẵn có 4 chữ số bắt đầu bằng chữ số lẻ Nếu a1 là số chẵn thì a1 có hai cách chọn (a1 có thể là 6,8), a4 có 4 cách chọn, a2 có 8 cách chọn và a3 có 7 cách chọn. Vậy có: 2.4.8.7 = 448 số chẵn có 4 chữ số bắt đầu bằng chữ số chẵn Vậy tổng cộng có: 840 + 448 = 1288 số thoả mãn đề bài Bài toán 8: Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau được lập từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Trong các số đó có bao nhiêu số chia hết cho 5? Bài giải: Có P6 = 6! số có 6 chữ số lấy từ các chữ số đã cho kể cả các số có chữ số 0 đứng đầu. Với chữ số 0 đứng đầu ta có: P5 = 5! số. Vậy có tất cả: 6! – 5! = 600 số có 6 chữ số khác nhau lấy từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Số chia hết cho 5 là số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Với số tận cùng là 0 ta có 5! số. Với số có tận cùng là 5 ta có: 5! – 4! số. Vậy tất cả có: 5! + (5! – 4!) = 216 số thỏa mãn đề bài. 12
Bài toán 9: a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau? b) Hãy tính tổng tất cả các số tự nhiên nói trên? Bài giải: a) Số có 5 chữ số khác nhau lập được từ các chữ số 5, 6, 7, 8, 9 là một hoán vị của 5 phần tử. Vậy có tất cả: P5 = 5! = 120 số. b) Ta thấy: 5 + 9 = 6 + 8 = 7 + 7 = 14, nên ứng với mỗi số n của hoán vị trên ta có thể ghép một và chỉ một số n’ sao cho: n + n’ = 14(1 + 10 + 102 + 103 + 104) = 155554 (Chẳng hạn: 65897 + 89657 = 155554) Vậy tổng cần tìm là: S = (120 : 2).155554 = 9333240 Bài toán 10: Xét những số gồm 9 chữ số trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu: a) Năm chữ số 1 được xếp kề nhau b) Các chữ số được xếp tùy ý. Bài giải: a) Năm chữ số 1 được xếp kề nhau ta xem như một phần tử. Mỗi số có 9 chữ số như thế là một hoán vị của 5 phần tử. Vậy có P5 = 5! = 120 số thỏa mãn đề bài b) Xem năm số 1 là khác nhau thì ta có 9! Số, nhưng có 5! Số trùng nhau (là hoán vị của 5 chữ số 1) Vậy có tất cả: 9! : 5! = 3024 số thỏa mãn đề bài. Bài toán 11: Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5? Bài giải: Số có 4 chữ số khác nhau có dạng: a1a 2 a3 a 4 13
Có 3 cách chọn a4 ( a4 có thể là 1, 3, 7) Có A43 cách chọn a1a 2 a3 kể cả a1 = 0 Với a1 = 0, có A32 cách chọn a 2 a3 Vậy tất cả có: 3.( A43 - A32 ) = 54 số thỏa mãn đề bài Bài toán 12: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5? Bài giải: Số có 5 chữ số khác nhau lập được từ các số đã cho là A75 số, kể cả chữ số 0 nằm ở vị trí đầu tiên. Với chữ số 0 nằm ở vị trí đầu tiên có A64 số. Vậy có: A75 - A64 số có 5 chữ số khác nhau lập từ các số đã cho. Tương tự, số có 5 chữ số khác nhau lấy từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (trừ số 5 ra) là: A65 - A54 Vậy tất cả có: A75 - A64 -( A65 - A54 ) = 1560 Bài toán 13: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho, hỏi: a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một? b) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 5? c) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 9? Bài giải: a) Số cần tìm có dạng: a1a 2 a3 a 4 (với a 4  0,2,4 ) Với a4 = 0 có A53 cách chọn a1a 2 a3 Với a4 = 2 (hoặc a4 = 4) có A53 - A42 cách chọn a1a 2 a3 Vậy có: A53 + 2( A53 - A42 ) = 156 số thỏa mãn b) Số cần tìm có dạng: a1a 2 a3 (với a3  0,5) Với a3 = 0 có A52 cách chọn a1a 2 Với a3 = 5 có A52 - A41 cách chọn a1a 2 Vậy có: A52 + ( A52 - A41 ) = 36 số thỏa mãn đề bài c) abc 9  a  b  c 9; a, b, c có thể là {0, 4, 5}; {1; 3; 5} hoặc {2, 3, 4} 14
Khi {a, b, c} là {0, 4, 5} thì các số cần tìm là: 405; 504; 450; 540 (có 4 số) Khi {a, b, c} là {1; 3; 5} hoặc {2; 3; 4} thì có 3! = 6 số Vậy tổng cộng có 4 + 6 + 6 = 16 số thỏa mãn đề bài Bài toán 14: Cho 8 chữ số: 0, 1, 2, ..., 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau từ các số trên, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4. Bài giải: Số có 6 chữ số lấy từ 8 chữ số đã cho là chỉnh hợp chập 8 của 6 phần tử (kể cả các số có chữ số 0 đứng ở vị trí đầu tiên): A86 Với chữ số 0 đứng đầu ta có: A75 số Vậy có: A86 - A75 số có 6 chữ số khác nhau lấy từ 8 chữ số đã cho Tương tự, có A76  A65 số có 6 chữ số khác nhau lấy từ 8 chữ số đã cho và không có chữ số 4 Vậy tổng cộng có: 8! 7! 7! 6! A86  A75  A76  A65      13320 số. 2! 2! 1! 1! Bài toán 15: Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 10n mà tổng các chữ số bằng 3? Bài giải: Các số tự nhiên này có nhiều nhất là n chữ số Có C n1 số tự nhiên chỉ chứa một chữ số 3 Có An2 số tự nhiên chỉ chứa chữ số 1 và 2 Có C n3 số tự nhiên chỉ chứa 3 chữ số 1 Vậy số các số tự nhiên cần tìm là: n(n  1)( n  2) C n1 + An2 + C n3 = 6 Bài toán 16: Có bao nhiêu số có n chữ số, trong đó các chữ số chỉ là 1, 2, 3 sao cho mỗi chữ số có mặt ít nhất một lần trong mỗi số đó. Bài giải: 15
Ta dùng phương pháp gián tiếp: Xác định xem có bao nhiêu số có n chữ số, trong đó các chữ số chỉ là 1, 2, 3 sao cho các chữ số chỉ là 1 hoặc 2 trong ba chữ số đã cho. Số các số có n chữ số, trong đó có mặt một trong ba chữ số 1, 2, 3 là 3 (đó là các số: 11 .... 1; 22 .... 2; 33  3 ) .... n n n Trong ba số 1, 2, 3 có C32 tập hợp gồm 2 chữ số. Với hai số 1, 2 chẳng hạn, có 2n – 2 số có n chữ số trong đó các chữ số chỉ là 1, 2 và mỗi chữ số có mặt ít nhất 1 lần bằng số chỉnh hợp lặp Fn2  2 n trừ 2 số 11 .... 1; 22 .... 2 n n Vậy số các số gồm n chữ số chỉ có mặt hai trong ba chữ số 1, 2, 3 là C32 (2 n  2) . Do đó có: 3 n  C32 (2 n  2)  3  3 n  3(2 n  2)  3  3 n  3.2 n  3 số thỏa mãn đề bài Bài toán 17: a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1? b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt đúng một lần? Bài giải: a) Đưa chữ số 0 vào vị trí cuối có 5 cách chọn. Đưa 5 chữ số trong 8 chữ số (trừ chữ số 0 và 1) có: A85 cách Vậy tổng cộng có: 5. A85 = 33600 cách b) Đưa hai chữ số 2 vào bảy vị trí có: C 72 cách Đưa ba chữ số 3 vào năm vị trí còn lại có: C53 cách Đưa hai chữ số trong 8 chữ số (trừ chữ số 2 và 3) vào hai vị trí còn lại: có A82 cách. Theo quy tắc nhân ta được: C 72 . C53 . A82 số. Ta còn phải loại trừ những số có chữ số 0 đứng đầu, trường hợp này có: C 62 . C 43 .7 số Vậy số các số thỏa mãn đề bài là: C 72 . C53 . A82 - C62 . C 43 .7 = 11340 số. 16
Bài toán 18: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được lấy từ 8 chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần. Bài giải: Cách 1: (dùng hoán vị lặp) 8! Số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán, kể cả các số có chữ số 0 đứng đầu là: 3! 7! Với chữ số 0 đứng đầu ta được: số 3! 8! 7! Vậy tổng cộng có: - = 544320 số thỏa mãn đề bài 3! 3! Cách 2: (dùng tổ hợp) Số tự nhiên gồm 10 chữ số có dạng: a1a 2 ....a10 Số cách chọn 3 vị trí trong 10 vị trí là: C103 Đặt số 6 vào 3 vị trí vừa chọn, sau đó đặt các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7 vào 7 vị trí còn lại ta có: C103 .7! số, kể cả các số có chữ số 0 đứng đầu. Với chữ số 0 đứng đầu, ta có C103 .6! số. Vậy tổng cộng có: C103 .7! - C103 .6! = 544320 số. Bài toán 19: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số trong đó có đúng một chữ số 5? Bài giải: Ta xét ba trường hợp: a) Số phải đếm có dạng: 5ab Chữ số a có 9 cách chọn (từ số 0 đến số 9 nhưng khác 5), chữ số b cũng có 9 cách chọn (từ số 0 đến 9 nhưng khác 5). Vậy tất cả có: 9.9 = 81 số. b) Số phải đếm có dạng: a5b Chữ số a có 8 cách chọn (từ 1 đến 9 nhưng khác 5), chữ số b có 9 cách chọn (từ 0 đến 9 nhưng khác 5). Vậy tất cả có: 8.9 = 72 số. c) Số phải đếm có dạng: ab5 . Tương tự trường hợp b, trường hợp này có: 72 số. Vậy tổng cộng có: 81 + 72 + 72 = 225 số thỏa mãn đề bài. 17
Bài toán 20: Có bao nhiêu số chứa ít nhất một chữ số 1 trong các số tự nhiên: a) Có ba chữ số b) Từ 1 đến 999 Bài giải: a) Ta đếm các số tự nhiên có ba chữ số rồi bớt đi các số có ba chữ số không chứa chữ số 1. Số có ba chữ số là: 100, 101, ..., 999, có 900 số. Trong các số trên, số không chứa chữ số 1 có dạng: abc trong đó a có 8 cách chọn (từ 2 đến 9), b có 9 cách chọn (từ 0 đến 9 nhưng khác 1), c có 9 cách chọn (từ 0 đến 9 nhưng khác 1). Vậy có: 8.9.9 = 648 số. Do đó tất cả có: 900 – 648 = 252 số thỏa mãn đề bài. b) Ta thêm chữ số 0 vào dãy 1, 2, ..., 999 thành dãy mới: 000, 001, ..., 999 để đếm được dễ dàng. Trước hết ta đếm các số không chứa chữ số 1 của dãy này: đó là các số có dạng abc . Trong đó mỗi chữ số a, b, c đều có 9 cách chọn (từ 0 đến 9 nhưng khác 1), tất cả có: 9.9.9 = 729 số. Vậy số lượng các số từ 1 đến 999 không chứa chữ số 1 có: 729 – 1 = 728 số. Vậy số lượng các số từ 1 đến 999 có chứa chữ số 1 là: 999 – 728 = 271 số. Bài tập tự luyện: Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5, có bốn chữ số, có đúng một chữ số 5? (Đáp Số: 873 số). Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số trong đó có ít nhất hai chữ số giống nhau? (Đáp số: 252 số). Bài 3: Cho năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Dùng các chữ số trên: a) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số, trong đó các chữ số khác nhau? Tính tổng các chữ số được lập. b) lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau? 18
c) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số, trong đó hai chữ số kề nhau phải khác nhau. d) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số, các chữ số khác nhau, trong đó có hai chữ số lẻ, hai chữ số chẵn? (Đáp số: a) 399960 b) 48 c) 1280 d) 72) Bài 4: Cho năm chữ số: 0, 1, 2, 3, 4. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên: a) Có năm chữ số, gồm cả 5 chữ số ấy b) Có bốn chữ số, các chữ số khác nhau? c) Có ba chữ số, các chữ số khác nhau? d) Có ba chữ số, các chữ số có thể giống nhau? (Đáp số: a)96 số b)96 số c)48 số d)100 số) Bài 5: Cho 5 chữ số 0,1, 3, 5, 6. Từ các chữ số trên, lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a) Không chia hết cho 2 b) Chia hết cho 2 c) Chia hết cho 5 (Đáp số: a) 54 số b) 42 số ). Bài 6: a) Dùng các chữ số 1, 2, 7, viết được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số sao cho các chữ số 2 và 7 có mặt một lần, còn chữ số 1 có mặt ba lần? b) Cũng hỏi như câu a nếu thêm điều kiện các số phải đếm lớn hơn 20000? (Đáp số: a. 20 b. 8 số). Bài 7: Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số lập bởi các chữ số 1, 2, 3 biết rằng số đó chia hết cho 9? (Đáp số: 16 số). Bài 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có 11 chữ số, gồm năm chữ số 1 và sáu chữ số 2 sao cho đọc xuôi và đọc ngược đều giống nhau? (Đáp số: 10 số cần tìm). Bài 9: Cho 8 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10 19
(Đáp số: 1260 số). Bài 10: Có 5 miếng bìa, trên mỗi miếng bìa ghi một trong 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Lấy 3 miếng trong 5 miếng bìa này đặt lần lượt cách nhau từ trái sang phải để được các số gồm 3 chữ số. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có nghĩa gồm ba chữ số và trong đó có bao nhiêu số chẵn. (Đáp số: 48 số và 30 số chẵn). Bài 11: Có bao nhiêu số có 5 chữ số: a) Bắt đầu bằng số 3? b) Không bắt đầu bằng số 5? c) Bắt đầu bằng số 54? (Đáp số: a) 104 b) 105 – 2.104 c) 103). Bài 12:Với 5 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần? (Đáp số: 3360 số). Bài 13: Từ các chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần ? (Đáp số: 7.7.6.5.4 = 5880). Bài 14: Từ ba chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có mặt đủ ba chữ số trên? (Đáp số: 150 số). Bài 15: Dùng các chữ số 0, 1, 2, ..., 9 để viết các số tự nhiên x gồm 5 chữ số khác nhau đôi một, chữ số đầu tiên khác 0. a) Có bao nhiêu số x? b) Có bao nhiêu số x là số lẻ? (Đáp số: a) A105  A994 4 b)5(A 94  A83 ) ) Bài 16: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau, trong đó: a) Phải có mặt chữ số 2? b) Phải có mặt hai chữ số 1 và 6? (Đáp số: a) A65  5! b)A 56  2.2! ). 20